Matemática para Economistas - 4ª Edição: Análise Econômica e Métodos Matemáticos

Matemática para Economistas tradução da 4ª edição Alpha C Chiang Kevin Wainwright Consulte nosso catálogo completo e últimos lançamentos em wwwcampuscombr Este livro aborda os seguintes tipos principais de análise econômica estática análise de equilíbrio estática comparativa problemas de otimização dinâmica e otimização dinâmica Nessas análises são introduzidos os seguintes métodos matemáticos álgebra matricial cálculo diferencial e integral equações diferenciais equações de diferença e teoria do controle ótimo Este livro servirá também como leitura suplementar em cursos de Microeconomia Macroeconomia e crescimento e desenvolvimento econômico A presente edição contém diversas modificações significativas O material sobre programação matemática agora é apresentado mais cedo em um novo Capítulo 13 intitulado Tópicos Adicionais de Otimização Esse capítulo tem dois temas principais otimização com limitações de desigualdade e o teorema do envelope No primeiro tema as condições de KuhnTucker são desenvolvidas de um modo muito semelhante ao que foi empregado na edição anterior Contudo o tópico foi aprimorado com diversas novas aplicações econô micas entre elas a determinação de preço de carga de pico e o racionamento de consumo O segundo tema referese ao desenvolvimento do teorema do envelope à função de valor máximo e à noção de dualidade Aplicando o teorema do envelope a vários modelos econômicos obtemos resultados importantes como a identidade de Roy o lema de Shepard e o lema de Hotelling A segunda maior adição a esta edição é um novo Capítulo 20 sobre a teoria do controle ótimo O propósito deste capítulo é apresentar ao leitor o básico do controle ótimo e demonstrar como ele pode ser aplicado à economia incluindo exemplos da economia de recursos naturais e da teoria do crescimento ótimo Além desses dois novos capítulos há diversos acréscimos e refinamentos nesta edição No Capítulo 3 ampliamos a discussão da resolução de equações polinomiais de grau mais alto por fatoramento No Capítulo 4 foi acrescentada uma nova seção sobre cadeias de Markov E no Capítulo 5 introduzimos a verificação da classificação de uma matriz por meio de uma matriz escalonada e a condição de HawkinsSimon em conexão com o modelo de insumoproduto de Leontief No que diz respeito a aplicações econômicas foram acrescentados muitos novos exemplos e algumas das aplicações existentes foram aprimoradas Foi incluída uma versão linear do modelo ISLM e uma forma mais geral do modelo foi ampliada para abranger tanto uma economia aberta quanto uma fechada demonstrando assim uma aplicação muito mais rica da estática comparativa a modelos de função geral Entre outros acréscimos estão uma discussão da utilidade esperada e da preferência de riscos um modelo de maximização de lucros que incorpora a função de produção de CobbDouglas e um problema de escolha intertemporal de dois períodos Por fim os problemas e exercícios de fixação foram revisados e aumentados para dar aos alunos uma oportunidade maior de aprimorar suas habilidades Alpha C Chiang concluiu seu doutorado na Columbia University em 1954 após terminar seus estudos superiores na St Johns University Shanghai China em 1946 e fazer mestrado na University of Colorado em 1948 Em 1954 juntouse ao corpo acadêmico da Denison University em Ohio onde assumiu a chefia do Departamento de Economia em 1961 De 1964 em diante lecionou na University of Connecticut onde após 28 anos tornouse Professor Emérito de Economia em 1992 É também Professor Visitante do New Asia College da Chinese University of Hong Kong da Cornell University da Lingnan University em Hong Kong e da Helsinki School of Economics and Business Administration Entre suas publicações está um outro livro sobre economia matemática Elements of Dynamic Optimization Waveland Press Inc 1992 Entre as honrarias que recebeu figuram prêmios da Ford Foundation e associação à National Science Foundation eleição para a presidência da Ohio Association of Economists and Political Scientists 19631964 e citação na publicação Whos Who in Economics A Biographical Dictionary of Major Economists 19001994 MIT Press Kevin Wainwright é membro do corpo acadêmico do British Columbia Institute of Technology em Burnaby BC Canadá Desde 2001 ocupa o posto de presidente da associação de docentes e de chefe do programa de Administração de Empresas Estudou na Simon Fraser University em Burnaby BC Canadá e continua a lecionar no Departamento de Economia dessa Universidade Especializouse em teoria microeconômica e economia matemática Matemática para Economistas Chiang Wainwright O livro de Alpha Chiang desta vez em conjunto com Kevin Wainwright é uma excelente introdução à Economia Matemática Os autores apresentam os conceitos básicos da álgebra linear e do cálculo ao longo do livro em meio a uma grande variedade de aplicações à economia Além disso são apresentados muitos tópicos de grande importância para economistas como o estudo de máximos e mínimos tanto sem condicionamento quanto condicionados O livro contém também uma introdução às equações diferenciais à otimização dinâmica e à teoria do controle ótimo Nesta edição os exemplos foram atualizados e foram adicionadas novas aplicações O presente texto é uma valiosa adição à bibliografia tão escassa de Economia Matemática Rafael José Iorio Jr Pesquisador Titular do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada IMPA Matemática para Economistas ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Preencha a ficha de cadastro no final deste livro e receba gratuitamente informações sobre os lançamentos e as promoções da Editora CampusElsevier Consulte também nosso catálogo completo e últimos lançamentos em wwwcampuscombr Matemática para Economistas tradução da 4ª edição Alpha C Chiang Kevin Wainwright Consultoria Editorial Gerson Lachtermacher Professor adjunto FCEUERJ e EBAPEFGV Tradução Arlete Simille Marques Revisão Técnica Rafael José Iorio Jr Pesquisador Titular do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada IMPA 2ª Tiragem ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 1 3ª PROVA Do original Fundamental Methods of Mathematical Economics Tradução autorizada do idioma inglês da edição publicada por MacGrawHillIrwin McGrawHill Companies Inc Copyright 2005 McGrawHill Companies Inc 2005 Elsevier Editora Ltda Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9610 de 19021998 Nenhuma parte deste livro sem autorização prévia por escrito da editora poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados eletrônicos mecânicos fotográficos gravação ou quaisquer outros Copidesque Cláudia Mello Belhassof Editoração Eletrônica Estúdio Castellani Revisão Gráfica Marília Pinto de Oliveira e Marco Antonio Correa Capa Kami Carter Projeto Gráfico Elsevier Editora Ltda A Qualidade da Informação Rua Sete de Setembro 111 16º andar 20050006 Rio de Janeiro RJ Brasil Telefone 21 39709300 FAX 21 25071991 Email infoelseviercombr Escritório São Paulo Rua Quintana 7538º andar 04569011 Brooklin São Paulo SP Tel 11 51058555 ISBN 13 9788535217698 ISBN 10 8535217698 Edição original ISBN 0070109109 Nota Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra No entanto podem ocorrer erros de digitação impressão ou dúvida conceitual Em qualquer das hipóteses solicitamos a comunicação à nossa Central de Atendimento para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens originados do uso desta publicação Central de atendimento Tel 0800265340 Rua Sete de Setembro 111 16º andar Centro Rio de Janeiro email infoelseviercombr site wwwcampuscombr Sobre a Capa O gráfico da Figura 201 na página 611 ilustra que a menor distância entre dois pontos é uma linha reta Essa imagem foi escolhida para ilustrar a capa do livro porque uma verdade assim tão simples exige uma das técnicas mais avançadas descritas aqui CIPBrasil Catalogaçãonafonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros RJ C454m Chiang Alpha C 1927 Matemática para economistas Alpha C Chiang Kevin Wainwright tradução de Arlete Simille Marques Rio de Janeiro Elsevier 2006 2a Reimpressão il Tradução Fundamental methods of mathematical economics Anexos Inclui bibliografia ISBN 8535217698 1 Economia matemática I Wainwright Kevin II Título 053940 CDD 3301543 CDU 3304 Para Emily Darryl e Tracey Alpha C Chiang Para Skippy e Myrtle Kevin Wainwright ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Os Autores Alpha C Chiang concluiu seu doutorado na Columbia University em 1954 após terminar seu bacharelado na St Johns University Shangai China em 1946 e fazer mestrado na University of Colorado em 1948 Em 1954 juntouse ao corpo acadêmico da Denison University em Ohio onde assumiu a chefia do Departamento de Economia em 1961 De 1964 em diante lecionou na University of Connecticut onde após 28 anos tornouse Professor Emérito de Economia em 1992 Foi também Professor Visitante do New Asia College da Chinese University of Hong Kong da Cornell University da Lingnan University em Hong Kong e da Helsinki School of Economics and Business Administration Entre suas publicações há um outro livro sobre economia matemá tica Elements of Dynamic Optimization Waveland Press Inc 1992 Entre as honrarias que recebeu figuram prêmios da Ford Foundation e auxílios da National Science Foundation eleição para a presidência da Ohio Association of Economists and Political Scientists 19631964 e citação na publicação Whos Who in Economics A Biographical Dictionary of Major Economists 19001994 MIT Press KevinWainwright é membro do corpo acadêmico do British Columbia Institute of Technology em Burnaby BC Canadá Desde 2001 ocupa o posto de presidente da associação de docentes e de chefe do programa de Administração de Empresas Fez sua pósgraduação na Simon Fraser University em Burnaby BC Canadá e continua a lecionar no Departamento de Economia des sa universidade Especializouse em teoria microeconômica e economia matemática ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Prefácio Este livro foi escrito para estudantes de economia que pretendem aprender os métodos matemá ticos básicos que se tornaram indispensáveis para um entendimento adequado da literatura eco nômica corrente Infelizmente para muitos estudar matemática é assim como tomar um remé dio amargo absolutamente necessário mas extremamente desagradável Essa atitude denomi nada medo da matemática tem suas raízes assim acreditamos em grande parte na maneira desfavorável com que a matemática geralmente é apresentada aos estudantes Na crença de que concisão significa elegância as explanações oferecidas muitas vezes são demasiadamente breves para serem claras o que deixa os estudantes perplexos e lhes passa um sentimento imerecido de inadequação intelectual Um estilo de apresentação excessivamente formal quando não acom panhado por quaisquer ilustrações ou demonstrações intuitivas de relevância pode prejudicar a motivação Uma progressão desequilibrada do nível do material evidentemente pode fazer com que certos tópicos da matemática pareçam mais difíceis do que realmente são Finalmente problemas excessivamente sofisticados apresentados como exercícios tendem a destroçar a con fiança dos estudantes em vez de estimular o raciocínio que é o que se pretende Com isso em mente fizemos um sério esforço para minimizar as características que desper tam o medo Na medida do possível oferecemos explanações pacientes e não misteriosas O esti lo é deliberadamente informal e amigável ao leitor Como questão de rotina tentamos prever e responder a perguntas que provavelmente surgirão nas cabeças dos estudantes durante a leitura Para salientar a relevância da matemática para a economia deixamos que as necessidades analíti cas dos economistas motivassem o estudo das técnicas matemáticas relacionadas e então ilustra mos imediatamente essas técnicas com modelos econômicos adequados Além disso montamos a caixa de ferramentas matemáticas segundo um esquema cuidadosamente gradativo no qual as ferramentas elementares servem de base e degrau para as ferramentas mais avançadas discutidas adiante Sempre que adequado há representações gráficas que proporcionam um reforço visual aos resultados algébricos Os problemas e exercícios de fixação foram elaborados como treina mento para ajudar a solidificar a compreensão e a reforçar a confiança em vez de propor desa fios que poderiam inadvertidamente frustrar e intimidar o novato Abordamos neste livro os seguintes tipos principais de análise econômica estática análise de equilíbrio estática comparativa problemas de otimização um tipo especial de estática di nâmica e otimização dinâmica Para enfrentar essas análises são introduzidos os seguintes méto dos matemáticos na ocasião oportuna álgebra matricial cálculo diferencial e integral equações diferenciais equações de diferença e teoria do controle ótimo Devido à quantidade substancial de modelos econômicos ilustrativos tanto macro quanto micro que aparecem neste livro ele também deverá ser útil para quem já conhece matemática mas ainda precisa de um guia que o leve do reino da matemática para a terra da economia Por essa mesma razão o livro não deve servir apenas como um texto didático para um curso sobre métodos matemáticos mas também como leitura suplementar em cursos como teoria microeconômica teoria macroeconômica e crescimento e desenvolvimento econômico Tentamos conservar os principais objetivos e o estilo das edições anteriores Todavia a pre sente edição contém diversas modificações significativas O material sobre programação mate mática agora é apresentado mais cedo em um novo Capítulo 13 intitulado Tópicos Adicionais de Otimização Esse capítulo tem dois temas principais otimização com limitações de desigual dade e o teorema do envelope No primeiro tema as condições de KuhnTucker são desenvolvi das de um modo muito semelhante ao que foi empregado na edição anterior Contudo o tópico foi aprimorado com diversas novas aplicações econômicas entre elas a determinação de preço de carga de pico e o racionamento de consumo O segundo tema referese ao desenvolvimento do teorema do envelope à função de valor máximo e à noção de dualidade Aplicando o teore ma do envelope a vários modelos econômicos obtemos resultados importantes como a identida de de Roy o lema de Shepard e o lema de Hotelling A segunda maior adição a esta edição é um novo Capítulo 20 sobre a teoria do controle óti mo O propósito deste capítulo é apresentar ao leitor o básico do controle ótimo e demonstrar ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA como ele pode ser aplicado à economia incluindo exemplos da economia de recursos naturais e da teoria do crescimento ótimo O material deste capítulo aproveita em grande parte a dis cussão da teoria do controle ótimo em Elements of Dynamic Optimization de autoria de Alpha C Chiang McGrawHill 1992 agora publicado por Waveland Press Inc que apresenta um trata mento minucioso tanto do controle ótimo quanto de seu precursor o cálculo de variações Além desses dois novos capítulos há diversos acréscimos e refinamentos significativos nesta edição No Capítulo 3 ampliamos a discussão da resolução de equações polinomiais de grau mais alto por fatoramento Secão 33 No Capítulo 4 foi acrescentada uma nova seção sobre ca deias de Markov Seção 47 E no Capítulo 5 introduzimos a verificação da classificação de uma matriz por meio de uma matriz escalonada Seção 51 e a condição de HawkinsSimon em cone xão com o modelo de insumoprodução de Leontief Seção 57 No que diz respeito a aplica ções econômicas foram acrescentados muitos novos exemplos e algumas das aplicações existen tes foram aprimoradas Foi incluída uma versão linear do modelo ISLM na Seção 56 e uma for ma mais geral do modelo na Seção 86 foi ampliada para abranger tanto uma economia aberta quanto uma fechada demonstrando assim uma aplicação muito mais rica da estática compara tiva a modelos de função geral Entre outros acréscimos estão uma discussão da utilidade espera da e da preferência de riscos Seção 93 um modelo de maximização de lucros que incorpora a função de produção de CobbDouglas Seção 116 e um problema de escolha intertemporal de dois períodos Seção 123 Por fim os problemas e exercícios de fixação foram revisados e au mentados para dar aos alunos uma oportunidade maior de aprimorar suas habilidades Prefácio X ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Agradecimentos Há muitas pessoas às quais temos de agradecer pela redação deste livro Antes de mais nada de vemos muito a todos os matemáticos e economistas cujas idéias originais pavimentam este volu me Em segundo lugar há muitos alunos cujos esforços e perguntas ao longo dos anos nos ajuda ram a moldar a filosofia e a abordagem deste livro As três edições anteriores beneficiaramse dos comentários e sugestões de em ordem alfa bética dos sobrenomes Nancy S Barrett Thomas Birnberg E J R Booth Charles E Butler Roberta Grower Carey Emily Chiang Lloyd R Cohen Gary Cornell Harald Dickson John C H Fei Warren L Fisher Roger N Folsom Dennis R Heffley Jack Hirshleifer James C Hsiao KiJun Jeong George Kondor William F Lott Paul B Manchester Peter Morgan Mark Nerlove J Frank Sharp Alan G Sleeman Dennis Starleaf Henry Y Wan Jr e ChiouNan Yeh Na presente edição agradecemos sinceramente as sugestões e idéias de Curt L Anderson David Andolfatto James Bathgate C R Birchenhall Michael Bowe John Carson Kimoon Che ong Youngsub Chun Kamran M Dadkhah Robert Delorme Patrick Emerson Roger Nils Fol som Paul GommeTerry Heaps Suzanne Helburn Melvin Iyogu KiJun Jeong Robbie Jones John Kane HeonGoo Kim George Kondor Huiwen Koo Stephen Layson Boon T Lim Anthony M Marino Richard Miles Peter Morgan Rafael Hernández Núñez Alex Panayides Xinghe Wang e HansOlaf Wiesemann Nosso profundo agradecimento a Sarah Dunn que nos atendeu com tanta capacidade e boavontade como digitadora revisora e assistente de pesquisa Devemos também um agradeci mento especial a Denise Potten por sua dedicação e capacidade logística no estágio de produção Por fim estendemos nossa sincera apreciação a Lucille Sutton Bruce Gin e Lucy Mullins da McGrawHill por sua paciência e dedicação na produção deste manuscrito O produto final e quaisquer erros que ainda persistirem são de nossa exclusiva responsabilidade Sugestões para o uso deste livro Devido à acumulação gradativa das ferramentas matemáticas propiciada pela organização deste livro o modo ideal de estudálo é seguir à risca sua seqüência específica de apresentação Con tudo há algumas alterações possíveis na seqüência de leitura após concluir as equações dife renciais de primeira ordem Capítulo 15 o leitor pode passar diretamente para a teoria do con trole ótimo Capítulo 20 Entretanto se passar diretamente do Capítulo 15 para o Capítulo 20 seria bom que o leitor lesse a Seção 195 que trata de diagramas de fase de duas variáveis Se a estática comparativa não for uma área de preocupação primordial o leitor pode omitir a análise estática comparativa de modelos de função geral Capítulo 8 e passar do Capítulo 7 di retamente para o Capítulo 9 Nesse caso entretanto seria necessário omitir também a Seção 117 a parte da Seção 125 dedicada à estática comparativa bem como a discussão da dualidade no Capítulo 13 Alpha C Chiang Kevin Wainwright ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Sumário PARTE 1 Introdução 1 Capítulo 1 A natureza da economia matemática 3 11 Economia matemática versus economia nãomatemática 3 12 Economia matemática versus econometria 4 Capítulo 2 Modelos econômicos 7 21 Componentes de um modelo matemático 7 Variáveis constantes e parâmetros 7 Equações e identidades 8 22 O sistema de números reais 9 23 O conceito de conjunto 10 Notação de conjunto 10 Relação entre conjuntos 11 Operações com conjuntos 12 Leis das operações com conjuntos 14 Exercício 23 15 24 Relações e funções 16 Pares ordenados 16 Relações e funções 17 Exercício 24 20 25 Tipos de função 20 Funções constantes 20 Funções polinomiais 21 Funções racionais 22 Funções nãoalgébricas 22 Uma digressão sobre expoentes 22 Exercício 25 25 26 Funções de duas ou mais variáveis independentes 25 27 Níveis de generalidade 27 PARTE 2 Análise estática ou de equilíbrio 29 Capítulo 3 Análise de equilíbrio em economia 31 31 O significado de equilíbrio 31 32 Equilíbrio parcial de mercado um modelo linear 32 Construção do modelo 32 Solução por eliminação de variáveis 33 Exercício 32 35 33 Equilíbrio parcial de mercado um modelo nãolinear 35 Equação quadrática versus função quadrática 36 A fórmula quadrática 37 Uma outra solução gráfica 38 Equações polinomiais de grau mais alto 38 Exercício 33 40 ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Sumário 52 Teste de invertibilidade utilizando determinante 87 Determinantes e invertibilidade 87 Cálculo de um determinante de terceira ordem 88 Cálculo de um determinante de nésima ordem por expansão de Laplace 89 Exercício 52 91 53 Propriedades básicas de determinantes 92 Critério com determinantes para a invertibilidade 94 Redefinição do posto de uma matriz 95 Exercício 53 96 54 Encontrando a matriz inversa 97 Expansão de um determinante por cofatores espúrios 97 Inversão de matriz 98 Exercício 54 100 55 Regra de Cramer 101 Dedução da regra 101 Observação sobre sistemas homogêneos de equações 103 Tipos de soluções para um sistema de equações lineares 104 Exercício 55 105 56 Aplicação aos modelos de mercado e de renda nacional 105 Modelo de mercado 105 Modelo de renda nacional 106 O modelo ISLM economia fechada 107 Álgebra matricial versus eliminação de variáveis 109 Exercício 56 109 57 Modelos de insumoproduto de Leontief 110 Estrutura de um modelo de insumoprodução 110 O modelo aberto 111 Um exemplo numérico 112 A existência de soluções não negativas 114 Significado econômico da condição de HawkinsSimon 116 O modelo fechado 117 Exercício 57 117 58 Limitações da análise estática 118 PARTE 3 Análise estática comparativa 119 Capítulo 6 Estática comparativa e o conceito de derivada 121 61 A natureza da estática comparativa 121 62 Taxa de variação e a derivada 122 O quociente de diferenças 122 A derivada 123 Exercício 62 124 63 A derivada e a inclinação de uma curva 124 64 O conceito de limite 125 Limite à esquerda e limite à direita 125 Ilustrações gráficas 126 Avaliação de um limite 127 Visão formal do conceito de limite 128 Exercício 64 131 65 Digressão sobre desigualdades e valores absolutos 131 Regras de desigualdades 131 Valores absolutos e desigualdades 132 Sumário XV C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Solução de uma desigualdade 134 Exercício 65 135 66 Teroemas de limite 135 Teoremas que envolvem uma única função 135 Teoremas que envolvem duas funções 135 Limite de uma função polinomial 136 Exercício 66 