Calculo-de-Placas-por-Series-Momentos-Fletore-Deslocamentos

pmm 16 p π6 m n 77 Superpondo os efeitos e colocando pmm da Equação 77 na da linha elástica temse finalmente a função w x y para carga uniforme w 16 p π6 D sen m π xa sen n π xb m n m2a2 n2 b22 78 Os momentos mx e my por faixa de comprimento unitário nas direções x e y direções de colocação da armadura são obtidos a partir das derivadas da superfície elástica w x y ou seja mxD 2 wx2 v 2 wy2 e myD 2 wy2 v 2 wx2 Resultando finalmente nas expressões para mx e my mx 16 pπ4 m2a2 v n2 b2 m2a2 n2 b22 sen m π xa sen n π yb m n 79 my 16 pπ4 n2b2 v m2 a2 m2a2 n2 b22 sen m π xa sen n π yb m n 710 Observação as expressões de mx e my dependem exclusivamente de a b p e de quantos valores de m e n serão considerados ou seja qual a precisão que se pretende atingir Substituindose os valores de x e y por a2 e b2 nas Equações 79 e 710 podem ser determinados os máximos momentos da placa em questão Conforme demonstra Martinelli et al 1986 calculandose esses valores para os quatro primeiros termos da série m 1 n 1 3 m 3 n 1 3 obtémse mx0046925 p a2 e com 49 termos obtémse mx0047913 p a2 o que demonstra uma boa aproximação com quatro termos As Equações 79 e 710 valem para um determinado valor de v que nem sempre corresponde ao indicado pelas normas Conhecidos os valores dos momentos mx e my e o deslocamento máximo w para um valor de v1 é possível conhecêlos para um novo coeficiente v1 com as seguintes expressões mxvv 11v12 1 v2 v1 mxv1 v1v2myv1 711 myv2 11v12 1 v2 v1 myv1 v1v2mxv1 712 wv2 wv1 1 v221 v12 713 7372 Utilização de Tabelas O processo de cálculo de placas por séries é bastante adequado para a confecção de tabelas que facilmente permitem determinar momentos fletores máximos e deslocamentos máximos flechas a partir da geometria e das condições de vinculação da placa Para isso o pavimento deve ser discretizado ou seja cada laje deve ser tratada individualmente e verificado como cada uma está vinculada às demais só é possível bordas contorno simplesmente apoiadas ou engastadas De maneira geral considerase que as lajes menores e menos rígidas são engastadas nas maiores e mais rígidas As tabelas apresentadas na sequência são baseadas nas soluções desenvolvidas por Bares 1972 e devidamente adaptadas para o coeficiente de Poisson v igual a 020 As diversas condições de vinculação possíveis estão esquematizadas na Figura 75 Contorno representado por linha simples indica borda simplesmente apoiada e contorno representado por uma hachura indica borda engastada 73721 Determinação de Flechas A flecha deslocamento transversal máximo de uma barra reta ou placa para lajes com carregamento uniforme e com as condições de contorno de acordo com a Figura 75 é calculada pela Equação 714 e pelos coeficientes da Tabela 72 A flecha encontrada é a elástica ou seja não estão sendo considerados os fenômenos de fissuração e fluência f p lx4 α E h3 100 714 em que p carregamento uniformemente distribuído sobre a placa α coeficiente tirado da Tabela 72 lx menor vão da laje E módulo de deformabilidade do concreto h altura ou espessura da placa Figura 75 Situações de vinculação das placas constantes nas tabelas Para encontrar o coeficiente correto nessa e nas demais tabelas é preciso calcular o parâmetro λ que reflete a geometria da laje dado por λ ly lx 715 sendo l a menor das dimensões da superfície da placa e lv a maior Para verificação do estado de deformação excessiva na NBI99 item 14631 permitese utilizar valores de rigidez do estádio I com módulo de elasticidade secante do concreto Os efeitos de fissuração e deformação lenta devem ser considerados de acordo com o exposto no Capítulo 17 Na NBI80 o assunto é tratado no item 423 veja as Seções 47 e 48 do Capítulo 4 Tabela 72 Coeficientes α para cálculo de flechas elásticas em lajes retangulares submetidas a carregamento uniformemente distribuído b Momentos máximos negativos por unidade de comprimento nas direções x e y xx μx p lx2100 717 xy μy p lx2100 Tabela 73 Coeficientes μx μy μx e μy para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas casos 1 