Prova Pratica_ Métodos Numéricos Aplicados

Questão 1/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nConsidere o sistema de equações, resolva este sistema por eliminação de Gauss e marque a alternativa correta.\n2x_1 + x_2 - x_3 = 0\nx_1 + 3x_2 + x_3 = 3\n3x_1 - x_2 + 4x_3 = 11\n\na) x_1 = 0; x_2 = 2 e x_3 = 1\nb) x_1 = 2; x_2 = 1 e x_3 = 1\nc) x_1 = 1; x_2 = 1 e x_3 = 2\nd) Você acertou!\nSolução\nRetrosubstituição\n7x_3 = 14; x_3 = 2\n5/2x_2 + 3 = 3. (2)\n5x_1 + 3x_3 = 6; 5x_2 = 6 - 3x_3 = 6 - 3.2 = 0; x_2 = 0\n2x_1 + x_2 - x_3 = 0; 2x_1 = x_3 - x_2 = 2 - 0 = 2; x_1 = 2/2 = 1 Questão 2/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nDetermine a raiz y = f(x) = \\sqrt{2x^2 + 3} - 2x com precisão de 10^-3. Para isso, use o método iterativo linear.\nNota: 0.814\nVocê acertou!\nResolução:\nx = y = f(x) = \\sqrt{2x^2 + 3} - 2x = 0\n\\sqrt{2x^2 + 3} = 2x\nx_0 = 0.5\nk\n0 0.5\n1 0.759147\n2 0.803609\n3 0.814257\n4 0.814355\n5 0.814724\n\na) 0,759\nb) 1,354\nc) 1,354\nD) 2,213 Questão 3/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nResolvendo um sistema no qual deve obedecer a lei de Ohm, posando uma relação entre a tensão elétrica V e o corrente elétrica I, não linear neste diagrama. A tabela abrange a representação da corrente elétrica que altera-se em função não-linear, para cada valor de tensão aplicada sobre ele.\nDeterminar, por meio do registro quando atende, a função V(i) será dada por\nV(i) = -5.9011 + 325.5612\n\nV(i) = -0.2891 + 5.5491t + 337.4772t^2\nV(i) = 0.036 - 5.4601t + 327.4772t^3\n\nTabela\nPara determinar I(i)\nI' = (0)\nA' = 5\nPara \nq_i \n Para determinar z:\n\ndet [2 1 1 | 3] = 3 = x = -3/4\n\nLogo, a solução δ = [-1/4 -3/4]\n\nS = [-1 2/3]\n\nQuestão 8/20 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nCalcular o erro absoluto e outro relativo para uma avaliação obtida por métodos numéricos sendo igual a 135.2425, cujo valor exato é 131.25.\n\nNotas 5.5\n\nA\nE_A = 4.0925; E_R = 0.02034;\n\nB\nE_A = 4.0925; E_R = 0.03024;\n\nC\nE_A = 4.0925; E_R = 3.024%;\n\nVocê acertou!\n\nSolução:\n\nE_A = |x_i - i| = |135.3425 - 131.25| = 4.0925\n\nE_R = E_A / k = 4.0925 / 135.3425 = 0.03024 = 3.024%\n\nD\nE_A = 4.0925; E_R = 0.6911%; Questão 9/20 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nUtilizando o método de L'Hospital para resolução de limites, determine para qual valor a sequência dada por a_n = ln(n)/n converge.\n\nA\n∞\n\nB\n1\n\nC\n0\n\nGabarito\n\nlim n→∞ ln(n)/n = lim n→∞ (1/n) / (1) = 0\n\nD\n0.52\n\nQuestão 9/20 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nComo escrever 3,15272727 em forma de fração?\n\nA\n3153/10^3\n\nB\n31212/9900\n\nVocê acertou!\n\nSolução:\n\n3,15272727 = 315/100 + \n\n27/9900 + 27/10000 + 1000000 + ...