Apostila de Introdução à Geodésia

Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Prof Dr Haroldo Antonio Marques INTRODUÇÃO À GEODÉSIA 2015 3 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 6 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 7 21 Definição de Geodésia 7 22 Breve histórico da Geodésia 10 221 Começo histórico da Geodésia 10 222 Começo científico da Geodésia 14 223 Geodésia na era moderna 18 3 Introdução a sistemas de referência 21 31 Relações matemáticas preliminares 21 32 Translação Rotação e Reflexão do Sistema de Referencia 23 33 Formas da Terra e definições 26 34 Geometria básica elipsoidal 31 35 Seção Normal no Elipsoide e Raio de Curvatura 36 36 Transformação de coordenadas 40 361 Curvilíneas para cartesianas 40 362 Cartesianas para curvilíneas 41 4 Sistema Geodésico de Referência 44 41 Sistema Geodésico de Referência Clássico 46 42 Sistema Geodésico de Referência Moderno 47 43 International Terrestrial Reference Frame ITRF 48 44 Sistema associado ao GPS WGS84 53 45 Introdução ao Sistema Geodésico Brasileiro 55 46 Introdução ao SIRGAS 56 47 Sistema Geodésico Local 58 48 Datum Geodésico e as equações de Laplace 61 49 Método Astrogeodésico 65 5 REDES GEODÉSICAS 67 51 Tipos de redes geodésicas 67 52 Redes de controle horizontal 68 521 Triangulação 68 522 Trilateração 70 523 Poligonação 71 4 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 524 Ponto datum ou ponto origem 71 525 Considerações finais sobre redes de controle horizontal 73 6 Transformação entre Sistemas Geodésicos de Referencia 76 61 Transformação entre Sistema Clássico e Moderno 76 62 Atualização de coordenadas 77 63 Transformação Generalizada de Helmert 78 64 Equações diferenciais simplificadas de Molodenski 80 7 Medição eletrônica de distância 83 71 Histórico 83 72 Método de pulso 84 73 Método de comparação de fase 84 74 Correções a serem aplicadas nas medidas 86 741 Processo de calibração 86 742 Correção do índice e do coeficiente de refração 88 8 Reduções para o Elipsoide 90 81 Redução de distância 90 82 Redução de azimute 92 83 Exercício 94 9 Transporte de coordenadas Geodésicas 95 91 Problema direto e inverso 95 92 Solução pela série de Legendre Problema Direto 97 93 Fórmulas de Puissant 99 931 Problema Direto 99 932 Problema Inverso 101 94 Outras fórmulas para a solução dos Problemas Direto e Inverso 102 95 Experimentos 102 10 Ajustamento de Redes TopográficasGeodésicas 106 101 Ajustamento de Redes no plano 106 1011 Equações de Observação 107 1012 Exemplo de Ajustamento de uma poligonal no plano 112 1013 Ajustamento de uma Trilateração 116 102 Ajustamento de redes geodésicas 116 1021 Equações de observação para coordenadas elipsóidicas 116 11 Redes altimétricas 121 5 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 111 Breve histórico do ajustamento da rede altimétrica do Brasil 121 112 Determinação das altitudes 124 113 Trabalho 128 Bibliografia 129 6 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 1 INTRODUÇÃO A Geodésia é atualmente definida como a ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensão da Terra bem como seu campo gravitacional e variações temporais GEMAEL 1999 Em termos de aplicação prática comparecem o estabelecimento de redes geodésicas posicionamento geodésico e outras atividades que favorecem diversos ramos de Engenharia A Geodésia é uma das ciências mais antigas e acompanha o desenvolvimento da civilização humana Atualmente possui um amplo espectro de aplicações de forma que este texto visa apresentar os conceitos gerais relacionados com a Geodésia Geralmente dividese a Geodésia em Geométrica Física e Celeste cada uma com sua devida importância e altamente correlacionada Desta forma o objetivo principal é tratar sobre os conceitos envolvidos com a Geodésia envolvendo por exemplo temas como a definição da Geodésia definição e materialização de Sistema Geodésico de Referência SGR clássico e moderno conceitos de datum transporte de coordenadas geodésicas introdução ao posicionamento por satélites entre outros conceitos fundamentais da Geodésia 7 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 21 Definição de Geodésia A definição de Geodésia e seu espectro de atividades podem ser facilmente encontrados na literatura clássica podendose citar Vanicek Krawvisk 1986 Gemael 1999 Torge 2001 Seeber 2003 entre outros Friedrich Robert Helmert definiu a Geodésia em 1880 como Ciência de medidas e mapeamento da superfície da Terra A superfície terrestre em sua grande extensão está moldada pelo campo de gravidade da Terra Desta forma as observações geodésicas estão referenciadas a este campo de gravidade Logo houve a necessidade de incluir na definição de Geodésia o campo de gravidade externo da Terra Além disto a Geodésia em colaboração com outras disciplinas inclui a determinação do fundo e superfície dos oceanos o campo de gravidade de outros corpos celestes tais como a lua e planetas determinação de sistema de referência terrestre e celeste determinação de órbitas de planetas e satélites artificiais etc Comparecem ainda as variações temporais dos parâmetros geodésicos em função do movimento de placas tectônicas e de efeitos geodinâmicos da Terra Desta maneira a definição de Geodésia é dada por GEMAEL 1999 TORGE 2001 SEEBER 2003 Geodésia é a ciência que tem por objetivo determinar a forma e dimensão da Terra bem como seu campo gravitacional e variações temporais A IAG International Association of Geodesy publicou no ano de 2001 o sumário executivo httpwwwgfykudkiagexesum01pdf o qual contém um tópico denominado Geodesy an old science with a dynamic future Neste tópico é possível verificar que a Geodésia é uma ciência mais complexa do que a definição apresentada A Geodésia requer um vasto leque de atividades sinergéticas incluindo teoria ciência engenharia tecnologia desenvolvimento observação analises etc além disto requer organizações nacionais e internacionais responsáveis por levantamentos Engenheiros Cartógrafos e Agrimensores Institutos de Pesquisas Universidades e Agências Espaciais MONICO 2008 A Geodésia sempre atuou em colaboração com diversas ciências e hoje em dia esta colaboração se tornou mais evidente principalmente com o desenvolvimento da Geodésia por satélites A Figura clássica apresentada por Vanicek e Krakiwsky 1986 representa bem a interdisciplinaridade da Geodésia Figura 21 8 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 21 Geodésia e a interdisciplinaridade Fonte Vanicek e Krakiwsky 1986 Com base na Figura 21 verificase que a Geodésia requer como base conhecimentos de Matemática Física e Ciências da Computação A interação com diversas outras disciplinas tais como Astronomia Geofísica Ciências Espaciais e outras e aplicações em atividades de mapeamento completam a atuação da Geodésia Em função das diversas aplicações da Geodésia comparecem divisões tais como Geodésia Marinha Geodésia Espacial etc Neste trabalho a Geodésia se divide basicamente em Geodésia Geométrica Física e Celeste Uma breve definição das divisões adotadas neste trabalho é apresentada a seguir Geodésia Geométrica Estudo da geometria do elipsoide e operações geométricas sobre a superfície terrestre envolvendo medidas angulares e de distância associadas com determinações astronômicas Geodésia Física Estudo do campo da gravidade da Terra definições da superfície geoidal envolvendo medidas gravimétricas que conduzem ao conhecimento detalhado do campo da gravidade Geodésia Celeste Estuda as definições de sistemas de referência celeste e terrestre determinação de órbitas de satélites artificiais e planetas e o desenvolvimento e aplicação de técnicas espaciais de posicionamento incluindo o GNSS Global Navigation Satellite System VLBI Very Long Baseline Interferometry SLR 9 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Satellite Laser Ranging LLR Lunar Laser Ranging e DORIS Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite Após o surgimento da era espacial em meados da década de 80 e o aparecimento de tecnologias espaciais como por exemplo o GNSS Global Navigation Satellite System comparece o termo Geodésia Espacial A aplicação do GNSS tem permitido realizar posicionamento geodésico com qualidade ao nível de milímetros permitindo monitorar de movimento crustal placas tectônicas e deformações com alta acurácia e alta resolução temporal O uso de medidas de radares acoplados em satélites cujas órbitas são determinadas com alta acurácia tem proporcionado imagens do fundo dos oceanos e de processos tectônicos com resolução nunca observada antes abrindo novas possibilidades para a Oceanografia e Climatologia Além disto a utilização do sinal GNSS vem proporcionando novos meios de Mapear o vapor dágua troposférico Irregularidades na ionosfera Determinação de órbitas de satélites LEO Low Earth Orbit e tem aberto novas oportunidades nas atividades de Sensoriamento Remoto visando dar suporte as ciências de mapeamento e do meio ambiente MONICO 2008 Os SGRs que eram determinados por métodos clássicos teodolitos e estações totais até meados da década de 90 passaram a ser determinados exclusivamente pelos métodos de posicionamento espacial Neste caso o SGR clássico que tinha como característica ser não geocêntrico e com a rede materializada vinculada a um ponto datum na superfície física da Terra passa a ser de origem geocêntrica para compatibilizar os levantamentos geodésicos realizados com o sistema utilizado pela tecnologia de posicionamento espacial Em termos de posicionamento geodésico e aplicação de produtos cartográficos comparece o problema de transformação e modelagem de distorções entre os sistemas clássicos e modernos As redes geodésicas que eram determinadas por métodos clássicos eram classificadas como redes horizontais haja vista serem estimadas a latitude e longitude de cada vértice No caso das redes modernas as coordenadas obtidas são cartesianas geodésicas X Y e Z de forma que são denominadas redes tridimensionais Acrescentase ainda a componente variação temporal das coordenadas da rede geodésica onde conhecidas as velocidades da estação e uma época de referência as coordenadas podem ser transportadas para outra época desejada seja no passado no presente ou no futuro o que proporcionou o aparecimento do termo Geodésia tetradimensional Apesar de atualmente o SGR de referência não ser mais determinado de forma clássica a determinação de redes geodésicas utilizando equipamentos clássicos ainda é fundamental e aplicase em diversos trabalhos de engenharia como por exemplo o monitoramento e controle de barragens hidrelétricas construção de rodovias ferrovias viadutos etc Dessa forma o posicionamento geodésico de forma clássica a qual requer o rigor e correções necessárias da Geodésia são de fundamental importância para diversas aplicações 10 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Podese concluir esta seção dizendo que a Geodésia é uma ciência usada no tratamento de uma grande variedade de problemas e no futuro com muitas das missões espaciais planejadas e algumas já em operação tais como o GRACE Gravity Recovery and Climate Experiment e o CHAMP Challeging MiniSatellite Payload bem como o desenvolvimento de novas tecnologias para posicionamento e medições gravimétricas continuará sem dúvida a expandir ainda mais seu campo de influência cobrindo um amplo campo das Ciências da Terra e do Meio Ambiente GEMAEL 1999 TORGE 2001 SEEBER 2003 MONICO 2008 22 Breve histórico da Geodésia A Geodésia é uma das mais antigas ciências com uma história de mais de dois mil anos e podese classificar o desenvolvimento histórico da Geodésia como TORGE 2001 CHAVES 2003 Começo histórico da Geodésia o Período de Tales de Mileto 625 a C 547 a C até o fim do Império Romano 27 a C 476 d C Começo científico da Geodésia o Idade Média século V XV até a aceitação da teoria da gravitação de Newton em 1687 o Geodésia no serviço de mapeamento o Próximos 200 anos 1750 1950 até a segunda guerra mundial 1939 1945 o Aceitação da teoria da relatividade de Einstein em 1916 Geodésia na era moderna o Década de 40 até os dias atuais o Desenvolvimento da era espacial 221 Começo histórico da Geodésia A curiosidade do homem primitivo sempre o levou a se interessar pelo planeta em que vivia e durante muitos séculos os únicos meios disponíveis para o estudo da geometria da Terra foram observações astronômicas ao Sol à Lua às estrelas e aos planetas A história da Geodésia começa realmente pelos primeiros relatos documentados na era grega Naquela época a Geodésia era uma ciência que desafiava os intelectuais fazendo com que alguns dos maiores nomes da história dedicassem a ela parte das suas energias A forma da Terra comparece como figuras diversificadas classificadas por muitos filósofos e pensadores da época antiga Atribuise a Tales de Mileto 625 aC 547 aC fundador 11 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques da trigonometria as primeiras ideias sobre a forma da Terra Para ele a Terra tinha a forma de um disco e flutuava num oceano infinito A sua concepção do cosmos pouco se afastava da que predominava entre os gregos na época ou seja a Grécia era o centro do mundo Pode ser visto no mapa da época Figura 22 que todas as terras estão cercadas por um imenso oceano e estão dispostas à volta do Mediterrâneo tendo no seu centro a Grécia Figura 22 Mapa da Terra na época de Tales de Mileto Fonte httpafilosofianosapopt10taleshtm Anaximandro de Mileto 611 aC 545 aC foi um filósofo grego e para ele a Terra era cilíndrica com eixo orientado na direção lesteoeste Anaximandro introduz o conceito de esfera celeste culminando com o surgimento da Astronomia Figura 23 Forma da Terra segundo Anaximandro Fonte httpwwwphilosophygrpresocraticsanaximanderhtm 12 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Outros filósofos gregos e suas teorias são apresentadas a seguir Anaxímenes de Mileto século VI a C filósofo grego o Terra flutuava num oceano circunferencial finito e mantido no espaço por ar comprimido Pitágoras 580 a C 500 a C filósofo e matemático grego o Conceito de Terra esférica Filolau século V a C filósofo e matemático grego o Universo não geocêntrico Hecateu de Mileto século VI a C século V a C escritor grego o Compilou um dos primeiros mapas do mundo Anaxágoras 500 a C 428 a C filósofo grego o Forma esférica da Lua e movimentos diurnos do Sol e da Lua Heráclides 388 a C 315 a C filósofo e astrônomo grego o Terra Mercúrio e Vênus moviamse ao redor do Sol o Terra se rotaciona ao redor do seu próprio eixo Aristóteles 384 a C 322 a C filósofo grego o Formulou os argumentos para a esfericidade da Terra e sugeriu a possibilidade de gravidade Aristarco 310 a C 250 a C astrônomo grego o Calculou distância da Terra ao Sol e à Lua Erastóstenes 276 a C 194 a C Também conhecido como Erastóstenes de Cirene foi um geógrafo e matemático grego que tinha noção de obliquidade do eixo de rotação da Terra Ele é conhecido como o Fundador da Geodésia em função de ser o primeiro a determinar o tamanho da Terra 5950 km com valores muito próximos dos medidos atualmente Erastóstenes nasceu em 276 aC e morreu em c 194 aC em Alexandria no antigo Egito Por volta do ano de 240 aC ele dirigia a biblioteca do museu de Alexandria tendo deste modo acesso a catálogos relacionados a acontecimentos astronômicos importantes Além disto possuía bons conhecimentos de geometria Ele mediu a circunferência da Terra baseandose no fato que no solstício de verão ao meiodia o Sol iluminava o fundo de um poço na cidade de Siena e no mesmo instante o Sol projetava uma sombra em Alexandria como representado na Figura 24 13 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 24 Projeção do sol em Siena e Alexandria observada por Erastóstenes Fonte A sombra projetada fazia um ângulo de 7º 12 150 de 360º com a vertical Para os cálculos assumese que a distância entre as cidades é de 5000 estadias 7875 km 10 estadias 1 milha e que Alexandria e Siena estão na mesma linha nortesul Com base nos elementos apresentados na Figura 25 em relações matemáticas simples podese calcular o raio da Terra Figura 25 Projeção do sol em Siena e Alexandria Fonte Temse a seguinte regra de três 14 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A partir do qual se tem Logo se obtém o raio R 6266726 km e circunferência C 39375 km o que está próximo dos valores encontrados atualmente Outros importantes nomes comparecem no começo histórico da Geodésica tais como Hiparco 190 a C 120 a C astrônomo e matemático grego o Primeiro mapa estrelar sistema de ascensão reta o Não concordava com a hipótese heliocêntrica Posidônio 135 a C 50 a C filósofo grego o Determinou o tamanho da Terra considerando o efeito de refração do ar porém com resultado inferior ao de Erastóstenes Após este período a Geodésia permanece estática por mais de um milênio e meio e no Império Romano 27 a C 476 d C foi implantado o calendário Juliano Ptolomeu 75 d C 151 d C astrônomo e matemático grego publicou o Almagesto O grande astrônomo e não aceitou a hipótese heliocêntrica Terra e os demais planetas giram em torno do Sol 222 Começo científico da Geodésia O começo científico da Geodésia está relacionado com as principais explorações marítimas do final do século XV Em resumo temse Cristóvão Colombo 1451 1506 cartógrafo e navegador foi o primeiro europeu a chegar às Américas em outubro de 1492 Vasco da Gama 1460 1524 navegador português descobriu rota marítima para as Índias Américo Vespúcio 1451 1512 comerciante e navegador italiano primeiros mapas da costa oeste do Pacífico da América do Norte o continente recebeu seu nome 15 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Surge então uma nova profissão que se ocupa de fazer mapas ou seja a Cartografia Por definição a Cartografia é arte de representar mapas ou o produto final da Geodésia Dentro deste contexto Mercator 1512 1594 matemático e cartógrafo flamengoholandês é considerado o pai da Cartografia O renascimento da Geodésia se dá na metade do século XV Nicolau Copérnico 1473 1543 matemático e astrônomo polonês pode ser considerado o pai da astronomia moderna visto que através de seus estudos e cálculos defendeu a tese de que a Terra e demais planetas giram em torno do Sol teoria denominada Heliocentrismo Copérnico contrariou a teoria de que a Terra era o centro do Universo como defendida pelo grego Ptolomeu Giordono Bruno 1548 1600 filósofo astrônomo e matemático italiano foi morto na fogueira pela Inquisição por que defendia a heliocentricidade razão que ia contra teologia A Inquisição ou Santa Inquisição foi uma espécie de tribunal religioso criado na Idade Média para julgar quem fosse contra os dogmas pregados pela Igreja Católica Galileo Galilei 1564 1642 físico e astrônomo italiano fez uma renúncia forçada da teoria da heliocentricidade Ele construiu o primeiro telescópio para o uso em observações astronômicas e descobriu que o planeta Vênus apresenta fases como as da lua observação que o levou a concluir que o planeta gira em torno do Sol como afirmava o astrônomo Nicolau Copérnico em sua teoria heliocêntrica Com isso Galileo passou a defender e divulgar a teoria de Copérnico de que a Terra assim como os demais planetas se move ao redor do Sol Estas ideias foram apresentadas em sua obra Diálogos sobre os Dois Grandes Sistemas do Mundo publicado em 1632 A publicação da obra foi condenada pela Igreja e em 1633 e a Santa Inquisição prendeu e julgou Galileu por heresia Para evitar que fosse queimado vivo Galileu Galilei se viu obrigado a renegar suas ideias através de uma confissão lida em voz alta perante o Santo Conselho da Igreja A famosa carta de Galileo é apresentada a seguir fonte httpwwwbrasilescolacomfisicagalileucienciasantainquisicaohtm Eu Galileu filho do falecido Vincenzo Galilei florentino de setenta anos de idade intimado pessoalmente à presença deste tribunal e ajoelhado diante de vós Eminentíssimos e Reverendíssimos Senhores Cardeais InquisidoresGerais contra a gravidade herética em toda a comunidade cristã tendo diante dos olhos e tocando com as mãos os Santos Evangelhos juro que sempre acreditei que acredito e mercê de Deus acreditarei no futuro em tudo quanto é defendido pregado e ensinado pela Santa Igreja Católica e Apostólica Mas considerando que escrevi e imprimi um livro no qual discuto a nova doutrina o heliocentrismo já condenada e aduzo argumentos de grande força em seu favor sem apresentar nenhuma solução para eles fui pelo Santo Oficio acusado de veementemente suspeito de heresia isto é de haver sustentado e acreditado que o Sol está no centro do mundo e imóvel e que a Terra não está no centro mas se move desejando eliminar do espírito de Vossas Eminências e de todos os cristãos fiéis essa veemente suspeita concebida mui justamente contra mim com sinceridade e fé verdadeira abjuro amaldiçôo e detesto os citados 16 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques erros e heresias e em geral qualquer outro erro heresia e seita contrários à Santa Igreja e juro que no futuro nunca mais direi nem afirmarei verbalmente nem por escrito nada que proporcione motivo para tal suspeita a meu respeito Ainda assim ele foi condenado e obrigado a permanecer em prisão domiciliar pelo resto de sua vida onde continuou desenvolvendo suas pesquisas e observações Contase que após o veredicto Galileu proferiu a seguinte frase eppur se muove e no entanto ela se move Completamente cego Galileu