Prova de Economia Matemática 1 - Análise e Resolução de Sistemas Lineares

Economia Matemática Prova 1 04 de Julho de 2017 Nome RA 1 10 ponto Classique cada armação abaixo como verdadeira V ou falsa F Cada resposta errada anula uma resposta correta Respostas em branco são ignoradas ou seja não somam nem subtraem ponto a Seja M uma matriz quadrada idempotente ou seja M 2 M Se M for invertível então M é a matriz identidade b Seja A uma matriz quadrada Então existe uma matriz B tal que BA 2A c Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 podese armar que a soma de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação d Lembrando que uma matriz de permutação é uma matriz quadrada cujas entradas são números 0 ou 1 e tal que em cada linha e em cada coluna há exatamente um número 1 podese armar que o produto de matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação e Sejam y e ε matrizes n 1 β uma matriz k 1 e X uma matriz n k Se X ε 0 onde 0 é uma matriz n 1 de zeros então y Xβ ε implica que β X X1X y f Se uma matriz é idempotente então ela é singular g Seja A uma matriz triangular de ordem n n então AA é simétrica h Seja A uma matriz invertível e A1 sua inversa então detA1 1detA i Toda matriz diagonal é singular j Um sistema de equações lineares com matriz de coecientes A e matriz aumentada ˆA possui solução se e somente se rankA rank ˆA 1 2 20 pontos Use a eliminação de GaussJordan na forma matricial para resolver o sistema w 2x y z 9 2w x y z 6 w x y z 0 2w 2x y 2 2 3 25 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1 bm a 1 2 3 4 b 1 4 3 3 2 1 c 3 1 2 4 1 3 d 1 4 3 4 2 0 2 2 2 e 1 4 3 4 2 0 0 7 6 4 20 pontos Inverta a seguinte matriz 1 2 2 1 0 3 3 4 1 0 3 2 0 2 1 0 6 5 25 pontos Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema de equações 2x1 x2 6 4x1 3x2 x3 21 x1 4x3 3 8 Economia Matemática Prova 1 04 de Julho de 2017 Nome RA 1 25 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1 bm a 1 2 3 4 b 1 4 3 3 2 1 c 3 1 2 4 1 3 d 1 4 3 4 2 0 2 2 2 e 1 4 3 4 2 0 0 7 6 2 25 pontos Use a eliminação de GaussJordan na forma matricial para resolver o sistema w 2x y z 18 2w x y z 12 w x y z 0 2w 2x y 4 3 3 25 pontos Inverta a seguinte matriz 2 2 2 1 0 3 3 4 2 0 3 2 0 2 1 0 5 4 25 pontos Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema de equações 2x1 x2 12 4x1 3x2 x3 42 x1 4x3 6 7 Economia Matemática Prova 1 19 de Julho de 2018 INSTRUÇÕES 1 A prova tem 2 horas de duração 2 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 3 Explique os seus raciocínios de forma clara e sucinta 4 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 35 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1 bm Justifique suas respostas a 1 2 3 4 b 1 4 3 3 2 1 c 3 1 2 4 1 3 d 1 4 3 4 2 0 2 2 2 e 1 4 3 4 2 0 0 7 6 2 20 pontos Prove que a 10 ponto Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível então M é a matriz identidade b 10 ponto Se P é uma matriz de permutação m m e A é n m então AP é a matriz A com suas colunas permutadas de acordo com P Se pkj 1 então a jésima coluna de AP será a késima coluna de A 3 15 ponto Seja uma economia habitada por N indivíduos indexados por i 1 N Nesta economia existem três bens cujos preços são p1 p2 e p3 O indivíduo i 1 N possui dotação exógena eil do bem l 1 2 3 A demanda do indivíduo i pelo bem l é dada por xil p1 e1i p2 e2i p3 e3i p1 p2 p3 O mercado do bem l está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta ou seja Ni1 xil Ni1 eil el Com base nessas informações e tendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes responda a 10 ponto Existe um vetor de preços p p1 p2 p3 que equilibra todos os mercados simultaneamente Caso esse vetor exista ele é único Explique b 05 ponto Que restrição deve ser imposta sobre as dotações iniciais totais e1 e2 e3 para que exista um equilíbrio em que p1 p2 p3 0 1 4 20 pontos Considere o modelo ISLM abaixo Equilíbrio no mercado de bens e serviços Y C I G Consumo C α βY T Tr γi 0 β 1 Tributação T ηY 0 η 1 Transferências Tr θY 0 θ η Investimento I µY φi Equilíbrio no mercado monetário M s ρY λi Todos os parâmetros são estritamente positivos a 10 ponto Use a regra de Cramer para encontrar o produto Y e a taxa de juros i que equilibram a economia b 05 ponto Mostre como um aumento em M s impacta Y e i c 05 ponto Mostre como um aumento em θ impacta Y e i 5 10 ponto Considerando a matriz A e o vetor v abaixo calcule o ângulo formado entre o vetor v e o vetor u Av A 0 1 0 1 0 0 0 0 1 e v 0 1 0 2 Economia Matemática Prova 1 19 de Julho de 2018 INSTRUÇÕES 1 A prova tem 2 horas de duração 2 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 3 Explique os seus raciocínios de forma clara e sucinta 4 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 35 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1 bm Justifique suas respostas a 3 2 1 1 4 3 b 1 1 3 2 c 1 4 3 2 2 2 4 2 0 d 4 3 1 4 0 8 7 6 0 e 3 1 1 3 2 4 2 20 pontos Prove que a 05 ponto detS1AS detA b 05 ponto Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível então M é a matriz identidade c 10 ponto Sejam A e B duas matrizes n n Se AB BA então detA detB detB detA para n par 3 15 ponto Seja uma economia habitada por N indivíduos indexados por i 1 N Nesta economia existem três bens cujos preços são p1 p2 e p3 O indivíduo i 1 N possui dotação exógena eil do bem l 1 2 3 A demanda do indivíduo i pelo bem l é dada por xil p1 e1i p2 e2i p3 e3i p1 p2 p3 O mercado do bem l está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta ou seja Ni1 xil Ni1 eil el Com base nessas informações e tendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes responda a 10 ponto Existe um vetor de preços p p1 p2 p3 que equilibra todos os mercados simultaneamente Caso esse vetor exista ele é único Explique b 05 ponto Que restrição deve ser imposta sobre as dotações iniciais totais e1 e2 e3 para que exista um equilíbrio em que p1 p2 p3 0 1 4 20 pontos Considere o modelo ISLM abaixo Equilíbrio no mercado de bens e serviços Y C I G Consumo C α βY T Tr γi 0 β 1 Tributação T ηY 0 η 1 Transferências Tr θY 0 θ η Investimento I