Dimensionamento e Funções de Pilares em Estruturas

1 INTRODUGAO 11 DENOMINAGAO E CARGAS Pilar é um elemento linear de eixo reto usualmente disposto na vertical em que as forgas normais de compressdo sdo preponderantes A principal funcdo de um pilar é conduzir as agdes atuantes até as fundagées e junto com as vigas formar os pérticos que sdo os responsdveis por resistir ds agdes verticais e horizontais proporcionando rigidez e garantindo a estabilidade global da estrutura No caso de lajes planas onde ndo existem vigas as cargas atuantes nas lajes sdo transmitidas diretamente para os pilares devendose tomar cuidados com a verificagdo da pungdo As solicitagdes sdo representadas pelas reagdes verticais das vigas dos pavimentos pelo peso proprio e pelo momento fletor devido a alguns fatores como efeito de portico posido excéntrica de alguma viga consideragdo do vento efeitos de segunda ordem etc Para edificios com varios andares obtémse para cada pilar e no nivel de cada andar o subtotal de carga atuante desde a cobertura até os andares inferiores Essas cargas no nivel de cada andar sao utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar e a carga total é usada no projeto da fundagao De um modo geral o dimensionamento de um pilar deve garantir a resisténcia e a estabilidade da peca As secgoes transversais dos pilares sdo formadas pelo concreto material com boa resisténcia a compressdo e pela armadura longitudinal e transversal A armadura posicionada na diregdo da compressdo armadura longitudinal tem a funcdo de diminuir as deformagées da peca especialmente devido a deformacdo lenta e 4 retragdo do concreto além de contribuir para absorver as forgas atuantes A armadura transversal perpendicular a diregdo da compressdo tem a funcdo de garantir as barras comprimidas contra a flambagem e manter a posido destas barras durante a concretagem do pilar além de impedir a fissuragdo do concreto pois geralmente ocorre tragdo na diregdo transversal a compressao Em edificios a segdo transversal pode variar ao longo da altura do edificio sendo que a tendéncia atual por motivos construtivos é de manter a secdo transversal concreto do pilar constante ao longo de toda a altura variandose apenas a armadura Como normalmente o momento fletor troca de sentido ao longo de um lance de pilar por esse motivo utilizase a disposigdo simétrica da armadura longitudinal na sedo transversal 12 PILAR PAREDE Denominase pilarparede um elemento de superficie plana usualmente disposto na vertical e submetido preponderantemente a compressdo podendo ser composto por uma ou mais superficies associadas Para que se tenha um pilarparede em algumas destas superficies a menor dimensdo deve ser menor que 15 da maior ambas consideradas na segdo transversal da peca Devese lembrar que o dimensionamento de um pilar parede difere de um pilar convencional o que ndo sera estudado na disciplina de CARII 2 b b h PILAR h PAREDE b h5 PILAR b 5 13CLASSIFICACAO DOS PILARES Normalmente os pilares de edificios podem ser agrupados em dois conjuntos conforme a sua funcdo em termos de resisténcia a esforcos horizontais pilares de contraventamento e pilares contraventados a pilares de contraventamento sdo os pilares que devido a sua grande rigidez permitem considerar os diversos pisos do edificio como praticamente indeslocdveis Normalmente sdo constituidos pela caixa de elevador e por pilares devidamente enrigecidos e situados junto as extremidades do piso pilaresparede caixas de escadas sendo que o cdlculo destes pilares exige a consideragdo da estrutura como um todo ou seja o pilar a ser dimensionado deverd ser considerado como um Unico pilar desde o nivel da fundagdo até a cobertura do edificio 3 a SZ Portic I entreligado Nucleo U7 oo wr ALA at AI Parede y f al estrutura va oY b pilares contraventados sdo pilares com rigidez menor onde as extremidades de cada lance podem ser consideradas praticamente indeslocdveis devido ao efeito conjunto dos pilares de contraventamento e das lajes de piso O seu cdlculo pode ser feito através da andlise isolada de cada lance entre pisos Conforme a posicdo dos pilares contraventados no piso eles podem ser agrupados nos seguintes tipos conforme figura a seguir b1 pilares internos ou intermedidrios situados internamente ao piso constituem os apoios internos das vigas sendo a forga normal N seu principal esforco solicitante rae b2 pilares de extremidade geralmente situados nas bordas do piso constituem os apoios de extremidade das vigas Os esforgos solicitantes sdo a forga normal N e 0 momento fletor M atuando segundo o plano constituido pelo pilar e pela viga efeito de pilar de extremidade sendo este efeito normalmente substituido por um par N e se 4 b3 pilares de canto estdo situados junto aos cantos do piso Os esforgos solicitantes sdo a forca normal N e dois momentos fletores atuando segundo os planos constituidos pelo pilar e cada uma das vigas apoiadas ortogonais entre si x e y sendo este efeito normalmente substituido por um conjunto de valores N all xe SE Os esforgos que podem atuar num pilar podem ser devido a solicitagdes de compressao flexdo esforgo cortante e momento torsor sendo que os dois ultimos esforcos sdo normalmente desprezados A flexdo pode ocorrer pela mudanga no prumo dos pilares ou pelo momento causado pelas vigas se for considerado que estas sdo soliddrias com os pilares efeito de portico De modo geral os pilares podem ser divididos em trés grupos bdsicos com metodologias proprias de dimensionamento como pode ser observado na figura abaixo ll Compressdo centrada Flexocompressdo normal I Flexocompressao obliqua 14 POSICIONAMENTO DOS PILARES Para a localizagdao dos pilares recomendase iniciar sempre pelos cantos da edificagdo e a partir dai pelas areas que geralmente sdo comuns a todos os pavimentos area de 5 elevadores e de escadas e onde se localizam na cobertura a casa de mdquinas e o reservatorio superior Em seguida posicionamse os pilares de extremidade e os pilares internos buscando embutilos nas paredes ou procurando respeitar as imposides do projeto de arquitetura Sempre que possivel devese dispor os pilares de forma alinhada a fim de formar porticos com as vigas que os unem que contribuirdo significativamente na estabilidade global do edificio Usualmente os pilares sao dispostos de forma que resultem distancias entre seus eixos da ordem de 4 ma 6m lembrandose que distdncias muito grandes entre pilares produzem vigas com dimensdes incompativeis acarretando maiores custos a construgdo maiores secdes transversais dos pilares maiores taxas de armadura dificuldades nas montagens da armacdo e das formas etc Por outro lado pilares muito préximos podem acarretar interferéncia nos elementos de fundacgdo e aumento do consumo de materiais e de mdodeobra afetando desfavoravelmente os custos Posicionados os pilares no pavimentotipo devese verificar suas interferéncias nos demais pavimentos que compdem a edificagdo Assim por exemplo devese verificar se o arranjo dos pilares fornece o nimero de vagas estipulado permite a realizagdo de manobras dos carros nos andares de garagem ou se ndo afetam as dreas sociais tais como recepgao sala de estar saldo de jogos e de festas etc Na impossibilidade de compatibilizar a distribuido dos pilares entre os diversos pavimentos pode haver a necessidade de um pavimento de transicgdo Nesta situagdo a prumada do pilar é alterada empregandose uma viga de transicao que recebe a carga do pilar superior e a transfere para o pilar inferior na sua nova posicdo Nos edificios de muitos andares devem ser evitadas grandes transicdes pois os esforgos na viga podem resultar exagerados provocando aumento significativo de custos 2 DISPOSICOES CONSTRUTIVAS E PRESCRICOES REGULAMENTARES A execucdo da armagdo de um pilar envolve diversas etapas a saber Wd Halli 5 Healt ZA i RS i SA wasgiseesteobo a oR aaa ee Corte Dobra PréMontagem Montagem Na determinagdo e no detalhamento da armadura longitudinal e da armadura transversal de um pilar devese respeitar algumas condicdes que sao 6 21 DIMENSGES MINIMAS PARA PILARES Para que ndo se tenha um desempenho inadequado a segdo transversal de um pilar