Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância - Álgebra II

Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância Álgebra II Oscar Ricardo Janesch Universidade Federal de Santa Catarina Álgebra II Oscar Ricardo Janesch Florianópolis 2008 Universidade Federal de Santa Catarina Consórcio ReDiSul Campus Universitário Trindade Caixa Postal 476 CEP 88040900 Florianópolis SC Reitor Alvaro Toubes Prata ViceReitor Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distância Cícero Barbosa PróReitora de Ensino de Graduação Yara Maria Rauh Muller Departamento de Educação à Distância Araci Hack Catapan PróReitora de Pesquisa e Extensão Débora Peres Menezes PróReitor de PósGraduação José Roberto OShea PróReitor de Desenvolvimento Humano e Social Luiz Henrique Vieira Silva PróReitor de InfraEstrutura João Batista Furtuoso PróReitor de Assuntos Estudantis Cláudio José Amante Centro de Ciências da Educação Carlos Alberto Marques Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Méricles Thadeu Moretti Centro de Filosofia e Ciências Humanas Maria Juracy Filgueiras Toneli Cursos de Licenciaturas na Modalidade à Distância Coordenação Acadêmica Matemática Neri Terezinha Both Carvalho Coordenação de Ambientes Virtuais Nereu Estanislau Burin Coordenação de InfraEstrutura e Pólos Vladimir Arthur Fey Comissão Editorial Antônio Carlos Gardel Leitão Albertina Zatelli Elisa Zunko Toma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão Coordenação Pedagógica das Licenciaturas à Distância UFSCCEDCFM Coordenação Roseli Zen Cerny Núcleo de Formação Responsável Nilza Godoy Gomes Núcleo de Criação e Desenvolvimento de Material Responsável Isabella Benfica Barbosa Design Gráfico e Editorial Carlos A Ramirez Righi Diogo Henrique Ropelato Mariana da Silva Adaptação Design Gráfico Diogo Henrique Ropelato Marta Cristina Goulart Braga Natal Anacleto Chicca Junior Produção Gráfica e Hipermídia Thiago Rocha Oliveira Revisão Ortográfica Jane Maria Viana Cardoso Editoração Eletrônica Laura Martins Rodrigues Núcleo de Pesquisa e Avaliação Responsável Claudia Regina Flores Copyright 2008 Universidade Federal de Santa Catarina Consórcio RediSul Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Coordenação Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância Ficha Catalográfica J35a Janesch Oscar Ricardo Álgebra II Oscar Ricardo Janesch Florianópolis UFSCEAD CEDCFM 2008 216p ISBN 9788599379561 1Álgebra I Título CDU 512 Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M F Vieira CRB 14786 Sumário 1 Polinômios 13 11 O Anel de Polinômios 15 12 Algoritmo da Divisão e Raízes 31 13 Irredutibilidade 50 14 Ideais e Máximo Divisor Comum 67 2 Grupos e Subgrupos 87 21 Grupos 89 22 Grupos de Permutações Grupos de Rotações e Grupos Diedrais 97 23 Subgrupos 111 3 Subgrupo Normal e Grupo Quociente 125 31 Classes Laterais e Teorema de Lagrange 127 32 Subgrupo Normal e Grupo Quociente 138 4 Homomorfismos e Isomorfismos 153 41 Homomorfismos de grupos 155 42 Propriedades dos Homomorfismos 167 43 Isomorfismos e grupos Cíclicos 182 5 Grupos de Permutações e o Teorema de Cayley 191 51 Teorema de Cayley e Ciclos 193 52 Grupo de Permutações Pares 205 Referências 216 Apresentação Este material foi elaborado para a disciplina Álgebra II do curso de Matemática à distância Tratase da continuação do estudo de Álgebra visto na disciplina Álgebra I A disciplina Álgebra II tem carga de 80 horas mas deve ficar claro que esta carga horária é apenas uma refe rência com base em um curso presencial O estudante deve utilizar este material como texto seguindo a or dem dos conteúdos expostos Nenhuma parte pode ser deixada de lado Mesmo que o assunto pareça fácil deve ser estudado com deta lhes pois quase todos os tópicos trazem resultados e notações para uso posterior Se algum assunto parecer difícil ou abstrato deve ser estudado com mais afinco Persistindo dúvidas devese sanálas com o tutor o moni tor ou o professor da disciplina Normalmente dúvidas em matemáti ca indicam algum grau de aprendizado Portanto