137 67 Continuidade e diferenciabilidade de uma função 137 Continuidade de uma função 137 Funções polinomiais e racionais 138 Diferenciabilidade de uma função 138 Exercício 67 142 Capítulo 7 Regras de diferenciação e sua utilização em estática comparativa 143 71 Regras de diferenciação para uma função de uma variável 143 Regra da função constante 143 Regra da função de potência 144 Generalização da regra da função de potência 146 Exercício 71 147 72 Regras de diferenciação envolvendo duas ou mais funções da mesma variável 147 Regra da somadiferença 147 Regra do produto 149 Calculando a função de renda marginal a partir da função de renda média 151 Regra do quociente 153 Relação entre funções de custo marginal e de custo médio 154 Exercício 72 155 73 Regras de diferenciação envolvendo funções de variáveis diferentes 155 Regra da cadeia 156 Regra da função inversa 157 Exercício 73 159 74 Diferenciação parcial 159 Derivadas parciais 159 Técnicas de diferenciação parcial 160 Interpretação geométrica de derivadas parciais 161 Vetor gradiente 162 Exercício 74 162 75 Aplicações à análise estática comparativa 163 Modelo de mercado 163 Modelo de renda nacional 165 Modelo de insumoproduto 166 Exercício 75 168 76 Nota sobre determinantes jacobianos 168 Exercício 76 170 Capítulo 8 Análise estática comparativa de modelos de função geral 171 81 Diferenciais 172 Diferenciais e derivadas 172 Diferenciais e elasticidadeponto 174 Exercício 81 176 Sumário XVI ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA 82 Diferenciais totais 176 Exercício 82 178 83 Regras de diferenciais 179 Exercício 83 181 84 Derivadas totais 181 Calculando a derivada total 181 Uma variação sobre o tema 183 Mais uma variação sobre o tema 184 Algumas observações gerais 185 Exercício 84 185 85 Derivadas de funções implícitas 185 Funções implícitas 185 Derivadas de funções implícitas 187 Extensão para o caso de equações simultâneas 190 Exercício 85 195 86 Estática comparativa de modelos de funções gerais 195 Modelo de mercado 196 Abordagem de equações simultâneas 197 Utilização de derivadas totais 199 Modelo da renda nacional ISLM 200 Ampliando o modelo uma economia aberta 203 Resumo do procedimento 206 Exercício 86 207 87 Limitações da estática comparativa 208 Parte 4 Problemas de otimização 209 Capítulo 9 Otimização uma variedade especial de análise de equilíbrio 211 91 Valores ótimos e valores extremos 211 92 Mínimo relativo e máximo relativo teste da derivada primeira 212 Extremo relativo versus extremo absoluto 212 Teste da derivada primeira 213 Exercício 92 216 93 Derivadas segundas e derivadas de ordens mais altas 217 Derivada de uma derivada 217 Interpretação da derivada segunda 219 Uma aplicação 221 Atitudes em relação ao risco 221 Exercício 93 222 94 Teste da derivada segunda 223 Condições necessárias versus condições suficientes 224 Condições para maximização de lucro 224 Coeficientes de uma função de custo total cúbica 227 Curva de receita marginal de inclinação crescente 228 Exercício 94 229 95 Série de Maclaurin e série de Taylor 230 Série de Maclaurin de uma função polinomial 231 Série de Taylor de uma função polinomial 232 Expansão de uma função arbitrária 233 Forma de Lagrange para o resto 236 Exercício 95 237 Sumário XVII C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA 96 Teste da derivada Nésima para extremo relativo de uma função de uma só variável 238 Expansão de Taylor e extremo relativo 238 Alguns casos específicos 238 Teste da Nésima derivada 240 Exercício 96 241 Capítulo 10 Funções exponenciais e logarítmicas 243 101 A natureza das funções exponenciais 243 Função exponencial simples 244 Forma gráfica 244 Função exponencial generalizada 245 Uma base preferida 246 Exercício 101 247 102 Funções exponenciais naturais e o problema do crescimento 248 O número e 248 Uma interpretação econômica de e 249 Juro composto e a função Ae rt 250 Taxa instantânea de crescimento 251 Crescimento contínuo versus crescimento discreto 252 Desconto e crescimento negativo 253 Exercício 102 254 103 Logaritmos 254 O significado de logaritmo 254 Log comum e Log natural 255 Regras de logaritmos 256 Uma aplicação 258 Exercício 103 258 104 Funções logarítmicas 259 Funções log e funções exponenciais 259 A forma gráfica 259 Conversão de base 261 Exercício 104 262 105 Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas 263 Regra da função logarítmica 263 Regra da função exponencial 264 As regras generalizadas 264 O caso da base b 266 Derivadas de ordens mais altas 266 Uma aplicação 267 Exercício 105 268 106 Tempo ótimo 268 Um problema de armazenagem de vinho 268 Condições de maximização 269 Um problema de corte de madeira 271 Exercício 106 272 107 Outras aplicações de derivadas exponenciais e logarítmicas 272 Achando a taxa de crescimento 272 Taxa de crescimento de uma combinação de funções 273 Achando a elasticidade pontual 274 Exercício 107 275 Sumário XVIII ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Capítulo 11 O caso de mais de uma variável de escolha 277 111 A versão diferencial de condições de otimização 277 Condição de primeira ordem 277 Condição de segunda ordem 278 Condições de diferencial versus condições de derivada 279 112 Valores extremos de uma função de duas variáveis 279 Condição de primeira ordem 279 Derivadas parciais de segunda ordem 281 Diferencial total de segunda ordem 282 Condição de segunda ordem 283 Exercício 112 286 113 Formas quadráticas uma excursão 286 Diferencial total de segunda ordem como uma forma quadrática 286 Formas negativas definidas e positivas definidas 287 Teste com determinantes para condição de sinal definido 287 Formas quadráticas com três variáveis 290 Formas quadráticas de n variáveis 292 Teste da raiz característica para condição de sinal definido 292 Exercício 113 296 114 Funções objetivo com mais de duas variáveis 297 Condição de primeira ordem para extremo 297 Condição de segunda ordem 298 O caso de n variáveis 301 Exercício 114 302 115 Condições de segunda ordem relativas à concavidade e convexidade 302 Verificação de concavidade e convexidade 304 Funções diferenciáveis 308 Funções convexas versus conjuntos convexos 310 Exercício 115 314 116 Aplicações na economia 314 Problema de uma empresa com vários produtos 314 Discriminação de preços 317 Decisões de insumos de uma empresa 319 Exercício 116 324 117 Aspectos de estática comparativa da otimização 325 Soluções de forma reduzida 325 Modelos de função geral 325 Exercício 117 328 Capítulo 12 Otimização com restrições de igualdade 329 121 Efeitos de uma restrição 329 122 Achando os valores estacionários 331 Método do multiplicador de Lagrange 331 Abordagem da diferencial total 333 Uma interpretação do multiplicador de Lagrange 334 Casos de n variáveis e múltiplas restrições 336 Exercício 122 337 123 Condições de segunda ordem 337 Diferencial total de segunda ordem 338 Condições de segunda ordem 339 O hessiano aumentado 339 Caso de n variáveis 342 Sumário XIX C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Caso de múltiplas restrições 344 Exercício 123 344 124 Quaseconcavidade e quaseconvexidade 345 Caracterização geométrica 345 Definição algébrica 347 Funções diferenciáveis 349 Um exame mais aprofundado do hessiano aumentado 352 Extremos absolutos versus extremos relativos 353 Exercício 124 354 125 Maximização da utilidade e demanda do consumidor 355 Condição de primeira ordem 355 Condição de segunda ordem 356 Análise estática comparativa 358 Variações proporcionais em preços e renda 362 Exercício 125 362 126 Funções homogêneas 363 Homogeneidade linear 364 A função produção de CobbDouglas 366 Extensões dos resultados 368 Exercício 126 369 127 Combinação de insumos de custo mínimo 370 Condição de primeira ordem 370 Condição de segunda ordem 371 A rota de expansão 372 Funções homotéticas 373 Elasticidade de substituição 375 Função de produção CES 376 Função de CobbDouglas como um caso especial da função CES 378 Exercício 127 380 Capítulo 13 Tópicos adicionais de otimização 381 131 Programação nãolinear e condições de KuhnTucker 381 Etapa 1 Efeito de restrições de nãonegatividade 382 Etapa 2 Efeito de restrições de desigualdade 383 Interpretação das condições de KuhnTucker 387 O caso de n variáveis m restrições 388 Exercício 131 390 132 A qualificação da restrição 391 Irregularidades nos pontos de fronteira 391 A qualificação de restrição 393 Restrições lineares 395 Exercício 132 396 133 Aplicações econômicas 397 Racionamento em tempo de guerra 397 Determinação de preço de pico carga máxima 399 Exercício 133 402 134 Teoremas de suficiência em programação nãolinear 403 O teorema de suficiência de KuhnTucker programação côncava 403 O teorema de suficiência de ArrowEnthoven programação quasecôncava 404 Um teste de qualificação de restrição 405 Exercício 134 405 135 Funções de valor máximo e o teorema do envelope 406 O teorema do envelope para otimização sem restrição 406 Sumário XX ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA A função lucro 407 Condição de reciprocidade 408 O teorema do envelope para otimização com restrição 411 Interpretação do multiplicador de Lagrange 412 136 Dualidade e o teorema do envelope 413 O problema primordial 413 O problema dual 414 Dualidade 415 Identidade de Roy 415 O lema de Shephard 416 Exercício 136 420 137 Algumas observações finais 421 PARTE 5 Análise dinâmica 423 Capítulo 14 Economia dinâmica e cálculo integral 425 141 Dinâmica e integração 425 142 Integrais indefinidas 427 A natureza das integrais 427 Regras básicas de integração 427 Regras de operação 429 Regras que envolvem substituição 432 Exercício 142 434 143 Integrais definidas 435 Significado de integrais definidas 435 Uma integral definida como uma área sob uma curva 436 Algumas propriedades de integrais definidas 439 Um outro modo de ver a integral indefinida 440 Exercício 143 440 144 Integrais impróprias 441 Limites de integração infinitos 441 Integrando infinito 443 Exercício 144 444 145 Algumas aplicações econômicas de integrais 444 De uma função marginal para uma função total 444 Investimento e formação de capital 445 Valor presente de um fluxo de caixa 447 Valor presente de um fluxo perpétuo 449 Exercício 145 450 146 Modelo de crescimento de Domar 450 A estrutura 450 Encontrando a solução 451 O fio da navalha 452 Exercício 146 453 Capítulo 15 Tempo contínuo equações diferenciais de primeira ordem 455 151 Equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficiente constante e termo constante 455 O caso homogêneo 456 O caso nãohomogêneo 456 Sumário XXI C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Verificação da solução 458 Exercício 151 459 152 Dinâmica do preço de mercado 459 A estrutura 459 A trajetória temporal 460 A estabilidade dinâmica de equilíbrio 460 Uma utilização alternativa do modelo 461 Exercício 152 462 153 Coeficiente variável e termo variável 463 O caso homogêneo 463 O caso nãohomogêneo 464 Exercício 153 465 154 Equações diferenciais exatas 466 Equações diferenciais exatas 466 Método de solução 467 Fator de integrante 469 Solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem 469 Exercício 154 471 155 Equações diferenciais nãolineares de primeira ordem e de primeiro grau 471 Equações diferenciais exatas 471 Variáveis separáveis 472 Equações redutíveis à forma linear 473 Exercício 155 474 156 A abordagem gráficoqualitativa 474 O diagrama de fase 475 Tipos de trajetória temporal 475 Exercício 156 477 157 Modelo de crescimento de Solow 477 A estrutura 478 Uma análise gráficoqualitativa 479 Uma ilustração quantitativa 480 Exercício 157 481 Capítulo 16 Equações diferenciais de ordem mais alta 483 161 Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo constante 484 A solução particular 484 A função complementar 485 A estabilidade dinâmica de equilíbrio 489 Exercício 161 490 162 Números complexos e funções circulares 491 Números imaginários e complexos 491 Raízes complexas 492 Funções circulares 493 Propriedades das funções seno e coseno 494 Relações de Euler 496 Representações alternativas de números complexos 498 Exercício 162 500 163 Análise do caso da raiz complexa 501 A função complementar 501 Um exemplo de solução 502 A trajetória temporal 504 A estabilidade dinâmica do equilíbrio 505 Exercício 163 506 Sumário XXII ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Sumário 182 Modelo de Samuelson para a interação multiplicadoraceleração 552 A estrutura 553 A solução 553 Convergência versus divergência 554 Um resumo gráfico 556 Exercício 182 557 183 Inflação e desemprego em tempo discreto 558 O modelo 558 A equação de diferenças em p 558 A trajetória temporal de p 559 A análise de U 560 A relação de Phillips de longo prazo 561 Exercício 183 562 184 Generalizações para equações de termo variável e ordens mais altas 562 Termo variável na forma de cm t 562 Termo variável na forma de ct n 564 Equações de diferenças lineares de ordens mais altas 565 Convergência e o teorema de Schur 566 Exercício 184 568 Capítulo 19 Equações diferenciais e equações de diferenças simultâneas 569 191 A gênese de sistemas dinâmicos 569 Padrões de variação interativos 569 A transformação de uma equação dinâmica de ordem alta 570 192 Resolvendo equações dinâmicas simultâneas 571 Equações de diferenças simultâneas 571 Notação matricial 573 Equações diferenciais simultâneas 575 Comentários adicionais sobre a equação característica 578 Exercício 192 579 193 Modelos dinâmicos de insumoproduto 580 Defasagem de tempo na produção 580 Excesso de demanda e ajuste da produção 582 Formação de capital 583 Exercício 193 585 194 Mais uma vez o modelo inflaçãodesemprego 586 Equações diferenciais simultâneas 586 Trajetórias de solução 586 Equações de diferenças simultâneas 589 Trajetórias de solução 589 Exercício 194 590 195 Diagramas de fase de duas variáveis 590 O espaço de fase 591 As curvas de demarcação 591 Linhas de fluxo 593 Tipos de equilíbrio 594 Inflação e regra monetária à moda de Obst 595 Exercício 195 598 196 Linearização de um sistema de equações diferenciais nãolinear 599 Expansão de Taylor e linearização 599 A linearização homogênea 600 Análise da estabilidade local 601 Exercício 196 605 Sumário XXIV ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Capítulo 20 Teoria do controle ótimo 607 201 A natureza do controle ótimo 607 Ilustração um modelo macroeconômico simples 608 Princípio do máximo de Pontryagin 609 202 Condições terminais alternativas 614 Ponto terminal fixo 614 Reta terminal horizontal 615 Reta terminal vertical truncada 615 Reta terminal horizontal truncada 615 Exercício 202 618 203 Problemas autônomos 619 204 Aplicações econômicas 620 Maximização do tempo de vida da utilidade 620 Recurso exaurível 621 Exercício 204 623 205 Horizonte de tempo infinito 624 Modelo neoclássico de crescimento ótimo 624 A hamiltoniana de valor corrente 626 Construindo um diagrama de fase 626 Análise do diagrama de fase 627 206 Limitações da análise dinâmica 628 O alfabeto grego 631 Símbolos matemáticos 631 Bibliografia recomendada 635 Respostas a exercícios selecionados 637 Índice 651 Sumário XXV C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA Parte 1 CAPÍTULO 1 A natureza da economia matemática A economia matemática não é um ramo distinto da economia no mesmo sentido das finanças públicas e do comércio exterior Tratase mais de uma abordagem da análise econômica na qual o economista utiliza símbolos matemáticos para enunciar um problema recorrendo também a teoremas matemáticos conhecidos para auxiliar o raciocínio Quanto ao tópico específico da análise pode ser teoria microeconômica ou macroeconômica finanças públicas economia ur bana ou outro tema qualquer Utilizando o termo economia matemática no sentido mais amplo possível podese perfeita mente afirmar que hoje todo livro didático elementar de economia menciona exemplos de eco nomia matemática considerandose que métodos geométricos são freqüentemente utilizados para obter resultados teóricos Mais comumente entretanto a economia matemática é reserva da para descrever casos empregando técnicas matemáticas mais avançadas que a simples geome tria tais como álgebra matricial cálculo diferencial e integral equações diferenciais etc O pro pósito deste livro é apresentar ao leitor os aspectos mais fundamentais desses métodos matemáti cos os que se encontram diariamente na literatura econômica atual 11 Economia matemática versus economia nãomatemática Visto que a economia matemática é meramente uma abordagem da análise econômica não deve ser e não é fundamentalmente diferente da abordagem nãomatemática da análise econômica O propósito de qualquer análise teórica independentemente da abordagem é sempre derivar um conjunto de conclusões ou teoremas a partir de um dado conjunto de premissas ou postula dos via um processo de raciocínio Há duas diferenças principais entre economia matemática e economia literária a primeira é que na economia matemática as premissas e conclusões são enunciadas em símbolos matemáticos e não em palavras e em equações em vez de sentenças A segunda é que em lugar da lógica literária são usados teoremas matemáticos há uma profusão deles a nosso dispor no processo de raciocínio Considerando que símbolos e palavras são real mente equivalentes confirmado pelo fato de que símbolos usualmente são definidos em pala vras pouco importa qual deles é escolhido Porém provavelmente ninguém contestaria que símbolos são mais convenientes para usar no raciocínio dedutivo e que certamente são mais fa voráveis à concisão e à precisão de enunciados A escolha entre lógica literária e lógica matemática é mais uma vez uma questão de pouca importância mas a matemática tem a vantagem de obrigar os analistas a enunciar suas premissas explicitamente em cada estágio do raciocínio Isso porque teoremas matemáticos usualmente são enunciados na forma seentão de modo que para poder usar a parte do então o resulta ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 1 3ª PROVA do do teorema os analistas primeiramente têm de ter certeza de que a parte do se condição está de acordo com as premissas explícitas adotadas Mesmo admitindo esses pontos ainda podese perguntar por que é necessário ir além dos métodos geométricos A resposta é que conquanto a análise geométrica tenha a importante van tagem de ser visual também está sujeita a sérias limitações dimensionais Na discussão geométri ca normal das curvas de indiferença por exemplo a premissa padrão considera que há somente duas mercadorias disponíveis para o consumidor Essa premissa simplificadora não é adotada vo luntariamente mas imposta porque desenhar um gráfico tridimensional é extremamente difícil e construir um gráfico de quatro dimensões ou mais é na realidade uma impossibilidade físi ca Para tratar do caso mais geral de 3 4 ou n mercadorias devemos recorrer a uma ferramenta mais flexível as equações Essa única razão já seria motivação suficiente para o estudo de méto dos matemáticos além da geometria Em suma vemos que a abordagem matemática teria razão de proclamar as seguintes vanta gens 1 a linguagem utilizada é mais concisa e precisa 2 existe uma profusão de teoremas matemáticos a nosso dispor 3 como nos obriga a enunciar explicitamente todas as nossas pre missas como um prérequisito da utilização dos teoremas matemáticos ela nos resguarda da ar madilha de adotar inadvertidamente premissas implícitas indesejáveis e 4 nos permite tratar o caso geral de n variáveis Contrapondose a essas vantagens às vezes ouvimos críticas afirmando que uma teoria obti da matematicamente é inevitavelmente nãorealista Entretanto essa crítica não é válida Na ver dade o epíteto nãorealista não pode ser utilizado nem mesmo para criticar a teoria econômica em geral quer a abordagem seja ou não matemática Teoria é por sua própria natureza uma abstração do mundo real É um recurso para isolar apenas os fatores e as relações mais essenciais de modo que possamos estudar o ponto crucial do problema que temos em mãos livre das inú meras complicações que existem no mundo real Assim a afirmação falta realismo à teoria é meramente um truísmo que não pode ser aceito como uma crítica válida da teoria Pelo mesmo critério não tem muito sentido designar qualquer uma das abordagens da teoria como não realista Por exemplo a teoria da empresa sob concorrência perfeita não é realista assim como a teoria da empresa sob concorrência imperfeita porém se essas teorias são obtidas matematica mente ou não é irrelevante e imaterial Para aproveitar as vantagens da profusão de ferramentas matemáticas é claro que antes de mais nada devemos adquirir essas ferramentas Infelizmente as ferramentas de interesse para o economista estão amplamente espalhadas por muitos cursos de matemática um núme ro demasiadamente grande para caber razoavelmente no plano de estudos de um estudante normal de economia O serviço prestado por este volume é reunir em um só lugar os métodos matemáticos mais relevantes para a literatura econômica organizálos em uma ordem de pro gressão lógica explicar completamente cada método e então ilustrar imediatamente como ele é aplicado em análise econômica Vinculando os métodos e suas aplicações a relevância da matemática para a economia fica mais transparente do que seria possível em cursos normais de matemática nos quais as aplicações ilustradas são predominantemente vinculadas à fisica e à engenharia Por conseguinte a familiaridade com o conteúdo deste livro e se possível tam bém com seu volume subseqüente Alpha C Chiang Elements of Dynamic Optimization McGraw Hill 1992 publicado agora pela Waveland Press Inc deve habilitar o leitor a compreender a maioria dos artigos escritos por profissionais encontrados em periódicos como o American Eco nomic Review Quarterly Journal of Economics Journal of Political Economy Review of Economics and Statistics e Economic Journal Os leitores que ao tomarem conhecimento da matemática econô mica desenvolverem um sério interesse pelo assunto poderão partir para um estudo mais rigo roso e avançado da matemática 12 Economia matemática versus econometria O termo economia matemática às vezes é confundido com um termo relacionado econometria Como a parte metria do último termo dá a entender a econometria preocupase principal mente com a medição de dados econômicos Por conseguinte trata do estudo de observações em A natureza da economia matemática 4 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 1 3ª PROVA píricas utilizando métodos estatísticos de estimação e teste de hipóteses A economia matemática por outro lado referese à aplicação da matemática aos aspectos puramente teóricos da análise econômica preocupandose muito pouco ou quase nada com problemas estatísticos como er ros de medição das variáveis que estão sendo estudadas Neste volume nos limitaremos à economia matemática