Grau de Um Polinômio em Anéis

Sobre Grau de Um Polinémio Seja A um anel e px ap ax 4 aor Ax Sabemos que O grau do polindmio pz é o numero natural n tal que a 4 0 e a 0 para todoi n Observacao 1 Note que o grau de um polinémio esta definido apenas para polinémio nao nulos pois é necessdrio ter algum coeficiente nado nulo no polinémio Seja A um anel Consideremos a aplicaao f Alaz0 N p grp Temos os seguintes resultados Teorema 1 Sejam A um anele px Ala ga Ala polindmios nao nulos a Se pa qx 4 0 entdo grpx q maxtgrp grq b Se grpx grq entao grpx q 0 e grp g maxtgrpa grqa fF c Se px qx 0 entdo grpa q grp grq d Se A é anel de integridadedominio de integridade entdo px qx 0 e grpx qx grp grq2 Demonstracao 1 Como px 4 0 e qx 4 0 podemos escrever px ag ayr agx a2 com an 0 a 0 Vin e qx bo bye bow 4bma com bm 0 b 0 Vi m Sendo nm N podemos supor sem perda de generalidade que n m Assim a px qx ao bo ay O1a An bn 2 Ang t Ongar Gm bm x Se am bm 4 0 entdo grpx qx m maxgrpz grqx Se Am bm 0 entdo grpx qx maxgrpx grqx Portanto grp q S maxgrpx grqx como queriamos mostrar b Por hipotese grpx n 4 m grqax Assumimos que n m entéo px qx ap bo ay by Gn bn a Gnga dng att ama Uma vez que Am 0 temos que p 4q 0 e grp q m maxtgrpx grqF 1 k c px qx co ex cou onde cy S aby para cada k EN i1 Agora observemos que k Ch So aibpi S ajb 0 para knm i1 ijk pois cada termo deste somatério envolve a comi nou b comj msek nm Donde segue que px qx co eye con ppm t Se Cam 0 entdo grpa qx n m grpx grq Se Crm 0 entdo grpx qx grpx grq Portanto gr px qx grpx grqx como queriamos mostrar d Do item anterior temos que k px qx co a cox onde cy S ab para cada k N Como i1 k Ch So aibpi S ajb 0 para kk nm i1 ijk pois cada termo deste somatorio envolve a comi noub comj msek nm E Chim S ao0nm a10n4m1 e AnDm An410m e ao0nm AnDm F 0 ijnm pois Gn 0 bm 0 e A éum anel integridade segue que P qt 0 e grpx g n mgrpx grq2 Exemplo 1 Seja px 1 2x Zz Determine o grau do polinémio px em Zsz Solucdo 1 px 1 82 24r4 32x 162 Como 8 0 mod 8 24 0 mod 8 32 0 mod 8 e 16 0 mod 8 temos que px 1 em Zea Portanto grpx 0 Ja sabemos que e Se A é um anel entao Az é anel e Se A é um anel com unidade entao Az é um anel com unidade e Se A é um anel comutativo entao Azx é anel comutativo e Se A é um anel de integridade entao Az é anel de integridade Agora sera que as implicagdes se extendem quando consideramos A um anel de divisao Em outras palavras 2 Pergunta 1 Seja A um anel de integridade Se A é um anel de divisão Ax também é um anel de divisão Resposta Não Sejam px 0 um polinômios sobre o anel Ax Suponha que px admite inverso em Ax então existe qx Ax qx 0 tal que px qx 1A o que implica px qx 0 e sendo A um anel de integridade segue do Teorema 1 item d que grpx qx grpx grqx 0 grpx grqx Como o grau de um polinômio é um número inteiro maior ou igual a zero temos grpx grqx 0 logo px a para algum a A a 0A e qx b para algum b A b 0A isto é px e qx são polinômios constantes Como px qx 1 a b 1 Portanto os elementos inversíveis no anel de polinômios Ax são os elementos inversíveis do anel A em outras palavras são os polinômios constantes px a onde a A admite inverso em A Exemplo 2 Seja A um anel tal que existe a A de modo que a2 0 Mostre que px 1 ax Ax é inversível Solução 2 Observemos que px 1 ax 1 ax 1 ax 1 a2x2 1 Portanto qx 1 ax é o inverso do polinômio px Ax Pergunta 2 Observe que se a 0A então px não é um polinômio constante Porque o exemplo anterior não contraria a resposta da pergunta 1 3