Estatística Descritiva

Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística descritiva 2017 by Universidade de Uberaba Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Universidade de Uberaba Universidade de Uberaba Reitor Marcelo Palmério PróReitor de Educação a Distância Fernando César Marra e Silva Editoração Produção de Materiais Didáticos Capa Toninho Cartoon Edição Universidade de Uberaba Av Nenê Sabino 1801 Bairro Universitário Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE Moraes Fabíola Eugênio Arrabaça M791e Estatística descritiva Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Uberaba Universidade de Uberaba 2017 148 p il Programa de Educação a Distância Universidade de Uberaba ISBN 9788577775910 1 Estatística 2 Pesquisa I Universidade de Uberaba Programa de Educação a Distância II Título CDD 5195 Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Mestre em Estatística pela Universidade Federal de São Carlos UFSCar Graduada em Matemática pela Faculdade de Educação São Luís de Jabotica bal FESL É docente nos cursos de graduação na modalidade presencial e à distância da Universidade de Uberaba Uniube nas áreas afins de Matemática Estatística e Bioestatística Sobre os autores Sumário Apresentação Capítulo 1 Estatística Descritiva a importância da estatística no dia a dia 1 11 A importância da Estatística no dia a dia 4 12 Estatística descritiva parte I 7 121 O que é população e o que é amostra 8 122 Situações problema envolvendo a questão da representatividade 11 123 Apresentação dos dados 14 124 Representação tabular 15 125 Distribuição de frequência 17 126 Dados brutos 17 127 Rol 18 128 Distribuição de frequência para variável discreta tabela de frequência 18 129 Distribuição de frequência para variável contínua intervalo de classe 19 13 Representação gráfica 24 14 Estatística descritiva parte II 28 141 Medidas de tendência central 28 15 Medidas de variabilidade 48 151 Amplitude total ou intervalo total 48 152 Desvio padrão 49 153 Variância 50 154 Coeficiente de variação 50 Capítulo 2 Conhecendo o cálculo da probabilidade 61 21 Definições e notações básicas 64 22 Probabilidade 67 221 Definição clássica 68 222 Definição frequentista 69 223 Definição subjetiva 71 23 Axiomas da probabilidade 72 231 Alguns dos principais teoremas de probabilidade 73 232 Probabilidade condicional 74 233 Teorema do produto 76 234 Independência estatística 77 235 Teorema da probabilidade total 79 236 Teorema de Bayes 80 Capítulo 3 Distribuições de probabilidade 85 31 Distribuições de probabilidade 87 32 Variável aleatória 90 321 Variável aleatória discreta 91 322 Variável aleatória contínua 92 323 Algumas características numéricas importantes em uma distribuição de probabilidade 93 33 Distribuições discretas de probabilidade 94 331 Distribuição binomial 95 332 Distribuição de Poisson 97 341 Distribuição normal 100 34 Distribuições contínuas de probabilidade 100 Capítulo 4 Amostragem 123 41 Noções sobre amostragem 126 42 Noções de planejamento amostral 126 43 Formulação de hipóteses 128 44 Coleta de dados 128 451 Amostra casual simples 130 45 Principais métodos amostrais 130 452 Amostra aleatória sistemática 134 453 Amostra aleatória estratificada 135 454 Amostra por conglomerados 136 Quando ouvimos falar em Estatística sempre vem ao nosso pensamento números divulgados no dia a dia A média de gols marcados por partida do campeonato brasileiro de futebol noticiada por um comentarista de um programa esportivo a porcentagem das intenções de voto que um candidato à Presidência da República reúne divulgada no noticiário da televisão a quantidade de automóveis vendidos nos últimos doze meses publicada no jornal o número de pessoas infectadas por gripe nas regiões metropolitanas do país Eis alguns exemplos de números contidos nas informações que diariamente chegam até nós O que a Estatística significa para você A Estatística apenas se resume a números A Estatística é muito mais do que isso Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE Estatística é o conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos envolve o planejamento do experimento a ser realizado a coleta qualificada dos dados a inferência o processamento a análise e a disseminação das informações Este volume compreende o ramo da Estatística conhecido por Estatística descritiva A Estatística descritiva aborda a coleta a classificação o resumo a organização a análise e a interpretação de dados Tudo isso com a finalidade de gerar informações No decorrer dos estudos deste livro você aprenderá a organizar dados a descrevêlos a calcular suas medidas representativas e a interpretálos A área de aplicação da Estatística é portanto imensa Abrange os mais variados campos do saber como as ciências biológicas e da saúde as ciências humanas as ciências sociais aplicadas e as ciências exatas Os profissionais que sabem utilizála reconhecem sua importância na formulação do raciocínio crítico no estudo no trabalho e na vida diária Por isso desejamos a você bons estudos Apresentação Introdução Estatística Descritiva a importância da estatística no dia a dia Capítulo 1 Neste capítulo iniciaremos nosso percurso de Estatística Em particular no primeiro momento vamos refl etir sobre a aplicação de estatística no seu dia a dia visando a compreensão dos conceitos de forma clara e concisa Faremos uma introdução à Estatística Descritiva que em geral se ocupa do levantamento organização classifi cação e descrição de dados em estudo Você verifi cará que a descrição dos dados facilitará a compreensão dos fatos envolvidos no estudo A descrição se apresenta por meio de tabelas gráfi cos ou outros recursos visuais além abranger o cálculo de parâmetros representativos desses dados É sabido que parâmetro MORETTIN 2009 p 183 é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional Genericamente representaremos um parâmetro por θ lêse theta Especifi camente representaremos a média por µ lêse mi a variância por σ2 lêse sigma ao quadrado e o coefi ciente de correlação por ρ lêse rô os quais são alguns exemplos de parâmetros populacionais Estudaremos os procedimentos estatísticos descritivos os quais permitem elucidar dúvidas obter conclusões ou mesmo possibilitar a tomada de decisões a respeito de características de interesse Por exemplo imagine que no local em que você reside foi realizado um estudo ambiental e este estudo revelou a presença de um 2 UNIUBE perigoso poluente no ar Esta revelação com certeza geraria muitas dúvidas quanto aos malefícios para a população Você certamente irá buscar mais explicações respeito Dependendo das conclusões do estudo você ou mesmo as autoridades responsáveis pelo local terão de tomar decisões a respeito dos malefícios deste perigoso poluente para a sua família ou para a população Certo Com base nos dados obtidos a respeito da concentração de poluentes talvez você tenha que decidir pela saída imediata de sua família deste local por certo tempo Por isso mencionamos que os procedimentos descritivos também possibilitam a tomada de decisões sobre as características de interesse Este exemplo e outros que estudaremos mostrarão o quanto a Estatística está presente no seu cotidiano Os exemplos estão em todos os contextos e mostram a importância que a Estatística assume cada vez mais em todas as áreas do conhecimento De modo geral este capítulo permitirá a você se familiarizar com os conceitos abordados por meio de exemplos situações problema e exercícios que enfocam a aplicação da estatística nas diversas áreas do conhecimento Ao final deste capítulo esperamos que você seja capaz de determinar situações práticas nas quais a Estatística poderá ser aplicada com propriedade combinando as possíveis interpretações e análises do fenômeno estatístico expressar dados mediante representação tabular e representação gráfica estabelecer intervalos de diferentes tipos e medidas calcular as principais medidas de posição e de variabilidade tanto para dados agrupados como para dados não agrupados usar o método de resolução das várias situações problema mediante a descrição demonstração aplicação análise desenvolvimento e julgamento Objetivos UNIUBE 3 Para melhor entender a Estatística no âmbito dos principais tópicos que serão abordados neste capítulo acompanhe o esquema na Figura 1 Esquema Qual é a importância da Estatística no seu dia a dia Discuta com seus colegas busque ouvir outras opiniões Acreditamos que isso será muito importante para você TROCANDO IDEIAS Aplicação da Estatística População Alvo Amostra Representativa Resultados Inferidos Análise Exploratória dos Dados Resultados Descritivos Resumo Referências Figura 1 Esquema do capítulo 4 UNIUBE A importância da Estatística no dia a dia 11 A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade profissional na vida moderna Nos seus mais diversificados ramos de atuação as pessoas estão frequentemente expostas à Estatística utilizando a com maior ou menor intensidade Isso se deve às múltiplas aplicações que o método estatístico proporciona àqueles que dele necessitam Desde as ciências sociais de Psicologia e Sociologia até áreas como educação ciências humanas e físicas ciências da saúde Administração ciências contábeis Economia Engenharia negócios Jornalismo comunicações e artes de forma geral A seguir você vai conferir alguns exemplos práticos indicando a importância da Estatística no seu dia a dia e como ela tem assumido um papel bem mais abrangente nas últimas décadas Exemplo 11 Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para determinar o índice de popularidade de um governo em exercício Suponha que a pesquisa será conduzida na próxima semana com 2500 indivíduos e eles serão questionados se o governo está fazendo uma boa ou má administração Exemplo 12 Imagine que um nutricionista trabalha em uma escola e deseja conhecer os hábitos alimentares das crianças em idade préescolar Exemplo 13 Suponha que você e seu sócio desejam decidir um negócio e se deparam com uma análise de incerteza ou seja quais as chances de as vendas de certo produto decrescerem se aumentarem os preços Exemplo 14 O engenheiro civil responsável pela concretagem de um complexo industrial suspeita que o concreto esteja fora das especificações quanto à resistência em determinado momento da usinagem Este problema o levará a indícios de falha no sistema de produção Isso dará ao engenheiro oportunidade para formular algumas hipóteses Por exemplo quanto aos componentes usados na mistura as máquinas utilizadas ou ainda uma possível falha humana entre outras Observe que neste Exemplo 14 a hipótese exemplificada e a necessidade do engenheiro de pesquisar o problema surgiram a partir de um fato encontrado em dados observados EXEMPLIFICANDO UNIUBE 5 O que é Estatística para você Registre as suas ideias e continue os seus estudos pois a seguir preparamos várias informações e fatos curiosos do seu dia a dia que estão intimamente relacionados à Estatística Será que você já não se deparou com alguns destes fatos PARADA PARA REFLEXÃO A Estatística é uma área do conhecimento que utiliza teorias probabilísticas para explicação de eventos estudos e experimentos Tem por objetivo obter organizar e analisar dados determinando as correlações que apresentem tirando delas suas consequências para descrição e explicação do que passou apresentando uma previsão e organização do futuro A Estatística também é considerada uma ciência e prática de desenvolvimento de conhecimento humano através do uso de dados empíricos Baseia se na teoria estatística um ramo da Matemática aplicada Na teoria estatística a aleatoriedade e incerteza são modeladas pela teoria da probabilidade Algumas práticas estatísticas incluem por exemplo o planejamento a sumarização e a interpretação de observações Porque o objetivo da Estatística é a produção da melhor informação possível a partir dos dados disponíveis alguns autores sugerem que a Estatística é um ramo da teoria da decisão Fique atento Após as considerações já mencionadas você percebeu que frequentemente nos deparamos com terminologias e expressões específicas da ciência em estudo Portanto tornase impreterível aguçar o seu interesse e compromisso em conhecer vocábulos ou expressões até então desconhecidos porém necessários aos seus estudos IMPORTANTE Sugerimos acessar o link a seguir para a profundar o seu conhecimento httpwwwibgegovbrhome PESQUISANDO NA WEB 6 UNIUBE Com as situações propostas a você até aqui juntamente com as suas experiências de vida seu dia a dia com sua família na ida para o seu trabalho a fila do caixa no supermercado em seu momento de lazer acreditamos que você está refletindo em relação aos conhecimentos em Estatística Por exemplo você poderá em algum momento se deparar ou até concordar com a seguinte ideia Podemos então comparar a Estatística a um grande baú Com muita calma é possível aprender e conquistar tudo o que ela pode nos proporcionar já que nos seus mais diversificados ramos de atuação nós estamos frequentemente expostos a ela utilizando a com maior ou menor intensidade Conheça a seguir um pouco da história da origem do termo Estatística O termo Estatística surgiu da expressão em latim statisticum collegium palestra sobre os assuntos do estado de onde surgiu a palavra em língua italiana Statista que significa homem de Estado ou político e a palavra alemã Statistik designando a análise de dados sobre o Estado A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII em latim por Schmeitzel na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão Gottfried Achenwall Apareceu como vocabulário na enciclopédia Britânica em 1797 e adquiriu um significado de coleta e classificação de dados no início do século XIX Para saber um pouco mais sobre a história da Estatística e seus principais componentes acesse o link httpwwwmatufrgsbrvigohistoriahtml SAIBA MAIS Em 1085 Guilherme O Conquistador ordenou que se fizesse um levantamento estatístico da Inglaterra Esse levantamento deveria incluir informações sobre terras proprietários uso da terra empregados e animais e serviria também de base para o cálculo de impostos Tal levantamento originou um volume intitulado Domesday Book Com este fato talvez seja mais fácil entender que o significado de Doomsday é Dia do juizo final CURIOSIDADE UNIUBE 7 Outro fato curioso são as Tábuas de mortalidade Você sabia que as Tábuas de mortalidade usadas na atualidade pelas companhias de seguro originaramse de estudos realizados no século XVIII Sim e isso por causa dos estudos de John Graunt 16201674 e William Petty 16231687 aritméticos políticos mais destacados na época pela busca de leis quantitativas que pudessem explicar o estudo numérico dos fenômenos sociais e políticos Dessa forma a escola dos aritméticos políticos pode ser considerada o berço da Demografia Fonte Disponível em httpwwwmatufrgsbrvigohistoriahtml Acesso em jun 2016 Acompanhe a seguir algumas noções gerais de Estatística descritiva Estatística descritiva parte I 12 De início propomos a você uma reflexão o que um analista que dispuser de dados de uma pesquisa deve fazer para extrair as informações de que precisa Neste momento acreditamos que você esteja construindo conhecimentos a partir de várias curiosidades e indagações o que será ótimo para sua formação pessoal e profissional Supõe se que você poderá em algum momento se deparar ou até concordar com a seguinte ideia Os dados de uma pesquisa devem ser reduzidos até o ponto em que se possa interpretá los mais claramente De onde vem o termo Estatística descritiva O que ela descreve Pois bem até aqui acreditamos que você está conduzindo muito bem o seu estudo Está refletindo sobre as terminologias apresentadas Ou seja nesse contexto você começa a desenvolver a linguagem e o raciocínio estatísticos Em outras palavras você está sendo professor de você mesmo Em definição a Estatística descritiva é o ramo da Estatística que se preocupa em descrever os dados observados da amostra sem se preocupar em fazer previsões sobre os parâmetros do universo A Estatística descritiva trata da coleta da organização e da descrição dos dados Então vamos entender o que é população e o que é amostra 8 UNIUBE 121 O que é população e o que é amostra As pessoas de uma comunidade podem ser estudadas sob diversos pontos de vista Por exemplo podem ser classificadas quanto ao sexo masculino ou feminino quanto à estatura baixa média ou alta quanto à renda pobres ou ricas entre outras Portanto sexo estatura e renda são variáveis isto é são propriedades às quais podemos associar conceitos ou números e assim expressar de certa forma informações sob forma de medidas E para você nome e sexo são formas de medida Reflita sobre essa questão Em seguida vamos para mais um desafio Exercite suas habilidades sobre o conceito de medida desenvolvendo a atividade proposta a seguir PARADA PARA REFLEXÃO Atividade 11 Para a realização dessa atividade escolha uma relação das pessoas que convivem com você por exemplo em sua residência na residência do seu vizinho ou em seu ambiente de trabalho Agora associe o nome das pessoas que você escolheu ao sexo de forma que isso se transforme em medida AGORA É A SUA VEZ Antes de propormos a atividade anterior fazíamos referências às variáveis isto é às propriedades para as quais podemos associar conceitos ou números e assim expressar de certa forma informações sob forma de medidas Logo qualquer conjunto de informações que tenham entre si uma característica em comum denotamos por população representaremos população por N maiúsculo Portanto uma população é um conjunto de unidades geralmente pessoas objetos transações ou eventos que nos interessa estudar MCCLAVE et al 2009 UNIUBE 9 São exemplos de população todas as lâmpadas produzidas por uma indústria no primeiro trimestre de determinado ano todos os pacientes atendidos no PS do HUMP no primeiro ano de sua inauguração Pronto Socorro do Hospital Universitário Mário Palmério destinado ao atendimento da população de Uberaba e região todos os animais de uma determinada espécie prontos para abate o número de unidades produzidas por um empregado de certa linha de produção durante os trinta dias que antecederam à pesquisa Os motivos de se estudar uma população são vários Por exemplo um engenheiro agrônomo pode estar interessado em determinar o peso médio de certa variedade de cana de açúcar cultivada em um determinado estado do Brasil ou um engenheiro de materiais pode desejar estudar os tipos de polímeros adequados para a confecção de canos plásticos PVC cujo intuito é aumentar a durabilidade com menor custo ou um ecologista pode ter o interesse de conhecer características de uma população constituída por todas as áreas de reservas extrativistas O estudo de uma população muito grande por exemplo o conjunto de todas as estaturas de uma comunidade será um trabalho difícil de executar Nesse caso o pesquisador terá um grande trabalho para estudála além de em alguns casos ocorrerem falhas nos resultados PARADA PARA REFLEXÃO A partir dessa ideia vamos aprender outro conceito Nos casos de populações muito grandes o pesquisador recorre basicamente a uma redução da população a dimensões menores sem perda das características essenciais ou seja extrai uma amostra representaremos amostra por n minúsculo desta população Por exemplo imaginemos uma pesquisa com 400 jogadores no caso representando a população N em estudo participantes do Campeonato Brasileiro 2009 famoso Brasileirão Esse estudo deseja verificar qual é a estatura média destes jogadores Para simplificar o trabalho 10 UNIUBE colhemos uma amostra n de 40 jogadores por exemplo e estudamos o comportamento da variável estatura somente destes 40 jogadores Assim como escolhemos a variável estatura poderíamos escolher outras variáveis como por exemplo renda familiar número de irmãos inteligência tipo sanguíneo grau de escolaridade preferência musical entre outras Uma amostra para ser boa necessariamente tem que ser representativa da população em estudo ou seja deve conter em proporção tudo o que a população possui qualitativa e quantitativamente Todos os elementos da população devem ter igual oportunidade de fazer parte da amostra No exemplo dado não poderíamos escolher quem quiséssemos para a amostra Portanto para garantir a representatividade e a imparcialidade de urna amostra é necessário seguir algumas regras Veja estas regras a seguir Regras a serem seguidas objetivando uma boa amostra I Para assegurar a representatividade de uma amostra devemos analisar a população para ver se seus elementos distribuem se homogeneamente ou se formam grupos com características peculiares Caso observarmos isso devemos respeitar as proporções com que esses grupos integram a população II A imparcialidade em uma amostra é obtida por sorteio dos elementos que farão parte desta amostra mediante a utilização de uma máquina geradora de números aleatórios ou de uma tabela de números aleatórios No decorrer dos seus estudos em Estatística você aprenderá mais sobre a utilização