Materiais Fotônicos e Estruturas

Photonic Materials and Structures 2nd Semester 2025 Prof Christiano de Matos LIST OF EXERCISES 1 BASICS 1 Given e find a b c 2 Given find a The magnitude of vector b The unit vector c The angles that does with the x y and z axes 3 Write the expressions of it in terms of the complex exponential ie 𝑖𝑡 𝐼𝑒 with the phases in radians and expressed in term of p a b 4 Given 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑦 and 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 33𝑓 find a 𝑔𝑥 𝑦 𝑧 b 33 𝑔 c 33 𝑔 d 𝑓 e 𝑔 5 The 1550 nm wavelength is widely used for optical telecommunications Convert it to frequency in THz and to photon energy in eV 6 The complex refractive index of germanium at 400 nm wavelength is given by 𝑛6 414 2221𝑖 Determine a the phase velocity of light b the attenuation coefficient a z y x a a a A ˆ 2 ˆ 5ˆ z x a a B 4 ˆ 3ˆ B A B A AB q z y x a a a B 3ˆ 6 ˆ 2 ˆ B B aˆ B 30 0 cos t I i t w p w 20 0 sen t I i t Photonic Materials and Structures 2nd Semester 2025 Prof Christiano de Matos LIST OF EXERCISES 2 CONDUCTORS 1 Show that for a poor bad conductor 𝑘 𝑘 the real 𝑘 and imaginary 𝑘 parts of the wavevector can be written as page 23 of the book 𝑘 𝑛𝜔 𝑐 𝑘 𝜇𝜎𝑐 2𝑛 𝜎 2𝑛𝑐𝜀 2 Using Drudes model calculate the plasma frequencies of sodium and aluminum Compare the results with those shown in table 22 of the book Do the values agree for both materials Explain any observed discrepancies 3 Using the expression for the current density 𝐉 𝜎𝐄 and Drudes model show that the conductivity at a frequency 𝜔 is given by 𝜎𝜔 𝜀𝜔 𝛾 𝑚 𝑖𝜔 4 Draw graphs for the real and immaginary parts of the interband conductivity in graphene for photon energies 04 eV ℏ𝜔 16 eV Normalize the graphs by 𝜎 and assume 𝐸 04 eV Assume also τ 2 ps Describe in words what you see and explain the general observed behavior Questão 1 Dados os vetores A 5ax 2ay az B 3ax 0ay 4az a O produto escalar é dado por A B AxBx AyBy AzBz A B 53 20 14 A B 15 0 4 A B 11 b Calculamos o produto vetorial através do determinante A B ax ay az 5 2 1 3 0 4 A B ax 24 10 ay 54 13 az 50 23 A B ax 8 ay 20 3 az 0 6 A B 8ax 23ay 6az c Usamos a relação cosθAB A B AB 1 Módulos A 52 22 12 25 4 1 30 B 32 02 42 9 16 25 5 2 Cálculo do ângulo cosθAB 11 530 θAB arccos 11 530 11367 Questão 1 Começamos escrevendo k2 em termos das componentes real e imaginária Temse k2 k1 ik22 k12 k22 i 2k1k2 Igualando partes real e imaginária com k2 μεω2 iμσω obtémse k12 k22 μεω2 2k1k2 μσω Para um mau condutor k2 k1 pode desprezarse k22 na primeira equação resultando k12 μεω2 e portanto k1 ω με Assumindo μ μ0 e definindo o índice de refração n με μ0ε0 e a velocidade da luz c 1μ0ε0 obtemos k1 nωc Da segunda equação obtemos k2 μσω2k1 μσω 2ωμε μσ 2με Substituindo με nc resulta k2 μσc2n Finalmente usando μ μ0 e μ0 1ε0c2 segue k2 σ 2ncε0 o que coincide com as formas pedidas Questão 2 No modelo de Drude a frequência de plasma é ωp ne e2 ε0 me onde ne é a densidade de elétrons livres Para um metal com Z elétrons livres por átomo massa molar M e densidade macroscópica ρ temse ne ρ NA Z M com NA o número de Avogadro Para os parâmetros dos metais usamos valores típicos sódio Na M 2299 gmol ρ 097 gcm3 Z 1 Alumínio Al M 2698 gmol ρ 270 gcm3 Z 3 Convertendo ρ em kgm3 e M em kgmol e substituindo em ne e depois em ωp obtémse os valores numéricos Para