Slides das aulas de impedancias

PERFIS HISTÓRICOS\n\nNikola Tesla (1856-1943) e George Westinghouse (1846-1914) ajudaram a estabelecer a corrente alternada como o principal modo para transmissão e distribuição de eletricidade.\n\nHoje, não há dúvida de que a geração em CA está bem consolidada como a forma de energia elétrica para sua distribuição ampla de modo eficiente e econômico. Entretanto, no final do século XIX, qual seria a melhor opção - CA ou CC - era motivo de calorosos debates e possuía defensores extremamente categóricos de ambos os lados. A ala da CC era liderada por Thomas Edison, que havia ganho muito respeito por causa de seus vários inventos. A geração de energia usando CA começou realmente a ser construída após as sucedidas contribuições de Tesla. O verdadeiro sucesso comercial da CA veio com George Westinghouse e a extraordinária equipe, entre os quais Tesla, que se formou. Além desses, dois outros grandes nomes foram C. F. Scott e B. G. Lamme.\n\nA contribuição mais importante para o sucesso precoce da CA foi o patenteamento do motor CA polifásico de Tesla, em 1888. O motor de indução e sistemas de geração e distribuição polifásicos condemnaram ao fracasso o uso da CC como principal fonte de energia.\n\nConsideremos a tensão senoidal\n\nv(t) = V_m sen(ωt)\n\nonde\n\nV_m = amplitude da senóide\nω = frequência angular em radianos/s\nωt = argumento da senóide\nT = 2π/ω\nf = 1/T\nω = 2πf\n\nEsboço de V_m sen(ωt) em função de ωt; (a) em função de ωt; (b) em função de t. PERFIS HISTÓRICOS\n\nHeinrich Rudolf Hertz (1857-1894), físico experimental alemão, demonstrou que as ondas eletromagnéticas obedecem às mesmas leis fundamentais da luz. Seu trabalho confirmou a célebre teoria e predição (no ano de 1864), de James Clerk Maxwell, de que tais ondas existiam.\n\nHertz nasceu em uma próspera família em Hamburgo, Alemanha. Estudou na Universidade de Berlin e realizou seu doutorado sob a orientação do proeminente físico Hermann von Helmholtz. Tornou-se professor da Karlsruhe, onde continuou sua busca incansável pelas ondas eletromagnéticas. Hertz foi bem-sucedido na geração e detecção das ondas eletromagnéticas; foi o primeiro a demonstrar que a luz era energia eletromagnética. Em 1887 Hertz percebeu pela primeira vez o efeito fotoelétrico dos elétrons em uma estrutura molecular. Embora Hertz tenha chegado apenas aos 37 anos de vida, sua descoberta das ondas eletromagnéticas abriu caminho para o uso prático das ondas no rádio, na televisão e em outros sistemas de comunicação. A unidade de frequência, o hertz, recebeu esse nome em sua homenagem.\n\nConsideremos, agora, uma expressão mais genérica para a senóide,\nv(t) = V_m sen(ωt + φ)\n\nonde (ωt + φ) é o argumento e φ é a fase. Tanto um como outro podem ser em radianos ou graus.\n\nExaminemos as duas senóides a seguir\n\nv_1(t) = V_m sen(ωt) e v_2(t) = V_m sen(ωt + φ).\n\nFigura 9.2\nDuas senóides com fases distintas. Uma senóide pode ser expressa em termos de seno ou de cosseno. Ao compararmos duas senóides, é indicado que expressamos ambas como seno ou, então, como cosseno e com amplitudes positivas. Isso pode ser conseguido usando-se as seguintes identidades trigonométricas:\n\nsen(A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B (9.9)\n\ncos(A ± B) = cos A cos B ∓ sen A sen B\n\nCom essas identidades, fica fácil demonstrar que\n\nsen(ωt ± 180°) = −senωt\ncos(ωt ± 180°) = −cosωt\nsen(ωt ± 90°) = ± cosωt\ncos(ωt ± 90°) = ∓ senωt\n\nUsando essas relações, podemos transformar uma senóide na forma de seno para uma forma de cosseno, ou vice-versa.