Lista de Exercicios Resolvidos Modulo e Congruencias Aritmeticas

1 Mostre que A B A B A B 20 pontos 2 Prove que para os inteiros a b e c se a divide b e b divide c então a divide c² 20 pontos 3 Encontre a solução de 82 mod 15 20 pontos 4 Encontre todas as soluções inteiras entre 0 e m para a congruência 3x 7 mod 20 20 pontos 5 Compute o valor de 32022 mod 7 20 pontos 1 A B A B A B 2 seja x A B A B x A B x A B x A x B x A x B Como x A x B x A x B x A x B x A x B x A x B x A B Como x é arbitrário y A B A B y A B A B A B A B Por 1 e 2 A B A B A B 2 a b c Z tal que ab bc ab α Z tal que b αa I bc β Z tal que c βb II Substituindo I em II c βb βαa c² cc cβαa Como existe cβα Z tal que c² cβαa ac² 3 Como α Z α15 0 mod 15 82 82 615 82 90 8 mod 15 4 x Z 0 x m tal que 3x 7 mod 20 21x 73x 77 49 mod 20 Como k Z α20 0 mod 20 21x 21x x20 21x 20x x 49 49 220 9 21x 49 mod 20 x 9 mod 20 20 x9 c Z tal que x9 20c x 20c 9 2 0 x m 0 20c 9 m 9 20c m 9 920 c m 920 Como c Z c 920 1 920 201 9 11 0 1 c m 920 x Z 0 x m 3x 7 mod 20 20c 9 c Z 1 c m 920 5 3² 9 7 2 2 mod 7 3³ 27 28 1 1 mod 7 3⁶ 3³² 1² 1 mod 7 k Z0 3⁶ᵏ 1ᵏ 1 mod 7 3²⁰²² 3⁶³³⁷ 3⁶³³⁷ 1³³⁷ 1 mod 7