Isto é nos concentraremos na apli cação da matemática ao raciocínio dedutivo e não ao estudo indutivo e conseqüentemente esta remos lidando primordialmente com material teórico e não empírico É claro que isso é uma questão exclusivamente de escolha do escopo da discussão e não quer dizer de modo algum que a econometria é menos importante Na verdade estudos empíricos e análises teóricas freqüentemente são complementares e se reforçam mutuamente Por um lado a validade das teorias tem de ser testada em relação a dados empíricos antes que elas possam ser aplicadas com confiança Por outro lado o trabalho estatísti co necessita da teoria econômica como guia para determinar a direção mais relevante e provei tosa da pesquisa Entretanto de um certo modo a economia matemática pode ser considerada a mais básica das duas pois para realizar um estudo estatístico e econométrico significativo é indispensável uma boa estrutura teórica de preferência em formulação matemática Portanto o assunto des te volume deverá ser útil não somente para os interessados na economia teórica mas também para os que buscam uma base para prosseguir em estudos econométricos 12 Economia matemática versus econometria 5 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 1 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 1 3ª PROVA Capítulo 2 Modelos econômicos Como mencionamos anteriormente qualquer teoria econômica é necessariamente uma abstração do mundo real Uma razão é que a imensa complexidade da economia real faz com que seja impossível entender todas as interrelações de uma vez só e a propósito nem todas essas interrelações têm a mesma importância para o entendimento do fenômeno econômico específico em estudo Portanto o procedimento sensato é escolher aquilo que a nossa razão determina como fatores primários e relações relevantes para o nosso problema e concentrar nossa atenção sobre eles Essa estrutura analítica deliberadamente simplificada é denominada modelo já que representa uma representação esquemática aproximada da economia real 21 Componentes de um modelo matemático Um modelo econômico é apenas uma estrutura teórica e não há nenhuma razão inerente por que deva ser matemática Contudo se o modelo for matemático geralmente consistirá em um conjunto de equações elaborado para descrever a estrutura do modelo Relacionando algumas variáveis entre si de certas maneiras essas equações dão forma matemática ao conjunto de premissas analíticas adotadas Então por meio da aplicação de operações matemáticas relevantes a essas equações podemos tentar obter um conjunto de conclusões que resultem logicamente dessas premissas Variáveis constantes e parâmetros Uma variável é qualquer valor podendo mudar isto é algo que pode assumir valores diferentes Entre os valores frequentemente usados na economia estão preço lucro receita custo renda e outros indicadores imitações e exportações Visito que cada variável pode depender de um ou mais fatores podemos também considerar um conjunto n como parâmetros mos ser determinados por forças externas ao modelo e cujos valores são acessíveis como dados essas variáveis são denominadas variáveis exógenas que se originam de fora Devese notar que uma variável endógena em um modelo pode perfeitamente ser exógena em outro No caso de uma análise da determinação do preço de mercado do trigo P por exemplo a variável P deve ser definitivamente endógena mas na estrutura de uma teoria de gastos do consumidor P se tornaria um dado do consumidor individual e portanto deve ser considerada exógena Variáveis frequentemente aparecem combinadas com números fixos ou constantes tal como nas expressões 7P ou 05P Uma constante é uma grandeza que não muda portanto é diferente de uma variável Quando uma constante é utilizada normalmente é denotada como coeficiente daquela variável Contudo devido ao papel da constante P se representaria como um dado e o coeficiente se tornaria uma expressão a ser relacionada à variável Por exemplo se P simbolizar preço então P₀ significa um preço determinado exogenamente C 75 Q 21 C 110 Q² 22 onde Q denota a quantidade de produção Visto que as formas das duas equações são diferentes a condição de produção adotada em cada uma é obviamente diferente da outra Em 21 o custo fixo ou valor de Quando Q 0 é 75 ao passo que em 22 é 110 A variação do custo também é diferente Em 21 para cada unidade de aumento em Q há um aumento constante de 10 em C Mas em 22 à medida que Q aumenta unidade após unidade C aumentará de quantidades progressivamente maiores E claro que e é por meio da especificação da forma das equações queportantes que dão expressão matemática as premissas adotadas para um modelo O terceiro tipo a equação condicional determina um requisito a ser satisfeito Por exemplo em um modelo que envolve a condição de equilíbrio devemos estabelecer uma condição de equilíbrio que descreva como alcançar o equilíbrio Dadas as condições de equilíbrio mais fa Uma vez usada a noção de números racionais surge naturalmente o conceito de números irracionais números que não podem ser expressos como razões entre pares de inteiros Um exemplo é o número 2 1414 que é um número decimal não periódico não exato Um outro exemplo é a constante especial π 31415 que representa a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro e que novamente é um decimal não periódico não exato uma característica de todos os números irracionais Se representados sobre uma régua cada número irracional cairia entre dois números racionais de modo que exatamente como as frações preenchem as lacunas entre os números racionais O resultado deste processo de preenchimento de lacunas entre os números que todos juntos são denominados números reais Esse conjunto constitui o conjunto dos números reais que normalmente é representado pelo símbolo R Quando o conjunto R é requerido será sempre uma linha reta uma linha repleta essa linha central não representa uma característica da totalidade de números reais 23 o conceito de conjunto Modelos econômicos 23 o conceito de conjunto A B B A A B B A A B C A B A C A B C A B A C A B a b x y a b a R e b R representa o conjunto de todos os pares ordenados cujos elementos têm valores reais Além disso cada par ordenado corresponde a um único ponto no plano de coordenadas cartesianas da Figura 24 inversamente cada ponto no plano de coordenadas corresponde a um par ordenado do único conjunto x y Em vista dessa unicidade dizse que existe uma correspondência umparaum entre o conjunto de pares ordenados do produto cartesiano Agora é fácil de perceber o princípio racional da notação x y podemos concluir que a interseção de x com x e y na Figura 24 Um modo mais simples de expressar explicitamente a relação x y 23 é escrever diretamente como R R também comumente entendido como R² Ampliando essa ideia também podemos definir o produto cartesiano dos três conjuntos x y e z como segue x y z a b c a x b y c z que é um conjunto de triplas ordenadas Além disso se cada um dos conjuntos x y e z consistir em todos os números reais o produto cartesiano corresponderá ao conjunto de todos os pontos em um espaço tridimensional o que pode ser denotado por R R R ou mais simplesmente R³ Na presente discussão consideramos que todas as variáveis têm valor real assim a estrutura será em termos gerais R ou R² ou R³ O conjunto x y 1 x 4 que consiste em pares ordenados como 1 0 1 1 e 1 4 constitui uma outra relação Na Figura 25 esse conjunto corresponde ao conjunto de todos os pontos na área sombreada que satisfazem a desigualdade y x Observe que quando o valor de x é dado nem sempre é possível determinar um valor ímido a partir de uma relação No Exemplo 4 os três exemplos de pares ordenados mostram que se x1 pode assumir vários valores tais como 0 1 ou 4 e ainda assim satisfazer em cada caso a relação enunciada Em termos gráficos dois ou mais pontos podem cair sobre uma única reta vertical no plano xy Isso é exemplificado na Figura 25 onde muitos pontos na área sombreada que representa a relação y x caem na reta vertical traçada denominada x a podem ser ambas funções de x mas se uma função for escrita como y f x a outra deve ser es crita z g x ou z φ x Entretanto também é permitido escrever y yx e z zx dispensan do assim totalmente os símbolos f e g Na função y f x x é denominado o argumento da função e y é denominado o valor da fun ção Vamos nos referir alternativamente a x como a variável independente e a y como a variável de pendente O conjunto de todos os valores permissíveis que x pode assumir em um dado contexto é conhecido como o domínio da função que pode ser um subconjunto do conjunto de todos os nú meros reais O valor y para o qual um valor x é mapeado é denominado a imagem daquele valor x O conjunto de todas as imagens é denominado a imagem da função que é o conjunto de todos os valores que a variável y pode assumir Assim o domínio pertence à variável independente x e a imagem tem a ver com a variável independente y Como ilustrado na Figura 27a podemos considerar a função f como uma regra para ma pear cada ponto sobre algum segmento de reta o domínio para algum ponto sobre outro seg mento de reta a imagem Representando o domínio no eixo x e a imagem no eixo y como na Figura 27b contudo obtemos imediatamente o gráfico bidimensional familiar no qual a as sociação entre valores x e valores y é especificada por um conjunto de pares ordenados como x1 y1 e x2 y2 Em modelos econômicos equações comportamentais usualmente entram como funções Visto que por sua própria natureza quase todas as variáveis em modelos econômicos estão restri tas a números reais não negativos seus domínios também são restritos É por isso que em eco nomia a maioria das representações geométricas é apresentada somente no primeiro quadran te Em geral não nos preocuparemos em especificar o domínio de cada função em cada modelo econômico Quando não for dada nenhuma especificação devese entender que o domínio e a imagem incluirá somente números para os quais uma função faz sentido em economia 24 Relações e funções 19 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA y f x y y0 O x1 x x2 FIGURA 26 f f x1 x2 y1 y2 Domínio Imagem a b y x O y1 y2 x 2 y 2 x 1 y 1 x1 x2 FIGURA 27 Dizemos não negativos em vez de positivos quando são permitidos valores zero O custo total por dia C de uma empresa é uma função de sua produção diária Q C 150 7Q A empresa tem uma capacidade limite de produção de 100 unidades por dia Qual é o domínio e a imagem da função custo Considerando que Q pode variar entre 0 e 100 o domínio é o conjunto de valores 0 Q 100 ou mais formalmente Domínio 0 0 Q 100 Quanto à imagem visto que o gráfico da função é uma linha reta cujo valor mínimo de C é 150 quando Q 0 e cujo valor máximo de C é 850 quando Q 100 temos Imagem C 150 C 850 Porém cuidado pois é possível que nem sempre ocorram os valores extremos da função quando os valores extremos do domínio forem atingidos y fx 7 cujo valor permanece no mesmo horizonte Em termos de renda nacional quando o investimento I determinado exogenamente podemos ter uma função de investimento da forma I 100 milhões ou I I₀ que exemplifica a função constante y x 1 x² 2x 4 na qual y é expresso como uma razão de dois polinômios da variável x é conhecida como uma função racional Segundo essa definição qualquer função polinomial deve ser em si uma função racional porque sempre pode ser expressa como uma razão com I 1 uma função constante e como um caso especial observamos que x¹ x Da definição geral segue que para inteiros positivos m e n os expoentes obedecem às seguintes regras Regra I xm xn xmn por exemplo x² x⁴ x⁶ Regra II xmxn xmn x 0 por exemplo x4x2 x42 Exercício 25 No entanto se acrescentarmos um eixo vertical e perpendicular ao plano x0y o resultado será espaço tridimensional na qual se pode representar graficamente como descrito a seguir O domínio da função será então subconjunto dos pontos no plano x0y e o valor da função valor de z para um dado ponto no domínio digamos x1 y1 pode ser indicado pela altura de uma linha vertical desenhada naquele ponto Assim a combinação entre as três variáveis é resumida pela tripla ordenada x1 y1 z1 que é um ponto específico no espaço tridimensional O locu das essas triplas ordenadas perfeitas constitui então o gráfico da função g Enquanto a função z gx y é um conjunto de triplas ordenadas a função z gx y serve como um conjunto de triplas ordenadas Haverá muitas aplicações práticas desse tipo em modelos econômicos Uma aplicação interessante é na representação das condição de bemestar apesar de poder ser representada apenas para três casos de este tipo QKL e pode ser expressa como fuvw representando uma função do espaço tridimensional é uma função linear cuja característica é que cada variável é elevada somente à primeira potência Uma função quadrática por outro lado envolve primeiras e segundas potências de uma ou mais variáveis independentes mas a soma dos expoentes das variáveis que aparecem em cada termo não deve ser maior que 2 Observe que em vez de denotar as variáveis independentes x u v w etc passamos para os símbolos x1 x2 xn Essa última notação como o sistema de coeficientes subscritos tem o méri to de economizar o alfabeto bem como de proporcionar uma percepção mais fácil do número de variáveis envolvidas em uma função 27 Níveis de generalidade Quando discutimos os vários tipos de funções apresentamos sem nenhuma observação explíci ta exemplos de funções que pertencem a níveis variados de generalidade Em certas instâncias escrevemos funções na forma y 7 y 6x 4 y x2 3x 1 etc Essas funções não somente são expressas em termos de coeficientes numéricos mas tam bém indicam especificamente se cada uma delas é constante linear ou quadrática Em termos de gráficos cada uma dessas funções dará origem a uma curva única bem definida Em vista da na tureza numérica dessas funções as soluções do modelo baseado nelas também serão valores nu méricos A desvantagem é que cada vez que quisermos saber como nossa conclusão analítica mu dará quando entrar em jogo um conjunto diferente de coeficientes numéricos teremos de per correr todo o processo de raciocínio novamente Assim os resultados obtidos de funções especí ficas não têm muita generalidade Passando para um nível mais geral de discussão e análise há funções na forma y a y a bx y a bx cx2 etc Uma vez que são utilizados parâmetros cada função representa não uma única curva mas toda uma família de curvas A função y a por exemplo abrange não somente os casos específi cos y 0 y 1 e y 2 mas também y 1 3 y 5 até o infinito Com funções paramétricas o re sultado de operações matemáticas também será em termos de parâmetros Esses resultados são mais gerais no sentido de que atribuindo vários valores aos parâmetros que aparecem na solução do modelo podemos obter toda uma família de respostas específicas sem ter de repetir o proces so de raciocínio novamente Para atingir um nível de generalidade mais alto ainda podemos recorrer ao enunciado geral y fx ou z gx y Quando expressa dessa forma a função não fica restrita a ser exclusivamente linear quadrática exponencial ou trigonométrica todas são incorporadas na notação A aplicabi lidade do resultado analítico baseado em tal formulação geral será portanto a mais geral possível Contudo como veremos mais adiante para obter resultados economicamente significativos mui tas vezes é necessário impor certas restrições qualitativas às funções gerais embutidas em um mode lo tal como a restrição de que uma função de demanda tenha um gráfico de inclinação negativa ou que a função de consumo tenha um gráfico com uma inclinação positiva menor que 1 Resumindo o presente capítulo a estrutura de um modelo matemático econômico agora está clara Em geral consistirá em um sistema de equações que podem ser definicionais com portamentais ou da natureza de condições de equilíbrio As equações comportamentais usual mente estão sob a forma de funções que podem ser lineares ou não lineares numéricas ou para métricas e ter uma variável independente ou muitas É por meio delas que é dada expressão ma temática às premissas analíticas adotadas no modelo 27 Níveis de generalidade 27 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA Desigualdades também podem entrar como um componente importante de um modelo mas não nos preocuparemos com elas por enquanto Ao atacar um problema analítico portanto o primeiro passo é selecionar as variáveis ade quadas exógenas bem como endógenas para inclusão no modelo Em seguida devemos tra duzir em equações o conjunto de premissas analíticas referentes aos aspectos ambientais huma nos institucionais tecnológicos legais e outros que afetam o funcionamento das variáveis So mente então podemos tentar obter um conjunto de conclusões por meio de operações e mani pulações matemáticas relevantes e darlhes interpretações econômicas apropriadas Modelos econômicos 28 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA PARTE 2 Análise estática ou de equilíbrio Á Í CAPÍTULO 3 Análise de equilíbrio em economia O procedimento analítico esboçado no Capítulo 2 será aplicado em primeiro lugar ao que é conhecido como análise estática ou análise de equilíbrio Para tal finalidade é imperativo antes de mais nada entender claramente o que significa equilíbrio 31 O significado de equilíbrio Como qualquer termo utilizado em economia equilíbrio pode ser definido de diversas maneiras Segundo uma das definições um equilíbrio é uma constelação de variáveis interrelacionadas selecionadas ajustadas umas às outras de tal maneira que nenhuma tendência inerente à mu dança prevaleça no modelo que elas constituem Diversas palavras nessa definição merecem es pecial atenção Em primeiro lugar a palavra selecionada salienta o fato de existirem variáveis que por escolha do analista não foram incluídas no modelo Conseqüentemente o equilíbrio em questão pode ter relevância somente no contexto do conjunto particular de variáveis escolhidas e se o modelo for ampliado para incluir variáveis adicionais o estado de equilíbrio pertinente ao modelo menor não se aplicará mais Em segundo lugar a palavra interrelacionada indica que para ocorrer o equilíbrio todas as variáveis no modelo deverão estar simultaneamente em um estado de repouso Além disso o es tado de repouso de cada variável deve ser compatível com o estado de repouso de cada uma das outras variáveis caso contrário uma ou algumas dessas variáveis estará mudando e conseqüente mente por uma reação em cadeia também estará fazendo com que outras variáveis mudem e então podese dizer que não existe equilíbrio algum Em terceiro lugar a palavra inerente implica que ao definir um equilíbrio o estado de re pouso envolvido é baseado apenas no equilíbrio das forças internas do modelo admitindose ao mesmo tempo que os fatores externos são fixos Em termos operacionais isso significa que parâ metros e variáveis exógenas são tratados como constantes Quando os fatores externos muda rem haverá um novo equilíbrio definido com base nos valores dos novos parâmetros porém ao definir o novo equilíbrio admitese novamente que os valores dos novos parâmetros persistem e permanecem imutáveis ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA Machlup Fritz Equilibrium and Disequilibrium Misplaced Concreteness and Disguised Politics Economic Journal p 9 mar 1958 Publicado novamente em Machlup F Essays on Economic Semantics Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1963 Em essência um equilíbrio para um modelo especificado é uma situação caracterizada por uma ausência de tendência à mudança É por essa razão que a análise de equilíbrio mais especi ficamente o estudo de como é o estado de equilíbrio é denominada estática O fato de um equilíbrio implicar nenhuma tendência à mudança pode nos tentar a concluir que ele constitui necessariamente um estado de coisas desejável ou ideal tendo como premissa que somente no estado ideal haveria uma ausência de motivação para mudança Essa conclusão é injustificável Mesmo que uma determinada posição de equilíbrio possa representar um estado desejável e algo por que se deva lutar tal como uma situação de maximização do lucro do pon to de vista da empresa uma outra posição de equilíbrio talvez seja bastante indesejável e por tanto algo que deve ser evitado tal como um nível de equilíbrio de subutilização da renda nacio nal A única interpretação justificável é que um equilíbrio é uma situação que se atingida tende ria a se perpetuar salvo quaisquer mudanças nas forças externas A variedade desejável de equilíbrio a qual denominaremos equilíbrioalvo será discutida mais adiante na Parte 4 como problemas de otimização Neste capítulo a discussão será restrita ao tipo de equilíbrio que não tem um alvo definido que não resulta de nenhuma intenção conscien te de atingir um determinado objetivo mas de um processo impessoal ou suprapessoal de intera ção e ajuste de forças econômicas Exemplos desse tipo de equilíbrio são o equilíbrio atingido por um mercado sob determinadas condições de demanda e oferta e o equilíbrio da renda nacio nal sob determinadas condições de consumo e padrões de investimento 32 Equilíbrio parcial de mercado um modelo linear Em um modelo de equilíbrio estático o problema padrão é achar o conjunto de valores das variá veis endógenas que satisfarão a condição de equilíbrio do modelo Isso porque uma vez identifi cados esses valores teremos na verdade identificado o estado de equilíbrio Vamos ilustrar com o que denominamos um modelo de equilíbrio parcial de mercado isto é um modelo de deter minação de preço em um mercado isolado Construção do modelo Uma vez que somente uma mercadoria está sendo considerada é necessário incluir somente três variáveis no modelo a quantidade demandada da mercadoria Q d a quantidade ofertada da mercadoria Q s e seu preçoP A quantidade é medida por exemplo em quilos por semana e o preço em reais Escolhidas as variáveis nossa próxima tarefa é adotar certas premissas em rela ção ao funcionamento do mercado Em primeiro lugar devemos especificar uma condição de equilíbrio algo indispensável em um modelo de equilíbrio A premissa padrão é que ocorre equilíbrio no mercado se e somente se o excesso de demanda for zero Qd Qs 0 isto é se e somente se o mercado estiver servido Porém isso levanta imediatamente a questão do modo como as próprias Q d e Q s são determinadas Para responder a essa pergunta admitimos que Q d é uma função linear decrescente de P à medida que P aumenta Q d diminui Por outro lado Q s é postulada como uma função linear crescente de P à medida que P aumenta Q s também aumen ta com a condição de que nenhuma quantidade é ofertada a menos que o preço exceda um de terminado nível positivo Então ao todo o modelo conterá uma condição de equilíbrio e mais duas equações comportamentais que