\n\n● EXEMPLO 9.1\n\nDetermine a amplitude, a fase, o período e a frequência da senóide\nv(t) = 12 cos(50t + 10°)\n\nSolução: A amplitude é Vp = 12 V.\nA fase é φ = 10°.\nA frequência angular ω = 50 rad/s.\nO período T = 2π/ω = 2π/50 = 0,1257 s.\nA frequência é f = 1/T = 7,958 Hz.\n\nPROBLEMA PRÁTICO 9.1\n\nDada a senóide 30 sen(4πt − 75°), calcule sua amplitude, fase, frequência angular, período e frequência.\n\nResposta: 30, −75°, 12,57 rad/s, 0,5 s, 2 Hz. 9.3 Fasores\n\nAs senóides são facilmente expressas em termos de fasores, que são mais convenientes de serem trabalhados que as funções de seno e cosseno.\n\nFasor é um número complexo que representa a amplitude e a fase de uma senóide.\n\nFigura 9.6 Representação de um número complexo z = x + jy em um plano.\n\nOs fasores se constituem de maneira simples para analisar circuitos lineares excitados por fontes senoidais; encontrar a solução para circuitos desse tipo seria impraticável de outro modo. A noção de resolução de circuitos CA usando fasores foi introduzida inicialmente por Charles Steinmetz em 1893. Antes de definirmos completamente os fasores e apliá-los à análise de circuitos, precisamos estar completamente familiarizados com números complexos.\n\nUm número complexo z pode ser escrito na forma retangular como\n\nz = x + jy (9.14a)\n\nonde j = √(−1); x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z. Nesse contexto, as variáveis x e y não representam uma posição como na análise vetorial bidimensional, mas, sim, as partes real e imaginária de z no plano complexo. No entanto, existem algumas semelhanças entre manipular números complexos e vetores bidimensionais.\n\nO número complexo z também pode ser escrito na forma polar ou exponencial, como segue\n\nz = r e^(jφ) (9.14b)\n\nonde r é a magnitude de z e φ é a fase de z. Nota-se que z pode ser representado de três maneiras:\n\nz = x + jy Forma retangular\nz = r/φ Forma polar\nz = re^(jφ) Forma exponencial. A relação entre a forma retangular e a forma polar é mostrada na Figura 9.6, onde o eixo x representa a parte real e o eixo y, a parte imaginária de um número complexo. Dados x e y, podemos obter r e φ como segue\n\nr = √(x² + y²), φ = tan⁻¹(y/x) (9.16a)\n\nPor outro lado, se conhecermos r e φ, podemos obter x e y como\n\nx = r cosφ, y = r senφ (9.16b)\n\nPortanto, z poderia ser escrito como indicado a seguir\n\nz = x + jy = r/φ (cosφ + j senφ) (9.17)\n\nAdição:\n\nz1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2) (9.18a)\n\nSubtração:\n\nz1 − z2 = (x1 − x2) + j(y1 − y2) (9.18b)\n\nMultiplicação:\n\nz1z2 = r1r2 e^(j(φ1 + φ2)) (9.18c)\n\nDivisão:\n\nz1/z2 = r1/r2 e^(j(φ1 − φ2)) (9.18d)\n\nInverso:\n\n1/z = 1/r e^(−jφ) (9.18e)\n\nRaiz quadrada:\n\n√z = √(r/√(b/2)) (9.18f)\n\nConjugado Complexo:\n\nz* = x − jy = r e^(−jφ) (9.18g) Calcule os números complexos a seguir:\n(a) (40/50) * + 20/-30)^(1/2) = 6,91/12,81°\n(b) (10/-30) + (3 = -j4) / (2 + j)(3 = -j5) * = 0,565 / -160,13°\n\nCalcule os seguintes números complexos:\n(a) (5 + j2)(-1 + j4) = -5/60°\n(b) 10 + j5 + 3/40°\n-3 + j4\n\nResposta: (a) -15,5 - j13,67; (b) 8,293 + j7,2.