\n\nSérie geométrica\n\nc = 27/10^4\n\nr = 1/10^2\n\nΣ(n=1,∞) c*r^n = c/(1-r)\n\n3,15272727 = 315/100 + 27/9900 + 27/prev... = 31212/9900. Questão 10/20 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nDeterminar o integral definido de 3x^2 dx do método dos trapézios com 4 divisões iguais \no intervalo [1;2] esses casos decimos sem excuros.\n\nA\n27,143116\n\nB\n41,148814\n\nC\n30,861611\n\nD\n20,574407\n\nVocê acertou!\n\nSolução:\n\nh = b-a/n = 2-1/4 = 0.25\n\nA = b-a/2 * (f(a) + f(b) + 2 * (f(x1) + f(x2)))\n\nA = 3*(1.453725 + 1.584215 + 2*1.687634 + 2*1.958232 + 2*2.198262 + 2*2.46730...)\nA = 20.574907\n\nQuestão 11/20 - Métodos Numéricos Aplicados\n\nCalcular os erros relativo e absoluto para uma avaliação obtida por métodos numéricos sendo igual a 135.3425 cujo valor exato é 131.25.\n\nNotas 5.0\n\nA\nE_A = 4.0925; E_R = 0.03024;\n\nB\nE_A = -4.0925; E_R = 0.03024;\n\nC\nE_A = 4.0925; E_R = 3.024%;\n\nVocê acertou!\n\nSolução:\n\nE_A = |x_i - i| = |135.3425 - 131.25| = 4.0925\n\nE_R = E_A / k = 4.0925 / 135.3425 = 0.03024 = 3.024%\n\nD\nE_A = -4.0925; E_R = 3.024%; Questão 12/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nConsidera-se a sequência a seguir, com n = 0, 1, ..., ∞. Como escrever o termo geral desta sequência?\n1 - 4 + 8 - 25 + 3\n2 - 3\n3 - 24 - 10\n\n(-1)**(n)*(n + 1)/n!\n\nVocê acertou!\nSolução:\nSérie alternada.\n\nn = 0; 2; 4 termos pares => sinal positivo\n\nn^2 seria para numeradores 0 1 4 9 16 25\n\n(n = n^2) seria para numeradores 1 4 9 16 25 36\n\ndenominadores n! => 0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6 ...\n\ndenominadores (n + 1)! => 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6 ...\n\n1 - 2 + 8 25\n\n1 3 24 10\n\nOu\n\n\n\n(-1)^(n)*(n + 1)^2/n!\n Questão 13/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nA finalidade da velocidade de um corpo em movimento é descrita pela função f(x) = √(2x - 4x), em que x representa o tempo em segundos.\nBuscando identificar em que instante o corpo para a mudança de sinal do movimento, um pesquisador precisa identificar o valor de x para o qual a função f(x)=0.\n\nO pesquisador adotou uma precisão de |f(x)| < 10^-1.\n\nSabendo que a raiz dessa função pertence ao intervalo [0,1], é CORRETO afirmar que o pesquisador encontrou pelo Método da Bissecção instantes de tempo x de:\n\n\n\nf(0,1) = 0,047214 + f(1) = -2,58579\n\na\nk a b x f(x)\n0 0,1 1 0,55 -1.15119\n1 0,1 0,55 0,325 0,49377\n2 0,325 0,55 0,40125 0,19808\n3 0,1 0,2125 0,15625 -0,06598\n5 0,15625 0,128125 -0,00629\n Questão 14/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nQuais procedimentos você pode empregar para resolver equações diferenciais ordinárias através de métodos numéricos aplicados?\n\nMétodo de Euler e Runge-Kutta\n\n\n\nMétodo de Euler e séries numéricas\n\nMétodos de Euler, Runge-Kutta e séries de potências\n\nQuestão 15/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nQual é a raiz real da função f(x) = 2x^2 - e^x — que é potênciado no intervalo [0; 2] pelo método de Newton-Raphson com erro absoluto para x menor que 10^-2?