ndo pode ser menor do que 360 cm endo pode apresentar dimensdio menor que 19 cm Isto se deve ao fato de se ter um aumento da probabilidade de ocorréncia de desvios relativos e falhas na construgdo quando do uso de dimensdes muito pequenas Em casos especiais permitese usar um valor de no minimo 12 cm desde que se multipliquem as agdes a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional 7 de acordo com a tabela abaixo onde b representa a menor dimensdo do pilar y 195005b ob 29 18 i w 6 4 3 2 Desta forma para um pilar de secdo transversal 25x40 o esforco axial de compressdo de cdlculo seria Ni VrNy onde 7 representa o coeficiente de majoragdo de cargas caracteristicas visto na disciplina de Concreto Armado I tomado normalmente com o valor de 14 Por outro lado para um pilar de segdo transversal 15x50 o esforgo a considerar seria N 12L4N Obs dependendo do recobrimento minimo a ser recomendado em funcdo da Classe de Agressividade Ambiental temse que dimensdes préximas de 12 cm sdo praticamente invidveis de ser utilizadas 22 COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE UM PILAR Para um pilar suposto vinculado em ambas as extremidades o comprimento equivalente do elemento isolado é o menor dos seguintes valores lj th L l onde a distancia entre as faces internas dos elementos estruturais supostos horizontais que vinculam o pilar h é aaltura da secdo transversal do pilar medida no plano da estrutura 7 éadistancia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar esta vinculado JL No caso de pilar engastado na base e livre no topo o valor de é 12I Obs na determinagdo do comprimento equivalente devese observar o conjunto de pilares e pisos verificando se existe travamento ou ndo diferente nas duas diregdes dos eixos principais Esta consideragdo é importante no caso de vigas situadas no patamar de escadas normalmente colocadas no meio do pé direito 23 COBRIMENTO DA ARMADURA DE UM PILAR Com vistas a protegdo das armaduras e lembrandose que o cobrimento nominal é o cobrimento minimo acrescido de uma tolerancia de execugdo Ac a depender fundamentalmente da classe de agressividade ambiental devese atender Classe de agressividade I Ir tr Iv Cobrimento nominal mm Os cobrimentos sdo sempre referidos a superficie da armadura externa em geral a face externa do estribo O cobrimento nominal deve também atender a condicdo de ser maior que o didmetro da barra e o diametro maximo do agregado utilizado deve ser A imax 12C5m Para garantir o cobrimento necessdrio podese utilizar espagadores conforme figura a seguir 8 v4 i ci Z VY Sayer E Pa ig at fn ae if ae es a I 1 Te J 24 DIAMETRO DA BARRA LONGITUDINAL O didmetro das barras longitudinais ndo deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 18 da menor dimensdo transversal 10mm b8 25 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MINIMA PARA PILARES Tendo sido determinada a armadura longitudinal de um pilar devese verificar uma armadura minima A N A 015 04A Tvva onde A representa a drea de concreto da secdo transversal do pilar 26 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MAXIMA PARA PILARES A maior armadura possivel em pilares deve ser de 8 da secdo real considerandose inclusive a sobreposigdo de armadura existente em regides de emenda A max 8A Obs alguns autores consideram que uma taxa de armadura é econdmica quando esta entre 1 215 27 ARRANJO DA ARMADURA EM PILARES Em segées poligonais de um pilar deve existir pelo menos uma barra em cada vértice e em secées circulares no minimo seis barras distribuidas ao longo do perimetro 9 28 ESPACAMENTO ENTRE BARRAS LONGITUDINAIS 281 ESPACAMENTO MINIMO ENTRE BARRAS O espagamento livre minimo a entre as armaduras medido no plano da secdo transversal deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores 2cm az 12d 1 Estes valores também se aplicam ds regides de emendas por traspasse das barras esperas a a a PE as 7 Oo re S ea Be ea I I 1 CE pia a e Sem emendas Com emendas por traspasse por traspasse 282 ESPACAMENTO MAXIMO ENTRE BARRAS O espagamento mdximo entre eixos das barras a ou de centros de feixes de barras deve ser menor ou igual a 2 vezes a menor dimensdo no trecho considerado sem exceder 40 cm 10 40cm as 2 vezes menor dim ensdo Obs quando no plano de concretagem do pilar existir a previsdo de adensamento através de abertura lateral na face da forma o espagamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador 29 ARMADURA TRANSVERSAL EM PILARES A armadura transversal de pilares deve ser constituida por estribos e algumas vezes por ganchos suplementares devendo ser colocados em toda a altura do pilar inclusive na regido de cruzamento com vigas e lajes Esta armadura deve garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais garantir a costura das emendas de barras longitudinais e confinar o concreto obtendo desta forma uma peca mais resistente ou dictil O didmetro do estribo também conhecido como diametro transversal em pilares ndo deve ser inferior a 5 mm nem a do didmetro da barra isolada ou do diametro equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal 5mm 2 g 4 P wire 4 O espagamento longitudinal entre os estribos s medido na diregdo do eixo do pilar deve ser igual ao inferior ao menor dos seguintes valores 20 cm menor dim ensdo da secao transversal ss 120 para aco CA50 250 para aco CA25 Observacées em pilares com momentos nas extremidades portanto nos pilares em geral e nos pré moldados LEONHARDT MONNIG 1978 recomendam que se disponham nas suas extremidades 2 a 3 estribos com espagamento iguala s2 es4 11 a A s id s2 5 gene ZA a s2 8 4 A SN por razées praticas aconselhase que para 216mm utilizese os didmetros de estribo sugeridos pela tabela a seguir 100 e 125 160 e 200 250e320 80 é importante também que se tome cuidados durante a concretagem dos trechos de intersegdo dos pilares com as vigas que nelas se apoiam por causa do actimulo de armadura que ai se verifica pode ser adotado um valor de 4 desde que as armaduras sejam constituidas do mesmo tipo de ago e o espagamento respeite também a condido 2 1 s 900002 p Sv 210 PROTEGAO CONTRA FLAMBAGEM DAS BARRAS Para garantir que nado haja problemas com flambagem das barras da armadura junto a superficie da pega podese usar grampos ou estribos poligonais sempre que as barras longitudinais estejam a uma distancia 2 20 do canto e desde que nesse trecho de comprimento 20 ndo se tenha mais de duas barras sem contar a do canto onde é 0 didmetro da armadura transversal estribo 12 209 LJ 209 209 S20f 209 todas protegidas tedas protagidas barra Intermadiivla nao protagida Lct3 C4 Le dole estrbes pollgonals umn eshibe paligonal uma barra barma com ganche envalvenca o com ganache éstripo prindipaly Observase que os ganchos devem atravessar a segdo da pega e envolver a barra longitudinal e o estribo devendo possuir o mesmo didmetro e mesmo espagamento do estribo Para que ndo seja necessdrio detalhar os ganchos um a um podese fazer um detalhe genérico dos mesmos em algum canto da folha de detalhamento dos pilares colocando as informagées acima 211 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS ESPERAS Para garantir a transferéncia de carga num determinado pilar entre pavimentos sucessivos é necessdrio considerar um comprimento de ancoragem dado por 06 A calc lene l 1 2 15 set 20cm Onde A cates A of armadura longitudinal de compressdo calculada e efetivamente usada e 1 Q hva 4 fa 13 sendo f a tensdo ultima de aderéncia Através de tabela abaixo vdlida para o ago CA5O vide a disciplina de CARI temse que 1Ko sendo que os valores a serem adotados para K sao fa We kK 53 44 38 34 30 28 25 24 Obs para pilares considerase que a armadura longitudinal dos mesmos esta sempre em zona de boa aderéncia 212 PREDIMENSIONAMENTO DA SECAO TRANSVERSAL Para efeito de prédimensionamento a drea da segdo transversal pode ser estimada através da carga total prevista para o pilar Por sua vez esta carga pode ser estimada através da drea de influéncia total do pilar em questdo 4 No caso de andarestipo ela equivale a area de influéncia em um andar multiplicada pelo numero de andares existentes acima do lance considerado Convém salientar que