2 e 3 Tabela 73 Coeficientes μx μy μx e μy para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas casos 4 5 e 6 continuação Tabela 73 Coeficientes µx µy µx e µy para o cálculo dos momentos máximos em lajes retangulares uniformemente carregadas Casos 7 8 e 9 Continuação Caso 7 Caso 8 Caso 9 λ µx µx µy µy µx µx µy µy µx µx µy µy 100 213 546 260 617 260 617 213 546 211 515 211 515 105 238 598 266 646 278 647 209 556 231 550 210 529 110 263 650 271 675 295 676 204 565 250 585 209 543 115 287 711 275 697 309 699 198 570 273 614 206 551 120 311 772 278 719 323 722 192 575 294 643 202 559 125 343 881 279 736 334 740 185 575 304 667 197 564 130 356 859 277 751 346 757 178 576 313 690 191 568 135 376 874 274 763 355 770 172 575 325 709 186 569 140 396 888 271 774 364 782 164 574 338 728 181 570 145 415 916 267 783 371 791 159 573 348 743 173 571 150 432 944 263 791 378 800 153 572 358 757 166 572 155 448 968 260 798 384 807 147 569 366 768 160 572 160 463 991 255 802 389 814 142 566 373 779 154 572 165 478 1013 250 803 394 820 137 562 380 788 147 572 170 492 1034 245 810 398 825 132 558 386 797 140 572 175 504 1053 239 813 401 830 127 556 391 805 136 572 180 517 1071 232 817 404 834 120 554 395 812 132 572 185 526 1088 227 816 407 838 117 555 398 818 126 572 190 536 1104 222 814 410 842 114 556 401 824 121 572 195 545 1120 214 813 411 845 111 560 404 829 119 572 200 555 1135 207 812 413 847 108 564 407 833 116 572 707 1250 205 812 418 833 109 564 419 833 117 572 74 Roteiro para o Cálculo de Lajes de Concreto Armado Na seção anterior foi mostrado como são obtidos os esforços e os deslocamentos de lajes isoladas pelo método elástico por meio da teoria das placas delgadas Foi dito também que o cálculo de um pavimento constituído por várias lajes classicamente é feito admitindo cada uma trabalhando isoladamente Esse procedimento será adotado aqui ressaltandose porém que com processos como o de grelha equivalente ou de elementos finitos os pavimentos podem ser analisados como um todo 741 Discretização do Pavimento O critério utilizado para discretizar um pavimento separálo em seus elementos componentes é considerar cada região contida entre quatro vigas como sendo uma laje em alguns casos particulares três vigas definem uma laje O contorno de uma laje será considerado engastado caso haja uma laje vizinha com rigidez suficiente dependendo de seu vão ou espessura para impedir a rotação no contorno comum Quando isso não ocorre ou simplesmente a laje em estudo não faz vizinhança com outra laje a borda é considerada livre sem impedimento à rotação ou simplesmente apoiada Para esclarecer veja os exemplos da Figura 76 No caso do pavimento da Figura 76a para todas as lajes admitese que seus contornos sejam engastados e apoiados para os contornos comuns de L1L2 L1L3 e L2L3 supõese que não haja rotação enquanto para as demais bordas o giro é totalmente livre no corte AA que apresenta uma seção da laje deformada esses fatos são facilmente percebidos Esse procedimento indicado por Timoshenko Woinowsky 1959 deve ser empregado com bom senso pois lajes com pequenos vãos ou espessuras podem não ter rigidez suficiente para impedir a rotação da vizinha Por exemplo no pavimento da Figura 76b a laje L4 poderá ser considerada engastada na L5 mas esta deverá ser admitida simplesmente apoiada e não engastada na L4 isso pode ser observado pela seção deformada dada pelo corte BB Figura 76 Lajes trabalhando em conjunto e rotação nos apoios 4 Para o cálculo de lajes isoladas é recomendado o seguinte roteiro prédimensionamento da altura da laje cálculo das cargas atuantes verificação das flechas cálculo dos momentos determinação das armaduras longitudinais reação das lajes nas vigas e detalhamento das armaduras 742 Prédimensionamento da Altura das Lajes No item 4231C da NB180 é admitido que para vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de edifícios as condições de deformaçõeslimite dadas nas alíneas a e b do parágrafo C e aqui transcritas em 743 serão atendidas quando o valor da altura útil atender à seguinte condição d lψ2ψ3 718 em que ψ2 coeficiente