Avaliação de Polinômios em Anéis Z, R e C - Exercícios e Soluções

Segunda Avaliação Observação 1 Esta é a segunda avaliação da disciplina De acordo com o plano de ensino esta avaliação teria um valor de 80oito pontos Mas resolvi aplicála valendo 100dez pontos Tais pontos serão distribuídos da seguinte forma Primeira parte Envio das soluções dos exercícios propostos na avaliação Esta terá um valor máximo de 6 0seis pontos Segunda parte Explanação das soluções apresentadasenviadas Esta terá um valor máximo de 4 0quatro pontos Observação 2 1 Esta avaliação ficará disponível no link Tarefas e ficará aberta para o envio das soluções até quarta feira dia 28062023 às 18h Não serão aceitas as soluções enviadas após esta data e horário 2 A explanação das soluções serão feitas na nossa videoaula que está agendada para dia 28062023 quartafeira às 19h Ressalto que quem não comparecer receber nota zero referente a segunda parte Questão 1 a Defina polinômio sobre o anel Z b Sejam px 2x2 x 2 e gx 3x 2 b1 Podemos afirmar que px e gx são polinômios sobre o anel Z Justifique sua resposta b2 Determine px gx em Z b3 Determine px gx em Z4 c Compare os polinômios obtidos nos itens b2 e b3 São iguais Caso sua resposta seja negativa justique porque obtemos polinômios diferentes uma vez que estamos somando os mesmos polinômios em ambos os itens Questão 2 a Defina grau de um polinômio b Considere o polinômio px 2x2 9x2 1 b1 Determine o grau de px em R b2 Determine o grau de px em Z2 b3 O polinômio px é constante em Z2 Justifique sua resposta Questão 3 1 a Sabemos que R é um corpo logo é um anel de integridadeou domínio Defina irredutibilidade de polinômios sobre Rx em Rx b Considere o polinômio px listado no itemb da Questão2 O polinômio px é redutível em Rx Justifique sua resposta c Caso a resposta do item anterior seja afirmativa podemos afirmar que px possui uma raiz em R Justifique sua resposta d Qual é o número máximo de raízes do polinômio px em R Determineas e Quantas raízes o polinômio px admite em C Determineas Questão 4 a Sejam f g e h polinômios sobre o anel R Suponha que f 4 g 6 e h 3 Determine o grau do polinômio f gh b Seja fx 4x3 6x a e gx x 3 polinômios sobre o anel Z7 Determine a de modo que a divisão euclidiana de fx por gx seja exata c Seja fx x4 x3 x 1 e gx 2 2 polinômios sobre o anel Q Determine o máximo divisor comum dos polinômios f e g O impossível não é um fato o impossível é apenas uma opinião 2 4 1 LISTA 1 Exercício 1 Solução a Um polinômio sobre Z na variável x é uma expressão da forma a0 a1x anxn com ai Z para todo i N e existe j N tal que ai 0 para todo i j b Sejam px 2x2 x 2 e gx 3x 2 b1 Sim Em px temos a0 2 a1 1 e a2 2 são inteiros e enquanto an 0 para todo n 2 Para gx temos a0 2 e a1 3 são inteiros enquanto an 0 para todo n 1 b2 Somando px 2x2 x 2 e gx 3x 2 em Z px gx 2x2 4x 4 b3 Somando px 2x2 x 2 e gx 3x 2 em Z4 px gx 2x2 4x 4 2x2 c São diferentes O que justifica isso é o fato de que o anel de coeficientes é diferente o que muda a natureza do polinômio enquanto elemento nos anéis de polinômios em questão Exercício 2 Solução a Sejam A um anel e px a0 a1x a2x2 um polinômio em Ax Dizemos que px tem grau n e denotamos por px n se an 0 e aj 0 para todo j n b Considere px 2x2 9x2 1 2x4 7x2 9 b1 Em R temse que px 4 pois a4 2 0 e aj 0 para todo j 4 b2 Em Z2 note que px 2x4 7x2 9 x2 1 Logo px 2 pois a2 1 0 e aj 0 para todo j 2 b3 Não é constante Se fosse constante teríamos px 0 Outra maneira de perceber isso é que p1 0 1 p0 Exercício 3 Solução a Seja px um polinômio em Rx Dizemos que px é irredutível sobre R se px 0 px URx e sempre que px fxgx com fx gx Rx então fx URx ou gx URx b Considere o polinômio px 2x2 9x2 1 em ℝx Note que px 0 e px Uℝx visto que sendo ℝ um domínio temos que Uℝx Uℝ ℝ polinômios constantes não nulos Por fim tomando fx 2x2 9 e gx x1 1 temos px fxgx com fx gx ℝx mas fx gx Uℝx Portanto px é redutível sobre ℝ c No exemplo anterior temos que x0 322 é raiz de px pois px0 2924 9924 1 0 Entretanto ser redutível em ℝx não implica na existência de raízes Com efeito o polinômio qx x2 1x2 2 é redutível em ℝx mas não admite raízes reais d O número máximo de raízes reais de px é 2 A saber x 322 e x 322 e Note que px admite 4 raízes complexas a saber x 322 x 322 x i e x i Exercício 4 Solução a Sendo ℝ um domínio e f 4 6 g temos que f g maxf g 6 Além disso como ℝ é domínio e f g h são não nulos temos f gh f g h 6 3 9 b Como queremos que a divisão euclidiana seja exata então vai existir qx ℤ7 tal que fx qxgx qxx 3 Em particular para x 4 temos f4 q44 3 0 em ℤ7 Portanto 0 44 64 a 1616 3 a 22 4 a 4 4 a donde a 1 0 isto é a 1 6 em ℤ7 c