regerão os lados da demanda e da oferta do mercado res pectivamente Traduzido para enunciados matemáticos o modelo pode ser escrito como Q d Q s Q d a bP a b 0 Q s c dP c d 0 31 Análise de equilíbrio em economia 32 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA Quatro parâmetros a b c e d aparecem nas duas funções lineares e todos eles são especificados como positivos Quando a função de demanda é representada graficamente como na Figura 31 a intercepta o eixo vertical em a e sua inclinação é b negativa como requerido A função de oferta por sua vez tem inclinação já que d é positivo mas vemos que sua interseção com o eixo vertical é negativa em c Por que quisemos especificar tal interseção vertical negativa A resposta é que ao fazer isso obrigamos a curva de oferta a ter uma interseção horizontal positiva em P1 satisfazendo desse modo a condição determinada anteriormente de que não ocorrerá oferta a menos que o preço seja positivo e suficientemente alto O leitor pode observar isso na prática usual a quantidade e não o preço foi variada ao determinar o nível de oferta Em contexto devido a o ponto da cota de uma empresa comercial se considera que a curva de demanda descreve a curva de receita média AR P βQ Q invertendo os eixos e colocaremos P0 no eixo vertical Agora que o modelo foi construído a próxima etapa é resolvêlo isto é obter os valores de solução das três variáveis endógenas Qd Qe e P Os valores de solução são aqueles que satisfazem as três equações em 31 simultaneamente isto é são os valores que quando substituídos nas três equações fazem delas um conjunto de enunciados verdadeiros No contexto de um modelo de equilíbrio esses valores também podem ser denominados valores de equilíbrio das variáveis decididas Q a bP Nessa circunstância o conjunto interseção contém somente um único elemento o par or denado P Q O equilíbrio de mercado é único EXERCÍCIO 32 1 Dado o modelo de mercado Qd Qs Qd 21 3P Qs 4 8P Calcule P e Q por a eliminação de variáveis e b usando as fórmulas 34 e 35 Use frações em vez de decimais 2 Considerando as seguintes funções de demanda e oferta a Qd 51 3P b Qd 30 2P Qs 6P 10 Qs 6 5P calcule P e Q por eliminação de variáveis Use frações em vez de decimais 3 Segundo 35 para Q ser positivo é necessário que a expressão ad bc tenha o mes mo sinal algébrico de b d Verifique se essa condição é realmente satisfeita nos mode los dos Problemas 1 e 2 4 Se b d 0 no modelo linear de mercado podese achar uma solução de equilíbrio usando 34 e 35 Justifique sua resposta 5 Se b d 0 no modelo linear de mercado o que você pode concluir em relação às posi ções das curvas de demanda e oferta na Figura 31 E então o que pode concluir em re lação à solução de equilíbrio 33 Equilíbrio parcial de mercado um modelo nãolinear Vamos substituir a demanda linear no modelo de mercado isolado por uma função quadrática de demanda mantendo linear a função de oferta Além disso vamos usar coeficientes numéricos em vez de parâmetros Então pode surgir um modelo como o seguinte Q d Qs Q d 4 P2 Q s 4P 1 36 Como anteriormente esse sistema de três equações pode ser reduzido a uma única equação por eliminação de variáveis por substituição 4 P2 4P 1 ou P 2 4P 5 0 37 Essa é uma equação quadrática porque a expressão à esquerda é uma função quadrática da variável P Uma importante diferença entre uma equação quadrática e uma equação linear é que em geral a primeira resultará em dois valores de solução 33 Equilíbrio parcial de mercado um modelo nãolinear 35 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA Equação quadrática versus função quadrática Antes de discutir o método de solução é preciso fazer uma clara distinção entre os dois termos equação quadrática e função quadrática Como discutimos anteriormente a expressão P 2 4P 5 constitui uma função quadrática digamos f P Por conseguinte podemos escrever f P P 2 4P 5 38 A expressão 38 especifica uma regra de mapeamento de P para f P tal como P 6 5 4 3 2 1 0 1 2 fP 7 0 5 8 9 8 5 0 7 Embora tenhamos relacionado somente nove valores de P nessa tabela na verdade todos os valores de P no domínio da função podem figurar na lista Talvez seja esta a razão por que rara mente falamos em resolver a equação f P P 2 4P 5 pois normalmente esperamos que os valores da solução sejam poucos mas aqui todos os valores de P podem ser envolvidos Não obstante podemos considerar legitimamente cada par ordenado na tabela tal como6 7 e 5 0 como uma solução de 38 visto que cada um deles realmente satisfaz aquela equação Considerando que podese escrever um número infinito desses pares ordenados um para cada valor de P há um número infinito de soluções para 38 Quando descritos por uma curva o conjunto esses pares ordenados juntos resultam na parábola na Figura 32 Em 37 onde determinamos que a função quadrática f P é igual a zero a situação muda fundamentalmente Já que agora a variável f P desaparece pois recebeu um valor zero o resultado é uma equação quadrática com uma única variável P Agora que f P está res trita a um valor zero somente um número selecionado de valores de P pode satisfazer 37 e se qualificar como seus valores da solução a saber os valores de P nos quais a parábola da Figu ra 32 intercepta o eixo horizontal no qual f P é zero Note que dessa vez os valores da solu ção são apenas valores P e não pares ordenados Os valores da solução P normalmente são de nominados as raízes da equação quadrática f P 0 ou alternativamente os zeros da função qua drática f P Análise de equilíbrio em economia 36 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA A distinção entre função quadrática e equação quadrática que acabamos de discutir também pode ser estendida para casos de ou tros polinômios além dos quadráticos Assim resulta uma equação cúbica quando igualamos uma função cúbica a zero f P P 5 0 f P P P 4 5 2 1 0 8 6 4 2 0 4 2 6 8 1 1 2 3 2 3 4 5 6 FIGURA 32 P1 1 e P2 5 mas somente a primeira é admissível em termos econômicos pois a regra exclui preços negativos D P Q Q 4 P2 S P Q Q 4P 1 x 1x 2x 2 0 Entre esses candidatos a raízes muitos não satisfazem a equação dada Por exemplo se x 1 na equação quártica obtemos o resultado 12 0 Na verdade como estamos resolvendo uma equação quártica podemos esperar que o máximo quatro dos valores relacionados anteriormente se qualifiquem como raízes Os quatro candidatos bemsucedidos são 2 2 3 Assim conforme o princípio da fatoração podemos escrever a equação equivalente como x 1x2 2x 3 0 No Exemplo 2 rejeitamos o candidato a raiz 1 porque x 1 não satisfaz a equação isto é substituir x 1 na equação não produz a identidade 0 0 As últimas seções trataram de modelos de um mercado isolado no qual Qd Qs de uma mercadoria cuja função de demanda armazena apenas P No mundo real entretanto nenhuma mercadoria jamais goza ou sofre tal existência crítica para cada mercadoria normalmente existem muitos substitutos e complementares Assim uma descrição mais realista da função de demanda de uma mercadoria deve levar em conta não apenas o efeito do preço da mercadoria em si mas também os preços de mercadorias relacionadas O mesmo vale também para a função de oferta Essas equações representam a versão de 311 para duas mercadorias após a substituição das funções de demanda e de oferta nas duas condições de equilíbrio Embora esse seja um sistema simples de somente duas equações há 12 parâmetros envolvidos e será impraticável recorrer a manipulações algébricas a menos que seja utilizado algum tipo de notação abreviada Portanto vamos definir símbolos abreviados ci ai bi e γi ci βi i 0 1 2 Então após transportar os termos de γ0 e γ1 para o lado direito obtemos c1γ1 c2γ2 γ0 γ1P1 γ2P2 γ0 O exercício propriamente dito desse capítulo será proposto como exercício O que é o equilibro geral Quando a substituição de 317 em 318 contudo o modelo pode ser reduzido a um conjunto de n equações simultâneas 2x 3y 58 y 18 x y 20 322 Em 320 a despeito do fato de que duas incógnitas estão ligadas por exatamente duas equa ções ainda assim não existe nenhuma solução Acontece que essas equações são inconsistentes pois se a soma de x e y é 8 então não pode ser 9 ao mesmo tempo Em 321 um outro caso de duas equações com duas variáveis as duas equações são funcionalmente dependentes o que significa que uma pode ser derivada da outra e está implícita na outra Aqui a segunda equação é igual a duas vezes a primeira equação Conseqüentemente uma das equações é redundante e pode ser descar tada do sistema deixando efetivamente somente uma equação com duas incógnitas Então a so lução será a equação y 12 2x que não resulta em um único par ordenado x y mas em um número infinito de pares incluindo 0 12 1 10 2 8 etc todos os quais satisfazem aquela equação Por fim o caso de 322 envolve mais equações que incógnitas ainda assim o par orde nado2 18 constitui sua única solução A razão é que em vista da existência de dependência fun cional entre as equações a primeira é igual à segunda mais duas vezes a terceira temos na verda de somente duas equações independentes consistentes com duas variáveis Esses exemplos simples devem ser suficientes para transmitir a importância da consistência e da independência funcional como os dois prérequisitos para a aplicação do processo de contagem de equações e incógnitas Em geral para aplicar esse processo certifiquese de que 1 a satisfa ção de qualquer uma das equações no modelo não impede a satisfação de uma outra e 2 ne nhuma equação é redundante Em 317 por exemplo podemos admitir com segurança que as n funções de demanda e as n funções de oferta são independentes umas das outras pois cada uma é obtida de uma fonte diferente cada demanda das decisões de um grupo de consumido res e cada oferta da decisão de um grupo de empresas Assim cada função serve para descrever uma faceta da situação do mercado e nenhuma é redundante Talvez também seja possível admi tir a consistência mútua Além disso as equações de condição de equilíbrio em 318 também são independentes e presumivelmente consistentes Por conseguinte a solução analítica como escrita em 319 pode em geral ser considerada justificável Para modelos de equações simultâneas há métodos sistemáticos para testar a existência de uma única ou determinada solução Esses testes envolveriam para modelos lineares uma aplicação do conceito de determinantes que será apresentado no Capítulo 5 No caso de modelos nãolineares tal teste exigiria também o conhecimento de derivadas parciais e de um tipo especial de determinante chamado determinante Jacobiano que será discutido nos Ca pítulos 7 e 8 EXERCÍCIO 34 1 Estude etapa a etapa a solução de 313 verificando assim os resultados em 314 e 315 2 Escreva 314 e 315 em termos dos parâmetros originais do modelo em 312 3 As funções de demanda e de oferta de um modelo de mercado de duas mercadorias são as seguintes Qd1 18 3P1 P2 Qd2 12 P1 2P2 Qs1 2 4P1 Qs2 2 3P2 Calcule Pi e Qi i 1 2 Use frações em vez de decimais 34 Equilíbrio geral de mercado 45 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA Esse é em essência o modo como Léon Walras abordou o problema da existência de um equilíbrio geral de mercado Na literatura moderna podemos encontrar inúmeras provas matemáticas sofisticadas da existência de um equilíbrio de mercado competitivo sob certas condições econômicas postuladas Porém nesse caso é utilizada matemática avançada A prova mais fácil de entender seria talvez a dada por Dorfman Robert Samuelson Paul A e M Robert Nova York Solow In Linear Programming and Economic Analysis McGrawHill Book Company 1958 Capítulo 13 Y C I₀ G₀ α 0 0 b 1 Esse é um modelo cuja crueza e simplicidade extremas são óbvias mas outros modelos de determinação da renda nacional com graus variáveis de complexidade e sofisticação também po dem ser construídos Contudo em cada caso os princípios envolvidos na construção e na análise do modelo são idênticos aos já discutidos Por essa razão não iremos mais adiante com nossas ilustrações Um modelo de renda nacional mais abrangente envolvendo o equilíbrio simultâneo do mercado monetário e do mercado de bens será discutido na Seção 86 EXERCÍCIO 35 1 Dado o seguinte modelo Y C I0 G0 C a bY T a 0 0 b 1 T impostos T d tY d 0 0 t 1 t taxa de imposto sobre a renda a Quantas variáveis endógenas existem b Calcule Y T e C 2 Seja o modelo de renda nacional Y C I0 G C a bY T0 a 0 0 b 1 G gY 0 g 1 a Identifique as variáveis endógenas b Dê o significado econômico do parâmetro g c Calcule a renda nacional de equilíbrio d Quais restrições devem ser impostas aos parâmetros para que exista uma solução 3 Calcule Y e C do seguinte Y C I0 G0 C 25 6Y12 I0 16 G0 14 35 Equilíbrio na análise da renda nacional 47 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA CAPÍTULO 4 Modelos lineares e álgebra matricial Para o modelo de uma mercadoria 31 as soluções P e Q expressas em 34 e 35 respec tivamente são relativamente simples mesmo havendo inúmeros parâmetros envolvidos À medi da que mais e mais mercadorias são incorporadas ao modelo essas fórmulas de solução tor namse rapidamente incômodas e impraticáveis É por isso que tivemos de recorrer a uma certa notação abreviada mesmo no caso de duas mercadorias de modo que as soluções em 314 e 315 ainda possam ser escritas de maneira relativamente concisa Não tentamos discutir ne nhum modelo de três ou quatro mercadorias mesmo na versão linear primordialmente porque ainda não tínhamos à nossa disposição um método adequado para resolver um grande sistema de equações simultâneas Esse método é encontrado na álgebra matricial assunto deste e do próxi mo capítulo A álgebra matricial pode nos capacitar a fazer muitas coisas Em primeiro lugar proporcio na um modo compacto de escrever um sistema de equações mesmo que ele seja muito grande Em segundo lugar leva a um modo de testar a existência de uma solução pela avaliação de um de terminante um conceito que se relaciona muito de perto com o de uma matriz Em terceiro lu gar nos dá um método para achar aquela solução se ela existir Uma vez que há sistemas de equações não somente na análise estática mas também nas análises comparativas estática e dinâ mica e nos problemas de otimização o leitor encontrará ampla aplicação de álgebra matricial em quase todos os capítulos que vêm a seguir Por essa razão é bom introduzir a álgebra matri cial logo de início Entretanto a álgebra matricial apresenta uma pequena desvantagem só pode ser aplicada a sistemas de equações lineares E o grau de realismo com que equações lineares podem descrever relações econômicas propriamente ditas depende é claro da natureza das relações em questão Em muitos casos mesmo que admitir a linearidade implique um certo sacrifício do realismo uma relação admitida como linear pode produzir uma aproximação suficientemente boa com uma relação nãolinear para que sua utilização seja viável Em outros casos embora preservando a nãolinearidade do modelo podemos efetuar uma transformação de variáveis de modo a obter uma relação linear com a qual trabalhar Por exem plo tomando o logaritmo de ambos os lados da função nãolinear y axb obtemos imediatamente a função log y log a b log x ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 4 3ª PROVA que é linear nas duas variáveis logy e logx Logaritmos serão discutidos em mais detalhes no Capítulo 10 O mais importante é que em muitas aplicações tais como análise estatística comparativa e problemas de otimização que discutiremos mais adiante embora a formulação original do modelo econômico seja de natureza nãolinear surgirão sistemas de equações lineares no decorrer da análise Assim a restrição de linearidade não é tão restritiva quanto possa parecer à primeira vista Cada um dos três arranjos em 42 ou 44 constitui uma matriz Uma matriz é definida como um arranjo retangular de números parâmetros ou variáveis Os membros do arranjo denominados elementos da matriz geralmente estão entre colchetes como em 42 ou às vezes entre parênteses ou entre linhas verticais duplas Note que na matriz A matriz de coeficientes do sistema de equações os elementos não estão separados por virgulas mas apenas por espaços em branco Usando uma notação abreviada o conjunto da matriz A pode ser escrito de modo mais simples como A aij com i12ldotsm e j12ldotsn 1 Escreva o modelo de mercado 31 no formato 41 e demonstre que se as três variáveis forem dispostas na ordem Qx Qy P a matriz de coeficientes será beginbmatrix 1 0 0 1 0 b 1 d 1 endbmatrix Como você escreveria o vetor de constantes 2 Escreva o modelo de mercado 312 no formato 41 com as variáveis colocadas na seguinte ordem Q1 Q1 Q2 Q2 P1 P2 Escreva a matriz de coeficientes o vetor de variáveis e o vetor de constantes A operação de subtração A B pode ser considerada alternativamente como uma operação de adição envolvendo a matriz A e uma outra matriz B Contudo isso suscita a questão do que significa a multiplicação de uma matriz por um número isolado aqui 1 De forma semelhante para c12 pegamos a primeira linha de A já que i1 e a segunda coluna de B já que j2 e calculamos a soma indicada de produtos de acordo com o painel inferior da Figura 41 como se segue c12 a11b12 a12b22 Essa última matriz uma matriz quadrada com números 1 em sua diagonal principal a diagonal que vai da esquerda para a direita noroeste para sudeste e números zero no restante exemplifica o tipo importante de matriz denominado matriz identidade Agora vamos considerar uma matriz A e o vetor x como defindo em 44 e calculado e o produto é um vetor coluna 3 x 1 Ax 6 3 1 x1 6x1 3x2 x3 4 2 2 x2 x1 4x2 2x3 4 1 5 x3 4x1 2x2 5x3 que segundo a definição de igualdade de matrizes é equivalente ao sistema de equações em 43 Observe que para usar a notação matricial Ax d é preciso por causa da condição de conformidade dispor as variáveis x em um vetor coluna mesmo que essas variáveis estejam listadas em ordem horizontal no sistema de equações originais A questão da divisão Ao aplicar aos números assim como números podem ser somadas subtraídas e multiplicadas e sujeitas às condições de conformidade não é possível dividir uma matriz por outra isto é não podemos escrever AB Para dois números a e b o quociente ab com b 0 pode ser escrito alternativamente como ab1 ou b1a onde b1 representa o inverso ou recíproco de b Como ab1 b1a a expressão de quociente ab pode ser usada para representar ambos ab1 e b1a O caso de matrizes é diferente Aplicando o conceito de inverso a matrizes podemos em certos casos devolver uma matriz B mas da discussão da condição de conformidade concluímos que se B1 é definido não pode haver nenhuma segurança de que B1 também seja definido O último exemplo em particular mostra que a expressão aixi pode de fato ser usada como notação abreviada para a função polinomial geral de 24 Aproveitamos para mencionar que sempre que o contexto da discussão não der margem a nenhuma ambiguidade quanto à faixa do somatório o símbolo pode ser usado sozinho sem nenhum índice como xi ou com apenas o índice inferior como i xi Vamos aplicar a notação abreviada ai multiplicado de matrizes Em 46 46 46 cada elemento da matriz produto C AB é definido como uma soma de termos que agora podem ser escritos da seguinte maneira c11 a1b1j a1b1k c12 a1b2j a1b2k e assim por diante No Exemplo 7 se dispusermos as quantidades e preços como vetores coluna em vez de vetores linhas Q P é definido Podemos expressar o custo total de compra como Q P Como Q P Visto cada linha u consistindo em somente um elemento assim como cada coluna em v cada elemento de uv revelase um produto único um vez que é uma soma de produtos O produto uv é uma matriz 2 x 3 mesmo que tenhamos começado com um par de vetores Então não importa o valor de k k a matriz resultará em uma seta com o mesmo comprimento de u u mas com direção diametralmente oposta Em seguida considere a adição dos vetores u 1 4 e v 2 3 A soma u v 4 pode ser representada pela seta traçada na Figura 42 Contudo os construímos um paralelogramo no qual dos lados são os dois vetores u e v setas em linhas cheias a diagonal do paralelogramo será exatamente a seta que representa a soma vetorial u v Em geral uma soma vetorial pode ser obtida geometricamente de um paralelogramo Além disso esse método também pode nos dar a diferença vetorial v u já que esta é equivalente a soma de v e 1u Na Figura 424 em primeiro lugar reproduzimos o vetor v e o vetor negativo u dos diagramas e b respectivamente e então construímos um paralelogramo A diagonal resulta representa a diferença vetorial v u Uma simples extensão desses resultados é suficiente para interpretar geometricamente uma combinação linear isto é uma soma ou diferença linear de vetores Considere o caso simples de 3y 2u 3 1 2 3 9 16 O aspecto da multiplicação escalar dessa operação envolve a realocação das respostas assim como a adição dos vetores u e v o aspecto da adição permanece fundamental Além dessas operações de operações básicas não há limitações Onde kj representa um conjunto de escalares mas os símbolos vi com índices agora denotam um conjunto de vetores Para formar essa soma os dois primeiros termos podem ser somados em primeiro lugar e então a soma resultante adicionada ao terceiro em diante até que todos os termos sejam incluídos Dependência linear Dizse que um conjunto de vetores v1 vk é linearmente dependente se e somente se qualquer um deles puder ser expresso como uma combinação linear dos vetores restantes caso contrário são linearmente independentes Os três vetores v1 2 1 v2 1 8 e v3 4 4 são linearmente dependentes porque v3 é uma combinação linear de v1 e v2 3v1 2v2 6 2 16 5 v3 Note que essa última equação pode ser expressa alternativamente como 3v1 2v2 v3 0 onde 0 0 0 representa um vetor nulo também denominado vetor zero Os dois vetores linhai1 v1 12 y2 e v2 10 24 são linearmente dependentes A última propriedade é conhecida como desigualdade triangular porque os três pontos u v e w juntos podem definir um triângulo Quando com o espaço vettorial tem uma função de distância definida que cumpre as três propriedades é denominado um espaço métrico Contudo note que a distância du v tem sido discutida apenas em termos gerais Dependendo da forma específica atribuída à função d pode resultar uma variedade de espaços métricos O denominado espaço euclidiano é um tipo específico do espaço métrico com uma função de distância definida da seguinte maneira Seja o ponto u nupla a₁ a₂ aₙ e o ponto v nupla b₁ b₂ bₙ então a função da distância e du v a₁ b₁² a₂ b₂² aₙ bₙ² onde admitese que a raiz quadrada é positiva Verifique essa condição calculando o produto escalar de cada um dos seguintes pares de vetores veja Figuras 42 e 43 a w₁ 3 2 4 w₂ 1 0 0 b w₁ 1 4 w₂ 3 2 c w₁ 1 2 w₂ 3 2 d w₁ 1 2 w₂ 2 0 1 e w₁ 2 2 2 w₂ 1 1 1 f w₁ 4 0 w₂ 2 0 8 Na álgebra escalar comum as operações de adição e multiplicação obedecem às leis comutativa associativa