morreu em sua casa próxima a Florença no dia 8 de janeiro de 1642 Snell 1591 1626 holandês realizou a primeira triangulação e fez estudos sobre refração Picard Jean 1620 1682 astrônomo francês realizou a primeira medição moderna do tamanho da Terra em 1670 e obteve o valor de 6275 km para o raio da Terra resultado melhor do que Eratóstenes depois de 19 séculos O período decorrido entre Eratóstenes e Picard constitui a era esférica da geodésia A nova era se iniciou com as investigações teóricas de Newton 1642 1727 e de seu contemporâneo Huygens 1629 1695 sobre a forma de equilíbrio hidrostático de um fluído em rotação Ambos estavam convictos do achatamento polar da terra devido a sua rotação Um dos argumentos experimentais de Newton em favor de suas conclusões teóricas foi o aumento do período nos relógios pendulares com o decréscimo da latitude observado por Richter 1630 1696 e outros astrônomos na época O achatamento polar preconizado na teoria por Newtow estava em contradição com os trabalhos de Cassini 1625 1712 na medição de um arco de meridiano que indicavam alongamento polar A contradição entre a teoria de Newton e as conclusões de Cassini originou a histórica polêmica entre as escolas que se formaram na Europa onde se tinham os adeptos de uma Terra achatada e os adeptos de uma Terra alongada Figura 26 Figura 26 Terra achatada e alongada Fonte 17 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Para esclarecer essa contradição a Academia patrocinou a medição de dois arcos de meridianos sendo um próximo do equador e outro próximo ao ártico A expedição equatorial 1735 1744 formada por Bouguer Godin La Condamine e dois jovens oficias espanhóis foi enviada para o Peru latitude 130 S Este grupo mediu dois arcos de meridiano com aproximadamente 3 de amplitude e obteve num deles para o arco de 1 o comprimento de 110614m A expedição polar 1736 1737 formada inicialmente por Maupertuis Camus Célsius e depois Clairaut foi enviada para a Lapônia latitude 6620 N Ao concluírem os trabalhos essa equipe obteve para o arco de 1 o comprimento de 111948m o que confirmou a teoria de Newton sobre uma Terra achatada Entre 1750 e 1950 foram realizadas observações geodésicas e astronômicas para a realização das redes de triangulação na Europa em apoio aos programas de mapeamento Outros nomes importantes da era científica da Geodésia foram Gauss 1777 1855 matemático físico e astrônomo alemão inventou o heliotrópio e mediu uma rede geodésica em Hannover Além disto definiu o geoide e publicou em 1812 o Método dos Mínimos Quadrados MMQ além de outras contribuições à Geodésia Legendre 1752 1833 matemático francês publicou em 1798 a Teoria dos números que se aplica a lei de reciprocidade quadrática Laplace 1749 1827 matemático francês fundamentos para mecânica celeste moderna e teoria de marés Bessel 1784 1846 astrônomo alemão determinou a primeira figura exata do achatamento da Terra Helmert geodesista alemão fundamentos de matemática e física para Geodésia em 1880 Einstein 1879 1955 físico alemão teoria geral da relatividade em 1916 Eötvös 1848 1919 físico e químico húngaro estudou os gradientes de gravidade Vening Meinsz primeira metade do século XX geofísico holandês teoria da isostasia No início do século XIX vários cientistas de renome tais quais Clairaut 1713 1765 Laplace 1749 1827 Gauss 1777 1855 e Bessel 1784 1846 estudaram a nova teoria que atribui à Terra uma forma mais irregular e complexa do que aquela adotada pelo modelo elipsoidal Inicialmente surge o conceito de superfície equipotencial de nível zero origem das altitudes denominada superfície geoidal proposta por Listing 1872 18 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 27 Terra como uma forma mais irregular que o modelo elipsoidal Fonte Os fundamentos teóricos para a apresentação do geoide foram desenvolvidos por Stokes 1819 1903 no seu famoso trabalho On the Variation of Gravity and the Surface of the Earth no qual apresenta a fórmula para o cálculo das alturas geoidais a partir de anomalias gravimétricas 223 Geodésia na era moderna A Geodésia na era moderna tem início no período da revolução tecnológica que ocorre na metade do século XX Está relacionada com evolução dos computadores eletrônicos e desenvolvimentos após as grandes guerras primeira e segunda guerra mundial O primeiro instrumento eletrônico para medir distância Medidor Eletrônico de Distância MED foi desenvolvido pelo físico sueco Erick Bergstrand em 1948 e foi denominado geodímetro geodetic distance meter sendo resultando das tentativas de melhorar os métodos para medir a velocidade da luz TORGE 2001 Alguns acontecimentos importantes no período A descoberta de quasares 1963 e pulsares 1967 em radioastronomia VLBI Lançamento do primeiro satélite artificial SPUTNIK pelos soviéticos em 1957 Necessidade de conhecer o campo de gravidade acima da Terra para calcular as trajetórias dos mísseis Sistema de navegação inercial Sistemas de posicionamento GNSS 19 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Facilidades na determinação de posições e dos parâmetros do campo de gravidade conduziram a novas aplicações e novos problemas A Geodésia sofre uma revolução principalmente com o surgimento do GNSS Global Navigation Satellite System o qual atualmente é composto por GPS GLONASS GALIEO BEIDOUCOMPASS Sistemas de Aumentação entre outros Este sistema permite a determinação de posições tridimensionais precisas sobre ou acima da superfície da Terra o que favorece atividades como Mapeamento de terra mar e geometria da superfície de gelo Determinação do campo de gravidade da Terra e suas variações temporais Medição de fenômenos dinâmicos tais como deformação da superfície terrestre movimento da crosta terrestre movimento polar e Rotação da Terra marés etc A Geodésia em conjunto com a Meteorologia permite monitorar a atmosfera determinar índice de refração perfis de temperatura pressão e umidades e com a Geofísica a determinação do Conteúdo Total de Elétrons TEC Total Electron Content e camadas superiores da atmosfera Atualmente o GLONASS encontrase totalmente operacional com uma constelação nominal de 24 satélites e o GALILEO em fase de implementação O GPS passa por um processo de modernização que inclui os segmentos espacial e de controle onde já se tem satélites modernizados com novos sinais civis L2CL1C e uma nova frequência L5 Uma descrição mais detalhada sobre o GNSS será dada mais adiante A utilização do GNSS foi rapidamente divulgada e hoje se encontra em uso em diversos setores da sociedade seja para fins de navegação controle de trafego aéreo agricultura de precisão Sistemas de Informações Geográficas SIG aplicações geodésicas etc A utilização do sistema é simples uma vez que a tecnologia permite seu uso com facilidade Contudo a adequada utilização principalmente para fins de engenharia e aplicações cientificas requer um vasto conhecimento de diversas disciplinas tais como a Geodésia e outras envolvendo desde sistemas de referência geodésico até determinação de órbitas de satélites campo gravitacional da Terra e modelo geoidal sistemas de tempo propagação de sinais de rádio modelagem de efeitos atmosféricos ajustamento de observações controle de qualidade e outros Conhecimentos de ajustamento de observações são imprescindíveis uma vez que se tem superabundância de dados observados e necessitase de solução única e não tendenciosa para os parâmetros tarefa que pode ser realizada a partir do ajustamento pelo Método dos Mínimos Quadrados GEMAEL 1994 Outros requerimentos tais como planejamento de projetos 20 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques cartográficos controle de qualidade dos dados conhecimentos de Cartografia e disciplinas correlatas etc são de suma importância para a adequada aplicação da Geodésia por satélites Em suma uma aplicação que aparentemente é simples para aplicações precisas requer um vasto leque de conhecimentos de Geodésia e integração com outras disciplinas 21 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 3 INTRODUÇÃO A SISTEMAS DE REFERÊNCIA 31 Relações matemáticas preliminares Um sistema de referência cartesiano é bem definido pela Matemática e no caso tridimensional é composto pelos eixos cartesianos x y e z A Trigonometria Esférica é uma disciplina da Matemática muito utilizada na Astronomia e serve como ferramenta essencial para manipulação matemática de coordenadas esféricas de objetos num sistema de referencia esférico A associação entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada a seguir Figura 31 Relação entre coordenadas cartesianas e esféricas colatitude ângulo a partir do pólo longitude ângulo a partir do eixo x Muitas vezes utilizase a latitude ao invés da colatitude A relação básica entre coordenadas cartesianas e esféricas é dada por 𝑥 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜆 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜆 𝑧 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 31 A distância do ponto à origem pode ser calculada pela distância euclidiana no espaço 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 32 A colatitude e longitude podem ser calculadas por 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑟 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑧 𝑥2𝑦2𝑧2 33 𝜆 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 34 22 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Sobre uma esfera unitária raio 1 o comprimento de um arco de grande círculo é igual ao ângulo subentendido no centro Figura 32 Representação de um triângulo esférico Para um triângulo esférico Figura 32 têmse as seguintes identidades úteis Lei dos senos 𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾 35 Lei dos cossenos cos 𝑐 cos𝑎 cos𝑏 sena senbcos 𝛾 36 23 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 32 Translação Rotação e Reflexão do Sistema de Referencia Na Geodésia frequentemente comparecem problemas de conversão entre diferentes sistemas de coordenadas que podem envolver translação rotação e escalas dos sistemas A translação de um sistema tridimensional é representada Figura 33 Figura 33 Translação de um sistema cartesiano tridimensional Na Figura 33 temse representado o sistema cartesiano dextrogiro com coordenadas X Y e Z e sua translação representada por T linha vermelha até o sistema com coordenadas X Y e Z Considerouse neste caso que os sistemas possuem eixos paralelos ou seja isentos de rotação O vetor T é composto pelos deslocamentos Tx Ty e Tz e a translação entre os sistemas pode ser representada por X Y Z X Y Z Tx Ty Tz 37 A rotação de um sistema cartesiano é representada na Figura 34 24 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 34 Rotação do sistema cartesiano A rotação de um sistema de coordenadas pode ser realizada a partir de matrizes de rotação as quais envolvem os ângulos de rotação aqui denominados de 𝜅 𝜙 e 𝜔 como representado na Figura 35 Figura 35 Ângulos de rotação Considerando os ângulos 𝜅 𝜙 e 𝜔 Figura 35 podese rotacionar os eixos do sistema cartesianos da seguinte forma 𝑋 𝑌 𝑍 𝑅𝜅 𝜙 𝜔 𝑋 𝑌 𝑍 38 25 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques onde R inclui as rotações R1 R2 e R3 as quais considerando o sentido antihorário são dadas por 𝑅1𝜅 1 0 0 0 cos 𝜅 𝑠𝑒𝑛 𝜅 0 𝑠𝑒𝑛 𝜅 cos 𝜅 39 𝑅2𝜙 cos 𝜙 0 𝑠𝑒𝑛 𝜙 0 1 0 𝑠𝑒𝑛 𝜙 0 cos 𝜙 310 𝑅3𝜔 cos 𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔 0 𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 0 0 0 1 311 As matrizes apresentadas em 39 a 311 possuem o importante o principio de ortogonalidade dado por 𝑅𝑗 1 𝑅𝑗 𝑇 Além da translação e rotação podese ter a reflexão dos eixos a qual é utilizada às vezes para transformar um sistema dextrogiro em levogiro Figura 36 Reflexão dos eixos Para o caso da reflexão do eixo X com mostrado na Figura 36 a matriz é dada por 𝑅1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 312 No caso da reflexão em Y e Z a matriz de reflexão como apresentada na equação 312 recebe o número 1 respectivamente na segunda e terceira posição diagonal da matriz com os outros elementos nulos 26 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 33 Formas da Terra e definições A forma da Terra sempre despertou a curiosidade do home como pode ser visto na seção 22 Vista do espaço a Terra se assemelha à uma esfera e esta é a primeira aproximação geométrica para sua forma Pitágoras 571497 aC e Tales de Mileto 630 545 aC defendiam a esfericidade da Terra e que a mesma girava em torno do Sol heliocentrismo e Aristóteles 384322 aC apresentou três argumentos para a esfericidade da Terra Variação no aspecto do céu estrelado com a latitude Sombra circular da Terra nos eclipses da Lua Tendência das partículas a se dirigirem para um ponto central do universo quando competem entre si adquirindo a forma esférica Figura 37 Forma esférica da Terra Fonte No século XVIII Gauss caracterizou a Terra como um Geoide Figura 38 o qual é definido como superfície equipotencial do campo de gravidade terrestre que mais se aproxima do nível médio dos mares não perturbados supõe que não existam correntezas ventos ou variações na densidade das águas 27 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 38 Modelo Físico da Terra Geoide Fonte O Geoide é uma superfície levemente irregular devido a não homogeneidade de distribuição de massas e por esta razão não é possível criar um modelo matemático para a representação de coordenadas Sua materialização se dá através dos marégrafos e medidas na superfície com gravímetros Dessa forma o modelo geométrico adotado que mais se aproxima da forma real da Terra é o Elipsoide de Revolução o qual pode ser definido pelos semieixo maior a e menor b ou definido por a e pelo achatamento f f aba O elipsoide é uma superfície de fácil modelagem matemática adequada para estabelecer um sistema de coordenadas de referência A esfera é uma aproximação válida do elipsoide para determinados propósitos No caso dos SGRs clássicos utilizados até meados da década de 90 cada país em geral definia o elipsoide que melhor se adaptasse ao geoide local o que era conhecido como sistema geodésico topocêntrico ou local em função do ponto origem das redes geodésicas estar localizado na superfície terrestre Atualmente com o posicionamento por satélites artificiais utilizase o sistema geodésico de caráter global cuja origem é geocêntrica Figura 39 Figura 39 Elipsoide de caráter local topocêntrico e global geocêntrico Fonte 28 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Três superfícies de referência são definidas Superfície física limitante do relevo topográfico superfície geoidal e superfície elipsoidal Figura 310 Figura 310 Representação das três superfícies física geoide e elipsoide Fonte Na Figura 310 IRM é o Meridiano Internacional de Referência e IRP o Pólo Internacional de Referência Para aplicações da Geodésia temse o uso das altitudes ortométrica e geométrica Altitude Ortométrica H É a distância de um ponto na superfície terrestre até o Geoide contada ao longo da linha Vertical Altitude geométrica h distância do ponto na superfície física até o elipsoide contada sobre a Normal A linha passante por um ponto P na superfície física e cruzando o elipsoide perpendicularmente ponto P é denominado de linha Normal conforme representado na Figura 311 Figura 311 Representação da linha normal e vertical no elipsoide Fonte 29 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A linha Vertical passante pelo ponto é perpendicular ao geóide e vai até a direção do centro de massa da Terra sendo materializada pela linha de fio de prumo A altitude ortométrica é utilizada nas obras de engenharia porque possui significado físico diferentemente da altitude geométrica h a qual é associada ao elipsoide A altitude ortométrica pode ser determinada por exemplo por nivelamento geométrico associado à gravimetria Ondulação do Geoide N Também conhecida como Ondulação Geoidal é a distância do elipsoide de referência ao geoide contada ao longo da Normal Tratase da separação entre elipsoide e geoide Desvio da vertical i Ângulo formado pela Normal ao elipsoide e pela Vertical perpendicular ao Geoide A Figura 312 a seguir apresenta as componentes envolvidas com as altitudes ortométrica e geométrica Figura 312 Superfícies de referência A Figura 313 mostra a projeção de P via linha vertical e normal respectivamente no geoide e elipsoide 30 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 313 Projeção de P no elipsoide e geoide A ondulação geoidal pode ser obtida de forma aproximada por 𝐍 𝐡 𝐇 313 𝐇 𝐡 𝐍 314 Hoje em dia a determinação da altitude geométrica se beneficia do uso do GNSS em regiões onde o geoide é conhecido ondulação geoidal A partir das medidas GNSS podese estimar a altitude geométrica h e se esta for estimada por exemplo sobre um vértice com altitude ortométrica H conhecida via nivelamento geométrico obtémse a ondulação geoidal a partir da Equação 313 Se a ondulação geoidal N for conhecida por exemplo a partir de modelos geoidais podese calcular a altitude ortomérica utilizando N e a altitude geométrica determinada via GNSS Outras definições relacionadas ao sistema de referência são dadas a seguir Latitude Geodésica ângulo formado entre a Normal passante pelo ponto e sua projeção equatorial Definido por convenção varia de 0 a 90 positiva para o hemisfério Norte e negativa para o hemisfério Sul Longitude Geodésica Ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico origem Greenwich e o meridiano passante pelo ponto Varia de 0 a 360 positivamente por leste ou de 0 a 180 positivo por leste e negativo por oeste de Greenwich 31 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 314 Coordenadas Geodésicas Azimute geodésico Ag definido como o ângulo que o meridiano passante pelo ponto forma com uma direção Geralmente é contado a partir do norte por leste Latitude astronômica a ou ângulo que a vertical do ponto forma com sua projeção equatorial Positiva no Hemisfério Norte por convenção Longitude Astronômica ângulo diedro formado pelo meridiano origem e pelo meridiano astronômico do ponto Azimute astronômico Aa de uma direção AB qualquer é o ângulo que o meridiano astronômico do ponto A forma com a direção Em Astronomia o azimute geralmente é contado do sul por oeste e em Geodésia Ag do norte por leste 34 Geometria básica elipsoidal O elipsoide é formado pela rotação de uma elipse ao redor do seu semieixo menor b paralelo ao eixo de rotação da Terra Desta forma criase uma superfície de revolução elipsoide de revolução que é simétrica com relação ao eixo polar e ao equador Figura 315 Figura 315 Elipsoide de revolução Fonte 32 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques No caso em que o semieixo maior a é igual ao semieixo menor b temse o elipsoide biaxial O elipsóide triaxial não é muito utilizado na prática devido às dificuldades nos cálculos Considerando os dois pontos focais F1 e F2 ligadas ao ponto P exemplo de uma linha fixa nos pontos focais e no ponto P a elipse é formada pelo caminho percorrido por p tal que a soma das distâncias é uma constante Figura 316 𝑃𝐹1 𝑃𝐹2 𝑘 constante 315 Figura 316 Elipse e seus elementos Fonte O sistema de coordenadas x e z possui origem no meio da linha F1F2 Se P está sobre o eixo x a constante k é igual a duas vezes a distancia de P até a origem que é o comprimento do semieixo maior a logo temse 𝑃𝐹1 𝑃𝐹2 2𝑎 316 Movendo o ponto P para o eixo Z e considerando E a distancia da origem até o ponto focal F1 ou F2 temos a excentricidade linear de uma elipse ou do elipsoide a qual é dada por 𝐸 𝑎2 𝑏2 317 A interseção de um plano meridiano com a superfície do elipsoide forma a curva meridiana cuja equação é dada por 33 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑥2 𝑎2 𝑧2 𝑏2 1 318 A superfície de um elipsoide de rotação é representada por 𝑥2𝑦2 𝑎2 𝑧2 𝑏2 1 319 O elipsoide é definido por dois parâmetros essenciais Forma Excentricidade linear E ou outros Tamanho ou escala semieixo maior a Outros parâmetros também são utilizados para definir o parâmetro forma tal como o achatamento polar f flattening que é a relação entre a diferença dos semieixos maior e menor a b 𝑓 𝑎𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎𝑓 320 A primeira excentricidade e é dada pela relação entre a excentricidade linear E e o semieixo maior 𝑒 𝐸 𝑎 321 Substituindo a 317 em 321 temse 𝑒 𝑎2𝑏2 𝑎 𝑜𝑢 𝑒2 𝑎2𝑏2 𝑎2 322 A segunda excentricidade e é dada pela relação entre a excentricidade linear E e o semieixo menor 𝑒 𝐸 𝑏 323 Substituindo 317 em 323 temse 𝑒 𝑎2𝑏2 𝑏 𝑜𝑢 𝑒2 𝑎2𝑏2 𝑏2 324 34 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Podemse utilizar outras relações entre os parâmetros 𝑒2 2𝑓 𝑓2 325 𝐸 𝑎𝑒 326 𝑒2 𝑒2 1𝑒2 327 𝑒2 𝑒2 1𝑒2 328 𝑒2 2𝑓𝑓2 1𝑓2 329 Como exercício ao leitor sugerese demostrar as quantidades apresentadas nas equações de número 325 a 329 Para o cálculo da excentricidade angular considere o ângulo entre os alinhamentos a e b como apresentado na Figura 317 Figura 317 Ângulo entre as linhas a e b Fonte Têmse as seguintes relações 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝐸 𝑎 330 Fazendo uso da equação 317 temse 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎2𝑏2 𝑎 𝑒 331 Considerando o caso do cosseno de 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑏 𝑎 332 como 𝑏 𝑎 𝑎𝑓 temse que 35 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑐𝑜𝑠 𝛼 1 𝑓 333 No caso da tangente de 𝑡𝑔 𝛼 𝐸 𝑏 334 Temse a seguinte equação 