encare suas dúvidas com naturalidade mas empenhese em superálas A organização do texto segue o padrão dos livros escritos para cur sos de graduação Na introdução situamos o assunto dentro da ma temática e apresentamos os tópicos que serão tratados nos capítulos Cada capítulo é dividido em seções No final de cada seção há lista de exercícios e no final de cada capítulo há um resumo Os exercícios de cada seção integram o texto da seção e em hipótese alguma são dispensáveis Não se aprende matemática passivamente Portanto resolver exercícios é a forma correta de verificar o aprendiza do e adquirir novos conhecimentos sobre o assunto Neste trabalho os conceitos matemáticos são apresentados na forma de Definição Os resultados sobre cada assunto desenvolvido aparecem como Propriedade Proposição Lema Corolário ou Teorema Para in dicar o final da demonstração destes resultados usaremos a marca Os comentários com objetivo de destacar algum resultado são apresen tados como Observação Oscar Ricardo Janesch 9 Introdução No curso de Álgebra I estudamos a estrutura algébrica chamada anel e vimos vários exemplos Agora iniciaremos o curso de Álge bra II tratando de um anel especial chamado anel de polinômios No Capítulo I veremos que o conjunto dos polinômios com co eficientes em um anel é novamente um anel Se o conjunto dos coeficientes for um domínio então teremos um domínio de po linômios Mostraremos que se o conjunto dos coeficientes é um corpo então o domínio de polinômios satisfaz o algoritmo de Euclides Também estudaremos raízes de polinômios irredutibi lidade de polinômios ideais em anéis de polinômios e máximo divisor comum entre polinômios A cada polinômio 1 1 1 0 n n n n p x a x a x a x a podemos associar a equação polinomial 1 1 1 0 0 n n n n a x a x a x a Quando falamos em resolver a equação polinomial estamos pro curando as raízes do polinômio p x A equação polinomial 2 1 x 0 tem coeficientes em mas não pode ser resolvida em No entanto pode ser resolvida em pois toda equação polinomial de grau 1 0 ax b com a b a 0 tem solução única ba1 Portanto a existên cia de solução para uma equação polinomial depende do anel dos coeficientes do polinômio Sabemos que a melhor estrutura algébrica para o anel dos coe ficientes é a estrutura de corpo Assim o estudo de equações poli nomiais é iniciado com equações polinomiais com coeficientes em Mas toda equação polinomial com coeficientes em pode ser trocada por uma equação polinomial com coeficientes em que tem a mesma solução Assim basta trabalhar com equações poli nomiais com coeficientes em e procurar soluções em Note que a equação polinomial 2 1 x 0 tem coeficientes em mas não é solúvel em Logo a solubilidade em é bastan te restritiva Por isso estudamos equações polinomiais usando o conceito de solubilidade por radicais sobre que é mais amplo que solubilidade em 10 Dizemos que uma equação polinomial com coeficientes em é solúvel por radicais sobre quando suas soluções são obtidas a partir dos coeficientes do polinômio através de operações do corpo e da extração de raízes É óbvio que toda equação poli nomial solúvel em é solúvel por radicais sobre A extração de raiz permite buscar soluções fora de para a equação polinomial A utilização da extração de raiz é um fato histórico ligado à construtibilidade com régua e compasso Retome a equação polinomial 2 1 x 0 Suas soluções são 1 Logo 2 1 x 0 é solúvel por radicais sobre A equação polino mial de grau 2 2 0 a x b x c com a b c e 0 a tem soluções 2 1 4 2 b b ac a e portanto é solúvel por radicais sobre Até o início do século XVI não se sabia se todas as equações polinomiais de grau 3 eram solúveis por radicais Nesta época os matemáticos italianos Spicio del Ferro e Nicallo Fontana conhe cido como Tartaglia verificaram que toda equação polinomial de grau 3 pode ser reduzida a uma equação do tipo 3 0 x p x q p q e que estas equações são solúveis por radicais sobre Portanto toda equação polinomial de grau 3 é solúvel por radi cais sobre Em 1545 o também italiano Cardano