e distributiva como se segue Lei comutativa da adição a b b a Lei comutativa da multiplicação ab ba Lei associativa da adição a b c a b c Lei associativa da multiplicação abc abc Lei distributiva ab c ab ac Essas leis foram citadas durante a discussão das leis de nomes mesmas aplicadas à união e a interseção de conjuntos Em vista da regra geral AB BA os termos prémultiplicade pósmultiplicare são frequentemente usados para especificar a ordem de multiplicação No produto AB dizse que a matriz B é prémultiplicada por A e C é pósmultiplicada por B Contudo existem exceções interessantes a regra AB BA Um desses casos é quando A é uma matriz quadrada e B é uma matriz identidade Outro é quando A é o inverso de B isto é quando A B¹ Ambos os casos serão retomados mais adiante Aqui é preciso observar também que a multiplicação escalar de uma matriz deve obedecer à lei comutativa assim se k for um escalar então kA Ak Embora a multiplicação de matrizes não seja em geral comutativa ela é associativa ABC ABC ABC Ao formar o produto AB a condição de conformidade deve ser naturalmente satisfeita por apenas de matrizes Se for m n e C for p q então devese ter que n p A multiplicação de matrizes também é distributiva Lei distributiva AB C AB AC prémultiplicação por A B CA BA CA pósmultiplicação por A Em cada caso as condições de conformidade para a adição bem como para a multiplicação devem é claro ser observadas EXERCÍCIO 44 1 Dados A 3 6 2 4 B 7 1 8 0 C 3 4 1 9 verifique que a AB B C A B C b A B C A B C c AB C C AB C A B C 2 A subtração de uma matriz é pode ser considerada como a adição da matriz 1B A lei comutativa da adição nos permite afirmar que A B B A Se a resposta for negativa como você corrigiria essa afirmação 3 Teste a lei associativa da multiplicação para as seguintes matrizes A 5 0 0 B 8 7 1 C 1 0 0 4 Demonstre que para quaisquer dois escalares g e k kA kB kA kB gA kA Matrizes identidade Já nos referimos anteriormente ao termo matriz identidade Essa matriz é definida como uma matriz quadrada repito quadrada que tem números 1 em sua diagonal principal e zeros em todos os outros lugares Ela é denotada pelo símbolo I ou In no qual o índice n serve para indicar a dimensão de sua linha bem como de sua coluna Assim I₂ 1 0 0 1 I₃ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Mas ambas também podem ser denotadas por I A importância desse tipo especial de matriz devese ao fato de que ela desempenha um papel semelhante ao do número 1 na álgebra escalar Para qualquer número a temos Ia a1 a De maneira semelhante temos para qualquer matriz A IA AI A Extraindo as propriedades semelhantes entre álgebra matricial e álgebra escalar o caso das matrizes realmente apresenta certas idiossincrasias que nos servem de alerta quanto a tomar emprestado da álgebra escalar sem muito questionamento Já vimos que em geral AB BA na álgebra matricial Agora vamos examinar mais duas dessas idiossincrasias Na verdade esses resultados estranhos concernem apenas à classe especial de matrizes conhecidas como matrizes singulares das quais as matrizes A B e C são exemplos Grosso modo essas matrizes contêm uma linha que é múltipla de uma outra linha Não obstante esses exemplos mostram as armadilhas propostas para estender de maneira não justificada teoremas algébricos a operações com matrizes Também observamos em D um resultado notável D herda não somente a dimensão de D mas também a disposição original de elementos O fato de D D é o resultado da simetria dos elementos com referência à diagonal principal Considerando a diagonal principal de D como um espelho os elementos localizados à sua direita são imagens exatas dos elementos à sua esquerda por conseguinte a leitura da primeira linha é idêntica à da primeira coluna e assim por diante A matriz D exemplifica a classe especial de matrizes quadradas conhecidas como matrizes simétricas Para uma dada matriz A a transposta At sempre pode ser definida Por outro lado sua matriz inversa um outro tipo de matriz derivada de A pode não existir A inversa da matriz A denotada por A1 é definida somente se A for uma matriz quadrada caso em que a inversa é a matriz que satisfaz a condição AA1 A1A I Isto é quer A seja prémultiplicada ou pósmultiplicada por A1 o produto será a mesma matriz identidade Essa é uma outra exceção à regra que diz que a multiplicação de matrizes não é comutativa Os seguintes pontos devem ser notados A primeira dica é que a inversa da matriz é única A segunda dica é que o produto AB é o produto das inversas na ordem inversa E a última afirmação é que a inversa da transposta é a transposta da inversa Note que nessas afirmações a existência das inversas e a satisfação da condição de conformidade são pressupostos D A1T por 412 Assim a inversa de AT é igual a A1T como mencionado A conclusão é que um modo de achar a solução de um sistema de equações lineares Ax d onde a matriz de coeficientes A é nãosingular é em primeiro lugar achar a inversa A¹ e pósmultiplicar A¹ pelo vetor de constantes d O produto A¹d então resultará nos valores da solução das variáveis Que envolve a utilização de uma matriz de transição de Markov na qual cada valor na matriz de transição é uma probabilidade de mudar de um estado localização emprego etc para um outro estado Há também um vetor que contém uma distribuição inicial por todos os vários estados Multiplicando repetidamente esse vetor pela matriz de transição podese estimar mudanças nos estados ao longo do tempo Em geral para n períodos A B PAA PAB PBA PBB An Bn A matriz de probabilidade 2 2 M é conhecida como a matriz de transição de Markov Para o caso em que n é exógeno o processo é conhecido como uma cadeia de Markov finita PAB 0 quad PBB PE 1 onde PAB PBB e PEB são as probabilidades de que um empregado que está atualmente em E irá para A B ou E respectivamente Em outras palavras ninguém que está em E apaga para A B ou E Começando no momento t 0 nossa cadeia de Markov agora se torna No Capítulo 4 foi demonstrado que um sistema de equações lineares seja qual for seu tamanho pode ser escrito em notação matricial compacta Além disso tal sistema de equações pode ser resolvido achandose a inversa da matriz de coeficientes contanto que essa inversa exista Agora devemos nos voltar para a questão de como testar a existência da inversa e de como achar essa inversa Somente após termos respondido a essas perguntas será possível aplicar álgebra matricial do modo significativo a modelos econômicos Um tipo diferente de situação à qual a declaração p é verdadeira mas também pode ser verdadeira quando não for verdadeira Nesse caso dizse que q é uma condição suficiente para p O fato de q ser verdadeira é suficiente para estabelecer a verdade de p mas não é uma condição necessária para p Esse caso é expresso simbolicamente por p q 52 que se lê p se e somente se q sem a palavra somente ou alternativamente se q então p como se estivéssemos lendo 52 ao contrário Também podemos interpretar essa expressão como implica Condições para a invertibilidade de uma matriz Depois cumprida a condição de ser quadrada uma condição necessária uma condição suficiente para a invertibilidade de uma matriz é que suas linhas sejam linearmente independentes o que quer dizer a mesma coisa que suas colunas sejam linearmente independentes Quando tomamos um conjunto as duas condições de ser quadrada e de independência linear das linhas constituem uma condição necessária e suficiente para a invertibilidade invertibilidade quadrada e independência linear das linhas Uma matriz de coeficientes n n A pode ser considerada como um conjunto ordenado de vetores linhas isto é como um vetor coluna cujos elementos são eles mesmos vetores linhas A a11 a12 a1n v1 a21 a22 a2n v2 a31 a32 amn vm onde vi ai1 ai2 ain i 1 2 m Para que as linhas vetores linhas sejam linearmente independentes nenhuma delas pode ser uma combinação linear das outras Em termos mais formais uma alternativa é escrever a equação anterior como 2y1 0y2 v3 6 8 10 0 6 8 10 0 0 0 Considerando que o conjunto de escalares que levou ao vetor zero de 54 não é ek 0 para todo i resulta que as linhas são linearmente dependentes Ao contrário da propriedade de ser quadrada a condição de independência linear das linhas normalmente não pode ser assegurada imediatamente Assim é preciso desenvolver um método para testar a independência linear entre linhas ou colunas Antes de nos dedicarmos a essa tarefa entretanto nossa motivação ficará fortalecida se antes de mais nada entendermos intuitivamente por que a condição de independência linear vem junto com a condição de ser quadrada Lembrese de que quando discutimos a contagem de equações e incógnitas na Seção 43 chegamos a conclusão geral que para um sistema de equações uma solução única é preciso que existam o mesmo número de equações e incógnitas Além disso as equações não podem ser dependentes umas das outras Dessa forma as linhas de um sistema de equações podem ser traduzidas como equações de um sistema Portanto juntamente com a condição de dependência linear temos as equações Se b 07 g 100 A 252 k 025 l 200 e M0 176 então a Escreva o sistema ISLM sob a forma de matriz b Calcule Y e i por inversão de matriz 57 Modelos de insumoproduto de Leontief Em sua versão estática a análise de insumoproduto do Professor Wassily Leontief ganhador do Prêmio Nobel trata da seguinte pergunta em particular Que nível de produto cada uma das n indústrias de uma economia deve produzir de modo que seja exatamente suficiente para satisfazer a demanda total por aquele produto O princípio racional para o termo análise de insumoproduto é muito fácil de perceber O pro duto de qualquer indústria digamos a indústria siderúrgica é necessário como insumo para muitas outras indústrias ou mesmo para a própria indústria portanto o nível correto isto é sem escassez nem excesso de produção de aço dependerá dos requisitos de insumos de todas as n indústrias Por sua vez os produtos de muitas outras indústrias entrarão na indústria siderúrgi ca como insumos e por conseqüência os níveis corretos dos outros produtos por sua vez de penderão parcialmente dos requisitos de insumos da indústria siderúrgica Em vista dessa depen dência entre indústrias qualquer conjunto de níveis corretos de produtos para as n indústrias deve ser consistente com todos os requisitos de insumos na economia de modo que nenhum gargalo surgirá em nenhum lugar Sob essa perspectiva é claro que a análise de insumoproduto deve ser de grande utilidade para o planejamento da produção tal como o planejamento do de senvolvimento econômico de um país ou de um programa de defesa nacional A rigor a análise de insumoproduto não é uma forma da análise do equilíbrio geral como discutida no Capítulo 3 Embora a interdependência das várias indústrias seja enfatizada os ní veis corretos de produtos contemplados são aqueles que satisfazem relações técnicas insu moproduto e não condições de equilíbrio de mercado Não obstante o problema proposto pela análise de insumoproduto também se reduz a um problema de resolver um sistema de equações simultâneas e mais uma vez a álgebra matricial pode ser útil Estrutura de um modelo de insumoproduto Visto que um modelo de insumoproduto normalmente abrange um grande número de indús trias sua estrutura é necessariamente bastante complicada Para simplificar o problema as se guintes premissas são adotadas em geral 1 cada indústria produz somente uma mercadoria ho mogênea por uma interpretação ampla isso permite o caso de duas ou mais mercadorias pro duzidas em conjunto contanto que sejam produzidas segundo uma proporção fixa entre uma e outra 2 cada indústria utiliza uma razão fixa de insumos ou combinação de fatores para a produção de seu produto e 3 a produção de cada uma das indústrias está sujeita a retornos constantes de escala de modo que uma mudança de k vezes em cada insumo resultará em uma mudança de exatamente k vezes no produto É claro que essas premissas não são realistas Mas a salvação é que se uma indústria produz duas mercadorias diferentes ou utiliza duas possíveis combinações de fatores então essa indústria pode ao menos conceitualmente ser dividida em duas indústrias separadas Vemos por essas premissas que para produzir cada unidade da jésima mercadoria a quan tidade de insumo para a iésima mercadoria tem de ser fixa o que denotaremos por aij Especifi camente a produção de cada unidade da jésima mercadoria requerirá a1 j quantidade da pri meira mercadoria a2 j da segunda mercadoria e anj da nésima mercadoria A ordem dos índi ces em aij é fácil de lembrar o primeiro índice se refere ao insumo e o segundo ao produto de modo que aij indica quanto da iésima mercadoria é utilizado na produção de cada unidade da Modelos lineares e álgebra matricial Continuação 110 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 5 1ª PROVA Leontief Wassily W The Structure of American Economy 19191939 2 ed Fair Lawn NJ Oxford University Press 1951 PARTE 3 Análise estática comparativa Á Í CAPÍTULO 6 Estática comparativa e o conceito de derivada Este capítulo e os Capítulos 7 e 8 serão dedicados aos métodos de análise estática compa rativa 61 A natureza da estática comparativa A estática comparativa como o nome sugere diz respeito à comparação de diferentes estados de equilíbrio que são associados a diferentes conjuntos de valores de parâmetros e variáveis exóge nas Para o propósito dessa comparação sempre começamos admitindo um dado estado inicial de equilíbrio No modelo do mercado isolado por exemplo esse equilíbrio inicial será represen tado por um preço determinado P e por uma quantidade correspondente Q De modo seme lhante no modelo simples de renda nacional de 323 o equilíbrio inicial será especificado por um Y determinado e um C correspondente Agora se deixarmos ocorrer uma variação que de sequilibre o modelo sob a forma de uma variação no valor de algum parâmetro ou variável exó gena é claro que o equilíbrio inicial será perturbado O resultado é que diversas variáveis endó genas terão de passar por certos ajustes Se admitirmos que pode ser definido um novo estado de equilíbrio relevante aos novos valores dos dados a pergunta que a análise estática comparativa faz é como esse novo equilíbrio se compara com o antigo Devese notar que na análise comparativa estática ainda desprezamos o processo de ajuste das variáveis a comparação será meramente entre o estado de equilíbrio inicial antes da varia ção e o estado de equilíbrio final após a variação Além disso ainda eliminamos a possibilidade de instabilidade de equilíbrio pois admitimos que o novo equilíbrio pode ser alcançado exata mente como fizemos com o antigo Um análise estática comparativa pode ser de natureza qualitativa ou quantitativa Se estiver mos interessados apenas na questão digamos de saber se um aumento nos investimentos I0 au mentará ou reduzirá a renda de equilíbrio Y a análise será qualitativa porque a única questão considerada é a direção da variação Mas se estivermos preocupados com a magnitude grandeza da variação em Y resultante de uma dada variação em I0 isto é com o tamanho do multiplica dor do investimento a análise obviamente será quantitativa Obtendo uma resposta quantitati va entretanto podemos automaticamente determinar a direção da variação pelo seu sinal algé brico Por conseguinte a análise quantitativa sempre engloba a qualitativa Deve ficar claro que o problema em consideração é em essência um problema de encon trar uma taxa de variação a taxa de variação do valor de equilíbrio de uma variável endógena rela tiva à variação em um determinado parâmetro ou variável exógena Por essa razão o conceito matemático de derivada assume uma significância preponderante em estática comparativa ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 6 1ª PROVA CAPÍTULO 8 Análise estática comparativa de modelos de função geral O estudo de derivadas parciais no Capítulo 7 nos habilitou a manipular os tipos mais simples de problemas de estática comparativa nos quais a solução de equilíbrio do modelo pode ser enunciada explicitamente na forma reduzida Nesse caso a diferenciação parcial da solução re sultará diretamente na informação de estática comparativa desejada Lembrese de que a defini ção de derivada parcial requer a ausência de qualquer relação funcional entre as variáveis inde pendentes digamos xi de modo que x1 pode variar sem afetar os valores de x2 x3 xn Aplica da à análise estática comparativa isso significa que os parâmetros eou variáveis exógenas que aparecem na forma reduzida da solução devem ser mutuamente independentes Visto que na verdade eles são definidos como dados predeterminados para a finalidade do modelo a possibi lidade de eles afetarem mutuamente um ao outro está inerentemente excluída O procedimento de diferenciação parcial adotado no Capítulo 7 é portanto totalmente justificável Contudo não se deve esperar tal conveniência quando devido à inclusão de funções gerais em um modelo não seja possível obter nenhuma solução explícita em forma reduzida Nesses ca sos teremos de achar as derivadas estáticas comparativas diretamente das equações dadas origi nalmente no modelo Tome por exemplo um modelo simples de renda nacional com duas va riáveis endógenas Y e C Y C I0 G0 C CY T0 T0 impostos exógenos que é redutível a uma única equação uma condição de equilíbrio Y CY T0 I0 G0 para ser resolvida para Y Por causa da forma geral da função C entretanto não há nenhuma so lução explícita disponível Portanto temos de achar as derivadas estáticas comparativas direta mente dessa equação E como abordaríamos esse problema Qual dificuldade especial podería mos encontrar Vamos supor que exista uma solução de equilíbrio Y Então sob certas condições muito ge rais que serão discutidas na Seção 85 podemos considerar Y como uma função diferenciável das variáveis exógenas I0 G0 e T0 Assim podemos escrever a equação Y Y I0 G0 T0 ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA Parte 4 Problemas de otimização Á Í CAPÍTULO 9 Otimização uma variedade especial de análise de equilíbrio Quando apresentamos o termo equilíbrio pela primeira vez no Capítulo 3 fizemos uma ampla distinção entre equilíbrioalvo e equilíbrio que não é um alvo No último tipo cujo exemplo foi nosso estudo de modelos de mercado e de renda nacional a interação entre certas forças opostas no modelo por exemplo as forças de demanda e de oferta nos modelos de mercado e as forças de fugas e injeções nos modelos de renda determinam um estado de equilíbrio se houver no qual essas forças opostas são apenas equilibradas umas com as outras impedindo assim qual quer tendência ulterior de variação A obtenção desse tipo de equilíbrio é o resultado do equilí brio impessoal dessas forças e não requer o esforço consciente de ninguém para atingir uma meta especificada É verdade que os domicílios consumidores que originam as forças de deman da e as empresas que originam as forças de oferta estão cada qual por seu lado lutando por uma posição ótima sob as circunstâncias dadas mas no que diz respeito ao mercado em si ninguém está visando a nenhum preço de equilíbrio ou a nenhuma quantidade de equilíbrio em particu lar a menos é claro que o governo esteja tentando intervir no preço De modo semelhante na determinação da renda nacional o equilíbrio impessoal entre fugas e injeções é o que cria um es tado de equilíbrio e não é necessário envolver absolutamente nenhum esforço consciente para atingir uma meta determinada tal como uma tentativa de alterar um nível de renda indesejável por meio de políticas fiscais e monetárias Nesta parte do livro contudo voltaremos nossa atenção ao estudo do equilíbrioalvo no qual o estado de equilíbrio é definido como a posição ótima para uma dada unidade econômica um domicílio uma empresa comercial ou até mesmo toda uma economia e no qual a unidade eco nômica em questão fará esforços deliberados para atingir aquele equilíbrio Por conseqüência nesse contexto mas somente nesse contexto a advertência que fizemos antes isto é que o equilíbrio não implica desejabilidade tornase irrelevante e imaterial Nesta parte do livro foca lizaremos primordialmente as técnicas clássicas para localizar posições ótimas as que utilizam cálculo diferencial Aperfeiçoamentos mais modernos conhecidos como programação matemá tica serão discutidos no Capítulo 13 91 Valores ótimos e valores extremos A economia é em essência uma ciência de escolha Quando um projeto econômico está para ser executado tal como a produção de um nível especificado de produto normalmente há inúme ros modos alternativos de realizálo Entretanto um ou mais desses modos alternativos será mais desejável que outros do ponto de vista de algum critério e escolher a melhor alternativa dis ponível com base naquele critério especificado é a essência do problema da otimização ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA também acontece com V Aert a razão entre elas também deve se referir a um ponto ou instante específico de t Nesse sentido a taxa de crescimento é instantânea 2 No presente caso entretanto a taxa instantânea de crescimento por acaso é uma cons tante r e assim a taxa de crescimento permanece uniforme em todos os pontos de tem po É claro que isso pode não ser verdade para todas as situações de crescimento que en contramos na prática 3 Embora a taxa de crescimento r seja medida em um ponto de tempo particular sua gran deza tem a conotação de tantos por cento por unidade de tempo digamos por ano se t for medido em unidades de anos O crescimento por sua própria natureza só pode ocor rer em um intervalo de tempo É por isso que uma única foto instantânea que registra a situação em um instante jamais poderia retratar digamos o crescimento de uma crian ça ao passo que duas fotos instantâneas tiradas em épocas diferentes digamos no in tervalo de um ano conseguem fazer isso Portanto dizer que V tem uma taxa de cresci mento r no instante t t0 significa realmente que se for permitido que a taxa de variação dVdt rV prevalecente em t t0 continue sem ser perturbada por toda uma unidade de tempo 1 ano então V terá crescido de uma quantidade rV no final do ano 4 Para a função exponencial V Aert a taxa percentual de crescimento é constante em todos os pontos t mas a quantidade absoluta de incremento em V aumenta à medida que o tempo passa porque a taxa percentual será calculada sobre bases cada vez maiores Ao interpretar r como a taxa instantânea de crescimento fica claro que daqui em dian te pouco esforço será exigido para achar a taxa em crescimento de uma função exponencial natural na forma y Aert contanto que r seja uma constante Dada a função y 75e002t por exemplo podemos imediatamente deduzir que a taxa de crescimento de y é 002 ou 2 por período Crescimento contínuo versus crescimento discreto A discussão precedente embora