𝑡𝑔 𝛼 𝑎2𝑏2 𝑏 𝑒 335 Muitos diferentes elipsoides têm sido adotados ao longo dos anos para o sistema de referência na Geodésia Alguns dos mais importantes e seus parâmetros são dados na Tabela 31 Tabela 31 Elipsoides e parâmetros definidores Nome do Elipsoide Semieixo maior a m Inverso do Achatamento 1f Airy 1830 6377563396 299324964 Everest 1830 6377276345 3008017 Bessel 1841 6377397155 299152813 Clarke 1866 63782064 294978698 Clarke 1880 6378249145 293465 Modified Clarke 1880 6378249145 2934663 International 1924 6378388 297 Krassovsky 1940 6378245 2983 Mercury 1960 6378166 2983 Geodetic Reference System 1967 GRS67 6378160 2982471674 Modified Mercury 1968 6378150 2983 Australian National 6378160 29825 South American 1969 6378160 29825 Word Geodetic System 1966 WGS66 6378145 29825 Word Geodetic System 1972 WGS72 6378135 29826 Geodetic System 1980 GRS80 6378137 2982572221 World Geodetic System 1984 WGS84 6378137 2982572236 Exercícios Considerando o elipsoide GRS80 a6378137 m 1f2982572221 calcule a Semieixo menor b Primeira excentricidade c Segunda excentricidade d Excentricidade linear e Excentricidade angular 36 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 35 Seção Normal no Elipsoide e Raio de Curvatura A linha normal passante por um ponto P em uma superfície esférica sempre converge para o centro conforme representado na Figura 318 Então as normais passantes por dois pontos na esfera serão coplanares O mesmo não ocorre com as normais em dois pontos na superfície do elipsoide salvo nos casos de ambos os pontos possuírem a mesma latitude mesmo paralelo ou mesma longitude mesmo meridiano Figura 318 Linhas normais na esfera e no elipsoide No elipsoide a linha normal converge para o centro quando o ponto em que ela passa pertencente à linha do equador ou ao polo A normal ao elipsoide passante pelos pontos P1 e P2 determinam um plano interceptador da superfície do elipsoide e as seções normais definidas por P1aP2 e P2bP1 Figura 319 Figura 319 Seções normais recíprocas 37 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A seção normal P1aP2 contém a normal de P1 e é denominada direta em relação à P1 e recíproca em relação à P2 Da mesma forma a seção normal P2bP1 é dita direta em relação à P2 e recíproca em relação à P1 É possível verificar neste caso que comparece uma duplicidade entre os caminhos percorridos de P1 para P2 e viceversa Se fosse possível por exemplo tomar medidas com um teodolito entre os pontos P1 e P2 supondo que o teodolito esteja sobre a normal desvio da vertical iconhecido os pontos não ficariam determinados de maneira unívoca Por esta razão na Geodésia utilizase a linha geodésica ou simplesmente geodésica para realizar o transporte de coordenadas entre prontos na superfície do elipsoide O menor caminho entre dois pontos em uma superfície elipsoidal não é representado pela seção normal direta e nem pela recíproca mas sim pela linha geodésica a qual é uma curva reversa passante entre as duas seções normais Figura 320 Representação da linha geodésica Segundo Gemael 1988 a geodésica é uma linha jacente numa superfície e tal que em todos os seus pontos a sua normal principal coincide com a normal à superfície A geodésica representa o menor caminho entre dois pontos sobre a superfície considerada algo que no plano corresponde a um segmento de reta e na esfera a um arco de circunferência máxima Já no elipsoide de revolução a geodésica é uma curva reversa excetuandose apenas os casos de dois pontos sobre o mesmo meridiano ou sobre o equador quando então a geodésica é plana arco elítico e circular respectivamente Sobre um ponto P na superfície de um elipsoide pode se ter infinitos planos passantes que contém a normal neste ponto Qualquer plano que contém a normal e portanto seja perpendicular ao plano tangente ao elipsoide nesse ponto é chamado de plano normal como pode ser visto na Figura 321 38 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 321 Seções normais Fonte Zanetti M A Z Geodésia A curva resultante da interseção de um plano normal com a superfície elipsoidica chama se seção normal Em cada ponto existem duas seções normais principais que são mutuamente perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto são uma máxima e uma mínima Um ponto P sobre a superfície de um elipsoide de revolução possui as seções normais principais chamadas de Seção Normal Meridiana e Seção Normal Primeiro Vertical Seção Meridiana a qual passa pelo ponto considerado e os polos do elipsoide A seção meridiana de um ponto é uma elipse Figura 322 Representação do raio de curvatura M da seção meridiana Fonte O raio de curvatura da Seção Meridiana é representado por M e é dado por 𝑀 𝑎1𝑒2 1𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑32 336 39 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Seção Primeiro Vertical seção do ponto perpendicular à sua seção meridiana É gerada pelo plano Ω perpendicular à seção meridiana no ponto P Figura 323 Representação do raio de curvatura N Seção Primeiro Vertical ou grande Normal Fonte O raio de curvatura da Seção Primeiro Vertical é representado por N e pode ser calculado por 𝑁 𝑎 1𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑12 337 No equador o raio de curvatura da Seção Primeiro Vertical é igual ao semieixo maior do elipsoide 𝑁 𝑎 e nos polos temse 𝑁 𝑎2𝑏 O raio de curvatura de uma seção normal arbitrária de azimute az Raz pode ser calculado por 1 𝑅𝑎𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑧 𝑀 𝑠𝑒𝑛2𝑎𝑧 𝑁 338 Portanto 𝑅𝑎𝑧 é dado por 𝑅𝑎𝑧 𝑁 1𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑧 𝑐𝑜𝑠2𝜑 339 O raio médio de curvatura R é dado por 𝑅 𝑀𝑁 𝑏 1𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 340 40 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A latitude geodésica como definida na seção 33 é o ângulo formado entre a Normal passante pelo ponto e sua projeção equatorial Há ainda a latitude geocêntrica a qual é representada Figura 324 Figura 324 Latitude geodésica e latitude geocêntrica Fonte A relação entre a latitude geodésica e a geocêntrica por 𝑡𝑔Ψ 1 𝑒2𝑡𝑔𝜑 341 36 Transformação de coordenadas O Geodesista frequentemente lida com o processo de transformação de coordenadas a qual envolve geodésicas cartesianas para curvilíneas e vice versa seja envolvendo a transformação entre diferentes sistemas de referencia ou ainda envolvendo o parâmetro tempo com atualização de coordenadas 361 Curvilíneas para cartesianas Dadas as coordenadas curvilíneas 𝜑 e 𝜆 e altitude geométrica h ver Figura 314 de um ponto P acima do elipsoide a transformação para coordenadas cartesianas é dada por 41 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑋 𝑌 𝑍 𝑁 ℎ𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆 𝑁 ℎ𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆 𝑁1 𝑒2 ℎ𝑠𝑒𝑛𝜑 342 onde N é a grande normal Equação 337 e e é a primeira excentricidade Equação 321 362 Cartesianas para curvilíneas A transformação de curvilíneas para cartesianas consiste no problema inverso ao apresentado anteriormente ou seja dadas as coordenadas X Y e Z calcular 𝜑 𝜆 e h A solução neste caso é um pouco mais complicada uma vez que requer iterações A longitude pode ser facilmente calculada por 𝜆 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑌 𝑋 343 A altitude geométrica é calculada por ℎ 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑁 onde 𝑝 𝑋2 𝑌2 344 A equação para o cálculo da latitude é escrita da seguinte forma 𝜑 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑍 𝑝 1 1𝑒2 𝑁 𝑁ℎ 345 O leitor deve observar que a latitude aparece do lado esquerdo e direito da equação 345 apesar de ser a incógnita no caso Dessa forma a latitude pode ser calculada por um processo iterativo o qual é apresentado a seguir 42 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Cálculo iterativo da latitude 1 Calcular p a partir da equação 344 𝑝 𝑋2 𝑌2 2 Calcular a latitude aproximada 𝜑0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑍 𝑝 1 1 𝑒2 3 Calcular valor aproximado para Grande Normal N 𝑁0 𝑎 1 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑012 4 Calcular a altitude geométrica ℎ 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜑0 𝑁0 5 Calcular novo valor para a latitude 𝜑 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑍 𝑝 1 1 𝑒2 𝑁0 𝑁0 ℎ 6 Verificar se há necessidade de calcular 𝜑 novamente adotando limiar 𝜀 para o critério de parada Se 𝜑 𝜑0 𝜀 finalizar Caso contrário voltar ao passo 3 Uma vez finalizado o algoritmo da latitude calculase a altitude h final a partir da equação 345 A solução direta para o cálculo da latitude é dada por 𝜑 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑍𝑒2 𝑏 𝑠𝑒𝑛3𝑢 𝑝 𝑒2 𝑎 𝑐𝑜𝑠3𝑢 346 onde 𝑒 é a segunda excentricidade A componente u na equação 346 é calculada por 𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑧 𝑝 𝑎 𝑏 347 43 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Exercícios 1 Dadas as coordenadas 08 03 34697 34 57 54591 h 20180 m Converter para cartesianas usando os parâmetros do elipsoide GRS80 2 Implementar o algoritmo iterativo de conversão de coordenadas cartesianas para curvilíneas em uma linguagem de programação qualquer C Matlab etc e aplicar para as coordenadas cartesianas dadas a seguir X 5176588653 m Y 3618162163 m Z 887363920 m 3 Aplicar o método direto para converter as coordenadas do item anterior e comparar a latitude obtida no método direto com o método iterativo 44 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 4 SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA Em qualquer atividade de posicionamento geodésico é de fundamental importância a definição e a realizaçãomaterialização do Sistema Geodésico de Referência SGR seja o sistema terrestre ou o celeste A definição é caracterizada pela ideia conceitual do próprio sistema Reference System e envolve os seguintes aspectos Adoção de um elipsoide de revolução Parâmetros e propriedades do sistema Todos os modelos constantes numéricas e algoritmos são claramente especificados Geralmente o sistema é baseado no CTRS Conventional Terrestrial Reference System para o caso de sistemas geodésico terrestre e no CCRS Conventional Celestial Reference System para o caso de Sistema celeste A materialização Reference Frame do SGR envolve a determinação de coordenadas de pontos vértices que se relacionam a definição do sistema No caso do sistema terrestre a materialização é caracterizada por Coleta de observações a partir de pontos sobre a superfície terrestre rede geodésica ou próximos a ela devidamente monumentalizados Processamento e a análise bem como a divulgação dos resultados que para o caso do sistema terrestre e celeste consiste essencialmente em o Terrestre um catálogo de coordenadas associadas a uma época particular podendo vir acompanhadas das velocidades e precisão para o caso de sistemas modernos o Celeste lista de coordenadas de ascensão reta e declinação de objetos extragalácticos A definição de um SGR requer especificação de sua origem e sua orientação com relação à Terra A origem do sistema pode ser geocêntrica centro de massa da Terra ou não geocêntrica No último caso a materialização do sistema é vinculada a um vértice geodésico na superfície da Terra conhecido como ponto datum ou Ponto Fundamental PF e por esta razão o sistema é dito ser de origem topocêntrica Os sistemas de origem topocêntrica são denominados sistemas clássicos visto que foram muito empregados até meados de 1990 onde se aplicavam métodos de levantamento 45 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques clássicos envolve uso de teodolitos estações totais e outros da Geodésia para a materialização do sistema Frequentemente encontrase na literatura a denominação de ponto datum para referenciar o vértice origem da rede geodésica clássica Comparece também a denominação datum gedésico o qual segundo Jekeli 2002 é um conjunto de parâmetros e constantes que define um sistema de coordenadas incluindo sua origem sua orientação e escala de tal forma que este sistema se torne acessível para aplicações geodésicas JEKELI 2002 As redes geodésicas clássicas geralmente eram determinadas por métodos de triangulação trilateração e poligonação onde se estimavam as coordenadas latitude e longitude dando origem as chamadas redes geodésicas horizontais A componente altimétrica era determinada de maneira separada seja a partir do nivelamento trigonométrico ou mais rigorosamente pelo nivelamento geométrico GEMAEL 1987 Com o surgimento da era espacial e a utilização de técnicas modernas da Geodésia Espacial na determinação de coordenadas geodésicas tal como o GNSS surge a necessidade da aplicação de SGR com origem geocêntrica visto que os satélites orbitam ao redor do centro de massa da Terra e sua órbita é determinada com relação a um sistema geocêntrico A partir daí passase a utilizar o SGR geocêntrico cujas redes geodésicas são denominadas de redes tridimensionais visto que são determinadas coordenadas geodésicas cartesianas X Y e Z as quais são vinculadas a uma determinada época Ainda com o processo de determinação de velocidades das estações e consequente atualização de coordenadas seja para o presente futuro ou passado em relação à época de referência comparece o termo redes geodésicas tetradimensionais Cabe aqui apresentar o IERS International Earth Rotation and Reference Systems Service Serviço Internacional de Rotação da Terra e Sistemas de Referência o qual é um serviço especial responsável pela definição e materialização do CTRS e CCRS O IERS foi criado em 1987 e iniciou seu funcionamento em 1º de janeiro de 1988 Ele substituiu o IPMS International Polar Motion Service Serviço Internacional de Movimento do Pólo e a sessão de rotação da Terra do BIH Bureau International de LHeure Atualmente o IERS é responsável pelas seguintes funções entre outras A definição e a manutenção de um sistema de referência terrestre convencional baseado em técnicas de observações de alta precisão da Geodésia Espacial A definição e a manutenção de um sistema de referência celeste convencional baseado em fontes de rádio extragalácticas e a relação do mesmo com outros sistemas de referência celeste A determinação dos parâmetros de orientação da Terra EOP Earth Orientation Parameters que juntamente com um modelo convencional da precessão e nutação 46 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques servem para transformações entre sistema terrestre e celeste entre outras funcionalidades A organização de atividades operacionais para a observação e a análise de dados coletando e arquivando dados e resultados apropriados e disseminando os resultados para atendimento às necessidades dos usuários 41 Sistema Geodésico de Referência Clássico O SGR clássico também é conhecido como sistema geodésico de referência localtopocêntrico e é dividido em referencial horizontal e referencial altimétrico No sistema de referência clássico o elipsoide é escolhido de forma a garantir uma boa adaptação ao geoide na região Os parâmetros definidores do sistema normalmente estão vinculados a um ponto na superfície terrestre denominado ponto origem ou ponto datum O centro do elipsoide não coincide com o centro de massa da Terra geocentro devido ao requisito de boa adaptação na região de interesse Figura 41 Representação do SGR clássico em relação ao geocêntrico As metodologias de levantamentos utilizadas na materialização de um SGR clássico horizontal foram a triangulação a trilateração e a poligonação No caso do Brasil os métodos clássicos foram aplicados até meados de 1990 A partir de então se passou a utilizar o sistema GPS 47 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 42 Sistema Geodésico de Referência Moderno A definição do Sistema Geodésico de Referência SGR Moderno pressupõe a adoção de um elipsoide de revolução cuja origem coincide com o centro de massa da Terra e com eixo de revolução coincidente com o eixo de rotação da Terra A rede geodésica é estabelecida utilizandose métodos geodésicos por satélites e geralmente as coordenadas são amarradas vinculadas ao ITRF International Terrestrial Reference Frame Figura 42 Representação do SGR moderno A materialização do SGR moderno se dá mediante o estabelecimento de uma rede de estações geodésicas com coordenadas tridimensionais Estas coordenadas por sua vez são estabelecidas através de técnicas de posicionamento espacial de alta precisão tais como VLBI Very Long Baseline Interferometry SLR Satellite Laser Ranging GNSS Global Navigation Satellite System composto por GPS GLONASS Galileo e outros DORIS Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite Sendo assim as medidas estão relacionadas a um sistema cartesiano tridimensional com origem no geocentro Apesar do sistema de referência moderno ser um referencial tridimensional em muitos casos o referencial altimétrico é materializado separadamente 48 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 43 International Terrestrial Reference Frame ITRF ITRF é a realizaçãomaterialização do ITRS cuja responsabilidade é do IERS A materialização é efetuada pelo ajustamento de várias SSC Set of Station Coordinates Lista de Coordenadas das Estações as quais advêm do ajustamento de observações realizadas por diversas várias tecnologias de posicionamento espacial tais como GPS SLR LLR VLBI e DORIS Os diversos centros de processamento espalhados ao redor do mundo submetem seus resultados SSC ao IERS que posteriormente realiza o ajustamento final para obtenção das coordenadas do ITRF A determinação do geocentro origem do sistema é fornecida principalmente pela técnica SLR contudo GPS e DORIS também fornecem a origem As técnicas VLBI SLR e GPS proporcionam escala do sistema e a orientação fica definida pelos Parâmetros de Orientação da Terra Earth Orientation Parameters EOP Até o ano de 1987 o BIH Bureau International de lHeure era responsável pela realização do CTRS Conventional Terrestrial Reference System cuja denominação era BTS BIH Terrestrial System como por exemplo o BTS84 BTS85 BTS86 e BTS87 O IERS substituiu o BIH em 1988 e passou então a realizar o ITRS cuja realização inicial foi denominada ITRF0 Com o melhoramento das tecnologias espaciais e dos modelos matemáticos para correção dos efeitos sistemáticos envolvidos com as medidas novas materializações são realizadas visando melhorar a qualidade das coordenadas e outros parâmetros estimados Sucessivas realizações foram denominadas de ITRF88 ITRF89 ITRF90 ITRF94 ITRF96 ITRF97 ITRF2000 ITRF2005 e mais recentemente o ITRF2008 Atualmente encontrase em fase de preparação o ITRF2013 As estações pertencentes à rede ITRF geralmente possuem suas coordenadas geocêntricas 𝑋 X Y e Z e respectivas velocidades 𝑉𝑥 Vx Vy e Vz divulgadas e associadas a uma época de referência dentro do conceito de sistemas geodésicos cinemáticos ou seja com as coordenadas variando em função do tempo A posição de um ponto sobre a superfície terrestre em um dado instante t pode ser representada da seguinte forma 𝑋𝑡 𝑋0 𝑉0 𝑡 𝑡0 𝑋𝑖 𝑖 onde t0 é a época em que o sistema está associado e t é a época de atualização das coordenadas O termo 𝑋𝑖 são correções que podem envolver efeitos de carga de marés oceânicas Ocean Tide Loading marés de corpos terrestres Earth Body Tide carga da atmosfera Atmospheric Loading entre outros A transformação de coordenadas entre diferentes sistemas e atualização de coordenadas em função do tempo serão descritos na seção 6 Até o ITRF91 a evolução temporal era obtida com o modelo de velocidade de placas litosféricas denominado NUVEL Northen University Velocity Model e a partir daí passouse a estimar também as velocidades de cada estação sendo que as informações advindas do modelo de velocidades eram tomadas como informação adicional A partir do ITRF92 todas as realizações do ITRS seguiram o mesmo padrão em relação às velocidades das estações 49 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Na realização do ITRF93 houve uma mudança relacionada à orientação da rede visto que até então adotavase a orientação em relação a uma rede NNR No Net Rotation relativa ao ano de 1988 e passouse a adotar a evolução temporal e orientação consistentes com os parâmetros de orientação da Terra EOP determinados pelo IERS No ITRF94 a orientação da rede foi injuncionada ao ITRF92 na época 1988 e na realização do ITRF6 e ITRF97 a orientação origem escala e evolução temporal seguiram os padrões do ITRF94 O ITRF95 não foi realizado e após a determinação do ITRF97 surgiu o ITRF2000 que difere das demais em função do não comparecimento de injunções externas Neste caso o IERS realiza um processo de remoção das injunções de cada solução advinda dos diversos centros e aplica injunções mínimas O ITRF2000 possui as seguintes características Origem Média ponderada de 5 soluções SLR Escala 5 soluções SLR e 3 VLBI Orientação Introduzida via injunção interna BX0 o onde B é uma matriz relacionada aos parâmetros de orientação e X é o vetor de diferenças de coordenadas no ITRF97 e velocidades no NNRNUVEL1ª com relação aos estimados no ITRF2000 A materialização do ITRF2000 envolveu 50 estações espalhadas pela superfície do planeta onde 50 das estações no ITRF2000 possuem coordenadas estimadas com precisão melhor que 1 cm e velocidades estimadas com precisão da ordem de 1 mmano Figura 43 Estações que fizeram parte da materialização do ITRF2000 Fonte 50 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A realização