quanto maior for a uniformidade no alinhamento dos pilares e na distribuigdo dos vdos e das cargas maior serd a precisdo dos resultados obtidos Ha que se salientar também que em alguns casos este processo pode levar a resultados muito imprecisos A carga total média em edificios p varia de 10 KNm2 a 12 kNm2 podendo ainda ser considerada para estruturas leves um valor de 8 kNm2 Portanto temse P tot Ay P med Usualmente a resisténcia admissivel do concreto 0 pode variar entre 1 kKNcm2 a 15 kNcm2 Assim A Pot cam A partir de A temse as dimensdes da secdo transversal do pilar devendose respeitar os limites vistos no item 21 deste mesmo capitulo Esta expressdo fornece resultados bem adequados no caso de pilares internos ou de extremidade na diregdo da maior dimensdo Porém para pilares de extremidade considerados na diregdo da menor dimensdo é interessante que se majore esta estimativa de A em 10e para pilares de canto em 30 Desta forma se leva em conta o efeito das excentricidades das cargas 14 Para a carga devida ao pavimento de cobertura podese considerar que esta carga é 70 da carga do pavimento tipo Também ndo se pode ignorar no prédimensionamento dos pilares a existéncia de caixa ddgua superior casa de mdquina e outros equipamentos devendo se estimar os carregamentos gerados por eles nos pilares que os sustentam A secdo do pilar pode ser mantida constante ao longo de um lance entre pisos consecutivos ou pode variar ao longo de sua altura total Esta variagdo pode ser feita a cada grupo de 3 andares a critério do calculista Quando e esta é uma tendéncia em alguns centros a secdo for mantida constante ao longo da altura total ela pode ser predimensionada no ponto mais carregado adotandose uma tensdo admissivel em torno de 13 kNcm2 Em principio adotamse para as dimensdes do pilar multiplos de 5 cm 20 cm 25 cm etc lembrandose que no caso de se usar blocos de concreto os mesmos apresentam medidas quaisquer sdo bastante usados os blocos de base 14 cm ou 19 cm Obs é também bastante comum que os calculistas fagam um prédimensionamento da secdo transversal do pilar dividindose a carga no pavimento considerado através de drea de influéncia pela resisténcia de cdlculo 4 compressdo do concreto f 213 EXEMPLO DE DETALHAMENTO Os pilares podem ser detalhados de varias formas sendo que o detalhamento deve apresentar a armadura longitudinal e transversal do pilar para o pavimento considerado indicandose a quantidade a numeragdo a bitola e o comprimento da armadura em questdo Para exemplo vide o arquivo EXEMPLO DETALHAMENTO PILARES no link www joinvilleudescbrportalprofessoressandra 214 OBSERVACOES GERAIS os blocos de fundagdo devem ser concretados antes do inicio da execugdo dos pilares e por isto toda a armadura do pilar é emendada no topo do bloco armadura de arranque a altura do bloco de fundagdo deve permitir a ancoragem por aderéncia da armadura de arranque garantindose o comprimento necessdrio de emenda por traspasse as barras do primeiro tramo do pilar normalmente tomase para armadura de arranque o mesmo valor da armadura calculada para o pavimento logo acima No caso de sapatas a depender da profundidade da mesma é comum que se aumente o colarinho 25 cm para cada lado e também se utilize a mesma armadura do pavimento logo acima H h2l 15 as emendas da armadura longitudinal de um pilar devem ser feitas acima da laje dos diferentes andares da construcdo ene quando nado ha mudanga da secdo transversal do pilar de um tramo ao seguinte somente tém o comprimento necessdrio a emenda por traspasse as barras que efetivamente irdo ter prolongamento no tramo superior ye 6N quando hd mudanga da secao transversal do pilar o comprimento para emenda por traspasse so é mantido nas barras que possam passar de um tramo a outro a despeito da mudanga da segdo de concreto Quando o prolongamento da barra nao é possivel empregamse barras suplementares que funcionam como arranque para o prolongamento do pilar 4N 4N 16 ndo se recomenda a emenda representada no desenho abaixo detalhe chamado de engarrafamento da armadura 4N 4N 3 DETERMINAGAO DAS EXCENTRICIDADES 31 EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM Dizse que os esforcos calculados a partir da geometria inicial indeformada da estrutura sdo chamados efeitos de primeira ordem As excentricidades de primeira ordem consideradas em um projeto estrutural sdo excentricidade inicial que pode ser devido ao efeito de portico ou devido a posigdo da viga em relagdo aos eixos do pilar excentricidade acidental excentricidade suplementar 311 EXCENTRICIDADE INICIAL e a EXCENTRICIDADE DE FORMA Em estruturas de edificios as posigées das vigas e dos pilares na planta de formas do pavimento dependem basicamente do projeto arquiteténico Assim é comum em projetos a coincidéncia entre faces internas ou externas das vigas com as faces do pilares que as apdiam surgindo assim pilares centrados de extremidade ou de canto 17 y Pt P2 x x Ete i a Pilar interno b Pilar de borda y P4 aye oy Bre ct Pilar de canto Quando os eixos baricéntricos das vigas ndo passam pelo centro de gravidade da segdo transversal do pilar as reacgdes das vigas apresentam excentricidades que sdo denominadas excentricidades de forma As excentricidades de forma em geral ndo sdo consideradas no dimensionamento dos pilares pelas razdes apresentadas a seguir A figura a seguir mostra as vigas V1 e V4 que se apoiam no pilar P1 com excentricidades de forma e e e respectivamente As tensdes causadas pela reagao da viga V1 pelo principio de SaintVenant propagamse com um Gngulo de 45 e logo se uniformizam distribuindose por toda a secdo transversal do pilar em um plano qualquer P 2 T op po Vt Ander vTo4 e y vao4a x a 5 ba Corte BB 18 4 Mavrot s 124 vires praca i wTo4 Mtoe a at rs W704 14 pom Mara 1 at WTo4 I2 WTO4 A excentricidade de forma provoca no nivel de cada andar um momento fletor Myo Ryo que tende a ser equilibrado por um bindrio Na figura anterior temse também representados esquematicamente os eixos dos pilares em vdrios tramos sucessivos os momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os bindrios que os equilibram Observase que em cada piso atuam pares de forcas em sentidos contrdrios com valores da mesma ordem de grandeza e que portanto tendem a se anular A rigor apenas no nivel da fundacdo e da cobertura as excentricidades de forma deveriam ser levadas em conta Entretanto mesmo nesses niveis elas costumam ser desprezadas No nivel da fundagdo sendo muito grande o valor da forga normal proveniente dos andares superiores o acréscimo de uma pequena excentricidade da reagdo da viga ndo afeta significativamente os resultados do dimensionamento Ja no nivel da cobertura os pilares sdo pouco solicitados e dispdem de armadura minima em geral capaz de absorver os esforgos adicionais causados pela excentricidade de forma Obs em estruturas prémoldadas por exemplo a consideragdo da excentricidade de forma ou de posigdo tornase bastante importante Também é muito importante no caso de mudanga da dimensdo da secdo transversal como pode ser visto na figura a seguir b EXCENTRICIDADE EM PILARES DE EXTREMIDADE EFEITO DE PORTICO Em estruturas de edificios de vdrios andares ocorre um monolitismo nas ligacdes entre vigas e pilares que compdem os pérticos de concreto armado A excentricidade inicial 19 oriunda das ligagdes dos pilares com as vigas neles interrompidas ocorre em pilares extremos e de canto e 0 efeito é conhecido como efeito de pértico A partir das agées atuantes em cada tramo do pilar as excentricidades iniciais no topo e na base sdo obtidas pelas expressédes M po M sase topo NO e base iN Para vigas centradas no eixo do pilar as solicitagées iniciais de um pilar intermedidrio podem ser calculadas sem a consideracdo de momentos sendo a solicitagdo inicial devido somente a forca normal oriunda do carregamento aplicado podendose considerar compressdo centrada dentro de certos critérios que serdo vistos posteriormente Por outro lado um pilar de extremidade ou de canto deve ser obrigatoriamente calculado a flexdo composta normal ou obliqua dependendo do posicionamento das vigas porque existe um engastamento parcial devido a