de uma tabela de números aleatórios Essas tabelas são construídas de modo a garantir que cada dígito cada par de dígitos consecutivos cada tema de dígitos consecutivos e assim por diante apareçam com a mesma frequência em uma longa sequência de números UNIUBE 11 122 Situações problema envolvendo a questão da representatividade Voltemos ao exemplo da mensuração da estatura média de 40 jogadores participantes do Campeonato Brasileiro 2009 Sabe se que a amostra n só traz informações sobre a população da qual foi retirada ou seja da população de 400 jogadores participantes do referido campeonato Para verificar o seu aprendizado sobre o significado prático da representatividade reflita sobre a questão a seguir Lembrese não é aconselhável seguir seus estudos com dúvidas a respeito de quaisquer dos conceitos abordados Faz sentido para você estudar a estatura dos jogadores participantes do Campeonato Brasileiro de determinado ano e considerar que as informações deste estudo se aplicam para descrever a estatura de jogadores participantes do campeonato italiano de futebol A resposta é não Não faz sentido pois as amostras em estudo integram populações diferentes PARADA PARA REFLEXÃO Após a reflexão estabelecida observe que temos uma amostra representativa da população inicial As pessoas na situação problema os jogadores passam a partir desse momento a ser tratadas como dados estaturas e podem dar origem ao estudo de diversas relações estatísticas como por exemplo a média aritmética a mediana a moda a variância o desvio padrão entre outras que mais adiante farão parte de seus estudos Essas relações estatísticas possibilitam descrever sob diversos ângulos o conjunto de dados representados pela amostra Por essa razão constituem o campo da Estatística descritiva Lembrese o interesse do pesquisador está voltado para a população da qual se originou a amostra Ele estuda as características da amostra pelo uso das relações estatísticas com o objetivo de atribuir estas características à população generalizando suas conclusões 12 UNIUBE A parte da Estatística em que o interesse está nas generalizações por meio das transferências de conclusões das amostras para as populações chamase Estatística inferencial Nessas transferências de conclusões o pesquisador se vale de um poderoso recurso que é a teoria das probabilidades que lhe permite avaliar e controlar o quão ele pode errar nessas generalizações ou seja nas inferências IMPORTANTE Você certamente está se perguntando como o pesquisador pode cometer erros nessas inferências Será que não tem como o pesquisador controlar esses erros Antes de respondermos a essas questões você se lembra da comparação que fizemos entre a Estatística e um grande baú E que com muita calma é possível aprender e conquistar tudo o que ela pode nos proporcionar Muito bem Então saiba que o pesquisador tem como aplicar recursos para manter o erro sob controle Em seus estudos subsequentes você irá aprender como o pesquisador controla esses erros Vale a pena conferir É muito interessante Atividade 12 Sobre o conteúdo até agora estudado classifique em verdadeiro ou falso as seguintes afirmações Apresente um argumento para a sua escolha Se for verdadeiro incremente mais informações ou exemplos Se for falso reescreva a questão corretamente a Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a organizar um conjunto de valores numéricos b Uma população pode ser constituída de todo solo pertencente a uma área bem definida c A Estatística descritiva fornece uma maneira adequada de tratar um conjunto de valores numéricos ou não com a finalidade de conhecermos o fenômeno de interesse AGORA É A SUA VEZ UNIUBE 13 d No fenômeno coletivo da eleição para governador no Estado de Minas Gerais a amostra é o conjunto de todos os eleitores habilitados nesse Estado e Qualquer amostra representa de forma adequada uma população A seguir vamos ressaltar a diferença entre dados e variáveis e estudar como a descrição dos dados facilitará a compreensão dos fatos envolvidos no estudo assim como apresentalos por meio de tabelas ou gráficos Qual é a diferença entre dados e variáveis Antes de prosseguir com seus estudos reflita sobre esta questão Acompanhe a ideia principal dessa diferença por meio do exemplo a seguir Exemplo 15 O gerente de certa empresa de transporte coletivo deseja saber a opinião dos usuários sobre a qualidade dos serviços de transportes diários que presta à comunidade De acordo com a situação proposta identifique qual é a variável em estudo e quais são os dados neste caso Resolução denominase variável uma característica de interesse da população em estudo Portanto no exemplo proposto a variável de interesse é a opinião dos usuários de transporte coletivo E como sabemos os dados representam os valores da variável em estudo Nesse caso suponhamos que o gerente ao realizar a pesquisa peça aos usuários que deem uma nota de zero a três a cada serviço utilizado Os dados coletados poderão ser por exemplo precisão no horário de ônibus nota 2 composição das linhas e itinerários nota 1 quadro funcional motorista cobrador atendimento ao usuário etc nota 2 entre outros EXEMPLIFICANDO Agora que você já sabe a diferença entre dados e variáveis saiba como os dados devem ser apresentados 14 UNIUBE 123 Apresentação dos dados Para melhor entendermos a apresentação dos dados primeiro preparamos um esquema simples conforme apresentado na Figura 2 Em seguida confira em detalhes os conceitos necessários e exemplos De acordo com a Figura 2 temos Em I os dados são classificados em dois tipos Dados quantitativos ou numéricos denotam as variáveis que assumem valores numéricos Dados qualitativos ou categóricos denotam as variáveis que assumem apenas valores categoriais Em II as variáveis podem ser classificadas segundo sua natureza em discreta ou contínua Variável discreta o domínio assume valores no conjunto dos números naturais N pode assumir apenas valores pertencentes a um conjunto enumerável Exemplo o número de estudantes entre os habitantes de uma cidade a frequência cardíaca batimentosminuto etc Variável contínua o domínio assume valores no conjunto dos números reais R pode assumir qualquer valor em certo intervalo de variação Exemplo a idade das pessoas residentes em um município o nível de glicemia mg 100 ml etc Tipos de Dados Quantitativo ou Numérico Qualitativo ou Categórico Discreto II I III Contínuo Nominal Ordinal Figura 2 Esquema de apresentação dos dados UNIUBE 15 Em III as variáveis podem ser de natureza nominal ou ordinal Variável nominal quando entre as categorias possíveis apenas podemse estabelecer relações de igualdade ou diferença Exemplo a variável sexo a qual é composta de duas categorias possíveis masculino e feminino Variável ordinal quando entre as categorias podem se estabelecer relações de ordem Exemplo relação de idêntico maior ou menor a variável nível socioeconômico com três categorias baixo médio ou elevado Conforme já mencionamos a descrição dos dados facilitará a compreensão dos fatos envolvidos no estudo Agora vamos estudar como apresentá los por meio de tabelas ou gráficos Fique atentoa para a apresentação e construção de tabelas Você já verificou a diferença entre construir um quadro e uma tabela Confira IMPORTANTE 124 Representação tabular A representação tabular consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado A elaboração de tabelas obedece à Resolução n 886 de 26 de outubro de 1966 do Conselho Nacional de Estatística As normas de apresentação são editadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE Na sequência você acompanha o esquema de uma representação tabular com as denominações de seus elementos e logo após um glossário especificando um a um esses elementos 16 UNIUBE Representação esquemática Título Cabeçalho Corpo Rodapé Elementos de uma tabela Título o título deve responder às seguintes questões O quê Assunto a ser representado fato Onde O lugar onde ocorreu o fenômeno local Quando A época em que se verificou o fenômeno tempo Cabeçalho parte da tabela na qual é designada a natureza do conteúdo de cada coluna Corpo parte da tabela composta de linhas e colunas Linhas parte do corpo que contém uma sequência horizontal de informações Colunas parte do corpo que contém uma sequência vertical de informações Coluna indicadora coluna que contém as discriminações correspondentes aos valores distribuídos pelas colunas numéricas Casa ou célula parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha com uma coluna Rodapé é o espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela onde são colocadas as notas de natureza informativa fonte notas e chamadas Fonte refere se à entidade que organizou ou forneceu os dados expostos Notas e chamadas denotam esclarecimentos contidos na tabela nota conceituação geral chamada esclarecer minúcias em relação a uma tabela UNIUBE 17 125 Distribuição de frequência Agora os dados referentes a determinado fenômeno são apresentados por meio de gradações em que são feitas a correspondência entre categorias ou valores possíveis e as respectivas frequências A definição de alguns conceitos será importante para o uso da linguagem apropriada ao elaborarmos e analisarmos as distribuições de frequências Vamos estudar as definições de dados brutos rol distribuição de frequência para a variável discreta tabela de frequência e distribuição de frequência para a variável contínua intervalo de classes 126 Dados brutos Como primeiro resultado de uma pesquisa obtém se dados brutos um conjunto de números ainda sem nenhuma organização Esse material é então ordenado de forma crescente ou decrescente com a indicação da frequência dando origem ao que chamamos de rol Exemplo 16 Uma pesquisa foi realizada numa cidade do interior de Minas Gerais cujo intuito é saber o número de pessoas por residência A amostra é de 30 residências e as primeiras informações seguem no Quadro 1 Quadro 1 Número de pessoas por residência 6 5 3 3 2 3 3 3 4 4 6 3 2 4 3 5 4 4 3 3 4 2 4 3 4 2 1 3 3 4 EXEMPLIFICANDO Antes de prosseguir com seus estudos é muito importante e aconselhável que você tenha sempre uma calculadora para efetuar os cálculos que forem necessários IMPORTANTE 18 UNIUBE 127 Rol O rol dos dados do Quadro 1 se apresenta arranjado no Quadro 2 a seguir Quadro 2 Número de pessoas por residência 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 6 6 O Quadro 2 apresenta vantagens concretas em relação aos dados brutos no Quadro 1 O rol crescente torna possível visualizar de forma bem ampla as variações dos dados uma vez que os valores extremos são percebidos de imediato Porém a análise pelo uso desse tipo de disposição começa a se complicar quando o número de observações tende a crescer 128 Distribuição de frequência para variável discreta tabela de frequência Tabela 1 Distribuição de frequência da variável número de pessoas por residência numa cidade do interior de Minas Gerais Xi 1 2 3 4 5 6 Total n ƒi 1 4 12 9 2 2 30 Em que Xi denota os elementos da amostra no caso número de pessoas por residência ƒi denota a frequência ou peso de cada valor da amostra n Conforme podemos observar no Quadro 1 os valores estão dispostos de forma desordenada Em razão disso pouca informação conseguimos obter analisando os dados apresentados Mesmo um a informação simples como saber os valores mínimos e máximos do número de pessoas por residência requer certo exame dos dados coletados UNIUBE 19 129 Distribuição de frequência para variável contínua intervalo de classe Para estudarmos este outro conceito vamos continuar com a mesma pesquisa ou seja depois de elaborar o rol é necessário determinar quantas faixas etárias terá a tabela de frequência O passo seguinte é subdividir os dados por classe ou categoria no caso o número de pessoas por residência e determinar o número de pessoas pertencentes a cada uma resultando na frequência de classe Seja k número de classes que a tabela de classe deverá conter n número de elementos da amostra Portanto se você tem uma amostra com 30 dados pode organizá los em uma tabela de distribuição de frequência sendo k o número de classes Para encontrarmos o número de classe k usamos o critério da raiz como é conhecido k n ou pelo uso da fórmula de Sturges em que log 1 log 2 n k em que n é o número de elementos da amostra Usando a fórmula de Sturges encontramos log30 1 59 6 log 2 k k Portanto determinamos que a distribuição será composta de 6 classes Após encontrar o valor de k é preciso determinar o intervalo de classes isto é o tamanho que cada classe deverá ter A determinação desta amplitude de classe será denotada por h a qual será constante isto é todas as k classes deverão ter a mesma amplitude Como calcular h É simples Fazemos minimo máximo A X X Logo A h k em que A denota a amplitude total isto é a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo Xmáximo denota o maior valor observado da variável em estudo Xmínimo denota o menor valor observado da variável em estudo h denota a amplitude do intervalo de classe 20 UNIUBE No exemplo apresentado de acordo com o Quadro 2 temos minimo 6 1 5 máximo A X X Portanto 5 083 1 6 A h k Em seguida o pesquisador determina os limites de cada classe ou seja o limite superior lsup e o limite inferior linf aplicando um dos quatro conceitos de intervalo que já estudamos Escolhe se um ponto de partida de acordo com os interesses da pesquisa Por exemplo decidimos que o limite inferior será de zero E a partir dele serão construídas as classes da tabela de frequência que deverá abranger todos os elementos do rol No caso da não abrangência de todos os elementos do rol devemos aumentar a amplitude do intervalo de classes h ou o número de classes k Desta forma se k 6 e 1 h com a primeira classe iniciada por zero temos a adição de h a cada classe Tabela 2 Intervalo de classes k Classes linf sup l if 1 1 2 1 4 12 9 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 30 UNIUBE 21 Em que lêse somatório É uma letra grega correspondente ao S latino usada para indicar a adição dos termos de uma série assume a mesma ideia do uso de total n Vamos juntos recordar as ideias principais em relação à construção de tabelas de distribuição de frequência abrangendo os intervalos de classes Dado o tamanho da amostra devese encontrar o valor de k que representa o número de classes Na sequência calcular a amplitude total A isto é a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo Encontrar o valor de h amplitude do intervalo de classes E por fim escolhese um ponto de partida de acordo com os interesses da pesquisa Acompanhe agora algumas regras importantes abrangendo a construção dos intervalos de classe 1 Geralmente os intervalos de classe devem ser escritos de acordo com a Re solução n 88666 do IBGE Para representar uma classe utilizase o símbolo indicando a inclusão do limite inferior linf e exclusão do superior lsup Ou lêse também um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita Portanto de acordo com a Tabela 2 uma residência com 4 pessoas está incluída na quarta classe linf 4 e não na terceira 2 De acordo com o item 1 é importante observar se os elementos estão in cluídos ou excluídos 3 Sempre que possível devese evitar classe com frequência nula principal mente em relação aos valores da primeira e última classe ou com frequência relativa muito elevada 22 UNIUBE Todavia mesmo em meio às ideias principais e algumas regras que acaba mos de apresentar saiba que às vezes ainda é preciso algo mais Como por exemplo agir com bom senso ou levar em conta a experiência pessoal no assunto Caso contrário só as expressões eou as regras podem não nos levar a uma decisão final mais sensata Mas fique tranquilo isso é natural nos estudos estatísticos e se deve à natureza dos dados em estudo da unidade utilizada para expressálos e principalmente do objetivo que se tem em vista alcançar com a pesquisa Veja mais alguns cálculos e suas respectivas expressões utilizadas na distribui ção de frequência para variável contínua intervalo de classe Ponto médio representaremos por i Pm a primeira letra maiúscula e a segunda minúscula i Pm surge da necessidade de definir um número para representar cada classe em geral denominado ponto médio Pmi ou seja a média entre os valores dos limites de classe Logo sua expressão é denotada por inf sup 2 i l l Pm Frequência relativa representaremos por f índice r ambos minúsculos a frequência relativa denota qual proporção cada classe representa em rela ção ao total n e é obtida dividindose cada uma das frequências absolutas if pelo tamanho da amostra n A frequência relativa é representada pela expressão A soma das frequências relativas sempre deverá ser igual a 1 Caso os valores aproximados contradigam essa regra basta arredondar algum desses valores para mais ou para menos de modo a obter a soma necessária IMPORTANTE UNIUBE 23 Frequência percentual representaremos por f p índice p ambos minúsculos como o próprio nome sugere a frequência porcentual indica a porcentagem de cada classe e para obtêla basta multiplicar rf por 100 assim a soma da frequência porcentual deverá ser igual a 100 Sendo assim temos 100 p r f f Frequência acumulada representaremos por F maiúsculo A frequência acumulada corresponde à soma da frequência absoluta if de sua classe mais a frequência acumulada das classes anteriores caso existir Dessa forma sua expressão é representada por iatual anterior F f F sendo 12 k i O valor da frequência acumulada F representado na última classe deverá ser igual ao valor de n ou seja ao total de elementos da amostra IMPORTANTE Com base no Exemplo 16 da pesquisa realizada numa cidade do interior de Minas Gerais cujo intuito é saber o número de pessoas por residência pode mos construir uma nova tabela de frequência ver Tabela 3 incluindo todos os cálculos relacionados anteriormente Tabela 3 Cálculos em função das frequências observadas quanto ao número de pessoas por residência numa cidade do interior de Minas Gerais k Classes fi i r f f n inf sup 2 l l Pm iatual anterior F f F inf l sup l 1 1 2 1 003 3 15 1 2 2 3 4 013 13 25 5 3 3 4 12 040 40 35 17 4 4 5 9 030 30 45 26 5 5 6 2 007 7 55 28 6 6 7 2 007 7 65 30 30 100 100 100 p r f f 24 UNIUBE Atividade 13 Os funcionários da empresa FAJUCAMADE estão em um sistema de horário flexí vel eles podem iniciar sua entrada no trabalho a partir das 7h até às 9h Os dados seguintes representam uma amostra estatística do horário de preferência escolhido pelos funcionários 7h 7h15 8h 8h45 7h 9h 7h 7h15 8h 8h 7h 8h 8h15 7h45 7h30 8h30 8h 8h15 7h45 9h 8h15 9h 8h30 7h 8h 7h15 7h 9h 7h30 7h45 Com base nas informações apresentadas responda as letras a seguir a Construa uma tabela de distribuição de frequências simples relativa percentual e acumulada utilize as Normas da ABNT para a construção da tabela b Podese afirmar que 20 dos funcionários tem preferência para a entrada no trabalho às 8 horas Em caso afirmativo ou não apresente os cálculos necessários para sua conclusão AGORA É A SUA VEZ Representação gráfica 13 A representação gráfica da distribuição de uma variável tem a vantagem de rápida e concisamente informar sobre sua variabilidade Entre os vários tipos de representações gráficas os melhores gráficos são os que primam pela sim plicidade e clareza Uma vez elaborada a tabela de frequência prosseguese com o desenho do gráfico um recurso de visualização dos dados constantes na tabela Entre os tipos de gráfico temos o histograma o polígono de frequência e o polígono de frequências acumuladas ogivas de Galton UNIUBE 25 De acordo com as informações anteriores o desenho gráfico é um recurso de visualização dos dados constantes na tabela certo O exemplo a seguir irá orientá lo e será muito importante para você concluir o que lhe será proposto mais adiante Confira Figura 3 Percentuais segundo o sexo versus doenças de notificação compulsória Nota notificação compulsória é a notificação obrigatória de casos de doenças da listagem de doenças de notificação compulsória Além das DNC todo e qualquer surto ou epidemia assim como a ocorrência de agravo inusitado independente de constar na lista de doenças de notificação compulsória deve ser notificado aos órgãos competentes Você tem conhecimento do Microsoft Office Excel É um programa de planilha eletrônica e seus recursos incluem uma interface intuitiva além de capacitadas ferramentas de cálculo e de construção gráfica Confira Afinal além de prepararmos os conteúdos básicos para sua base nos estudos estatísticos também cuidamos para que você se intere das possibilidades deste software para a resolução de problemas estatísticos Pois independente da área de atuação o mercado de trabalho almeja por profissionais cada vez mais qualificados DICAS Exemplo 17 Interprete as informações seguintes de acordo com o contexto em estudo Na Figura 3 estão representados os casos suspeitos ou confirmados de uma lista parcial de distribuição das Doenças de Notificação Compulsória DNC notificadas ao Serviço de Epidemiologia do Hospital dos Servidores do