do ITRF2005 seguiu padrões diferentes das versões anteriores visto que foi realizada com base em dados de séries temporais de coordenadas das estações e Parâmetros de Orientação da Terra Os dados são disponibilizados em amostras semanais pelos diversos centros do IAG que conta com serviços internacionais de técnicas por satélites International GNSS ServiceIGS International Laser Ranging Service ILRS International DORIS Service IDS International VLBI Service IVS As séries temporais utilizadas de cada técnica da Geodésia Espacial são resumidas na Tabela 41 com indicação do intervalo de tempo e do tipo de injunção aplicada Tabela 41 Séries temporais de técnicas espaciais utilizadas na realização do ITRF2005 Fonte httpitrfensgignfrITRFsolutions2005inputdataphp Identificação da série temporal Período envolvido Tipo de injunçãosolução IVS 19800 20060 Equações normais ILRS 19929 20059 Injunção fraca Loose Variânciacovariância IGS 19960 20060 Injunção mínima Variânciacovariância IDSIGNJPL 1993020060 Injunção fraca Loose Variânciacovariância IDSLCA 1993020058 Injunção fraca Loose Variânciacovariância A distribuição das estações utilizadas na realização do ITRF2005 pode ser vista na Figura 44 assim como o número de técnicas utilizadas em cada estação Figura 44 Estações que fizeram parte da materialização do ITRF2000 Fonte httpitrfensgignfrITRFsolutions2005inputdataphp 51 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques O campo de velocidades estimadas do ITRF2005 pode ser visto na Figura 45 Figura 45 Campo de velocidades do ITRF 2005 Fonte O datum do ITRF2005 possui as seguintes características Origem Definida de tal forma que os parâmetros de translação e taxa de variação translation rates entre ITRF2005 e as séries temporais do ILRS SLR são nulas na época 20000 Escala Definida de tal forma que os fatores de escala e taxa de variação scale rate entre ITRF2005 e as séries temporais do IVS VLBI são nulas na época 20000 Orientação Parâmetros de orientação e taxas de variação entre ITRF2005 e ITRF2000 são nulas na época 20000 O ITRF2008 é a mais realização atual do ITRS e seguiu o procedimento já utilizado na materialização do ITRF2005 utilizando como dados de entrada séries temporais de coordenadas de estações e Parâmetros de Orientação da Terra EOPs fornecidos pelos centros de análise das quatro técnicas geodésicas espaciais GPS VLBI SLR e DORIS Baseado na solução reprocessada das quatro técnicas esperase que o ITRF2008 seja uma solução melhorada do ITRF2005 O período e o tipo de injunção das séries temporais de cada técnica utilizada no ITRF2008 são apresentados na Tabela 42 52 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Tabela 42 temporais de técnicas espaciais utilizadas na realização do ITRF2008 Fonte httpitrfensgignfrITRFsolutions2008inputdataphp Identificação da série temporal Período envolvido Tipo de injunçãosolução IVS 19800 20090 Equação Normal ILRS 19830 20090 Fraca variânciacovariância desvio padrão a priori das coordenadas e EOP da ordem de 1 m IGS 19970 20095 Mínimainterna variânciacovariância IDS 19930 20090 Mínima variânciacovariância A contribuição individual do IVS International VLBI Service ao ITRF2008 consiste das equações normais livre de datum com o fornecimento de 4539 sessões diárias de dados VLBI incluindo os anos de 19797 até 2009 com dados de 115 diferentes estações VLBI A realização Consiste na combinação de séries individuais sessionwise de equações normais fornecidas pelos centros de analises do IVS O datum do ITRF2008 possui as seguintes características Origem Definida de tal forma que os parâmetros de translação e taxa de variação translation rates entre ITRF2008 e as séries temporais do ILRS SLR são nulas na época 20050 Escala Definida de tal forma que os fatores de escala e taxa de variação scale rate entre ITRF2008 e a média da escalataxa do VLBI e SLR são nulas Orientação Parâmetros de orientação e taxas de variação entre ITRF2008 e ITRF2005 são nulas na época 20050 O campo de velocidades estimadas do ITRF2008 pode ser visto na Figura 45 Figura 46 Campo de velocidades do ITRF2008 Fonte 53 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Informações sobre a estratégia de processamento do ITRF2008 podem ser encontradas em httpitrfensgignfrITRFsolutions2008computationstrategyphp acesso em 2015 As coordenadas e velocidades em uma determinada época das estações pertencentes à rede ITRF podem ser obtidas via página do ITRF que conta com uma ferramenta iterativa em auxílio aos usuários Figura 47 Ferramenta iterativa para obtenção de coordenadas e velocidades do ITRF Fonte 44 Sistema associado ao GPS WGS84 O sistema de referência associado ao sistema GPS é o WGS 84 World Geodetic System Sistema Geodésico Mundial de 1984 que teve a primeira denominação de WGS 60 seguida pelo WGS 72 e finalmente o WGS 84 Quando se utilizam efemérides transmitidas pelos satélites GPS o sistema associado é o WGS84 A origem do WGS 84 é o centro de massa da Terra com os eixos cartesianos X Y e Z dextrogiro idênticos ao do CTRS e orientação dada pelo BIH época 19840 O elipsoide de referência é o também denominado WGS84 que é muito similar ao GRS 80 Global Reference System 1980 com pequenas diferenças no achatamento e o campo de gravidade associado é o EGM Earth Gravitational Model O sistema de referencia original do WGS84 foi estabelecido em 1987 através de um conjunto de coordenadas estimadas utilizando observações do Navy Navigation Satellite System NNSS ou TRANSIT observações Doppler Esta versão original foi denominada WGS 84TRF O 54 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques objetivo principal no esforço inicial era alinhar tanto quanto possível a origem a escala e a orientação do WGS 84 com o BIH Terrestrial System BTS na época 19840 O conjunto de coordenadas estimadas no entanto possuía incerteza da ordem de 12 metros com relação às do BTS NIMA 2000 Na primeira realização do WGS 84 foram utilizadas 1591 estações determinadas pelo NIMA National Imagery and Mapping Agency usando observações Doppler do sistema TRANSIT atingindo uma precisão da ordem de 1 m a 2 m para as estações MONICO 2000 Novas realizações foram feitas usando técnicas de posicionamento por GPS com o objetivo de melhorar a precisão das coordenadas das estações e foram denominadas WGS 84 G730 WGS 84 G873 e WGS 84 G1150 onde a letra G representa GPS e o número representa a semana GPS em que foi realizado o refinamento O WGS 84 G730 mostrouse de acordo com o ITRF92 a um nível de aproximadamente 10 cm após o ajuste de 7 parâmetros de transformação O WGS84 G873 se mostrou consistente com o ITRF na ordem de 5 cm e a realização G1150 na ordem de 1 cm Assim após muitos refinamentos o WGS84 coincidiu com o ITRF ao nível de precisão de 1 cm o que para propósitos práticos em atividades de mapeamento a dispersão do diaadia sobre os parâmetros indicam que as diferenças são estatisticamente insignificantes MONICO 2008 Os principais parâmetros do WGS 84 são mostrados na Tabela 43 SEEBER 2003 Tabela 43 Principais parâmetros do WGS 84 Parâmetro Nome WGS 84 Semieixo maior A 6378137 m Achatamento F 1298257223563 Velocidade angular 7292115 x 105 rads Constante gravitacional GM 3986004418 Km3s2 Segundo harmônico zonal C20 48416685 x 106 O mais recente refinamento do WGS84 foi denominado WGS 84 G1674 e foi implementada pelo NGA em 8 de fevereiro de 2012 semana GPS de 1674 Neste caso o WGS84 foi materializado como uma densificação do ITRF 2008 na época de referencia 20050 Todas as estações de referencia do WGS84 adotam as velocidades do ITRF2008 e a precisão estimada das coordenadas das estações do WGS84 G1674 é melhor que um centímetro Outras informações sobre o WGS 84 podem ser obtidas por exemplo em httpwwwterrasurvcomWGS8420G1674pdf httpwwwionorgmeetingsabstractcfmmeetingID38pid465tAs3 e httpwwwwsmrarmymilpdfG1674Upgrade01Jul2012pdf Fazem parte ainda do WGS84 as alturas geoidais as quais podem ser obtidas com base nos coeficientes harmônicos esféricos derivados do EGM No inicio o WGS84 possuía o EGM96 associado e atualmente está disponível o EGM2008 55 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 45 Introdução ao Sistema Geodésico Brasileiro O Sistema Geodésico Brasileiro SGB é de responsabilidade do IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística e é composto pelas redes altimétrica planimétrica e gravimétrica O SGB pode ser dividido em duas fases distintas uma anterior e outra posterior ao advento da tecnologia de observação de satélites artificiais com fins de posicionamento O referencial horizontal clássico do SGB é definido sob a condição de paralelismo entre seu sistema de coordenadas cartesianas e o do CTRS Conventional Terrestrial Reference System A figura geométrica da Terra é definida pelo elipsoide South American 1969 SAD69 cujo semieixo menor do elipsóide é paralelo ao eixo de rotação da Terra e o plano do meridiano de origem é paralelo ao plano do meridiano de Greenwich como definido pelo BIH O referencial altimétrico é materializado pela superfície equipotencial que coincide com o nível médio do mar o qual foi definido pelas observações maregráficas tomadas na baía de imbituba no litoral de Santa Catarina no período de 1949 a 1975 Em 1939 ocorreram os primeiros levantamentos geodésicos no Brasil pelo então Conselho Nacional de Geografia CNG com o objetivo de determinar coordenadas astronômicas em cidades e vilas para a atualização da Carta do Brasil ao Milionésimo de 1922 No ano de 1944 foi implantada a primeira base geodésica nas proximidades de Goiânia e partir daí iniciavase o estabelecimento sistemático do Sistema Geodésico Brasileiro SGB em sua componente planimétrica a qual envolvia a estimativa de latitudes e longitudes a partir dos métodos clássicos da Geodésia Concomitantemente na década de 70 iniciaramse as operações de rastreio de satélites artificiais do sistema Navy Navigation Satellite System NNSS da Marinha Americana também conhecido por sistema TRANSIT Tal metodologia foi inicialmente aplicada no estabelecimento de estações geodésicas na Amazônia onde os métodos clássicos eram impraticáveis devido às dificuldades impostas pelas características da região Historicamente no Brasil já foram oficialmente adotados quatro sistemas de referenciais geodésicos Córrego Alegre na década de 50 o qual tinha como Ponto Fundamental PF o vértice Córrego Alegre e o elipsoide de referência era o Internacional de Hayford de 1924 Astro Datum Chuá o qual foi estabelecido pelo IBGE em caráter provisório como um ensaio para a implantação do SAD69 O sistema geodésico SAD69 que foi oficialmente adotado no Brasil em 1979 Possui o elipsoide de Referência Internacional de 1967 GRS67 Em 1996 foi concluído pelo IBGE o reajustamento da rede geodésica brasileira utilizandose das novas técnicas de posicionamento por satélites GPS culminando no SAD6996 56 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Os métodos clássicos de triangulação e poligonação geodésica foram utilizados até 1990 Em 1991 o IBGE adquiriu quatro receptores GPS e começou a empregar exclusivamente medidas GPS na densificação dos marcos planimétricos do SGB Esta tecnologia é utilizada até os dias atuais e o Sistema Geodésico em vigência no país atualmente é o SIRGAS2000 Sistema de Referencia Geocêntrico para as Américas Informações detalhadas sobre o SGB podem ser obtidas na página do IBGE httpwwwibgegovbrhomegeocienciasgeodesiadefaultsgbintshtm Acesso em 2014 46 Introdução ao SIRGAS O projeto SIRGAS foi criado na Conferência Internacional para Definição de um Referencial Geocêntrico para América do Sul realizada em outubro de 1993 em Assunção no Paraguai As instituições envolvidas na ocasião foram a Associação Internacional de Geodésia IAG Instituto PanAmericano de Geografia e História IPGH e o National Imagery and Mapping Agency NIMA O evento tratou da definição de um sistema geocêntrico de referência para a América do Sul Foi adotado o elipsoide do GRS80 e parâmetros do ITRS cuja materialização foi o ITRF realização no ano de 1993 O estabelecimento e manutenção de uma rede de referência foi uma tarefa atribuída ao Grupo de Trabalho I GT I Sistema de Referência enquanto o estabelecimento e manutenção de um datum geocêntrico foi a tarefa atribuída ao Grupo de Trabalho II GT II Datum Geocêntrico A adoção do SIRGAS surge principalmente em função da grande demanda dos trabalhos realizados com o GPS em substituição aos levantamentos clássicos da Geodésia As coordenadas estimadas a partir em medidas coletadas com o GPS são dadas num sistema geodésico de referência com origem geocêntrica sendo o WGS84 para o caso do uso de efemérides operacionais ou um dos ITRFs para o uso de efemérides precisas do IGS International GNSS Service A princípio o acrônimo SIRGAS se referiu a Sistema de Referência Geocêntrico para a América do Sul mas posteriormente no ano de 2001 foi modificado para Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas em função da extensão do sistema de referencia SIRGAS2000 e da recomendação da Organização das Nações Unidas ONU durante a Sétima conferência Cartográfica das Américas que ocorreu em Nova Iorque no ano de 2001 Decidiuse então que o SIRGAS seria adotado como sistema de referência para todos os países do continente Americano A partir de fevereiro de 2005 ficou estabelecido através do IBGE via Resolução do Presidente RPR 12005 Altera a caracterização do Sistema Geodésico Brasileiro como novo sistema de referência para o SGB Sistema Geodésico Brasileiro e para o SCN Sistema Cartográfico Nacional o SIRGAS 2000 de maneira que o SIRGAS2000 podia ser utilizado em concomitância com o sistema SAD69 ou com o sistema Córrego Alegre A convivência entre esses sistemas tem por 57 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques finalidade oferecer à sociedade brasileira um período de transição antes da adoção do SIRGAS2000 em caráter exclusivo IBGE 2005 O período de transição estabelecido foi de dez anos de forma que a partir de Fevereiro de 2015 passou a valer oficialmente no Brasil o SIRGAS2000 como sistema de referencia a ser adotado em trabalhos geodésicos e cartográficos As coordenadas das estações foram determinadas por uma campanha GPS realizada no período de 26 de maio a 4 de junho de 1995 e referidas ao ITRF 94 época 19954 IBGE 1997 De 10 a 19 de maio de 2000 foi realizada a campanha SIRGAS2000 na qual foram ocupadas 184 estações situadas em todo o continente americano IBGE 2000 Segundo a resolução do presidente de 2005 o SIRGAS2000 possui as seguintes características Sistema Geodésico de Referência ITRS International Terrestrial Reference System Figura geométrica para a Terra Elipsoide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 Geodetic Reference System 1980 GRS80 o Semieixo maior a 6378137 m o Achatamento f 1298257222101 Origem Centro de massa da Terra Orientação Pólos e meridiano de referência consistentes em 0005 com as direções definidas pelo BIH Bureau International de lHeure em 19840 Estações de Referência 21 estações da rede continental SIRGAS2000 estabelecidas no Brasil Época de Referência das coordenadas 20004 Materialização Estabelecida por intermédio de todas as estações que compõem a Rede Geodésica Brasileira implantadas a partir das estações de referência Em levantamentos geodésicos voltados para aplicações científicas e ou trabalhos que requeiram altas precisões devese utilizar o campo de velocidades disponibilizado para a América do Sul com o objetivo de atualizar as coordenadas de referência disponibilizadas pelo SIRGAS2000 As velocidades das estações refletem os deslocamentos das placas tectônicas e permitem levar as coordenadas da época 2004 para outras épocas A transformação entre SIRGAS e outros sistemas do SGB é apresentada na seção 6 58 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 47 Sistema Geodésico Local Nos levantamentos de Geodésia adotase o referencial geodésico enquanto que nos levantamentos topográficos utilizase um Sistema Topográfico Local STL cujo objetivo é facilitar as operações de ordem prática Para o caso da Topografia entendese que o STL deve estar vinculado à linha vertical Assim este plano também é denominado de Sistema Astronômico Local visto que a Astronomia também faz uso de equipamentos como o teodolito e estações totais que fornecem medidas vinculadas à vertical do lugar Quando o sistema Local está vinculado com a linha Normal ao elipsoide temse o Sistema Geodésico Local SGL o qual possui as seguintes definições Origem sobre a superfície do elipsoide ou sobre um ponto na superfície Eixo U tem a direção da normal ao elipsoide passante pelo ponto origem Eixo N na direção do norte geodésico Eixo E torna o sistema dextrogiro Figura 48 Sistema Geodésico Local SGL Em resumo quando o sistema local está vinculado com a Vertical temse o Sistema Topográfico Local ou Astronômico Local e quando está vinculado com a Normal temse o Sistema Geodésico Local Estes sistemas proporcionam suporte para levantamentos tridimensionais locais normalmente utilizados em Topografia onde se fazem medidas de ângulos ou direções e distâncias utilizando por exemplo teodolitos e distanciômetros ou a combinação dessas técnicas O ângulo zenital e o azimute podem ser representados da seguinte forma no SGL 59 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 49 Azimute a ângulo zenital no SGL A utilização do SGL na integração de levantamentos topográficos com levantamentos via GNSS requer o conhecimento do desvio da vertical para compatibilizar as medidas visto que levantamentos com a estação total se referem à vertical do lugar enquanto que nos levantamentos com o GNSS as coordenadas são estimadas em relação a um sistema geodésico A transformação das diferenças de coordenadas dadas no SGL N E 𝑒 U para o sistema terrestre global pode ser obtida a partir da seguinte expressão TORGE 2001 SEEBER 2003 U E N A U E N S 90 R 180 R Z Y X A 2 2 3 41 com 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S2 o qual permite converter de um sistema levogiro para um dextrogiro A forma explicita de A é dada por TORGE 2001 sen 0 cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen S 90 R R 180 A 2 2 3 42 A transformação inversa à apresentada na equação 41 é obtida utilizando a inversa da matriz A Neste caso deseja converter as diferenças de coordenadas geocêntricas cartesianas X Y e Z vinculadas ao sistema terrestre global para o sistema geodésico local Uma vez que a matriz de rotação é ortogonal inversa igual a transposta têmse TORGE 2001 60 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Z Y X sen cos sen cos cos 0 cos sen cos sen sen cos sen Z Y X A U E N R 1 43 Se forem conhecidas a MVC Matriz de Variância e Covariância das coordenadas cartesianas é possível obter as precisões no SGL através de propagação de covariâncias As variâncias das coordenadas podem ser obtidas por exemplo através do ajustamento de observações GNSS Então se as coordenadas estimadas Xest Yest e Zest forem comparadas com coordenadas de referência Xr Yr e Zr propagamse as variâncias obtendo a princípio a MVC relacionada com as diferenças de coordenadas cartesianas Zest Zr Yest Yr Xest Xr Z Y X 44 A MVC não correlacionada dos valores observados para a propagação no caso a MVC das coordenadas pode ser escrita como 2 Zest 2 Yest 2 Xest 2 Zr 2 Yr 2 Xr Lb 0 0 45 Aplicando a propagação de covariâncias temse T Lb X G G 46 com Lb F G e F representada pela equação 44 A matriz G pode ser escrita como Zest Yest Xest Zr Yr Xr 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 G 47 61 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Fazendo uso da equação 47 e aplicando na equação 46 obtémse 2 Zest 2 Zr 2 Yest 2 Yr 2 Xest 2 Xr 2 Z 2 Y 2 X X 0 0 0 0 48 A partir da MVC das diferenças de coordenadas cartesianas obtida na equação 48 aplica se a propagação para obter a MVC no SGL Neste caso F é representado pela equação 43 onde a matriz R é a inversa de A Realizando procedimento de propagação de MVC obtémse 2 U NU 2 N EU EN 2 E X T N U E simétrica R R 49 48 Datum Geodésico e as equações de Laplace O datum geodésico descreve a orientação de um sistema geodésico com relação ao sistema geocêntrico global Hoje em dia as redes são estabelecidas utilizandose de métodos geodésicos por satélites e vinculadas amarradas ao International Terrestrial Reference Frame ITRF sendo portanto de origem geocêntrica TORGE 2001 No geral um sistema não geocêntrico com coordenadas 𝑋 𝑌 e 𝑍 é transformado para o sistema global com coordenadas 𝑋 𝑌 e 𝑍 através da transformação de similaridade no espaço a qual envolve três translações três rotações e um fator de escala como pode ser visto na Equação 410 e Figura 410 𝑋 𝑋0 1 𝑚𝑅𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧𝑋 410 em que 𝑋 𝑋 𝑌 𝑍𝑇 e 𝑋 𝑋 𝑌 𝑍𝑇 são os vetores posição dos dois sistemas e 𝑋0 𝑋0 𝑌0 𝑍0𝑇 contêm as coordenadas origem do sistema 𝑋 com relação ao geocentro O 62 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 410 Transformação entre sistema não geocêntrico e o sistema global Assumese que a escala do sistema 𝑋 difere muito pouco do sistema global de referência 𝑋 e que os eixos dos dois sistemas são aproximadamente paralelos Consequentemente 𝑚 é um fator de escala pequeno e a matriz de rotação 𝑅 é composta pelos três pequenos ângulos Eulerianos 𝑅𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 1 𝜀𝑧 𝜀𝑦 𝜀𝑧 1 