µY φi Equilíbrio no mercado monetário M s ρY λi Todos os parâmetros são estritamente positivos a 10 ponto Use a regra de Cramer para encontrar o produto Y e a taxa de juros i que equilibram a economia b 05 ponto Mostre como um aumento em M s impacta Y e i c 05 ponto Mostre como um aumento em θ impacta Y e i 5 10 ponto Considerando a matriz A e o vetor v abaixo calcule o ângulo formado entre o vetor v e o vetor u Av A 32 0 12 0 1 0 12 0 32 e v 0 0 1 2 Economia Matemática Prova 1 23 de Julho de 2019 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos A questão bônus apenas permite recuperar pontos eventualmente perdidos nas demais questões 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1bm Justifique suas respostas a 1 4 1 4 2 1 b 5 4 3 2 c 1 4 1 2 8 2 d 1 4 3 4 2 0 0 7 6 e 3 2 2 4 3 1 2 20 pontos Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores f 1 2 0 3 g 2 0 4 2 e h 0 8 2 2 Existem outros vetores unitários ortogonais a f g e h Justifique 3 20 pontos De acordo com a teoria do valortrabalho o valor de um bem é medido pelo número de horas socialmente necessárias para produzilo Esse valor advém das horas empregadas na etapa de produção do bem e das horas incorporadas nos bens intermediários utilizados na sua produção Assim se aij é a quantidade do bem j utilizada na produção de uma unidade do bem i e vj é o valor de uma unidade do bem j então aijvj é o valor do bem i derivado do bem j Sendo assim o valor de uma unidade do bem i proveniente dos seus insumos é dado por ⁿj1 aijvj onde n é o número de bens existentes na economia Como o valor de uma unidade do bem i também depende do trabalho empregado na sua produção denotado por θi temos que o valor de uma unidade do bem i é vi nj1 aijvj θi para i 1n Represente o sistema que define o valor dos bens na forma matricial e encontre uma expressão para v v1vn Qual condição deve ser satisfeita para que v esteja bem definido 4 20 pontos Imagine duas firmas i 1 2 que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida qi O comportamento ótimo maximizador de lucro da firma i é determinado pela seguinte equação a 2qi qj ci 0 onde a 0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e ci 0 é uma medida de custo da firma i a 10 ponto Sabendo que em equilíbrio ambas as firmas comportamse otimanente encontre as quantidades produzidas q1 e q2 via regra de Cramer b 05 ponto Que condição deve ser imposta para que em equilíbrio q1 0 Interprete c 05 ponto Que condições devem ser impostas para que em equilíbrio q1 q2 0 Interprete 5 10 ponto Prove que se ATA I então detA 1 6 Questão Bônus 20 pontos Seja I a matriz identidade n n e U uma matriz n n de uns ou seja todos os elementos são iguais a 1 Prove que detI U n 1 2 Economia Matemática Prova 1 23 de Julho de 2019 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos A questão bônus apenas permite recuperar pontos eventualmente perdidos nas demais questões 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1bm Justifique suas respostas a 1 4 3 4 2 0 0 7 6 b 1 4 1 2 8 2 c 3 2 2 4 3 1 d 1 4 1 4 2 1 e 5 4 3 2 2 20 pontos Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores f 1 2 0 3 g 3 0 2 1 e h 0 3 1 2 Existem outros vetores unitários ortogonais a f g e h Justifique 3 20 pontos Quando se analisa uma rede social frequentemente se deseja calcular uma medida de centralidade às vezes chamada de medida de prestígio de cada indivíduo Uma dessas medidas proposta por Katz estabelece que o prestígio do indivíduo i denotado por pi é uma soma ponderada do prestígio das pessoas com quem esse indivíduo está conectado Especificamente pi ⁿj1 gijpj onde 0 gij 1 se os indivíduos i e j estão conectados e gij 0 caso contrário Por convenção gii 0 Expresse matricialmente o problema de cálculo de p p1pn Qual condição deve ser satisfeita para que exista p 0 4 20 pontos Imagine duas firmas i 12 que competem em um mercado escolhendo cada uma o seu respectivo preço pi O comportamento ótimo maximizador de lucro da firma i é determinado pela seguinte equação a c bpj 2pi 0 onde a 0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado c 0 é uma medida de custo das firmas e b 0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens a 10 ponto Sabendo que em equilíbrio ambas as firmas comportamse otimanente encontre os preços p1 e p2 via regra de Cramer b 05 ponto Qual condição deve ser imposta para que p1 e p2 estejam bem definidos c 05 ponto Como os preços respondem a um aumento em b 5 10 ponto Sejam A B e C matrizes n n tais que C ABA¹ Se C é idempotente o que podemos dizer sobre B Demonstre 6 Questão Bônus 20 pontos Seja I a matriz identidade n n e U uma matriz n n de uns ou seja todos os elementos são iguais a 1 Prove que detI U n 1 Economia Matemática Prova 1 4 de novembro de 2020 Instruções 1 A prova é individual 2 A prova vale 10 pontos 3 A prova tem 96 horas de duração a partir do momento de sua publicação no TIDIA 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e detalhada 5 A resolução deve obrigatoriamente ser digitada 6 As expressões matemáticas devem obrigatoriamente ser digitadas usando o formato mate mático como nas notas de aula no livro ou nas questões desta prova 7 A resolução deve ser enviada para o email do professor em dois arquivos i no formato do editor de texto utilizado e ii em formato pdf 8 Ambos os arquivos devem ser nomeados da seguinte maneira Economat P1 Prova 1 Nome Completo do Aluno Número de Matrícula Exemplo Economat P1 Maximiliano Barbosa da Silva 123456789 Esse deve ser o mesmo título do email enviado para o professor 1 30 pontos Considere os cinco últimos algarismos do seu número de matrícula Chameos de a b c d e Por exemplo 210edcba As seguintes cinco matrizes são matrizes de coecientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b1 bm 0 e ii para um lado direito geral b1 bm Justique suas respostas 1 a 1 4 1 a b c b 6 4 d e c b 4 1 a b c d 1 4 3 d e a 0 e a e 3 2 b c 3 1 2 20 pontos Seja uma economia habitada por N indivíduos indexados por i 1N Nesta economia existem cinco bens cujos preços são p₁ p₂ p₃ p₄ e p₅ O indivíduo i 1N