Estado HSE do Rio de Janeiro segundo o sexo EXEMPLIFICANDO 65 Rúbeola Intoxicação alimentar HIVAIDS Meningite Hepatite C Dengue Tuberculose 35 100 80 60 40 20 0 734 266 407 273 469 535 494 M F 693 727 631 465 606 Doenças de Notificação Compulsória Frequência 26 UNIUBE Apresentamos a seguir uma argumentação básica para o exemplo proposto e ressaltamos que você certamente irá apresentar outras respostas ou análises escritas diferentes como por exemplo iniciar sua análise pelo sexo feminino O importante é identificar o conteúdo e a coerência da argumentação apresentada Resolução de acordo com a análise gráfica podemos notar maior incidência de casos suspeitos ou confirmados de várias das Doenças de Notificação Compulsória DNC no sexo masculino Como por exemplo em intoxicação alimentar e meningite é possível observar que aproximadamente 72 dos casos são do sexo masculino contra aproximadamente 26 do sexo feminino Logo depois ainda com maior incidência no sexo masculino aparecem as demais doenças como mostram as respectivas porcentagens Rubéola 65 HIVAIDS 593 Hepatite C 531 e Tuberculose 506 A incidência de casos suspeitos no sexo feminino se dá com as seguintes porcentagens Rubéola 35 HIVAIDS 407 Hepatite C 469 e Tuberculose 494 Apenas a Dengue ocorreu em maior número de casos suspeitos ou confirmados no sexo feminino em torno de 535 contra 465 dos casos no sexo masculino Exemplo 18 Note que para resolver o exemplo proposto você poderá fazer uma regra de três simples ou utilizar os conceitos de frequências simples relativa e percentual O exemplo retrata um gráfico em colunas para representar o tempo em dias de completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia Por exemplo no final dessa coluna referente ao tempo de 17 dias eixo x de completo fechamento em cortes observamos uma frequência igual a 7 eixo y ou seja 7 pacientes demoraram esse tempo para completo fechamento em cortes Dessa mesma forma realizamos a leitura dos demais tempos Para responder a letra B observe o valor da frequência 5 pacientes para 14 dias de completo fechamento em cortes num total de 30 pacientes soma de todas as frequências 5 7 6 7 5 30 14 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 16 17 18 Tempoem dia Frequência UNIUBE 27 Atividade 14 Procure em jornais e revistas especializados dois exemplos de histograma polígono de frequência e polígono dê frequências acumuladas Reflita sobre os resultados observados Depois analise os gráficos de acordo com o conteúdo estudado Agora você vai conhecer as principais e mais importantes medidas de posição entre elas a média mediana e moda e de variabilidade como a variância coeficiente de variação e medidas separatrizes tanto para dados organizados em classes como para dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências É importante entender como as fórmulas retratam ora uma medida de posição ora de variação e saber realizar os seus cálculos para encontrar os valores procurados Mais do que isso você necessita compreender e interpretar esses valores AGORA É A SUA VEZ Com base nas informações apresentadas responda as letras a seguir a Analisando os resultados do gráfico observamos que um número maior tempo em dia de completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia é de 15 dias e de 17 dias em ambos os casos observamos uma frequência de 7 pacientes cada Em caso afirmativo ou não apresente a sua análise por extenso Resposta Sim é verdadeira conforme a análise das colunas referentes aos dias 15 e 17 e o valor correspondente das frequências em ambos os casos observamos uma frequência de 7 pacientes cada b Podese afirmar que 20 dos pacientes tiveram o completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia em 14 dias Em caso afirmativo ou não apresente os cálculos necessários e descreva por extenso a análise para o resultado encontrado Resposta 5 017100 017 ou 1667 30 Portanto é falsa a afirmação do total de 30 pacientes podese afirmar que 14 dias de completo fechamento em cortes provenientes de cirurgia ocorreu com aproximadamente 16675 dos pacientes conforme apresentado nos cálculos acima 28 UNIUBE Estatística descritiva parte II 14 Como você pôde observar até o momento resumimos os valores que uma variável pode assumir em forma de tabelas distribuição de frequências e gráficos Agora vamos aprender o cálculo de medidas que possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida São elas medidas de tendência central e medidas de variabilidade que serão abordadas a seguir 141 Medidas de tendência central As medidas de tendência central são também chamadas de medidas de posição e estabelecem o valor em torno do qual os dados se distribuem Podem ser utilizadas em conjunto para auxiliar a análise dos dados ou em determinadas situações uma pode ser mais conveniente do que a outra Por exemplo se um ou mais valores são muito discrepantes em relação aos demais valores observados a média será muito influenciada por esse valor discrepante tornando se assim inadequada para representar o conjunto de dados em estudo Para o cálculo dessas medidas é necessário que a variável seja quantitativa IMPORTANTE 1411 Média aritmética A média aritmética representa o ponto de concentração dos valores de um conjunto de dados ou uma sequência numérica Entre as medidas de tendência central é a mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de frequência Observe no Quadro 3 as médias apresentadas suas respectivas expressões e na sequência as aplicações destes conceitos UNIUBE 29 Quadro 3 Expressão para a média aritmética em relação ao tipo de dados analisados Média Tipos de dados analisados Expressão Média aritmética simples Dados brutos ou em rol 1 n i i x X n Média aritmética ponderada Dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências 1 n i i i x f X n Média Dados organizados em classes 1 n i i i Pm f X n Em que X denota a média aritmética X lêse X barra ix denota o valor genérico da observação n denota o tamanho da amostra número de observações ou seja i n f if denota a frequência ou peso de cada valor da amostra n Os valores 1 2 n x x x serão ponderados pelas respectivas frequências absolutas 1 2 n f f f no cálculo da média aritmética ponderada i Pm denota o ponto médio ou seja a média entre os valores dos limites de classe Expressão denotada por inf sup 2 i l l Pm 30 UNIUBE Situaçãoproblema 11 Especialistas em Engenharia de Trânsito ao realizar consultoria solicitada por órgãos públicos coletaram o número de acidentes de trânsito verificados em certo cruzamento no primeiro semestre de 2009 conforme indicados no Quadro 4 Determine a média do número de acidentes de trânsito mensais registrados pelos especialistas Interprete o resultado obtido Quadro 4 Registros de acidentes de trânsito Acidentesmês 6 5 7 8 4 6 Resolução 1 6 5 7 8 4 6 36 6 6 6 n i i x X n Portanto em média o número de acidentes de trânsito mensais registrados pelos especialistas no primeiro semestre de 2009 foi de 6 acidentes Na situaçãoproblema 12 a seguir observe que nos registros das observações mostrados no Quadro 5 ocorrem muitos valores repetidos Em um caso desses o mais indicado é utilizar a média aritmética ponderada em que os valores 1 2 n x x x serão ponderados pelas respectivas frequências absolutas 1 2 n f f f Confira a resolução detalhada Situação problema 12 Quadro 5 Registro do número de peixes mortos por semana 8 6 9 7 6 6 8 7 8 9 10 8 7 7 5 6 7 9 9 10 9 8 7 11 10 Resolução De acordo com o conjunto de dados do Quadro 5 é aconselhável a construção de uma tabela de frequência como a seguir EXEMPLIFICANDO UNIUBE 31 Tabela 4 Cálculos parciais para encontrar a média de peixes mortos por semana ix if i i x f 5 1 5 6 4 24 7 6 42 8 5 40 9 5 45 10 3 30 11 1 11 25 197 Assim a média para esta situação será 1 197 788 25 n i i i x f X n Portanto em média morrem aproximadamente 8 peixes por semana Situaçãoproblema 13 Suponha que você seja gestor de Recursos Humanos RH de uma Indústria e Comércio de Embalagens Hospitalares e necessite alinhar as políticas de RH com a estratégia da organização Como consequência você deverá recrutar candidatos com determinada faixa etária para o setor de Controle de Qualidade A distribuição de frequência apresentada na Tabela 5 descreve a faixa etária dos candidatos à procura de emprego de auxiliar de controle qualidade cuja função é de revisar embalagens hospitalares Aponte em média a idade dos candidatos à procura deste cargo Apresente os cálculos necessários e descreva por extenso a análise para o resultado encontrado Tabela 5 Faixa etária dos candidatos Faixa etária if 22 25 1 25 28 10 28 31 8 31 34 1 32 UNIUBE Resolução Para facilitar a resolução do problema sugerimos que você reescreva a Tabela 5 Para isso basta acrescentar as colunas necessárias para desenvolver os cálculos É bem prático calcular o ponto médio numa coluna depois na coluna seguinte calcular o produto deste valor pela frequência assim a somatória dessa coluna é um dos valores procurados 1 n i i i Pm f Verifique com atenção como realizamos a resolução Observe a Tabela 6 Tabela 6 Cálculos parciais para a média da faixa etária dos candidatos Classes Faixa etária if Pmi i i Pm f 1 22 25 1 235 235 2 25 28 10 265 265 3 28 31 8 295 236 4 31 34 1 325 325 Total n 20 557 Observe que foi introduzida na Tabela 6 a coluna do ponto médio da classe Pmi Recordar conteúdos estudados fortalece o seu aprendizado Você se recorda do cál culo do ponto médio O ponto médio da classe expresso pela fórmula inf sup 2 i l l Pm Calculando a média encontramos 1 557 2785 20 n i i i Pm f X n Concluímos que a idade média dos candidatos assume o valor de 2785 anos indicando que este é o valor em torno do qual as idades destes candidatos se concentram isto é de aproximadamente 28 anos 1412 Mediana A mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequência de números Representaremos a mediana por Md UNIUBE 33 Supondo uma sequência numérica 1 2 j n x x x x o elemento xj representa a mediana caso o número de elementos que o antecedem seja igual ao nú mero de elementos que o sucedem Para calcular a mediana atentese para as situações apresentadas no Quadro 6 Quadro 6 Cálculo da mediana em relação ao tamanho da amostra assume valor ímpar ou par Valor da amostra Mediana Se n é ímpar temos que o rol admite apenas um termo central ocupando a posição 1 2 n O valor do elemento que ocupa esta posição é a mediana Se n é par temos que o rol admite dois termos centrais e 1 2 2 n n O valor da mediana será expresso através da média destes dois termos centrais Para os dados brutos ou rol primeiro organizamos a sequência numérica em ordem crescente ou decrescente Depois verificamos se o número de elementos da amostra é par ou ímpar e adotamos os seguintes procedimentos conforme apresentados a seguir IMPORTANTE Exemplo 18 Seja a sequência numérica 4 12 9 1 17 14 5 15 e 3 Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente ou rol crescente 1 3 4 5 9 12 14 15 17 Como n 9 temos 1 9 1 5 2 2 n Logo o valor na sequência numérica que representa o 5º elemento em ordem crescente é o valor 9 Portanto Md 9 Isso implica que 50 dos dados assume valor igual ou superior a 9 e 50 dos dados assume valor igual ou inferior a 9 EXEMPLIFICANDO 34 UNIUBE Situaçãoproblema 14 O chefe do departamento de marketing de uma empresa compilou no Quadro 7 os dados mensais em milhares de reais das despesas com propaganda e deseja saber o valor mediano dessas despesas durante um ano Desenvolva os cálculos necessários para apresentar por extenso a conclusão encontrada Quadro 7 Dados mensais em milhares de reais das despesas com propaganda 221 2255 235 238 238 239 242 244 245 255 263 2825 Resolução Observe que os dados já se encontram em ordem crescente ou rol crescente Como n 12 temos 12 6 e 1 6 1 7 2 2 2 n n que a mediana situase entre o 6º e 7º elementos na amostra ou seja entre os valores 239 e 242 em negrito no Quadro 7 Logo 239 242 481 2405 2 2 Md Portanto o chefe do departamento de marketing concluirá que o valor mediano das despesas com propaganda durante um ano foi de 2405 milhares de reais Observe uma situaçãoproblema para os dados agrupados em intervalos variável contínua Situaçãoproblema 15 Uma comissão criada por donas de casa Estamos de olho no preço faz a cotação e divulga entre os moradores do bairro onde residem os preços de produtos em geral A Tabela 7 apresenta os dados referentes à variação de preço do macarrão em 19 supermercados ou lojas do gênero pesquisados durante 6 meses A partir dos dados registrados na tabela a que conclusão a comissão de donas de casa chegou a respeito do preço mediano do pacote de macarrão Desenvolva os cálculos necessários e descreva por extenso a análise para o resultado encontrado EXEMPLIFICANDO UNIUBE 35 Tabela 7 Intervalo de classes em função do preço do pacote de macarrão Classes Preço if iF 1 132 134 2 2 2 134 136 5 7 3 136 138 8 15 4 138 140 3 18 5 140 142 1 19 Total n 19 Resolução Usaremos a expressão inf 2 amterior i n F Md l h f em que linf denota o limite inferior da classe da mediana Fanterior denota a frequência acumulada anterior à classe da mediana ou seja a soma dos valores de i anteriores à classe da mediana h denota a amplitude da classe mediana if denota a frequência da classe da mediana Temos 1 19 1 10 2 2 n 10º elemento A seguir identificamos a classe da mediana através da F e como podemos observar o 10º elemento pertence a 3ª classe os valores foram destacado em negrito na tabela Em seguida substituise os valores conhecidos na expressão da mediana isto é 137 Md Portanto a comissão de donas de casa concluiu que 50 dos preços do pacote de macarrão pesquisado se apresentam igual ou menor que R137 e 50 dos preços de macarrão pesquisados se apresentam igual ou maior que R137 inf 25 95 7 2 136 002 136 002 136 001 8 8 anterior i n F Md l h f 36 UNIUBE Situaçãoproblema 16 O rótulo em uma embalagem de detergente líquido afirma que a embalagem contém 500 ml O controle de qualidade do fabricante ao inspecionar a linha de produção seleciona uma amostra de 12 recipientes desse produto para verificar se os recipientes estão dentro das normas especificadas no rótulo da embalagem Os dados obtidos estão registrados no Quadro 8 Sabendose que o controle de qualidade aceita uma produção que esteja dentro de 50002 ml do valor de mililitros especificados no rótulo do recipiente desenvolva os cálculos necessários para apresentar o valor médio e mediano dos dados amostrais Descreva por extenso as análises para os resultados encontrados Quadro 8 Dados de milimitros de embalagens de detergente líquido 50003 50000 50004 50002 50002 50005 50003 50000 50002 50003 50000 50002 De acordo com a situaçãoproblema 16 vamos juntos refletir para outros aspectos importantíssimos com relação aos resultados desses valores médios e medianos Sabese que o controle de qualidade aceita uma produção que esteja dentro de 50002 ml do valor de mililitros especificados no rótulo do recipiente e que em média o valor obtido está dentro do valor de aceitação Que tal fazermos neste momento uma reflexão a respeito de dois pontos de vista distintos nesta situação Olhar do consumidor quais benefícios você observa nessa realidade apresentada Olhar do gestor quais impactos positivos e negativos você nota quando analisa essa situação pelo ponto de vista da empresa Acompanhe em detalhes a resolução do cálculo da média dos dados de mililitros de embalagens de detergente líquido De acordo com os dados do Quadro 8 a construção de uma tabela irá auxiliar no desenvolvimento dos cálculos Lembrese desta dica UNIUBE 37 Tabela 8 Cálculos parciais da média em mililitros ix if i x fi iF 50000 3 150000 3 50002 4 200008 7 50003 3 150009 10 50004 1 50004 11 50005 1 50005 12 Total 12 600026 Assim a média para esta situação será 1 600026 50002 12 n i i i x f X n Portanto em média o valor de mililitros por embalagem de detergente é de aproxima damente 50002 ml embora o rótulo da embalagem de detergente líquido afirme que o conteúdo é de 500 ml por embalagem E sabendose que o controle de qualidade aceita uma produção que esteja dentro de 50002 ml do valor de mililitros especifi cados no rótulo do recipiente conclui se que através da média o resultado satisfaz o volume aceito pelo controle de qualidade Acompanhe em detalhes o cálculo da mediana Sempre ordene os valores Assim em ordem crescente temos 500 500 500 500 02 50002 50002 50002 50003 50003 50003 50004 50005 Como n 12 temos 12 6 e 1 6 1 7 2 2 2 n n Logo a mediana apresenta se en tre o 6º e 7º elementos ou seja entre 50002 e 50002 Assim o valor mediano é 50002 50002 50002 2 Md 38 UNIUBE Portanto concluiuse que 50 do valor de mililitros por embalagem de detergente apresentamse menores ou iguais a 50002 ml e 50 dos preços do valor de mililitros por embalagem de detergente são maiores ou iguais a 50002 1413 Moda A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior frequência ou seja é o valor que aparece mais vezes Representaremos a moda por Mo A moda pode não existir e mesmo que exista pode não ser única Situação 1 Dados brutos ou em rol Exemplo 19 Seja a amostra 2 3 3 4 5 5 5 7 e 10 O elemento de maior frequência é o número 5 portanto a moda 5 Mo daí a série ser chamada de unimodal Exemplo 110 Seja a amostra 4 6 9 1113 e 14 Observe que todos os elementos apresentam a mesma frequência logo a amostra é amodal No exemplo 111 a moda existe e não é única Observe Exemplo 111 Na série 6 6 7 7 9 e 10 os elementos de maior frequência são os números 6 e 7 portanto temos Mo 6 e Mo 7 daí a série ser chamada de bimodal Situação 2 Dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências Nesta situação basta identificar o elemento de maior frequência Observe a exemplificação da Tabela 9 com o correspondente valor da moda Tabela 9 Distribuição de frequência xi 1 5 6 8 13 fi 1 3 5 2 4 EXEMPLIFICANDO UNIUBE 39 Portanto a moda Mo 6 Isso implica que o valor 6 é o valor com maior frequência ou seja ele se repete por 5 vezes Situação 3 Dados organizados em classes Nesta situação primeiro identificamos a classe modal ou seja aquela que possui maior frequência Em seguida aplicamos a fórmula Acompanhe o exemplo da Tabela 10 Tabela 10 Intervalo de classes Classe Amostra fi 1 0 10 1 2 10 20 3 3 20 30 6 4 30 40 2 Total 12 Pela fórmula temos em que linf denota o limite inferior da classe modal 1 denota a diferença entre a frequência if da classe modal e a imediatamente anterior 2 denota a diferença entre a frequência if da classe modal e a imediatamente posterior h denota a amplitude da classe Identificamos na Tabela 10 que a classe modal é a 3ª classe em negrito ou seja a terceira classe é a que exibe a maior frequência simples isto é if 6 Portanto inf 1 1 2 3 20 10 20 043 10 243 243 3 4 Mo l h Mo inf 1 1 2 Mo l h 40 UNIUBE 1414 Medidas separatrizes As medidas separatrizes representam números reais que separam o rol ou a distribuição de frequências em partes iguais Assim a mediana que divide a sequência ordenada em duas partes cada uma delas contendo 50 dos valores da sequência é também uma medida separatriz Além da mediana estudaremos outras medidas separatrizes denominadas quartis sendo 1234 Qi i quintis sendo 12345 ik i decis sendo 12 10 Di i e percentis sendo i 12 100 iP Observe com atenção a representação esquemática de uma sequência ordenada e a seguir relacionea com o enun ciado denominado para cada divisão desta sequência Figura 4 Representação esquemática de uma sequência ordenada Decis série ordenada dividida em 10 partes cada uma ficará com 10 de seus elementos Quartis série ordenada dividida em 4 partes cada uma ficará com 25 de seus elementos Percentis ou centis série ordenada dividida em 100 partes cada uma ficara com 1 de seus elementos Quintis série ordenada dividida em 5 partes cada uma ficará com 20 de seus elementos P25 D1 D2 P20 P40 P60 P80 K1 K2 K3 K4 D3 D7 D8 D9 Q1 25 0 10 20 30 40 60 70 80 90 100 50 75 Q2 Q3 P50 P15 UNIUBE 41 em que 1 Q denominado primeiro quartil separa a sequência ordenada deixando 25 de seus elementos à esquerda e 75 de seus elementos à direita 2 Q denominado segundo quartil separa a sequência ordenada deixando 50 de seus elementos à esquerda e 50 de seus elementos à direita Observe que o 2 Q é a mediana da série IMPORTANTE 3 Q denominado terceiro quartil separa a sequência ordenada deixando 75 de seus elementos à esquerda e 25 de seus elementos à direita 1 K denominado primeiro quintil separa a sequência ordenada deixando 20 de seus elementos à esquerda e 80 de seus elementos à direita 1 D denominado primeiro decil separa a sequência ordenada deixando 10 de seus elementos à esquerda e 90 de seus elementos à direita 1P denominado primeiro centil ou primeiro percentil separa a sequência ordenada deixando 1 de seus elementos à esquerda e 99 de seus elemen tos à direita 20 P denominado vigésimo centil ou vigésimo percentil separa a sequência ordenada deixando 20 de seus elementos à esquerda e 80 de seus ele mentos à direita 42 UNIUBE Observe que o 4 Q 5 K D10 e 100 P separa a sequência