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑥 1 411 Nesse caso são necessários no mínimo três pontos de coordenadas conhecidas em ambos os sistemas para que se possam determinar os sete parâmetros de transformação As redes geodésicas clássicas foram orientadas pelas coordenadas elipsóidicas de um ponto inicial Ponto Fundamental PF ou Ponto Datum e pela condição de paralelismo dos eixos com relação ao sistema geocêntrico A relação da rede de controle horizontal com o geoide pode ser feita com base no conhecimento das coordenadas geodésicas e astronômicas no Ponto Fundamental datum como mostra a Figura 411 e na Equação 412 63 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 411 Sistemas de coordenadas geodésicas e astronômicas 𝑥 𝑅𝜉 𝜂 𝜓𝑥 412 com a matriz de rotação dada por 𝑅𝜉 𝜂 𝜓 1 𝜓 𝜉 𝜓 1 𝜂 𝜉 𝜂 1 413 Os ângulos Eulerianos são as componentes do desvio da vertical sendo 𝜉 ksi a componente meridiana 𝜂 eta a componente primeirovertical e 𝜓 psi o ângulo no plano horizontal A Figura 412 mostra as componentes do desvio da vertical Figura 412 Componentes do desvio da vertical 64 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 0 Considerando um observador na Terra com latitude geodésica e astronômica 𝜙 e a projeção da Vertical e Normal na esfera celeste verificase que o ângulo desvio da vertical i exagerado por motivos de visualização fica compreendido entre os pontos ZN como mostrado na Figura 412 A componente meridiana 𝜉 é formada pelo ângulo compreendido entre ZA 𝜉 𝑍𝐴 e a componente primeiro vertical 𝜂 fica compreendido entre NA 𝜂 𝑁𝐴 A partir da Figura 412 comparecem as latitudes longitudes e azimutes geodésicos e astronômicos cujas definições foram dadas na seção 33 Considerando a condição de não paralelismo entre os sistemas 𝑋 e 𝑋 Equação 410 e com base na relação entre o sistema de controle horizontal e o geoide Equação 412 demonstrase que TORGE 2001 𝜉 𝜙 𝜑 sen 𝜆 𝜀𝑥 cos 𝜆 𝜀𝑦 414 𝜂 Λ 𝜆 cos 𝜑 sen 𝜑 cos𝜆 𝜀𝑥 sen 𝜆 𝜀𝑦 cos 𝜑 𝜀𝑧 415 𝜓 Λ 𝜆 sen 𝜑 cos 𝜑 cos𝜆 𝜀𝑥 sen 𝜆 𝜀𝑦 sen 𝜑 𝜀𝑧 416 Obtêmse também as equações de azimute e de ângulo zenital Equações 417 e 418 dados no sistema astronômico ver seção 47 e no sistema elipsoidal 𝐴𝑎 𝐴𝑔 Λ 𝜆 sen 𝜑 𝜙 𝜑 sen 𝐴𝑔 cos 𝜑 Λ 𝜆 cos 𝐴𝑔 cotg 𝜁 cos 𝜑 cos 𝜆 𝜀𝑥 sen 𝜆 𝜀𝑦 sen 𝜑 𝜀𝑧 417 𝑍 𝜁 𝜙 𝜑 cos 𝐴𝑔 cos 𝜑 Λ 𝜆 sen 𝐴𝑔 65 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques cos 𝐴𝑔 sen 𝜆 sen 𝐴𝑔 sen 𝜑 cos 𝜆𝜀𝑥 cos 𝐴𝑔 cos 𝜆 sen 𝐴𝑔 sen 𝜑 sen 𝜆 𝜀𝑦 cos𝜑 sen 𝐴𝑔 𝜀𝑧 418 em que Z e 𝜁 Zeta são os ângulos zenital astronômico e geodésico respectivamente No caso em que se considera a condição de paralelismo entre os eixos temse 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑧 0 419 Logo 𝜉 𝜙 𝜑 420 𝜂 Λ 𝜆 cos 𝜑 421 𝜓 Λ 𝜆 sen 𝜑 422 Inserindo as Equações 420 421 e 422 nas Equações 417 e 418 temse 𝐴𝑎 𝐴𝑔 𝜂 tan 𝜑 𝜉 sen 𝐴𝑔 𝜂 cos 𝐴𝑔 cotg 𝜁 423 e 𝑧 𝜁 𝜉 cos 𝐴𝑔 𝜂 sen 𝐴𝑔 424 Fica a cargo do leitor demonstrar que 𝜓 𝜂 tan 𝜑 A Equação 423 é conhecida como equação de orientação de Laplace O cálculo do desvio da vertical 𝑖 é realizado através de suas componentes 𝜉 e 𝜂 ou seja da componente meridiana e da componente primeiro vertical Existem vários métodos para a determinação do desvio da vertical sendo o mais conhecido o método astrogeodésico o qual será apresentado na próxima seção 49 Método Astrogeodésico As componentes do desvio da vertical podem ser determinadas através de coordenadas astronômicas e geodésicas do ponto Considerando que GEMAEL 1999 𝜂 Λ 𝜆 cos 𝜑 e 425 𝜂 A𝑎 𝐴𝑔 cotg 𝜑 426 Igualando 425 e 426 temse Λ 𝜆 cos𝜑 A𝑎 𝐴𝑔 cotg 𝜑 66 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝐴𝑔 A𝑎 Λ 𝜆 sen 𝜑 427 A Equação 427 é conhecida como equação simplificada de Laplace a qual permite transformar um azimute astronômico em azimute geodésico O desvio da vertical pode ser calculado de forma simplificada a partir de 𝑖2 𝜂2 𝜉2 428 Outra forma de calcular o desvio da vertical é partir da determinação de um lado do triângulo geodésico formado pelas componentes do desvio da vertical Figura 412 Os vértices geodésicos em que são efetuadas as determinações astronômicas de azimute e longitude recebem o nome de pontos de Laplace A equação de Laplace era utilizada nos vértices de uma rede geodésica de triangulação para controlar a sua orientação com o objetivo de efetuar a compensação astronômicogeodésica Os cálculos geodésicos para obtenção das coordenadas dos vértices são efetuados sobre o elipsoide Porém no método clássico da Geodésia as observações são executadas com equipamentos terrestres teodolito ou estação total centrado e nivelado sobre a estação cujo alinhamento vertical se refere à direção da vertical astronômica e não à normal ao elipsoide 67 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 5 REDES GEODÉSICAS 51 Tipos de redes geodésicas As redes geodésicas consistem de pontos de controle estações monumentados que proporcionam a realização materialização ou densificação de Sistemas Geodésicos de Referência As redes geodésicas proporcionam o suporte e controle geodésico para diversas aplicações tais como Trabalhos de Geodésia Geração de Cartas e Mapas SIG Sistema de Informação Geográfica Fotogrametria e Sensoriamento Remoto Projetos de engenharia Hidrografia Monitoramento de deformações Georreferenciamento de imóveis etc As redes geodésicas podem ser classificadas em TORGE 2001 Redes Globais Internacionais permitem a realização de sistemas de referência definidos por convenções internacionais Exemplo ITRFs IGS Redes Regionais formam a base fundamental para levantamentos geodésicos nacionais continentais ou intercontinentais Exemplo RBMC SIRGAS Redes Locais são tipicamente estabelecidas para projetos de engenharia e investigações científicas Ex Redes Estaduais e municipais Temos ainda os conceitos de redes passivas ativas e temporais Redes Passivas É necessária a ocupação do vértice para levantamentos geodésicos Ex Redes estaduais e municipais Redes Ativas As estações são monitoradas continuamente estações GNSS como por exemplo a RBMC Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo Não há necessidade de ocupação da estação ou seja as dados GNSS coletados são fornecidos via internet Redes temporais São monitoradas continuamente Fornecem soluções semanais e anuais Séries temporais de coordenadas e de velocidades Ex Rede SIRGASCON As redes geodésicas podem ser de três tipos Redes de Controle Horizontal Planimétricas utilizamse os métodos clássicos de levantamentos poligonação triangulação e trilateração 68 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Redes de Controle Vertical Altimétricas são materializadas através de métodos de nivelamentos trigonométrico ou geométrico os quais podem ser associados com medidas gravimétricas Redes Tridimensionais utilizamse métodos baseados em Geodésia Espacial ex GNSS A altitude obtida em redes tridimensionais é a geométrica com relação ao elipsoide e para a maioria das aplicações necessitase da altitude ortométrica com relação ao geoide Necessitase então do conhecimento da ondulação geoidal N ou da realização de levantamentos altimétricos por outros métodos As próximas seções tratam da determinação das redes de controle horizontal envolvendo os métodos clássicos de determinação de coordenadas geodésicas 52 Redes de controle horizontal As redes de controle horizontal são materializadasrealizadas por exemplo por pontos trigonométricos através do método de triangulação Ao conjunto de pontos que constituem a rede geodésica dáse o nome genérico de triangulação e aos pontos em si de vértices geodésicos Diferentes ordens de triangulação podem ser distinguidas primeira ordem ou primária separação de 30 a 60 km entre as estações segunda ordem aproximadamente 10 km chegando até a quarta ou quinta ordem separação abaixo de 1 ou 2 km entre as estações A descrição dos métodos clássicos de triangulação trilateração e poligonação é apresentada a seguir 521 Triangulação Uma rede de triangulação geodésica consiste num conjunto de vértices 𝐴 𝐵 𝐶 materializados no terreno e formando uma série de quadriláteros como mostra a Figura 51 Figura 51 Rede de triangulação geodésica Na Figura 51 temse que 𝐴𝐵 é a base geodésica medida 𝐴 𝐵 𝐶 são os vértices materializados e 1 2 3 são os ângulos medidos 69 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Na triangulação todos os ângulos do triângulo são observados com um teodolito Alguns lados dos triângulos são observados para se ter o controle de escala A medição angular segundo a Resolução PR nº 22 de 1983 do IBGE deve ser feita pelo método das direções com 16 pontarias direta PD e 16 pontarias inversa PI por série O espaçamento entre os vértices deve ser entre 15 e 25 km caso geral ou no máximo 25 km em regiões mais desenvolvidas A projeção de uma rede de triangulação no elipsoide requer o conhecimento de alguns parâmetros iniciais Translação coordenadas de um ponto ponto datum Rotação azimute de uma direção Escala comprimento medido de um lado Desta forma quatro injunções iniciais são necessárias ou seja duas coordenadas latitude e longitude do ponto datum um azimute e uma direção O comprimento medido de no mínimo um dos lados do triângulo fornece a escala As observações astronômicas providenciam a orientação da rede onde a determinação de um azimute astronômico é necessária para a orientação horizontal de acordo com a equação de Laplace Equação 423 Em redes de grandes extensões são estabelecidos os pontos de Laplace para controle dos erros propagados na rede com relação à escala e à orientação Nas triangulações era comum a utilização de torres geodésicas para a coleta de observações As torres eram em geral constituídas de treliças metálicas em forma de seção triangular de fácil montagem No Brasil usavase a torre Bilby que foi desenvolvida por Jasper S Bilby in 1926 e chegava a alcançar até 38 metros Figura 52 Torre de Bilby Fonte httpcelebrating200yearsnoaagovmagazinebilbywelcomehtml 70 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A utilização de torres tinha como objetivo permitir a visada do teodolitoestação total entre os vértices da rede geodésica que podia atingir dezenas de quilômetros Verificase facilmente que o transporte dos equipamentos a montagem das estruturas demandava tempo e as vezes grandes equipes Além disto as coordenadas estimadas estavam sujeitas a diversos erros de ordem sistemática seja em função das grandes distâncias ou de fenômenos atmosféricos envolvidos com o processo de medidas Com o surgimento do GNSS a determinação da rede se torna mais rápida e fácil visto que os receptores da rede não requerem intervisibilidade não há demanda de grandes equipes e o transporte é fácil e rápido Além disto a estimativa das coordenadas a partir da Geodésia Espacial é mais acurada que as aquelas advindas dos métodos clássicos em função das deficiências supracitadas em relação a estes métodos 522 Trilateração Processo de levantamento semelhante à triangulação sendo que em lugar da formação dos triângulos a partir da medida dos ângulos o levantamento é efetuado a partir da medida dos lados A vantagem é que há uma maior rapidez na execução das medições A Figura 53 mostra o esquema de uma rede de trilateração Figura 53 Rede de trilateração geodésica São realizadas medidas de distâncias 𝑑1 𝑑2 entre os vértices geodésicos com um distanciômetro por exemplo 71 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 523 Poligonação Na poligonação medemse os ângulos e as distâncias entre os vértices adjacentes que formam as linhas poligonais ou polígonos A medida dos ângulos é semelhante à da triangulação e a medida de distâncias à da trilateração Um exemplo de uma poligonal é mostrada na Figura 54 Figura 54 Poligonação geodésica A poligonação geodésica se assemelha à poligonação realizada na Topografia com a grande diferença que no caso da Topografia o transporte é realizado no plano topográfico e no caso da Geodésia além da aplicação de ajustamento das observações é preciso levar em consideração as reduções para o elipsoide e rigor nas correções atmosféricas afetando as medidas de ângulos e distâncias o que torna o problema mais complexo do ponto de vista matemático 524 Ponto datum ou ponto origem Na maioria das triangulações geodésicas o ponto datum origem caracterizavase pela seguinte imposição arbitrária 𝜉0 𝜂0 𝑁0 0 51 Considerando as Equações 420 e 421 verificase que Componente meridiana 𝜉 𝜉 𝜙 𝜑 se 𝜉 0 𝜑 𝜙 52 ou seja se a latitude geodésica é igual a astronômica 72 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Componente primeiro vertical 𝜂 𝜂 Λ 𝜆 cos𝜑 se 𝜂 0 𝜆 Λ 53 Se 𝜆 Λ significa que na Equação 423 temos 𝐴𝑔 A𝑎 54 Quando 𝜉0 𝜂0 0 significa que a vertical coincide com a normal e se 𝑁0 0 significa que a ondulação geoidal 𝑁 é nula ou seja o geoide é coincidente com o elipsoide Considerando as quatro injunções iniciais da triangulação 2 coordenadas 1 azimute e 1 direção três delas ficam solucionadas com esta imposição arbitrária Equação 51 As medições astronômicas no ponto datum proporcionarão duas coordenadas 𝜑 e 𝜆 ver equação 52 e 53 e um azimute 𝐴𝑔 ver Equação 54 Um conjunto de cadeias de triangulação pode ser utilizado na materialização de um Sistema Geodésico Nacional SGN como foi o caso das redes clássicas no Brasil A Tabela 51 apresenta exemplos de sistemas clássicos adotados no Brasil e seus parâmetros de orientação no ponto datum Tabela 51 Exemplo de Sistema Geodésico de Referência Brasileiro Córrego Alegre SAD69 Figura geométrica Elipsoide de Hayford 1924 𝑎637838800 𝑚 e 𝑓12970 Elipsoide South American 1969 difere do elipsoide de referência 1967 UGGI67 no que se refere o achatamento 𝑎637816000 𝑚 e 𝑓129825 Ponto datum Vértice Córrego Alegre 𝜙 𝜑 19 50 1491 Λ 𝜆 48 57 4198 Vértice Chuá Coordenadas astronômicas 𝜙 19 45 4134 Λ 48 06 0780 𝐴𝑎 271 30 0542 Coordenadas geodésicas 𝜑 19 45 416527 𝜆 48 06 040639 𝐴𝑔 271 30 0405 Orientação elipsoidegeoide no ponto datum 𝜉 𝜂 0 𝑁 0 𝑚 𝜉 031 𝜂 352 𝑁 0 𝑚 73 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Para o sistema geodésico nacional não há problemas ou inconvenientes na adoção de 𝜉0 𝜂0 0 Porém do ponto de vista internacional as coordenadas geodésicas de dois países por exemplo se tornam incompatíveis Exercício 1 Dadas as coordenadas astronômicas e as respectivas geodésicas conforme a seguir calcule os valores de 𝜉 𝜂 e 𝐴𝑔 Coordenadas astronômicas 𝜙 19 45 1434 Λ 48 06 0780 Coordenadas geodésicas 𝜑 19 45 416527 𝜆 48 06 040639 𝐴𝑔 271 30 0405 525 Considerações finais sobre redes de controle horizontal Nos métodos de triangulação trilateração e poligonação as medidasobservações são realizadas utilizando teodolito ou estação total As medidas são realizadas na superfície terrestre necessitando posteriormente serem reduzidas ao elipsoide Os métodos de triangulação foram aplicados no Brasil no século passado A Figura 55 mostra o cartograma das estações de poligonação e triangulação no Brasil 74 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 55 Rede planimétrica clássica Fonte IBGE Os cálculos são efetuados considerando os requisitos geodésicos e aplicamse as equações para o transporte de coordenas no elipsoide seção 9 Observações ângulos e distâncias reduções ao elipsoide Os ângulos medidos não são suficientes para projetarem os vértices sobre a superfície do elipsoide ou seja somente ângulos não determinam o triângulo indeterminação Para resolver tal indeterminação são necessárias quatro injunções iniciais sendo que primeiramente admitese que um dos vértices é o ponto origem datum da triangulação 75 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 2 coordenadas geodésicas 𝜑 e 𝜆 conhecidas impede a translação 1 azimute geodésico 𝐴𝑔de uma direção assegura a orientação da triangulação 1 comprimento inicial de uma base base geodésica assegura que o triângulo seja projetado no elipsoide com escala O transporte de coordenadas cálculo de coordenadas geodésicas de um ponto é realizado a partir da solução do problema direto como será apresentado na seção 9 Realizada a redução das medidas ao elipsoide posteriormente pode ser feito o ajustamento da rede geodésica através por exemplo do método de equações de condição ou do método paramétrico GEMAEL 1999 76 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 6 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA Em trabalhos de Geodésia Cartografia e áreas correlatas é de fundamental importância a transformação entre diferentes Sistemas Geodésicos de Referencia seja sistema de origem topocêntrico ou geocêntrico Nos dias atuais comparece também a atualização de coordenadas para uma determinada época em função da utilização de sistemas geodésicos cinemáticos Dessa forma a transformação entre sistemas pode envolver também o processo de a atualização de coordenadas em função do tempo podendo utilizarse a Transformação Generalizada de Helmert cuja formulação é bem descrita em Soler 1998 61 Transformação entre Sistema Clássico e Moderno Considerando que o SGR em sua forma clássica possui elipsoide adotado com seus eixos paralelos ao CTRS Conventional Terrestrial Reference System em geral comparecem somente parâmetros de translação na transformação para o sistema global de origem geocêntrica Como exemplo temse a transformação de SAD69 para SIRGAS ou para o WGS84 cuja formulação pode ser representada de forma geral por 𝑋 𝑌 𝑍 𝑁𝑜𝑣𝑜 𝑋 𝑌 𝑍 𝑂𝑟𝑖𝑔𝑒𝑚 Tx T𝑦 T𝑧 61 onde a coordenadas cartesianas indicada por Origem se referem ao Sistema Geodésico de origem o qual está sendo transformado para o sistema Novo aplicando os parâmetros de translação Tx Ty e Tz Os seguintes parâmetros são utilizados para transformar entre os diferentes sistemas que comparecem no SGB Sistema Geodésico Brasileiro Córrego Alegre para SAD69 Tx 13870 m Ty 16440 m Tz 3440 m WGS84 Realização Doppler para SAD69 Tx 6687m Ty 437m Tz 3852 m 77 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques SIRGAS2000 para SAD69 TX6735m Ty388m Tz3822 m Note que os parâmetros de transformação entre WGS84 para SAD69 diferem pouco dos parâmetros de SIRGAS para SAD69 o que não deveria acontecer em função do SIRGAS ser um sistema compatível com o WGS84 parâmetros de translação entre WGS84 e SIRGAS são nulos Este fato ocorre por que os parâmetros de translação entre WGS84 e SAD69 foram estimados pelo IBGE utilizando coordenadas referentes ao WGS84 em sua realização DopplerTransit Estes parâmetros são válidos para transformar coordenadas estimadas no posicionamento GPS no período de 1987 a 1994 O WGS84 passou por diversas materializações G730 G873 e G1150 sendo a mais recente conhecida por realização G1674 no ano de 2012 cujas coordenadas são referenciadas ao ITRF2008 O usuário deve notar que a transformação entre os sistemas neste caso pode envolver também a transformação de coordenadas geodésicas cartesiana em curvilínea e vice versa 62 Atualização de coordenadas A materialização de SGR modernos envolve a época de referência em que as coordenadas foram estimadas Cada vértice da rede geodésica possui suas coordenadas divulgadas juntamente com as velocidades e época de referência Como exemplo temse o SIRGAS2000 cuja época de materialização foi no ano de 20004 mais especificamente referente ao período de 10 a 19 de maio do ano 2000 Então dado o vetor de coordenadas 𝑋 X Y e Z e o vetor velocidades 𝑉𝑥 Vx Vy e Vz na época de referência t0 a atualização para a época de referência t é realizada da seguinte forma 𝑋𝑡 𝑋0 𝑉𝑥 𝑡 𝑡0 62 Para o caso do SIRGAS2000 o modelo de velocidades associado é o VEMOS2009 Velocity Model for SIRGAS 2009 cuja grade de velocidades foi calculada com base em coordenadas da realização SIRGAS95 e SIRGAS2000 de velocidades advindas de estações da rede SIRGASCON e de diferentes projetos geodinâmicos desenvolvidos na região da América do Sul DREWES HEIDBACH 2009 O modelo VEMOS possui velocidades distribuídas em uma grade grid horizontal de 1º por 1º em latitude e longitude e incerteza estimada das velocidades de 15 mmano 78 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques É importante destacar que projeto como a rede SIRGASCON Contínuo estima continuamente soluções semanais as coordenadas e velocidades das estações Contudo para os casos em que não se conhecem as velocidades da estação recomendase a utilização do programa interpolador de velocidades VEMOS 63 Transformação Generalizada de Helmert Em relação às diferentes materializações do ITRF comparecem parâmetros de translação rotação e escala os quais podem ser aplicados na Transformação Generalizada de Helmert Neste caso pretendese transformar 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 na época t0 para 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑧𝑧𝑡 na época t conhecendose a velocidade 𝑉𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 e os parâmetros de transformação 14 parâmetros os quais também podem estar referenciados a uma época tk A Transformação Generalizada de Helmert para a coordenada X de um ponto qualquer em dois sistemas arbitrários de referencia com épocas distintas é dada por SOLER MARSHALL 2002 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑧𝑧𝑡 𝑇𝑋 1 𝐷 1 𝑅𝑥 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑉𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑡 𝑡0 𝑇𝑋 1 𝐷 𝑅𝑥 𝐷 1 𝑅𝑥 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑉𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑡𝑘 𝑡0 𝑡 𝑡𝑘 63 em que t0 época de referência das coordenadas e velocidades no sistema origem 𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦 tk a época de