Substitutiva P1 Anéis - Avaliação de Álgebra

Instruções 0 Esta é uma avaliação opcional e vale 100 pontos 1 Esta avaliação pode ser realizada em dupla é individual 2 Cada página deve conter a identificação dos estudantes 3 Procurem justificar suas respostas e organizar suas ideias pois respostas sem justificativas serão desconsideradas 4 Atenção ao prazo de entrega 18012023 às 2359 Substitutiva P1 Anéis Modelo B 1 VALOR 20 Seja A o anel QQ f Q Q f é função com as operações usuais isto é f gx fx gx e f gx fx gx Verifique se S f Q Q f é função e f7 0 é um subanel de A 2 VALOR 20 Sejam I a e J b ideais de um mesmo anel A Verificar se IJ xy x I e y J é ideal de A 3 VALOR 25 Considere as estruturas R e R em que e cot são as operações usuais enquanto e são definidas por a b a b 1 e a b a b ab a Encontre 0A e 1A sendo A R VALOR 08 b Considere a aplicação f R R dada por fx x 1 Verifique se f é isomorfismo de anéis VALOR 10 c Encontre Nucf a R fa 0A VALOR 07 4 VALOR 20 Sobre anéis especiais a Defina e exemplifique as noções de anel de divisão e domínio VALOR 10 b Prove que todo corpo é um domínio VALOR 10 5 VALOR 15 Encontre todos os divisores de zero dos seguintes conjuntos apresentando a devida justificativa a Z Z5 com a b c d a b c d e a b c d ac bd VALOR Justificar 03 Exibir02 b Z10 VALOR Justificar 03 Exibir02 c Z2 Z8 VALOR Justificar 03 Exibir02 Bom Trabalho Página 1B de 1B Lista de Exercícios Algébra n 58 a 1 b 0 c 4 Problema 1 Resposta Um subanel é um subconjunto S de um anel que tem as seguintes propriedades i Para todos f g S temos que f g S No nosso caso particular f g S significa que f7 g7 0 e assim f g7 f7 g7 0 Lembre que gx gx e f g f g ii Para todos f g S temos que fg S Note que no nosso caso fg7 f7g7 0 Assim temos que S satisfaz as condições de subanel e portanto é um subanel Problema 2 Resposta Para que IJ seja um ideal precisamos que valham as seguintes propriedades i 0 IJ Note que 0 I e 0 J que implica que 0 0 IJ ii x y IJ implica em x y IJ Os elementos genéricos de IJ são da forma x a1 b1 an bn y a1 b1 ak bk com ai ai I e bi bi J e assim o elemento x y a1 b1 an bn a1b1 akbk onde os elementos ai aj I bi bj J Portanto está em IJ iii Para todo c A e x IJ temos que cx IJ Aqui temos x a1 b1 an bn e tomando c A qualquer resulta em cx ca1 b1 can bn I I Assim cx é um elemento de IJ Problema 3 Resposta a Precisamos encontrar os elementos neutros da soma e do produto 1 Se a x a x 1 a e a x a 1 x a implica em x 1 0A 1 2 Se a x a e x a a implica em a x a x ax a a 1x a Isto implica em a 1x 0 que implica em x 0 Por outro lado temos x a x a ax 1 ax a a que leva ao mesmo valor de x 0 que torna 1A 0 uma opção consistente de elemento neutro b Um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo Claramente f é uma bijeção então só é necessário mostrar que é um homomorfismo caso seja As propriedades exigidas são i Para ser um homomorfismo precisa satisfazer fx y fx fy para todos x y A Contudo temos fx y x y 1 x 1 y 1 1 fx fy Esta propriedade é satisfeita ii Também fala a propriedade fxy x 1y 1 xy x y 1 fx fy x 1 y 1 x 1y 1 xy 1 Portanto a propriedade do produto não é válida Logo não é isomorfismo c O núcleo é formado pelos a A tais que fa 0A 1 a 1 1 a 0 Assim 0 é o núcleo da função 2 Problema 4 Resposta a Um anel de divisão é um anel nãocomutativo em que todo elemento não nulo é invertível Um exemplo tradicional é o conjunto conhecido como os quatérnios que é uma espécie de generalização de dimensão quatro dos números complexos Q a bi cj dk a b c d R onde i2 j2 k2 1 e ijk 1 b Basta observar que se xy 0 e x 0 existe x1 no corpo e portanto y x1xy x10 0 Concluise que xy 0 implica em x 0 ou y 0 Problema 5 Resposta a Como Z e Z5 são domínios e assim Z Z5 também é domínio b Os elementos que tem fator comum com 10 são divisores de zero no Z10 Os elementos são 0 2 4 5 6 8 c O Z8 não é domínio pela mesma justificativa de b e assim x 2 x 4 x 6 para todo x Z2 são divisores de zero 3