possui dotação eᵢₗ do bem l 1 2 3 4 5 A demanda do indivíduo i pelo bem l é dada por xᵢₗ ⁵ⱼ₁ pⱼ eⱼⁱ 5pₗ O mercado do bem l está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta ou seja ᴺᵢ₁ xᵢₗ ᴺᵢ₁ eᵢₗ eₗ Mantendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes fixe um dos preços igual a 1 e encontre os demais pela regra de Cramer 3 20 pontos Seja a matriz E abaixo Prove que detE 0 E 1 n e₁ e₂ eₙ e₁ 1 n e₂ eₙ e₁ e₂ 1 n eₙ 4 30 pontos Considere uma população de n 1 indivíduos que formam um rede de conexões sociais recíprocas Essa rede é representada por uma matriz de adjacência G de tamanho n n Os elementos dessa matriz dizem se dois indivíduos estão conectados ou não Especificamente gii 0 para todo i 1n gij 0 se i e j não estão conectados i j gij 1 se i e j estão conectados i j Por exemplo considere a rede social ilustrada abaixo A sua matriz de adjacência é a seguinte G 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 a 15 ponto Suponha n 2 e que essa sociedade se divide em dois tipos de indivíduos os ímpares 1 3 e os pares 2 4 Não existem conexões entre indivíduos de um mesmo tipo apenas entre indivíduos de tipos diferentes Suponha que cada indivíduo ímpar esteja conectado a todos os indivíduos pares Se n for par a matriz de adjacência é invertível E se n for ímpar Prove b 15 ponto Um passeio entre dois indivíduos i e j numa rede social é uma sequência de links não necessariamente distintos entre eles Por exemplo na gura acima l4 é um passeio do indivíduo 3 até o indivíduo 4 Da mesma forma a sequência l4 l5 l6 l4 é outro passeio de 3 até 4 A sequência l4 l4 é um passeio do indivíduo 3 até ele mesmo O comprimento de um passeio é igual ao seu número de links Proponha uma fórmula em termos de G que calcula o número de passeios de comprimento x N entre dois indivíduos quaisquer distintos ou não da rede social Sugestão teste com n 2 então teste com n 3 e então generalize 3 Economia Matemática Prova 1 1 de julho de 2021 Instruções 1 A prova é individual 2 A prova vale 10 pontos 3 O prazo máximo para entrega da resolução da prova é segundafeira 05072021 às 235959 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e detalhada 5 Recomendase que a resolução seja digitada com as expressões em formato matemático como no livro e nas notas de aula por exemplo com índices como subscritos etc Porém caso algum aluno prera escrever à mão e então digitalizar as suas respostas é de sua inteira responsabilidade se assegurar que o arquivo nal esteja legível sob o risco de o professor não conseguir ler e consequentemente não atribuir crédito ao aluno pela resolução que ele tiver diculdade para ler 6 A resolução deve ser enviada pela página do curso no TIDIA em formato pdf 7 O arquivo deve ser nomeado da seguinte maneira Economat P1 Nome Completo do Aluno Número de Matrícula Exemplo Economat P1 Maximiliano Barbosa da Silva 123456789 8 No arquivo no topo da primeira página também inclua o seu nome completo o seu número de matrícula e o período diurno ou noturno em que está matriculado 9 Para responder as questões a seguir represente os últimos cinco algarismos do seu número de matrícula por A B C D e E Por exemplo se o seu número de matrícula é 123456789 então A 9 B 8 C 7 D 6 e E 5 1 1 40 pontos As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente i quando o lado direito é b₁ bₘ 0 e ii para um lado direito geral b₁ bₘ Justifique suas respostas a 3 2 3 A B C b 3 2 D E c B 1 4 A B C d 1 2 3 D E A 0 E A e 3 2 B C 2 3 2 30 pontos Imagine n maxA B C D E firmas i 1 n que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida qᵢ O comportamento ótimo maximizador de lucro da firma i é determinado pela seguinte equação a 2qᵢ ji qⱼ c 0 1 onde a 0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e c 0 é uma medida de custo da firma Note que a e c são iguais para todas as firmas assim como a forma funcional da equação 1 Sabendo que em equilíbrio todas as firmas comportamse otimamente encontre as quantidades produzidas q₁ qₙ via regra de Cramer 3 30 pontos Se v₁ v₂ v₃ formam um conjunto de vetores linearmente independentes então as diferenças u₁ v₂ v₃ u₂ v₁ v₃ e u₃ v₁ v₂ são linearmente dependentes ou linearmente independentes Prove Economia Matemática Prova 1 26 de Julho de 2022 Instruções 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos Dê um exemplo de matriz de coecientes A com pelo menos 2 linhas e 2 colunas tal que o sistema de equações lineares Ax b tenha a 075 ponto 0 ou 1 solução dependendo de b b 075 ponto innitas soluções independentemente de b c 075 ponto 0 ou innitas soluções dependendo de b d 075 ponto 1 solução independentemente de b 2 20 pontos Sejam os vetores u 1 0 2 v 1 3 1 e w 1 1 1 e considere as seguintes matrizes U x 1 2 0 3 5 2 2 2 V 1 1 2 0 y 1 1 3 2 e W 2 1 2 1 4 1 2 3 z Utilizando a regra de Cramer determine x y e z de forma que os vetores u Uu v V v e w Ww sejam ortogonais 3 20 pontos Seja A uma matriz de tamanho n n Suponha que AT A Essa matriz é invertível quando n é ímpar Justique 4 20 pontos Seja A uma matriz de tamanho m n onde m n Prove que A possui inversa à direita se e somente se rankA m Havendo inversa à direita de A ela é única Por quê 5 10 ponto Seja A V BV 1 Encontre uma expressão para An onde n é um número inteiro positivo 1 Economia Matemática Prova 1 26 de Julho de 2022 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos Dê um exemplo de matriz de coeficientes A com pelo menos 2 linhas e 2 colunas tal que o sistema de equações lineares Ax b tenha a 075 ponto 0 ou 1 solução dependendo de b b 075 ponto infinitas soluções independentemente de b c 075 ponto 0 ou infinitas soluções dependendo de b d 075 ponto 1 solução independentemente de b 2 25 pontos Sejam os vetores u 10 2 v 1 3 1 e w 1 1 1 e considere as seguintes matrizes U x 1 2 0 3 1 2 1 0 V 1 1 2 0 y 1 1 3 2 e W 2 1 2 1 3 1 2 0 z Utilizando a regra de Cramer determine x y e z de forma que os vetores ũ Uu ṽ Vv e w Ww sejam ortogonais Encontre os vetores unitários correspondentes para ũ ṽ e w 3 25 pontos Seja A uma matriz de tamanho nn Suponha que a soma de