interessante do ponto de vista analítico ainda está aberta à con trovérsia no que se refere à relevância econômica porque na verdade o crescimento nem sem pre ocorre de modo contínuo nem mesmo o juro composto Porém por sorte mesmo para casos de crescimento discreto onde ocorrem mudanças apenas uma vez por período e não de instante em instante a utilização da função de crescimento exponencial contínuo pode ser justificável Uma razão é que em casos em que a freqüência de composição é relativamente alta embo ra não infinita o padrão contínuo de crescimento pode ser considerado como uma aproximação do verdadeiro padrão de crescimento Porém o mais importante é que podemos mostrar que um problema de crescimento discreto ou descontínuo sempre pode ser transformado em uma versão contínua equivalente Suponha que temos um padrão geométrico de crescimento digamos a composição discreta do juro como mostra a seguinte seqüência A A1 i A1 i2 A1 i3 onde a taxa efetiva de juro por período é denotada por i e onde o expoente da expressão 1 i denota o número de períodos abrangidos na composição Se considerarmos 1 i como a base b em uma expressão exponencial então a seqüência dada pode ser resumida pela função exponencial Abt exceto que por causa da natureza discreta do problema t está restrito ape nas a valores inteiros Além disso b 1 i é um número positivo positivo mesmo que i seja uma taxa negativa de juro digamos 004 de modo que ela sempre pode ser expressa como uma potência de qualquer número real maior que 1 inclusive e Isso significa que deve existir um número r tal que Funções exponenciais e logarítmicas 252 ELSEVIER ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTA 1014 CAPÍTULO 4 3ª PROVA M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S O método para achar o número t dado um valor específico de b será discutido na Seção 104 O log comum e o log natural podem ser convertidos um no outro isto é a base de um loga ritmo pode ser mudada exatamente como uma expressão exponencial Desenvolveremos um par de fórmulas de conversão depois de estudarmos as regras básicas de logaritmos Regras de logaritmos Logaritmos têm as características de expoentes por conseguinte obedecem certas regras estrei tamente relacionadas com as regras de expoentes apresentadas na Seção 25 Elas podem ser de grande auxílio pois simplificam as operações matemáticas As três primeiras regras são enun ciadas somente em termos do log natural mas também são válidas quando o símbolo ln for subs tituído por logb Regra I log de um produto lnuv ln u ln v u v 0 EXEMPLO 1 lne6e4 ln e6 ln e4 6 4 10 EXEMPLO 2 lnAe7 ln A ln e7 ln A 7 DEMONSTRAÇÃO Por definição ln u é a potência à qual e deve ser elevado para obter o valor de u assim eln u u De modo semelhante temos eln v v e elnuv uv A última é uma expressão ex ponencial para uv Contudo podese obter uma outra expressão para uv pela multiplicação dire ta de u e v uv eln u eln v eln u ln v Assim igualando as duas expressões para uv acima encontramos elnuv eln u ln v e portanto lnuv ln u ln v Regra II log de um quociente lnuv ln u ln v u v 0 EXEMPLO 3 lne2c ln e2 ln c 2 ln c EXEMPLO 4 lne2e5 ln e2 ln e5 2 5 3 A demonstração dessa regra é muito semelhante à da Regra I e portanto vamos deixála como exercício Regra III log de uma potência ln ua a ln u u 0 EXEMPLO 5 ln e15 15 ln e 15 EXEMPLO 6 ln A3 3 ln A DEMONSTRAÇÃO Por definição eln u u e de modo semelhante e ln ua ua Todavia podemos formar uma outra expressão para ua como se segue ua eln ua ea ln u Igualando os expoentes das duas expressões para ua obtemos o resultado desejado ln ua a ln u ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S Funções exponenciais e logarítmicas 256 ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 4 1ª PROVA Note que quando e for elevado à potência ln u o símbolo e e o símbolo ln mais uma vez parecem ser cancelados deixando u como a resposta Esse resultado uma função logarítmica constitui a inversa da função exponencial y Aert Como afirmamos antes a função em 1017 tem uma interseção horizontal em y A porque quando y A temos ln y ln A e portanto t 0 Conversão de base Na Seção 102 declaramos que a função exponencial y Abt sempre pode ser convertida para uma função exponencial natural y Aert Agora já estamos prontos para obter uma fórmula de conversão Contudo em vez de Abt vamos considerar a conversão da expressão mais geral Abct para Aert Visto que a essência do problema é achar um r a partir de valores dados de b e c tais que e r b c basta expressar r como uma função de b e c Essa tarefa é fácil de executar tomandose o log natu ral de ambos os lados da última equação ln e r ln b c O lado esquerdo pode ser lido imediatamente como igual a r de modo que a função desejada fórmula de conversão surge como r ln bc c ln b 1018 Isso indica que a função y Abct sempre pode ser reescrita na forma de base natural y Aec ln bt EXEMPLO 1 Converta y 2t em uma função exponencial natural Aqui temos A 1 b 2 e c 1 Portanto r c ln b ln 2 e a função exponencial desejada é y Aert eln 2t Se quisermos também podemos calcular o valor numérico de ln 2 por meio da utilização de 1014 e de uma tabela de logaritmos comuns como se segue ln 2 23026 log10 2 2302603010 06931 1019 Então podemos expressar o resultado anterior alternativamente como y e06931t EXEMPLO 2 Converta y 352t em uma função exponencial natural Neste exemplo A 3 b 5 e c 2 e a fórmula 1018 nos dá r 2 ln 5 Portanto a função desejada é y Aert 3e2 ln 5t Mais uma vez se quisermos podemos calcular 2 ln 5 ln 25 23026 log10 25 2302613979 32188 de modo que o resultado anterior pode ser expresso alternativamente como y 3e32188t É claro que também é possível converter funções logarítmicas na forma t logb y em funções logarítmicas naturais equivalentes Para fazer isso basta aplicar a Regra IV de logaritmos que pode ser expressa como logb y logb eloge y A substituição direta desse resultado na função logarítmica dada nos dá imediatamente a fun ção logarítmica natural desejada 261 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 4 2ª PROVA 104 Funções logarítmicas CAPÍTULO 12 Otimização com restrições de igualdade O Capítulo 11 apresentou um método geral para achar os extremos relativos de uma função objetivo de duas ou mais variáveis de escolha Um aspecto importante daquela discussão é que to das as variáveis de escolha são independentes umas das outras no sentido de que a decisão referen te a uma variável não influi na escolha das variáveis restantes Por exemplo uma empresa de dois produtos pode escolher qualquer valor para Q1 e qualquer valor para Q2 que desejar sem que uma escolha limite a outra Se a citada empresa for obrigada a observar uma restrição por exemplo uma quota de pro dução na forma de Q1 Q2 950 entretanto a independência entre as variáveis de escolha dei xará de existir Nesse caso os níveis de produtoQ 1 eQ 2 que maximizam o lucro da empresa não serão apenas simultâneos mas também dependentes porque quanto mais alto forQ 1 mais bai xo Q 2 deverá ser proporcionalmente de modo a ficar dentro da quota combinada de 950 O novo ótimo que satisfaz a quota de produção constitui um ótimo restrito que em geral poderá ser diferente do ótimo livre discutido no Capítulo 11 Uma restrição tal como a quota de produção mencionada anteriormente estabelece uma relação entre as duas variáveis no que se refere a seus papéis como variáveis de escolha mas essa relação deve ser distinta de outros tipos de relação que possam ligar as variáveis entre si Por exemplo no Exemplo 2 da Seção 116 os dois produtos da empresa estão relacionados pelo con sumo são substitutos bem como pela produção o que se reflete na função custo mas esse fato não qualifica o problema como de otimização restrita já que as duas variáveis de produção ainda são independentes enquanto variáveis de escolha Somente a dependência das variáveis enquan to variáveis de escolha dá origem a um ótimo restrito Neste capítulo consideraremos apenas restrições de igualdade tal como Q1 Q2 950 Nos sa preocupação principal serão os extremos restritos relativos embora os absolutos também sejam discutidos na Seção 124 121 Efeitos de uma restrição O objetivo principal de impor uma restrição é reconhecer devidamente certos fatores limitantes presentes no problema em discussão Já vimos a limitação sobre as escolhas de níveis de produto que resultam de uma quota de produção Para ilustrar melhor vamos considerar um consumidor cuja função utilidade simples índice é U x1x2 2x1 121 ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA CAPÍTULO 13 Tópicos adicionais de otimização Este capítulo trata de dois tópicos importantes O primeiro é a programação nãolinear que amplia as técnicas de otimização restrita do Capítulo 12 permitindo a presença de restrições de desi gualdade no problema No Capítulo 12 as restrições deviam ser satisfeitas como igualdades estri tas isto é elas eram sempre vinculadoras Agora vamos considerar restrições que podem não ser vinculadoras na solução isto é podem ser satisfeitas como desigualdades na solução Na segunda parte deste capítulo voltaremos ao reino da otimização restrita clássica para dis cutir alguns tópicos que deixamos de abordar nos capítulos anteriores Entre esses tópicos estão a função objetivo indireta o teorema do envelope e o conceito de dualidade 131 Programação nãolinear e condições de KuhnTucker Na história do desenvolvimento metodológico as primeiras tentativas de lidar com restrições de desigualdade concentraramse apenas nas lineares Como a linearidade predominava nas restri ções bem como na função objetivo a metodologia resultante foi muito naturalmente batizada de programação linear A despeito da limitação da linearidade entretanto pela primeira vez era possível explicitar as variáveis de escolha especificamente como nãonegativas o que é adequado em grande parte das análises econômicas Isso representa um avanço significativo A programa ção nãolinear um desenvolvimento posterior possibilitou manipular até mesmo restrições de desigualdade nãolineares e função objetivo nãolinear Por isso ela ocupa um lugar muito im portante na metodologia de otimização No problema clássico de otimização sem nenhuma restrição explícita aos sinais das variá veis de escolha e sem nenhuma desigualdade nas restrições a condição de primeira ordem para um extremo relativo ou local é simplesmente que as derivadas parciais primeiras da função de Lagrange suave em relação a todas as variáveis de escolha e os multiplicadores de Lagrange se jam iguais a zero Em programação nãolinear existe um tipo semelhante de condição de primei ra ordem conhecida como as condições de KuhnTucker Contudo como veremos enquanto a condição de primeira ordem clássica é sempre necessária não se pode conceder às condições de KuhnTucker o status de condições necessárias a menos que cumpram uma certa hipótese Por outro lado sob certas circunstâncias específicas as condições de KuhnTucker tornamse condi ções suficientes ou até mesmo condições necessárias e suficientes também ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 3 2ª PROVA Kuhn H W Tucker A W Nonlinear Programming In Neyman J Ed Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability Berkeley Califórnia University of California Press 1951 p 481492 137 Algumas observações finais Nesta parte do livro abordamos as técnicas básicas de otimização A jornada até certo ponto ár dua nos conduziu 1 do caso de uma única variável de escolha ao caso mais geral de n variáveis 2 da função objetivo polinomial às exponenciais e logarítmicas e 3 da variedade de extremo sem restrições até a de extremo restrito Grande parte dessa discussão girou em torno dos métodos clássicos de otimização que têm o cálculo diferencial como pilar de sustentação e as derivadas de várias ordens como ferramentas primárias Uma desvantagem dessa abordagem da otimização é sua natureza essencialmente míope Conquanto as condições de primeira e segunda ordem em termos de derivadas ou dife renciais normalmente possam localizar extremos relativos ou locais sem dificuldade quase sem pre é preciso mais informações ou fazer mais investigações para identificar extremos absolutos ou globais A discussão detalhada de concavidade convexidade quaseconcavidade e qua seconvexidade tem o propósito de servir como base sólida para partir do reino dos extremos relativos para o dos absolutos Uma limitação mais séria da abordagem do cálculo é sua incapacidade de enfrentar restri ções na forma de desigualdade Por essa razão o enunciado da restrição orçamentária no mode lo de maximização de utilidade por exemplo considera que o dispêndio total é exatamente igual e não menor ou igual a uma quantia especificada Em outras palavras a limitação da abordagem do cálculo faz com que seja necessário negar ao consumidor a opção de poupar par te de seus fundos disponíveis E pela mesma razão a abordagem clássica não nos permite especi ficar explicitamente que as variáveis de escolha devem ser nãonegativas como é adequado em grande parte das análises econômicas Felizmente nos libertamos dessas limitações quando introduzimos a moderna técnica de oti mização conhecida como programação nãolinear Com ela podemos admitir abertamente res trições de desigualdade no problema incluindo restrições de nãonegatividade às variáveis de es colha É óbvio que isso representa uma passo gigantesco na direção do desenvolvimento da me todologia de otimização Ainda assim mesmo com a programação nãolinear a estrutura analítica continua estática O problema e sua solução referemse somente ao estado ótimo em um único ponto do tempo e não pode abordar a questão de como um agente otimizador deveria se comportar sob determi nadas circunstâncias durante um período de tempo Esta última questão pertence ao reino da otimização dinâmica que não podemos utilizar antes de aprender o básico da análise dinâmica a análise dos movimentos das variáveis ao longo do tempo De fato à parte sua aplicação à otimiza ção dinâmica a análise dinâmica é em si um importante ramo da análise econômica Por essa razão voltaremos nossa atenção ao tópico da análise dinâmica agora na Parte 5 137 Algumas observações finais 421 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA CAPÍTULO 14 Economia dinâmica e cálculo integral O termo dinâmica como aplicado à análise econômica teve significados diferentes em épocas diferentes e para diferentes economistas Contudo hoje o termo é utilizado comumente com referência ao tipo de análise no qual o objetivo é ou traçar e estudar as trajetórias temporais espe cíficas das variáveis ou determinar se dado tempo suficiente essas variáveis tenderão a convergir para certos valores de equilíbrio Esse tipo de informação é importante porque preenche uma grande lacuna que prejudicava nosso estudo de estática e de estática comparativa Nesta última sempre adotamos a premissa arbitrária de que o processo de ajuste econômico leva inevitavel mente a um equilíbrio Em uma análise dinâmica a questão da atingibilidade tem de ser enca rada de frente em vez de apenas admitida Um aspecto notável da análise dinâmica é a datação das variáveis que põe em cena a conside ração explícita do tempo Isso pode ser feito de duas maneiras o tempo pode ser considerado como uma variável contínua ou como uma variável discreta No primeiro caso alguma coisa está acontecendo com a variável em cada ponto do tempo tal como no caso de juro composto contí nuo ao passo que no último a variável sofre uma variação apenas uma vez dentro de um período de tempo por exemplo o juro é adicionado somente ao final de cada seis meses Um desses conceitos de tempo pode ser mais adequado que o outro em certos contextos Em primeiro lugar discutiremos o caso do tempo contínuo ao qual são pertinentes as técni cas matemáticas do cálculo integral e das equações diferenciais Mais adiante nos Capítulos 17 e 18 estudaremos o caso do tempo discreto que utiliza os métodos de equações de diferenças 141 Dinâmica e integração Em um modelo estático o problema em termos gerais é encontrar os valores das variáveis endó genas que satisfaçam alguma ou algumas condição de equilíbrio especificada Aplicado ao con texto de modelos de otimização a tarefa passa a ser encontrar os valores das variáveis de escolha que maximizem ou minimizem uma função objetivo específica considerando a condição de primeira ordem como a condição de equilíbrio Em um modelo dinâmico por outro lado o pro blema envolve por sua vez o esboço da trajetória temporal de alguma variável tendo como base um padrão de variação conhecido digamos uma determinada taxa de variação instantânea Vamos esclarecer com um exemplo Suponha que saibamos que o tamanho da população H varia ao longo do tempo à taxa ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 4 3ª PROVA Machlup Fritz Statics and Dynamics Kaleidoscopic Words Southern Economic Journal p 91110 out 1959 impresso nova mente em Machlup Essays on Economic Semantics Englewood Cliffs NJ PrenticeHall Inc 1963 p 942 CAPÍTULO 15 Tempo contínuo equações diferenciais de primeira ordem No modelo de crescimento de Domar resolvemos uma equação diferencial simples por inte gração direta Para equações diferenciais mais complicadas há vários métodos estabelecidos de solução Mesmo nestes últimos casos entretanto a idéia fundamental subjacente aos métodos de solução ainda são as técnicas do cálculo integral Por essa razão a solução de uma equação dife rencial muitas vezes é denominada a integral daquela equação Neste capítulo discutiremos apenas equações diferenciais de primeira ordem Nesse contexto a palavra ordem referese à ordem mais alta das derivadas ou diferenciais que aparecem na equação diferencial assim uma equação diferencial de primeira ordem pode conter apenas a derivada primeira digamos dydt 151 Equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficiente constante e termo constante A derivada primeira dydt é a única que pode aparecer em uma equação diferencial de primeira ordem mas ela pode aparecer em várias potências dydt dydt2 ou dydt3 A potência mais alta alcançada pela derivada na equação é denominada o grau da equação diferencial Caso a de rivada dydt apareça somente no primeiro grau o mesmo acontecendo com a variável dependen te y e além disso não ocorrer nenhum produto da forma ydydt então dizse que a equação é li near Assim uma equação diferencial linear de primeira ordem geralmente adotará a forma dy dt uty wt 151 onde u e w são duas funções de t assim como y Contudo ao contrário de dydt e y não há absolu tamente nenhuma restrição imposta à variável independente t Assim as funções u e w podem perfeitamente representar expressões como t 2 e e t ou algumas funções mais complicadas de t por outro lado u e w também podem ser constantes Esse último ponto nos leva a uma classificação ulterior Quando a função u o coeficiente da variável dependente y for uma constante e quando a função w for um termo aditivo constante ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA Note que o coeficiente do termo de derivada dydt em 151 é a unidade Isso não quer dizer que a derivada nunca possa ter um coeficiente que não seja a unidade mas quando tal coeficiente aparecer sempre podemos normalizar a equação dividindo cada termo pelo coeficiente citado Por essa razão ainda assim a forma dada em 151 pode ser considerada como uma representação geral ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA da da convergência ou da divergência A Figura 171 retrata a convergência ou falta dela da ex pressão Abt em relação a zero Quando yp é incluído passa a ser uma questão da convergência da trajetória temporal yt yc yp em relação ao nível de equilíbrio yp Com relação a isso vamos acrescentar algumas palavras de explicação para o caso especial de b 1 região II Uma trajetória temporal tal como yt A1t yp A yp dá a impressão de convergir porque o termo multiplicativo 1t 1 não produz nenhum efeito explosivo Observe contudo que yt agora assumirá o valor A yp e não o valor de equilíbrio yp na verdade ele nunca pode alcançar yp a menos que A 0 Como uma ilustração desse tipo de situação podemos citar a trajetória temporal em 179 na qual está envolvido um equilíbrio móvel yp ct Essa trajetória temporal deve ser considerada divergente não porque t aparece na solução particular mas porque com um A diferente de zero haverá um desvio constante em re lação ao equilíbrio móvel Assim ao estipular a condição para a convergência da trajetória tem poral yt ao equilíbro yp devemos excluir o caso de b 1 M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S Tempo discreto equações de diferenças de primeira ordem 532 ELSEVIER ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 3 1ª PROVA 0 t 0 1 t 0 t 0 t 0 1 t 0 t 0 t I II III VII IV VI V 0 1 Valor de b Configuração de bt Região FIGURA 171 y1 f1y0 podemos ir diretamente de y0 até a linha de fase chegar ao ponto A e ler sua altura no eixo verti cal como o valor de y1 Em seguida procuramos mapear y1 para y2 de acordo com a equação y2 f1y1 Para esse propósito devemos primeiro desenhar y1 no eixo horizontal de modo semelhante a y0 durante o primeiro mapeamento Essa transposição necessária de y1 do eixo vertical para o eixo horizontal é realizada com muita facilidade com a utilização da reta a 45 que por ter uma incli nação de 1 é o lugar geométrico de pontos cujas abscissas e ordenadas são idênticas tais como 2 2 e 5 5 Assim para transpor y1 do eixo vertical podemos simplesmente atravessar a reta a 45 chegar ao ponto B e então seguir diretamente para baixo até o eixo horizontal para localizar o ponto y1 Repetindo esse processo podemos ir de y1 para y2 via o ponto C na linha de fase e en tão usar a reta a 45 para transpor y2 etc Agora que a natureza da iteração ficou clara podemos observar que a iteração desejada pode ser alcançada simplesmente seguindo as setas de y0 até A na linha de fase até B na reta a 45 até C na linha de fase etc sempre alternando entre as duas retas sem jamais ser neces sário recorrer novamente aos eixos 176 Equação de diferenças nãolinear a abordagem gráficoqualitativa 541 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA A B C E E yt1 y 45 O O O O E E a b y2 y1 f1 yt y0 y1 y2 f2 yt1 y 45 yt y0 yt1 y 45 c y2 y1 f3 yt y0 y1 y2 yt1 y 45 d f4 yt y0 FIGURA 174 M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S EXEMPLO 8 As trajetórias temporais 1811 e 1812 são convergentes Em 1811 temos R 1 2 por conse guinte a trajetória temporal convergirá para o equilíbrio constante 4 Em 1812 por outro lado temos R 4 portanto a trajetória não convergirá para o equilíbrio 0 EXERCÍCIO 181 1 Escreva a equação característica para cada uma das seguintes e ache as raízes caracte rísticas a yt2 yt1 1 2 yt 2 c yt2 1 2 yt1 1 2 yt 5 b yt2 4yt1 4yt 7 d yt2 2yt1 3yt 4 2 Para cada uma das