Lista de Exercícios - Polinômios - Questões e Resoluções

Universidade Federal de Roraima Centro de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Curso de Licenciatura em Matemática a Distância Atividade Quinzena 1 Assunto Polinômios Questão 1 Nas afirmações abaixo diga se é verdadeira ou falsa Justique sua resposta a Se K é um corpo então Kx é corpo b Zpx com p primo é um anel comutativo com unidade c Z6x é um domínio de integridade Questão 2 a O anel Z4x é um anel de divisão Justifique b Determine o inverso do polinômio px 1 2x2 2x3 Z4x c No material postado no ambienteAVA cujo título é Sobre Grau de um Polinômio na Pergunta 1 concluímos que Os elementos inversíveis do anel de polinômio Ax onde A é um anel de integridade são os elementos inversíveis do anel A Porque o item b acima não contradiz essa afirmação Questão 3 Seja A um anel de integridade Sejam fx gx Ax tais que grfx gx 6 e grfx gx 2 Determine os graus dos polinômios fx gx f 2x g2x e f 2x g2x Questão 4 Determine o grau dos seguintes polinômios de Ax a 1 x231 x22 em A Q b 1 x x2 x3 x47 em Z7 Questão 5 Existe um polinômio fx Rx tal que f 2 1 x x3 Justifique sua resposta Questão 6 Seja A um anel Considere o conjunto L fx a a A L é um subanel do anel Ax Justifique sua resposta Questão 7 Determine α de modo que a divisão euclidiana de fx 4x3 6xα por gx x3 seja exata em Z7 1 Questão 8 Mostre que Se fx ax2 bx c Cx com a 0 então as raízes de fx são b b2 4ac 2a Questão 9 a Seja α C uma raiz do polinômio fx Rx Podemos afirmar que o conjugado de α também é raiz de fx Justifique sua resposta b Seja α C uma raiz do polinômio fx Cx Podemos afirmar que o conjugado de α também é raiz de fx Justifique sua resposta 2 Questão 1 a Se K é um corpo então Kx é corpo Falso Pois os elementos invertiveis de Kx são os elementos invertiveis de K Logo a0 a1x a2 x2 an xn Kx não é invertível b Zpx com p primo é um anel comutativo com unidade Verdade Como Zp é um anel comutativo com unidade então pelo Teorema 111 Zpx é um anel comutativo com unidade c Z6x é um dominio de integridade Falso Considere os polinomios 2x 2 3x 3 Z6x Temos 2x 23x 3 6x2 6x 6x 6 0 Questão 2 a O anel Z4x não é um anel de divisão Pois os elementos invertiveis de Z4x são os elementos invertiveis de Z4 1 2 3 b Seja px 1 2x2 2x3 Z4x Observe que px1 2x2 2x3 1 2x2 2x31 2x2 2x3 1 2x2 2x3 2x2 4x4 4x5 2x3 4x5 4x6 1 Portanto o inverso de px 1 2x2 2x3 em Z4x é o polinómio qx 1 2x2 2x3 c Pois grpix1qx1 0 e grpix1 gr qx1 3 3 6 Logo gr pix1qx1 gr pix1 gr qx1 Questão 3 Sejam A um anel de integridade e fx gx AX tais que gr fx g1x 6 e gr fx g1x 2 Temos o gr f²x g²x max gr f²x grg²x 26 12 o gr f²x g²x 4 dd gr f1x g1x gr f1x gr g1x 6 6 12 Questão 4 a Seja A Q Temos gr 1 x²³ 6 e gr 1 x² ² 4 Logo gr 1 x² ³ 1 x² ² gr 1 x² ³ gr 1 x² ² 6 4 10 b A Z7 Temos 1 x x² x³ x4⁷ 1 x x² x³ x4³ 1 x x² x³ x4⁴ x¹² 3x¹¹ 6x¹⁰ 10x⁹ 15x⁸ 18x⁷ 19x⁶ 18x⁵ 15x⁴ 10x³ 6x² 3x 1x¹⁶ 4x¹⁵ 10x¹⁴ 20x¹³ 3 5⁰x¹² 52x⁴ 68x¹⁰ 80x⁹ 85x⁸ Questão 5 Não existe um polinômio fx Rx tal que f² 1 x x³ Suponha o contrário ou seja que existe fx Rx tal que f² 1 x x³ Logo 3 grfxfx grfx grfx 3 2 grfx grfx 32 Absurd Pois grau de um polinômio é um número inteiro positivo Questão 6 Seja A um anel Considere o subconjunto L fxa a A e Ax Afirmação L é um subanel de Ax Pois i Se 0A A é o elemento neutro de A então tomando a 0A temos fx 0A L ii Sejam fx a₁ gx a₂ L fx gx a₁ a₂ L A iii Sejam fx a₁ gx a₂ Então fxgx a₁a₂ L A Portanto L é um subanel de Ax Questão 7 Sejam fx 4x³ 6x α e gx x 3 Temos 4x³ 6x α x 3 4x² 12x 30 4x³ 12x² 12x² 6x α 12x² 36x 30x α 30x 90 90 α Logo 90 α 0 se α 90 como 90 6 mod 7 Portanto α 6 em Z7 Questão 8 Seja fx ax2 bx c CCx com a 0 Considere b α βi β 0 Vamos determinar um número complexo c di tal que α βi c di2 c2 d2 2cdi Pela igualdade de números complexos temos α c2 d2 β 2cd α2 c2 d22 β2 4c2d2 α2 β2 c2 d22 Portanto c2 d2 α2 β2 como c2 d2 α temos c2 α2 β2 α2 e d2 α2 β2 α2 Como β 0 e β 2cd devemos escolher c d ℝ tais que c α2 β2 α2 e d α2 β2 α2 Logo se β 0 tomamos c 0 e d 0 ou c 0 e d 0 Quando β 0 tomamos c 0 e d 0 ou c 0 e d 0 Logo temos exatamente dois números complexos da forma c di cujo quadrado é b α βi Questão 9 a Verdade Seja α ℂ uma raiz do polinômio fx ℝx Temos em ℂx Questão 9 a Verdade Seja α ℂ uma raiz do polinômio fx ℝx Vamos mostrar que α também é raiz de fx Temos em ℂx fx x αqx com qα 0 Então fx x αqx com qα qα 0 0 Portanto α também é uma raiz de fx b Falso Considere o polinômio px x 1 2i Cx Temos que α 1 2i é raiz de px Mas α 1 2i não é raiz de px já que p1 2i 1 2i 1 2i 4i