todos os elementos de cada linha seja igual a 1 j1n aᵢⱼ 1 para todo i 1 n Qual é detA I Justifique 4 20 pontos Sejam β e b dois vetores no Rᵏ Sejam y e ε dois vetores no Rⁿ Finalmente seja X uma matriz nk Sendo b XᵀX1Xᵀy e y Xβ ε mostre que b β XᵀX1Xᵀε Economia Matemática Prova Substitutiva da P1 26 de agosto de 2022 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz atribua um valor para x e um valor para y quando houver y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas Justifique suas respostas a 05 ponto 1 2 x 4 1 única solução para qualquer b b₁ b₂ b 05 ponto 1 x 3 1 2 y 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁ b₂ b₃ c 05 ponto 2 1 2 x 1 4 0 ou 1 solução a depender de b b₁ b₂ b₃ d 05 ponto 1 4 x 3 y 1 infinitas soluções para qualquer b b₁ b₂ e 05 ponto 3 4 x 6 y 2 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁ b₂ f 05 ponto 1 4 3 4 x 0 3 2 1 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁ b₂ b₃ 2 25 pontos Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores f 1 2 0 3 g 2 0 4 2 e h 0 8 2 2 Existem outros vetores unitários ortogonais a f g e h Justifique 3 25 pontos Seja A uma matriz de tamanho nn Suponha que a soma dos elementos de cada linha seja igual a 1 j1ⁿ aᵢⱼ 1 para todo i 1 n Qual é detA I Justifique 4 20 pontos Sejam A B e C matrizes nn tais que C ABA1 Se C é idempotente o que podemos dizer sobre detB Demonstre Economia Matemática Prova Substitutiva da P1 26 de agosto de 2022 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz atribua um valor para x e um valor para y quando houver y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas Justifique suas respostas a 05 ponto 1 2 x 4 1 única solução para qualquer b b₁b₂ b 05 ponto 1 x 3 1 2 y 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂b₃ c 05 ponto 2 1 2 x 1 4 0 ou 1 solução a depender de b b₁b₂b₃ d 05 ponto 1 4 x 3 y 1 infinitas soluções para qualquer b b₁b₂ e 05 ponto 3 4 x 6 y 2 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂ f 05 ponto 1 4 3 4 x 0 3 2 1 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂b₃ 2 25 pontos Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos seguintes vetores f 1302 g 1223 e h 1412 Existem outros vetores unitários ortogonais a f g e h Justifique 3 25 pontos Seja A a seguinte matriz n n A λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ Mostre que se λ 1 n então detA 0 4 20 pontos Prove que 05 ponto detS1AS detA 05 ponto Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível então M é a matriz identidade 10 ponto Sejam A e B duas matrizes n n Se AB BA então detA detB detB detA para n ímpar 2 Economia Matemática Prova 1 27 de março de 2023 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos Dê um exemplo de matriz de coeficientes A com pelo menos 2 linhas e 2 colunas tal que o sistema de equações lineares Ax b tenha a 075 ponto 0 ou 1 solução dependendo de b b 075 ponto infinitas soluções independentemente de b c 075 ponto 0 ou infinitas soluções dependendo de b d 075 ponto 1 solução independentemente de b 2 25 pontos Sejam os vetores u 102 v 131 e w 111 e considere as seguintes matrizes U x 1 2 0 3 1 2 1 0 V 1 1 2 0 y 1 1 3 2 e W 2 1 2 1 3 1 2 0 z Utilizando a regra de Cramer determine x y e z de forma que os vetores ũ Uu ṽ Vv e ẇ Ww sejam ortogonais Encontre os vetores unitários correspondentes para ũ ṽ e ẇ 3 25 pontos Seja A uma matriz de tamanho n x n Suponha que a soma dos elementos de cada linha seja igual a k ₙⱼ₁ᶰ aᵢⱼ k para todo i 1 n Qual é detA kI Justifique 4 20 pontos Seja A uma matriz de tamanho n x n Suponha que Aᵀ A Qual condição deve ser satisfeita por n para que A seja invertível Essa condição é necessária ou suficiente ou ambas Justifique Economia Matemática Prova Substitutiva da P1 27 de abril de 2023 INSTRUÇÕES 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz atribua um valor para x e um valor para y quando houver y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas Justifique suas respostas a 05 ponto 1 2 x 4 1 única solução para qualquer b b₁b₂ b 05 ponto 1 x 3 1 2 y 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂b₃ c 05 ponto 2 1 2 x 1 4 0 ou 1 solução a depender de b b₁b₂b₃ d 05 ponto 1 4 x 3 y 1 infinitas soluções para qualquer b b₁b₂ e 05 ponto 3 4 x 6 y 2 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂ f 05 ponto 1 4 3 4 x 0 3 2 1 0 ou infinitas soluções a depender de b b₁b₂b₃ 2 20 pontos Imagine 4 firmas que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida qᵢ O comportamento ótimo maximizador de lucro da firma i é determinado pela seguinte equação a 2qᵢ ji qⱼ c 0 onde a 0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e c 0 é uma medida de custo da rma Note que a e c são iguais para todas as rmas assim como a forma funcional da equação 1 Sabendo que em equilíbrio todas as rmas comportamse otimamente encontre as quantidades produzidas q1 qn via regra de Cramer 3 20 pontos Seja A a seguinte matriz n n A λ 1 1 1 λ 1 1 1 λ Mostre que se λ 1 n então detA 0 4 30 pontos Prove que 10 ponto detS1AS detA 10 ponto Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível então M é a matriz identidade 10 ponto Sejam A e B duas matrizes n n Se AB BA então detA detB detB detA para n ímpar 2 a 10 ponto Sabendo que em equilíbrio ambas as rmas comportamse otimamente en contre as quantidades produzidas q1 e q2 via regra de Cramer b 05 ponto Que condição deve ser imposta para que em equilíbrio q1 0 Interprete c 05 ponto Que condições devem ser impostas para que em equilíbrio q1 q2 0 Interprete 5 10 ponto Prove que se ATA I então detA 1 2 Resolução 5 a Como a matriz não é quadrada vamos analisar os postos das matrizes o posto da matriz é 2 e da matriz aumentada 2 número de variáveis são 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução para os dois casos b 0 0 0 e b b1 b2 b3 b Como é uma matriz quadrada podemos calcular o determinante 5 4 3 210122 i b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 c Como a matriz não é quadrada vamos analisar os postos das matrizes o posto da matriz é 2 e da matriz aumentada 2 número de variáveis são 