ordenada deixando 100 de seus valores à esquerda e correspondem diretamente ao último valor da sequência Mais ainda podemos estabelecer a fórmula de cálculo de percentis onde todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis basta observarmos que os quartis quintis e decis são múltiplos dos percentis Dessa forma observe as correspondentes colunas que apresentamos a seguir SAIBA MAIS Para fixarmos melhor o estudo das medidas separatrizes entre elas o quartil o quintil o decil e o percentil ou centil vamos aprender a calcular essas medidas por meio da equação geral quartílica Acompanhe o cálculo dessas equações Quartis i Q Genericamente para encontrar a ordem ou posição do quartil Qi a ser calculado usaremos a expressão 4 Qi i n E em que Qi E denota o elemento quartílico i denota o número do quartil a ser calculado sendo i 1234 n denota o número de observações 1 25 1 20 1 10 2 50 2 40 2 20 3 75 3 60 3 30 4 80 4 40 5 50 Q P K P D P Q P K P D P Q P K P D P K P D P D P 6 60 7 70 8 80 D P D P D P UNIUBE 43 Quintis i K De maneira geral para encontrar a ordem ou posição do Quintil i K a ser calculado usaremos a expressão 5 Ki i n E em que Ki E denota o elemento quintílico i denota o número do quintil a ser calculado sendo 12 5 i n denota o número de observações Decis i D De maneira geral para encontrar a ordem ou posição do Decil i D a ser calculado usaremos a expressão 10 Di i n E em que Di E denota o elemento decílico i denota o número do decil a ser calculado sendo 12 10 i n denota o número de observações Percentis ou Centis iP Para encontrar a ordem ou posição do percentil ou Centil a ser calculado usamos a expressão 100 iP i n E em que iP E denota o elemento percentílico i denota o número do percentil ou centil a ser calculado sendo 12 10 i n denota o número de observações Para o caso do i n 100 for um número inteiro ou não temos se i n 100 for um número inteiro iP é um dos valores da sequência ordenada se i n 100 não for um número inteiro iP é definido como a média dos valores que ocupam as posições aproximadas pois iP é um elemento inter mediário entre os elementos que ocupam estas posições 44 UNIUBE Para dados organizados em classes encontraremos os quartis de maneira semelhante à usada para o cálculo da mediana inf Qi anterior i i E F Q l h f em que i Q denota o Quartil i sendo i 123 linf denota o limite inferior da classe que contém o quartil desejado i Q Qi E denota o elemento quartílico Fanterior denota a frequência acumulada até a classe anterior à classe mediana h denota a amplitude do intervalo de classe if denota a frequência absoluta simples da classe quartílica Importante Observe na expressão para dados organizados em classes que primeiro é preciso encontrar a equação geral quartílica desejada Após o resultado encontrado na equação em estudo devemos ir para a frequência acumulada F e verificar em qual classe ou linha do quadro ou tabela se encontra esse valor obtido na equação quartílica Isso implica que nessa classe no geral se encontra o valor da medida separatriz desejada Dessa forma para os dados organizados em classes encontraremos as outras medidas separatrizes ou seja os quintis decis e percentis de maneira semelhante à usada acima Note que a mudança irá ocorrer apenas na notação da medida separatriz i Q i K i Q e iP e na equação geral quartílica desejada Qi E Ki E Di E e iP E Exemplo 113 Os dados do Quadro 9 informam a produção de barris de petróleo bruto por mês de 16 poços de petróleo Quadro 9 Dados da produção de barris de petróleo bruto por mês 390 420 390 510 420 450 410 510 430 420 400 520 450 420 450 510 EXEMPLIFICANDO UNIUBE 45 Com base nas informações responda as letras a seguir a Desenvolva os cálculos e apresente o valor do 1º quartil Em seguida apresente por extenso a análise para esse resultado sobre a produção de barris de petróleo bruto por mês b Desenvolva os cálculos e apresente o valor do 2º decil Em seguida apresente por extenso a análise para esse resultado sobre a produção de barris de petróleo bruto por mês Resolução a Ordenando a sequência em rol crescente temos 390 390 400 410 420 420 420 420 430 450 450 450 510 510 510 520 Como sabemos 1 25 Q P assim calculamos 25 de 16 n 16 obtendo 25 16 4 100 100 iP i n E 25 P é o 4º elemento do rol crescente ou seja o valor 4 indica a posição do vigésimo quinto percentil 25 P que corresponde ao primeiro quartil Q1 1 25 Q P pedido na letra a A seguir observando o rol crescente concluímos que o 4º elemento corresponde ao valor 410 Portanto 1 25 410 Q P ou seja 25 dos poços de petróleo produzem valores menores ou iguais a 410 barris de petróleo bruto por mês e 75 desses poços produzem valores maiores ou iguais a 410 b Ordenando a sequência em rol crescente temos 390 390 400 410 420 420 420 420 430 450 450 450 510 510 510 520 Como sabemos 1 10 D P assim calculamos 10 de 16 n 16 obtendo 10 16 16 2 100 100 iP i n E 10 P é o 2º elemento do rol crescente ou seja o valor 2 indica a posição do décimo percentil 10 P que corresponde ao primeiro decil D1 1 10 D P pedido na letra b 46 UNIUBE IMPORTANTE Observe que o valor 390 é inferior ao valor 410 pois por se tratar de medidas de posição 10 dos dados ocupam valores inferiores a 25 dos dados Exemplo 114 A Tabela 11 informa a distribuição de frequência da dimensão em milímetros mm de uma determinada peça INFORMAÇÃO Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 2 casas decimais Tabela 11 Distribuição de frequência da dimensão em milímetros de uma determinada peça Dimensão mm Nº de peças if 92 97 2 97 102 5 102 107 12 107 112 17 112 117 14 117 122 6 122 127 3 127 132 1 Após as informações sobre a distribuição de frequência da dimensão das peças desenvolva e apresente os cálculos necessários para encontrar o valor do terceiro quartil Descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Resolução Usaremos a expressão inf Qi amterior i i E F Q l h f em que linf denota o limite inferior da classe da quartílica A seguir observando o rol crescente concluímos que o 2º elemento corresponde ao valor 390 Portanto 1 10 390 D P ou seja 10 dos poços de petróleo produzem valores menores ou iguais a 390 barris de petróleo bruto por mês e 90 desses poços produzem valores maiores ou iguais a 390 UNIUBE 47 Fanterior denota a frequência acumulada anterior à classe quartílica ou seja a soma dos valores de if anteriores à classe quartílica h denota a amplitude da classe quartílica if denota a frequência da classe quartílica Temos 3 3 360 360 45 4 4 4 Qi Q Q i n E E E 45º elemento da F frequência acumulada A seguir identificamos a classe quartílica através da F e como podemos observar o 45º elemento pertence a 5ª classe os valores foram destacados em negrito na tabela Em seguida substituise os valores conhecidos na expressão da medida quartílica isto é inf 9 45 36 112 050 112 050 112 032 14 14 Qi anterior i i E F Q l h f 3 1152 Q Portanto concluise que 75 das peças analisadas se apresentam com dimensão igual ou inferior que 1152 milímetros e 25 das peças se apresentam com dimensão igual ou superior que 1152 milímetros Importante Note que o valor encontrado 1152 milímetros está localizado no intervalo indicado 45º elemento da F frequência acumulada quando calculamos a equação quartílica Qi E conforme proposto nesse exemplo Da mesma forma devemos analisar para as demais medidas separatrizes apresentadas Atividade 15 Fornecida a Tabela 11 com a distribuição de frequência do consumo médio de eletricidade kmhora entre usuários de uma cidade do interior de Minas Gerais desenvolva e apresente os cálculos necessários para o valor do primeiro quartil do septuagésimo quinto centil e para o nono decil Descreva por extenso a conclusão para os resultados encontrados AGORA É A SUA VEZ 48 UNIUBE Tabela 12 Distribuição de frequência Consumo kwhora Número de usuários f1 F 5 25 4 4 25 45 6 10 45 65 14 24 65 85 26 50 85 105 14 64 105 125 8 72 125 145 6 78 145 165 2 80 Total 80 Para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores de um conjunto de números lançaremos mão das estatísticas denominadas medidas de variabilidade Confira a seguir Medidas de variabilidade 15 As medidas de variabilidade nos proporcionarão um conhecimento mais completo do fenômeno a ser analisado permitindo estabelecer comparações entre fenô menos da mesma natureza e mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da medida de tendência central São elas a Amplitude Total ou Intervalo Total A o Desvio Padrão S a Variância S2 e o Coeficiente de Variação CV 151 Amplitude total ou intervalo total Amplitude total ou intervalo total que denotaremos por A é a diferença entre o maior valor e o menor valor da série estudada A amplitude nos fornece a ideia do campo de variação destes valores No entanto devemos frisar que a amplitude não é uma boa medida de variabilidade porque seu cálculo se baseia apenas nos valores extremos da amostra e não em todos os dados máx min A X X UNIUBE 49 152 Desvio padrão O desvio padrão que denotaremos por S é a medida de dispersão mais usada e mais importante O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito matemático de distância Em outras palavras a dispersão dos dados em relação à média de uma sequência pode ser avaliada através dos desvios de cada ele mento da sequência em relação à média da sequência Dessa forma medimos a concentração dos dados em torno da média O desvio padrão é expresso pela soma dos quadrados dos desvios em torno da média dividida pelo número de observações Conforme apresentado no Quadro 10 seguem os tipos de dados analisados e suas respectivas expressões Quadro 10 Expressão para o desvio padrão em relação ao tipo de dado analisado Tipos de dados analisados Expressão Desvio padrão Dados brutos ou rol 2 1 1 n i i x x S n Dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências 2 1 1 n i i i x x f S n Dados organizados em classes 2 1 1 n i i i Pm x f S n 50 UNIUBE Quando os valores vierem dispostos em uma tabela de frequência o cálculo do desvio padrão farseá por meio da expressão do desvio padrão para dados agrupados IMPORTANTE 153 Variância A variância denotada por representa o quadrado do desvio padrão Conforme apresentado no Quadro 11 seguem os tipos de dados analisados e suas respectivas expressões Quadro 11 Expressão para a variância em relação ao tipo de dado analisado Tipos de dados analisados Expressão Variância Dados brutos ou rol 2 2 1 1 n i i x x S n Dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências 2 2 1 1 n i i i x x f S n Dados organizados em classes 2 2 1 1 n i i i Pm x f S n 154 Coeficiente de variação O coeficiente de variação que denotaremos por CV é uma medida relativa de variabilidade útil para comparação em termos relativos do grau de concen tração em torno da média de diferentes conjuntos de dados O coeficiente de variação é expresso por S 100 CV X UNIUBE 51 Exemplo 115 Um órgão que alista jovens do município de residência nos seis primeiros meses do ano em que completar dezoito anos tem cadastrados dados da distribuição de frequência das alturas cm de cem desses jovens De acordo com as informações do Quadro 12 determine o cálculo da média e do desvio padrão dessas alturas Interprete o resultado obtido para ambos os cálculos Quadro 12 Distribuição de frequência das alturas cm de cem jovens Altura cm 151 158 159 166 167 174 175 182 183 190 Total n f1 5 18 42 27 8 100 Resolução Como podemos observar os dados estão agrupados com intervalos variável contínua Então vamos utilizar do seguinte cálculo para a média para dados não organizados em classes ou organizados em distribuição de frequências 1 n i i i Pm f X n Dica Observe que a construção de um novo quadro com o acréscimo de novas colunas para realizarmos alguns cálculos que serão utilizados nas fórmulas tornará mais fácil e rápido o nosso trabalho Neste exemplo para o cálculo da média vamos somar o produto dos valores do ponto médio de cada classe i Pm às suas respectivas frequências if ou seja 1 n i i i Pm f Certo EXEMPLIFICANDO Como o CV é uma medida que exprime a variabilidade relativa à média é usualmente expresso em porcentagem A seguir leia com atenção dois exemplos aplicados às medidas de variabilidade que acabamos de apresentar Observe que apresentamos os cálculos desenvolvidos passo a passo assim como a ideia para você interpretar os resultados obtidos 52 UNIUBE Então por que não adicionarmos uma coluna com o resultado do i Pm e outra com o resultado do produto de cada valor encontrado do ponto médio pela sua frequência i Pm fi Acompanhe nossa dica para a construção de um quadro e o desenvolvimento dos cálculos necessários Quadro 13 Desenvolvimento dos cálculos parciais necessários Alturas cm Pmi i Pm fi 2 Pmi x 2 i i Pm x f 151 158 5 1545 7725 29584 147920 159 166 18 1625 29250 8464 152352 167 174 42 1705 71610 144 6048 175 182 27 1785 48195 4624 124848 183 190 8 1865 14920 21904 175232 Total n 100 1 171700 n i i i Pm f 2 1 n i i i Pm x f 60640 Recordar que o i Pm é o número que vai representar cada classe ou seja a média entre os valores dos limites de classe Dado pela expressão inf sup 2 i l l Pm Logo o valor do ponto médio que representa a primeira classe na tabela de distribuição de frequência das alturas dos estudantes é inf sup 151 158 309 1545 2 2 2 i i l l Pm Pm cm E assim sucessivamente para as demais classes Assim a média para esta situação será 171700 17170 100 i i Pm X cm f UNIUBE 53 O cálculo do desvio padrão para os dados organizados em classes será 2 1 1 n i i i Pm x f S n Dica Outra vez reforçamos a mesma ideia da inclusão de novas colunas no quadro para tornar mais fácil e rápido o seu trabalho Atenção para o cálculo do ponto médio menos o valor da média encontrada Pmi x Observe que Pmi x é necessário realizálo para cada ponto médio em cada i classe menos a média encontrada x 17170 Isto é 1545 1545 17170 172 i Pm e assim sucessivamente até o cálculo da última classe Depois 2 172 2 29584 Pmi x e assim sucessivamente até o cálculo da última classe Com os cálculos desenvolvidos passo a passo o desvio padrão é expresso da seguinte forma Portanto concluímos que a média das alturas dos jovens se apresenta em torno de 17170 cm Observamos também através do resultado do desvio padrão que em média as alturas se distanciam 783 cm umas das outras Exemplo 116 Duas equipes de jogadores de basquete apresentaram os seguintes resultados quanto às medidas das alturas de seus jogadores Qual equipe se apresenta relativamente mais estável em relação as suas alturas Apresente os cálculos necessários para essa análise em seguida descreva por extenso o resultado dessa análise Os dados apresentamse no Quadro 14 100 2 1 6064 6064 6125 783 1 100 1 99 i i i Pm x f S cm n 54 UNIUBE Quadro 14 Dados das equipes I e II em relação às médias e desvios padrão Equipe I 191 X I cm 604 IS cm Equipe II 197 X II cm 1619 SII cm Resolução Os valores dos coeficientes de variação são respectivamente Equipe I Equipe II Portanto concluise que embora com menores medidas nas alturas a Equipe I se apresenta mais estável em relação às medidas das alturas dos jogadores da Equipe Exemplo 117 Aplicação dos Conceitos de Medidas de Posição média desvio padrão e coeficiente de variação Uma Usina de Açúcar e Álcool realizou um experimento para comparar 2 programas de treinamento de funcionários para executar um serviço especializado em um dos seus setores Entre os inscritos 12 funcionários foram selecionados ao acaso para serem treinados pelo método I e outros 12 para serem treinados pelo método II Terminado o treinamento todos os funcionários realizaram o serviço e foi registrado o tempo em que cada um desempenhou a tarefa Os dados do tempo em minutos despendidos em executar o serviço segundo o método de treinamento são apresentados na Tabela 13 INFORMAÇÃO Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em zero casas decimais 604 100 100 316 191 I I I I S CV CV X 1619 100 100 821 197 II II II II S CV CV X UNIUBE 55 Tabela 13 Dados do tempo em minutos despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento I e II Método de Treinamento I II 24 28 27 25 16 26 18 28 20 26 19 19 21 17 16 23 23 19 11 13 20 31 15 23 Com base nas informações do enunciado e os dados apresentados na Tabela 12 responda as seguintes letras a Qual o tempo médio em minutos despendidos em executar o serviço segundo o método de treinamento I e II Desenvolva os cálculos necessários para encontrar esses valores e apresente sua conclusão por extenso b Podese afirmar que o resultado do desvio padrão despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento I se distanciam em 6 minutos uns dos outros E para o método II se distanciam em 3 minutos Em caso afirmativo ou não justifique sua conclusão por extenso apresentando os cálculos necessários para isso c Qual o valor dos coeficientes de variação para o método I e II Desenvolva os cálculos necessários para encontrar esses valores d Com base no resultado encontrado na letra c para o valor dos coeficientes de variação para o método I e II podese afirmar que segundo o método de treinamento I os funcionários se apresentam relativamente mais estáveis em relação aos tempos despendidos por cada funcionário segundo o método de treinamento II Em caso afirmativo ou não justifique sua conclusão por extenso apresentando os cálculos necessários para isso 56 UNIUBE Resolução Primeiro organizar os dados em rol para essa atividade isso não é necessário mas dependendo da atividade proposta isso poderá lhe ajudar a otimizar sua resposta Lembrese disso Método I 11 15 16 16 18 19 20 20 21 23 24 27 rol crescente Método II 13 17 19 19 23 23 25 26 26 28 28 31 rol crescente Cálculos da média para o método I 1 n i i i I x f X n Média 12 1 11 15 2 16 18 19 220 21 23 24 27 12 12 i i i I x f X 230 19 12 I X Portanto o tempo médio em minutos despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento I foi de 19 minutos Cálculo da média para o método II Método II 13 17 19 19 23 23 25 26 26 28 28 31 rol crescente 1 n i i i II x f X n Média 12 1 13 17 2 19 223 25 226 228 31 12 12 i i i II x f X 278 23 12 X II UNIUBE 57 Portanto o tempo médio em minutos despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento II foi de aproximadamente 23 minutos Cálculo do desvio padrão 2 1 1 n i i i x x f S n desvio padrão Atenção Observe que sugerimos a construção de um quadro com o acréscimo de colunas para a realização de alguns cálculos que serão utilizados nas fórmulas isso tornará mais fácil e rápido o seu trabalho Lembrese que o cálculo da média do método I é 228 19 12 I X Acompanhe nossa dica para a construção de um quadro e o desenvolvimento dos cálculos necessários Quadro 15 Desenvolvimento dos cálculos parciais necessários Tempo Método I minutos if 2 ix x 2 i i x x f 11 1 11 19 2 64 641 64 15 1 16 16 16 2 9 18 18 1 1 1 19 1 0 0 20 2 1 2 21 1 4 4 23 1 16 16 24 1 25 25 27 1 64 64 Total 12 210 Logo 2 1 210 210 4 1 12 1 11 n i i i I x x f S n A afirmativa é falsa Pois concluímos que através do resultado do desvio padrão que o tempo em minutos despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento I se distanciam aproximadamente em 4 minutos uns dos outros 58 UNIUBE Cálculo do desvio padrão para o método II Lembrese que o cálculo da média do método II é 278 23 12 X II Acompanhe a sugestão para a construção de um quadro e o desenvolvimento dos cálculos necessários Quadro 16 Desenvolvimento dos cálculos parciais necessários Tempo Método II minutos if 2 ix x 2 i i x x f 13 1 2 13 23 100 1001 100 17 1 36 36 19 2 16 32 23 2 1 2 25 1 4 4 26 2 9 18 28 2 25 50 31 1 64 64 Total 12 306 Logo 2 1 306 306 5 1 12 1 11 n i i i II x x f S n A afirmativa é falsa Pois se conclui que através do resultado do desvio padrão que o tempo em minutos despendidos por cada funcionário para executar o serviço segundo o método de treinamento II se distanciam em 5 minutos uns dos outros Cálculo do coeficiente de variação para ambos os métodos Método I Método II 4 100 100 21 19 I I I I S CV CV X 5 100 100 22 23 II II II II S CV CV X UNIUBE 59 A afirmativa é verdadeira Pois concluise que com menor tempo despendido para executar o serviço os funcionários do método I se apresentam relativamente mais estáveis em relação aos tempos despendidos por cada funcionário segundo o método de treinamento II pois o resultado do coeficiente de variação foi ligeiramente menor para o método I isto é foi de 21 enquanto que para o método II foi de 22 Resumo Iniciamos este capítulo apresentando a Estatística sob o olhar das reflexões e aplicações no dia a dia entre as diversas áreas do conhecimento Associados à introdução propusemos os objetivos entre os quais destacamos aqui o reconhe cimento dos métodos de resolução das várias situações problema mediante a descrição demonstração aplicação análise desenvolvimento e julgamento Em seguida apresentamos os conceitos gerais da Estatística descritiva nas partes I e II Na parte I vimos os métodos tabulares e gráficos para descrever dados Em seguida na parte II foram apresentados a você os métodos numé