\n\nPERFIS HISTÓRICOS\n\nCharles Proteus Steinmetz (1865-1923), matemático e engenheiro austro-germânico, introduziu o método do fasor (estudado neste capítulo) na análise de circuitos CA. Ele também é conhecido por seu trabalho sobre a teoria da histerese.\n\nSteinmetz nasceu em Breslau, Alemanha, e perdeu sua mãe quando tinha apenas um ano. Quando jovem, foi forçado a deixar a Alemanha em decorrência de suas atividades políticas, quando estava prestes a completar sua tese de doutorado em matemática na Universidade de Breslau. Emigrou para a Suíça e mais tarde para os Estados Unidos, onde conseguiu um emprego na General Electric, em 1893. Nesse mesmo ano, publicou um artigo no qual eram usados, pela primeira vez, números complexos para analisar circuitos CA. Isso levou a um de seus muitos livros, Theory and Calculation of AC Phenomena, publicado pela McGraw-Hill, em 1897. Em 1901, tornou-se presidente do American Institute of Electrical Engineers, que mais tarde se tornou o IEEE. u(t) = Vm cos(ωt + φ) ⇔ V = Vm / φb\n(Representação no domínio do tempo)\n(Representação no domínio dos fasores)\n\n(9.25)\n\nEixo dos números imaginários\n\nEixo dos números reais\n\n(𝑣𝑚 𝑣)\n\nω\n\nSentido de avanço\n\nφ\n\n𝑖\n\nθ\n\nSentido de atraso\n\nI\n\nUm diagrama fasorial mostrando V = Vm / φb e I = Im / -θ.\n\nTabela 9.1 • Transformação senoide-fasor.\nRepresentação do domínio do tempo\nRepresentação no domínio dos fasores\n\nVm cos(ωt + φ) V = Vm / φ\nVm sen(ωt + φ) V = Vm / φ - 90°\nIm sen(ωt + θ) Im / θ\nIm sen(ωt + θ) Im / θ - 90°\n\nDiferenciar uma senoide equivale a multiplicar seu fasor correspondente por jω.\n\nIntegrar uma senoide equivalente a dividir seu fasor correspondente por jω. Além da diferenciação e integração do tempo, outro importante emprego dos fasores é na adição de senoides de mesma frequência. Isso é mais bem ilustrado por meio de um exemplo, e o Exemplo 9.6 fornece um.\n\nAs diferenças entre u(t) e V devem ser enfatizadas.\n\n1. u(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto V é a representação em termos de frequência ou no domínio dos fasores.\n2. u(t) é dependente do tempo, enquanto V não é. (Esse fato é normalmente esquecido pelos estudantes.)\n3. u(t) é sempre real sem nenhum termo complexo, enquanto V geralmente é complexo.\n\nFinalmente, devemos ter em mente que a análise de fasores se aplica apenas quando a frequência é constante; e também na manipulação de dois ou mais sinais senoidais apenas se estes tiverem a mesma frequência.\n\nEXEMPLO 9.4 • Transforme as senoides seguintes em fasores:\n(a) i = 6 cos(50t - 40°) A\n(b) v = -4 sen(30t + 50°) V\n\nSolução:\n(a) i = 6 cos(50t - 40°) tem o fasor I = 6 / -40° A\n(b) Uma vez que -sen A = cos(A + 90°),\nv = -4 sen(30t + 50°)\n= 4 cos(30t + 50° + 90°)\n= 4 cos(30t + 140°) V\n\nA representação de v em termos de fasores é V = 4 / 140° V. EXEMPLO 9.5\nDetermine as senóides representadas pelos fasores seguintes:\n(a) I = -3 + j4 A\n(b) V = j8e^{-j20°} V\nSolução:\n(a) I = -3 + j4 = 5/126,87°. Transformando isso para o domínio do tempo resulta em\ni(t) = 5 cos(ωt + 126,87°) A\n(b) Já que j = 1/90°,\nV = j8/-20° = (1/90°)×8/-20°\n= 8/90° - 20° = 8/70° V\nConvertendo isso para o domínio do tempo, resulta em\nv(t) = 8 cos(ωt + 70°) V EXEMPLO 9.6\nDados i(t) = 4 cos(ωt + 30°) A e i(t) = 5 sen(ωt + 20°) A, determine sua soma.