equações de diferenças no Problema 1 determine tendo como base suas raízes características se a trajetória temporal envolve oscilação ou flutuação degrau e se ela é explosiva 3 Encontre as soluções particulares das equações no Problema 1 Elas representam equilí brios constantes ou móveis 4 Resolva as seguintes equações de diferenças a yt2 3yt1 7 4 yt 9 y0 6 y1 3 b yt2 2yt1 2yt 1 y0 3 y1 4 c yt2 yt1 1 4 yt 2 y0 4 y1 7 5 Analise as trajetórias temporais obtidas no Problema 4 182 Modelo de Samuelson para a interação multiplicadoraceleração Como uma ilustração da utilização de equações de diferenças de segunda ordem na economia vamos citar um trabalho clássico do professor Paul Samuelson o primeiro economista a ganhar o Prêmio Nobel Estamos nos referindo a seu clássico modelo de interação que procura explorar o processo dinâmico de determinação de renda quando o princípio da aceleração está em ação juntamente com o multiplicador keynesiano Entre outras coisas esse modelo serve para de monstrar que a mera interação entre o multiplicador e o acelerador é capaz de gerar flutuações cíclicas endogenamente Equações de diferenças de ordens mais altas 552 ELSEVIER ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 4 3ª PROVA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 y yp t FIGURA 181 Samuelson Paul A Interactions between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration Review of Economic Statistics p 7578 maio 1939 reimpresso em American Economic Association Readings in Business Cycle Theory Homewood Ill Richard D Irwin Inc 1944 p 261269 CAPÍTULO 19 Equações diferenciais e equações de diferenças simultâneas Até aqui o que discutimos sobre a dinâmica da economia se restringiu à análise de uma equa ção dinâmica única diferencial ou de diferenças No presente capítulo são apresentados méto dos para analisar um sistema de equações dinâmicas simultâneas Como isso acarretaria a mani pulação de diversas variáveis ao mesmo tempo é compreensível que você espere uma grande quantidade de novas complicações Mas a verdade é que grande parte do que já aprendemos so bre equações dinâmicas únicas pode ser estendido de imediato a sistemas de equações dinâmicas simultâneas Por exemplo a solução de um sistema dinâmico consistiria em um conjunto de soluções particulares valores de equilíbrio intertemporal das várias variáveis e funções comple mentares desvios em relação aos equilíbrios As funções complementares ainda seriam basea das nas equações associadas às homogêneas equações no sistema E a estabilidade dinâmica do sistema ainda dependeria dos sinais em sistemas de equações diferenciais ou dos valores abso lutos em sistemas de equações de diferenças das raízes características nas funções complemen tares Assim o problema de um sistema dinâmico é apenas ligeiramente mais complicado que o de uma equação dinâmica única 191 A gênese de sistemas dinâmicos Um sistema dinâmico pode surgir por dois modos gerais Ele pode emanar de um dado conjunto de padrões de variação interativos ou ser derivado de um único padrão de variação dado contan to que este último consista em uma equação dinâmica de segunda ordem ou de ordem mais alta Padrões de variação interativos O caso mais óbvio de um conjunto dado de padrões de variação interativos é o de um modelo multissetorial no qual cada setor como descrito por uma equação dinâmica interfere em ao menos um dos outros setores Uma versão dinâmica do modelo de insumoprodução por exem plo poderia envolver n indústrias cujas variações nos resultados produzem repercussões dinâmi cas nas outras indústrias Assim ele constitui um sistema dinâmico De modo semelhante um modelo de mercado de equilíbrio dinâmico geral envolveria n mercadorias que se interrelacio nam por seus ajustes de preços Assim há novamente um sistema dinâmico Contudo padrões de variação interativos podem ser encontrados até mesmo em um mode lo de um único setor As diversas variáveis em tal modelo não representam setores diferentes nem mercadorias diferentes mas aspectos diferentes de uma economia Ainda assim eles podem ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA cer relativamente constantes por longos períodos de tempo E em alguns outros casos podemos realizar um tipo de análise dinâmica comparativa para verificar como a trajetória temporal de uma variável será afetada por uma variação em certos parâmetros Não obstante quando estamos interpretando uma trajetória temporal que se estende até um futuro distante sempre temos de tomar cuidado para não confiar excessivamente na validade da trajetória em seus trechos mais remotos se tivermos adotado premissas simplificadoras em relação à constância Entretanto é bom que você entenda que o fato de apontarmos essas limitações como fize mos aqui não significa de modo algum depreciar a análise dinâmica enquanto análise Na ver dade vale lembrar que para cada tipo de análise apresentado até aqui mostramos também suas limitações inerentes Por conseguinte contanto que seja devidamente interpretada e adequada mente aplicada a análise dinâmica como qualquer outro tipo de análise pode desempenhar um papel importante no estudo de fenômenos econômicos Em particular as técnicas de análise dinâmica nos permitiram a estender neste capítulo o estudo da otimização até o reino da otimi zação dinâmica na qual a solução que procuramos já não é um estado estacionário ótimo mas toda uma trajetória temporal ótima 206 Limitações da análise dinâmica 629 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 6 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 2 3ª PROVA Bibliografia recomendada ABADIE J Ed Nonlinear Programming Amsterdã NorthHolland Publishing Company 1967 Uma coletânea de artigos sobre certos aspectos teóricos e computacionais de programação nãolinear o Capítulo 2 de Abadie trata do teorema de KuhnTucker em relação à qualifi cação de restrição ALLEN R G D Mathematical Analysis for Economists Londres Macmillan Co Ltd 1938 Uma exposição clara do cálculo diferencial e integral são discutidos determinantes mas não matri zes nenhuma discussão sobre teoria dos conjuntos nem sobre programação matemática Mathematical Economics 2 ed Nova York St Martins Press Inc 1959 Discute uma pro fusão de modelos matemáticos econômicos explica equações lineares diferenciais e de dife renças e álgebra matricial ALMON C Matrix Methods in Economics Reading Mass AddisonWesley Publishing Company Inc 1967 São discutidos métodos matriciais em relação a sistemas de equações lineares modelos insumoproduto programação linear e programação nãolinear São estudadas também raízes características e vetores característicos BALDANI J BRADFIELD J TURNER R Mathematical Economics Orlando The Dryden Press 1996 BAUMOL W J Economic Dynamics An Introduction 3 ed Nova York The Macmillan Company 1970 A Parte IV dá uma explicação lúcida sobre equações de diferenças simples a Parte V trata de equações de diferenças simultâneas equações diferenciais são discutidas apenas brevemente BRAUN M Differential Equations and Their Applications An Introduction to Applied Mathematics 4 ed Nova York SpringerVerlag Inc 1993 Contém aplicações interessantes de equações dife renciais tais como a detecção de falsificação de obras de arte a disseminação de epidemias a corrida armamentista e o descarte de resíduos da indústria nuclear BURMEISTER E DOBELL A R Mathematical Theories of Economic Growth Nova York The Mac millan Company 1970 Uma exposição minuciosa de modelos de crescimento de diversos graus de complexidade CHIANG Alpha C Elements of Dynamic Optimization Sl McGrawHill Book Company 1992 agora publicado por Waveland Press Inc Prospect Heights Ill CLARK Colin W Mathematical Bioeconomics The Optimal Management of Renewable Resources 2 ed Toronto John Wiley Sons Inc 1990 Uma explanação minuciosa da teoria do controle ótimo e sua utilização em recursos renováveis e nãorenováveis CODDINGTON E A LEVINSON N Theory of Ordinary Differential Equations Nova York McGraw Hill Book Company 1955 Um texto matemático básico sobre equações diferenciais COURANT R Differential and Integral Calculus trans E J McShane Nova York Interscience Publishers Inc vol I 2 ed 1937 vol II 1936 Um tratado clássico sobre cálculo John F Introduction to Calculus and Analysis Nova York Interscience Publishers Inc vol I 1965 vol II 1974 Uma versão atualizada do título anterior DORFMAN R Samuelson P A Solow R M Linear Programming and Economic Analysis Nova York McGrawHill Book Company 1958 Um tratamento detalhado de programação linear teoria dos jogos e análise insumoprodução FRANKLIN J Methods of Mathematical Economics Linear and Nonlinear Programming FixedPoint Theorems Nova York SpringerVerlag Inc 1980 Uma deliciosa apresentação da progra mação matemática FRISCH R Maxima and Minima Theory and Economic Applications em colaboração com A Nataf Chicago Ill Rand McNally Company 1966 Um tratamento completo de problemas de extremos realizado primariamente segundo a tradição clássica GOLDBERG S Introduction to Difference Equations Nova York John Wiley Sons Inc 1958 Com aplicações econômicas ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 3 1ª PROVA HADLEY G Linear Algebra Reading Mass AddisonWesley Publishing Company Inc 1961 Aborda matrizes determinantes conjuntos convexos etc Linear Programming Reading Mass AddisonWesley Publishing Company Inc 1962 Uma exposição muito clara orientada para a matemática Nonlinear and Dynamic Programming Reading Mass AddisonWesley Publishing Com pany Inc 1964 Aborda programação nãolinear programação estocástica programação integral e programação dinâmica ênfase em aspectos ligados à computação HALMOS P R Naive Set Theory Princeton NJ D Van Nostrand Company Inc 1960 Uma in trodução informal portanto fácil de ler aos aspectos básicos da teoria dos conjuntos HANDS D Wade Introductory Mathematical Economics 2 ed Nova York Oxford University Press 2004 HENDERSON J M QUANDT R E Microeconomic Theory A Mathematical Approach 3 ed Nova York McGrawHill Book Company 1980 Um tratamento matemático abrangente de tópi cos microeconômicos HOY M LIVERNOIS J MCKENNA C REES R STENGOS T Mathematics for Economics 2 ed Cambridge Mass The MIT Press 2001 INTRILIGATOR M D Mathematical Optimization and Economic Theory Englewood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1971 Uma discussão minuciosa de métodos de otimização incluindo as técnicas clássicas programação linear e nãolinear e otimização dinâmica também aplica ções às teorias do consumidor e da empresa equilíbrio geral e economia do bemestar e teo rias de crescimento KEMENY J G SNELL J L THOMPSON G L Introduction to Finite Mathematics 3 ed Engle wood Cliffs NJ Prentice Hall Inc 1974 Abrange tópicos como conjuntos matrizes probabilidade e programação linear KLEIN Michael W Mathematical Methods for Economics 2 ed Reading Mass AddisonWesley Pu blishing Company Inc 2002 KOO D Elements of Optimization With Applications in Economics and Business Nova York Springer Verlag Inc 1977 Clara discussão de métodos clássicos de otimização programação mate mática bem como teoria do controle ótimo KOOPMANS T C Ed Activity Analysis of Production and Allocation Nova York John Wiley Sons Inc 1951 reimpresso por Yale University Press 1972 Contém vários artigos sobre programação linear e análise de atividade Three Essays on the State of Economic Science Nova York McGrawHill Book Company 1957 O primeiro ensaio contém uma boa exposição de conjuntos convexos o terceiro ensaio discute a interação de ferramentas e problemas em economia LAMBERT Peter J Advanced Mathematics for Economists Static and Dynamic Optimization Nova York Blackwell Publishers 1985 LEONTIEF W W The Structure of American Economy 19191939 2 ed Fair Lawn NJ Oxford University Press 1951 O trabalho pioneiro na análise de insumoproduto SAMUELSON P A Foundations of Economic Analysis Cambridge Mass Harvard University Press 1947 Um clássico da matemática econômica mas muito difícil de ler SILBERBERG Eugene SUEN Wing The Structure of Economics A Mathematical Analysis 3 ed Nova York McGrawHill Book Company 2001 Primariamente com um foco microeconômico este livro contém uma forte discussão do teorema do envelope e uma ampla variedade de aplicações SYDSÆTER Knut HAMMOND Peter Essential Mathematics for Economic Analysis Londres Pren tice Hall Inc 2002 TAKAYAMA A Mathematical Economics 2 ed Hinsdale Ill The Dryden Press 1985Dá um tra tamento extensivo da teoria econômica em termos matemáticos concentrandose em dois tópicos específicos equilíbrio competitivo e crescimento econômico THOMAS G B FINNEY R L Calculus and Analytic Geometry 9 ed Reading Mass Addison Wesley Publishing Company Inc 1996 Uma introdução ao cálculo escrita de um modo muito claro Bibliografia recomendada 636 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 3 3ª PROVA Índice A Abordagem de equações simultâneas 197199 Abscissa 37 Acelerador interação com multiplicador 552557 Acordo oficial mudança de 204n Adjunta 98 Alfabeto grego 631 Amplitude 495 Análise de equilíbrio Veja Análise estática Análise de equilíbrio geral 43 Análise de período 523 Análise dinâmica limitações da 628 Análise estática limitações da 118 modelos de insumoprodução de Leontief 110118 Antilog 451 Aposta justa 221 Aproximação linear de uma função 234236 Arco qualificador 394 395 Área negativa 438 Área sob uma curva 436438 Argumento 19 Arranjos matrizes como 5051 Arrow K J 350n 376n 404n Assíntota 22 Autovalor 292n Autovetor 292n B Balança de pagamentos 204 Base 63 de função exponencial 244 246 de função logarítmica 254256 Bem inferior 359 Bem normal 359 Bens de Giffen 361 Boltyanskii V G 609n C Cadeias de Markov 7780 absorventes 80 finitas 79 Cálculo de variações 607 Cálculo diferencial 122 Cálculo integral 426 Caminho de fase 593 Caminho 593 Capital dinâmica do 477481 investimento e 445447 cartesiana 498 549 polar 499 Casos de múltiplas restrições 336 344 Chenery H B 376n Chiang A C 4 287n 607n Círculo unitário 502 Coeficientes 8 constante 483 de aceleração 552553 de ajuste 460 de insumo 110 de utilização 452 fracionário 39 indeterminado 516518 562565 581 583 Coeficientes constantes 483 Cofator espúrio 97 definição 89 Combinação convexa 311313 Combinação de insumos de custo mínimo 370380 Combinação linear 61 62 Complemento de conjunto Conjunto complemento 13 Completar o quadrado 3738 228n 288 290 Composição de juros 250 Compressão 245 260 Conceito de estoque 251 446 Conceito de fluxo 251 446 Conceito pontual de tempo 251 Condição de equilíbrio 9 Condição de fronteira 426 Condição de HawkinsSimon 114 menor principal e 289 290 291 298 significado econômico da 116 Condição de positiva definitiva e negativa definitiva 287 291 292 296 Condição de primeira ordem 223 280 381 derivada versus forma diferencial de 277278 279 necessária versus suficiente 280 para extremo 297 Condição de segunda ordem 283285 297301 em relação à concavidade e à convexidade 302314 em relação à quaseconcavidade e à quaseconvexidade 345355 forma derivada versus forma diferencial de 278279 necessária versus suficiente 224 283 284 339 papel da em estática comparativa 327 Condição de transversalidade 610 612 615 Condição inicial 426 Condição necessária 8182 224 226 339 403 Condição necessária e suficiente 82 83 403 Condição subsidiária 330 Veja também Restrição Condição suficiente 8182 224 339 403 Condições de derivadas versus condições de diferenciais 277279 Condições de KuhnTucker 381391 efeitos das restrições de desigualdade 383387 interpretação econômica de 387388 teoria do controle ótimo e 615 versão de minimização de 388 Condições de otimização 9 Condições de reciprocidade 408410 Condições terminais alternativas 615619 Conjunto convexo versus função convexa 310313 Conjuntos 1015 complemento de 13 disjunto 1213 enumerável versus finito versus infinito 11 igualdade de 12 interseção de 1213 leis de operação com 1416 nãoenumerável 11 nulo 12 operações com 1215 ordenado 16 relações entre 1113 subconjunto 12 ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA união de 1213 universal 13 vazio 12 Constantes 287 aditiva 148 de integração 427 definição 8 expoentes como 244 multiplicativa 148 paramétrica 8 Contar equações e incógnitas 44 Continuidade 137 de função derivada 149 de função polinomial 138 de função racional 138 em relação à diferenciabilidade 138142 Controle ótimo ilustração de 608609 natureza de 607614 Convergência 542 de integral imprópria 441444 de séries 237 248 divergência versus 554557 Conversão de base 261262 Coordenadas cartesianas 498 549 Coordenadas polares 499 Correspondência um para um 17 60 157 159 Courant R 241n Crescimento contínuo versus discreto 252253 funções exponenciais e 248254 lei exponencial de 243 modelo de Domar de 450453 455 modelo de Solow de 477481 626 modelo neoclássico ótimo de 624626 negativo 253 taxa de 251252 272274 taxa instantânea de 251252 272274 CRTS Veja Retornos constantes de escala Constant returns to scale CRTS Curva de indiferença 355358 Curvas de demarcação 591593 Curvas de isovalor 372n Cúspide 392 393 Custos marginal versus total 124125 148 médio versus marginal 154 minimização de 370380 Custo marginal custo médio versus 154 custo total versus 124125 148 444445 Custo médio versus custo marginal 154 D Decisão de insumos 319324 Defasagem em consumo 553 em oferta 533 em produção 580582 Definição de sinal positivo e negativo 287 teste com determinantes para 287289 teste da raiz característica para 292296 Demanda 32 33 36 com expectativas de preço 506 de insumo 111 elasticidade de 179 318319 excesso de Veja Excesso de demanda final 111 funções demanda hicksianas 415 marshalliana 414 415418 receita média e 315316 Dependência entre colunas e linhas de uma matriz 94 entre equações 4445 84 linear 6263 Depreciação taxa de 253 Derivação 139 Derivadas 123 continuidade de 149 da função coseno 496 de estática comparativa Veja Estática comparativa de funções exponenciais 264266 derivada de 217219 função marginal e 124125 148 parcial total 184 parcial Veja Derivada parcial primeira 213216 quarta 218 quinta 218 regras de Veja Regras de diferenciação segunda 217222 terceira 218 total 181185 199200 Derivadas parciais cruzadas mistas 281 de segunda ordem 281282 Derivadas totais 181185 aplicadas à estática comparativa 199200 parciais 184 Descartes R 17 Desconto 253 269 Veja também Valor presente Desconto por quantidade 127n Desemprego inflação e 511515 558562 586590 política monetária e 512 taxa natural de 515 561 Desigualdade 132135 contínua 132 regras de 132 sentido da 132 solução de 134135 valores absolutos e 133134 Desigualdade triangular 65 Desvio 232 Determinante 45 49 8797 de nésima ordem 8992 de primeira ordem 133n de segunda ordem 87 de terceira ordem 8889 de valor zero 8788 94 definição 87 expansão de Laplace de 8991 fatoração 93 hessiano Veja Determinante hessiano jacobiano Veja Determinante jacobiano nulo 87 9394 propriedades de 9294 96 Determinante de valor zero 88 93 Determinante hessiano 289 298 300301 aumentado 339344 352353 418n determinante jacobiano em relação a 325326 Determinante jacobiano 45 em relação a hessiano aumentado 340 em relação a hessiano 325326 variável endógena 194 198 202 325326 334 Determinante nulo 88 93 Diagonal principal 55 Diagonalização de matriz 295 Diagramas Veja também Diagrama de fase de Argand 491 de Venn 14 Diagrama de fase análise de 627 construção de 626627 estabilidade dinâmica de equilíbrio e 474477 540543 594595 para equação de diferenças 540544 para equação diferencial 474477 479480 para sistema de equações diferenciais 590598 Diferença primeira 524 segunda 545 Índice 652 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 5 1ª PROVA Diferença de vetores 62 Diferenciabilidade continuidade em relação a 139142 dupla 148 217 Diferenciação diferenciabilidade versus 138 regra da função exponencial de 264 total 177 182 Diferencial total 176179 334 da função poupança 177 de segunda ordem 282283 286287 338 Diferencial regras de 179181 total Veja Diferencial total Dinâmica 425 de inflação e desemprego 511515 558562 de inflação e regra monetária 604 de investimento 478481 de modelos de insumoprodução 580585 de preço de mercado 459463 506510 533540 543544 de renda nacional 552557 do capital 478481 integração e 425427 Discriminação de preço 317319 Discriminante aumentado 339344 determinante versus 288 Distância 6465 Divergência versus convergência 555557 Veja também Convergência Domar E D 450n Dominação de raízes características 551 Domínio 19 Dorfman R 45n Dualidade 413n 415 Dunn Sarah 78n E e o número 248249 Econometria versus economia matemática 45 Economia matemática definição 3 econometria versus 45 economia nãomatemática versus 34 Efeito cruzado 361 Efeito da escala 531 Efeito espelho 532 534 Efeito renda 360361 Efeito substituição 361 Eixo imaginário 491 Elasticidade de demanda 179 318319 de insumo ótimo 374 de produção 368 parcial 178 179 pontual 274 regra da cadeia da 275 Eliminação de variáveis 3335 109 114 Empresa multiprodutos 314316 325 Enthoven A C 350n 404n Equaçãoões auxiliar 486 de Bernoulli 473 480 característica Veja Equações características condicional 9 de coestado 609 610 613614 cúbica 36n definicional 8 diferencial Veja Equação diferencial exponencial 255 258 homogênea 456 458 de movimento 607 609 nãohomogênea 456458 quadrátrica Veja Equação quadrática homogênea 457 de estado 609610 619 comportamental 89 Equações características 486 578579 de equação de diferenças 547 de equação diferencial 486 de sistema de equações de diferenças 572 575 de sistema de equações diferenciais 577 matriciais 293 Equações de diferenças simultâneas aplicadas 580585 589 resolvendo 571573 Equações dinâmicas de ordem alta transformação de 570571 simultâneas resolvendo 571579 Equações polinomiais de grau mais alto 3840 raízes de 3840 519 Equilíbrio 3147 definição 31 economia aberta 204206 em análise de renda nacional 4647 estabilidade dinâmica de Veja Estabilidade dinâmica de equilíbrio geral 4145 intertemporal 460 meta 32 211 móvel versus constante 461462 parcial 43 tipos de 594595 Escala semilogarítmica semilog 272n Escalar 53 5960 Eslasticidade pontual 274 Espaço de fase 591 Espaço de n dimensões espaço n dimensional 60 64 65 Espaço euclidiano de n dimensões 60 64 65 Espaço métrico 65 Espaço vetorial 6365 Estabilidade dinâmica de equilíbrio 461 com tempo contínuo 489490 504506 com tempo discreto 530533 550552 diagrama de fase e 475477 540542 594595 estabilidade local de sistema nãolinear 599 600605 teorema de Routh e 520521 Estabilidade dinâmica 476 Estado constante 480 Estado estacionário 480 Estática 32 Veja também Estática comparativa Estática comparativa 118 121122 de empresa multiprodutos 325 de modelos de mercado 196197 de modelos de renda nacional 200203 derivada total aplicada a 199200 do modelo de decisão insumoprodução 325327 do