Lista de Análise 3

32 Mostre que a função f R R dada por fx 11ex se x 0 0 se x0 é descontínua em a 0 33 Encontre todas as funções contínuas f R R tais que f0 1 e f2x fx x x R 34 Mostre que toda função contínua f ab ab possui um ponto fixo 35 Uma função f A R R é dita uma contração se existir uma constante k R com 0 k 1 tal que fx fy kx y para todos xy A Mostre que se uma contração possui um ponto fixo então ele é único 36 Use TVI para deduzir que todo polinômio real de grau ímpar possui uma raiz real 37 Mostre que x cos x tem uma solução no intervalo 0 π2 38 Seja f ab R uma função contínua tal que fa a e b fb Mostre que existe c ab tal que fc c 39 Mostre que uma função definida em um subconjunto limitado de R é lipschitziana se e somente se é uma função uniformemente contínua 40 A função f R R dada por fx x² é lipschitziana E uniformemente contínua E se fosse fx x³ 41 Mostre que as funções seno e cosseno são lipschitzianas 42 Dada f R R encontre o valor de c R para que f seja contínua em R caso exista a fx 3x2 se x 0 c se x0 2 se x0 b fx 3x2 se x 0 c se x0 x² se x0 43 Suponha que a função f D R R tenha a propriedade de existir uma constante k R tal que fx kx² x D Mostre que lim x0 fx 0 e lim x0 fxx 0 44 Justifique a continuidade da função f R R dado por fx 0 se x0 x sen x se x 0 45 Dada a equação x5 4x² 16 0 podemos afirmar que ela possui uma solução no intervalo 02 Justifique sua resposta 46 Seja f R R uma função contínua tal que fx ffx 1 para todo x real Se f1000 999 calcule f500 47 Mostre que se uma função é derivável em um ponto então essa função é contínua nesse ponto 48 Mostre que a derivada do cosseno é a função simétrica do seno 49 Mostre que a função f R R dada por fx x não é derivável em x0 mesmo sendo contínua em toda a reta 50 Explique o que é um ponto crítico e dê dois exemplos 51 Mostre que uma função contínua f X R com derivada fx 0 para todo x int X é constante 52 Sejam c R e f R R uma função diferenciável dada por fx x² se x c mx h se x c Determine o par ordenado mh em função de c 53 Sabendo que f R R é uma função tal que para todo x R vale xfx x² determine o valor de f0 54 Seja f R R uma função diferenciável tal que lim x fx existe e é finito e lim x x fx existe Prove que lim x x fx 0 55 Mostre que se fg X R são funções contínuas deriváveis em int X com fx gx x int X Então existe c R tal que gx fx c para todo x X 56 Mostre que dada f X R derivável em X tal que existe um k R com fx k para todo x X então xy X fx fy kx y 57 Mostre que para a função f X R derivável seja monótona nãodecrescente no intervalo X é necessário e suficiente que fx 0 para todo x X 58 Seja G o ramo da hipérbole equilátera xy 1 contido no primeiro quadrante do plano cartesiano Se P e Q são pontos sobre os eixos cartesianos tais que a reta PQ tangencia G no ponto A prove que 1 AP AQ 2 se O é a origem do plano cartesiano utilizado então a área do triângulo POQ independe da posição de A sobre G 59 Dados abc R mostre que a equação 4ax³ 3bx² 2cx a b c tem pelo menos uma raiz entre 0 e 1 60 Encontre o valor máximo da função f 01 R dada por fx x x⁴ 61 Sabendo que n N calcule o valor de lim x ln xⁿ x 62 Dê dois exemplos de funções contínuas que não são deriváveis em zero 63 Dê dois exemplos de funções que não são deriváveis em algum ponto de seu domínio 64 Determine o valor de lim x0 1x 1ex 1 65 Determine o valor de lim x0 1x 1sen x 66 Dada a função polinomial p R R com px x⁴ 8x³ 22x² 24x 1 Quais são os pontos críticos de p 67 Seja f 0 R dada por fx x x x x 1 Mostre que para todo x R temse fx2fx1 1 68 Seja f 0 R dada por fx x x x x 1 com n raízes Quanto vale lim n f0 69 Sejam b R e f R R com fx bx Utilizando a definição de derivada determine fx 70 Fermat Sejam f X R uma função derivável e a intX Mostre que se a é um ponto de máximo ou mínimo de f então fa 0 71 Avalie os pontos em que fa 0 com f R R dada por fx x³ quanto à possibilidade de serem de máximo ou de mínimo 72 Dada f X R com fx x cosx e X 0 π4 Determine se há ponto de máximo e caso exista determineo 73 Lagrange Seja f ab R contínua Mostre que se f é derivável em ab então existe c ab tal que fc fb fa b a 74 Prove que a derivada de uma função par é uma função ímpar e que a derivada de uma função ímpar é uma função par 75 Demonstre que a derivada de uma função periódica é também uma função periódica 76 Determine todas as funções derivável que a derivada é constante em todo o