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução para os dois casos b 0 0 0 e b b1 b2 b3 d Como é uma matriz quadrada podemos calcular o determinante 1 4 3 4 2 0 0 7 6 0 i b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesincluindo asoluçãotrivial ii b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesnãoincluindo asoluçãotrivial e Como a matriz não é quadrada vamos analisar os postos das matrizes o posto da matriz é 2 e da matriz aumentada 3 quando o sistema tem o posto da matriz aumentada maior isso indica que o sistema não tem solução para os dois casos b 0 0 0 e b b1 b2 b3 Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar é igual a zero ou seja considere ux y z w o vetor ortogonal a fg e h uf x2 y3w0 u g02 x4 z2w0 uh08 y2 z2w0 Considera a matriz de coeficientes 1 2 0 3 2 0 4 2 0 8 2 2 Agora considere a matriz aumentada 1 2 0 3 0 2 0 4 2 0 0 8 2 2 0 Usando o método de GaussJordan 1º Passo 1 2 0 3 0 1 0 2 1 0 L2 L22 0 4 1 1 0 L3 L32 2 Passo 1 2 0 3 0 0 2 2 2 0 0 4 1 1 0 L2 L2L1 3º Passo 1 2 0 3 0 0 1 1 1 0 0 4 1 1 0 L2 L22 4º Passo 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 4 1 1 0 L1 L12L2 5º Passo 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 5 5 0 L3 L34L2 6º Passo 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 5 5 0 L2 1L2 7º Passo 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 L3 L35 8º Passo 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 L1 L1 2L3 0 0 1 1 0 L2 L2 L3 Assim temos que x3w0x3w y0 zw0 zw Solução ux y z w 3 w0ww Onde w pode ser qualquer valor existente no número reais assim temos que existem várias soluções para o sistema Vamos apresentar a vetor v na forma matricial vAvθ Onde vv1v2vn é o vetor de valores dos bens A é uma matriz nn em que cada elemento aij representa a quantidade do bem j utilizada na produção de uma unidade do bem i θθ1θ2θn é o vetor de trabalho empregado na produção de cada bem Agora para que v esteja bem definido a equação vAvθ deve ter uma única solução Isso ocorre quando a matriz A é invertível ou seja possui determinante não nulo Portanto a condição que deve ser satisfeita para que v esteja bem definido é que o determinante de A seja diferente de zero det A 0 Isso garante que o sistema de equações seja consistente e tenha uma única solução para os valores dos bens v a Considere a equação de lucro para cada firma α2q1q2c102q1q2c1α α2q2q1c20q12q2c2α Logo temos que A 2 1 1 2x q1 q2e b c1α c2α Calculando os determinantes temos A 2 1 1 2413 A1 c1α 1 c2α 22c1α1c2α2c12α c2α2c1c2α A2 2 c1α 1 c2α2c2α1c1α2c22αc1α2c2c1α Usando a regra de Cramer q1 A1 A 2c1c2α 3 q2 A2 A 2c2c1α 3 b q102c1c2α 3 02c1c2α02c1c2α c1 c2α 2 c q1q22c1c2α 3 2c2c1α 3 6c13c23α6 c23c13α 9c19c2c1c2 Usando a propriedade de determinante det A T A det A T det A Sabemos que a determinante de uma matriz transposta é igual à determinante da matriz original det A T Adet A 2 Dado que A T AI det A T Adet I 1 Logo temos det A 2det A T A det A 2det I det A 21 det A 1 det A 1 Resolução 4 a Como a matriz não é quadrada vamos analisar os postos das matrizes o posto da matriz é 2 e da matriz aumentada 2 número de variáveis são 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução para os dois casos b 0 0 0 e b b1 b2 b3 b Como é uma matriz quadrada podemos calcular o determinante 1 1 3 2231 i b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 c Como é uma matriz quadrada podemos calcular o determinante 1 4 3 2 2 2 4 2 0 16 b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 d Como é uma matriz quadrada podemos calcular o determinante 4 3 1 4 0 8 7 6 0 0 i b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesincluindo asoluçãotrivial ii b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesnãoincluindo asoluçãotrivial e Como a matriz não é quadrada vamos analisar os postos das matrizes o posto da matriz é 2 e da matriz aumentada 3 quando o sistema tem o posto da matriz aumentada maior isso indica que o sistema não tem solução para os dois casos b 0 0 0 e b b1 b2 b3 a Usaremos a propriedade de determinante det S 1 A S det S 1 det A det S Sabemos que det S 1 1 det S det S 1 A S det S 1 det A det S 1 det S det A det S det A b Dado que M é invertível temos que M M 1I Onde I representa a Matriz identidade Lidando com a igualdade temos M 2M M MM Multiplicando os dois lados pela inversa teremos M M M 1M M 1 M M M 1M M 1M II Como M é uma matriz quadrada idempotente e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que M então o produto M I é igual a M logo teremos MI c Usando a propriedade de determinante temos det A B det A det B Como o determinante de uma matriz é uma constante um número usando a propriedade de multiplicação que a ordem dos fatores não altera o resultado det A B det A det Bdet B det A Logo podemos concluir que det ABdet A det B det ABdet B det A a O preço de equilíbrio do mercado devera ser igual a oferta assim temos i1 N xl i i1 N el iel xl i p1e1 i p2e2 i p3e3 i p1 p2 p3 Assim podemos concluir que i1 N xl iel i1 N p1e1 i p2e2 i p3e3 i p1 p2 p3 el 1 p1 p2 p3 i1 N p1e1 i p2e2 i p3e3 i ei i1 N p1e1 i i1 N p2e2 i i1 N p3e3 i ei p1 p2 p3 i1 N p1e1 i i1 N p2e2 i i1 N p3e3 i p1e1 p2e2 p3e3ei p1 p2 p3 Logo temos que ei p1e1 p2e2 p3e3 p1 p2 p3 Isso nos dá uma condição necessária para a existência de um vetor de preços que equilibre os mercados simultaneamente Quanto à unicidade do vetor de preços isso dependerá das dotações iniciais e das preferências dos indivíduos b Para que exista um equilíbrio em que p1p2p30 os preços dos três bens devem ser positivos e iguais entre si Isso significa que todos os bens têm o mesmo preço Agora vamos analisar a oferta total de cada bem A oferta total do bem 1 é dada por e1 a oferta total do bem 2 é dada por e2 e a oferta total do bem 3 é dada por e3 Para que p1p2p30 significa que todos os preços devem ser positivos Agora para que a oferta total de cada bem seja positiva el0 é necessário que as dotações iniciais totais para esses bens também sejam positivas Portanto a restrição a ser imposta sobre as dotações iniciais totais e1e2ee3 para que exista um