dependente das condições de vinculação e das dimensões da laje Tabela 74 ψ3 coeficiente que depende do tipo de aço dado aqui na Tabela 75 l menor dos dois vãos das laje Para lajes com mais de 4 m de vão que suportam paredes na direção desse vão as alturas úteis mínimas deverão ser multiplicadas por l4 l em metros ou seja d lψ2ψ3 l4 Com isso o valor da altura h da laje poderá ser determinado Figura 77 somandose ao valor de d o cobrimento c a ser considerado mais uma vez e meia o diâmetro φ da armadura empregada h d c φ φ2 Figura 77 Altura total e altura útil da laje Esse critério de prédimensionamento da altura da laje conduz a valores altos de h para lajes de pequenos vãos l 4 m e para lajes de vãos maiores l 4 m o valor encontrado pode ser insuficiente Assim recomendase que estimada a altura da laje seja verificado o deslocamento máximo da mesma flecha Ainda no item 6111 da NB180 está estipulado que a espessura das lajes não deve ser menor que a 5 cm em lajes de cobertura não em balanço b 7 cm em lajes de piso e lajes em balanço c 12 cm em lajes destinadas à passagem de veículos Em lajescogumelo calculadas como pórticos múltiplos esses limites devem ser elevados respectivamente para 12 cm 15 cm e 15 cm Tabela 74 Valores de ψ2 utilizados no prédimensionamento da altura das lajes λ Caso Caso Caso Caso Caso Caso Caso Caso Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 150 170 170 180 190 190 200 200 220 105 148 167 169 178 187 189 197 199 218 110 146 164 167 176 183 188 194 197 215 115 144 161 166 174 180 187 191 196 213 120 142 158 164 172 176 186 188 194 210 125 140 155 163 170 173 185 185 193 208 130 138 152 161 168 169 184 182 191 205 135 136 149 160 166 166 183 179 190 203 140 134 146 158 164 162 182 176 188 200 145 132 143 157 162 159 181 173 187 198 150 130 140 155 160 155 180 170 185 195 155 128 137 154 158 152 179 167 184 193 160 126 134 152 156 148 178 164 182 190 165 124 131 151 154 145 177 161 181 188 170 122 128 149 152 141 176 158 179 185 175 120 125 148 150 138 175 155 178 183 180 118 122 146 148 134 174 152 176 180 185 116 119 145 146 131 173 149 175 178 190 114 116 143 144 127 172 146 173 175 195 112 113 142 142 124 171 143 172 173 200 110 110 140 140 120 170 140 170 170 5 Tabela 75 Valores de ψ3 utilizados no prédimensionamento da altura das lajes Aço Vigas e lajes nervuradas Lajes maciças CA25 25 35 CA32 22 33 CA40 20 30 CA50 17 25 CA60 15 20 Na NB199 não há altura útil a partir da qual podem ser consideradas atendidas as condições de deformaçõeslimite Os valores de espessuras mínimas em lajes maciças estão no item 13141 conforme se segue não havendo recomendação sobre lajes lisas ou cogumelo a 5 cm para lajes de cobertura b 7 cm para lajes de piso c 10 cm para lajes que suportam veículos de peso total menor ou igual a 30 kN d 12 cm para lajes que suportam veículos de peso total maior que 30 kN e 15 cm para lajes com protensão 743 Cálculo das Cargas Atuantes As cargas atuantes em uma laje maciça carga por metro quadrado de laje são calculadas da maneira usual e devem ser consideradas as seguintes peso próprio estrutural multiplicase a altura da laje pelo peso específico do concreto armado carga acidental devem ser empregados os valores contidos na norma de ações NBR6120 de acordo com a finalidade do edifício e do cômodo revestimento inferior se for o caso deve ser considerado o revestimento feito na face inferior da laje peso de contrapiso com o intuito de obter uma superfície nivelada do pavimento costumase fazer algum tempo após a retirada do escoramento um enchimento com massa de regularização que deve assim ser considerado como carga atuante piso ou revestimento devese considerar o peso do piso lembrando que alguns pisos como pedras de granito possuem um peso bastante elevado Todas as lajes de um piso para efeito de cálculo são normalmente consideradas totalmente carregadas Apenas quando a carga acidental for superior à metade da carga total devese considerar as lajes carregadas alternadamente com carga acidental como pode ser visto em Timoshenko Woinowsky 1959 e Rocha 1972 744 Verificação das