sódio ωp 89926 1015 rads νp ωp 2π 14312 1015 Hz 1431 1014 Hz Reconhecemos que o termo no numerador é a condutividade em corrente contínua DC σ0 ne2τm Rearranjando σω ne2τm τ1τ iω σ0 1 iωτ 6 Para chegar à forma solicitada recordamos a definição da frequência de plasma ω2 p ne2mε0 Isso nos permite escrever ne2 mε0ω2 p Substituindo na expressão de σω e usando a notação original para o amortecimento γ mτ σω mε0ω2 pm mτ iωm ε0ω2 p 1τ iω 7 Como γm 1τ e invertendo o sinal do expoente temporal eiωt que apenas troca iω iω σω ε0ω2 p γm iω 8 3 ħωp 592 eV Para alumínio usando Z 3 no modelo livre ωp 23987 1016 rads νp 38176 1015 Hz 3818 1014 Hz ħωp 1579 eV Comparando com a Tabela 22 do livro verificase que para sódio o valor calculado coincide bem com o valor medidoda tabela ħωp 59 eV νp 143 1014 Hz Para alumínio contudo a tabela apresenta ħωp 63 eV νp 153 1014 Hz significativamente menor do que o valor bruto calculado assumindo Z 3 e massa efetiva me A discrepância física pode ser explicada pela aproximação do modelo de Drude O modelo assume elétrons livres com massa igual à massa eletrônica livre e que todos os elétrons de valência contribuem igualmente para a resposta de plasma Em metais reais como o alumínio efeitos de estrutura de bandas massas efetivas diferentes de me e transições interbandas fazem com que nem todos os elétrons de valência atuem como elétrons livres eficazes à frequência óptica considerada ou atuem com massa efetiva maior Esses fatores reduzem efetivamente nem e portanto reduzem ωp 2 Dado o vetor B 2âx 6ây 3âz a B 2² 6² 3² 4 36 9 49 B 7 b âB B B 2âx 6ây 3âz 7 âB 27âx 67ây 37âz c Os ângulos diretores são dados pelos cossenos diretores componentes do vetor unitário 1 Eixo x α cos α Bx B 27 α arccos27 7340 2 Eixo y β cos β By B 67 β arccos67 14904 3 Eixo z γ cos γ Bz B 37 γ arccos37 6462 3 Queremos a forma it ReI0 eiθ ωt I0 cosωt θ a 1 Conversão para cosseno positivo em radianos 30 π6 rad Usando cosx cosx π it I0 cosωt π6 π it I0 cosωt 5π6 2 Identificação da fase Comparando com I0 cosωt θ ωt θ ωt 5π6 θ 5π6 Expressão it I0 eiωt 5π6 b 1 Conversão para cosseno Usando sinx cosx π2 it I0 cosωt 02π π2 it I0 cosωt 02π 05π it I0 cosωt 03π 2 Identificação da fase Comparando com I0 cosωt θ ωt θ ωt 03π θ 03π Expressão it I0 eiωt 03π Questão 4 Dado o campo escalar fxyz x² xz siny e gxyz f a gxyz f Calculamos o gradiente g fx âx fy ây fz âz g xx² xz sin y âx yx² xz sin y ây zx² xz sin y âz gxyz 2x z âx cosy ây x âz b g Divergente g gxx gyy gzz g x2x z ycosy zx g 2 siny 0 g 2 siny c g Rotacional g âx ây âz x y z 2x z cosy x O rotacional do gradiente de um campo escalar é sempre zero f 0 g âxxy cos yz âyxx 2x zz âzcos yx 2x zy g âx00 ây11 âz00 g 0 d ² f Laplaciano de f O Laplaciano de f é o divergente do seu gradiente ² f f g ² f 2 siny e ² g Laplaciano Vetorial de g ² g ² gx âx ² gy ây ² gz âz ² gx ²2x zx² ²2x zy² ²2x zz² 0 0 0 0 ² gy ²cos yx² ²cos yy² ²cos yz² 0 cosy 0 cosy ² gz ²xx² ²xy² ²xz² 0 0 0 0 ² g cosy ây Questão 5 Dado o comprimento de onda λ 1550 nm 1550 109 m Usamos a velo cidade da luz c 3 108 ms a Usamos f cλ f 3 108 ms 1550 109 m 1935 1014 Hz Convertendo para TeraHertz 1 THz 1012 Hz f 1935 THz b Usamos E hcλ Com hc 1240 eV nm E 1240 eV nm 1550 nm E 08 eV Questão 6 Dados Comprimento de onda λ 400 nm 400 109 m Índice de refração complexo n 414 2221i Partes n 414 e k 