equilíbrio em que p1p2p30 é que todas as dotações iniciais totais para os três bens sejam estritamente positivas Isso garantirá que os preços sejam positivos e iguais entre si a YCIG Considere e equação e Consumo Cα β Y TTr γiα β YηY θY γiα β 1ηθYγi β 1ηθ YCγiα Investimento μYIϕi0 Assim temos que A 1 1 1 0 β1ηθ 1 0 γ μ ρ 0 0 1 ϕ 0 λ Y C I i G α 0 M Achando o Determinante de A A1 β 1ηθ 0 γ μ 1 ϕ ρ 0 λ 1 1 1 0 μ 1 ϕ ρ 0 λ λβ 1ηθγρ A1 G 1 1 0 α 1 0 γ 0 M 0 0 1 ϕ 0 λ 1 α 0 γ 0 1 ϕ M 0 λ 1 G 1 0 0 1 ϕ M 0 λ αλγ M Gλϕ M λ αG M γϕ O produto que equilibrara a economia será Y A1 A λ αGM γϕ λβ 1ηθ γρ A4 1 1 1 G β 1ηθ 1 0 α μ ρ 0 0 1 0 0 M 1 β 1ηθ 0 α μ 1 0 ρ 0 M 1 1 1 G μ 1 0 ρ 0 M β 1ηθM αρM Gρμ M A taxa de juros que equilibrara a economia será i A4 A β 1ηθ M αρM GρμM λβ 1ηθγρ b Como a variação de M influencia no produto e na taxa de Juros Y M M λ αG M γϕ λβ 1ηθγρ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ Para cada aumento de M há um aumento de λ αGγϕ λβ 1ηθγρ no produto de equilíbrio Agora considerando a taxa de juros i M M β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ β 1ηθ 1μ λβ 1ηθ γρ Para cada aumento de M há um aumento de β 1ηθ1μ λβ 1ηθ γρ na taxa de juros de equilíbrio c Como a variação de θ influencia no produto e na taxa de Juros Y θ θ λ αGM γϕ λβ 1ηθ γρ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ 2 λβλβ λ αG γϕ λβ 1ηθ γρ 2 Para cada aumento de θ há uma diminuição de λβ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ 2 no produto de equilíbrio Agora considerando a taxa de juros i θ θ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ β M λβ 1ηθ γρβ 1ηθ M αρM GρμM λβ λβ 1ηθ γρ 2 β 2 λ M 1ηθ λβ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ 2 λβ β M 1ηθβ 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθ γρ 2 Para cada aumento de θ há uma diminuição de λβ β M 1ηθ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθ γρ 2 na taxa de juros de equilíbrio uAv 3 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 3 2 0 0 1 1 2 0 3 2 Considere θ o ângulo o ângulo formado por u e v cos θ u v uv uv1 2 0003 2 13 2 u 1 2 2 0 2 3 2 2 1 4 3 4 11 v 0 20 21 21 cos θ u v uv 3 2 113 2 cos θ 3 2 θarccos3 2 θ30º O ângulo formado por u e v é de 30º Resolução 3 a Calculando o Determinante det 1 2 3 44620 i b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 b Primeiro vamos calcular o posto da matriz 1 4 3 3 2 1L2L23 L1 1 4 3 0 10 8L2 L2 10 1 4 3 0 1 08L1L14 L2 1 0 02 0 1 08 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 2 número de variáveis 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução c Calculando o posto da Matriz 3 1 2 4 1 3 L3L33L1 3 1 2 4 8 0 L2L24 L1 3 1 10 0 8 0L3 L3 4 3 1 10 0 2 0L2 L2 5 3 1 2 0 2 0 L3L3L2 3 1 2 0 0 0 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 3 quando o sistema tem o posto da matriz aumentada maior isso indica que o sistema não tem solução d Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 2 2 2 402412320160 i b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 e Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 0 7 6 1208409600 i b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesincluindo asoluçãotrivial b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluções nãoincluindoa soluçãotrivial a Dado que M é invertível temos que M M 1I Onde I representa a Matriz identidade Lidando com a igualdade temos M 2M M MM Multiplicando os dois lados pela inversa teremos M M M 1M M 1 M M M 1M M 1M II Como M é uma matriz quadrada idempotente e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que M então o produto M I é igual a M logo teremos MI b An m e Pm m então A Pnm APij k1 m Aik Pkj Se Pkj1 então temos APij k1 m Aik Pkj k1 m Aij 1Aij Isso significa que a entrada i j de AP é igual à entrada correspondente i j de A Portanto AP é a matriz A com suas colunas permutadas de acordo com P e isso prova o resultado desejado a O preço de equilíbrio do mercado devera ser igual a oferta assim temos i1 N xl i i1 N el iel xl i p1e1 i p2e2 i p3e3 i p1 p2 p3 Assim podemos concluir que i1 N xl iel i1 N p1e1 i p2e2 i p3e3 i p1 p2 p3 el 1 p1 p2 p3 i1 N p1e1 i p2e2 i p3e3 i ei i1 N p1e1 i i1 N p2e2 i i1 N p3e3 i ei p1 p2 p3 i1 N p1e1 i i1 N p2e2 i i1 N p3e3 i p1e1 p2e2 p3e3ei p1 p2 p3 Logo temos que ei p1e1 p2e2 p3e3 p1 p2 p3 Isso nos dá uma condição necessária para a existência de um vetor de preços que equilibre os mercados simultaneamente Quanto à unicidade do vetor de preços isso dependerá das dotações iniciais e das preferências dos indivíduos b Para que exista um equilíbrio em que p1p2p30 os preços dos três bens devem ser positivos e iguais entre si Isso significa que todos os bens têm o mesmo preço Agora vamos analisar a oferta total de cada bem A oferta total do bem 1 é dada por e1 a oferta total do bem 2 é dada por e2 e a oferta total do bem 3 é dada por e3 Para que p1p2p30 significa que todos os preços devem ser positivos Agora para que a oferta total de cada bem seja positiva el0 é necessário que as dotações iniciais totais para esses bens também sejam positivas Portanto a restrição a ser imposta sobre as dotações iniciais totais e1e2ee3 para que exista um equilíbrio em que p1p2p30 é que todas as dotações iniciais totais para os três bens sejam estritamente positivas Isso garantirá que os preços sejam positivos e iguais entre si a YCIG Considere e equação e Consumo Cα β Y TTr γiα β YηY θY γiα β 1ηθYγi β 1ηθ YCγiα Investimento μYIϕi0 Assim temos que A 1 1 1 0 β1ηθ 1 0 γ μ ρ 0 0 1 ϕ 0 λ Y C I i G α 0 M Achando o Determinante de A A1 β 1ηθ 0 γ μ 1 ϕ ρ 0 λ 1 1 1 0 μ 1 ϕ ρ 0 λ λβ 1ηθγρ A1 G 1 1 0 α 1 0 γ 0 M 0 0 1 ϕ 0 λ 1 α 0 γ 0 1 ϕ M 0 λ 1 G 1 0 0 1 ϕ M 0 λ αλγ M Gλϕ M λ αG M γϕ O produto que equilibrara a economia será Y A1 A λ αGM γϕ λβ 1ηθ γρ A4 1 1 1 G β 1ηθ 1 0 α μ ρ 0 0 1 0 0 M 1 β 1ηθ 0 α μ 1 0 ρ 0 M 1 1 1 G μ 1 0 ρ 0 M β 1ηθM αρM Gρμ M A taxa de juros que equilibrara a economia será i A4 A β 1ηθ M αρM GρμM λβ 1ηθγρ b Como a variação de M influencia no produto e na taxa de Juros Y M M λ αG M γϕ λβ 1ηθγρ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ Para cada