modelo de maximização da utilidade 358362 modelo de combinação de custo mínimo 372375 Estoque modelo de mercado com 537540 Excesso de demanda 32 41 ajuste da produção e 582584 ajuste de preço e 459460 em relação ao estoque 537 exp 246 Expansão de Laplace cálculo de um determinante de ordem n por 8991 por cofatores alheios 9798 Expectativas adaptativas 511 536 558 de inflação 511 514 558 de preço 506 536 Expoentes 21 24 244 Exportações líquidas 203 Índice 653 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 5 1ª PROVA Extremo 212 absoluto versus relativo 212213 277 303 329 condição de primeira ordem para 297 em relação à concavidade e à convexidade 302304 em relação à quaseconcavidade e à quaseconvexidade 353355 forte versus fraco 302 global versus local 212213 restrito 344 353355 teste com determinantes para extremo relativo restrito 344 teste com determinantes para extremo relativo 301 teste com determinantes para extremo restrito 344 F Fatores de desconto 253 de integração 469 Fatoração de determinante versus de matriz 93 de função polinomial 3839 de integrando 431 Fatorial 231232 Fio da navalha 452453 Flutuação amortecida 504 539 degrau 551552 555 556 560 explosiva 504 trajetória temporal com 504505 512515 uniforme 504 Fluxo de caixa valor presente de 448 Fluxo de capital 203 Fluxo perpétuo valor presente de 449 Foco 594 Folga complementar 383 385 386 387388 398 Forma 286 Forma de Lagrange do resto 236237 Forma linear 286 Forma negativa definida 291 condições para 292 296 definida versus indefinida 287 Forma negativa semidefinida condições para 296 definida versus semidefinida 287 Forma positiva definida 291 condições para 292 296 definida versus indefinida 287 Forma positiva semidefinida condições para 296 definida versus semidefinida 287 Forma quadrática restrita 339340 Formação de capital 445447 583584 Formas quadráticas 286 com n variáveis 292 condição de sinal definido de teste com determinantes 287289 condição de sinal definido do teste da raiz característica 292296 de três variáveis 290292 restritas 339340 Formby J P 229n Fórmula de capitalização 449 Fórmula quadrática 37 Fração 9 Friedman M 511 Funçãoões 1828 algébricas versus nãoalgébricas 22 argumento de 19 circulares 22 493494 complementares Veja Funções complementares côncavas versus convexas 220 302304 constantes 21 143144 179 consumo 46 553 continuamente diferenciáveis 149 217 contínuas versus descontínuas 137 crescentes versus decrescentes 157 cúbicas 21 22 36n 38 227230 de CobbDouglas Veja Função produção de CobbDouglas de duas variáveis valores extremos de 279286 de Lagrange Veja Funções de Lagrange lagrangeanas definição 18 derivadas 123 diferenciáveis 308310 349353 domínio de 19 20 escalonadas 127 exponenciais Veja Funçãoões exponencial forma gráfica de 22 gerais versus específicas 2728 hamiltonianas Veja Função hamiltoniana homogêneas Veja Funções homogêneas homotéticas 373374 imagem de 19 20 implícitas 186189 inversas 157 259 598 lineares 21 23 27 logarítmicas Veja Funções logarítmicas lucro 407408 objetivo 212 298302 608 619 perda social 68 polinomiais Veja Funções polinomiais ponto de sela de 280 284 287 produção Veja Funções produção quadráticas 21 23 27 3536 quasecôncavas versus quaseconvexas 345352 racionais 2123 138 série de Taylor de 599 senoidais 493 transcendentais 22 trigonométricas 22 493 valor de 19 20 valor máximo 406413 zeros de 36 Funçãoões exponencialis 22 23 243 244254 base de 244 246 conversão de base de 261262 crescimento e 248254 derivada de 264266 desconto e 253 forma gráfica de 244245 funções logarítmicas e 259 generalizada 245246 juros compostos e 250 neperiano 246 série de Maclaurin de 248 Funções complementares de equação de diferenças de ordem mais alta 546 547550 571572 de equação de diferenças de primeira ordem 527 de equação diferencial de coeficiente variável 464 de equação diferencial de ordem mais alta 484485 501503 519 de equação diferencial de primeira ordem 457 458 de equações de diferenças simultâneas 574 575 577 estabilidade dinâmica de equilíbrio e 460 530 Funções côncavas 313 critérios de verificação 304308 em programação nãolinear 403 funções convexas versus 220 302304 Funções continuamente diferenciáveis 149 217 Funções convexas conjunto convexo versus 310313 critério de verificação 304308 em programação nãolinear 403 funções côncavas versus 220 302304 Índice 654 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 5 1ª PROVA Funções custo 9 cúbicas 227230 relação entre marginal e total 124125 148 444445 relação entre média e marginal 154 Funções de Lagrange lagrangeanas em programação nãolinear 382 388 389 para encontrar valores estacionários 331334 336 Funções de produção linearmente homogêneas 364366 Funções de produção CES 376378 de CobbDouglas Veja Função de produção de CobbDouglas função estritamente côncava aplicada a 324 função estritamente quasecôncava aplicada a 371372 linearmente homogêneas 364366 Funções demanda hicksianas 414 Funções diferenciáveis 308310 349353 Funções duplamente continuamente diferenciáveis 149 217 Funções estritamente côncavas 302304 aplicadas a funções de produção 324 critérios de verificação 304308 definição 220 estritas versus nãoestritas 302 Funções estritamente convexas aplicadas a curvas de indiferença 356357 aplicadas a isoquantas 324 critérios de verificação 304308 definição 220 estritas versus nãoestritas 302303 Funções homogêneas aplicações econômicas de 362 363369 linearmente 363366 368369 Funções logarítmicas 22 23 259263 base de 254256 funções exponenciais e 259 Funções polinomiais 2021 continuidade de 138 fatoração de 3839 grau de 21 limite de 137 série de Maclaurin de 231 série de Taylor de 232233 Funções valor máximo 406413 G Gamkrelidze R V 609n Grau de equação diferencial 455 de equações polinomiais de grau mais alto 3840 de função polinomial 2122 H Hawkins D 114n Hipérbole retangular 2123 539 557 Hipersuperfície 26 Horizonte de tempo infinito 624627 I i o número 491 Identidade 8 de Roy 416 419 equilíbrio 196 198 201 202 Igualdade de conjuntos 1112 de matrizes 52 57 Ilusão monetária 361 Imagem 19 20 Veja também Imagens especulares Imagens especulares em funções exponenciais e logarítmicas 259260 em hessiano aumentado 344 em matriz simétrica 73 em trajetórias temporais 531533 Inclinação 21 Incremento de renda 526 Independência Veja Dependência Índice do somatório 57 Inflação 511 desemprego e 511515 558562 586590 monetária 604 taxa real versus taxa esperada de 544 Informação qualitativa 152 197 Informação quantitativa 152 197 Instabilidade dinâmica 476 Insumo ótimo elasticidade de 374 Insumo primário 111 Integração 426 constante de 427 dinâmica e 425426 limites de 435 440 441443 por partes 433434 440 Integral 427 455 aplicações econômicas de 444449 de Riemann 438 439 de um múltiplo 431432 de uma soma 430431 definida 427 435441 imprópria 441444 indefinida 427435 440 inferior versus superior 438 particular Veja Solução particular Integrando 427 fatoração de 431 infinito 443444 Inteiros positivos 9 Interseção com o eixo horizontal 260 com o eixo vertical 21 Intervalo aberto 129 Intervalo fechado 129 Intervalo fechado versus aberto 129 Inverso 57 Invertibilidade 74 condições para 83 9495 teste de 8792 Investimento 201 450453 bruto 446 dinâmica de 477481 formação de capital e 445447 induzido 553 líquido 446 447 substituição de 446 Irregularidades de fronteira 391393 394 Isocusto 371 Isoquanta 322324 370 372373 J Jogo justo 221 K Keynes J M 46 553 Kuhn H W 381n 403 L Lagrange J L 123 Layson S 229n Lei associativa de operações com conjuntos 14 de operações com matrizes 6667 68 Lei comutativa de operações com conjuntos 14 de operações com matrizes 6667 Lei de crescimento exponencial 243 Lei distributiva de operações com conjuntos 1415 de operações com matrizes 6667 69 Leibniz G W 123 Lema de Hotelling 408 410 416 Lema de Shephard 416420 Índice 655 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MÉTODOS FUNDAMENTAIS DE ECONOMIA MATEMÁTICA 1014 CAPÍTULO 5 1ª PROVA Leontief W W 110 Limite 125131 à esquerda versus à direita 125127 cálculo de 127128 de função polinomial 136137 de integração 435 440 441443 visão formal de 128131 Linearização Veja Aproximação linear Linearização homogênea 600 Linha de demarcação 591 592 Linha de fase 475 540 542 Linhas de fluxo 593 Linhas periféricas 322 ln 255 Log Veja Logaritmos Logaritmos 4950 245 248258 comum versus neperiano 255 elasticidade e 275 fórmulas de conversão 258 regras de 256258 significado de 254255 Lógica literária 4 Lógica matemática versus literária 4 Lógica matemática 4 Lucro maximização de 224227 M Machlup F 31n 425n Mapa de canal 182 183 184 200 Mapeamento 18 Matrizes 5059 adição de 5253 6667 características 293 cofator 98 como arranjos 5051 de coeficientes 51 definição 51 diagonais 68 72 diagonalização de 295 dimensão de 51 54 divisão de 57 elementos de 51 escalonadas 85 fatoração de 93 hessianas 299 idempotentes 70 72 77 identidade 55 68 70 igualdade 52 57 inversas 7477 97101 invertíveis Veja Invertibilidade leis de operações com 6669 Leontief 112114 líder versus defasagem 5455 multiplicação de 5456 58 5960 68 multiplicação por escalar 53 nulas 71 posto de 8486 9596 quadradas 51 87 94 simétricas 73 singulares 72 74 subtração de 53 66 transição de Markov 7879 transpostas 7273 vetores como 5152 zero 71 Maximização da utilidade 355363 estática comparativa de 358363 recursos exauríveis e 622623 tempo de vida 620622 Máximo Veja Extremo McShane E J 241n Média ponderada 311 Média ponderada 311 Menor principal 114116 aumentado 343 condição de HawkinsSimon e 289 290 291 298 Método do multiplicador de Lagrange 332334 Método dos coeficientes indeterminados 516518 562565 581 584 Método iterativo para equação de diferenças 525527 Minhas B S 376n Minimização de custo 370379 Mínimo Veja Extremo Mishchenko E F 609n Modelo da teia de aranha 533536 Modelo de crescimento de Domar 450453 454 Modelo de crescimento de Solow 477481 626 Modelo de decisão de insumos 325327 Modelo de insumoprodução aberto 111114 de Leontief 110118 dinâmico 580585 estático 110118 fechado 117 Modelo econômico 79 Modelo neoclássico de crescimento ótimo 624626 Modelos de insumoprodução de Leontief 110118 Modelos de mercado 3244 105106 com estoque 537541 dinâmica de 459462 506510 533539 543544 estática comparativa de 195197 Modelos de renda nacional 4647 106107 dinâmica de 552557 equilíbrio na análise de 4647 estática comparativa de 200203 teorema da função implícita aplicado a 194 200203 Modelos e modelagem abertos 111114 da teia de aranha 533536 de economia fechada 107109 de mercado Veja Modelos de mercado de renda nacional Veja Modelos de renda nacional econômicos 79 fechados 117 matemático 79 Modelos matemáticos 79 Módulo 133 492 Moeda utilidade marginal de 355356 Movimento equação de 607 609610 Mudança de acordos oficiais 204n Multiplicação por escalar 53 Multiplicador de Lagrange Veja Multiplicador de Lagrange interação de com acelerador 553557 keynesiano 553 Multiplicador de Lagrange de valor corrente 619 interpretação econômica do 334335 355356 370 interpretação geral do 412413 N Nerlove M 536 Neyman J 381n Nó 594 602 604 Normalização de equação diferencial 455n de vetor característico 293 Notação 5758 Notação de conjuntos 1011 Número imaginário 491 Número irracional 10 Número racional 10 Números complexos conjugados 492 Números complexos 491 conjugados 492 expressões alternativas para 498500 Números inteiros 9 nupla ordenada 51 O Obst N P 604 Oferta 32 33 36 com expectativas de preço 506 Ordenada 37 Ortante 350 Oscilação 531 542 Índice 656 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA explosiva 543 573 trajetória temporal com 534536 539 543544 Otimização Veja também Extremo dinâmica 421 607 problemas de maximização e minimização e 212 restrita 411412 sem restrição 406410 Ótimo livre 329 Ótimo restrito versus livre 329 Ótimo restrito 329 P Par ordenado 1617 18 Parábola 21 Paralelogramo 62 Parâmetro 8 de distribuição 376 de eficiência 368 376 de substituição 376 Período 495 523 Phillips A W 511n Piso de preço 544 Política fiscal 512 Política monetária 512 558 Ponto de expansão 231 Ponto de inflexão 215 220 223n 239240 280 Ponto de sela de função 280 284 287 de sistema dinâmico 594 ramos estáveis e instáveis de 594 Ponto estacionário 214 Ponto terminal fixo 614 Pontryagin L S 609n Posto 8486 9596 Preço de mercado dinâmica de 459463 506510 533539 543544 Preço trajetória temporal do 507510 Previsão perfeita 515 Primitiva 427 Veja também Integral Princípio do máximo 609614 Princípio do máximo de Pontryagin 609614 Problema primordial 413 Problemas autônomos 619620 Problemas duais 413420 Produção de equilíbrio 225 Produção ótima 225 Produto cartesiano 17 direto 17 escalar 60 66 físico marginal 157 189 323 478 interno 55 marginal 322 receita marginal 157 Programação côncava 403 Programação linear em relação à programação nãolinear 381 Programação nãolinear 337n aplicações econômicas de 397402 em relação à programação linear 381 limitações em 383387 teoremas de suficiência em 403406 Programação quasecôncava 404 Propensão marginal a poupar 445 Propensão marginal ao consumo 46 201 526 Propriedade de aditividade 439 Propriedade de invariância 362 Q Qualificação de restrição 391 394397 Quociente de diferença 122123 R Radiano 494 Raiz latente 292n Raízes características Veja Raízes características complexas 487489 492 549550 556 de equação polinomial 3840 519 de equação quadrática 36 3840 487489 dominantes 551 reais 487489 547548 555 559560 Raízes características condição de sinal definido da forma quadrática e 292296 de equação de diferenças 547552 de equação diferencial 486490 de sistema de equações de diferenças 572 de sistema de equações diferenciais 576 dominação de 551 estabilidade dinâmica de equilíbrio e 489490 504 550552 Raízes duplas 488 Raízes múltiplas 488 Raízes reais 487489 distintas 487488 547548 repetidas 488489 548 555 559560 Recíproca 57 Recurso exaurível 621623 Regra da cadeia 155157 182 185 275 Regra da função composta 156 Veja também Regra da cadeia Regra da função constante 143144 179 Regra da função de potência 144147 de integração 428 para encontrar a diferencial total 179 Regra da função de uma função 156 Veja também Regra da cadeia Regra da função exponencial da diferenciação 264 da integração 429 Regra da função implícita 188189 192 367 Regra da função logarítmica da diferenciação 263264 da integração 429 Regra da somadiferença 147150 Regra da substituição 432433 Regra de Cramer 101105 Regra de LHôpital 378 379 Regra do produto 149151 179 Regra do quociente 153 179 Regra monetária 604 Regras de diferenciação regra da cadeia 156157 182 185 regra da função constante 143144 179 regra da função exponencial 144147 179 regra da função exponencial 264 regra da função implícita 188189 192 367 regra da função logarítmica 263264 regra da somadiferença 147150 179 regra do produto 149151 179 regra do quociente 153 179 Regras de integração integração por partes 433434 440 regra de potência 428 regra de substituição 432433 regra exponencial 429 regra logarítmica 429 regras de operações 429432 Relação de Phillips 511 com expectativas aumentadas 511512 558 de longo prazo 515 561562 Relação lateral 330 Veja também Restrição Relação 17 Relações de Euler 496498 Renda marginal Índice 657 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA inclinação ascendente 229 versus renda média 151153 Renda média em relação à demanda 315316 versus renda marginal 151153 Resto forma de Lagrange para o 236237 símbolo para 234n Restrição casos de múltiplas restrições 336 344 de capacidade 399402 de desigualdade 383387 efeitos da 329331 em programação nãolinear 383387 linear 395398 orçamentária 330 355 397398 razão 397398 Restrição de capacidade 399402 Restrição de nãonegatividade 381382 Restrição de racionamento 397398 Restrição orçamentária 330 355 397398 Restrição 330 Veja também Limitação Restrições de desigualdade 383387 Restrições lineares 395397 Reta a 45 graus 540 Reta real 10 Reta terminal horizontal truncada 615618 horizontal 615 vertical truncada 615 Retorno financeiro 221 Retornos constantes de escala Constant returns to scale CRTS 364 366367 370 376 Retornos de escala constantes Veja Retornos constantes de escala CRTS crescentes e decrescentes 370 380 Retornos decrescentes 228 478 Risco atitudes em relação ao 221222 S Samuelson P A 45n 520n 552 Série de Maclaurin 231 convergente 248 da função seno 497 de função coseno 497 de função exponencial 248 de função polinomial 231 Série de potências 230 Série de Taylor 230 com resto 234 convergente 237 de funções polinomiais 233 de funções 599 extremo relativo e 238240 Série Veja também Série de Maclaurin Série de Taylor convergência de 237 248 de potência 230 infinita 248 496498 Séries infinitas 248 496498 Silverberg E 406n Símbolos de operador 144 matemáticos 632634 para resto 234n Simon H A 114n Sinal de integral 427 Sinal de somatório 5758 Sistema de equações consistência e independência em 4445 84 dinâmica de Veja Equações de diferenças simultâneas Equações diferenciais simultâneas homogêneas 103104 117 572 575 lineares 49 7678 104 Sistema de números reais 910 Sistemas dinâmicos gênese de 569571 Smith W J 229n Solow R M 45n 376n 453 477 Solução 34 de desigualdades 134 de fronteira versus interior 382 economicamente nãovinculatória 399 forma reduzida 325 matematicamente vinculatória 399 nãoconstante 458 nãonegativa 114116 nãotrivial 104 577 resultados para sistemas de equações lineares 104105 trivial 103 verificação de 458459 Solução de fronteira 382 Solução economicamente nãovinculadora 399 Solução interior 382 Solução matematicamente vinculadora 399 Solução nãoconstante 458 Solução nãonegativa 114116 Solução nãotrivial 104 577 Solução particular de equação de diferenças de ordem mais alta 546547 de equação de diferenças de primeira ordem 528 de equação de diferenças de termo variável 562565 de equação diferencial de ordem mais alta 484485 de equação diferencial de primeira ordem 457 458 de equação diferencial de termo variável 516518 de equações de diferenças simultâneas 574 de equações diferenciais simultâneas 576 equilíbrio intertemporal e 461 484 Solução particular Equações diferenciais simultâneas autônomas 475 classificação de 455456 463 466 471472 483 518 com variáveis separáveis 472 definida versus solução geral de 456 diagrama de fase para 475477 479480 exatas 466469 grau de 455 homogêneas 456 458 nãohomogêneas 456458 normalização de 455n reduzidas 457 solução particular de 456 Soluções de forma reduzida 325 Soma de quadrados 60 68 Soma ponderada de quadrados 68 Somando 57 Subconjunto 11 Subconjunto apropriado 12 Substituição elasticidade de 375 376 taxa marginal de 356 taxa marginal de técnica 190 370 375n Substitutos 41 316 320 321 Suen W 406n Superfície 25 côncava ou convexa 346 hipersuperfície 26 utilidade 357358 T Takayama A 116n 350n Taxa de câmbio fixa 204 Taxa de crescimento encontrando 272274 instantânea 251252 272274 Taxa de depreciação 253 Taxa de inflação esperada 514 Taxa de variação 122 instantânea 123 proporcional 272n Índice 658 ELSEVIER M A T E M Á T I C A P A R A E C O N O M I S T A S ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA Taxa instantânea de crescimento 251253 272274 Taxa instantânea de variação 123 Taxa marginal de substituição técnica 370 elasticidade de substituição e 375n valor absoluto e 190 Taxa marginal de substituição 355356 Tempo contínuo 425 Tempo discreto 425 equações de diferenças e 523524 estabilidade dinâmica de equilíbrio com 530533 550552 Teorema da continuidade 137138 Teorema da função implícita 187 189n 190191 192 aplicado a modelos de otimização 325327 334335 358 aplicado a modelos de renda nacional 194 200203 procedimento de aplicação 206207 Teorema da suficiência de ArrowEnthoven 404 Teorema de De Moivre 500 549 Teorema de Euler 365366 368369 Teorema de Pitágoras 65 491 610 Teorema de Routh 520521 567 Teorema de Schur 575 Teorema de suficiência de KuhnTucker 403 Teorema de Taylor 233 Teorema de Young 281 409 410 Teorema do envelope 406420 dedução da identidade de Roy e 416 funções valor máximo e 406413 para otimização restrita 406412 para otimização sem restrição 406410 Teorema do limite da somadiferença 136 Teorema do limite do produto 136 Teorema do limite do quociente 136 Teorema do valor médio 236 Teoremas de limite 135137 Teoremas de suficiência 403406 Teoria do controle ótimo 607628 aplicações econômicas de 620623 condições terminais alternativas e 615619 princípio do máximo de Pontryagin em 609614 problemas autônomos em 619 Teste com determinante para condição de definição de sinal de forma quadrática 287289 para extremo relativo restrito 344 para extremo relativo 301 Teste da derivada primeira 213216 Teste da derivada segunda 223 239 Teste da nésima derivada 240241 Teste de qualificação de restrição 405 Timing ótimo 268272 Trajetória de expansão 372373 Trajetória de fase 593 Trajetória temporal análise do diagrama de fase de Veja Diagrama de fase com flutuação degrau 551552 555 556 560561 com flutuação 504505 512515 com oscilação 535536 539 543544 constante 460 560 convergente 504 do preço 507510 nãoconvergente divergente 504 nãooscilatória enãoflutuante 555556 tipos de 475477 538 542544 Transformação 1819 570571 Transitividade 132 Transposta 7273 Tripla ordenada 17 Tucker A W 381n 403 U Utilidade esperada de jogar 221 Utilidade marginal do dinheiro 356 Utilização coeficiente de 452 V Valores absoluto Veja Valor absoluto crítico 214 de equilíbrio 33 de função 19 20 de produto marginal 322 estacionário 214 331337 extremo 212 279286 ótimo 212 presente 253 447448 449 Valor absoluto de números complexos 492 desigualdade e 133 mais alto de raiz dominante 551 taxa marginal de substituição técnica e 190 Valores de equilíbrio 33 Valores estacionários 214 331336 Variação taxa de Veja Taxa de variação Variáveis endógenas determinante jacobiano de 194 198 202 325326 334 versus variáveis exógenas 78 Variáveis exógenas 78 Variável contínua 425 Variável de dimensão n 292 336 Variávelis 287 contínua versus discreta 425 de coestado 609 de controle 607 de escolha 212 de estado 607 609 definição 7 dependente versus independente 19 eliminação de 34 109 114 endógena versus exógena 78 expoentes como 244 Versão de minimização das condições de KuhnTucker 389 Vetores adição de 6162 característicos 292 293 coluna 51 54 5556 combinação convexa de 311313 como matrizes 5152 interpretação geométrica de 6062 linha 51 54 5556 nulo 61 6263 ortogonais 294 ortonormais 294 raio 60 teste 393395 unitário 63 zero 61 6263 Vetor de dimensão n 60 Vizinhança 129 Vórtice 504 602 W Walras L 43 45n Z Zeros de uma função 36 Índice 659 C H I A N G W A I N W R I G H T ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA ED CAMPUS MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS 1014 CAPÍTULO 5 3ª PROVA