consideragdo de nd de portico Este engastamento é dito parcial porque a idade do concreto no nivel i é diferente da idade do concreto no nivel i1 ou i1 Seja o seguinte esquema NIVEL i1 a NIVEL j H Live NIVEL Analisandose esta figura os momentos no no do pértico podem ser calculados por um modelo simplificado dado pela NBR 61182003 20 eyo 2 Sinn 2 Puig Obs dependendo da condigdo 0 apoio da extremidade oposta ao nd de pértico poderd ser considerado um apoio simples ou um engaste Para um esquema de vigapilar de extremidade os momentos fletores dos nds dos pilares extremos podem ser calculados pelas expressdes Lr inf Mins M Sg Ting Fup Nviea r sup M oy M 4 Tine TSup Nviea Lom 1 f M vig M ong sup in Tine 7 oup yiga onde I indice de rigidez do pilar inferior Ling Foe Lie 2 Tuy indice de rigidez do pilar superior r Loup sup Lup 12 Nig indice de rigidez da viga 21 r Lig vig Lig Z uy Ling Momento de inércia na diregdo considerada dos pilares superior e inferior Lig momento de inércia da viga Lowy Ling altura do pilar superior e inferior Lig Vao da viga M ong momento de engastamento perfeito da viga de acordo com o carregamento e condigées de apoio consideradas viga biengastada ou viga engastadaapoiada Este valor pode ser tomado pelas tabelas 28 e 28A da disciplina de Teoria das Estruturas IT J A Tabela 28 Tabela 28A Das formulas anteriores observase que para as vigas apoiadas em pilares extremos devese considerar o momento de engastamento parcial M devido ao efeito de pértico existente apds a concretagem de um determinado piso Como ja foi dito anteriormente dizse que o engastamento é parcial porque o concreto do nivel i tem idade diferente do concreto do nivel i1 ou do nivel i1 ndo havendo portanto um engastamento total Observase também que para as extremidades opostas de um pilar extremo surgem momentos ditos no topo e na base e como conseqtiéncia surgem também excentricidades devido ao efeito de portico no topo e na base destes pilares M topo M topo topo N M vase base N Para o cdlculo dos momentos fletores é indispensdvel um prévio conhecimento da secdo transversal do pilar devendose analisar corretamente a diregdo em que se deve analisar 22 o efeito de portico tomandose os devidos cuidados quando existir mudanga de rigidez ou de altura de um pavimento a outro Como conclusdo final podese dizer que independente da posigdo das vigas em relagdo aos eixos principais dos pilares um pilar de extremidade vai ser um caso de flexdo composta normal efeito de portico numa so direcdo e um pilar de canto vai ser um caso de flexdo composta obliqua efeito de portico em duas direcdes Obs segundo apostila do prof Libdnio Sdo Carlos os momentos de engastamento deveriam ser multiplicados pelos seguintes valores a fim de uma melhor aproximagdo com a situagdo real naviga Ate 3tap Atyie tig tiny a 3fap no tramo superior do pilar Ate lige ay a a 3Tjp no tramo inferior do pilar Ai yje igg ayy 312 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL e Devido as incertezas relativas 4 posigdo real de aplicagdo de um esforco normal e devido a um possivel desvio do eixo da pega durante a construgdo em relacgdo a posicdo prevista no projeto a NBR 611878 considerava um valor de excentricidade acidental igual a h30 e ndo menor que 2 cm na direcdo considerada Segundo alguns pesquisadores este valor absoluto de 2 cm poderia resultar em uma excentricidade acidental muito exagerada em pilares de pequenas dimensdes em torno de 20 a 30 cm A nova NBR 61182003 considera as imperfeicdes geométricas do eixo das pecas da estrutura descarregada sendo elas divididas em dois grupos imperfeigdes globais e imperfeicdes locais De uma forma genérica as construgdes de concreto sdo geometricamente imperfeitas uma vez que existem imperfeicdes na posicdo e na forma dos eixos dos elementos na forma e nas dimensées da secdo transversal na distribuigdo da armadura etc Muitas dessas imperfeicdes podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de ponderagdo minoragdo das resisténcias majoragdo dos esforcos mas as imperfeigdes dos eixos das pegas nao pois podem ter efeitos significativos sobre a estabilidade da construgdo Na andlise global das estruturas reticuladas contraventadas ou ndo deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura a seguir 23 8 Hy 11n 0 6 2 0 tL 20 1 I min 100V7 onde altura total da edificagdo em metros n numero total de elementos verticais continuos ntimero de prumadas 6 nin 1400 para estruturas de nés fixos ou 1300 para estruturas de nds méveis e imperfeicgdes locais A max 1200 Esse desaprumo ndo precisa ser superposto ao carregamento de vento Entre os dois vento e desaprumo pode ser considerado apenas aquele mais desfavordvel o que provoca o maior momento total na base da construcdo Na andlise local de elementos de estruturas reticuladas devem também ser levados em conta os efeitos de imperfeigdes geométricas locais Para a verificagdo de somente um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar conforme figura abaixo Elemento de ligagao ZA Cw Yo Yi id 1Pilar dé contraveniamento 2Pilar contraventado 3Elemento de ligagao entre os pilares 142 24 i i 2 fF NFS ajFalta de retilinidade bjDesaprumo Admitese que nos casos usuais a consideracdo da falta de retilinidade seja suficiente Assim a excentricidade acidental pode ser obtida pela expressdo e912 No caso de elementos usualmente vigas e lajes que ligam pilares contraventados a pilares de contraventamento deve ser considerada a tragdo decorrente do desaprumo do pilar contraventado conforme figura anterior No caso de pilares em balango como torres e pilares de galpdes é mais indicado que se considere o desaprumo ou seja e6 313 EXCENTRICIDADE SUPLEMENTAR ce A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluéncia sendo que sua consideragdo deve ser obrigatéria em pilares com indice de esbeltez maior que 90 consideragdo esta que é bastante complexa e que ndo serd estudada na disciplina de CARIT A expressdo aproximada da excentricidade suplementar é dada pela formula a seguir sendo que o indice c diz respeito a creep fluéncia em inglés ON se M Vu e e 2718 1 Ns Temse que 1OE0 N 7 é a forga de flambagem de Euler M Ns esforgos solicitantes devidos 4 combinagdo quase permanente de carregamento e excentricidade acidental devida as imperfeicées locais y coeficiente de fluéncia E modulo de elasticidade inicial do concreto dado por 25 E 5600 7 Mpa I momento de inércia no estddio I ndo fissurado comprimento equivalente do pilar Devido a sua complexidade este assunto ndo serd abordado nesta disciplina uma vez que seria necessdrio se levar em conta o tempo de duracdo de cada agdo ou seja deveriase conhecer o histérico de aplicagdo de cada acao 314 COMPOSICAO DA EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM Tendo sido determinadas conforme o caso de solicitagdo a excentricidade inicial e acidental devido aos efeitos de imperfeicdes locais e também no caso do indice de esbeltez ser maior que 90 a excentricidade suplementar definese a excentricidade de primeira ordem como sendo e e te e De maneira andloga definese como momento de primeira ordem M N ie O efeito das imperfeigdes locais nos pilares pode ser substituido em estruturas reticuladas pela consideragdo do momento minimo de primeira ordem dado por Ma min N 0015 003h onde h representa a altura total da segdo transversal na direcdo considerada em metros Devese entdo comparar e verificar Mi 2 My amin De uma outra forma podese dizer que existe uma excentricidade inicial de primeira ordem minima que vale Qi min 15cm 3h cm Nas estruturas reticuladas usuais admitese que o efeito das imperfeigoes locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total minimo No caso de pilares submetidos a flexdo obliqua composta esse minimo deve ser respeitado em cada uma das direcédes principais separadamente 26 Devese salientar que as expressdes dadas anteriormente estado quase que inteiramente baseadas nas recomendagdes do EUROCODE 2 1992 e no Cédigo Modelo CEB FIP 1990 Uma outra observagdo importante é que ndo existem na pratica pilares com carga final normal centrada uma vez que mesmo para os pilares centrais com carga axial