P2 - Equações Diferenciais - Prof Evandro Manica

UFRGS - Instituto de Matemática\nDep. de Matemática Pura e Aplicada\nMAT 01167 - Equações Diferenciais II\nData: 04/11/2016 - Turma A2\nCartão: 2.629.723\nNome: __________ & __________\n\nSEGUNDA PROVA\n\nQuestão 1. (2.0 pontos) Determine a solução do PVI, usando o método de variação de parâmetros:\n {y' - 3y + 2y = te^2t\n y(0) = 1\n y'(0) = -1.\n\nR^2 - 3R + 2 = 0\n3: 3 + 2 = 1\nR = 3/1\n\n|e^{2t}|\ne^{2t} e^t * e^{3t}\n|e^{2t}|\n1|1| e^{2t} t e^{2t}\n\nt e^{t} e^{2t} = 3 e^{2t}\n+\n\nY_p = Y_h + v_1 Y_1 + v_2 Y_2\nY_p = e^{2t} c_1 + e^t t + e^{2t} e^t\n\nS.G. Y(t) = 1 + c_1 + c_1 = -\nS.Y(0) = 1 C_1 = c_1 + 1\nS.Y'(0) = -1 C_2 = 2 C_1 = -2 Questão 2. (2.0 pontos) Determine a estabilidade da origem para o sistema, representando sua solução no plano de fase:\n {x' = 3x - 2y\n y' = -2x + 3y.\n\nEm particular, desenhe a solução cuja condição inicial é (x_0, y_0) = (-1,1).\n\n3 - λ -2 | -1\n-2 3 - λ | 3\nλ = (6 + 1)(36 - 1.5) λ = 6 + 3\n\n(3 - λ)(3 - λ) - 4 = 0\nλ - 2λ - 2λ = 0 N = 1\n\nλ = 1 λ = 5\n(|-2 -2(-2) = 0 0)\n\nsg. Y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{5t}[-1]\n\nl como q1 é -\nadjacente do ponto de equilibro Questão 3. (2.5 pontos) Considere o PVI:\n {xy'' + y' - 2y = 0\n y(x_0) = -1\n y'(x_0) = 2.\n\n(a) Escreva os 3 primeiros termos não nulos da expansão da solução da equação diferencial em série em torno de x_0 = 1.\n(b) Mostre que x_0 = 0 é 0 o ponto singular regular da equação diferencial. Em seguida, encontre as raízes da equação característica associada a x_0 = 0.\n\ny = 1 + (x - 1)^m\ny' = 2 P(m)(x - 1) - 1\ny'' = 2 P(m)\\(x - 1) - 0\nh(x - 1) = (x - 1)^2 P(m)(x - 1)\\(x - 0) - 1\n\n{\n\nm = 1;\nA_2 = 2 A_1 - A_0\\4\nz 2 3\n\fm = 2; A_2 = 2 A_1 – A_3(3)\n/3 h2.\n\nFALTA TEMPO!!! x^(n) + y^(n) - 2y = 0\nP(0) = x\nP(0) = 0\nx0 = 0\nQ(x) = 1/x \n1 = 1 na condição que... [illegible] \nR/x = -2/x\ny = Σ(m)(y^m x^m)\nŷ = Σ(m)(m x^(m - 1))\nŷ = Σ(m)(m(y^{m-1})) x^(m + n)\nΣ(m)(y(m - 1))x^m - ... = 0\n0 (área) = 0\nR = 0 Questão 4. (2,0 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F):\n(a) (F) y(x) = e^(3x) satisfaz a equação diferencial y'' + 5y' + 6y = 0.\n(b) (V) A solução da equação diferencial xy'' + xy' - 4y = 0 é da forma y(x) = C1x^2 + C2x^{-2}.\n(c) (F) A equação diferencial y'' + λy = 0 com λ > 0 com condições de fronteira y(0) = 0 admite apenas solução trivial.\nJustifique suas respostas. Questão 5. (1,5 pontos) Determine a expansão em série de Fourier da função f(x), 2-periódica definida por: x| > 2\n f(x) = { 0 ≤ x ≤ 1\n { 1 ≤ x ≤ 2\nA0 = 1/2\nA_n = [2/L] ∫ f(x)cos(nπx/L)dx\n = 1/L ∫ x dx = [x^2/2] from 0 to 1 = 1/2.\nAd_n = [∫(sin(mπx/L))dx + (cos(nπx/L))]/\n [0] + [sin(mn) = 0].\nf(x) = A0/2 + Σ[m=1 to ∞] [A_n cos(n√(π) x) + B_n sin(nπx)]\n\nf(x) = summation( (ncos(nπ/L)x)) + sin((mπ/L)x)