\n\nVocê acertou!\n\nGabarito\n\nf(x) = 2x^2 - e^x\nf'(x) = 4x - e^x\n\nPelo método de Newton-Raphson\nxk = xk - (f(xk)/f'(xk))\n\nPara encontrar x4\n\nk xk ERRO ABSOLUTO\n0 1 1\n1 1.569046 0.5690469434\n2 1.488413 0.072310968\n3 1.487962 0.001147766\n Questão 18/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nQual o resultado da integral \\( \\int_1^2 \\frac{lnx}{x} dx \\) pelo Método dos Trapézios adotando 5 subdivisões?\nA\n0.271829\nB\n1.359146\nC\n0.135915\nD\n0.237172\n\nVocê acertou!\n\nGabarito\n(a = 1\nb = 2\nh = \\frac{b-a}{n} = \\frac{2-1}{5} = 0,2\nn = 5\n\n\\begin{array}{|c|c|}\n\\hline\nx & f(x) \\\\\n\\hline\n1 & 0.151935 \\\\\n1.2 & 0.240337 \\\\\n1.4 & 0.293752 \\\\\n1.6 & 0.326548 \\\\\n1.8 & 0.346574 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\n\nLogo, a integração pelo Método dos Trapézios será:\n\n\\( \\int_1^2 \\frac{lnx}{x} dx = \\frac{h}{2} [f(x_0) + 2 (f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \\cdots) + f(x_n)] \)\n\\( = 0,2/2 [0 + 2 (0.151935 + 0.240337 + 0.293752 + 0.326548 + 0.346574)] \)\n\\( \\int_1^2 \\frac{lnx}{x} dx = 0,237172\n\nQuestão 19/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nAo encontrar uma dígita periódica, vamos procurar sua fração geratriz. Qual será a fração que representa o dígito 2, 3.56666... ? Utilize o estudo sobre Séries Geométricas para determinar isso.\n\nGabarito\n\nPodemos reescrever a dígita periódica como uma soma de termos:\n\n3,566566... = 3 + \\frac{56}{100} + \\frac{56}{10000} + ...\n\n= 3 + \\frac{56}{100} \\sum_{k=0}^{\\infty} (\\frac{1}{100})^k\n\n= 3 + \\frac{56}{100} \\frac{1}{1 - \\frac{1}{100}}\n\n= 3 + \\frac{56/100}{(99/100)}\n\n= 3 + \\frac{56}{99}\n\n= \\frac{3 \\cdot 99 + 56}{99}\n\n= \\frac{297 + 56}{99}\n\n= \\frac{353}{99}\n\n= 2,356566... = \\frac{2333}{990}\n Questão 20/20 - Métodos Numéricos Aplicados\nDetermine o polinômio por interpolação linear dos pontos apresentados na tabela abaixo e determine o valor de y(2).\n\n\\begin{array}{|c|c|}\n\\hline\nx & y \\\\\n\\hline\n-1 & 0.3 \\\\\n0 & 0.3 \\\\\n3 & 12.5 \\\\\n4 & 20.4 \\\\\n\\hline\n\\end{array}\n\nO polinômio interpolador linear e y(2) são, respectivamente:\nA\ny = 3,05x - 3,02 e y(2) = 3,08\nB\ny = 5,25x - 3,25 e y(2) = 7,25\n\nVocê acertou!\n\nGabarito:\nPara interpolação linear, adotaremos:\n\\( x_1 = -1 e y_1 = 2 \\)\n\\( x_2 = 3 e y_2 = 12,5 \\)\n\nLogo:\n\\( y - y_1 = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)\\)\n\\( y - 2 = \\frac{12,5 - 2}{3 - (-1)} (x - (-1))\\)\n\\( y - 2 = \\frac{10,5}{4} (x + 1)\\)\n\\( y = 2 + \\frac{10,5}{4}(x + 1)\\)\n\\( y = 5,25x - 3,25\\)\n\nPara x=2:\n\\( y - 5,25(2) - 3,25 \\)\n\\( y = 7,25\\)\n