supostamente centrada é necessdrio observar o momento minimo de 1 ordem atuando na diregdo mais fraca a fim de considerar a excentricidade acidental 32 INSTABILIDADE E EXCENTRICIDADES DE SEGUNDA ORDEM Dizse que uma estrutura de concreto armado atingiu o estado limite de instabilidade se ao crescer a intensidade do carregamento e portanto das deformagées ha elementos submetidos a flexocompressdo em que o aumento da capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitagdo No nosso estudo serdo apenas consideradas estruturas sem imperfeigdes geométricas iniciais onde para casos especiais de carregamento ocorre a perda da estabilidade por bifurcacdo do equilibrio efeito também conhecido por flambagem Um efeito de 2 ordem deve ser somado dqueles obtidos numa andlise de primeira ordem ou seja quando se estuda o equilibrio da estrutura numa configuragdo geométrica inicial indeformada Este efeito pode ser desprezado sempre que ndo represente um acréscimo superior a 10 nas reagées e principais solicitacdes da estrutura Como principio bdsico devese assegurar que para a pior situagdo de carregamento ndo ocorra perda de estabilidade e nem esgotamento da capacidade resistente de cdlculo A consideracdo dos efeitos de 2 ordem conduz a ndo linearidade entre as acdes e deformacédes Esta nao linearidade devido a sua origem chamada de nao linearidade geométrica A consideragdo da fissuracgdo e fluéncia do concreto também conduz a uma nao linearidade entre agdes e deformacdes chamada neste caso de nao linearidade fisica 321 ESTRUTURAS DE NOS FIXOS E DE NOS MOVEIS Quando as estruturas sdo submetidas as acées verticais e horizontais seus nds deslocamse horizontalmente Os esforgcos de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos sao denominados de efeitos globais de 2 ordem Nas barras da estrutura como um lance de pilar os respectivos eixos ndo se mantém retilineos surgindo ai efeitos locais de 2 ordem que afetam principalmente os esforgos solicitantes ao longo dessas barras Se formos considerar a rigor o comportamento real das estruturas podese dizer que todas sdo deslocdveis mas que para simplificagdo da andlise podese classificdlas em estruturas de nds fixos sdo aquelas onde os deslocamentos horizontais dos nds sdo pequenos inferiores a 10 dos respectivos esforcos de 1 ordem e por decorréncia os efeitos globais de 2 ordem sao despreziveis bastando considerar os efeitos locais e localizados de 2 ordem Na disciplina de CARII s6 serdo consideradas estruturas de nds fixos estruturas de nds mdveis sdo aquelas onde os deslocamentos horizontais ndo sdo pequenos superiores a 10 dos respectivos esforgos de 1 ordem e portanto os efeitos globais de 2 ordem sdo importantes devendose considerar obrigatoriamente tanto os esforgos de 2 ordem globais como os locais e localizados 27 Obs existem estruturas como postes certos pilares de pontes e de galpdes industriais em que os deslocamentos horizontais sdo grandes mas os efeitos de 2 ordem podem ser desprezados em virtude das cargas verticais serem pequenas e portanto os deslocamentos produzidos por elas também serem pequenos Mas como saber se uma estrutura pode ser considerada de nés fixos Para responder a esta pergunta a NBR61182003 considera um pardmetro de instabilidade e considera que uma determinada estrutura pode ser considerada de nds fixos se este pardmetro de instabilidade for menor que um valor N aH nés fixos Et sendo sens3 9a 020In sen24 a 07 para contraventamento constituido exclusivamente por pilaresparede a 06 para associagées de pilaresparede e porticos a 05 quando sé houver pérticos onde n numero de niveis de barras horizontais andares acima da fundagdo ou de um nivel pouco deslocdvel do subsolo H altura total da estrutura medida a partir do topo da fundagdo ou de um nivel pouco deslocdvel do subsolo N somatoria de todas as cargas verticais atuantes na estrutura a partir do nivel considerado para o cdlculo de H com seu valor caracteristico EI somatéria dos valores de rigidez de todos os pilares na diregdo considerada No caso de estruturas de pérticos de trelicgas ou mistas ou com pilares de rigidez varidvel ao longo da altura pode ser considerado o valor da expressdo EJ de um pilar equivalente de sedo constante engastado na base e livre no topo O valor de I deve ser calculado considerando as secdes brutas dos pilares A rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento sob a acdo do carregamento horizontal considerandose a associagdo de todos os porticos que participam dessa estrutura de contraventamento Essa associagdo entre os porticos é possivel porque como as lajes possuem rigidez infinita no plano horizontal elas permitem que os porticos e paredes trabalhem de modo conjunto para resistir as agées horizontais Para representar as lajes fazendo a associagdo entre os porticos utilizamse barras biarticuladas com drea infinita 28 calcular a rigidez de um pilar equivalente de secdo constante engastado na base e livre no topo de mesma altura H tal que sob a agdo do mesmo carregamento sofra o mesmo deslocamento no topo Seja o exemplo a seguir y jee x Planta Portico Px2 Portico Portico Portico PyI Py2 Py3 I PorticoPx1 PorticoPx2 4 LA a artico Px ortico Seren ome os S if s f ll eT f Hoo a Aone Pilar ivalent Barra rigidaLaje Peer rotulada nas extremidades Conhecendose o valor do deslocamento a podese determinar o valor da rigidez do pilar equivalente por meio da expressdo abaixo 1 a 3 heer 1H epee Se a37 1 a 3 Es c i H i 1H q 1 a entao E ga J Ainda lembrandose da disciplina de CARI temse que E 5600 f MPa E 985E 29 Devese lembrar que sob a agdo de forgas horizontais a estrutura é sempre calculada como deslocdvel O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nos fixos dispensa apenas a consideracdo dos esforgos globais de 2 ordem Também é importante destacar que um edificio pode ter um comportamento de nds fixos em uma diregdo e ter um comportamento de nés méveis na outra 322 CLASSIFICACGAO DOS PILARES QUANTO A ESBELTEZ Os pilares podem ser classificados com relagdo as solicitagées iniciais e com relagdo a sua esbeltez Como jd foi dito anteriormente de acordo com a posigdo que ocupam na estrutura e principalmente com os esforcos solicitantes iniciais os pilares podem ser classificados em pilares intermedidrios de extremidade e de canto De acordo com o indice de esbeltez A os pilares podem ser classificados comparativamente a um indice de esbeltez limite A como sendo pilares pouco esbeltos A pilares de esbeltez média ou pilares robustos 1 1 90 pilares esbeltos ou muito esbeltos 902140 pilares excessivamente esbeltos 140 A 200 Ndo se admite em nenhum caso pilares com indice de esbeltez superior a 200 Esta regra nado precisa ser aplicada no case de postes com uma forga normal menor que 010 74 Obs para pilares esbeltos ou excessivamente esbeltos devese levar em conta o efeito da fluéncia através da consideracdo da excentricidade suplementar uma vez que A90 323 DETERMINACAO DO INDICE DE ESBELTEZ 1 Quando uma estrutura é considerada como de nds fixos podese considerar cada elemento estrutural isoladamente com vinculo aos demais elementos através das extremidades dispensandose apenas a consideracdo dos esforcos globais de 2 ordem Para determinagdo do comprimento equivalente ou comprimento de flambagem do elemento isolado devese utilizar o procedimento visto no item 22 onde I th ls l O indice de esbeltez é definido pela expressdo l A i 30 onde comprimento equivalente do elemento isolado i raio de giragdo minimo da segdo bruta de concreto i A Considerandose o coeficiente de forma c ou coeficiente de Euler temse que a expressdo do indice de esbeltez pode ser escrita como l Ac h onde se tem h menor dimensdo da pega na direcdo em que é considerada a flambagem c 346 secdo retangular c 374 secdo hexagonal c 389 secdo octogonal c 400 secdo circular Devese lembrar que indice de esbeltez deve ser calculado separadamente para cada diregdo Cuidados especiais também devem ser tomados no caso de haver vigas que travem um determinado pilar numa determinada diregdo como por exemplo em pilares da caixa de escada 324 DETERMINAGAO DO INDICE DE ESBELTEZ LIMITE A Pela