ricos de descrição de dados especificamente representados pelas medidas de posição média mediana e moda pelas medidas separatrizes quartis decis e percentis e pelas medidas de variabilidade amplitude total desvio padrão e variância Lembrese também das ferramentas de apoio para as suas dúvidas disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA IMPORTANTE O objetivo desse capítulo foi proporcionar a você a introdução conceitual básica da Estatística e suas aplicações No entanto tivemos o cuidado de fornecer outras referências bibliográficas como sugestões de leitura e aprimoramento de seus estudos 60 UNIUBE Referências MCCLAVE J T BENSON G SINCICH Terry Estatística para administração e economia São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 MOORE David S A Estatística básica e sua prática 3 ed Rio de Janeiro LTC 2005 MORETTIN Luiz G Estatística básica probabilidade e inferência Vol único São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 TOLEDO Geraldo L OVALLE Ivo I Estatística básica 2 ed São Paulo Atlas 2008 Introdução Conhecendo o cálculo da probabilidade Capítulo 2 Hoje em dia os meios de comunicação de massa ou mídias entre eles os jornais as revistas o rádio a televisão e mais recentemente a internet popularizaram os conceitos e noções da teoria das probabilidades Este fato contribuiu para a interação estimulante e fl exível entre a teoria e o dia a dia das pessoas desmistifi cando a associação inicial de probabilidade com os jogos de azar Historicamente o propósito dos estudiosos da teoria das probabilidades limitavase aos estudos dos jogos de azar cujo interesse estava voltado em planejar estratégias de apostas A limitação no estudo da teoria das probabilidades retardou por muito tempo o seu desenvolvimento como disciplina no campo da Matemática Até que PierreSimon de Laplace publica em 1812 o livro Theorie Analytique des Probabilités no qual aborda a defi nição clássica de probabilidade A partir daí o progresso desta teoria não parou novos estudos foram realizados ao longo do tempo proporcionando aos estudiosos a aplicação da probabilidade na solução de diversos problemas presentes no cotidiano das pessoas Hoje podemos encontrar diversos exemplos que ilustram a utilização e a aplicação das probabilidades Por exemplo a previsão de produção de milho para o próximo ano a constatação de falha mecânica em um sistema de prevenção contra vazamento em uma usina nuclear o preparo de um orçamento municipal 62 UNIUBE hospitalar etc a avaliação do impacto de uma redução no número de funcionários de determinado setor de uma empresa o cálculo dos custos da produção cafeeira de gado de corte etc a avaliação de associação entre implantes mamários e doença de tecido conjuntivo Perceba portanto que a probabilidade está muito mais presente na sua vida do que você até então poderia imaginar Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos de probabilida des algumas definições e regras importantes e necessárias ao seu entendimento e aplicação O objetivo deste estudo é oferecer a você inicialmente o entendimento intuitivo da teoria das probabilidades Você entenderá por exemplo porque as chances de um indivíduo conseguir conquistar o cargo almejado são de uma em três Imaginamos que durante os seus estudos você queira entrar em con tato conosco Então não se esqueça das ferramentas de apoio para esclarecimento de suas dúvidas disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Ao final deste capítulo esperamos que você seja capaz de definir probabilidade identificar situações práticas às quais se aplica a probabilidade definir experimento espaço amostral e evento distinguir as três definições de probabilidade clássica frequen tista e subjetiva identificar situações práticas em que cada uma das definições de probabilidade é aplicada calcular probabilidades aplicar o princípio básico da regra de Bayes na resolução de situaçõesproblema Objetivos UNIUBE 63 Probabilidade Definições e Notações Básicas Definição Clássica Frequentista Subjetiva Experimento Aleatório Espaço Amostral Evento Axiomas Teoremas Probabilidade Condicional Teorema de Bayes Resumo Referências Figura 2 Esquema do capítulo Fonte Acervo da autora Iniciaremos agora o estudo do conceito básico de probabilidade e de algumas terminologias empregadas enfatizando o quanto esta ferramenta de auxílio e desenvolvimento de estratégias está presente em nosso dia a dia 64 UNIUBE Definições e notações básicas 21 O que é probabilidade para você Você se recorda de algum fato momento ou informações de seu cotidiano que transmite ideias de probabilidade Reflita sobre estas questões e registre as suas respostas Concluída a sua reflexão compare com a definição que você criou de probabilidade com o conceito que vamos apresentar Observe que a probabilidade traz consigo algumas terminologias importantes e que necessariamente precisamos entender os seus significados Confira a seguir essas terminologias PARADA PARA REFLEXÃO Probabilidade é a possibilidade ou chance de ocorrência ou medida de ocor rência de um evento definido sobre um espaço amostral que por sua vez está relacionado a algum experimento aleatório ou não determinístico No cálculo da probabilidade o resultado será um número real compreendido entre 0 e 1 ou o equivalente a dizer entre 0 e 100 É comum em bibliografias eou contextos diferentes os autores usarem escritas símbolos ou formas de notação diferenciados pois cada um tem o seu estilo de escrita O importante é você identificar o conteúdo e acompanhar com coerência as ideias apresentadas O contato com diferentes estilos possibilitará a você mais capacidade de raciocínio conhecimento e domínio do conteúdo estudado independente do texto que lhe for apresentado IMPORTANTE Preparamos a seguir algumas questões sobre as quais você deverá refletir antes de conferir as respostas Responda cada uma delas com suas palavras sem medo de errar UNIUBE 65 Componha um grupo de estudos no qual cada um possa responder na sua vez e depois em conjunto conferir quem chegou mais próximo da resposta correta Para decidir no grupo de estudos quem irá iniciar o jogo de perguntas e respostas utilize um dado equilibrado por exemplo Ao lançar o dado quem tirar o menor valor da face voltada para cima responde primeiro Interessante não é DICAS Este é um exercício diferente que preparamos para você com o objetivo de ressaltar algumas terminologias que farão parte das próximas definições e regras para a obtenção de probabilidades O que é um modelo probabilístico para você Quais as principais ideias que devemos ter de um experimento aleatório ou não determinístico O que é um espaço amostral O que é um evento Reflita sobre estas questões e confira a seguir as respostas que preparamos Definimos modelo probabilístico como um modelo matemático utilizado para descrever um experimento aleatório As principais ideias que representam um experimento aleatório são todos os resultados possíveis são conhecidos previamente antes de cada realização não se conhece com certeza o resultado que será obtido daí a incerteza conceito no qual se baseia a teoria de probabilidade por fim o experimento aleatório pode ser repetido em condições idênticas 66 UNIUBE Você pode relacionar essas ideias com um experimento Por exemplo lançar uma moeda honesta Se uma moeda é lançada é certo que ela cairá mas não podemos afirmar se o resultado será cara ou coroa Definimos espaço amostral geralmente representado por S ou Ω lêse Ômega como o conjunto de todos os possíveis resultados de natureza quantita tiva ou qualitativa de um experimento aleatório Por exemplo no lançamento de uma moeda honesta o espaço amostral do experimento é Ω cara coroa Evento representaremos por E maiúsculo é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento Para exemplificar considere o lançamento de um dado honesto cujo espaço amostral é Ω 123456 Nesta ação há diversos eventos possíveis entre eles obter a face menor do que 4 ou seja E 123 ou ainda obter a face par E 246 Exemplo 21 Um técnico de segurança do trabalho quer estimar o nível de ruído em decibéis emitido por um prédio em construção na vizinhança Qual o espaço amostral desse experimento aleatório realizado pelo técnico de segurança do trabalho Resolução O espaço amostral desse experimento aleatório realizado pelo técnico de segurança do trabalho representa o conjunto de todos os números reais positivos e com isso assume valor contínuo Exemplo 22 Defina o espaço amostral Ω para o experimento aleatório em que um engenheiro responsável pelo controle de qualidade no processo de produção deseja escolher uma bateria para celulares e medir o seu tempo de vida útil Resolução Portanto o espaço amostral é t 0 Ω t em que t representa o tempo de vida útil E podemos notar que t 0 inclui a possibilidade da bateria não apresentar carga logo no início do teste EXEMPLIFICANDO UNIUBE 67 Agora é com você Vamos verificar se você entendeu os conceitos que estudamos até o momento Para isso resolva a atividade a seguir Se achar necessário retome os conceitos já estudados Sucesso Atividade 21 De acordo com os estudos sobre o conceito de espaço amostral responda as letras a seguir a Um engenheiro responsável pelo controle de qualidade no processo de produção deseja escolher uma lâmpada comum e medir o seu tempo de vida útil Qual o espaço amostral para o experimento aleatório apresentado b Considere o experimento aleatório que consiste no lançamento de dois dados Qual o espaço amostral para esse experimento c Um estagiário responsável pela produção de uma confecção pretende conhecer o número de peças íntimas defeituosas produzidas durante 1 hora Qual o espaço amostral para o experimento aleatório apresentado d Um técnico de segurança do trabalho quer estimar o nível de ruído em decibéis emitido por um prédio em construção na vizinhança Qual o espaço amostral para o experimento aleatório apresentado Neste momento vamos estudar a origem das probabilidades e algumas curiosidades interessantes a ela relacionadas Para isto é importante você compreender que há três definições diferentes para calcular probabilidades a definição clássica a definição frequentista e a definição subjetiva Você vai observar e estudar alguns exemplos que irão auxiliálo na distinção entre as três definições citadas AGORA É A SUA VEZ Probabilidade 22 Devemos ter muita atenção na escolha da definição de probabilidade a ser aplicada pois esta depende da natureza do fenômeno ou seja dependendo da situação em estudo é favorável aplicarmos uma definição em relação às demais 68 UNIUBE 221 Definição clássica Quando iniciamos os principais conceitos de probabilidade por meio de exemplos práticos o fazemos com o intuito de enfatizar o quanto estes conceitos proba bilísticos estão presentes no seu dia a dia Os exemplos visam a orientálo a desvendar de forma intuitiva a importância da probabilidade aplicada nas suas atividades profissionais Exemplo 23 Considere o fenômeno rolar um dado equilibrado Observando o número que ocorre na face voltada para cima ou superior qual a probabilidade de ocorrer o evento número par Resolução Denominando a probabilidade de ocorrer número par por Pocorrer número par p 3 ocorrer número par 6 P p Portanto obtivemos três resultados favoráveis sobre os seis resultados possíveis do espaço amostral Ω 123456 A probabilidade de ocorrer o evento número par é de 05 ou 50 EXEMPLIFICANDO Com base no Exemplo 23 vamos agora conhecer a definição clássica de probabilidade Definição clássica representa a proporção do número de resultados favoráveis ao evento em relação ao nú mero total de resultados possíveis do fenômeno quando todos estes são considerados equiprováveis Esperamos que por meio do exemplo apresentado você tenha entendido com facilidade a definição clássica Equiprováveis O termo equiprovável ou igualmente provável significa não preferir alguns resultados em detrimento de outros Isso é fácil observar quando ocorre algum tipo de simetria no fenômeno estudado UNIUBE 69 Historicamente é na Idade Média com Galileu que se registrou pela primeira vez a citação do termo equiprová vel Saiba que mesmo em épocas remotas a definição clássica foi considerada muito restrita pois não respon dia a questão o que é probabilidade Se observarmos o exemplo estudado a definição clássica só realiza o cálculo de probabilidade de alguns eventos mais simples utilizando para isso o método de contagem Fique atento Do mesmo modo que nos empenhamos em aprender e entender um exemplo é preciso nos empenhar para compreender uma definição referente à parte teórica A próxima definição que vamos apresentar é a definição frequentista Antes de conhecermos sua teoria vamos estudar alguns exemplos práticos 222 Definição frequentista Exemplo 24 Suponha um experimento em que jogamos um percevejo usado para afixar painéis de aviso sobre uma superfície lisa Qual a probabilidade dele cair apontado para cima Resolução Primeiro é necessário entender que neste caso não podemos recorrer para propriedades de simetria pois no caso do percevejo elas não existem Portanto pense como calcular a probabilidade dele cair apontado para cima A ideia é aproximar a probabilidade p pela estimativa da probabilidade de ocorrência do evento ou seja jogar o percevejo n vezes mantendose as mesmas condições mesmo percevejo mesmo indivíduo jogador mesma superfície etc Para resolver este problema devemos utilizar a expressão a seguir P cair apontado para cima p EXEMPLIFICANDO 70 UNIUBE número de vezes que cair apontado para cima número total de observações p n Desta forma esta razão tende a estabilizarse isto é aproximarse de um limite Logo a definição frequentista denota a probabilidade de um evento E expressa por lim número de ocorrências de em repetições independentes número de repetições do experimento n E n P E n Neste exemplo poderíamos também considerar uma moeda não equilibrada isto é cara e coroa não são igualmente prováveis ou um dado não honesto isto é os resultados 1 2 3 4 5 e 6 não são igualmente prováveis Você deve se recordar quando neste capítulo dissemos fique atento para distinguir que a escolha da definição a ser aplicada depende muito da natureza do fenômeno É possível observar que a definição frequentista se baseia na estabilidade da frequência relativa No exemplo estudado o percevejo deverá ser lançado diversas vezes e a frequência com que sua ponta cai para cima atingirá depois de várias repetições um comportamento que tende a estabilidade Se lançado n vezes o percevejo cair com a ponta para cima em aproximadamente 70 das tentativas este é o comportamento esperado do evento Portanto sua probabilidade tende a ser de 07 ou 70 RELEMBRANDO Exemplo 25 Qual a chance de se retirar de um baralho comum uma carta de ouros Logo E retirar uma carta de ouros de um baralho comum X número de resultados favoráveis à ocorrência do evento E T número total de resultados igualmente possíveis do espaço amostral Ω EXEMPLIFICANDO UNIUBE 71 Portanto 13 1 025 ou 25 52 4 n E P E P carta de ouro n Ω Se existem 13 cartas de ouros em 52 cartas totais temos 25 de chance de retirar uma carta de ouros de um baralho comum A seguir vamos estudar a terceira e última definição para calcular probabilidades a definição subjetiva Da mesma forma que as duas anteriores vamos apresentála por meio de exemplos Confira 223 Definição subjetiva Suponhamos que um químico manipule um novo perfume para mulheres e atribua uma probabilidade de aceitação deste perfume junto às mulheres bastante diferente daquela atribuída pelo dono do estabelecimento Isso exemplifica a atribuição de probabilidades subjetivas ou seja baseadas em experiências passadas opiniões enfim no poder de análise pessoal de uma situação específica A esta abordagem dáse o nome de definição subjetiva de probabilidade A probabilidade subjetiva é especialmente útil na tomada de decisões quando estas não puderem ser determinadas empiricamente Estude os exemplos a seguir refletindo sua crença a respeito deles Exemplo 26 Qual é a probabilidade de você fechar sua nota na próxima avaliação presencial Exemplo 27 Qual é a probabilidade de chover no fim de semana Exemplo 28 Qual é a probabilidade do enfermo se recuperar completamente EXEMPLIFICANDO 72 UNIUBE Assim a definição subjetiva considera a avaliação da crença do observador na ocorrência de um evento Você pode estar se perguntando mas não existe na definição subjetiva uma regra a ser seguida Para responder a esta pergunta vamos retomar um dos exemplos apresentados qual é a probabilidade de chover no fim de semana Para que a teoria construída sobre esta ou outras questões subjetivas pessoais tenha consistência coerência algumas regras gerais e de comportamentos racionais são estabelecidas Estas regras são baseadas em alguns axiomas ou seja teorias que vamos apresentar ainda neste capítulo Mas antes de co nhecer estes axiomas vamos conhecer algumas terminologias e ideias básicas que os compõem Axiomas da probabilidade 23 Na definição axiomática de probabilidade os eventos são representados por conjuntos os quais pertencem a uma estrutura matemática associada ao conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento É importante ressaltarmos também que o cálculo de probabilidades a que se referem as três definições que estudamos anteriormente é definido como uma medida nestes conjuntos Vamos agora estudar alguns axiomas de probabilidade Axioma 1 0 1 P E Axioma 2 1 P Ω Axioma 3 Se 1 E e 2 E são eventos mutuamente exclusivos então 1 2 1 2 P E ou E P E P E É sabido portanto que dois eventos 1 E e 2 E são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum isto é 1 2 E E UNIUBE 73 231 Alguns dos principais teoremas de probabilidade São teoremas de probabilidade I O evento impossível possui probabilidade zero isto é P 0 II Se c E representa o evento complementar de E então 1 P Ec P E III Para quaisquer eventos supor e A B temos que c P A P A B P A B IV Se A B P A P B V Se associados a um espaço amostral Ω estiver dois eventos quaisquer A e B temos que P A B P A P B P A B Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos isto é A B temos do teorema V P A B P A P B Exemplo 29 Para resolver o exemplo proposto considere a informação Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 2 casas decimais Sejam A e B dois eventos associados a um espaço de probabilidades Suponha que P A 020 060 P A B e P B p a Apresente os cálculos e determine o valor de p se A e B forem mutuamente exclusivos b Apresente os cálculos e determine o valor de p se A e B forem eventos independentes EXEMPLIFICANDO 74 UNIUBE Resolução a Sabese que se associados a um espaço amostral Ω estiver dois eventos quaisquer A e B temos que P A B P A P B P A B Caso os eventos A e B sejam mutuamente exclusivos isto é 0 P A B temos 060 020 0 060 020 040 P A B P A P B P A B p p p b Caso os eventos A e B sejam independentes isto é P A B P A P B temos 060 020 020 060 020 020 040 080 050 P A B P A P B P A B P A B P A P B P A P B p p p p p p 232 Probabilidade condicional Considerando dois eventos A e B associados a um espaço amostral Ω A pro babilidade do evento A ocorrer dado que o evento B ocorreu é representada pela expressão em que 0 P A B P A B P B P B Quando calculamos a probabilidade P A B a ideia intuitiva que podemos ter é que evento B seja um novo espaço amostral reduzido dentro do qual queremos calcular a probabilidade do evento A UNIUBE 75 Exemplo 210 Para resolver o exemplo proposto considere a informação Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 2 casas decimais A Companhia de Seguros Viva com Segurança Ltda analisou a frequência com que 800 segurados usaram os serviços hospitalares no ano de 2015 Os dados são apresentados no quadro a seguir Quadro 1 Dados dos segurados que usaram os serviços hospitalares Usa o hospital Sexo Total Masculino Feminino Sim 65 100 165 Não 325 310 635 Total 390 410 800 Com base nas informações do quadro apresentado responda as letras a seguir a Qual a probabilidade de uma pessoa segurada ser do sexo feminino Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado b Qual a probabilidade de uma pessoa segurada não usar o hospital dado que é do sexo masculino Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Resolução a Considerando o seguinte evento B a pessoa segurada é do sexo feminino isso implica o total que usa e não usa o hospital EXEMPLIFICANDO 76 UNIUBE 410 051 800 n B P B n Ω ou 5125 calculadora fixada em duas casas decimais Atenção Observe no quadro o destaque da linha e da coluna em negrito isso de acordo com as variáveis envolvidas na pergunta uma pessoa segurada ser do sexo feminino Portanto a probabilidade de uma pessoa segurada ser do sexo feminino é de aproximadamente 5125 b Considerando os seguintes eventos A a pessoa segurada não usa o hospital C a pessoa segurada é do sexo masculino 325 083 390 P A C P A C P C ou 8333 calculadora fixada em duas casas decimais Atenção Observe o destaque da linha e da coluna em negrito isso de acordo com as