\nSolução: Eis um importante uso dos fasores - a soma de senóides de mesma frequência. A corrente i(t) se encontra na forma-padrão. Seu fasor é\nI_1 = 4/30°\nPrecisamos expressar i(t) na forma de cosseno. A regra para conversão de seno em cosseno é subtrair 90°. Portanto,\ni_2 = 5 cos(ωt - 20° - 90°) = 5 cos(ωt - 110°)\nSe fizermos i = i_1 + i_2, então\nI = I_1 + I_2 = 4/30° + 5/-110°\n= 3,464 + j2,171 = 1,754 - j2,698\nTransformando isso para o domínio do tempo, obtemos\ni(t) = 3,218 cos(ωt - 56,97°) A\nObviamente, podemos encontrar i_1 + i_2 usando a Equação (9.9), porém esta é a forma mais difícil. EXEMPLO 9.7\nUsando o método de fasores, determine a corrente i(t) em um circuito descrito pela equação diferencial\n4i + 8i = -3 di/dt = 50 cos(2t + 75°)\nSolução: Transformamos cada termo da equação no domínio do tempo para domínio dos fasores. Tendo as Equações (9.27) e (9.28) em mente, obtemos a forma em termos de fasores da equação dada como segue\n4I + 8I/jω = 3jωI = 50/j75°\nPorém ω = 2 e, portanto,\nI(4 - j6) = 50/75°\n50/75° = 50/75°\n50/75°\nConverting isso para o domínio do tempo,\ni(t) = 4,642 cos(2t + 143,2°) A\nTenha em mente que esta é a única solução em regime estacionário e ela não requer o conhecimento prévio dos valores iniciais. Para o capacitor C, suponha que a tensão nele seja v = Vwm cos(ωt + φ). A corrente através do capacitor é\n\n\ni = C \n\ndu/dt \n\n(9.36)\n\nSegundo as mesmas etapas realizadas para o caso do indutor ou aplicando o\n\nEquação (9.27) na Equação (9.36), obtemos\n\nI = -jωoCV \n\nI = I/jωC \n\n(9.37)\n\ndemonstrando que a corrente e a tensão estão 90° fora de fase. Sendo mais específico, a corrente está adiantada em 90° em relação à tensão. A Figura 9.13 mostra as relações tensão-corrente para o capacitor; e a Figura 9.14 fornece o diagrama fasorial.\n\nTabela 9.2 • Resumo das relações tensão-corrente.\nElemento \nDominio do tempo \nDominio da frequência\n\nR \nv = Ri \nV = Ri\n\nL \nv = Ldi/dt \nV = jωL \n\nC \nv = Cdu/dt \nV = 1/jωC\n\nFigura 9.13 Relações tensão-corrente para um capacitor; (e) no domínio do tempo.\n\nFigura 9.14 Diagrama fasorial para o capacitor, I está adiantada em relação a V.\n\nEXEMPLO 9.8 • A tensão v = 12 cos(60t + 45°) aplicada a um indutor de 0,1 H. Determine a corrente em regime estacionário através do indutor. \n\nSolução: Para o indutor, V = jωoL, onde ω = 60 rad/s e V = 12/45° V. Portanto,\n\nI = V/jωL = 12/45°\nj60 × 0,1 = 12/45°/6/90° = 2/-45° A\n\nConvertendo esta para o domínio do tempo,\n\ni(t) = 2 cos(60t - 45°) A\n\nPROBLEMA PRÁTICO 9.8 • Se a tensão v = 10 cos(100t + 30°) for aplicada a um capacitor de 50 µF, calcule a corrente através do capacitor. 9.5 Impedância e admitância\n\nAnteriormente, obtivemos as relações tensão-corrente para os três elementos passivos como segue\n\nV = Ri, \nV = jωL, \nV = 1/jωC \n\n(9.38)\n\nEstas equações podem ser escritas em termos da razão entre a tensão fasorial e a corrente fasorial como indicado a seguir\n\nV = I R, \nV = jωL, \nV = 1/jωC \n\n(9.39)\n\nDessas três expressões, obtemos a lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de elemento:\n\nZ = V/I ou V = ZI\n\n(9.40)\n\nonde Z é um valor dependente da frequência conhecido como impedância e medido em ohms.\n\nA impedância Z de um circuito é a razão entre a tensão fasorial V e a corrente fasorial I, medida em ohms (Ω).\n\nTabela 9.3 • Impedância e admitância de elementos passivos.