NBR61182003 os esforgos locais de 2 ordem podem ser desprezados sempre que Ah onde A representa um valor limite do indice de esbeltez que depende de diversos fatores entre os quais a excentricidade relativa de 1 ordem eh a vinculagdo dos extremos da coluna isolada e a forma do diagrama de momentos de 1 ordem O valor de A pode ser calculado pela expressdo 25125e h A a com a limitacgdo de que 31 35A 90 sendo e a excentricidade de 1 ordem ndo inclui a excentricidade acidental A NBR 61182003 nado deixa claro como se adota este valor Na dtvida podese admitir no cdlculo da esbeltez limite A uma excentricidade de primeira ordem sem a excentricidade acidental igual ao menor valor no trecho considerado Ou entdo para pilares usuais de edificios vinculados nas duas extremidades e na falta de um critério mais especifico é razodvel considerar e 0 O valor de pode ser obtido considerandose a seo pilar for biapoiado sem cargas transversais M a 060 040 M com 04a 10 b seopilar for biapoiado com cargas transversais significativas ao longo da altura a 10 Nas formulas anteriores os momentos de 1 ordem M e M sdo os momentos nos extremos do pilar tomandose para M 0 maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e tomandose para M o sinal positivo se tracionar a mesma face que M e negativo em caso contrario M A M A M c seo pilar for em balango 32 M a 080 020 M com 085a 10 onde M é 0 momento de 1 ordem no engaste e M é 0 momento de 1 ordem no meio do pilar em balango d seo pilar for biapoiado ou em balango com momentos menores que o momento minimo como por exemplo na compressdo simples a 10 O momento minimo total de primeira ordem ja foi definido anteriormente e sua expressdo é M amin N 4 0015 003h com h em metros Obs considerando que A 235 concluise que independentemente do caso de dimensionamento sempre que o pilar possuir indice de esbeltez menor do que 35 ndo é necessdrio considerar a excentricidade de segunda ordem 325 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM A forga normal atuante em um pilar sob as excentricidades de primeira ordem inicial acidental e suplementar quando for o caso provoca deformagédes que ddo origem a uma nova excentricidade denominada excentricidade de segunda ordem A excentricidade de segunda ordem deve ser sempre calculada quando A A N pr eo A determinagdo dos efeitos locais de segunda ordem em barras submetidas a flexo compressdo normal pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados O método 33 geral deve ser obrigatoriamente utilizado para 2140 e serd aqui apresentado de forma bastante simplificada Dos métodos aproximados mais importantes temse o método do pilar padrdo com curvatura aproximada e o método do pilar padrdo com rigidez K capa aproximada 3251 METODO GERAL O método geral consiste em estudar o comportamento da barra a medida que se dd o aumento do carregamento ou de sua excentricidade E aplicdvel a qualquer tipo de pilar inclusive nos casos em que a dimensdo da pega a armadura ou a forga aplicada sdo varidveis ao longo do seu comprimento A utilizagdo desse método se justifica pela qualidade dos seus resultados que retratam com maior precisdo o comportamento real da estrutura pois considera a ndo linearidade geométrica de maneira bastante precisa Considerese o pilar da figura abaixo engastado na base e livre no topo sujeito a forca excéntrica de compressdo N e Nu e Sob a acdo do carregamento o pilar apresenta uma deformagdo que por sua vez gera nas secdes um momento incremental N y provocando novas deformagées e novos momentos No Na ea e is he if iofe fy fat Ty ia ii if if i My I r ya 4 y a Equilibrio estavel b Equilibrio instavel 34 Se as agdes externas Ne M forem menores que a capacidade resistente da barra essa interagdo continua até que seja atingido um estado de equilibrio para todas as secdes da barra Temse portanto uma forma fletida estdvel figura a Caso contrdrio se as acgées externas forem maiores que a capacidade resistente da barra o pilar perde estabilidade figura b A verificagdo que se deve fazer é quanto a existéncia da forma fletida estdvel A estabilidade serd atingida quando o pilar parar numa forma deformada estavel a 2 Tt ni x fo er a i sy O valor da flecha é a com equilibrio alcangado entre esforcos internos e externos sendo respeitada a compatibilidade entre curvaturas deformagées e posicdes da linha neutra bem como as equacgées constitutivas dos materiais e sem haver na secdo critica deformacdo convencional de ruptura do concreto ou deformagdo plastica excessiva do ago A utilizagdo do método geral é bastante complexa principalmente em fungdo do desconhecimento prévio da deformagdo da barra cuja deformada depende de muitas aplicagdes de relagdo momentocurvatura com um numero muito grande de iteragées O cdlculo manual se torna absolutamente invidvel fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais com programas especializados como por exemplo o processo das diferencas finitas o processo de EngesserVianello ou o processo da integragdo das curvaturas 3252 METODO DO PILAR PADRAO Como o método geral é extremamente trabalhoso tendo em vista o numero muito grande de operagées matematicas tornase invidvel a utilizagdo desse método sem o auxilio do computador A NBR 61182003 permite a utilizagdo de alguns métodos simplificados como o do pilar padrdo e o do pilar padrdo melhorado cujas aproximagées sdo relativas ds ndolinearidade fisica e geométrica Por definicdo pilar padrdo é um pilar em balango com uma distribuigdo de curvaturas que provoque na sua extremidade livre uma flecha a dada por 35 2 a04 v I r hase 10 VY base A elastica do pilar é admitida como sendo de forma senoidal x y sendo 1 y asen x F Dai a F cos a x y 7 7 e 2 a z sen z x y U7 7 Como 1dy r dx temse para a secdo média 2 1 1 y reria of VP y12 Para pilares em balango com mw 10 a expressdo fica sendo 36 2 1 a 10 r base O momento de 2 ordem pode ser entdo escrito como 1 My pase NA N 7 10 r base 3253 METODO DO PILAR PADRAO COM CURVATURA APROXIMADA O método do pilar padrdo com curvatura aproximada é permitido para pilares de secdo constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e A 90 A ndo linearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a configuragdo deformada da barra seja senoidal A ndolinearidade fisica é levada em conta através de uma expressdo aproximada da curvatura na secdo critica A excentricidade de segunda ordem e é dada pela seguinte expressdo I e 10r Na expressdo acima 17 representa a curvatura que numa seco critica é calculada como 10005 c 0005 r hv05 hh onde h altura da secdo na diregdo considerada V forga normal adimensional dada por N v 205 A fea O momento total maximo no pilar é entdo M ooo aMi a4 N e2 Maa O valor de M 0 valor de cdlculo de 1 ordem do momento M e que deve ser 37 Maa Nae 2 Mya vin Os termos anteriores jd foram definidos anteriormente No caso de pilares de secdo retangular submetida a flexdo composta obliqua o método do pilar padrdo pode ser aplicado simultaneamente em cada uma das duas diregdes principais desde que a esbeltez seja menor que 90 nas duas direcées A amplificagdo dos momentos de 1 ordem em cada diregdo é diferente pois depende de valores distintos de rigidez e esbeltez Obs como a excentricidade de 2 ordem ndo acontece nas extremidades do pilar e sim no centro da altura do mesmo tornase necessdrio verificar se o momento de cdlculo total ocorre no topobase do pilar ou no meio dele 3254 METODO DO PILAR PADRAO COM RIGIDEZ KAPA APROXIMADA Este método é permitido para pilares com indice de esbeltez ndo superior a 90 secdo retangular constante e com armadura simétrica e constante ao longo do eixo A ndo linearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformada da barra seja senoidal A ndolinearidade fisica é levada em conta através de uma expressdo aproximada da rigidez O momento total maximo no pilar é dado pela expressdo aMi a4 M oot ve 2 Mia 120v sendo necessario verificar Migs 2 Ma min O valor da rigidez adimensional kapa é dado aproximadamente por M tot kK 3215v hN Observase que o valor da rigidez adimensional x é necessdrio para o cdlculo de M 44 para o calculo de x utilizase o valor de M Assim