divulgou o método de Ferrari para redução de uma equação polinomial de grau 4 para uma equação polinomial de grau 3 Usando as idéias de Tartaglia e del Ferro verificou que toda equação polinomial de grau 4 é solúvel por radicais sobre Muitos matemáticos tentaram em vão provar que toda equação polinomial de grau 5 é solúvel por radicais sobre De fato não é como mostrou o matemático norueguês Niels H Abel em 1824 Abel provou que a equação polinomial 5 6 3 0 x x não é solú vel por radicais sobre Claro que existem equações polinomiais de grau 5 que são so lúveis por radicais sobre por exemplo 5 1 x 0 Isso leva à questão de determinar quais equações de grau 5 são solúveis por radicais sobre De modo mais geral quais equações polino miais de grau n 5 são solúveis por radicais sobre 11 A resposta para esta pergunta foi dada por Evarist Galois 1811 1832 que introduziu o conceito de grupo Grosseiramente falan do Galois associou a cada equação polinomial de grau n um grupo formado por permutações de raízes da equação Depois provou que a equação é solúvel por radicais sobre se e so mente se este grupo tem propriedades específicas Na linguagem atual este grupo deve ser solúvel A teoria de Galois está além dos objetivos deste curso Nos res tringiremos a apresentar a linguagem usada no estudo de grupos e a estudar as principais propriedades da teoria de grupos No Capítulo II introduziremos a estrutura algébrica de gru po estudaremos propriedades veremos exemplos e o conceito de subgrupo O Capítulo III será dedicado à construção de grupos quociente Para isso estudaremos classes laterais e subgrupos normais Também provaremos o Teorema de Lagrange No Capí tulo IV estudaremos homomorfismos e isomorfismos de grupos Finalmente no Capítulo V veremos propriedades dos grupos de permutações 1 Polinômios 15 1 No curso de Álgebra I vimos alguns anéis especiais entre os quais os anéis de matrizes e os anéis n Agora estuda remos os anéis de polinômios A partir de um anel A definiremos o anel A x formado pelos polinômios na indeterminada x com coeficientes em A Veremos que a melhor estrutura algébrica para A x é domínio e que isso ocorre exatamente quando A é domí nio ou corpo Mostraremos o algoritmo de Euclides e sua relação com raízes de polinômios Também estudaremos irredutibilidade e máximo divisor comum de polinômios 11 O Anel de Polinômios Nesta seção apresentaremos a definição formal de polinômios com coeficientes em um anel Veremos que com as operações usu ais de adição e multiplicação de polinômios o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em um anel é também um anel que chamaremos de anel de polinômios Estudaremos proprieda des do grau de um polinômio para determinar a melhor estrutu ra algébrica possível para anéis de polinômios Definição 111 Seja A um anel Um polinômio sobre A na variável ou indeterminada x é uma expressão da forma 2 0 1 2 a a x a x onde ia A i e existe n tal que ja 0 para j n Observação 111 Os expoentes da variável x no polinômio 2 0 1 2 a a x a x não têm significado aritmético até o momento Tratamse apenas de uma notação Observação 112 Se 2 0 1 2 p x a a x a x é um polinômio so bre A na variável x chamamos 0 1 2 a a a de coeficientes de p x Mais especificamente 0a é o termo independente 1a é o coeficiente Polinômios 16 de x 2a é o coeficiente de 2x e assim por diante Costumase omi tir o coeficiente 1 de jx j escrevendo jx em vez de 1 jx Seja 2 0 1 2 p x a a x a x um polinômio sobre o anel A na variável x Como existe n tal que ja 0 para j n pode mos escrever 2 0 1 2 n n p x a a x a x a x deixando subentendido que 2 1 0 1 2 0 n n n p x a a x a x a x x Note que escrevemos 2 0 1 2 n n p x a a x a x a x não excluindo a possibilidade ia 0 para 12 i n Quando 2 0 1 2 n n p x a a x a x a x e na 0 dizemos que o coeficiente dominante de p x é na Um polinômio com coefi ciente dominante 1 é chamado de polinômio mônico Exemplo 111 O polinômio sobre o anel 2 3 4 5 2 0 1 3 0 0 p x x x x x x pode ser escrito de várias maneiras Em particular 2 3 2 0 1 3 p x x x x 