\nElemento \nImpedância \nAdmitância\n\nR \nZ = R \nY = 1/R\n\nL \nZ = jωL \nY = 1/jωL\n\nC \nZ = 1/jωC \nY = jωC\n\nFigura 9.15 Circuitos equivalentes em CC e em alta frequência: (a) indutor; (b) capacitor. Sendo um valor complexo, a impedância pode ser expressa na forma retangular como segue\n\nZ = R + jX\n\n(9.41)\n\nonde R = Re(Z) é a resistência e X = Im(Z) é a reatância. A reatância X pode ser positiva ou negativa. Dizemos que a impedância é indutiva quando X é positiva, ou capacitiva quando X é negativa. Portanto, diz-se que a impedância Z = R - jX é capacitiva ou avança, porque a corrente está adiantada em relação à tensão. Impedância, resistência e reatância são todas medidas em ohms. A impedância também pode ser expressa na forma polar como\n\nZ = |Z|e^(jθ)\n\n(9.42)\n\nComparando as Equações (9.41) e (9.42), inferimos que\nZ = R + jX = |Z|e^(jθ)\n\n(9.43)\n\nonde\n\n|Z| = √(R² + X²), θ = tg⁻¹(X/R)\n\n(9.44)\n\nA = Z |Z| cos(θ), X = |Z| sen(θ)\n\n(9.45)\n\nAlgumas vezes, é conveniente trabalhar com o inverso da impedância, conhecida como admitância.\n\nA admitância Y é o inverso da impedância, medida em siemens (S).\n\nA admitância Y de um elemento (ou de um circuito) é a razão entre a corrente fasorial e a tensão fasorial nesse elemento (ou circuito), ou\n\nY = I/V\n\n(9.46) As admitâncias de resistores, indutores e capacitores podem ser obtidas da Equação (9.39). Todas elas são apresentadas em um resumo na Tabela 9.3. Sendo um valor complexo, podemos escrever Y como segue\nY = G + jB\n(9.47)\nonde G = Re Y e Y é chamada condutância e B = Im Y é denominada susceptância. Admitância, condutância e susceptância são todas expressas na unidade siemens (ou mohs). A partir das Equações (9.41) e (9.47),\nY = G + jB = 1 / R + jX\n(9.48)\nPela racionalização,\nG + jB = 1 / R + jX = 1 / (R + jX) = R - jX / R² + X²\n(9.49)\nEquacionando as partes real e imaginária resulta em\nG = R / (R² + X²)\n(9.50)\ndemonstrando que G + 1/R como acontece em circuitos resistivos. Obviamente, te se X = 0, então G = 1/R.\n\nEXEMPLO 9.9\n\nDetermine v(t) e i(t) no circuito apresentado na Figura 9.16. Solução: Da fonte de tensão 10 cos(4t), ω = 4,\nVs = 10 / (0°) V\nv₀ = 10 cos(4t)\nA impedância é\nZ = 5 + 1 / jωC = 5 + 1 / j4 × 0.1 = 5 + j - 2.5 Ω\nPortanto, a corrente é\nI = Vs / Z = 10 / (0°) / (5 + j - 2.5)\n= 10 / √(25 + 6.25)\n= 1.6 + j 0.8 = 1.789 / 26.57° A\nA tensão no capacitor é\nV = IZc = 1.789 / 26.57° / j4 × 0.1\n= 1.789 / 26.57° × 4.47 / -63.43° V\n= 0.49 / 90°\nConvertendo I e V nas Equações (9.91) e (9.92) para o domínio do tempo, obtemos\ni(t) = 1.789 cos(4t + 26.57°) A\nv(t) = 4.47 cos(4t - 63.43°) V\nNote que i(t) está adiantada em relação a v(t) em 90°, conforme esperado. PROBLEMA PRÁTICO 9.9\nConsulta a Figura 9.17. Determine v(t) e i(t). Resposta: 8.944 sen(10t + 93.43°) V, 4.472 sen(10t + 3.43°) A.\nFigura 9.17 Esquema para o Problema prático 9.9.\n\nCombinações de impedâncias\nA relação V = IZ (do domínio da frequência) é formalmente idêntica à lei de Ohm, V = iR, para um circuito resistivo (no domínio do tempo). Portanto, as impedâncias se combinam exatamente como as resistências:\nimpedâncias em série: Zeq = Z₁ + Z₂ + …\nimpedâncias em paralelo: 1/Zeq = 1/Z₁ + 1/Z₂ + …\nEm particular, para duas impedâncias em paralelo, Zeq = Z₁Z₂ / (Z₁ + Z₂).