variáveis envolvidas na pergunta pessoa segurada não usar o hospital dado que é do sexo masculino Portanto a probabilidade de uma pessoa segurada não usar o hospital dado que é do sexo masculino é de aproximadamente 8333 233 Teorema do produto Do conceito de probabilidade condicional P A B P A B P B em que P B 0 obtémse o teorema do produto também conhecido como teorema da multiplicação P A B P A B P B UNIUBE 77 Generalizando para n eventos temos P A B C N P A P B A P C A B P N A B C 234 Independência estatística Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade de ocorrência de A isto é 0 P A B P A P B O que equivale à expressão P A B P A P B Não é difícil verificar que se A é independente de B então B é independente de A Além disso o uso da expressão anterior nos permitiu verificar que o evento vazio é independente de qualquer evento Importante Não é difícil verificar que se A é independente de B então B é independente de A Além de o uso da expressão acima nos permitir verificar que o evento vazio é independente de qualquer evento Para resolver o exemplo proposto considere as informações Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 2 casas decimais Exemplo 211 Sabese que uma indústria de enlatados apresenta um processo de inspeção para controle de qualidade em três linhas de produção I II e III A probabilidade de uma lata passar em qualquer dessas linhas de produção sem ser detectada é de aproximadamente 78 Com base nestas informações qual a probabilidade de uma lata passar pelas três linhas de produção sem ser detectada Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado EXEMPLIFICANDO 78 UNIUBE Resolução A situação apresentada na questão sugere a aplicação da definição de eventos independentes entre as três linhas de produção assim podemos escrever 0783 4746 P I II III Portanto com base nas informações obtidas a probabilidade de uma lata passar pelas três etapas de inspeção sem ser detectado é de aproximadamente 4746 Para resolver o próximo exemplo proposto considere as informações Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 9 casas decimais Considere l a confiabilidade do sistema de controle Exemplo 212 O MFEA26 é o mais recente avião teleguiado produzido por uma empresa americana Testes são realizados e o índice de falha do sistema de controle deste avião teleguiado é de 1 em 15000 Supondose que em cada avião produzido a partir do próximo ano seja instalado um segundo sistema de controle idêntico e independente do primeiro para atuar quando esse último falhar Sabendose que a confiabilidade de um sistema de controle é a probabilidade de o mesmo não falhar qual a confiabilidade do avião produzido a partir do próximo ano Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Resolução Primeiro denominamos o evento depois com muita atenção definimos a probabilidade de interesse iA avião falha ao decolar em que i 12 P I II III P I P II P III 115000 000007 i P A UNIUBE 79 Assim a probabilidade de os dois sistemas de controle falhar é expressa por 2 1 2 1 2 000007 0000000004 P A A P A P A Assim a confiabilidade do avião produzido é expressa por 1 0000000004 0999999996 9999999960 l Portanto a probabilidade do avião produzido a partir do próximo ano não falhar ou seja a sua confiabilidade é de aproximadamente 9999999960 Atividade 22 Sabese que a Indústria FAJU CAMADE fabricante de sacos em tecido de polipropileno big bags apresenta um processo de inspeção para controle de qualidade em três etapas I II e III A probabilidade de um produto passar em qualquer dessas etapas de inspeção sem ser detectado e de aproximadamente 82 Com base nestas informações qual a probabilidade de um produto passar pelas três etapas de inspeção sem ser detectado Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado AGORA É A SUA VEZ 235 Teorema da probabilidade total Sejam 1 2 3 n E E E E eventos que constituem uma partição do espaço amostral Ω isto é para i j E E i j 1 2 3 n E E E E Ω 0 para todo 12 P Ei i n 80 UNIUBE Assim se B representa um evento temos o seguinte teorema conhecido como teorema da probabilidade total 236 Teorema de Bayes Considera 1 2 3 n A A A A eventos mutuamente excludentes cuja união re presenta o espaço amostral Ω isto é um dos eventos necessariamente deve ocorrer Observe o diagrama seguinte A1 A3 B A4 A2 A2 Assim se B é um evento qualquer temos o seguinte teorema conhecido como teorema de Bayes representado pela expressão Saiba que o teorema apresentado permite determinar as probabilidades dos vários eventos 1 2 3 n A A A A que podem ser a causa da ocorrência do evento B Por causa disso o teorema de Bayes é também conhecido como teorema da probabilidade das causas 1 1 n n i i i i i P B P E B P E P B E 1 i i i n i i i P A P B A P A B P A P B A UNIUBE 81 Para resolver o exemplo proposto considere as informações Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 4 casas decimais Exemplo 213 Após um levantamento de dados o setor de qualidade responsável pelas fábricas A B C que fabricam determinado produto constatou que cada fábrica participa com 44 33 e 23 respectivamente da produção total A proporção de produtos com defeito é de 3 produzidos pela fábrica A 1 produzidos pela fábrica B e 2 produzidos pela fábrica C Uma análise desses produtos é realizada ao acaso na fábrica o que permitiu ao setor de qualidade verificar a existência de produtos com defeito Com base nas informações apresentadas qual a probabilidade desses produtos defeituosos terem sidos produzidos pela fábrica A Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Resolução Primeiro denominamos cada um dos eventos depois com muita atenção definimos a probabilidade condicionada ao evento de interesse A representa o evento produzido pela fábrica A D representa o evento produto com defeito Pergunta qual a probabilidade desses produtos com defeito terem sidos produzidos pela fábrica A Logo queremos a probabilidade condicional de P A D P A D P D P D A P A D P D P D IMPORTANTE Não se esqueça de que os produtos com defeitos podem provir de qualquer uma das três fábricas e só de uma Portanto confira a seguir como realizar os cálculos de P D que representa a probabilidade dos produtos considerados com defeitos EXEMPLIFICANDO 82 UNIUBE Como calcular P D 044 003 033 001 023 002 00211 P D Assim D A A D P A P P P D 044 003 044 003 033 001 023 002 P A D Portanto concluise que a probabilidade desses produtos com defeitos terem sidos produzidos pela fábrica A é de 6256 aproximadamente Na próxima atividade você ira aplicar o teorema de Bayes o qual nos fornece as probabilidades a posteriori utilizando as probabilidades a priori Atividade 23 Ambientalistas de uma ONG Organização Não Governamental apos um levantamento de dados constataram em uma cidade a existência de três indústrias I II III Cada indústria participa com 40 35 25 respectivamente da produção industrial da cidade A proporção de gases poluentes lançados na atmosfera e de 2 pela indústria I 1 pela indústria II e 3 pela indústria III Uma analise da emissão de gases poluentes ou de partículas solidas na atmosfera e realizada ao acaso nesta cidade o que permitiu aos ambientalistas verificar a existência de polução atmosférica Qual e a probabilidade dos gases considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria II Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado AGORA É A SUA VEZ D A D B D C P D P A P P B P P C P 00132 06256 6256 00211 P A D ou UNIUBE 83 Atenção Lembrese das ferramentas de apoio para as suas dúvidas disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA IMPORTANTE Resumo Neste capítulo introduzimos os conceitos básicos atribuídos às probabilidades e determinamos situações práticas às quais ela se aplica Abordamos algumas definições e regras importantes e necessárias ao entendimento e aplicação do cálculo de probabilidades Entre elas a definição clássica a definição frequentista e a definição subjetiva com a inserção de exemplos práticos e desenvolvidos passo a passo O objetivo deste capítulo é orientar você acerca das diversas áreas do conhe cimento para a introdução de probabilidade e suas aplicações No entanto tivemos o cuidado de fornecer outras referências bibliográficas como sugestões de leitura e aprimoramento de seus estudos Referências MOORE David S A estatística básica e sua prática 3 ed Rio de Janeiro LTC 2005 MORETTIN Luiz G Estatística básica probabilidade e inferência Vol único São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 TOLEDO Geraldo L OVALLE Ivo I Estatística básica 2 ed São Paulo Atlas 2008 Introdução Distribuições de probabilidade Capítulo 3 Assim como no capítulo anterior continua remos nossos estudos sobre probabilidade Desta vez conhecendo as distribuições de probabilidade Para ter êxito neste estudo e importante que inicialmente você conheça e domine alguns conceitos inerentes a probabilidade Você reconhecera uma variável aleatória que em síntese representa uma função que associa valores reais aos resultados de um espaço amostral Você estudará neste capitulo a diferença entre variáveis aleatórias discretas e continu as Em seguida entendera que o objetivo de uma distribuição estatística e descrever o comportamento de uma variável aleatória a qual necessaria mente e constituída de valores seguem alguma distribuição de probabilidade Uma vez que você reconhece o conceito de distribuição estatística e o seu objetivo estudaremos as mais importantes distribuições de probabilidade discretas e continuas Neste capitulo portanto vamos estudar a distribuição binomial e a distribuição de Poisson as quais compõem o grupo das distribuições de probabilidade Espaço amostral O termo espaço amostral geralmente representado por S ou Ω lêse Ômega é o conjunto de todos os possíveis resultados de natureza quantitativa ou qualitativa de um experimento aleatório Por exemplo no lançamento de uma moeda honesta o espaço amostral do experimento é 86 UNIUBE discretas Entre as continuas estudaremos a distribuição Normal Aprenderemos a utilizar as tabelas de distribuição binomial Poisson e Normal para o cálculo de probabilidades Você percebera que estas tabelas são muito uteis pois facilitam a resolução de problemas envolvidos nestas distribuições Durante o estudo caso você tenha dúvidas use as ferramentas de apoio para as suas dúvidas disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Lembre se a estatística é útil e essencial na solução de problemas nas mais diversas áreas do conhecimento Por conseguinte nosso objetivo é que você se familiarize com os conceitos estatísticos de forma bastante prazerosa e eficaz principalmente porque torcemos pelo seu sucesso pessoal e profissional Aposte que uma boa preparação irá lhe proporcionar inúmeras oportunidades tanto pessoais como profissionais Bom estudo Ao final deste capítulo esperamos que você seja capaz de diferenciar variáveis aleatórias discretas e contínuas identificar situações práticas nas quais as variáveis aleatórias podem ser aplicadas com propriedade conhecendo assim as possíveis interpretações do experimento estatístico explicar as diferenças básicas entre distribuições discretas e contínuas de probabilidades calcular probabilidades mediante aplicação da distribuição binomial Poisson e normal tanto pelo uso de expressões como pelo uso de tabelas Objetivos UNIUBE 87 Distribuições de Probabilidade Discreta Variável Aleatória Contínua Poisson Binomial Normal Binomial Poisson Normal Tabelas de Distribuições de Probabilidade Referências Resumo Figura 1 Esquema dos principais tópicos abordados neste capítulo Fonte Acervo da autora Distribuições de probabilidade 31 Antes de apresentarmos a definição de distribuições de probabilidade reflita sobre algumas situações práticas comuns em nosso do dia a dia Reflita sobre as seguintes questões Se você trabalha em um açougue então já observou vários quilogramas de carnes vendidas Caso você seja um profissional da área da saúde então e comum para você inferir o número de batimentos cardíacos de alguém Certamente um professor do Ensino Fundamental lhe pediu para plantar sementinhas de feijão em um algodão por exemplo e observar o que iria ocorrer Você se lembra do número de questões que acertou na última avaliação presencial ou se passou por algum outro exame com 50 questões por exemplo PARADA PARA REFLEXÃO 88 UNIUBE Agora siga com sua leitura para saber o porquê destas e outras reflexões presentes no seu dia a dia Vale destacar o quanto você está intimamente ligado a Estatística ou seja o quanto você está exposto a experimentos estatísticos Vai ser muito interessante iniciar o dia e já notar um experimento destes ou na ida para o trabalho ou durante almoço no momento de escolher seu prato ou em contar quanto tempo ficou na fila para pagar sua conta de energia elétrica ou na volta para casa enquanto espera uma carona entre outras O que é uma distribuição de probabilidade Antes de seguir com a sua leitura tente refletir qual é a ideia que você faz ou sugere desta questão Discuta com seus colegas busque ouvir outras opiniões Utilizese das próprias palavras da questão que lhe foi formulada isto e será que muitas vezes elas mesmas não nos esclarecem as respostas que procuramos O que é uma distribuição para você Qual é a ideia que você tem de probabilidade TROCANDO IDEIAS Vamos analisar a seguinte questão Quem já não lançou um dado Mesmo que em um brinquedo na infância em que começaria o jogo quem lançasse o dado e obtivesse o maior número da face voltada para cima Recordou Agora por meio desta simples recordação você imagina que podemos conceituar função de probabilidade e distribuição de probabilidade Para entender esses dois conceitos vamos considerar um experimento que consiste no lançamento de um dado honesto e na Tabela 1 vamos expor a variável X que representa os pontos obtidos na face voltada para cima E P X que representa a função discreta de probabilidade ou função de probabilidade Isto é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória X à probabilidade do UNIUBE 89 evento correspondente Portanto 1 1 6 P X 2 1 6 P X 6 1 6 P X ou seja sendo este dado honesto cada ponto tem a mesma probabilidade de ocorrência Generalizando a notação a ser utilizada é expressa por Assim uma função de probabilidade satisfaz o intervalo 0 1 ip em que a probabilidade pi assume valores maiores ou no mínimo iguais a zero e menores ou no máximo iguais a um Segundo Morettin 2009 p47 ao conjunto 1 i x p xi i n damos o nome de distribuição de probabilidades da variável X como na Tabela 1 negrito e adaptação da autora Tabela 1 Valores obtidos na face voltada para cima no lançamento de um dado honesto X 1 2 3 4 5 6 Total P X 16 16 16 16 16 16 1 Atenção Você notou o valor da soma de P X Saiba que esta é uma característica muito importante isto é para que haja uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X a soma das probabilidades de todos os valores de X é sempre igual a 1 Portanto 1 1 n i i p x IMPORTANTE Leia com atenção a próxima atividade que estamos lhe propondo Observe que as ideias básicas para sua realização você já estudou Caso sentir necessidade retome os conceitos refaça os exemplos desenvolvidos depois volte na ativi dade proposta Bom trabalho 12 i i i P X x p x p i n 90 UNIUBE Atividade 31 Certo experimento consiste no lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores Considere 1 D dado 1 2 D dado 2 e Z a soma dos pontos das faces superiores Determine o espaço amostral do experimento e a função de probabilidade de Z AGORA É A SUA VEZ Variável aleatória 32 Vamos observar a seguir uma situaçãoproblema que representa de forma natural uma definição de variável aleatória Situaçãoproblema 31 No experimento E representaremos por E maiúsculo que consiste em tomar uma semente ao acaso de girassol por exemplo e observar se ela germina representaremos por G maiúsculo ou não germina representaremos por G e lêse G barra Temse então um espaço amostral representaremos por Ω e lêse Ômega ou seja com estas duas possibilidades podemos definir Ω G G E definir a variável aleatória que a partir de agora passaremos a referir por va Assim 0 se a semente germina X 1 caso contrário Você notou que denominamos a va por X Assim como poderíamos denominála por outra letra T ou T etc Percebeu também que associamos valores numéricos para as duas possibilidades 0 ou 1 Agora observe como vai ficar ainda mais interessante Nesta situaçãoproblema os valores numéricos associados aos resultados de Ω são contáveis portanto a va é dita variável aleatória discreta EXEMPLIFICANDO UNIUBE 91 321 Variável aleatória discreta Generalizando os conceitos observe e compare todas as expressões apresen tadas com o experimento que consiste em tomar uma semente ao acaso Seja Ω um experimento aleatório qualquer e Ω o seu espaço amostral denotado por 1 2 n a a a Ω Qualquer função X que transforma os valores de Ω 1 2 n a a a em números reais é denotada variável aleatória discreta EXPLICANDO MELHOR Em seguida vamos supor outro experimento E em que a semente de abóbora é sorteada ao acaso Porém esta semente sorteada é de uma variedade híbrida H abreviatura de Híbrida entre as quais 1 2 3 H H H Agora reflita sobre as seguintes questões Neste caso quais as possibilidades obtidas Como você define a variável aleatória Antes de seguir com a sua leitura tente refletir qual e a ideia que você faz ou sugere sobre essas questões PARADA PARA REFLEXÃO As possibilidades obtidas neste caso podem ser representadas pelo seguinte espaço amostral 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 H H H H H H H H H H H H Ω E a variável aleatória definida por exemplo por Y quantidade ou número de variedades que compõem a semente sorteada 92 UNIUBE Atividade 32 A assistente de um Centro de Saúde situado na região de Belo Horizonte baseada nos dados do último censo verifica que para as famílias dessa região 20 não têm filhos 30 têm um filho 35 têm dois e as restantes se dividem igualmente entre três quatro ou cinco filhos Suponha que uma família será escolhida aleatoriamente nessa região e o número de filhos averiguado Apresente a função de probabilidade que melhor represente o comportamento da variável aleatória número de filhos AGORA É A SUA VEZ A seguir vamos estudar o conceito de variável aleatória contínua e do mesmo modo vamos utilizar primeiro a ideia de um experimento muito prático Observe 322 Variável aleatória contínua Conforme já dissemos imagine a ideia de um experimento E que consiste em sortear uma semente Temse que a variável aleatória é definida por T tempo decorrido do plantio até a germinação Portanto neste caso observamos que os valores associados aos resultados do espaço amostral Ω ou seja do plantio até a germinação pertencem a uma escala contínua de valores A variável aleatória é denominada contínua É muito importante que você compreenda as relações entre dois conceitos de Estatística e saiba como empregálos São estes estatística e parâmetro Portanto vamos recordar em síntese as definições destes conceitos Estatística representa uma informação ou característica da amostra n Parâmetro representa uma medida utilizada para descrever uma característica da população N UNIUBE 93 A seguir vamos conhecer a relação destes conceitos em algumas caracte rísticas numéricas importantes em uma distribuição de probabilidade 323 Algumas características numéricas importantes em uma distribuição de probabilidade Para facilitar os seus estudos e a aplicação destas características nas mais diversas áreas observe o Quadro 1 Quadro 1 Notações de estatísticas e parâmetros Notações Denominações Estatísticas Amostra Parâmetros População n N 1 n i i x X n X E X µ Média 2 2 1 1 n i i X x X S n X 2 Var X σ Variância 2 1 1 n i X i x X S n X Var X σ DesvioPadrão Destacamos a seguir algumas destas características para a variável aleatória discreta Média de uma variável aleatória discreta µ a média de uma v a discreta é calculada pela expressão 1 12 n i i i x p x i n µ 94 UNIUBE Fique atento A média de X é também usualmente expressa por E X denominada esperança matemática da variável aleatória X ou valor esperado da variável aleatória X IMPORTANTE Variância de uma variável aleatória discreta σ 2 a mesma analogia existe entre a variância e desvio padrão de uma distribuição de frequência e a variância e desvio padrão de uma variável aleatória X A variância Var X é representada pela expressão 2 2 1 n i i i Var X x p x µ σ Distribuições discretas de probabilidade 33 Quando aplicamos a Estatística na resolução de situaçõesproblema verificamos que muitas delas apresentam as mesmas características o que nos permite estabelecer um modelo estatístico teórico para a determinação da resolução destas situaçõesproblema Este modelo estatístico teórico também conhecido por distribuição de proba bilidades apresenta algumas características principais entre elas os possíveis valores que a variável aleatória X pode assumir a função de probabilidade associada à variável aleatória X a média ou valor esperado da variável