2221 a Velocidade de fase da luz vp A velocidade de fase é determinada pela parte real do índice de refração vp c n 3 108 ms 414 vp 7246 107 ms b Coeficiente de atenuação α O coeficiente de atenuação ou absorção é dado por α 4πk λ α 4π2221 400 109 m α 2791 400 109 m1 α 6977 107 m1 5 1 Considere A 5 ax 2 ay az e B 3 ax 4 az Calculamse a seguir produto escalar produto vetorial e o ângulo entre eles O produto escalar obtémse somando os produtos das componentes correspondentes A B 53 20 14 15 0 4 11 O produto vetorial calculase usando a determinante A B ax ay az 5 2 1 3 0 4 8 ax 23 ay 6 az O módulo de A e de B são A 52 22 12 30 54772256 B 32 02 42 5 O cosseno do ângulo entre os vetores é dado por cos θ A B AB 11 530 Daí θ arccos 11 530 2 O módulo do vetor é B 22 62 32 49 7 O versor vetor unitário na direção de B é aB B B 27 67 37 Sejam α β γ os ângulos que B faz com os eixos x y z respectivamente Então cos α 27 cos β 67 cos γ 37 3 A representação solicitada tem a forma it ReI0 eiωtθ onde fornecemos o ângulo de fase θ em radianos e expresso em função de π quando possível Para a temos it I0 cosωt 30 Usando a identidade cosφ cosφ π e manipulações angulares uma escolha conveniente para o argumento exponencial é it ReI0 eiωt 5π6 isto é θ 5π6 equivalente a 7π6 modulo 2π Para b temos it I0 sinωt 02π Usando sinx cosx π2 obtemos it ReI0 eiωt 3π10 ou seja θ 3π10 4 a g x y z fx fy fz 2x z cos y x b A divergência de g é g x 2x z y cos y z x 2 sin y c Como o rotacional de um gradiente é sempre nulo temse g 0 d O laplaciano escalar de f é 2 f 2 f x2 2 f y2 2 f z2 2 sin y e O laplaciano vetor de g aplicase componente a componente resultando em 2 g 2 2x z 2 cos y 2 x 0 cos y 0 5 Utilizando c 3108 ms e h 662 1034 J s com λ 1550 nm 155 106 m obtémse a frequência f c λ 3108 155 106 1935 1014 Hz 1935 THz A energia de um fóton é E hf que em elétronvolts usando 1 eV 1602 1019 J vale E hf 6626 1034 1935 1014 J 1282 1019 J 0800 eV 6 a A velocidade de fase é vp c n 3108 414 7246 107 ms 02415 c O número de onda no vácuo é k0 2πλ e a parte imaginária do índice produz um decaimento exponencial da amplitude do campo como expk0nz Assim o coeficiente de atenuação para a amplitude campo é αcampo k0n 2πn λ 2π2221 4 107 3486 107 m1 b O coeficiente de atenuação da intensidade potência é o dobro do anterior αintensidade 2k0n 6972 107 m1 pois a intensidade decai como exp2k0nz 3 1 Partimos da expressão geral para o quadrado do vetor de onda complexo k2 k2 μεω2 iμσω 1 Fatorando o primeiro termo obtemos k2 μεω2 1 i σ ωε 2 Tirando a raiz quadrada de ambos os lados k μεω 1 i σ ωε 12 3 Sabemos que o índice de refração n é dado por n c με o que implica que με nc Substituindo esta relação na equação k nωc 1 i σ ωε 12 4 Para um mau condutor a condutividade σ é pequena de forma que a condição σ ωε é satisfeita Isso nos permite usar a aproximação binomial 1 xa 1 ax para x pequeno Neste caso x iσωε e a 12 k nωc 1 12 i σ ωε nωc i nσ 2cε 5 O vetor de onda k é um número complexo k k1 i k2 Comparando as partes real e imaginária da equação acima encontramos k1 nωc 6 E para a parte imaginária k2 nσ 2cε 7 Para obter as formas finais solicitadas no enunciado usamos as relações ε n2 ε0 para materiais não magnéticos onde μ μ0 e c2 1 μ0 ε0 Substituindo ε n2 ε0 na expressão de k2 k2 nσ 2cn2 ε0 σ 2ncε0 8 Para obter a outra forma usamos ε0 1 