seu domínio 77 Sabendo que dydx y e que ya b determine yx 78 Seja y fx determine a derivada de ln y gx Use o resultado encontrado para determinar a derivada de y sen xx 79 Mostre que a equação x² x sen x cos x tem exatamente duas raízes 80 Mostre que a equação ex 1 x tem uma única raiz e determinea 81 Utilize o teorema de Lagrange para demonstrar que senx h sen x h cosc em que c x x h 82 Determine o valor do limite lim x0 ln x cotan x 83 Função Gama Seja a função gama dada por Γp from 0 to xp1 ex dx p 0 mostre que Γp 1 p Γp Deduza a partir disso que Γn 1 n para todo n N 84 Para xy π2 π2 mostre que tan x tan y x y 85 Mostre que se f é uma função ímpar então from a to a fx dx 0 86 Mostre que se f ab R é uma função integrável e com derivada integrável então from a to b fx dx x fx from a to b from a to b x fx dx 87 Pondo P t₀ t₁ tₙ e Q t₀ t₁ ti1 r ti tₙ com r ti1 ti Mostre que sfP sfQ 88 De acordo com a notação adotada na aula de integrais e se m é o ínfimo e M é o supremo de f em ab mostre que vale mb a sfP SfP Mb a 89 Seja f ab R limitada Para quaisquer partições P e Q de ab temse sfP SfQ 90 Seja f ab R contínua então existe c ab tal que from a to b fx dx fcb a 91 Determine o valor de lim x ln²x x 92 Supondo que f R R seja derivável em R que f1 0 e que fx 1 x R determine o valor máximo de from 0 to 1 fx dx 93 Dada uma função contínua f ab R e pondo φx from x to b ft dt determine φx 94 Seja f R R tal que f0 fπ 1 e from 0 to π fx dx 0 Determine quanto vale a integral from 0 to π x fx dx 95 Pondo f R R tal que f1 2 e fx fx dx x encontre uma expressão para fx Introdução à Análise Real Lista de Questões para a Terceira Nota Licenciatura em Matemática 7º semestre 5 de setembro de 2024 Nome Professor João Paulo de Araújo Souza 1 Mostre que a interseção de dois conjuntos abertos também é um conjunto aberto 2 Prove que para todo X R temse intint X int X e conclua que int X é um conjunto aberto 3 Uma cisão de um conjunto X R é uma decomposição X AB tal que AB e AB A decomposição X X chamase cisão trivial Mostre que um intervalo da reta só admite uma cisão se for a cisão trivial 4 Mostre que um conjunto F R é fechado se e somente se seu complementar A R F é aberto 5 Mostre que a união de dois conjuntos fechados também é um conjunto fechado 6 Mostre que RZ é um conjunto aberto Conclua que Z é um conjunto fechado 7 O conjunto A 1n from n1 to possui algum ponto de acumulação em A E de aderência Esse conjunto A é discreto 8 Mostre que se X então X é infinito 9 Construa um conjunto limitado de números reais com três pontos de acumulação 10 Mostre que os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos e fechados são e R 11 Mostre que todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um ponto de acumulação 12 Seja X R então valem as propriedades a X X b X X X 13 Faça o que se pede a Defina ponto interno ponto de aderência ponto de acumulação e ponto isolado b Mostre que intX X X c Mostre que se b X não é ponto de acumulação de X então f X R é contínua em b 14 Usando a definição de limite prove que lim x2 2x 1 5 15 Mostre que não exite lim x sen x 16 Seja g X R R uma função limitada e suponha que lim xa fx 0 Mostre que lim xa gx fx 0 17 O limite lim x0 cosπ x existe 18 Prove que toda função com domínio simétrico em relação à origem decompõese de maneira única na soma de uma função par com uma função ímpar 19 Seja X R f X R a X Mostre que se lim xa fx A e lim xa fx B então A B 20 Mostre que lim x x x²1 sen1x 0 21 Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto para funções 22 Sabendo que lim x3 fxx3 2 determine o valor de lim x3 fx 23 Sejam X R e f X R Se lim x1 fxx1² 0 o que podemos afirmar sobre f 24 Determine todas as funções contínuas f R R com a propriedade fx fx² 0 para todo x real 25 Determine o valor de lim x1 x1 sen1x1 26 Seja fx x²1x³1 se x 1 0 se x 1 Utilizando o Teorema Sequencial determine lim x1 fx Podemos afirmar que essa função é contínua 27 Mostre que qualquer função f A R com A 12 23 34 nn1 é contínua 28 Sabendo que b k R satisfazem a equação lim x kx b x³1x²1 0 determine os valores de b e k 29 Mostre que a função valor absoluto fx x é contínua em qualquer ponto x R 30 Dada f X R suponha que para cada ϵ 0 se possa obter g X R contínua tal que fx gx ϵ para todo x X Prove que f é contínua 31 Prove ou dê um contraexemplo a lim xa fx L lim xa fx L 0 b lim xa fx L lim xa fx³ L c lim xa fx² L lim xa fx L