Flechas Os deslocamentos transversais nas vigas e nas lajes de estruturas de edifícios de acordo com a NB180 nas alíneas a e b do parágrafo C do item 4231 devem respeitar os seguintes limites sendo l o menor vão das lajes em duas direções ou o comprimento dos balanços e das vigas a flechas medidas a partir do plano que contém os apoios quando atuarem todas as ações f l300 l150 balanços b flechas causadas apenas pelas cargas acidentais f l500 l250 balanços Os deslocamentos não poderão atingir valores que possam resultar em danos a elementos da construção apoiados na estrutura ou situados sob elementos da mesma preven dose nesses casos quando necessário dispositivos adequados para evitar as consequências indesejáveis A verificação dos deslocamentos é feita no estadolimite de utilização de acordo com o item 5422 da NB180 que fornece a seguinte combinação para o caso de edifícios substituindo as solicitações pelas ações o que é possível quando o cálculo é feito por processo linear Ed Fgk 07Fqk em que Fd ação de cálculo Fgk ação permanente característica Fqk ação acidental característica Em resumo para o caso a a verificação da flecha é feita para o carregamento g 07q em que g é a soma de todas as cargas permanentes e q é a carga acidental para o caso b a verificação será feita para o valor total da carga acidental q nas verificações por simplificação supõese que não há fissuração e fluência do concreto Na NB199 os deslocamentoslimite para estruturas em geral são dados no item 132 Para a verificação do estadolimite de deformação em lajes de acordo com o item 1921 devem ser adotados os critérios do item 1721 ressaltando que em lajes esbeltas é possível haver regiões fissuradas estádio II As prescrições da NB199 sobre deslocamentos estão neste livro no Capítulo 4 Seção 482 745 Cálculo dos Momentos Os momentos positivos e negativos das lajes nas direções x e y são calculados com as Equações 716 e 717 e a Tabela 73 É importante destacar novamente que os momentos são determinados para uma faixa unitária de laje e para lajes isoladas Também é interessante observar que os coeficientes indicados nas tabelas levam a valores extremos dos momentos e portanto não expressam a variação de esforços ao longo da placa No caso de momentos negativos em face comum à duas lajes é usual considerar o maior valor entre a média e 80 do maior entretanto a favor da segurança recomendase utilizar para cálculo das armaduras negativas o maior dos dois momentos nessa face 746 Determinação das Armaduras Longitudinais O cálculo da armadura das lajes nas direções x e y é feito como no caso das vigas observandose que para a largura da seção é tomada uma faixa unitária usualmente uma faixa de um metro e portanto a armadura encontrada deve ser distribuída ao longo dessa largura Recomendase ainda que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva Figura 77 pois isso acarreta um valor menor para a mesma altura útil menor resulta área de aço maior e a camada junto à face inferior da laje estará com uma área pouco maior que a necessária isso garante o posicionamento correto das barras pois na obra não é possível garantir se a armadura de cada direção será colocada na camada correta respeitando o cálculo 747 Reação das Lajes nas Vigas A reação das lajes nas vigas de apoio é obtida utilizando a expressão fundamental de equilíbrio e o processo por exemplo de séries Entretanto não há referências bibliográficas em que possa ser encontrado um modo prático de calcular essas reações de forma correta conforme pode ser verificado em Mazzilli 1988 A ação das lajes nas vigas no estado elástico ocorre por meio de um carregamento com intensidade variável ao longo de seu comprimento depende principalmente das condições de apoio e da relação entre os vão e não uniforme o que não é simples de determinar além de dificultar o cálculo dos esforços nas vigas Entretanto de modo simplificado é possível e usual considerar que a ação das lajes nas vigas se faça de maneira uniforme A NB180 no item 3329 traz o seguinte a respeito Permitese calcular as reações de apoio de lajes retangulares