μ0 c2 Assumindo μ μ0 k2 σ 2nc1 μ c2 μσc 2n 9 Assim demonstramos que para um mau condutor k2 μσc 2n σ 2ncε0 10 2 A frequˆencia de plasma ωp no modelo de Drude e calculada pela formula ω2 p Ne2 meϵ0 vp ωp 2π onde N e a densidade de eletrons livres e e a carga elementar 1602 1019 C me e a massa do eletron 9109 1031 kg e ϵ0 e a permissividade do vacuo 8854 1012 Fm A densidade N e dada por N Nefetivo ρNA M onde ρ e a densidade do material NA e o numero de Avogadro 6022 1023 mol¹ e M e a massa molar Sodio Massa Molar M 2299 gmol 002299 kgmol Densidade ρ 968 kgm³ Eletrons efetivos Nefetivo 1 valˆencia Calculo da Densidade de Eletrons N N 1 968 kgm3 6022 1023 mol1 002299 kgmol 254 1028 m3 Calculo da Frequˆencia de Plasma vp ω2 p 254 10281602 10192 9109 10318854 1012 807 1031 s2 ωp 898 1015 rads vp ωp 2π 143 1015 Hz vpNa 143 1014 Hz O valor calculado 143 1014 Hz concorda perfeitamente com o valor medido e o valor calculado na Tabela 22 Para o sodio o modelo de Drude funciona muito bem Alumınio Massa Molar M 2698 gmol 002698 kgmol Densidade ρ 2700 kgm³ Eletrons efetivos Nefetivo 3 valˆencia 2 Calculo da Densidade de Eletrons N N 3 2700 kgm3 6022 1023 mol1 002698 kgmol 181 1029 m3 Calculo da Frequˆencia de Plasma vp ω2 p 181 10291602 10192 9109 10318854 1012 575 1032 s2 ωp 240 1016 rads vp ωp 2π 382 1015 Hz vpAl 382 1014 Hz Comparacao e Discrepˆancia O valor calculado 382 1014 Hz e muito maior que o valor medido na tabela 153 1014 Hz A discrepˆancia e significativa A falha do modelo de Drude para o alumınio ocorre porque ele e uma supersimpli ficacao O modelo funciona bem para metais alcalinos como o sodio onde o unico eletron de valˆencia se comporta de fato como uma partıcula quase livre Para metais polivalentes como o alumınio 3 eletrons de valˆencia as interacoes dos eletrons com a rede cristalina sao muito mais fortes e complexas O modelo de Drude ignora efeitos quˆanticos como as transicoes interbandas onde um eletron absorve um foton e salta para uma banda de energia superior No alumınio essas transicoes ocorrem em energias proximas a energia de plasma esperada o que interfere fortemente na oscilacao coletiva dos eletrons e reduz a frequˆencia de plasma observada A energia do foton e usada para essas transicoes em vez de contribuir para a oscilacao de plasma 3 3 Partimos da equação de movimento de Drude para um elétron médio sob a ação de um campo elétrico oscilante E E0 eiωt A equação inclui a força elétrica e uma força de amortecimento arrasto proporcional à velocidade com um parâmetro γ m dvdt γv eE 11 Buscamos uma solução de estado estacionário para a velocidade na forma v v0 eiωt A derivada temporal é portanto dvdt iω v Substituindo na equação de movimento miωv γv eE 12 Fatorando a velocidade v iωm γv eE 13 Isolamos a velocidade v v eE iωm γ eE miωγm 14 A densidade de corrente J é definida como a densidade de carga Ne multiplicada pela velocidade de deriva v J Nev NeeE miωγm Ne²E miωγm 15 A condutividade dependente da frequência σω é definida pela relação J σωE Comparando nossa expressão para J com esta definição podemos identificar σω σω Ne² mγmiω 16 Finalmente usamos a definição da frequência de plasma ωp² Ne² mε0 para reescrever o numerador como Ne² mε0 ωp² σω mε0 ωp² mγmiω 17 Cancelando a massa m do numerador e do denominador chegamos à expressão final σω ε0 ωp² γm iω 18