\n\nDiagrama de impedância\nEm um diagrama de impedância, uma impedância Z é representada por um ponto na metade direita do plano complexo. A Figura 9-8 mostra duas impedâncias: Z₁, no primeiro quadrante, apresenta reatância indutiva, enquanto Z₂, no quarto quadrante, apresenta reatância capacitiva. O equivalente série, Z₁ + Z₂, é obtido por meio de soma vetorial, como mostrado. Observe que os “vetores” estão mostrados sem setas nas pontas, com o objetivo de distinguir esses números complexos dos fasores (observe que impedância e admitância não são fasores!). Combinações de admitâncias\nSubstituindo Z por 1/Y nas fórmulas acima, temos:\n\nadmitâncias em série: 1/Yeq = 1/Y₁ + 1/Y₂ + …\nadmitâncias em paralelo: Yeq = Y₁ + Y₂ + …\nAssim, os circuitos série são facilmente analisados em termos de impedância, e os circuitos paralelos, em termos de admitância.\n\nDiagrama de admitância\nA Figura 9-9, um diagrama de admitância, é análoga à Figura 9-8 para impedância. Na Figura 9-9, são apresentadas duas admitâncias Y₁, tendo uma susceptância capacitiva e uma admitância Y₂, tendo uma susceptância indutiva, juntamente com a soma vetorial Y₁ + Y₂, que é a admitância de uma combinação paralela de Y₁ e Y₂.\n\n9.5 DIVISOR DE TENSÃO E DE CORRENTE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA\nTendo em vista a analogia entre impedância no domínio da frequência e resistência no domínio do tempo, as Seções 3.6 e 3.7 implicam em resultados a seguir.\n(1) As impedâncias em série dividem a tensão total na razão dos impedâncias.\nV₁ / V₀ = Z₁ / Zeq ou V₀ = V₁Zeq / Z₁.\n(2) As impedâncias em paralelo (admitâncias em série) dividem a corrente total na razão inversa das impedâncias (ou razão direta das admitâncias):\nI₁ / I₀ = Y₁ / Yeq ou I₀ = I₁Yeq / Y₁.\n\nVeja a Figura 9-10.\n\nFigura 9-10.\n\nFigura 9-11. 9.6 MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA\nConsidere o circuito no domínio da frequência da Figura 9-12. Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões (LKT), como na Seção 4.3, ou simplesmente por inspeção, encontramos a seguinte equação matricial:\n\nZ11 Z12 Z13 Z1\nZ21 Z22 Z23 Z2\nZ31 Z32 Z33 Z3\n\npara as correntes de malha desconhecidas I1, I2 e I3. Aqui, Z11 = Z1, Z12 = Z2 e Z1p, a impedância própria da malha 1, é a soma de todas as impedâncias através das quais I passa. De modo similar, Z22 = Z2 + Z1 + Z3, Z31 = Z3 + Z2 e Z3 são as impedâncias próprias das malhas 2 e 3.\n\nFigura 9-12 9.7 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ\nO procedimento é exatamente como na Seção 4.4, com admitâncias substituindo o reciproco das resistências. Um circuito no domínio da frequência com n nós principais, um deles designado nó de referência, requer m - 1 equações de tensões nodais. Assim, para n = 4, a equação matricial seria:\n\nY11 Y12 Y13 Y14\nY21 Y22 Y23 Y24\nY31 Y32 Y33 Y34\n\nna qual as variáveis V1, V2 e V3 são os fasores de tensão dos nós principais 1, 2 e 3 com relação ao nó 4, o de referência.\n\nI1 = ∑(corrente entrando ou saindo do nó k) (k = 1, 2, 3)\n\nsendo que uma corrente entrando no nó k tem o sinal positivo, e uma saindo do nó k tem o sinal negativo. 9.10 Calcule a impedância Z1 no circuito da Figura 9-19.\nZ1 = 5.0 + j3.2 Ω\n\n9.11 Calcule a impedância Zeq e a admitância Y eq equivalentes para o circuito de quatro ramos mostrado na Figura 9-20.\n\n9.12 A corrente total I entrando no circuito mostrado na Figura 9-20 é 3.30 = j13.0º A. Obtenha a corrente de ramo 1, e a tensão V.