com cargas uniformemente distribuídas considerandose para cada apoio carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos traçandose a partir dos vértices na planta da laje retas inclinadas de 45º entre dois apoios do mesmo tipo 60º a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado 90º a partir do apoio quando a borda vizinha for livre Esse critério é feito com base no procedimento de cálculo de lajes na ruptura e os triângulos e trapézios correspondem de maneira simplificada à configuração de ruína de lajes retangulares com determinadas condições de vinculação ou seja na ruptura elas apresentarão linhas de plastificação concreto e aço que as dividirão em regiões Como consequência cada uma dessas regiões carregará a viga correspondente simplificadamente com carregamento uniformemente distribuído de acordo com sua área de influência A Figura 78 mostra dois casos de lajes com as respectivas áreas de contribuição para as vigas Figura 78 Regiões da laje para o cálculo das reações nas vigas Não houve mudanças a respeito das reações de apoio nas lajes maciças na NB199 conforme se depreende da leitura do item 14671 Como exemplo considere o cálculo das reações nas vigas de uma laje quadrada Figura 79 simplesmente apoiada nas quatro bordas e sujeita a uma carga uniformemente distribuída P Figura 79 Laje quadrada apoiada nas vigas V1 V2 V3 e V4 No caso a laje ficou dividida em quatro partes iguais de área Ω área de influência e todas as vigas receberão o mesmo carregamento considere a viga V2 área de influência Ω ellx elly 4 ellx2 4 carga total na viga V2 PV2 Ω plaje ellx2 4 plaje carga distribuída nas vigas pV2 PV2 ellx ellx2 4 plaje ellx 025 ellx plaje assim em um caso geral pV2 k ellx p O fator k pode ser tabelado para os diversos casos de apoio das lajes e para λ da Equação 715 conforme a Tabela 76 Com os valores de k as reações nas vigas para um certo carregamento p e sempre com ellx sendo o menor vão são determinadas de acordo com as Equações 719 e 720 conforme a Figura 710 indicando as reações nas vigas V1 V2 V3 e V4 para uma laje com duas bordas apoiadas e duas engastadas Tabela 76 Coeficientes kx ky kx e ky para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas casos 1 2 e 3 Caso 1 Caso 2 Caso 3 λ kx ky kx ky ky kx kx ky 100 250 250 183 232 402 232 402 183 105 262 250 192 237 410 238 413 183 110 273 250 201 241 417 244 423 183 115 283 250 210 244 422 250 432 183 120 292 250 220 246 427 254 441 183 125 300 250 229 248 430 259 448 183 130 308 250 238 249 432 263 455 183 135 315 250 247 250 433 267 462 183 140 321 250 256 250 433 270 468 183 145 328 250 264 250 433 274 474 183 150 333 250 272 250 433 277 479 183 155 339 250 280 250 433 280 484 183 160 344 250 287 250 433 282 489 183 165 348 250 293 250 433 285 493 183 170 353 250 299 250 433 287 497 183 175 357 250 305 250 433 289 501 183 180 361 250 310 250 433 292 505 183 185 365 250 315 250 433 294 509 183 190 368 250 320 250 433 296 512 183 195 372 250 325 250 433 297 515 183 200 375 250 329 250 433 299 518 183 500 250 500 250 433 366 625 183 reações nas direções x e y nas vigas em bordas engastadas qx kx p x 10 qy ky p x 10 720 Figura 710 Reações nas vigas de uma laje quadrada 748 Aberturas Que Atravessam Lajes na Direção da Espessura De acordo com a NB180 item 621 quando forem previstas aberturas em peças de concreto armado devese verificar seu efeito na resistência e na deformação No caso de lajes armadas em duas direções essa verificação poderá ser dispensada se a a dimensão da abertura em cada direção da armadura não ultrapassar 110 do menor vão lx b não houver entre duas aberturas distância inferior a 12 do vão c a distância entre uma abertura e a borda livre da laje for superior a 14 do vão na direção considerada Segundo a NB199 item 13152 se houver abertura as lajes não podem ser lisas ou cogumelo devem ser armadas em duas direções e verificadas simultaneamente as mesmas condições prescritas pela NB180 dadas anteriormente 749 Detalhamento das Armaduras Para o detalhamento das armaduras serão relacionadas as recomendações da NB180 da NB199 e