referência dos parâmetros de translação rotação e escala e suas taxas de variação t época de atualização do sistema para o qual se está transformando 𝐼𝑇𝑅𝐹𝑧𝑧 Tx parâmetro de translação 𝑅𝑥 parâmetro de rotação D fator diferencial de escala expresso em ppb 109 na época t0 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 coordenada ITRFyy do ponto na época t0 𝑉𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 velocidade do ponto ITRFyy na época t0 𝑡 𝑡0 intervalo de tempo expresso em anos e sua fração 𝑇𝑥 𝑅𝑥 𝑒 𝐷 representam as taxas de variação da translação rotação e fator diferencial respectivamente Quando o tempo relacionado à estimativa dos parâmetros tk é igual t0 tkt0 a equação 63 se reduz à fórmula apresentada por SOLER 1998 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑧𝑧𝑡 𝑇𝑥 10 𝐷 10 𝑅𝑥 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑉𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑡 𝑡0 𝑇𝑥 1 𝐷 𝑅𝑥 𝐷 𝑅𝑥 10 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦𝑡0 𝑡 𝑡0 64 79 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Para a coordenada Y e Z o procedimento é o mesmo que o aplicado para a coordenada X Os parâmetros aplicados na transformação de ITRF2008 para ITRFs anteriores são apresentados na Tabela 102 Tabela 61 Parâmetros de transformação de ITRF2008 para ITRFs anteriores Os parâmetros para transformação envolvendo outras realizações do ITRF podem ser encontrados em httpitrfensgignfr acesso em 2015 Se as coordenadas da estação não variam com o tempo a transformação de Helmert apresentada em 67 7 parâmetros é dada por 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑧𝑧𝑡 𝑇𝑥 10 𝐷 10 𝑅𝑥 𝑋𝐼𝑇𝑅𝐹𝑦𝑦 65 Para este caso podemse também aplicar as Equações Simplificadas de Molodenski que serão descritas na próxima seção Estas equações são recomendadas para a utilização na transformação entre sistemas clássicos O WGS84 e ITRF são atualmente compatíveis porém existem parâmetros de transformação entre WGS84 e ITRF para a primeira realização do WGS84 realização DOPPLER Transit cuja acurácia na determinação foi aproximadamente 1 m Os parâmetros são apresentados a seguir 80 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Tabela 62 Transformação entre WGS84 E ITRF90 Fonte httpitrfensgignfrpubitrfWGS84TXT As novas realizações WGS84G730 G873 e G1150 são coincidentes com o ITRF no nível de 10 cm e não existem parâmetros de transformação 64 Equações diferenciais simplificadas de Molodenski A transformação entre diferentes referenciais também pode ser realizada com base nas Equações Simplificadas de Molodenski Porém esta transformação nã leva em consideração a variação temporal entres as coordenadas sendo muito útil para a transformação entre sistemas clássicos como por exemplo entre CA e SAD69 A transformação pode ser realizada com base nas seguintes equações Δ𝜑 1 𝑀1 𝑎1Δ𝑓 𝑓1Δ𝑎𝑠𝑒𝑛2𝜑1 𝑇𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜆1 𝑇𝑦 𝑠𝑒𝑛𝜑1 𝑠𝑒𝑛𝜆1 𝑇𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑1 66 Δ𝜆 1 𝑁1𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑇𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜆1 𝑇𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜆1 67 Δ𝑁 𝑎1Δ𝑓 𝑓1Δ𝑎𝑠𝑒𝑛2𝜑1 Δ𝑎 𝑇𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑐𝑜𝑠𝜆1 𝑇𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜑1 𝑠𝑒𝑛𝜆1 𝑇𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜑1 68 A transformação das coordenadas geodésicas de um sistema sistema 1 para o outro sistema 2 é realizada por 𝜑2 𝜑1 Δ𝜑 69 𝜆2 𝜆1 Δ𝜆 610 Nas expressões acima temse a1 e a2 semieixo maio do elipsoide no sistema S1 e S2 f1 e f2 achatamento do elipsoide nos sistemas S1 e S2 Δ𝑁 Diferença de ondulação geoidal N2 N1 Δ𝑎 𝑎2 𝑎1 Δ𝑓 𝑓2 𝑓1 81 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑁1 Raio de Curvatura da seção 1º vertical Grande Normal 𝑀1 Raio de curvatura da seção Meridiana 𝜑1 e 𝜑2 Latitude geodésica nos sistemas S1 e S2 𝜆1 e 𝜆2 Longitude geodésica nos sistemas S1 e S2 Os parâmetros de transformação entre o SAD 69 e o SIRGAS2000 são os listados a seguir SAD 69 para SIRGAS2000 a1 6378160 m f1 129825 a2 6378137 m f2 1298257222101 X 6735 m Y 388 m Z 3822 m SIRGAS2000 para SAD 69 a1 6378137 m f1 1298257222101 a2 6378160 m f2 129825 X 6735 m Y 388 m Z 3822 m Sendo que a1 e f1 são os parâmetros geométricos do elipsoide do sistema de origem a2 e f2 são os parâmetros geométricos do elipsoide do sistema de destino e X Y e Z são os parâmetros de translação entre os sistemas 82 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Exercícios 1 Dadas as coordenadas da estação RECF em SAD69 transformar para SIRGAS2000 usando os métodos descritos na seção 11 e também na seção 14 Apresentar relatório com os passos das transformações e resultados Latitude 08 03 019813 S Longitude 34 57 043018 W Altitude geométrica 4874 m Resposta esperada Latitude 08 03 034697 S Longitude 34 57 054591 W 2 Dadas as coordenadas da estação BRFT em SIRGAS 2000 e respectivas velocidades na época de referencia 20004 X 4985393539 m Y 3954993411 m Z 428426773 m Vx 00043 mano Vy 00124 mano Vz 00083 mano Pedese Atualize para na data do seu aniversário deste ano utilizando o procedimento descrito nesta seção 3 Com base nos dados fornecidos no exercício anterior pedese Transformar para ITRF2008 na data do seu aniversário deste ano utilizando a transformação de Helmert Obs Recordar que a realização SIRGAS2000 advém de uma densificação do ITRF2000 83 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 7 MEDIÇÃO ELETRÔNICA DE DISTÂNCIA Uma distância estabelece a escala de uma rede geodésica e as relações geométricas entre as estações TORGE 2001 As medidas podem ser realizadas a partir de taqueometria que envolve observações às miras graduadas e com o desenvolvimento de instrumentos eletrônicos para medir distâncias surgem então os Medidores Eletrônicos de Distância MED As medições eletrônicas de distância se iniciaram no final da década de 1940 Utilizavamse a luz visível 04 até 08 µm e o infravermelho próximo até 1 µm ou micro ondas 1 até 10 cm Microondas são dificilmente absorvidas pela atmosfera e permite realizar medida de grandes distâncias 50 km ou mais Contudo os efeitos de umidade na refração da onda são grandes o que pode deteriorar os resultados 71 Histórico O primeiro MED foi desenvolvido pelo físico sueco Erick Bergstrand em 1948 e foi denominado geodímetro geodetic distance meter TORGE 2001 Resultou das tentativas de melhorar os métodos para medir a velocidade da luz Ele transmite laser com modulação de frequência entre 15 e 50 MHz Esse equipamento foi capaz de medir distâncias de até 60 km em dias claros com acurácia de 1015 mm 2x106 s Em 1956 o telurômetro foi construído pelo sul africano T L Wadley TORGE 2001 Este medidor de distância era baseado em microondas A estação emitia uma onda portadora 8 mm até 10 cm modulada modulação de frequências entre 75 e 150 MHz a qual era retransmitida pelo transponder ativo receptor e transmissor Com esse equipamento foram obtidas medidas de distâncias de até 70 km ou mais com acurácia de 1015 mm 3x106 s Os medidores geodímetro e telurômetro eram caros e não portáteis pesados para operações de campo o que requeria longos procedimentos de medição Além disto as reduções matemáticas para obter distâncias consumiam muito tempo Medidores de distância eletroóptico de longa distância e microondas foram extensivamente utilizados entre os anos de 1950 e 1970 Conforme as pesquisas avançaram e as dificuldades foram sendo superadas surge dos Medidores Eletrônico de Distância MEDs A combinação do MED com teodolito digital e microprocessadores resultou no instrumento denominado estação total a partir da qual se pode observar simultaneamente e automaticamente ângulos horizontais e verticais e distâncias O tempo de viagem do sinal é utilizado para a medição de distância e a medição do tempo pode ser realizada pelos métodos de pulso ou de comparação de fase 84 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 72 Método de pulso O transmissor emite um pulso que é refletido no ponto e observado no receptor Um medidor eletrônico de tempo mede o tempo 𝑡 que o sinal leva para percorrer a distância medida 𝑠 s c 2 t 71 em que 𝑐 é a velocidade da luz no vácuo e assumese que os efeitos de refração tenham sido levados em consideração Verificase a partir da Equação 61 que para medir uma distância com acurácia de 5 mm o tempo deve ser observado com erro menor que 3 ns nano segundos A demanda por medição de tempo com alta acurácia pode ser suprida pelo uso de um oscilador de alta frequência por exemplo relógio atômico Tal processo é utilizado por exemplo no SLR Satellite Laser Ranging TORGE 2001 73 Método de comparação de fase No método de comparação de fase uma onda portadora de alta frequência é enviada pelo transmissor e modulada continuamente modulação de amplitude ou de frequência com modulação de frequência de aproximadamente 10 e 100 MHz e comprimento de onda 𝜆 𝑐 𝑓 da ordem do metro 1 a 10 m A diferença de fase encontrada entre o sinal transmitido e o recebido representa a parte residual da distância Figura 71 Figura 71 Método de comparação de fase Fonte Torge 2001 O tempo de viagem 𝑡 e a diferença de fase 𝜑 são relacionados da seguinte forma 85 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑡 𝑁𝜑2𝜋 𝑓 72 em que 𝑁 é o número completo de períodos e 𝑓 é a frequência de modulação que é dada por 𝑓 𝑣 𝜆 𝑐 𝑛𝜆 73 sendo 𝑛 o índice de refratividade do meio Substituindo as Equações 72 e 73 em 71 e assumindo que a refração foi corrigida separadamente temse demonstração a cargo do leitor 𝑠 𝜆 2 𝑁 𝛥𝜑 2𝜋 74 A parte residual do comprimento de onda é dada por 𝛥𝜆 𝛥𝜑 2𝜋 𝜆 𝛥𝜑 𝛥𝜆2𝜋 𝜆 75 Substituindo a 75 em 74 temse 𝑠 𝑁 𝜆 2 𝛥𝜆 2 76 Atualmente com os detectores digitais e a realização de medidas com base em comparação de fase o processo de medida é totalmente automatizado com resolução da ordem de 103 até 101 o que corresponde a uma precisão milimétrica O valor de 𝑁 na Equação 76 é determinado automaticamente aplicando diferentes modulações de frequência gerada pela divisão de frequência Assim 𝑁 e 𝜆 são obtidos eletronicamente pelos MEDs Uma unidade de medidor de distância consiste basicamente de um oscilador e um transmissor de um receptor de um modulador e de um microprocessador Os elementos básicos de um MED podem ser vistos na Figura 72 86 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 72 Elementos básicos de um MED Como qualquer outro equipamento de medidas os MED estão sujeitos a diversas fontes de erros seja eles de caráter sistemático grosseiro ou aleatório A próxima seção apresenta as correções a serem aplicadas nas medidas realizadas pelo MED bem como introdução ao processo de calibração destes equipamentos 74 Correções a serem aplicadas nas medidas 741 Processo de calibração O processo de calibração de um MED inclui o controle da frequência modulada e a determinação de constantes instrumentais conhecidas como erro zero e erro cíclico A descrição de cada um destes erros é dada por Fator de escala kf Variação na frequência da onda Erro zero K0 Representa a não coincidência entre o centro mecânico e o eletrônico do MED Erro Cíclico representa o erro em amplitude e fase Para o caso de MED geralmente a frequência de modulação é altamente estável e conhecida com precisão Contudo precisa ser averiguada periodicamente Se a frequência f não 87 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques corresponde ao valor de projeto ou seja à frequência padrão f0 estabelecida em condições padrões determinase então a sua correção kf para a distância si 𝑘𝑓 𝑠𝑖𝑓0𝑓 𝑓0 77 A correção K0 erro zero considera a diferença entre o centro eletrônico e o mecânico do instrumento além da separação entre os centros de reflexão e físico do refletor A determinação de K0 pode ser feita com base em medidas numa base de calibração composta por dois ou mais vértices geodésicos conforme ilustrado a seguir Figura 73 Esquema da base de calibração A base de calibração com os vértices separados por distâncias curtas até aproximadamente 1 km deve ter as distâncias entre os vértices conhecidas com boa precisão o que geralmente é obtido via interferometria laser ou medidor de curta distância distanciômetro Considere por exemplo as distâncias medidas entre os vértices P1 e P2 s1 e P2 e P3 s2 além da distância entre P1 e P3 s4 ver Figura 72 Desta forma o valor de K0 poderia ser obtido a partir de 𝑘0 𝑠4 𝑠1 𝑠2 78 Ao considerar as medidas S1 S4 e S podese escrever o modelo funcional do ajustamento e aplicar o Método dos Mínimos Quadrados MMQ para estimar o valor de K0 Com base nas correções apresentadas nesta seção uma distância medida si será corrigida a partir de 𝑑 𝑠𝑖 𝑘0 𝑘𝑓 79 em que d representa a distância corrigida dos parâmetros de calibração 88 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 742 Correção do índice e do coeficiente de refração O sinal modulado é enviado e retransmitidorefletido para a estação de origem e analisado A distância no instrumento si entre dois pontos pode ser expressa por 2𝑠𝑖 𝑚𝜆 𝜇𝜆 710 em que 𝜆 é o comprimento de onda modulada 𝑚 é o número inteiro de comprimento de onda e 𝜇 é o número fracionário do comprimento de onda O instrumento obtém 𝑚 e 𝜇 eletronicamente O comprimento de onda 𝜆 depende da velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas V e da frequência de modulação f 𝜆 𝑉 𝑐 711 No vácuo 𝑉 é igual à velocidade da luz 𝑐 299792458 ms ver IERS conventions 2010 Na atmosfera 𝑉 é sempre menor que 𝑐 𝑣 𝑐 𝑛 712 em que 𝑛 é o índice de refração do ar O valor de 𝑛 pode ser determinado com base em medidas climatológicas temperatura pressão e umidade do ar Os parâmetros climatológicos geralmente são medidos em cada vértice da rede geodésica e uma média aritmética é introduzida com a redução de refração As correções de refração tem que ser aplicadas para as distâncias observadas antes do processamento e podem ser divididas em três partes A distância 𝑠0 lida no instrumento é baseada no valor padrão do índice de refração 𝑛0 calculado a partir dos valores padrão de temperatura e pressão do ar Se um valor 𝑛 mais realístico é disponível a parir de medidas meteorológicas locais podese escrever a seguinte relação TORGE 2001 𝑠𝑛 𝑠0𝑛0 𝑠 𝑠0𝑛0 𝑛 713 A Equação 713 proporciona a primeira correção de velocidade a qual é dada por 𝑘𝑛 𝑠𝑛0 𝑛 714 89 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Considerando uma média geral das condições diárias com céu claro e para alturas entre 40 e 100 km acima do solo temse que o raio de curvatura da luz 𝑟 difere do raio da Terra 𝑅 𝑟 8𝑅 sendo R o raio de curvatura de uma seção Normal A luz passa através das camadas atmosféricas com um índice de refratividade muito maior do que o valor médio estimado 𝑛 TORGE 2001 O coeficiente de refração geralmente é adotado como 𝑘 013 Este coeficiente pode ser calculado pela razão entre o raio da Terra e o raio de curvatura 𝑘 𝑅 𝑟 𝑅 𝑑𝑛 𝑑ℎ 715 Em que h é a altura Assim temse que 𝑑𝑛 𝑑ℎ 𝑘 𝑅 716 Considerando k013 e R6371 km temse 𝑑𝑛 𝑑ℎ 𝑘 𝑅 013 6371 20 106 𝑘𝑚 717 que pode ser usado para calcular a segunda correção de velocidade 𝑘Δ𝑛 𝑘 𝑘2 𝑠3 12𝑅3 718 Esta correção é menor que 1 mm para distâncias acima até 15 km e geralmente pode ser negligenciada TORGE 2001 p 205 Aplicando as correções da seção 741 e as apresentadas nesta seção a distância medida si será corrigida por 𝑑 𝑠𝑖 𝑘0 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑘𝑓 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑘𝑛 1ª 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑘Δ𝑛 2ª 𝑐𝑜𝑟𝑟 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 719 sendo d a distância corrigida dos efeitos atmosféricos e da calibração instrumental 90 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 8 REDUÇÕES PARA O ELIPSOIDE O transporte de coordenadas geodésicas é realizado sobre o elipsoide o que requer a redução das medidas distância e ângulos na superfície física da Terra para a superfície geométrica A redução de distância se caracteriza como um problema totalmente geométrico visto que não depende do campo gravitacional da Terra As reduções de distância e azimute são apresentadas nas seções a seguir 81 Redução de distância Para cálculos tridimensional é necessário reduzir a distância na corda 𝑠𝑐 para o elipsoide A Figura 81 apresenta as seções do elipsoide envolvidas no processo de redução da distância espacial ao elipsoide KRAKIWSKY THOMSON 1974 VANICEK e KRAKIWSKY 1982 TORGE 2001 Figura 81 Redução da distância espacial ao elipsoide Adaptado de Torge 2001 Considere a distância d corrigida dos efeitos atmosféricos ver seção 741 e 742 e assumindo um arco esférico com raio 𝑟 temse 𝑠𝑐 2𝑟sen 𝑑 2𝑟 81 ou após uma expansão em série 𝑠 2𝑟 𝑑 2𝑟 1 6 𝑑 2𝑟 3 82 91 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Fazendo uso do coeficiente de refração 𝑘 𝑅𝑟 ver equação 415 e inserindo na equação 72 obtémse a redução de curvatura 𝑘𝑟 𝑘2 𝑑3 24𝑅2 83 sendo k o coeficiente de refração k013 d a distância medida sob efeitos da atmosfera terrestre e R é o raio de curvatura de uma seção Normal com azimute alfa a qual é dada por 1 𝑅𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑀 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑁 84 onde M é o raio de curvatura da seção Meridiana e N é o raio de curvatura da seção Normal A redução 𝑘𝑟 em 53 é menor que 01 mm para uma distância de 15 km e pode ser negligenciada TORGE 2001 A distância d observada é reduzida à corda sc com a aplicação de 𝑘𝑟 e a adição da correção de primeira velocidade Equação 714 𝑠 𝑠0 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑛0 𝑛 2𝑘𝑘2 24𝑅2 𝑑3 85 A partir da Figura 81 verificase facilmente aplicando a lei dos cossenos para que a distância na corda pode ser representada por 𝑠𝑐2 𝑅 ℎ12 𝑅 ℎ22 2𝑅 ℎ1𝑅 ℎ2𝑐𝑜𝑠Ψ 86 A expressão para so é dada por 𝑠0 2𝑅𝑠𝑒𝑛 Ψ 2 87 A seção normal pode ser obtida por 𝑆𝑛 𝑅Ψ 88 Isolando na equação 87 e inserindo na equação 88 obtémse a fórmula de redução para a seção normal 92 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝑆𝑛 2𝑅𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑠0 2𝑅 89 onde 𝑠0 é calculado por 𝑠0 𝑠𝑐2ℎ2ℎ12 1ℎ1 𝑅 1ℎ2 𝑅 810 Após expansão em série diferente contribuições ao processo de redução podem ser observadas 𝑆𝑛 𝑠𝑐 ℎ1ℎ2 2𝑅 𝑠𝑐 ℎ2ℎ12 2𝑠𝑐 𝑠0 3 24𝑅2 811 Na equação 811 o primeiro termo corresponde a redução a partir da altura média para o elipsoide e pode alcançar a magnitude do metro em regiões montanhosas e em longas distâncias O segundo termo leva a inclinação da distância em consideração e atinge valores abaixo do metro para regiões de planície podendo atingir grandes valores para regiões montanhosas O último termo fornece a transição da corda para a seção normal e alcança a ordem de centímetros a grandes distâncias TORGE 2001 A redução da seção normal para a geodésica 𝑆𝑔 é dada por Δ𝑆𝑔 𝑆𝑛 𝑒4 360𝑎4 𝑐𝑜𝑠4𝜑 𝑠𝑒𝑛22𝐴𝑔𝑆𝑛5 812 A magnitude desta redução atinge valores d ordem do metro para distância acima de 1000 km e pode ser negligenciada para o caso do cálculo de redes geodésicas clássicas TORGE 2001 82 Redução de azimute Os azimutes observados na rede geodésica por equipamentos clássicos se referem à linha da vertical Azimute astronômico e devem ser reduzidos para o elipsoide A redução de azimute astronômico Aa é composta de três partes Equação de Laplace Redução para a seção normal Redução para a geodésica 93 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A equação de Laplace leva em consideração os efeitos do desvio da vertical ver equação 423 da seção 48 𝐴𝑔 𝐴𝑎 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜂 tan 𝜑 𝜉 sen 𝐴𝑔 𝜂 cos 𝐴𝑔 cotg 𝜁 813 onde 𝐴𝑔 azimute geodésico 𝐴𝑎 azimute astronômico 𝜂 primeiro vertical 𝜉 componente meridiana 𝜁 zenital astronômico 𝜑 latitude geodésica Se um ponto P2 não está localizado no elipsoide mas na altura h2 como exemplificado na Figura 82 outra redução deve ser aplicada Figura 82 Redução normal de azimute Adaptado de Torge 2001 O plano vertical formado pela normal elipsoidal nos pontos P1 e P2 em geral não contém a normal elipsoidal em P2 Assim a seção normal não contém o ponto Q2 mas passa por Q2 o que requer uma redução pelo ângulo Q2P1Q2 Figura 82 94 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 𝐴𝑛 𝐴ℎ2 𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒2 2𝑏 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑒𝑛2𝐴𝑔ℎ2 814 em que e é a primeira excentricidade e b o semieixo menor do elipsoide Como exemplo para a latitude geodésica 𝜑 0º e azimute geodésico Ag45º a redução é da ordem de 011 segundos para uma altura h2 1000 m Por fim o azimute deve ser reduzido da seção normal para a geodésica Ag 𝐴𝑔 𝐴𝑛 𝑒2 12𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑠𝑒𝑛2𝐴𝑔𝑆2 815 onde a é o semieixo maior do elipsoide e S é a distância ver seção 81 Para a latitude geodésica 𝜑 0º e azimute geodésico Ag45º a redução é da ordem de 0028 segundos para uma distância S 100 km 83 Exercício 1 Atividade prática Utilizar a base de calibração e fazer medidas com um MED para obter a correção de erro zero 2 Considerando que n0 10003 e que foi observado em campo n 1000276 obtenha a correção de primeira velocidade kn 3 Adotando k020 e raio de curvatura de uma seção normal igual a 6370 km calcule a correção de segunda velocidade para uma distância de 20 km 4 Obtenha o valor da redução à corda e aplique na distância corrigida do exercício anterior 95 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 9 TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS Em trabalhos geodésicos geralmente as observações angulares e lineares coletadas na superfície física da Terra são reduzidas a uma superfície de referência adotada para os cálculos e esse processo é conhecido como reduções angulares e lineares assunto que já foi apresentado na seção 8 Ao se executar os cálculos de coordenadas a partir de direções e distâncias sobre um elipsoide particular comparecem dois problemas essenciais da Geodésia denominados de Problema Direto e Problema Inverso O primeiro caso consiste em obter as coordenadas de um ponto P2 onde são conhecidas as coordenadas de um ponto P1 a distância geodésica considerando a linha geodésica entre esses pontos e o azimute geodésico azimute a vante de P1 para P2 No Problema Inverso são conhecidas as coordenadas de P1 e P2 e o que se deseja é obter o azimute a vante o azimute de P2 para P1 contraazimute e a distância entre os pontos P1 e P2 Atualmente com o desenvolvimento da Geodésia por Satélite o Problema Direto como era tradicionalmente utilizado se tornou muito pouco relevante para a Geodésia JEKELI 2002 Porém existem outros problemas que requerem o uso dessa técnica como por exemplo o cálculo de áreas sobre o elipsoide como pode ser visto em Galo Monico e Oliveira 2003 No que concerne ao Problema Inverso este ganhou realce nos dias atuais entretanto com as trilaterações de lados longos com o posicionamento por satélites artificiais e também por razões de ordem militar GEMAEL 1988 91 Problema direto e inverso Definição Problema Direto Conhecidas as coordenadas geodésicas de um ponto sobre o elipsóide o azimute para um segundo ponto e a distância entre eles encontrar as coordenadas geodésicas do segundo ponto bem como o contraazimute azimute do segundo ponto para primeiro ponto onde os azimutes são geodésicos Logo têmse Dados S 12 12 1 1 Encontrar 21 2 2 Note que nesta seção se refere ao azimute geodésico Ag reduzido para a geodésica como apresentado na seção anterior A Figura 91 ilustra os elementos envolvidos no Problema Direto 96 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Figura 91 Elementos envolvidos no problema Direto Adaptado de Aguirre et al 2000 Problema Inverso Conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos sobre o elipsóide encontrar o azimute a vante e a ré bem como a distância geodésica entre os pontos onde têmse Dados 2 2 1 1 Encontrar S 12 12 21 A Figura 92 ilustra os elementos envolvidos no Problema Inverso Figura 92 Elementos envolvidos no Problema Inverso Adaptado de Aguirre et al 2000 Na resolução dos Problemas Direto e Inverso podem ser consideradas duas hipóteses Na primeira a distância que separa os vértices envolvidos no problema é pequena algo em torno de 50 km como ocorre nas triangulações geodésicas Na segunda hipótese a distância citada é grande como ocorre em posicionamento por satélites artificiais As fórmulas existentes são equivalentes em 97 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques termos de precisão para a primeira hipótese porém no caso da segunda algumas fórmulas vão degradando a acurácia dos resultados à medida que aumenta a distância entre os pontos sendo que algumas fórmulas podem ser utilizadas somente até certo limite GEMAEL 1988 A solução desses problemas forma a base para a solução geral de triângulos elipsóidicos análogo a solução relativamente simples de um triângulo esférico De fato uma solução para o problema é desenvolvida por aproximações de um elipsoide local por uma esfera Há muitas outras soluções válidas para linhas curtas e são baseadas em algum tipo de aproximação Nenhum desses desenvolvimentos é muito simples e nem exato no geral são resolvidos por séries ou soluções iterativas JEKELI 2002 p34 92 Solução pela série de Legendre Problema Direto Para a solução pela série de Legendre assumese que a geodésica é parametrizada por um arco de comprimento s logo têmse s s s 91 é o azimute a vante para um ponto qualquer na geodésica e considerando que denota o contra azimute têmse que Então a expansão em série de Taylor fica da seguinte forma JEKELI 2002 s ds d 2 1 ds s d 2 12 1 2 2 12 1 1 2 92 s ds d 2 1 ds s d 2 12 1 2 2 12 1 1 2 93 s ds d 2 1 ds s d 2 12 1 2 2 12 1 1 2 94 A derivada em cada caso é obtida a partir de elementos diferenciais da geodésica e avaliada no ponto P1 A convergência da série não é garantida para todo s12 mas é esperada para s12 R raio médio da Terra apesar de que a convergência pode ser lenta Nas expressões de 92 a 94 ds é um elemento diferencial de arco de uma curva arbitrária e em termos de latitude e longitude é dado por 98 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 2 2 2 2 2 d N cos M d ds 95 onde N representa o comprimento da seção normal e M é o raio de curvatura da seção meridiana Considerando como o azimute geodésico no ponto então o elemento de arco nesse ponto pode ser decomposto de acordo com os elementos latitudinal e longitudinal JEKELI 2002 Md dscos 96 Ncos d dssen 97 A partir da equação de Bessel temse que JEKELI 2002 sen d d 98 Considerando as fórmulas 96 e 97 para uma geodésica derivamse as seguintes equações 1 1 1 M cos ds d 99 1 1 1 1 N cos sen ds d 910 Aplicando o mesmo procedimento para 98 temse 1 1 1 1 tan N sen ds d 911 As equações 99 910 e 911 representam a primeira derivada da latitude longitude e azimute a vante respectivamente em relação à distância A segunda derivada para cada uma dessas componentes é dada por 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 M a cos e sen 3N cos M N tan sen ds d 912 tan cos N cos sen 2 ds d 1 1 1 1 1 1 2 913 99 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 cos e 2tan 1 N cos sen ds d 914 A partir das expressões acima verificase que o desenvolvimento em séries de alta ordem se tornaria o problema bastante complicado A solução inversa pode ser obtida a partir dessas séries por iterações algo que pode ser encontrado em Jekeli 2002 p 238 93 Fórmulas de Puissant O nome dessa fórmula se deve ao geodesista francês Louis Puissant que a desenvolveu sendo estas muito utilizadas nas redes geodésicas do Brasil Essas fórmulas são adequadas somente para linhas não superiores a 80 km o que não constitui maiores problemas em triangulações ordinárias cujos lados não ultrapassam 40 km GEMAEL 1988 O Problema Direto e Inverso usando as equações de Puissant é descrito em seus pormenores em Gemael 1988 p 87 e KRAKIWSKY e THOMSON 1974 p47 931 Problema Direto O Problema Direto requer que sejam conhecidas 1 e 1 latitude e longitude geodésicas do ponto 1 12 e s12 azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre os dois pontos Objetivase calcular 2 e 2 latitude e longitude geodésicas do ponto 2 21 azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1 As fórmulas aplicadas na solução do Problema Direto pelo método de Puissant são GEMAEL 1988 Latitude k 1 2 915 100 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques ou generalizando k i j 916 O cálculo de solução rigorosa k é dado por KRAKIWSKY e THOMSON 1974 p47 i 2 2 k i i 2 2 i i i 2 ij 2 ij 3 ij i i ij 2 1 2 ij i ij ij 1 k e sen 1 2 cos 3e sen 1 M N 6 3tan 1 sen cos s M N 2 sen tan s M cos s 917 A solução rigorosa de k pode ser obtida iterativamente onde a princípio podese adotar um valor para essa componente O critério de convergência pode ser dado por 10 9rad k k 1 918 Longitude Diferentemente do cálculo da Latitude o da Longitude não é iterativo e é dado por i j 919 onde é calculado por KRAKIWSKY e THOMSON 1974GEMAEL 1988 j 2 ij 2 2 j 2 ij j j ij ij cos sen 1 N 6 s 1 cos N s sen 920 Contraazimute O contraazimute geodésico ji pode ser calculado por ij ji 921 101 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Na expressão 921 representa a convergência meridiana GEMAEL 1988 A convergência meridiana aplica uma correção ao contraazimute geodésico em função dos meridianos convergirem para os pólos terrestres Essa componente pode ser calculada da seguinte maneira 2 cos sen 2 cos sen 12 2 cos sen 3 m 3 m 3 m 922 onde m é a latitude média o qual é dada por 2 j i m 923 932 Problema Inverso No Problema Inverso têmse conhecidas 1 e 1 latitude e longitude geodésicas do ponto 1 2 e 2 latitude e longitude geodésicas do ponto 2 Neste caso pretendese calcular 12 e s12 azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre os dois pontos 21 azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1 O contraazimute 21 é determinado pela equação 821 O azimute a vante é dado por i 2 2 i 2 i j j ij e sen 1 4 3e sen 2 1 M cos N arctg 924 Na expressão 924 e é a primeira excentricidade 102 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Distância geodésica i 2 2 i 2 ij i ij e sen 1 4 3e sen 2 1 cos M s 925 A solução de Puissant apresenta uma exatidão de 1 ppm para uma linha de até 100 km mas deteriorase para mais de 40 ppm para uma linha de 250 km e latitude geodésica igual a 60 graus CHAVES 2003 94 Outras fórmulas para a solução dos Problemas Direto e Inverso Existem diversas fórmulas para o cálculo dos Problemas Direto e Inverso da Geodésia o que confirma a importância desse tema A Tabela 91 mostra algumas fórmulas além do alcance e precisão esperada para cada Tabela 91 Fórmulas diversas alcance e precisão Fórmula Alcance km Precisão ppm Clarke 800 125 Rudoe Qualquer distância Fração de milímetros Robbins 1600 1180 Rainsford extensão das fórmulas de Clarke 800 T Vicenty Nested Equations VICENTY 1975 18000 Erro menor que 001 mm Um aplicativo bem como algumas subrotinas desenvolvidas em linguagem de programação Fortran está disponível na página do NGS httpwwwngsnoaagovPCPRODInvFwd acessado em Maio de 2006 A partir desse aplicativo o usuário pode resolver os problemas Direto e Inverso usando as fórmulas de T Vicenty VICENTY 1975 no qual o alcance e a precisão são mostrados na Tabela 91 Uma descrição das fórmulas apresentadas na Tabela 91 além de outras pode ser encontrada em Gemael 1988 com exceção da Fórmula de T Vicenty a qual está descrita em VICENTY 1975 95 Experimentos Para a realização de alguns experimentos visando exemplificar o transporte de coordenadas foi desenvolvido um aplicativo em linguagem de programação C Builder para a resolução do Problema Direto Primeiramente foi desenvolvida a rotina para o cálculo usando as 103 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques equações de Puissant e em seguida foi adaptada a subrotina disponível no NGS a partir do uso de DLLs Dynamic Link Libraries Para a utilização do aplicativo o usuário pode criar um arquivo contendo as coordenadas geodésicas decimalizadas distância e azimute ou entrar com os dados diretamente em uma tabela como mostrado na Figura 93 A implementação envolve a divisão da linha geodésica em n partes iguais com aplicação de Puissant para cada trecho da divisão Figura 93 Software para solução do problema direto e inverso por Puissant Ao clicar no menu Cálculos o usuário tem a opção de calcular usando a fórmula de Puissant com um número definido de divisões para a linha geodésica Figura 94 ou efetuar o cálculo diretamente a partir das equações do NGS Figura 94 Puissant com a opção de divisões da linha geodésica Para a realização dos experimentos foram escolhidas as seguintes coordenadas geodésicas além de azimute e distância para o ponto P1 1 22 07 2624S 1 51 231255O 12 95 301441 S12 350 km 104 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Os cálculos foram realizados a partir da fórmula de Puissant com a linha dividida em dez partes iguais e logo em seguida considerando a linha geodésica inteira Depois de efetuados os cálculos o aplicativo criado permite exportar as coordenadas de maneira que os dados tenham o formato de entrada dos softwares MicroStation e Matlab o que possibilita a plotagem das linhas geodésicas As coordenadas do ponto P2 também foram calculadas num sistema plano Cálculo no Plano Para isso basta considerar as coordenadas UTM do ponto P1 o azimute e a distância e em seguida efetuar o transporte da mesma maneira que se faz na Topografia Esses cálculos foram efetuados com o intuito de verificar as diferenças que ocorrem nos valores das coordenadas do ponto P2 com relação aos valores obtidos pelas fórmulas do NGS visto que essa permite obter melhor precisão nos cálculos Tabela 92 A Figura 95 ilustra as linhas geodésicas calculadas Figura 95 Linhas geodésicas calculadas 515 51 505 50 495 49 485 48 224 2235 223 2225 222 2215 221 2205 TRANSPORTE DIRETO Latitude m Longitude m Puissant c Divisoes Puissant Direto Calculo no Plano T Vicentiny NGS 105 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques As coordenadas do ponto P2 calculadas Puissant c divisões Puissant Direto e Cálculo Plano foram comparadas com as calculadas a partir das equações implementadas pelo NGS T Vicenty considerando que essas últimas foram adotadas como valores verdadeiros As discrepâncias em coordenadas UTM são mostradas na Tabela 92 Tabela 92 Discrepâncias das coordenadas UTM Fórmula E m N m Resultante m Erro em ppm Puissant c 10 divisões 00001 00005 00005 00014 Puissant Direto 00336 12737 12742 36405 Cálculo Plano 650285 8768843 8792922 25122634 A partir da Tabela 92 fica evidente que o cálculo efetuado no plano não é adequado para esse tipo de trabalho o que já era de se esperar visto que nesse não se considera o efeito da esfericidade da Terra No caso do transporte pela fórmula de Puissant sem efetuar divisões ocorreu um erro de 12742 m com relação ao transporte pela fórmula de T Vicenty o que corresponde a um erro de 36405 ppm estando em conformidade com o valor de 1 ppm a cada 100 km como foi dito na seção anterior O melhor resultado a partir da fórmula de Puissant ocorreu quando se efetuou a divisão da linha geodésica em dez partes iguais Nesse caso o resultado final apresentou um erro de 00005 m correspondendo a 00014 ppm Trabalho Prático Obter as coordenadas latitude e longitude de duas estações da RBMC Desenvolver o algoritmo em uma linguagem de programação qualquer para a Aplicar o problema inverso pelo método de Puissant b Utilizar os dados do item a e aplicar o problema direto 106 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 10 AJUSTAMENTO DE REDES TOPOGRÁFICASGEODÉSICAS As redes geodésicas atualmente são realizadas por métodos de posicionamento espacial e as coordenadas estimadas são tridimensionais haja vista que a posição dos satélites geralmente fixa no processamento de linhas de base é dada em coordenadas cartesianas e no sistema geocêntrico Os levantamentos clássicos da Geodésia no caso do Brasil foram aplicados para determinação de redes clássicas até meados de 1990 Contudo ainda hoje se determina redes topográficasgeodésicas para diversas aplicações de engenharia como por exemplo o monitoramento de barragens hidrelétricas determinação do alinhamento de rodovias e linhas férreas determinação de vértices de grandes propriedades etc Um exemplo atual de aplicação dos métodos clássicos se refere ao georreferenciamento de imóveis rurais no Brasil o qual é vinculado à norma técnica do INCRA dentro da lei 102672001 A norma indica que os vértices da propriedade devem estar georreferenciados ao sistema geodésico brasileiro e permite a aplicação dos métodos de levantamento clássicos e via GNSS A precisão posicional dos vértices limites da propriedade deve ser melhor que 050 m Neste caso é necessário aplicar ajustamento das observações para obtenção da estimativa das coordenadas bem como de sua MVC Matriz de Variância e Covariância Neste sentido este capítulo apresenta a aplicação do ajustamento por MMQ Método dos Mínimos Quadrados às poligonais topográficas e geodésicas 101 Ajustamento de Redes no plano Para o caso de redes no plano considerase nestas notas que o transporte de coordenadas se dá no plano da projeção UTM Universal Transversa de Mercator Desta forma todas as observações devem ser reduzidas correções atmosféricas e reduções lineares e angulares ao plano da projeção O modelo matemático funcional envolvido com as poligonais geodésicastopográficas é não linear pois envolve equações de distância e ângulo Desta forma é necessário o conhecimento das coordenadas aproximadas da estação vetor X0 e do processo de linearização o que geralmente é realizado pela expansão em série de Taylor Para o caso de poligonal topográfica os valores aproximados das coordenadas podem ser obtidos pelo cálculo da poligonal comumente realizado em Topografia No caso de poligonais geodésicas podese aplicar a formulação do transporte direto e indireto da Geodésia como por exemplo as equações de Puissant seção 9 107 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 1011 Equações de Observação Os modelos matemáticos apresentados nesta seção se referem ao método paramétrico do MMQ As equações do método dos correlatos e combinado aplicado a poligonais bem como outros assuntos relacionados a ajustamento podem ser encontrado em Camargo 2002 Moraes 1997 e Gemael 1994 Equação de distância Considerando o método paramétrico em que o modelo é dado por La FXa a equação de distância Sij entre os pontos i e j pode ser expressa por Figura 101 Distância plana entre os pontos i e j a 2 1 2 i a j a 2 i a j ij Y Y X X S 101 A equação 101 de distância é uma equação não linear e aplicação do MMQ requer um processo de linearização Expandido em série de Taylor de primeira ordem temse j b X a j a ij j a X a j a ij i b X a i a ij i a X a i a ij X F 0 2 1 2 i 0 j 0 2 i 0 j a ij Y Y S X X S Y Y S X X S Y Y X X S ji 0 ji 0 ij 0 ij 0 0 102 onde o índice 0 indica os valores aproximados As derivadas parciais podem ser escritas por 108 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques ij ji 0 ij 0 0 j X a j a ij ij ji 0 ij 0 0 j X a j a ij ij 0 ij 0 j 0 i X a i a ij ij 0 ij 0 j 0 i X a i a ij b b S Y Y Y S a a S X X X S b S Y Y Y S a S X X X S i 0 i 0 0 0 103 Os coeficientes da equação 103 compõem os elementos da matriz Jacobiana matriz A O vetor FX L 0 0 é dado por 0 2 1 2 i 0 j 0 2 i 0 j 0 ij 0 Y Y X X S L 104 O vetor de observações ajustadas é dado por s ij b ij a ij b A V S S V L L 105 Fazendo V AXL resulta em b ij 0 ij j j i i ji ji ij ij s ij L L L b ij 0 ij j ji j ji i ij i ij s ij S S Y X Y X b a b a V S S Y b X a Y b X a V b 0 106 O vetor de correções X aos parâmetros não confundir o vetor X com coordenadas é dado por j j i i Y X Y X X 107 109 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A matriz A do ajustamento é escrita da seguinte forma ji ji ij ij a X b a b a X F A 0 108 O vetor L é representado por b ij 0 ij b 0 S S L L L 109 Equação de azimute A Equação de Azimute é dada por C Y Y X arctg X Az i j i j a ij 1010 A equação acima requer análise de quadrante topográfico Figura 102 Azimute entre os pontos i e j A equação de azimute linearizada é escrita da seguinte forma j X a j a ij j X a j a ij i X a i a ij i X a i a ij 0 i 0 j 0 i 0 j Az ij b ij Y Y Az X X Az Y Y Az X X Az Y Y X arctg X V Az 0 0 0 0 1011 110 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques As derivadas parciais em 1011 demonstração a cargo do leitor podem ser expressas por ji ij 0 2 ij 0 j 0 i X a j a ij ij ji 0 2 ij 0 0 j X a j a ij ji 0 2 ij 0 i 0 j X a i a ij ij 0 2 ij 0 j 0 i X a i a ij d d S X X Y Az c c S Y Y X Az d S X X Y Az c S Y Y X Az 0 i 0 0 0 1012 Dessa forma a equação de observação de azimute linearizada é dada por b ij 0 ij j ij j ji i ji i ij Az ij Az Az Y d X c Y d X c V 1013 Equação de ângulo O ângulo entre os pontos j i k pode ser calculado a partir da diferença de azimute ente os pontos i e k a ij a ik jik Az Az 1014 Figura 103 Ângulo entre os pontos i j e k 111 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A equação linearizada do ângulo é dada por 0 ij 0 ik j ij j ji i ji i ij k ik k ki i ki i ik jik b jik Az AZ Y d X c Y d X c Y d X c Y d X c V 1015 Agrupando os termos comuns temse 0 ij 0 ik j ij j ji k ik k ki i ji ki i ij ik jik b jik Az AZ Y d X c Y d X c Y d d X c c V 1016 Os coeficientes da equação 1016 são 0 2 ij 0 j 0 i X a j a jik ij 0 2 ij 0 i 0 j X a j a jik ji 0 2 ik 0 k 0 i X a j a jik ik 0 2 ik 0 i 0 k X a j a jik ki 0 2 ij 0 i 0 j 0 2 ik 0 i 0 k X a i a jik ji ki 0 2 ij 0 j 0 i 0 2 ik 0 k 0 i X a i a jik ij ik S X X Y d S Y Y X c S X X Y d S Y Y X c S X X S X X Y d d S Y Y S Y Y X c c 0 0 0 0 0 0 1017 112 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 1012 Exemplo de Ajustamento de uma poligonal no plano Considere a seguinte poligonal topográfica enquadrada Figura 104 Poligonal topográfica A tabela contendo as observações é dada a seguir Tabela 101 Medidas coletadas na poligonal topográfica Lance Ângulo Distância m P1 P2 203º 41 28 70328 P2 P3 162º 37 21 47329 P3 P4 193º 18 06 68748 P4 P5 170º 08 49 20231 P5 P6 189º 35 52 As coordenadas dos vértices P1 e P5 são conhecidas e dadas por 𝑃1 𝑋1 320849 𝑌1 437529𝑚 𝑃5 𝑋5 507449 𝑌5 522747𝑚 Os azimutes de P0P1 e de P5P6 são 𝐴𝑧𝑃0𝑃1 48º2730 𝐴𝑧𝑃5𝑃6 67º4848 A precisão da distância d é igual a 001m e a precisão do ângulo ang é igual a 3 Efetue o ajustamento da poligonal pelo método Paramétrico Resposta Primeiramente realizase o cálculo provisório da poligonal o qual é dado na Tabela 102 113 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Tabela 102 Medidas coletadas na poligonal topográfica Lance Azimutes Estação X m Y m P0 P1 48º 27 30 P1 P2 72º 08 58 P1 320849 437529 P2 P3 54º 46 19 P2 387791 459087 P3 P4 68º 04 25 P3 426452 486388 P4 P5 58º 13 14 P4 490227 512060 P5 P6 67º 49 06 507425 522715 O erro angular de fechamento