Lista de Exercícios Resolvidos - Dinâmica das Vibrações Mecânicas

ATIVIDADE Entrega até o dia da P1 Adote g 10 ms2 Questão 1 Na figura 1 um sistema massamola de massa de 300 kg e constante de rigidez 200 kNm possui propriedades magnéticas e atrai uma quantidade de massa de 20 kg Quando a corrente elétrica é cortada a massa atraída desprendese Calcular a equação de movimento do corpo xt após a massa se desprender Questão 2 A partir da medição da resposta livre de um sistema de 1GL conforme figura 2 estime a O valor da frequência natural e o fator de amortecimento b O valor do tempo t a partir do qual a magnitude do deslocamento xt não exceda 003 mm c Para t 07 o deslocamento percorrido Figura 1 Figura 2 Figura 3 Questão 3 Um movimento harmônico é expresso pela equação xt 08 04sen227t 4 em mm Determinar a amplitude o máximo deslocamento o ângulo de fase a frequência angular e o tempo e posição em que a velocidade é máxima Questão 4 O núcleo móvel de um relé eletromagnético possui massa de 12 gramas e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado também a constante de amortecimento sabendose que entre duas amplitudes sucessivas a razão é de 201 Adote E 210 GNm2 Questão 6 Um suporte possui uma configuração como na figura 5 composto de uma viga estrutural uma mola e de um cabo com comprimento de 2 m e de diâmetro D O cabo é de mesmo material da viga e todos os componentes são de massa desprezíveis Para uma massa m qualquer fixa ao conjunto qual é o diâmetro mínimo do cabo para que a deflexão máxima seja de Use para a resolução os parâmetros analíticos E A I k l e Adote rigidez do cabo kcabo EAL Figura 5 1 ΣF ma kx mx mx kx 0 k m1 m2 I Xt equação do oscilador harmônico a solução é Xt x0coswnt v0wn senwnt X0 é o deslocamento inicial do sistema quando m2 se desprende ΣF 0 antes do início da oscilação kx m1g 0 X x0 m1gk x0 300x10200103 0015 m V0 0 pois o sistema estava em repouso em t 0 wn frequência do movimento e o movimento é apenas de m1 wn sqrtkm1 sqrt200103300 2582 hz Xt 0015cos2582 t 2 Do gráfico obtêmse os seguintes dados X0 10 mm Td período amortecido 002 015 013 s Td x1 17mm x2 13mm X008 17 mm a Dos dados acima podese calcular wd sqrt1 ξ2wn 3 δ lnx1x2 2πξsqrt1 ξ2 δ De 1 δ ln1713 0268 eq1 eq2 De 2 manipulando temos ξ δsqrt4π2 δ2 0268sqrt4π2 02682 0043 ξ fator de amortecimento De 3 wn wdsqrt1 ξ2 onde wd 2πTd 4833 hz wd freq natural amortecido wn 4833sqrt1 00432 4837 hz wn freq natural A equação do movimento para sistema subamortecido ξ 1 é Xt eξwnt x0cosωdt v0 ξwnx0 ωdsenωdt encontrar Vo Sabendo que X008 17 a ξwn 0043 4837 208 17 e20800810cos4833008 Vo 208104833 sen4833008 17 08497486 Vo 2084833 0663 Vo 0897 ms 0897 ms Vo Vo ξwnx0ωd 08970 208104833 19 mm b Xt e208t 10cos4833t 19sen4833t eq do movimento A amplitude da função acima é A eξwnt sqrtx02 v0 ξwnx0ωd2 003 e208t sqrt102 192 e208t 003sqrt100 361 1397103 lne208t 208t ln1397103 t 6573208 3165 t c X07 e20807 10cos483307 19sen483307 12 mm X07 3 Xt 08 04sen 227t π4 termo constante termo que oscila entre 04x0 0 e 04x1 04 o desloc máximo é então a soma do máximo de ambos os termos max 08 04 max do seno 12 mm a amplitude é Xmax Xmin 12 08 0 min do seno 04 mm o ângulo de fase é π4 wn é 227 hz Vt dxdt 04cos227t π4227 908cos227t π4 Vt é máximo quando o cosseno é 1 227t π4 n1π se n 0 227t π4 0 t π4227 000346s tempo quando o cosseno é máx o seno é mínimo zero então X000346 08 04sen227000346 π4 08 X posição quando 0 V é máximo 4 Para o relé aberto wn sqrtkm sqrt30000012 500hz Rela fechado para lâmina fixa k 3EILfix2 móvel k 3EILmov2 I bh312 6103 08103312 02561012 m4 estão em série kfix 320010902561012151032 478103 Nm kmóvel 3200109025610122021032 1613103 Nm k1 kfix1 kmov1 k 1161300 1478001 3686103 Nm k equivalente para un lado ha nas duas extremidades portanto Keq 2k 7612103 Nm Wn sqrtkeqm sqrt767200012 25285 hz Wn Determinar c se x1 20 x2 1 δ ln x1x2 2 π ξ1ξ2 δ ln 201 2 π ξ1ξ2 ξ δsqrt4 π2 δ2 δ 3 ξ 0431 1 Sistema subamortecido Kfix fixo kmov movel 202 10 mm ξ ccc e Cc 2sqrtkeqm 2 sqrt767200012 6068 Nsm C ξCc 0431 6068 2615 Nsm c 6 k 3EIl k AEL keq1 1K 1k 1K 13EI LAE 3EI KL3KEI L4πd2E keq1 1E 3EI KL 3KI 4Lπd2 Wn sqrtkeqm Xt X0 cosWnt VoWn senWnt X0 δ deflexão máxima Vo 0 parte do repouso Xt X0 cosWnt δ cossqrtkeqm t X δmax quando cosWnt 1 Wnt nπ t nπWn Dado um valor de t para quando X δmax é possível determinar d por keq 4