este processo é interativo sendo que normalmente sdo suficientes 2 ou 3 interagées Obs a bibliografia ainda cita o método do pilarpadrdo acoplado a diagrama momento curvatura que ndo serd estudado nesta disciplina 38 4 PROCESSOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES Uma vez determinados os esforgos finais atuantes num determinado pilar devese proceder ao dimensionamento do mesmo Para isto é necessdrio identificar a situagdo da solicitagdo compressdo simples flexdo composta normal ou flexdo composta obliqua A armadura devidamente calculada servird para evitar inclusive a ruina do pilar sendo que a figura abaixo mostra situagdes em que esta ruina de fato aconteceu a ri i al re a 7 aN SS ah Sa craze F S Se ete ae e 7a ee ee a 2 cee Ee a bey wy cee 7 ke Vt ae ct a hs Vi iby MALE eS Viseh ss ps uA by Rae é 1 f i m a oS ie ie er haste i op 4 ae i RON DSRS cr a b Me i to a Be Me Pa Leet eM fi oF RA Nie ri Ma im p 7 0 Rae 4 Rol Wid OM OME 1 1 ae y A or é oe Dae gosh ih he pa Me la a 7 bes v ae 2 Sis Ae 5 es at ny aA ts pei f oA W a a Res ee eee a sive Fe GF Sages Me oe Pe Ne Oke ipo ig ee e we Smeets Se FP fae ft pe Pe LW i ede gee a ag amas cha i ce ee 5 i 8 m Bo ba Oe ok p Oe ays oe se a Ls Ae ee ese See EE AM 3 oie MR OU a ne Eye s Ne ry Ey om ae ae a say of pg Geraegp ae OES 5 hole OSE he AG ee a as 39 be eee ra Death Ae ak SRee eA ay zs ee ee Bees a Ke eat Re Gae sary ihe RL J fe Pie eae JS ott ie rr ere a AY A mee So ee ae rem one CO eee ee eis teae 4 i Sete nee See 79 pce DD eos ee oe es 22 es a2 A ame Pon ae ee Pea iis Oa O dimensionamento dos pilares de concreto armado como todas as demais pecas é sempre feito no estado limite ultimo existindo a preocupagdo com os efeitos de 2 ordem Assim os pilares sdo dimensionados ou verificados para resistir a forga normal combinada com momento obliquo ou nado majorado pela existéncia da excentricidade de 2 ordem O problema pode ser bastante complexo uma vez que tal excentricidade pode fazer com que o pilar perca o equilibrio estdvel Concluise entdo que o dimensionamento e a verificagdo de pilares devem prever dois tipos de estados limites ultimos o de ruptura e o de instabilidade De qualquer forma ainda que haja estabilidade o estado limite ultimo de ruptura tem que considerar momentos majorados pelo efeito de 2 ordem Devese lembrar que um pilar pode se romper com esforgos menores do que resistiria se seu eixo nado se deformasse Conforme visto em capitulos anteriores os pilares sdo elementos lineares solicitados fundamentalmente por forcgas de compressdo na direcdo axial aplicadas fora do centro de gravidade da segdo transversal Desta forma os pilares ficam submetidos a uma flexo compressdo normal quando a excentricidade acontece em apenas um dos eixos ou obliqua quando ocorre segundo os dois eixos principais Entdo podese dizer que os pilares estdo submetidos a um conjunto de esforcos de cdlculo N F forga total de compressdo aplicada no pilar e M gio Mag tN a eo 2M ia A tabela a seguir apresenta de forma resumida os métodos de cdlculo que devem ser utilizados para pilares conforme a esbeltez dos mesmos 40 ESBELTEZ CONSIDERAGAO METODOS DE CALCULO PARA CONSIDERAGAO DA DOS EFEITOS EFEITOS DE 2 ORDEM FLUENCIA DE 2 ORDEM método do pilar padrao com curvatura aproximada A As90 Sim método do pilar padrado com Nao rigidez K aproximada método do pilar padrdo acoplado a diagramas MN 1r método geral método do pilar padrdo acoplado 90A140 Sim a diagramas MN 1r Sim método geral A armadura calculada e necessdria para equilibrar os esforgos atuantes deve obedecer ads prescrigdes regulamentares vistas no capitulo Para o dimensionamento de pilares consideramse vdlidas as mesmas hipdteses basicas utilizadas para o dimensionamento de vigas e lajes ou seja as secdes transversais se mantém planas apds a deformagao adeformagdo das armaduras passivas deve ser a mesma do concreto em seu entorno ou seja considerase aderéncia perfeita as tensdes de tragdo no concreto normais a secdo transversal podem ser desprezadas adistribuigdo das tensdes no concreto ocorre de acordo com o diagrama pardbola retdngulo as tensdes nas armaduras devem ser obtidas a partir dos respectivos diagramas tensdodeformacdo indicados na NBR 61182003 o ELU é caracterizado quando a reta representativa das deformagdes na secdo pertencer a um dos dominios definidos na citada norma Seja qual for o método de dimensionamento a ser utilizado deverd ser usado na direcdo do eventual momento atuante um valor de altura util d que depende da Classe de Agressividade Ambiental CAA Assim sugerese para uma armadura longitudinal de 100 mm Ambiental Obs estes valores devem ser modificados no caso de utilizar uma armadura longitudinal maior 4 41 PROCESSOS EXATOS DE DIMENSIONAMEMTO A FLEXAO COMPOSTA Como a rigor ndo se aceita o dimensionamento de um pilar com carga centrada por causa do momento minimo de 1 ordem a ser considerado o dimensionamento de pilares deverd ser sempre feito para casos de flexdo composta Existindo excentricidade de 1 ordem em uma linica diregdo x ou y temse um caso de flexdo composta normal o que ocorre por exemplo para os pilares de extremidade Jd no caso de se ter um pilar de canto com momentos de 1 ordem nas duas diregdes temse um caso de dimensionamento de flexdo composta obliqua O dimensionamento a flexdo composta que considere os efeitos das ndo linearidades fisica e geométrica requer a consideragdo da integragdo das curvaturas e da consideragdo do diagrama M x N x 1r buscando um processo refinado de dimensionamento geralmente iterativo Para o trabalho didrio de um engenheiro isto se torna um processo bastante trabalhoso fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais adequados Cabe ao calculista uma visdo critica dos resultados lembrandose a extrema importdncia de se conferilos baseados em sdlida experiéncia tedrica e profissional De forma geral os processos exatos para dimensionamento de segdes submetidas a flexdo composta devem seguir os seguintes passos para uma dada secao transversal é escolhida uma inclinagdo da linha neutra e fixada a sua profundidade apartir das equagées de equilibrio da estdtica da compatibilidade de deformagées e das equagées constitutivas diagramas tensdodeformagdo calculamse a resultante de compressdo do concreto e as tensdes que agem em cada uma das barras da armadura variando os dados iniciais profundidade e inclinagdo da linha neutra obtémse ternos de possiveis valores de NMeM Para as formas usuais de segdes retangulares circulares foram elaborados uma série de dbacos que oferecem a armadura de tais secdes submetidas a flexocompressdo conforme sera visto nos préximos itens 411 FLEXAO COMPOSTA OBLIQUA Para a formulagdo das condigées de equilibrio e do equacionamento da flexdo obliqua seja a figura abaixo onde se tem barras distribuidas ao longo do contorno da secdo em posides previamente fixadas 42 ae ee a fo 2 fe apt aes e 2 ve Mm ote 2 oe e me I T r te me be oo ve al Se Em se tratando de estado limite ultimo devem ser obedecidas as condicées de equilibrio e as de compatibilidade das deformagées que também sdo vdlidas para flexdo composta normal excentricidade em um so eixo Os esforcos solicitantes de cdlculo Ny M4M devem ser equilibrados pelos esforcos resistentes contribuigdo do concreto comprimido e contribuigdo da armadura n Ni J 0444 SY As6 ia Acc il n M N e J OXdd Ss ia X si Acc il n M Nye J 0 4Xdd DAs 6 sia Y Acc il onde A drea da segdo de concreto comprimido n ndmero de barras de armadura na secao transversal A Grea da secdo transversal da barra genérica i O tensdo na barra genérica i X abscissa do elemento infinitesimal de drea dxdy Y ordenada do elemento infinitesimal de drea dxdy X abscissa da barra genérica i y ordenada da barra genérica i Estas equagdes também podem ser expressas em termos adimensionais através de esforcos reduzidos V 4 e da taxa mecanica de armadura 43 N yo A fea M Ve HM A f gh h y A Sea h h A hiya Q A Sea onde 1 e N e M got y N A hh A armadura total da segdo Varios autores elaboraram tabelas para resolver este problema de dimensionamento O exemplo abaixo se refere a um dbaco a ser utilizado para flexdo composta