é calculado por eaf 67º 49 06 67º 48 48 0º 0 18 O erro linear é dado por ex 507425 507449 024 m ey 522715 522747 032 m el 040 m Informações do ajustamento Número de observações n 5 ang 4 dist 9 obs Número de parâmetros u 2 x 3 pontos 6 incógnitas Graus de Liberdade gl n u 3 Vetor Lb t b x1 9 35 52 189º 08 49 170º 18 06 193º 37 21 162º 41 28 203º 20231 68748 47329 70328 L Equações de observação para distância e azimute a 2 1 2 i a j a 2 i a j ij Y Y X X S C Y Y X arctg X Az i j i j a ij 114 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Assim temse C Y Y X arctg X Az Az C Y Y X arctg X Az Az C Y Y X arctg X Az Az C Y Y X arctg X Az Az C Y Y X arctg X Az Az Y Y X X S S Y Y X X S S Y Y X X S S Y Y X X S S X F P5 6 P P5 P6 a P5 P6 5 P4 5 P P4 P5 a P4 P5 4 P3 4 P P3 P4 a P3 P4 3 P2 3 P P2 P3 a P2 P3 2 P1 2 P P1 P2 a P1 P2 1 2 1 2 a 4 P a 5 P 2 a 4 P a P5 P4 P5 4 2 1 2 a 3 P a 4 P 2 a 3 P a P4 P3 P4 3 2 1 2 a 2 P a 3 P 2 a 2 P a P3 P2 P3 2 2 1 2 a 1 P a 2 P 2 a 1 P a P2 P1 P2 1 O vetor L0 e vetor L são dados por t 0 9x1 F X0 L t b 0 9x1 L L L 115 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Matriz A do ajustamento 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 3 5 X 3 5 X 2 5 X 2 5 X 1 5 X 1 5 X 3 2 X 3 2 X 2 2 X 2 2 X 1 2 X 1 2 X 3 1 X 3 1 X 2 1 X 2 1 X 1 1 X 1 1 X 3 4 X 3 4 X 2 4 X 2 4 X 1 4 X 1 4 X 3 2 X 3 2 X 2 2 X 2 2 X 1 2 X 1 2 X 3 1 X 3 1 X 2 1 X 2 1 X 1 1 X 1 1 X a 6 9 Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y Az X Az Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S Y S X S X FX A Considere a matriz dos pesos dada por 2 5 ang 2 4 ang 2 3 ang 2 2 ang 2 1 ang 2 4 d 2 3 d 2 2 d 2 1 d 9 9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 P Para transformar quantidades de arcos de segundos para radianos e vice versa podese utilizar a seguinte expressão 1 sen 1 rad 648000 Trabalho Efetue o ajustamento da poligonal acima realizando pelo menos uma iteração 116 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 1013 Ajustamento de uma Trilateração As coordenadas das estações fixas P1 P2 e P3 bem como as distâncias s1 s2 e s3 medidas a partir destas estações para a estação P são dadas a seguir O vetor x0 com as coordenadas aproximadas de P é dado por 700 m 690143 200 33345 y x X 0 p 0 p 0 Pedese Estimar as coordenadas do ponto P e sua Matriz de Variância e Covariância MVC de Xa realizando pelo menos uma iteração 102 Ajustamento de redes geodésicas Para o caso de ajustamento de redes geodésicas no elipsoide as observações de distância direções e ângulos devem ser corrigidas dos efeitos atmosféricos e reduzidas para o elipsoide As coordenadas aproximadas vetor X0 e o vetor L0 podem ser obtidos a partir do transporte de coordenadas geodésicas Problema direto e inverso da Geodésia 1021 Equações de observação para coordenadas elipsóidicas Considere a expressão geral linearizada para os pontos i e j L e Z d c b a V i j j i i k ij 1018 em que 117 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques k ij V Resíduos para a observação k k representa ângulos distância etc j j i i e Δλ Δλ Δ Δ correções aos parâmetros aproximados latitude e longitudes Zi Correção da constante de orientação L Vetor L calculado em função de Lb e L0 a b c d e coeficientes da matriz A Equação de distância Considerando a distância no elipsoide os coeficientes como apresentados na equação 718 são dados por b ij 0 ij ji j j ji j ji ij j ij i S S L 0 e sen 1 sen Az N cos d sen 1 M cos Az c sen 1 sen Az N cos b sen 1 M cos Az a 1019 Na Equação 919 M representa o raio da seção meridiana pequena Normal e N o raio da seção 1º vertical grande Normal Para o caso da distância no elipsoide temse a seguinte equação linearizada b ij 0 ij j j i i Dist ij S S d c b a V 1020 Equação de direção A equação linearizada de direção é dada por b ij 0 ij i j j i i Dire ij D D Z d c b a V 1021 em que 118 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques b ij 0 ij 0 i b ij 0 ij ij ji j j ij ji j ij ji j j ij ij i D D Z D Az L 1 e S cos Az cos N d S cos Az M c S cos Az cos N b S sen Az M a 1022 Equação de azimute geodésico A equação linearizada de azimute geodésico é dada por b ij 0 ij j j i i Az ij Az Az d c b a V 1023 Os coeficientes a b c d da equação 923 são iguais ao da equação de direção Os coeficientes e L são dados por b ij 0 ij Az Az L 0 e 1024 Equação de ângulo A equação de ângulo é obtida da diferença entre duas direções ou diferença entre dois azimutes Para o caso de ângulos no elipsoide a equação linearizada é dada por b jik 0 jik k ik k ik i ij ik i ij ik j ij j ji ang ij d c b b a a d c V 1025 119 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Exemplo Dada a rede de triangulação conforme a figura a seguir Figura 105 Rede Geodésica de triangulação Temse que a dos vértices 1 a 18 foram observados 86 direções b a base 1718 é conhecida bem como sua precisão c o azimute de Laplace da direção 1814 e sua precisão é conhecida d as coordenadas e e as precisões dos pontos 1 e 2 são conhecidas 120 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Pedese Determinar o número de parâmetros número de equações e as dimensões da matriz n e dos vetores U e XA do ajustamento para o caso a ajustamento com o termo dZ b Ajustamento sem o termo dZi Solução Com o termo dZi Número de parâmetros u u nº de vértices 2 nº de vértices ocupados com teodolitos direções u 182 18 u 54 incógnitas Número de equações n n 86 direções 1 distância 1 azimute de Laplace 04 posições n 92 equações de observação Logo as dimensões são dadas por 54N54 54U1 54XA1 92A54 92L1 92P92 A matriz N a ser invertida é de dimensão 54 x 54 Sem o termo dZi Número de parâmetros u u nº de vértices 2 u 182 36 incógnitas Número de equações n n 86 direções 1 distância 1 azimute de Laplace 04 posições 18 equações fictícias dZi n 110 equações de observação Logo as dimensões são dadas por 36N36 36U1 36XA1 74A36 74L1 74P74 A matriz N a ser invertida é de dimensão 36 x 36 121 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 11 REDES ALTIMÉTRICAS Para o caso de redes geodésicas clássicas materializamse duas redes Rede Horizontal conjunto de pontos materializados no terreno vértices e identificados por duas coordenadas elipsóidicas e calculadas sobre um modelo escolhido e a partir do ponto origem datum horizontal Rede Vertical conjunto de pontos materializados no terreno referência de nível RN e identificados por uma coordenada altitude determinada a partir do ponto origem datum vertical Com o desenvolvimento da Geodésia espacial e posicionamento por satélites as redes geodésicas são obtidas em sua forma tridimensional envolvendo coordenadas geodésicas cartesianas X Y e Z as quais podem posteriormente serem transformadas matematicamente para as coordenadas curvilíneas geodésicas latitude longitude e altitude geométrica e h 111 Breve histórico do ajustamento da rede altimétrica do Brasil Como os demais tipos de coordenadas geodésicas as altitudes normaisortométricas das Referências de Nível RRNN do Sistema Geodésico Brasileiro SGB são periodicamente recalculadas em função da incorporação de novas observações correção de inconsistências e utilização de novas técnicas de observação e cálculo Até meados de década de 1990 as observações da Rede Altimétrica de Alta Precisão RAAP do SGB era ajustada de forma a particionar a Rede Altimétrica em vários circuitos Desta forma desde o ano de 2005 o IBGE tem trabalhado com o objetivo de realizar um novo ajustamento mas desta vez de forma simultânea ou seja com todos os dados processados em um único sistema de equações IBGE 2011 Para tanto foi utilizado o software canadense denominado GHOST Geodetic adjustment using Helmert blocking Of Space and Terrestrial data que permite o ajustamento simultâneo de grandes redes geodésicas O sistema GHOST possibilita o ajustamento de redes geodésicas através de dois métodos diferentes Método padrão para redes de porte médio e menores até aproximadamente 15000 observações como por exemplo o ajustamento das linhas principais dos MMCC onde não é necessária a decomposição em blocos Divisão por blocos de Helmert para grandes redes como por exemplo o ajustamento com todas as observações da RAAP 122 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Em outubro de 1945 iniciaramse os levantamentos por Nivelamento Geométrico de Alta Precisão do IBGE realizados pela Seção de Nivelamento SNi da Divisão de Cartografia DC e culminando no surgimento da Rede Altimétrica do SGB Em dezembro de 1946 a Rede Altimétrica foi conectada à Estação Maregráfica de Torres no Rio Grande do Sul permitindo então o cálculo das altitudes das RRNN já implantadas dotando o Brasil de uma estrutura altimétrica fundamental destinada ao apoio de mapeamento e suporte às grandes obras de engenharia tais como barragens pontes viadutos rodovias saneamento básico etc Em 1958 quando a Rede Altimétrica contava com aproximadamente 30000 km de linhas de nivelamento houve a substituição do Datum Torres pelo Datum Imbituba definido pela Estação Maregráfica de Imbituba localizada no município de mesmo nome no estado de Santa Catarina Grande parte da Rede Altimétrica está conectada ao Datum Imbituba mas devido à impossibilidade de estabelecimento de RRNN no entorno do baixo Rio Amazonas a pequena porção da Rede Altimétrica existente no estado do Amapá Figura 111 não pôde ser conectada a Imbituba levando à utilização do nível médio do mar no Porto de Santana entre 1957 e 1958 originando o Datum Santana LUZ GUIMARÃES 2001 Figura 111 Rede altimétrica do SGB 123 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques No ajustamento em 2005 não foi necessária a divisão dos dados em blocos de Helmert pois foram ajustadas somente as RRNN das linhas principais LLPP do AAGP aprox 15000 RRNN Todos os desníveis foram corrigidos do efeito sistemático do não paralelismo das equipotenciais Em 2006 foram inseridas no ajustamento todas as linhas Principais e Internas dos MMCC utilizando os mesmos dados oriundos do AAGP Em virtude do grande quantitativo de estações das linhas internas LLII aproximadamente 36000 foi necessária a divisão da rede utilizando o método de Blocos de Helmert Em janeiro de 2009 após as críticas e inserções de novas linhas os dados totalizavam 69102 RRNN entre 1648 linhas e 2175 ramais sendo que 550 RRNN menos de 1 da rede foram desconsideradas por apresentarem inconsistências não solucionáveis para este ajustamento Figura 112 Rede altimétrica do SGB Em 2011 foram realizadas as análise dos resultados finais onde os arquivos de entrada do ajustamento possuíam as seguintes estatísticas Tabela 111 Informações do ajustamento da rede altimétrica brasileira Fonte IBGE Estações de ajustamento 69590 Estações fixas 2 Desníveis observados 74169 Graus de liberdade do ajuste 4579 124 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques A situação atual da rede altimétrica do Brasil pode ser vista na Figura 113 Figura 113 Rede altimétrica atual do SGB 112 Determinação das altitudes As altitudes são determinadas a partir dos três métodos usuais 1 Nivelamento geométrico Realizado com base em nível de luneta e miras graduadas É semelhante ao que é realizado para fins topográficos mas no caso da Geodésia utilizamse equipamentos mais aperfeiçoados com aplicação das devidas correções da Geodésia No Brasil este método foi usado nos levantamentos altimétricos de alta precisão que se desenvolveram ao longo de rodovias e ferrovias No SGB os pontos cujas altitudes foram determinadas a partir de nivelamento geométrico são denominados referências de nível RRNN 125 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 2 Nivelamento trigonométrico Executado nas triangulações e poligonações geodésicas e baseiase em relações trigonométricas com leitura de ângulos verticais É menos preciso que o geométrico e fornece apoio altimétrico para os trabalhos topográficos 3 Nivelamento barométrico Baseiase na relação inversamente proporcional entre pressão atmosférica e altitude É o de mais baixa precisão usado em regiões onde é impossível utilizarse os métodos acima ou quando se queira maior rapidez O nivelamento é uma atividade muito importante do ponto de vista cientifico uma vez que possibilita a redução de quantidades medidas na superfície física para o elipsoide além de diversas outras atividades tais como monitoramento de estruturas e outros problemas de engenharia Os desníveis determinados pelo nivelamento geométrico correspondem à separação entre geopes mas como estes não são paralelos a altitude de um ponto dependerá do caminho seguido no nivelamento a menos que se considere a correção ortométrica As altitudes denominadas científicas são determinadas em função do número geopotencial de um ponto P na superfície física da Terra e do valor de gravidade Estas altitudes representam uma função unívoca assunto da Geodésia Fisica Podemse citar como exemplo de altitudes científicas altitude ortométrica altitude de Helmert Altitude de Vignal entre outras O nivelamento no Brasil tem sido conduzido de forma puramente geométrica ou seja sem acompanhamento de determinações gravimétricas Para tornar a rede unívoca utilizase a correção ortométrica que é uma correção devido ao não paralelismo das superfícies equipotenciais Esta correção deve ser aplicada à altitude bruta Δh que decorre do nivelamento A correção devido ao não paralelismo é dada por 𝑑𝐻 1542 109𝐻Δ𝜙𝑠𝑒𝑛2𝜙 com Δ𝜙 expresso em minutos de arco e dH expresso na mesma unidade de H A correção 𝑑𝐻 é positiva para nivelamento que se aproxima do Equador e nula para pontos no mesmo paralelo No Brasil utilizase a altitude igual à soma dos desníveis brutos advindos da operação de nivelamento geométrico corrigida apenas do não paralelismo das superfícies equipotenciais 𝐻 Δℎ 𝑑𝐻 Exemplo Calcular dH para a latitude 8 Δ𝜙 1 e H 500 m 126 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques Nivelamento Geométrico Baseiase na leitura de réguas graduadas com o nível de luneta Figura 114 O nivelamento geodésico combina a rotina comum do nivelamento geométrico à utilização de equipamentos procedimentos e correções compatíveis com os requisitos de alta precisão Figura 114 Nivelamento geométrico Para atender aos requisitos de alta precisão na Geodésia o nivelamento geométrico comum é desenvolvido com as seguintes condições TORGE 2001 p 206210 a Níveis dotados de dispositivos óticomecânicos bolha bipartida e micrômetro de placa planoparalela que permitem alta precisão respectivamente na horizontalização da linha de visada eixo de colimação e na interpolação das leituras nas miras Os níveis atuais têm horizontalização automática por compensadores e leitura digital reconhecimento de códigos de barras nas miras b Miras dotadas de dupla graduação esquerdadireita em fita de metal de baixo coeficiente de dilatação invar cuja diferença serve de controle de erros grosseiros e dotadas também de níveis esféricos a fim de evitar o erro de inclinação das miras e c Correções 1 Realização de pelo menos uma repetição da seção em sentido oposto contranivelamento com diferentes operador e anotador e sob diferentes condições meteorológicas 2 Leituras da temperatura do ar a diferentes alturas e também da pressão atmosférica para correção dos efeitos da refração vertical 3 Posicionamento das miras R e V a distâncias iguais a fim de eliminar os erros de curvatura terrestre e de colimação diferença entre a bolha principal e o eixo ótico da luneta 127 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 4 Erro de índice eliminado mediante a utilização da mesma mira para início e fim de cada seção número par de estações do nível 5 Anotação da data e hora de leitura e do azimute da linha de visada para correção da maré terrestre 6 Observação gravimétrica em cada RN e até mesmo nas estações intermediárias para correção dos efeitos de não paralelismo das superfícies equipotenciais e de distribuição heterogênea de densidades e 7 Leitura das graduações das miras na ordem Resq Vesq Vdir Rdir RVVR em notação resumida a fim de minimizar os efeitos do recalque diferencial entre nível e miras Nivelamento trigonométrico Considerando dois pontos na superfície física da Terra Pi e Pj a diferença de altura geométrica Δℎ𝑖𝑗 entre eles pode ser determinada com base nas observações zenitais 𝑧𝑖𝑗 e 𝑧𝑗𝑖 e no conhecimento do desvio da vertical ij e ji no ponto considerado As zenitais geodésicas referidas às normais do elipsoide são obtidas pela seguinte expressão 𝑧𝑖𝑗 𝑧𝑖𝑗 𝜀𝑖𝑗 𝑧𝑖𝑗 𝜉𝑖 cos𝛼𝑖𝑗 𝜂𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖𝑗 e 𝑧𝑗𝑖 𝑧𝑗𝑖 𝜀𝑗𝑖 𝑧𝑗𝑖 𝜉𝑗 cos𝛼𝑗𝑖 𝜂𝑗𝑠𝑒𝑛𝛼𝑗𝑖 em que 𝜉𝑖 e 𝜉𝑗 são as componentes meridianas 𝜉 φ𝑎𝑠𝑡 𝜙𝑔𝑒𝑜𝑑 𝜂𝑖 e 𝜂𝑗 são as componentes primeiro vertical 𝜂 Λ𝑎𝑠𝑡 𝜆𝑔𝑒𝑜𝑑cos 𝜙𝑔𝑒𝑜𝑑 𝛼𝑖𝑗 e 𝛼𝑗𝑖 são os azimutes geodésicos e Pi para Pj e viceversa A altitude Δℎ𝑖𝑗 é calculada por Δℎ𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑗 1 ℎ𝑚 𝑅𝑚 𝑆𝑖𝑗 2 12𝑅𝑚 2 𝑡𝑔 𝑧𝑗𝑖 𝑧𝑖𝑗 2 em que Sij é o comprimento da seção normal elipsoidal R é o raio de curvatura e ℎ𝑚 ℎ𝑖ℎ𝑗 2 é altitude média TORGE 2001 128 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques 113 Trabalho Foi realizado o nivelamento geométrico cujos dados observados se encontram na tabela abaixo As altitudes dos pontos A e K são conhecidas com valores dados respectivamente por HA 4135987 e HK 493401 A precisão das medidas é dada por 𝜎Δℎ𝑖 4𝑚𝑚𝑑𝑖 sendo di a distância dada em quilômetros Realizar o ajustamento pelo método paramétrico bem como o controle de qualidade do ajustamento teste quiquadrado Estação Visada Distância Km Desnível h m A B 72 1062625 B A 40 1062602 B C 44 1759286 C D 20 40472 D A 61 736905 C E 26 363277 E F 59 29932 F D 60 104241 E G 83 1386889 G H 26 1810665 H F 74 1247 G I 248 16223 I J 111 238215 J H 67 50135 I K 108 228896 K J 147 09243 Sugestão Utilizar o aplicativo Ajunivel Ajustamento de Redes de Nivelamento disponível em httpwwwfctunespbrpesquisagruposdeestudoepesquisagegesoftwares 129 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques BIBLIOGRAFIA ABNT NBR 14166 Rede de Referência Cadastral Municipal Procedimento ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas Rio de Janeiro 1998 23 p BONFORD G Geodesy 2ed London Oxford University Press 1962 FIELDER J Orthometric heigts from Global Positioning System Journal of Surveying Engineering New York v 118 n 3 1992 CAMARGO P O Notas de aulas da disciplina de Ajustamento das Observações Faculdade de Ciências e Tecnologias da UNESP SP Notas de aula 2002 CHAVES J C Geometria do elipsóide In Notas de aula da disciplina Geodésia I Presidente Prudente UNESP 2003 COSTA SMA Integração da Rede Geodésica Brasileira aos Sistemas de Referência Terrestres Curitiba 156 p Tese Doutorado em Ciências Geodésicas Curso de Pós Graduação em Ciências Geodésicas Universidade Federal do Paraná 1999 GALO M MONICO J F G OLIVEIRA L C Cálculo de áreas de polígonos sobre o elipsóide usando projeções equivalentes In Colóquio Brasileiro de Ciências Geodésicas 3 2003 Curitiba UFPR GEMAEL C Geodésia geométrica II Curso de Pósgraduação em Ciências Geodésicas UFPR 1971 GEMAEL C Introdução ao Ajustamento de Observações Aplicações Geodésicas UFPR CuritibaPR 1994 GEMAEL C Introdução à Geodésia Física Curitiba Ed UFPR 1999 304p GEMAEL c Introdução à Geodésia Geométrica Apostila do curso de Pós Graduação em Ciências Geodésicas Curitiba UFPR 1988 p irregular JEKELI C Geometric Reference Systems in Geodesy Ohio State University Lecture Note 2002 130 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques KRAKIWSKY E J THOMSON D B Geodetic Position Computations Geodesy and Geomatics Engeneering UNB Lecture Notes n 39 1974 MONICO J F G Introdução a Geodésia Perspectiva Atual 2008 Disponivel em httpwww4fctunespbrdocentescartogalerageoIIGeodDefinicaopdf Acesso em 2013 MORAES C V Aplicação do ajustamento a poligonais Dissertação do Programa de PósGraduação em Ciências Geodésicas UFPR 1997 NIMA Department of Defense World Geodetic System 1984 Its definition and Relationships with Local Geodetic Systems NIMA tr83502 2000 Disponível em httpearth infongamilGandGpublicationstr83502wgs84finpdf Acesso em 2015 PIRES A A O SAATKAMP E D BRICENÕ J G PATRÍCIO A AGUIRRE P A DALAZOANA R Comparação entre os Transportes de Coordenadas pelas Formulações de Sodano e Puissant e as obtidas por GPS In COBRAC 2000 Florianópolis UFSC Disponível em httpgeodesiaufscbrGeodesiaonlinearquivocobrac2000110110htm Acesso em Maio de 2006 SÁ N C Elementos de Geodésia Apostila Departamento de Geofísica USP SEEBER G Satellite geodesy foundations methods and applications2 ed Berlin New York Walter de Gruyter 2003 589 p SOLER T A compendium of transformation formulas useful in GPS work Journal of Geodesy v 72 78 p 484490 1998 SOLER T MARSHALL J Rigorous transformation of variancecovariance matrices of GPS derived coordinates and velocities GPS Solutions v 6 p 7690 2002 DREWES H O HEIDBACH 2012 The 2009 Horizontal Velocity Field for South America and the Caribbean In Kenyon S MC Pacino U Marti Eds Geodesy for Planet Earth IAG Symposia 136 657664 TORGE W Geodesy 3 ed Berlin Walter de Gruyter 2001 131 Introdução a Geodésia Apostila Prof Dr Haroldo Antonio Marques VANICEK P e KRAKIWSKY E J GeodesyThe concepts NHPC Amsterdan New York Oxford University of New Brunswch Canadá 1982 VICENTY T Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with application of nested equations Survey Review XXII 176 p8893 1975 ZANETTI M A Z Geodésia Apostila Notas de aula UFPR Curitiba 2007