aumento de M há um aumento de λ αGγϕ λβ 1ηθγρ no produto de equilíbrio Agora considerando a taxa de juros i M M β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ β 1ηθ 1μ λβ 1ηθ γρ Para cada aumento de M há um aumento de β 1ηθ1μ λβ 1ηθ γρ na taxa de juros de equilíbrio c Como a variação de θ influencia no produto e na taxa de Juros Y θ θ λ αGM γϕ λβ 1ηθ γρ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ 2 λβλβ λ αG γϕ λβ 1ηθ γρ 2 Para cada aumento de θ há uma diminuição de λβ λ αGγϕ λβ 1ηθγρ 2 no produto de equilíbrio Agora considerando a taxa de juros i θ θ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ β M λβ 1ηθ γρβ 1ηθ M αρM GρμM λβ λβ 1ηθ γρ 2 β 2 λ M 1ηθ λβ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθγρ 2 λβ β M 1ηθβ 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθ γρ 2 Para cada aumento de θ há uma diminuição de λβ β M 1ηθ β 1ηθ M αρM Gρμ M λβ 1ηθ γρ 2 na taxa de juros de equilíbrio uAv 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 001100 1 00100 000110 1 0 0 Considere θ o ângulo o ângulo formado por u e v cos θ u v uv uv1 001000 u1 20 20 21 v 0 21 20 21 cos θ u v uv 0 110 cos θ 0θarccos 0 θ π 2 O ângulo formado por u e v é de 90º Resolução 2 a Calculando o Determinante det 1 2 3 44620 i b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 b Primeiro vamos calcular o posto da matriz 1 4 3 3 2 1L2L23 L1 1 4 3 0 10 8L2 L2 10 1 4 3 0 1 08L1L14 L2 1 0 02 0 1 08 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 2 número de variáveis 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução c Calculando o posto da Matriz 3 1 2 4 1 3 L3L33L1 3 1 2 4 8 0 L2L24 L1 3 1 10 0 8 0L3 L3 4 3 1 10 0 2 0L2 L2 5 3 1 2 0 2 0 L3L3L2 3 1 2 0 0 0 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 3 quando o sistema tem o posto da matriz aumentada maior isso indica que o sistema não tem solução d Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 2 2 2 402412320160 i b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 e Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 0 7 6 1208409600 i b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesincluindo asoluçãotrivial ii b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesnãoincluindo asoluçãotrivial Axb 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 w x y z 18 12 0 4 Matriz aumentada 1 2 1 1 18 2 1 1 1 12 1 1 1 1 0 2 2 1 0 4 1º Passo 1 2 1 1 18 2 1 1 1 12 1 1 1 1 0 1 3 2 1 4 L4 L4L3 2º Passo 1 2 1 1 18 2 1 1 1 12 2 2 1 0 4 1 3 2 1 4 L3 L3L4 3º Passo 1 2 1 1 18 1 2 1 0 16 2 2 1 0 4 1 3 2 1 4 L2 L2L4 4º Passo 2 5 3 0 22 1 2 1 0 16 2 2 1 0 4 1 3 2 1 4 L1 L1L4 5º Passo 2 5 3 0 22 1 2 1 0 16 2 2 1 0 4 3 1 0 1 28 L4 L42L2 6º Passo 2 5 3 0 22 1 2 1 0 16 2 2 1 0 4 3 1 0 1 28 L3 1L3 7º Passo 2 5 3 0 22 3 0 0 0 12 2 2 1 0 4 3 1 0 1 28 L2 L2L3 8º Passo 4 1 0 0 10 3 0 0 0 12 2 2 1 0 4 3 1 0 1 28 L1 L13L3 9º Passo 4 1 0 0 10 3 0 0 0 12 2 2 1 0 4 7 0 0 1 38 L4 L4L1 10º Passo 4 1 0 0 10 3 0 0 0 12 6 0 1 0 24 7 0 0 1 38 L3 L32L1 11º Passo 4 1 0 0 10 7 1 0 0 22 6 0 1 0 24 7 0 0 1 38 L2 L2L1 12º Passo 3 0 0 0 12 7 1 0 0 22 6 0 1 0 24 7 0 0 1 38 L1 L1L2 13º Passo 3 0 0 0 12 7 1 0 0 22 0 0 1 0 0 7 0 0 1 38 L3 L32L1 14º Passo 1 0 0 0 4 7 1 0 0 22 0 0 1 0 0 7 0 0 1 38 L1 L13 15º Passo 1 0 0 0 4 0 1 0 0 6 0 0 1 0 0 L2 L27L1 0 0 0 1 10 L4 L47L1 Solução é w x y z 4 6 0 10 Primeiro passo é calcular o determinante da matriz det2 3 3 4 0 3 2 2 1 0 2 0 3 4 2 3 2 0 1 0 2 0 3 4 2 0 2 0 2 0 1 0 3 3 2 0 3 0 2 1 2012024062008000 2 0016000 10012060 2182821616361632626 a11det 3 3 4 0 3 2 2 1 0 18 a12det 0 3 4 2 3 2 0 1 0 8 a13det 0 3 4 2 0 2 0 2 0 16 a14det 0 3 3 2 0 3 0 2 1 6 a21det 2 2 1 0 3 2 2 1 0 864 2 2 a22det 2 2 1 2 3 2 0 1 0 242 a23det 2 2 1 2 0 2 0 2 0 484 4 a24det 2 2 2 2 0 3 0 2 1 84128 a31det 2 2 1 3 3 4 2 1 0 163685 a32det 2 2 1 0 3 4 0 1 0 88 a33det 2 2 1 0 3 4 0 2 0 16 a34det 2 2 2 0 3 3 0 2 1 61266 a41det 2 2 1 3 3 4 0 3 2 1291224 15 15 a42det 2 2 1 0 3 4 2 3 2 12166242 a43det 2 2 1 0 3 4 2 0 2 12166 22 a44det 2 2 2 0 3 3 2 0 3 18121218 A adj 18 8 16 6 2 2 4 8 5 15 8 2 16 6 22 18 A 1 1 13 A adj 06923 00769 01923 05769 03077 00769 03077 00769 06154 01538 06154 08462 02308 03077 02308 06923 det A 2 1 0 4 3 1 1 0 4 9 det A1 12 1 0 42 3 1 6 0 4 18 det A2 2 12 0 4 42 1 1 6 4 144 det A3 2 1 12 4 3 42 1 0 6 18 x1 A1 A 18 92 x2 A2 A 144 9 16 x3 A3 A 18 9 2 Economia Matemática Prova 1 20 de julho de 2023 Instruções 1 A prova vale 10 pontos 2 A prova tem 2 horas de duração 3 Não é permitido o uso de equipamento eletrônico 4 Explicite os seus raciocínios de forma clara e sucinta 5 Mantenha a sua prova limpa e organizada 1 30 pontos As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares Para cada matriz atribua um valor para x e um valor para y quando houver y de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas Justifique suas respostas a 05 ponto 3 2 x 1 1 única solução para qualquer b b1 b2 b 05 ponto 1 x 2 1 3 y 0 ou infinitas soluções a depender de b b1 b2 b3 c 05 ponto 2 1 1 3 2 x 0 ou 1 solução a depender de b b1 b2 b3 d 05 ponto 1 3 x 4 y 1 infinitas soluções para qualquer b b1 b2 e 05 ponto x 4 3 6 y 2 0 ou infinitas soluções a depender de b b1 b2 f 05 ponto 3 2 1 0 x 4 1 4 3 0 ou infinitas soluções a depender de b b1 b2 b3 2 20 pontos Seja A uma matriz de tamanho m n onde m n Prove que A possui inversa à direita se e somente se rankA m Havendo inversa à direita de A ela é única Por quê 3 20 pontos Seja A V BV1 Encontre uma expressão para An onde n é um número inteiro positivo 4 20 pontos Imagine duas firmas i 1 2 que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida qi O comportamento ótimo maximizador de lucro da firma i é determinado pela seguinte equação a 2qi qj ci 0 onde a 0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e ci 0 é uma medida de custo da firma i 37 Empty image no text detected 61 Empty image no text detected Resolução a Falar que M é invertível significa que M M 1I Onde I representa a Matriz identidade Lidando com a igualdade temos M 2M M MM Multiplicando os dois lados pela inversa teremos M M M 1M M 1 M M M 1M M 1M II Como M é uma matriz