\n\n9.13 Encontre Z, no circuito de três ramos da Figura 9-21, secl = 31.5 / (24.0º) A para uma tensão aplicada V = 50.0, 60.0V.\n\n9.14 As constantes R e L de uma bobina podem ser obtidas conectando a bobina em série com uma resistência conhecida e medindo a tensão na bobina Vs, a tensão no resistor Vr e a tensão total Vt (Fig. 9-22). A frequência também deve ser conhecida, porém, os ângulos de fase das tensões não são conhecidos. Dado que f = 60 Hz, V1 = 20 V, V2 = 22.4 V e Vr = 36.0 V, encontre R e L.\n\n9.15 No circuito paralelo mostrado na Figura 9-24, os valores eficazes da corrente são I1 = 18.0 A, I2 = 15.0 A e I3 = 30.0 A. Determine R e XL. 9.90 Uma bobina industrial C é representada por um modelo que a associa com uma indutância L e uma resistência R, conforme mostrado na Figura 9.90. Uma vez que um voltímetro C mostra apenas a magnitude de uma senoide, os índices a serem utilizados em 60 Hz quando o circuito opera em regime estacionário:\n |v1| = 145 V; |v2| = 50 V; |v3| = 110 V.\n Use essas medidas para determinar os valores de L e R.\n 9.16 Obtenha o fasor de tensão VAB no circuito paralelo de dois ramos da Figura 9.26.\n VAB = 1.16 ∠ -59.9° V\n 9.17 No circuito paralelo mostrado na Figura 9.27, VAB = 48.3 ∠ 30° V. Encontre a tensão aplicada V.\n V = 50.0 ∠ 135° V\n 9.18 Obtenha a tensão V0 no circuito da Figura 9.28 usando o método das correntes de malha.\n V1 = 4.35 ∠ -194.15° V\n 9.31 Dois elementos de circuito em uma conexão série têm corrente e tensão total\n i = 13.42 sen(500t - 53.4°) (A) I = 150 sen(500t + 10°) (V)\n Identifique os dois elementos. Resp. R = 5 Ω, L = 20 mH. 9.39 Para o circuito exibido na Figura 9.46, determine Zc e use esta para determinar a corrente I. Considere ω = 10 rad/s.\n Figura 9.46 Esquema para Problema 9.39.\n 9.40 Três impedâncias estão em série: Z1 = 3.0 ∠ 45° Ω, Z2 = 10/√2 ∠ 45° Ω, Z3 = 5.0 ∠ -90° Ω. Encontre a tensão aplicada sobre o conjunto V e a tensão sobre Z2, Z = 27.0 ∠ 10° V.\n Resp. 126.5 ∠ -24.6° V\n 9.41 Para o circuito série de três elementos na Figura 9.39, (a) encontre a corrente I; (b) encontre a tensão através de cada impedância e construa o diagrama dos fasores de tensão mostrando que V1 + V2 + V3 = 100 \u03a9.\n Resp. (a) 0.628 ∠ 29.17° A; (b) V\n\n 100\u03a9\n Figura 9.39\n 9.42 Encontre Z no circuito paralelo da Figura 9.41 se V = 50.0/30.0° V e I = 27.9 ∠ 57.8° A.\n Resp. 5.0 ∠ 30° Ω.\n 9.43 Obtenha a condutância G e susceptância B correspondentes a uma tensão V = 85.0/20.5° V e uma corrente resultante I = 41.2 ∠ -141.0° A.\n Resp. 0.471 S; 0.117 S (capacitativa)\n 9.44 Calcule I0 no circuito da Figura 9.51.\n 5 Ω\n 6 cos 200t V\n 5 mF\n 10 mH\n 3 Ω\n Figura 9.51 Esquema para Problema 9.44. 9.45 No circuito mostrado na Figura 9.43, os valores das correntes em 60 Hz são I1 = 29.9 A, I2 = 22.3 A e I3 = 8.0 A. Obtenha os valores de R e L.\n Resp. 5.8 Ω; 38.5 mH\n Figura 9.43\n 9.46 Obtenha o valor da tensão VAB no circuito paralelo de dois ramos da Figura 9.44 se XL for (a) 5 Ω, (b) 15 Ω.\n Resp. 50 V, qualquer que seja XL.\n 100Ω V\n Figura 9.44\n 9.49 Para o circuito da Figura 9.47, use o método das correntes de malha para encontrar a corrente na impedância 2 + j3 Ω\n Resp. 2.41 ∠ 64.5° A; 1.36 ∠ -141.45° A.\n V1 = 30Ω V\n I1\n I2\n I3\n Figura 9.47\n 9.61 Determine Zeq no circuito da Figura 9.68.\n Zeq =\n 1−jΩ\n 1+jβ\n 5Ω\n Figura 9.68\n 9.66 Para o circuito da Figura 9.73, calcule Zeq ZV.