obliqua obtido das tabelas de Montoya 44 7 Be fos Zio0 agezs Fe GE 2 io ZT a 4 gi id 8 H i g a 2 x a pu dH 23 3 ie iv 2 at i Bet i i i NR a rite pre rne ta mn aepane Dee SL ee SE t BO ALES cf TTY aol ff SARE VY oH Cee re aap gia ae a TAA AANA i ne to i SSS SSP 2 NSS eee ai SEC eeae re ee cree Ser cetera ee ee 3 See ete cobalt al a all te 5 Pt TEL Ee Vey an ay lo i 18 SEE ee eT Te at iP ren i A I li AAT TANG Sa SIRE EA A A 3 8 Definido 0 dbaco a ser utilizado devem ser adotados valores da forca normal reduzida de cdlculo V sendo normalmente considerados oito valores v 0 02 04 06 08 10 12 14 Para cada valor de V corresponde a um quadrante do dbaco totalizando oito quadrantes representados em duas pdginas Para cada valor de V Ll M éadotado um valor da taxa mecanica de armadura Foram escolhidos alguns dbacos para dimensionamento a flexdo composta obliqua e os mesmos encontramse no anexo Diversas bibliografias incluem outras possibilidades de arranjo de armadura sugerindose os dbacos de Montoya ou do prof LibGnio Sado CarlosSP 45 412 FLEXAO COMPOSTA NORMAL Como ja foi dito anteriormente um pilar sujeito a esforcgos de flexdo composta normal é aquele em que existe excentricidade inicial somente em um dos eixos cartesianos a UTILIZAGAO DE ABACOS A utilizagdo de dbacos pode ser extremamente util no dimensionamento de secdes retangulares sujeitas a flexdo composta normal Estes dbacos sdo apresentados na forma adimensional com todos os valores de entrada sendo de cdlculo istoé N e M Na construgdo dos dbacos devese ainda levar em conta as hipdteses de manutencdo da forma plana da sedo transversal e dos dominios de deformacdo vistos na disciplina de CAR I que formam as condigdes de compatibilidade Sendo também conhecidas as deformagées nas barras da armadura podese determinar as tensdes de acordo com os diagramas O x do aco que esta sendo utilizado Definido o dbaco a ser utilizado devem ser calculados valores da forcga normal reduzida de cdlculo V e momento reduzido Para cada par de V e ul é adotado um valor da taxa mecdnica de armadura para diversos intervalos dependendo das condigdes da secdo Os dbacos a serem considerados nesta apostila encontramse em anexo Casos diferentes de arranjo de armaduras devem ser vistos em literatura apropriada N yo A fea u M ve A Fgh h A hiya Q A Sea onde M ao e Ny Abh A armadura total da secdo a ser distribuida de acordo com o dbaco escolhido 46 Hy a Vy Obs nos casos em que V 207 0 dimensionamento pode ser feito como compressdo simples conforme sera visto mais adiante b PROCESSO GERAL PARA DIMENSIONAMENTO A FLEXAO COMPOSTA NORMAL Quando ndo se aplicar o processo dos dbacos e nem o processo aproximado como compressdo simples podese utilizar um processo geral para dimensionamento a flexdo composta normal A forga normal que age excentricamente em relacdo a um dos eixos poderd fazer com que a secdo transversal esteja totalmente comprimida pequena excentricidade ou com uma parte eventualmente tracionada grande excentricidade havendo uma situagdo limite entre estes dois casos Seja a seguinte figura rofereerfeeee 1 Ny 1 y Le pequena excentricidade situacdo limite grande excentricidade 47 Podese ainda definir Ny A e Ma nf b fp ee 4 M Onde N esforgo normal de cdlculo majorado M momento referente ao centro de gravidade da armadura de tragdo ou armadura menos tracionada M momento referente ao centro de gravidade da armadura de compressdo ou armadura mais comprimida No caso de pequena excentricidade A representa a armadura menos comprimida e A representa a armadura mais comprimida No caso de flexdo composta com grande excentricidade A representa a armadura tracionada e A representa a armadura comprimida Entdo Na VNx dd dd M N e N 2 2 dd dd Mg Nie M Ni 2 2 Numa situagdo limite entre pequena e grande excentricidade temse que 48 N oo 2 e R y Coe eee helo bey d Vv y2 A b mM dd 08d Ne R a 0 2 2 M b08d085 f04d d 0 Dai d M 068bd Sea OA valor este que agora em diante serd chamado de fator de comparagdo FC Dai se pode concluir que d Se M 068bd Sea OA temse um caso de grande excentricidade e d Se M 068bdf 04 temse um caso de pequena excentricidade b1 DIMENSIONAMENTO DE FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM GRANDE EXCENTRICIDADE O dimensionamento da flexdo composta normal flexo compressdo com grande excentricidade serd todo feito para o momento fletor M resultante da redugdo dos esforgos NM atuantes ao centro de gravidade da armadura tracionada cdlculo como viga sendo a tnica alteragdo o abatimento na armadura tracionada obtida para M de uma parcela 49 Ase Sova uma vez que a carga é de compressdo tendendo a anular os efeitos de tracgdo A figura e a resolucdo a seguir explicam melhor esta situagdo Ny 0857 4 R a e R Ray y Vy hLifoow by eee d 4 wv Ree i Vv Ry Roy b M Diagrama real Diagsimilar pviga Da figura anterior temse que N R R R 0 e dd N et R ddR d 0 d 2 Também para uma andlise similar a uma viga Roy Roy Reo 0 Entdo R Ree Desta condigdo temse que a linha neutra para pilar é igual a linha neutra para viga y y pois R b y085 fa Ro bY 085f4 50 Da mesma forma a forga resultante de compressdo na armadura do pilar e da viga sao iguais R Roo Desta condigtio temse que AA armadura comprimida do pilar é igual 4 armadura comprimida da viga pois R 40 R A o sendo 0 0e Roy Ny R Roy A Sova R A Ava A Sova A Sova Ny Finalmente a armadura do lado tracionado do pilar sera N A A Tiva sendo que a armadura de tragdo da viga A deve ser calculada com b heMM dd Ne MM 2 Obs é comum que se tome a mesma armadura a maior para duas faces opostas fazendo com que o pilar tenha armadura simétrica em relagdo a um dos eixos b2 DIMENSIONAMENTO DA FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM PEQUENA EXCENTRICIDADE Nesta situagdo a secdo transversal de concreto encontrase totalmente comprimida ealinha neutra é considerada com xd 51 A 085f Ny d ef R h opm tse ce sp mecca Ryan Ry Seao comprimida Pela figura anterior temse e equagdo de rotacdo em relagdo ao baricentro de R dd dd Ny e R ddR 0 2 2 d d M A40ddb h085f 0 Dai a armadura do lado mais comprimido é determinada como A Ma 0425 Af 4 d d odd f equagiio de rotagdo em relacdo ao baricentro de R dd dd N eR R d 0 2 2 dd dd Nye F51085 FO 405 da0 M 0425bhfddAodd0 Dai a armadura do lado menos comprimido é determinada como 4p Miu 0425b hfs dd odd 52 Como verificagtio se somarmos as equagdes de A e A temse que a forca de cdlculo é equilibrada pela contribuido da armadura e pela contribuido do concreto que esta totalmente comprimido N 085f6hA 4o c PROCESSO APROXIMADO PARA DIMENSIONAMENTO A FLEXAO COMPOSTA NORMAL COMO COMPRESSAO SIMPLES Para pilares de secdes transversais retangulares ou circulares com armadura simétrica em que a forga normal reduzida V seja maior ou igual a 07 podese transformar uma situagdo de cdlculo de flexdo composta normal para um caso de dimensionamento de compressdo centrada equivalente levandose em conta e N aeq N B h dimensdo na direcdo considerada M 44 9 a solugdo é compressdo simples N v 207 A Sea e M oot h Nh 1 B i 039 001 08 Valores de para segées circulares 4 para segdes retangulares a1a sea l AA sea 21 a6 sea 6 53 Supondo que todas as barras sejam iguais é dado por n 1 a h n O arranjo de armadura adotado para detalhamento deve ser fiel aos valores de a e dh pressupostos n barras de yy area A A fa f a VA COO mTe 2 c IN Nee ny MS Eee 7 h 2 ae ia 3 cea ran cecene bo SS an Considerandose para efeitos de simplificagdo que uma secdo transversal sujeita a uma forca de compressdo centrada tem o seu equilibrio garantido em parte pelo concreto comprimido e em parte pela armadura podese determinar a armadura longitudinal isolandose o valor da armadura longitudinal A através da expressdo abaixo e N eq Nat B 085f4 0 A ou seja e NyB 085 fea A A Oo Nas expressées acima 0 representa a tensdo de compressio correspondente a uma deformagdo na armadura de 2 Dos diagramas tensdo x deformagdo jd estudados anteriormente temse 54 TIPO DE ACO om KNcm CA 25 2174 CA 50 CA 60 Obs muitos calculistas adotam a favor da seguranga e simplificadamente um valor de f4 originando muitas vezes uma armadura bem maior do que aquela obtida com a disposigdo em fungdo de 55