quadrada idempotente e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que M então o produto M I é igual a M logo teremos MI Ou seja a afirmação é verdadeira b A afirmação só será verdadeira se a matriz A for invertível ou seja a matriz A precisa possuí inversa c A afirmação é verdadeira se tiver duas matrizes de permutação de mesma ordem e somálas a matriz resultante também será uma matriz de permutação Uma matriz de permutação é uma matriz quadrada em que cada linha e cada coluna contêm exatamente um único valor 1 e todos os outros valores são 0 Quando você adiciona duas matrizes de permutação cada linha e cada coluna da matriz resultante ainda terão exatamente um único valor 1 e todos os outros valores serão 0 Portanto a matriz resultante também será uma matriz de permutação d Essa afirmação é igual a da letra c e Verdadeiro essa afirmação inclusive é a teoria de regressão linear f Essa afirmação é falsa uma matriz idempotente é uma matriz que quando multiplicada por ela mesma produz a mesma matriz original como resultado Ou seja se A é uma matriz idempotente então A 2A enquanto uma matriz singular é uma matriz que não é inversível o que significa que seu determinante é igual a zero No entanto uma matriz idempotente pode ser tanto singular quanto não singular dependendo de suas propriedades g A afirmação é verdadeira Seja A uma matriz triangular de ordem nn A matriz conjugada transposta de A denotada por A é a matriz que resulta da transposição das linhas e das colunas de A resultará em uma matriz simétrica h Considerando a propriedade de determinando onde det A B det A det B Assim teremos que det A A 1det A det A 1 Sabemos que uma matriz vezes a sua inversa é igual a matriz identidade então A A 1I Logo teremos que det I det A det A 1 O determinante da matriz identidade é igual a 1 assim 1det Adet A 1 det A det A 11 det A 1 1 det A Logo a afirmação é verdadeira i Falso nem toda matriz diagonal é singular Uma matriz é considerada singular quando seu determinante é igual a zero No caso das matrizes diagonais o determinante é o produto dos elementos diagonais da matriz j Falso condição correta para a existência de solução em um sistema de equações lineares com matriz de coeficientes A e matriz aumentada A é que o rank A seja igual ao rank A e também igual ao número de variáveis desconhecidas do sistema Axb 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 w x y z 9 6 0 2 Matriz aumentada 1 2 1 1 9 2 1 1 1 6 1 1 1 1 0 2 2 1 0 2 1º Passo 1 2 1 1 9 2 1 1 1 6 1 1 1 1 0 1 3 2 1 2 L4 L4L3 2º Passo 1 2 1 1 9 2 1 1 1 6 2 2 1 0 2 1 3 2 1 2 L3 L3L4 3º Passo 1 2 1 1 9 1 2 1 0 8 2 2 1 0 2 1 3 2 1 2 L2 L2L4 4º Passo 2 5 3 0 11 1 2 1 0 8 2 2 1 0 2 1 3 2 1 2 L1 L1L4 5º Passo 2 5 3 0 11 1 2 1 0 8 2 2 1 0 2 3 1 0 1 14 L4 L42L2 6º Passo 2 5 3 0 11 1 2 1 0 8 2 2 1 0 2 3 1 0 1 14 L3 1L3 7º Passo 2 5 3 0 11 3 0 0 0 6 2 2 1 0 2 3 1 0 1 14 L2 L2L3 8º Passo 4 1 0 0 5 3 0 0 0 6 2 2 1 0 2 3 1 0 1 14 L1 L13L3 9º Passo 4 1 0 0 5 3 0 0 0 6 2 2 1 0 2 7 0 0 1 19 L4 L4L1 10º Passo 4 1 0 0 5 3 0 0 0 6 6 0 1 0 12 7 0 0 1 19 L3 L32L1 11º Passo 4 1 0 0 5 7 1 0 0 11 6 0 1 0 12 7 0 0 1 19 L2 L2L1 12º Passo 3 0 0 0 6 7 1 0 0 11 6 0 1 0 12 7 0 0 1 19 L1 L1L2 13º Passo 3 0 0 0 6 7 1 0 0 11 0 0 1 0 0 7 0 0 1 19 L3 L32L1 14º Passo 1 0 0 0 2 7 1 0 0 11 0 0 1 0 0 7 0 0 1 19 L1 L13 15º Passo 1 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 L2 L27L1 0 0 0 1 5 L4 L47L1 Solução é w x y z 2 3 0 5 a Calculando o Determinante det 1 2 3 44620 i b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãotrivialunica x 0 ii b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãotrivialunica x 0 b Primeiro vamos calcular o posto da matriz 1 4 3 3 2 1L2L23 L1 1 4 3 0 10 8L2 L2 10 1 4 3 0 1 08L1L14 L2 1 0 02 0 1 08 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 2 número de variáveis 3 quando os postos da matriz e da matriz aumentada são iguais e menores que o número de variáveis o sistema tem mais de uma solução c Calculando o posto da Matriz 3 1 2 4 1 3 L3L33L1 3 1 2 4 8 0 L2L24 L1 3 1 10 0 8 0L3 L3 4 3 1 10 0 2 0L2 L2 5 3 1 2 0 2 0 L3L3L2 3 1 2 0 0 0 Posto da matriz 2 posto da matriz aumentada 3 quando o sistema tem o posto da matriz aumentada maior isso indica que o sistema não tem solução d Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 2 2 2 402412320160 i b1 b2 0 0e det0existeuma soluçãot r ivialuni c a x 0 ii b1 b2 0 0e det 0existeuma soluçãot r ivialuni c a x 0 e Calculando o determinante det 1 4 3 4 2 0 0 7 6 1208409600 i b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesincluindo asoluçãotrivial ii b1 b2 0 0e det0Existe umnúmeroinfinito de soluçõesnãoincluindo asoluçãotrivial Primeiro passo é calcular o determinante da matriz det1 3 3 4 0 3 2 2 1 0 2 0 3 4 1 3 2 0 1 0 2 0 3 4 1 0 2 0 2 0 1 0 3 3 1 0 3 0 2 1 1182 4281318816313 1ª matriz det 3 3 4 0 3 2 2 1 0 3 3 2 1 03 0 2 2 04 0 3 2 1302304 406 323446 6122418 2ª matriz det 0 3 4 1 3 2 0 1 0 0 3 2 1 03 1 2 0 04 1 3 0 1002300410 023 04 10044 3ª matriz det 0 3 4 1 0 2 0 2 0 0 0 2 2 03 1 2 0 04 1 0 0 20 043 00 4200 4 30 420088 4ª matriz det 0 3 3 1 0 3 0 2 1 0 0 3 2 13 1 3 0 13 1 0 0 20 043 103200 4 31320363 Agora vamos calcular a matriz adjunto a11det 3 3 4 0 3 2 2 1 0 18 a12det 0 3 4 1 3 2 0 1 0 4 a13det 0 3 4 1 0 2 0 2 0 8 a14det 0 3 3 1 0 3 0 2 1 3 a21det 2 2 1 0 3 2 2 1 0 08060422 a22det 1 2 1 1 3 2 0 1 0 0010021 a23det 1 2 1 1 0 2 0 2 0 00200422 a24det 1 2 2 1 0 3 0 2 1 0040264 a31det 2 2 1 3 3 4 2 1 0 01636085 a32det 1 2 1 0 3 4 0 1 0 000004 4 4 a33det 1 2 1 0 3 4 0 2 0 0000088 a34det 1 2 2 0 3 3 0 2 1 300006 33 a41det 2 2 1 3 3 4 0 3 2 15 15 a42det 1 2 1 0 3 4 1 3 2 1 a43det 1 2 1 0 3 4 1 0 2 11 a44det 1 2 2 0 3 3 1 0 3 9 A adj 18 4 8 3 2 1 2 4 5 15 4 1 8 3 11 9 Calculando a inversa A 1 1 13 A adj 138461 5 015385 038462 115385 030769 2 007692 3 030769 007692 3 061538 015385 061538 5 084615 4 023076 9 030769 2 023077 069231 det A 2 1 0 4 3 1 1 0 4 9 det A1 6 1 0 21 3 1 3 0 4 9 det A2 2 6 0 4 21 1 1 3 4 72 det A3 2 1 6 4 3 21 1 0 3 9 x1 A1 A 9 91 x2 A2 A 72 98 x3 A3 A 9 91 Unavailable the image does not contain any text