aleatória X a variância e o desvio padrão da variável aleatória X UNIUBE 95 Neste contexto vamos estudar algumas das principais distribuições de pro babilidades discretas entre elas a distribuição binomial e a distribuição de Poisson E entre as distribuições de probabilidades contínuas a distribuição Normal 331 Distribuição binomial A distribuição binomial apresenta algumas características fáceis de ser interpretadas isto é supor um experimento E repetido n vezes independentemente sendo que em cada repetição a probabilidade de sucesso se mantém igual a p e a de fracasso igual a q Agora imagine que estamos interessados na ocorrência de x sucessos e n x fracassos independente da ordem de ocorrência dessa forma temos que a variável aleatória X admite distribuição binomial de probabilidades A notação utilizada será X b n p lêse a variável aleatória X tem distri buição binomial com parâmetros n e p Descrevendo temos x n x n P X x p q x em que 01 x n X n p µ média ou valor esperado da variável aleatória X 2 X n p q σ variância da variável aleatória X X n p q σ desviopadrão da variável aleatória X Acompanhe o exemplo seguinte da aplicação da distribuição binomial desenvolvido passo a passo 96 UNIUBE Para resolver o exemplo proposto considere a informação Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 4 casas decimais Exemplo 31 Suponha o lançamento de uma moeda honesta 10 vezes Qual e a probabilidade de se obter 5 vezes o resultado cara Apresente a conclusão para o resultado obtido Resolução no geral denotamos cara por k e coroa por c no entanto para o cálculo da expressão vamos utilizar x para representar obter 5 vezes o resultado coroa Desejamos calcular a probabilidade de sair o resultado cara x 5 vezes Logo n 10 e p 05 probabilidade de se obter cara x em cada lançamento de moeda Assim x n x n P X x p q x 5 10 5 10 5 05 1 05 5 P X 5 10 5 10 5 05 1 05 5 10 5 P X 5 5 1098765 5 05 1 05 55 P X 5 5 109876 5 05 1 05 3276 00313 00313 543241 P X 5 02461 P X De forma análoga vamos utilizar a tabela de distribuição binomial com valores tabelados para a variável aleatória discreta que apresentar distribuição binomial disponível ao final deste capítulo A vantagem da utilização dos valores tabelados é viabilizar mais rápido e direto o resultado do cálculo de probabilidade EXEMPLIFICANDO UNIUBE 97 Sendo assim vamos fazer a leitura da intersecção destes valores isto é temos que para n 10 p 05 que corresponde à última coluna dos valores de p à sua direita e para o valor de na coluna de x a intersecção da linha de x 5 com a coluna em p 05 concluímos o resultado 02461 Logo 5 5 10 5 05 1 05 02461 5 P X ou 2461 Portanto no lançamento de uma moeda honesta 10 vezes a probabilidade de se obter 5 vezes o resultado cara é de aproximadamente 24 Acreditamos que você esteja construindo conhecimentos aumentando suas curio sidades e também indagações Isso é muito importante para sua formação pessoal e profissional E supondo que você poderá em algum momento se deparar ou até concordar com a seguinte ideia Atividade 33 Em um lote de peças 5 são defeituosas Qual a probabilidade de em 20 dessas peças haver exatamente uma defeituosa Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado AGORA É A SUA VEZ 332 Distribuição de Poisson Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson sendo expressa por x e P X x x l l x 012 em que l denota o parâmetro de interesse sendo usualmente tratado como a taxa de ocorrência Hum Mas este cálculo é muito fácil Não temos que fazer contas Basta realizar a leitura correta da tabela da distribuição binomial É isso mesmo O cálculo é fácil e direto 98 UNIUBE µ denota a média E X µ l x denota o número de ocorrências do evento de interesse A notação utilizada será X Po l lê se a variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro lambda l Temos que o único parâmetro l é a média µ que pode assumir valores contínuos enquanto o número de ocorrências é sempre um espaço discreto ou apenas valores inteiros E para entendermos melhor esta ideia vamos supor uma situaçãoproblema Situaçãoproblema 32 Em uma central telefônica o número de telefonemas em média pode chegar a 2 chamadas por minuto ou 25 chamadas por minuto ou 3 ou 35 e assim por diante Percebemos então que a média não precisa ser composta apenas de valores inteiros Entretanto em um minuto por exemplo podem chegar 2 3 4 5 chamadas sempre em números inteiros EXEMPLIFICANDO Exemplo 32 Em um minuto numa central telefônica chegam 2 chamadas Em outro minuto chegam 3 chamadas Qual a média de chamadas Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado 1 2 3 25 2 n i i x Média X n Portanto a média de chamadas de aproximadamente 2 5 chamadas por minuto EXEMPLIFICANDO Você acompanhou as ideias básicas dos valores contínuos e discretos que nos referimos anteriormente através da situação problema proposta UNIUBE 99 A média da distribuição de Poisson pode assumir qualquer valor mas o número de ocorrências e sempre um número inteiro IMPORTANTE Para resolver o exemplo seguinte considere a informação Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 4 casas decimais Exemplo 33 Numa rodovia em trechos de 200 km há em média 6 postos de abastecimentos Qual a probabilidade de haver nenhum posto de abastecimento num trecho de 50 km Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Resolução Notase que é fornecido em média 6 postos num trecho de 200 km no entanto é pedido a probabilidade de haver nenhum posto num trecho de 50 km Assim é preciso calcular em média quantos postos poderá haver num trecho de 50 km Logo realizamos uma regra de três simples e obtemos a taxa média l 200 6 50 15 l l Pela distribuição de Poisson temos 15 0 15 0 02231 0 x e e P X x P X x l l ou 2231 Verifique na tabela de distribuição de Poisson disponível ao final deste capítulo que o valor encontrado após o desenvolvimento dos cálculos e o valor tabelado é idêntico Dessa forma você poderá utilizar a tabela de distribuição para encontrar o valor da probabilidade desde que o valor a variável e o valor da taxa média se encontre disponíveis na tabela 100 UNIUBE Portanto a probabilidade de haver nenhum posto de abastecimento num trecho de 50 km é de aproximadamente 2231 Outros exemplos da distribuição de Poisson O número de unidades de sacos de cimento consumidos em uma construção civil é de 5 unidades em média por dia O número de unidades de DVDs vendidos em uma loja é de 6 unidades em média por dia O número de colisões de veículos em certo cruzamento é de 3 colisões em média por semana O número de pacientes atendidos por um médico é de 4 pacientes em média por hora Atividade 34 Numa colheita mecanizada de canadeaçúcar existem várias colheitadeiras de certo tipo Depois de muitas observações chegouse à conclusão que o número de colheitadeiras que se avariam em cada mês é uma variável aleatória T com distribuição de Poisson de média l 3 3 T Po Qual a probabilidade para que durante um mês se avariem sete ou mais colheitadeiras Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado AGORA É A SUA VEZ Distribuições contínuas de probabilidade 34 Estudaremos neste contexto entre as várias distribuições contínuas de proba bilidade a distribuição normal 341 Distribuição normal Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com parâmetros µ e 2 σ assim considere 2 X N µ σ Lêse a variável aleatória X tem distribuição Normal com média µ e variância 2 σ UNIUBE 101 No cálculo de probabilidade para variáveis aleatórias contínuas devemos resolver a integral da função densidade de probabilidade no intervalo a b de interesse expressa por 2 2 2 1 2 X b a P a X b e dx µ σ σ π Essa integral é resolvida de modo aproximado e por cálculo numérico Assim é fácil imaginar a complexidade desse cálculo por isso que as probabilidades estudadas para o modelo Normal utilizamse do auxílio da tabela de distribuição de probabilidade Normal No entanto para encontrar a probabilidade da variável X utilizase a transformação X Z µ σ essa transformação sempre nos leva ao cálculo de probabilidades com uma variável de parâmetros 2 µ σ igual a 0 1 ou seja média 0 e variância 1 Mais adiante vamos apresentar o desenvolvimento dos cálculos para se chegar nesses valores para a média e para a variância É considerada a mais importante e frequente distribuição utilizada na Estatística e em quase todos os processos industriais o comportamento da variável em estudo é semelhante ao apresentado pela distribuição normal ou seja em um processo qualquer com média µ lêse mi e variância 2 σ lêse sigma ao quadrado observamos que A maioria dos valores se concentra ao redor da média 50 dos valores estão acima da média e 50 abaixo da média Os valores distribuemse simetricamente à esquerda e à direita em relação à média É praticamente nula a probabilidade de um valor afastarse muito da média Considere 2 X N µ σ e saiba como definir uma nova variável transformada X Z µ σ Logo pelas propriedades do valor esperado E X e da variância 2 σ segue que 1 1 0 X E Z E E X E X µ µ µ σ σ σ 102 UNIUBE 2 2 1 1 1 X Var Z Var Var X Var X µ µ σ σ σ Observe que a transformação realizada não afeta a normalidade e assim a variável terá distribuição normal com média 0 e variância 1 isto é 01 Z N e será denotada de normal padrão ou normal reduzida Para determinarmos a probabilidade da variável aleatória X a b Lêse pertence ao intervalo fechado de a até b observe o desenvolvimento a seguir P a X b P a X b µ µ µ a X b P µ µ µ σ σ σ a b P Z µ µ σ σ Dessa forma quaisquer que sejam os valores de µ e σ utilizamos a normal padrão para obter probabilidades com distribuição normal Os valores para a probabilidade 0 0 P Z z z são tabelados e apresentados na tabela de distribuição Normal disponível ao final deste capítulo Note que a simetria também implica que a probabilidade de estar acima ou abaixo de zero é 05 E como probabilidade é sempre um valor entre 0 e 1 a tabela de distribuição Normal contém apenas a parte decimal Exemplo 34 Considerando que determinado estudo segue uma distribuição Normal com 29 X N qual a probabilidade P a X b Suponha que a variável aleatória X do estudo pertença ao intervalo X 25 Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado EXEMPLIFICANDO UNIUBE 103 Resolução Sabese que o estudo segue uma distribuição Normal 2 X N µ σ 29 X N X variável aleatória do estudo µ 2 média e 2 9 3 σ σ desviopadrão 25 X P a X b 2 5 P X Recordando para encontrar a probabilidade da variável X utilizase a transformação X Z µ σ essa transformação sempre nos leva ao cálculo de probabilidades com uma variável de parâmetros 2 µ σ igual a 0 1 ou seja média 0 e variância 1 Assim 2 5 P X 2 2 5 2 0 1 03413 3 3 P Z P Z Para encontrar o valor 03413 resultante da probabilidade 0 1 P Z na tabela de distribuição Normal basta realizar a intersecção da linha 0z correspondente ao valor 10 com a coluna assumindo valor 0 Portanto a probabilidade do determinado estudo no intervalo X 25 é de 03413 ou 3413 Saiba também que podemos calcular as probabilidades de intervalos com extremos negativos utilizando os correspondentes intervalos na parte positiva Outro recurso importante no uso da tabela de distribuição normal é a utilização do complementar Exemplo 35 Considerando que determinado estudo segue uma distribuição Normal com 29 X N qual a probabilidade P X 3 Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado Sabese que o estudo segue uma distribuição Normal 2 X N µ σ 29 X N 104 UNIUBE X variável aleatória do estudo µ 2 média e 2 9 3 σ σ desviopadrão 3 P X Recordando para encontrar a probabilidade da variável X utilizase a transformação X Z µ σ essa transformação sempre nos leva ao cálculo de probabilidades com uma variável de parâmetros 2 µ σ igual a 0 1 ou seja média 0 e variância 1 Assim 3 2 1 3 3 X Z µ σ esse resultado 13 implica que o estudo correspondentes ao valor 3 é equivalente a 13 do valor em estudo padronizado 13 do desviopadrão acima da média aritmética µ 2 Como se deseja a probabilidade a probabilidade de P X 3 isso implica na probabilidade 1 3 033 05 01293 03707 P Z P Z ou 3707 Para encontrar o valor 01293 resultante da probabilidade 0 1 3 0 033 P Z P Z na tabela de distribuição Normal basta realizar a intersecção da linha 0z correspondente ao valor 03 com a coluna assumindo valor 3 033 é resultado da aproximação da razão 13 Portanto a probabilidade do determinado estudo é de 03707 ou 3707 Para resolver o exemplo seguinte considere a informação Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 4 casas decimais Exemplo 36 Uma rede de fábricas confecciona de artigos esportivos até trajes para passeio e social Com a chegada da próxima estação a procura pelas novas tendências tornase um fascínio para muitos consumidores e este é um dos fatores que incita as vendas A Diretora dessa rede de fábricas como boa dirigente acompanha tudo bem de perto A dirigente sabe que as vendas seguem uma distribuição normal com média de 1000 unidades e desviopadrão de 100 unidades e deseja saber qual a probabilidade de que as vendas sejam superiores a 1100 unidades no mês Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado UNIUBE 105 Resolução Pergunta qual a probabilidade de que as vendas sejam superiores a 1100 unidades no mês Sabese que as vendas seguem uma distribuição Normal 2 X N µ σ X vendas de unidades no mês µ 1000 média e σ 100 desviopadrão 1100 P X Recordando para encontrar a probabilidade da variável X utilizase a transformação X Z µ σ essa transformação sempre nos leva ao cálculo de probabilidades com uma variável de parâmetros 2 µ σ igual a 0 1 ou seja média 0 e variância 1 Assim 1100 1000 1 100 X Z µ σ esse resultado 1 implica que as vendas correspondentes a 1100 unidades é equivalente a 1 unidade padronizada 1 desviopadrão acima da média aritmética µ 1000 Como se deseja a probabilidade a probabilidade de que as vendas sejam superiores a 1100 unidades no mês isso implica na probabilidade 1 05 03413 01587 P Z ou 1587 Para encontrar o valor 03413 resultante da probabilidade 0 1 P Z na tabela de distribuição Normal basta realizar a intersecção da linha 0z correspondente ao valor 10 com a coluna assumindo valor 0 Portanto a probabilidade é de 01587 ou 1587 de que as vendas sejam superiores a 1100 unidades no mês Atividade 35 Uma variedade de soja sofrendo de certa praga é submetida a um controle intensivo cujo tempo foi modelado por uma densidade normal com média 15 e desvio padrão 2 em dias Qual a probabilidade P X 17 Apresente os cálculos e descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado AGORA É A SUA VEZ 106 UNIUBE Resumo Neste capítulo abordamos o conceito de distribuições de probabilidade de uma variável aleatória Apresentamos a diferença entre variável aleatória discreta e contínua por meio de exemplos fatos e situaçõesproblema do dia a dia Também foram abordadas algumas das características numéricas importantes em uma distribuição de probabilidade como a média a variância e o desvio padrão Ressaltamos a elaboração de um quadrosíntese para facilitar os estudos e as comparações destas características Destacamos as distribuições discretas e contínuas de probabilidade entre elas exemplos e aplicações da distribuição binomial Poisson e Normal Para concluir o cálculo de probabilidades também estudamos a utilização das tabelas das distribuições binomial Poisson e normal O objetivo de estudar este capítulo é proporcionar a você a compreensão dos conceitos básicos referentes às principais distribuições de probabilidade e suas aplicações aprimorando assim os seus conhecimentos IMPORTANTE Referências MOORE David S A estatística básica e sua prática 3 ed Rio de Janeiro LTC 2005 MORETTIN Luiz G Estatística básica probabilidade e inferência Vol único São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 TOLEDO Geraldo L OVALLE Ivo I Estatística básica 2 ed São Paulo Atlas 2008 UNIUBE 107 Tabela distruições Distribuição normal N01 0 a P Z Z a Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 00398 00438 00478 00517 00557 00596 00636 00675 00714 00753 02 00793 00832 00871 00910 00948 00987 01026 01064 01103 01141 03 01179 01217 01255 01293 01331 01368 01406 01443 01480 01517 04 01554 01591 01628 01664 01700 01736 01772 01808 01844 01879 05 01915 01950 01985 02019 02054 02088 02123 02157 02190 02224 06 02257 02291 02324 02357 02389 02422 02454 02486 02517 02549 07 02580 02611 02642 02673 02704 02734 02764 02794 02823 02852 08 02881 02910 02939 02967 02995 03023 03051 03078 03106 03133 09 03159 03186 03212 03238 03264 03289 03315 03340 03365 03389 10 03413 03438 03461 03485 03508 03531 03554 03577 03599 03621 11 03643 03665 03686 03708 03729 03749 03770 03790 03810 03830 12 03849 03869 03888 03907 03925 03944 03962 03980 03997 04015 13 04032 04049 04066 04082 04099 04115 04131 04147 04162 04177 14 04192 04207 04222 04236 04251 04265 04279 04292 04306 04319 15 04332 04345 04357 04370 04382 04394 04406 04418 04429 04441 16 04452 04463 04474 04484 04495 04505 04515 04525 04535 04545 17 04554 04564 04573 04582 04591 04599 04608 04616 04625 04633 18 04641 04649 04656 04664 04671 04678 04686 04693 04699 04706 19 04713 04719 04726 04732 04738 04744 04750 04756 04761 04767 20 04772 04778 04783 04788 04793 04798 04803 04808 04812 04817 21 04821 04826 04830 04834 04838 04842 04846 04850 04854 04857 22 04861 04864 04868 04871 04875 04878 04881 04884 04887 04890 23 04893 04896 04898 04901 04904 04906 04909 04911 04913 04916 24 04918 04920 04922 04925 04927 04929 04931 04932 04934 04936 25 04938 04940 04941 04943 04945 04946 04948 04949 04951 04952 26 04953 04955 04956 04957 04959 04960 04961 04962 04963 04964 27 04965 04966 04967 04968 04969 04970 04971 04972 04973 04974 28 04974 04975 04976 04977 04977 04978 04979 04979 04980 04981 29 04981 04982 04982 04983 04984 04984 04985 04985 04986 04986 30 04987 04987 04987 04988 04988 04989 04989 04989 04990 04990 31 04990 04991 04991 04991 04992 04992 04992 04992 04993 04993 32 04993 04993 04994 04994 04994 04994 04994 04995 04995 04995 33 04995 04995 04995 04996 04996 04996 04996 04996 04996 04997 34 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04997 04998 35 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 04998 36 04998 04998 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 37 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 38 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 39 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 a Z Za 0 108 UNIUBE TABELA I Distribuição de Poisson Valores da função de probabilidade x X e f x P X x x l l 0005 001 002 003 004 005 006 007 008 009 0 09950 09900 09802 09704 09608 09512 09418 09324 09231 09139 1 00050 00099 00196 00291 00384 00476 00565 00653 00738 00823 2 00000 00000 00002 00004 00008 00012 00017 00023 00030 00037 3 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00001 00001 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visualmente a qualidade destes antes de os comprarmos entre outros Se descobrirmos que alguns amigos se escondem atrás de uma falsa fachada vamos nos aborrecer por estarmos expostos a uma amostra viciada de comportamento Se o corretor do imóvel expõe para visita publica o melhor de suas locações porém comercializa com melhores preços as locações com qualidade inferior solicitamos pela melhor locação ou procuramos outro corretor Ou se o fornecedor de frutas e vegetais expõe o melhor de seus produtos porém nos vende aqueles com qualidade inferior protestamos pela amostra viciada ou mudamos de fornecedor 124 UNIUBE Em síntese você percebeu que pela própria natureza humana a ideia de vício segue paralelamente a ideia de amostragem Mesmo que excluíssemos a possibilidade de tais vícios ainda verificaríamos que alguns de nossos amigos são julgados mais confiáveis que outros quanto ao comportamento frente a determinadas situações ou que alguns corretores de imóveis são mais confiáveis que outros quanto a ter coerência nos preços dos imóveis que comercializa ou que alguns fornecedores são mais confiáveis que outros na consistência da qualidade dos produtos que oferecem Isto posto qualidades como falta de vício e confiabilidade é o que desejamos nas amostras em geral e em particular nos le vantamentos amostrais Porém caso desejarmos usar amostras cientificamente devemos tornálas precisas e para isso ocorrer precisamos de uma teoria que estabeleça regras e procedimentos de tal natureza Neste capítulo vamos estudar os princípios básicos de teoria de amostragem Serão fornecidos exemplos e atividades que destacarão a importância de definir a populaçãoalvo e quais os critérios para sele ção de uma amostra representativa desta população Todavia convém alertamos você que o assunto amostragem aborda conceitos regras e técnicas que vão bem mais além do que nos propomos a apresentar neste capítulo Você está construindo habilidades necessárias à sua atuação profissio nal Por meio do estudo deste capítulo certamente outros conhecimen tos serão construídos referentes aos métodos estatísticos UNIUBE 125 Ao final deste capítulo esperamos