outras pertinentes É preciso também para a área encontrada de aço por unidade de largura da laje determinar o espaçamento entre as barras 7491 Espaçamento entre Barras O espaçamento entre barras t para uma barra de área Asq cm2 e uma área total As cm2m resultando em uma quantidade n de barras por metro de lajec n As Asp será a largura da faixa unitária de laje dividida pelo número de barras t 1 m n 1Asp 1 m Asq cm2 Asq cm2 Asq As m ou seja para determinar o espaçamento por metro basta dividir a área da barra escolhida pela área total de armadura por metro de laje encontrada 7492 Armadura Mínima A armadura mínima pode ser obtida de acordo com o item 631 da NB180 admitindo a laje como uma viga de largura unitária bw é usualmente tomada igual a um metro e constituída por barras de aço CA40 CA50 ou CA60 pela expressão Asmín 015 bw h 15100 bw h Segundo o item 19232 da NB199 a armadura mínima em lajes tem a função de melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção bem como controlar a fissuração Ela deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ηb 15 ou por telas soldadas Os valores mínimos de armadura passiva aderente devem atender a armaduras negativas ρs ρmín armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções ρs 067 ρmín armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção ρs ρmín em que ρs As b h é a porcentagem de armadura passiva aderente se As for por metro de laje a largura b será igual a um metro e ρmín o valor dado na Tabela 42 do Capítulo 4 correspondente ao concreto adotado 7493 Armadura Máxima A armadura máxima de flexão em lajes é prescrita apenas pela NB199 item 19233 a qual indica que deve ser respeitado o limite dado no item 17242A3 transcrito neste livro no Capítulo 4 Seção 4222 7494 Armadura de Distribuição e Secundária de Flexão Em lajes armadas em uma só direção conforme o item 6311 da NB180 a armadura de distribuição por metro de largura da laje deve ter seção transversal de área igual ou superior a Tabela 76 Coeficientes kx ky kx e ky para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas casos 4 5 e 6 continuação Caso 4 Caso 5 Caso 6 λ kx kx ky ky kx ky ky kx ky 100 183 317 183 317 144 356 356 144 105 192 332 183 317 152 366 363 144 110 200 346 183 317 159 375 369 144 115 207 358 183 317 166 384 374 144 120 214 370 183 317 173 392 380 144 125 220 380 183 317 180 399 385 144 130 225 390 183 317 188 406 389 144 135 230 399 183 317 195 412 393 144 140 235 408 183 317 202 417 397 144 145 240 415 183 317 209 422 400 144 150 244 423 183 317 217 425 404 144 155 248 429 183 317 224 428 407 144 160 252 436 183 317 231 430 410 144 165 255 442 183 317 238 432 413 144 170 258 448 183 317 245 433 415 144 175 261 453 183 317 253 433 417 144 180 264 458 183 317 259 433 420 144 185 267 463 183 317 266 433 422 144 190 270 467 183 317 272 433 424 144 195 272 471 183 317 278 433 426 144 200 275 475 183 317 284 433 428 144 366 633 183 317 500 433 500 144 Tabela 76 Coeficientes kx ky kx e ky para o cálculo das reações nas vigas de apoio de lajes retangulares uniformemente carregadas casos 7 8 e 9 continuação Caso 7 Caso 8 Caso 9 λ kx ky ky kx ky ky kx ky 100 144 250 303 303 144 250 250 250 105 152 263 308 312 144 250 262 250 110 159 275 311 321 144 250 273 250 115 166 288 314 329 144 250 283 250 120 173 300 316 336 144 250 292 250 125 180 313 317 342 144 250 300 250 130 188 325 317 348 144 250 308 250 135 194 336 317 354 144 250 315 250 140 200 347 317 359 144 250 321 250 145 206 357 317 364 144 250 328 250 150 211 366 317 369 144 250 333 250 155 216 375 317 373 144 250 339 250 160 221 383 317 377 144 250 344 250 165 225 390 317 381 144 250 348 250 170 230 398 317 384 144 250 353 250 175 233 404 317 387 144 250 357 250 180 237 411 317 390 144 250 361 250 185 240 417 317 393 144 250 365 250 190 244 421 317 396 144 250 368 250 195 247 428 317 399 144 250 372 250 200 250 433 317 401 144 250 375 250 366 634 317 500 144 250 500 250 reações nas direções x e y nas vigas em bordas simplesmente apoiadas qx por exemplo referese a uma viga perpendicular ao eixo x qx kx p ellx 10 qy ky p ellx 10 719