que você seja capaz de relacionar os termos população e amostra descrever os princípios básicos das técnicas de amostragem descrever os diversos métodos de obtenção de amostras aleatórias utilizar uma tabela de números aleatórios identificar situações práticas às quais as técnicas e os métodos estudados podem ser aplicados com propriedade Objetivos Amostragem Planejamento Hipóteses Coleta de Dados Métodos Amostrais Resumo Referências Tabela de Números Aleatórios Amostra Casual Simples Amostra Aleatória Simples Amostra Aleatória Estratificada Amostra Aleatória por Conglomerado Figura 1 Esquema do capítulo 126 UNIUBE Noções sobre amostragem 41 Em geral quando o assunto é Estatística imaginamos imensas quantidades de dados tabelas e mais tabelas registrando estes dados índices e estudos gráfi cos Talvez você não saiba que a priori esta era a ideia idealizada de Estatística antes de Fisher 18901962 Caso queira saber mais sobre as descobertas e contribuições de Sir Ronald Aylmer Fisher 18901962 acesse o link httpwwwhistorymcs standrewsacukhistoryMathematiciansFisherhtml PESQUISANDO NA WEB Noções de planejamento amostral 42 Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na Antiguidade por acaso e outros por necessidades práticas sem aplicação de um método Atualmente a Estatística está muito além desta ideia e quase todo acréscimo de conhe cimento resulta da observação e do desenvolvimento de processos científicos para seu estudo Ela consiste principalmente no planejamento de métodos experimentais e observacionais Você já está procurando definir estes métodos Qual a diferença que você estabelece entre os métodos científicos Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente objetivando chegar a um fim que se deseja Dos métodos científicos vamos destacar o método experimental e o observacional I Método experimental consiste na coleta dos dados quando realizada sob condições controladas pelo pesquisador É método preferido nas pesquisas em ciências exatas como na Física e na Química II Método observacional ocorre quando não se tem controle sobre fatores que possam influenciar os dados Este método é frequentemente usado nas ciências sociais UNIUBE 127 Para alcançar os objetivos propostos na pesquisa é necessário planejamento O planejamento consiste na especificação detalhada dos processos a serem cum pridos no decorrer da pesquisa Não é nosso objeto de estudo o planejamento de uma pesquisa porém acompanhe no Exemplo 41 aspectos que poderiam ser previstos na etapa de planejamento Exemplo 41 Suponha que o objetivo de uma pesquisa seja descobrir como os adultos estão utilizando a internet Ao planejar a pesquisa poderiam ser formuladas questões que possibilitam identificar entre os entrevistados o número de adultos que sabem usar a internet entre estes adultos pesquisados quais usaram a internet para ingressar num curso de graduação ou pós graduação na Modalidade a Distância quais são apenas usuários da internet entre estes adultos quais usaram a internet nos últimos 12 meses EXEMPLIFICANDO Neste momento acreditamos que você esteja construindo conhecimentos e nessa construção ideias curiosidades e indagações caminham juntas o que será ótimo para sua formação pessoal e profissional Você deve estar pensando será que eu entendi Será que é durante o planejamento que procuramos iden tificar quais características variáveis devem ser relacionadas com os objetivos propostos Muito bem Fácil não é Você relacionou rapidamente as ideias conceituais até aqui apresentadas além de vinculálas a outras já estudadas É comum em qualquer estudo formularmos hipóteses que podem ser verifica das diretamente ou indiretamente isto é por meio de suas consequências A seguir esquematizaremos como estas hipóteses serão testadas 128 UNIUBE Formulação de hipóteses 43 Formular hipóteses corretamente demanda prática As hipóteses representam afirmações como as apresentadas nos seguintes exemplos 1 Não há resposta à adubação nitrogenada na canadeaçúcar 2 O baixo peso de recémnascidos é maior para mães que usam drogas ilícitas durante a gestação 3 O resultado do novo antibiótico apresenta a mesma eficácia intravenosa quanto via oral 4 A aplicação de zinco foliar é mais efetiva que a aplicação via solo na cultura de citros EXEMPLIFICANDO Saiba que às vezes em um estudo podemos não ter a ideia das hipóteses a serem formuladas Desta forma procuramos levantar questionamentos dentro dos objetivos propostos que serão respondidos depois com base nas informa ções dos dados e observações coletadas Este procedimento ocorre no geral em estudos exploratórios Coleta de dados 44 Como obter os dados A coleta de dados é usada por exemplo nos métodos observacionais em que o planejamento é direcionado para a retirada dos dados em uma parte amostra n da população e que serão posteriormente analisados Hora de recordar conceitos É importante recordarmos que nos métodos observacionais não existe a possibilidade de se obter os dados sob condições controladas pois já se apresentam dispostos em cada unidade da população sob influência de um ou mais fatores RELEMBRANDO UNIUBE 129 Ao realizarmos a escolha das unidades da população amostras que serão submetidas às análises devemos aplicar o chamado princípio da aleatorização para evitar eventuais vícios de seleção Desta forma obtemos uma amostra aleatória cujos resultados podem ser estendidos inferidos para toda a população segundo uma margem de erro e confiabilidade conhecidas Em seus estudos subsequentes você irá conhecer mais sobre os termos margem de erro e confiabilidade Porém a princípio acreditamos que você já relacionou as ideias à linguagem corrente Correto Lembrese de que você dispõe das ferramentas de apoio para as suas dúvidas disponíveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA IMPORTANTE Por exemplo podemos selecionar uma amostra aleatória de plantas daninhas que infestam determinada área ou selecionar uma amostra aleatória das notas obtidas pelos alunos por curso de opção no Programa de Educação a Distância no último vestibular da UNIUBE em determinado ano entre outros Vamos retomar os conceitos estudados até o momento Observe que até agora tratamos da coleta de dados em métodos observacionais correto Agora vamos abordar os métodos experimentais O que representa a coleta dos dados por experimentação Representa o que ocorre nos métodos experimentais e neste caso realizamos um planejamento orientado para obtermos os dados sob condições controladas sem descuidarmos da escolha dos métodos para a futura análise dos dados Simultaneamente procuramos aperfeiçoar alguns pontos importantes tais como os esforços despendidos na pesquisa os custos necessários o tempo de realização a qualidade das informações que vamos obter e a análise dos dados obtidos 130 UNIUBE Principais métodos amostrais 45 Conforme já dissemos tornase impossível ou impraticável observar as carac terísticas de interesse em toda a população Desta forma escolhemos criterio samente uma parte da população que é representada pela amostra A amostra deve refletir o melhor possível as características da população para podermos inferir o seu resultado para a população originária Sendo assim as regras adotadas nas escolhas das unidades amostrais devem ser objetivas e de preferência usandose mecanismos de sorteio É importante entender que quando as unidades são sorteadas as amostras são chamadas amostras probabilísticas Em geral na prática ao realizarmos a amostragem probabilística ou aleatória utilizamos um ou mais dos principais métodos amostrais probabilísticos entre os quais citamos a amostra casual simples a amostra aleatória sistemática a amostra aleatória estratificada e a amostra aleatória por conglomerados Estudaremos o método probabilístico de amostra casual simples com o intuito de apresentar formas para utilização da tabela de números aleatórios Para os demais métodos vamos expor alguns exemplos com o simples objetivo de apresentálos através de suas ideias básicas Para representar as simbologias necessárias à descrição dos métodos amostrais probabilísticos vamos representar o tamanho da população por N maiúsculo e o tamanho da amostra por n minúsculo 451 Amostra casual simples O procedimento da ACS abreviatura de amostra casual simples é o mais simples além de ser básico para os demais métodos supracitados É utilizado quando nada se sabe sobre a estrutura da população salvo o seu tamanho N Consiste na lista de um grupo de n unidades entre todos os possíveis grupos de n unidades que possam ser formados na população de tamanho N de modo que cada grupo tenha a mesma chance de ser sorteado UNIUBE 131 Exemplo 42 Suponhamos que desejamos retirar uma amostra casual simples AC S de professores de uma população de professores de Estatística que trabalhem nos três períodos na UNIUBE Considere N 6 e n 2 Resolução Temos que a população pode ser representada por U 123456 Assim todos os possíveis grupos de n 2 professores que podem ser formados nesta população de tamanho N 6 são 12 13 14 15 16 Bem Vamos refletir Isto é fácil entender Como n 2 temos dois a dois todas as possíveis amostras de professores de Estatística que trabalhem nos três períodos na UNIUBE Correto 23 24 25 26 34 35 36 45 46 56 Desta forma temos a combinação de N elementos tomados a n n sem reposição e expresso por 6 6 654 65 15 2 2 6 2 24 2 N n Para retirarmos uma ACS de tamanho 2 podemos enumerálos do 1 ao 15 e sortear mediante algum mecanismo um dos grupos como amostra Por exemplo enumerar 15 papeizinhos cada um representando um grupo e um mecanismo de sorteio Após misturalos bem e só realizar a escolha de um destes papeizinhos ao acaso Enumerar estes papeizinhos do 1 ao 15 denominase de sistema de referencia Também podemos utilizar uma calculadora ou um computador que gera números aleatórios para realizarmos o sorteio Outra forma é utilizarmos uma tabela de nú meros aleatórios TNA abreviatura de tabela de números aleatórios EXEMPLIFICANDO Possíveis grupos amostras de tamanho n 2 132 UNIUBE Antes de prosseguir em seus estudos é muito importante e aconselhável que você tenha sempre uma calculadora para efetuar os cálculos que forem necessários IMPORTANTE 4511 Como utilizar uma tabela de números aleatórios As TNAs são construídas com o intuito de garantir que cada dígito ou cada par de dígitos consecutivos ou cada terna de dígitos consecutivos e assim por diante apareça com a mesma frequência em uma longa sequência de dígitos Exemplo 43 Considere a Tabela 1 que representa parte de uma tabela de números aleatórios Tabela 1 Parte de uma tabela de números aleatórios 28 67 96 25 68 36 24 72 03 85 49 24 85 86 94 78 32 59 51 82 86 43 73 84 40 10 60 09 05 88 78 44 63 13 58 25 94 55 89 Utilize como sistema de referência a numeração dos professores do Exemplo 42 Procedimentos de resolução No Exemplo 42 a população é constituída por números de um dígito isto é 1 23 456 Vamos usar a Tabela 1 para sortear dois destes números que repre sentarão os professores da amostra n 2 Para realizarmos este sorteio precisamos préestabelecer as regras de leitura da Tabela 1 EXEMPLIFICANDO UNIUBE 133 Antes vamos enfatizar que para sortear 2 professores da população de 6 pro fessores de Estatística o sistema de referência será dado pela numeração dos professores em U Assim considerando números de dígitos 123456 SistemadeReferência procedemos assim Início da leitura na Tabela 1 iniciemos a leitura por exemplo na 3ª linha a partir do 9º dígito da esquerda para a direita Número de dígitos que vamos ler de cada vez nesta Tabela 1 vamos ler 1 dígito de cada vez para corresponder aos números do sistema de referência adotado isto é a numeração dos professores em U Sequência de leitura dos números na Tabela 1 leiamos da esquerda para a direita até o final da linha reiniciando no começo da próxima linha e assim sucessivamente até conseguirmos sortear todos os números da amostra desejada Como proceder com os números repetidos na Tabela 1 Podemos ignorálos se já foram considerados na primeira leitura Como proceder com os números só formados por dígitos zero Podemos adotar como regra é associálos ao último número do sistema de referência que neste Exemplo 42 é representado pelo número 6 Sendo assim de acordo com estas regras a AC S é expressa pela sequência 7 8 4 4 6 Reescrevendo a Tabela 1 com os dígitos da sequência obtida marcados em negrito após as regras préestabelecidas temos Tabela 1 Parte de uma tabela de números aleatórios 28 67 96 25 68 36 24 72 03 85 49 24 85 86 94 78 32 59 51 82 86 43 73 84 40 10 60 09 05 88 78 44 63 13 58 25 94 55 89 Início 3ª linha a partir do 9º dígito 4º Professor 6º Professor 134 UNIUBE Portanto o sorteio utilizando a Tabela 1 apontou que uma amostra casual simples AC S de uma população de professores de Estatística que trabalham nos três temas de referência dado pela numeração dos professores em U recordando que U 123456 Atividade 41 Retome os exemplos 42 e 43 estudados na seção 451 e considere agora que há 60 professores na população de professores de Estatística Retire uma amostra casual simples AC S de tamanho n 6 utilizando a Tabela 1 A amostra obtida é composta por quais professores A tabela de números aleatórios no final deste capítulo é um exemplo para que você exercite outras situaçõesproblema como as apresentadas até o momento Saiba que existem outros geradores de números aleatórios como a planilha eletrônica Excel e os softwares estatísticos MINITAB e SPSS AGORA É A SUA VEZ 452 Amostra aleatória sistemática Para exemplificar uma A A S abreviatura de amostra aleatória sistemática imagine um lote de certo produto que será submetido a um teste de aceitação rejeição em processo de inspeção de qualidade Este lote para análise encontra se em um armazém estocado em 20 pilhas com 5 unidades em cada pilha Portanto a nossa população é de 100 unidades do produto Como retirar uma amostra aleatória sistemática A A S para ser submetida a testes Sabemos que a população de 100 unidades está dividida em 20 pilhas de 5 uni dades cada uma Selecionaremos 1 elemento de cada pilha Considerando que a população está ordenada de 1 a 100 pelo sistema de referência selecionamos aleatoriamente pelo método AC S 1 unidade entre as 5 primeiras unidades ordenadas Suponhamos que no sorteio tivesse saído uma unidade que ocupa a 2ª posição A partir UNIUBE 135 daí escolheríamos todas as unidades que ocupassem posições equivalentes nas 19 pilhas subsequentes Assim em cada uma das 19 pilhas restantes selecionaríamos sempre a 2ª unidade completando assim a amostra sistemática de 20 unidades Outro procedimento de selecionar as unidades que comporiam a amostra seria simplesmente sortear uma das 20 pilhas e considerar todas as 5 unidades da pilha sorteada para serem submetidas a testes Assim em cada sorteio de uma a uma das pilhas restantes consideraríamos sempre todas as 5 unidades da pilha sorteada até completar a amostra sistemática de unidades desejada Por exemplo para obter uma amostra sistemática de 20 unidades sortearíamos 5 pilhas apenas entre as 20 do total A amostra aleatória sistemática A A S pode apresentar problemas Um deles é a possibilidade de ocorrência de vícios sistemáticos coincidindo com o intervalo de amostragem No 2o procedimento do exemplo apresentado cada pilha de produto poderia estar estocando a produção de uma única máquina ou linha de montagem e dessa forma a amostra não estaria representando a produção das outras máquinas ou linhas de montagem Entendeu 453 Amostra aleatória estratificada O método A A E abreviatura de amostra aleatória estratificada supõe que caso soubermos que uma população é heterogênea em relação à característica de interesse podemos subdividila em sub população denominadas estratos Este procedimento é realizado com base no conhecimento do comportamento de outra característica auxiliar fortemente relacionada à primeira Algumas considerações A amostragem é realizada por meio de amostra casual simples AC S dentro de cada estrato Dentro de cada estrato a variabilidade em relação à característica de inte resse necessariamente deve ser a menor possível embora entre os estratos a variabilidade possa ser grande Veja a seguir exemplos de situações em que se aplica a amostragem estrati ficada 136 UNIUBE Exemplos 1 Um estudo sobre como os indivíduos de várias categorias de renda despendem com o lazer 2 Uma pesquisa para verificar a porcentagem dos salários dos indivíduos gasta em recreação 3 Um estudo do volume de produção de certa variedade de canadeaçúcar comparada com os gastos com plantio suponha que haja muitas usinas incluídas no estudo 4 Uma pesquisa feita com os alunos de uma instituição de ensino que provém que provêm da zona central da cidade da zona periférica e da zona rural com o objetivo de saber se o desempenho em Estatística pode estar relacionado com a procedência do aluno característica auxiliar EXEMPLIFICANDO 454 Amostra por conglomerados No caso da A AC abreviatura de amostra aleatória por conglomerado pressupomos a disposição dos itens da população em subgrupos heterogêneos representativos da população global Em síntese cada conglomerado pode ser encarado como uma mini população Por exemplo imagine que deva ser feito um estudo entre os proprietários de imó veis de um país Obter uma lista de todos os proprietários de imóveis de um país seria muito difícil Todavia podemos obter uma lista de cidades ou conglomera dos Ou então os conglomerados podem ser os quarteirões Caso não possamos dispor de uma listagem das residências de uma cidade os quarteirões podem geralmente ser identificados realizandose a seleção por meio de mapas Dessa forma os quarteirões sorteados podem ser visitados pelo pesquisador que identificará assim as residências que comporão a amostra UNIUBE 137 Atividade 42 Quando a vigilância sanitária de sua cidade faz uma pesquisa sobre a incidência de mosquitos transmissores da Dengue os agentes sanitários visitam as residências certo Você já reparou que algumas casas não são visitadas A sua casa já foi visitada por um destes agentes E a de seus vizinhos Pesquise Mas lembrese de verificar se as visitas ocorreram para a mesma pesquisa pois o município pode realizar várias pesquisas durante um período Se for preciso se certifique com os profissionais da área discuta na sua comunidade Acredite essa interação será de grande valia em seus estudos Compare sua pesquisa com outras que você certamente tomará conhecimento com seus colegas AGORA É A SUA VEZ Resumo Apresentamos as noções de planejamento amostral dentro de um contexto bastante exemplificado por meio de comparações e exemplos de aplicações de amostragem no dia a dia Discutimos os princípios básicos para formular hipó teses coletar dados e os principais métodos amostrais Abordamos a amostra casual simples por meio de exemplos de como utilizar uma tabela de números aleatórios Na sequência vimos os métodos da amostra aleatória sistemática amostra aleatória estratificada e amostra aleatória por conglomerado Referências MCCLAVE J T BENSON G SINCICH T Estatística para administração e economia São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 MORETTIN Luiz G Estatística básica probabilidade e inferência Vol único São Paulo Pearson Prentice Hall 2009 138 UNIUBE TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 5831 3593 7697 2402 7192 9763 2608 7666 4805 8983 0329 4626 1431 2626 2218 6421 4003 0693 4081 9964 0887 4587 2648 2129 0498 9704 4756 0118 1180 1277 1498 1963 4045 1073 6264 5038 4925 2853 1290 0099 9595 6956 2372 0274 2471 3788 9312 4956 7262 4057 4845 8640 0425 4696 4774 4046 0852 5475 7236 4777 5170 0203 4461 4874 1298 2457 2775 3462 6009 5119 7337 1302 4168 7779 4144 1390 9695 6552 9329 2647 2746 6260 3101 4268 6591 1320 8902 3486 9066 5121 9471 8821 4898 6327 2711 2013 0792 5373 4664 9335 6172 3755 5232 6237 9471 1128 2456 8640 3924 1947 1923 5535 1086 6247 5881 1976 5393 9006 9362 7370 1070 7911 0222 2388 2552 4188 4593 8292 3719 1226 9038 4724 1221 6165 0037 4000 5508 9928 8988 1470 5709 0600 3585 1096 4035 5872 3871 7458 6621 7333 2129 7857 7369 4400 8369 6732 8793 8982 8134 2611 4941 6740 8781 2886 2012 4945 0264 3763 1762 7386 6202 4037 9508 5436 8916 0458 7179 6309 4185 4682 6866 9907 9743 1329 4079 3955 9463 9986 5227 1770 2769 5101 5428 7775 7116 0745 7552 1681 5522 1667 4898 6958 5210 4028 8048 9149 3589 0240 3546 4945 4353 9374 7637 3488 0494 8868 6563 6774 9651 1073 5409 8034 3418 9449 5214 6998 4539 7871 5044 3203 4891 7862 8298 9234 7204 7190 6566 1856 2168 9239 0360 7198 2739 3830 3786 8491 9299 3728 7012 1126 3983 9363 1160 3338 6426 0725 6483 3444 1453 2868 4664 2212 1538 2411 7811 8247 8095 2753 6160 7533 6438 4394 3756 8422 4025 1408 1366 7558 9937 6569 7616 2278 7790 3027 0741 8139 5109 3346 1354 4499 9764 7151 7209 9928 4897 4321 7532 6877 3750 3949 1637 6059 6343 0849 8914 3694 3972 0833 8150 2178 2447 5433 3293 8925 7496 6506 4186 9895 0069 0818 3768 8880 3248 8456 8902 5854 4263 6916 4360 7137 4826 9219 1854 4410 0628 7700 Anotações Uniube