2 3 4 2 0 1 3 0 p x x x x x Exemplo 112 Seja A um anel Para cada a A o polinômio 2 0 0 p x a x x é chamado polinômio constante a e indicado por p x a Em particular quando a 0 temos o polinômio p x 0 que é cha mado polinômio nulo Desde que cada polinômio na variável x sobre o anel A pode ser escrito como 2 0 1 2 n n p x a a x a x a x para algum n vemos que o conjunto dos polinômios na variável x sobre o anel A é 0 1 12 n n i A x a a x a x n a A i n Seja A um anel De acordo com o Exemplo 112 cada elemento a A pode ser identificado com o polinômio constante p x a Através desta identificação temos A A x Nosso primeiro objetivo é mostrar que definindo operações convenientes o conjunto A x é um anel No entanto para traba lhar com o conjunto A x devemos ter bem claro o que significa igualdade neste conjunto 17 Definição 112 Os polinômios 2 0 1 2 p x a a x a x A x 2 0 1 2 q x b b x b x A x são iguais quando i i a b i Agora vamos definir as operações de adição e multiplicação em A x Observe que as operações que definiremos abaixo são exatamente as operações conhecidas para polinômios com coefi cientes reais Sejam A um anel 2 0 1 2 p x a a x a x A x e 2 0 1 2 q x b b x b x A x Definimos a adição de p x com q x por 2 0 0 1 1 2 2 p x q x a b a b x a b x A x Definimos a multiplicação de p x com q x por 2 0 1 2 p x q x c c x c x A x onde 0 1 1 0 k i j k k k i j k c a b a b a b a b Observação 113 Note que p x q x e p x q x são de fato elementos de A x pois todos os seus coeficientes são obtidos fa zendo operações no anel A e portanto estão em A Além disso como os coeficientes de p x e q x são todos nulos a partir de um certo n o mesmo ocorrerá com p x q x e p x q x Para fazer a multiplicação de 2 0 1 2 p x a a x a x A x por 2 0 1 2 q x b b x b x A x podemos proceder da seguin te maneira Elaborar uma tabela onde os coeficientes de p x aparecem na entrada vertical e os coeficientes de q x aparecem na entrada horizontal Completar a tabela fazendo o produto no anel A dos ele mentos correspondentes a cada linha e cada coluna Tomar a soma dos elementos da diagonal da tabela obser vando que eles correspondem a 0 1 2 c c c 18 b0 b1 b2 b3 a0 a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a1 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a2 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3 1ª diagonal 0 0 0 0 i j i j a b a b c 2ª diagonal 0 1 1 0 1 1 i j i j a b a b a b c 3ª diagonal 0 2 1 1 2 0 2 2 i j i j a b a b a b a b c 4ª diagonal 0 3 1 2 2 1 3 0 3 3 i j i j a b a b a b a b a b c Exemplo 113 Sejam 2 2 2 p x x x 1 3 q x x x 2 2 1 1 3 2 0 p x q x x x 2 3 4 2 x x Para calcular p x q x usamos a tabela abaixo 1 3 0 c0 2 c1 6 1 7 c2 3 2 5 c3 6 ck 0 para k 3 2 2 6 0 1 1 3 0 2 2 6 0 2 3 2 7 5 6 p x q x x x x 19 O Teorema abaixo mostra que com as operações definidas acima A x é um anel e que a comutatividade a existência de unidade e a inexistência de divisores de zero são passadas de A para A x Teorema 111 Seja A um anel Então 1 A x é um anel 2 Se A é comutativo então A x é comutativo 3 Se A tem unidade 1 então A x tem unidade 1 g x 4 Se A é domínio então A x é domínio Demonstração 1 Devemos verificar os 6 axiomas de anel Sejam 2 0 1 2 p x a a x a x A x 2 0 1 2 q x b b x b x A x e 2 0 1 2 r x c c x c x A x Lembre que os coeficientes dos polinômios estão em A e portan to valem os axiomas de anel para os coeficientes Axioma i Comutatividade da adição 2 0 0 1 1 2 2 p x q x a b a b x a b x 2 0 0 1 1 2 2 b a b a x b a x q x p x Axioma ii Associatividade da adição 2 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2 p x q x r x a a x a x b c b c x b c x 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 a b c a b c x a b c x 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 a b c a b c x a b c x 2 2 0 0 1 1 2 2 0 1 2 a b a b x a b x c c x c x p x q x r x 20 Axioma iii Existência de elemento neutro Tome 0 f x A x 2 0 1 2 0 0 0 p x f x a a x a x 2 0 1 2 a a x a x p x Axioma iv Existência de simétrico Para 2 0 1 2 p x a a x a x A x tome o polinômio 2 0 1 2 p x a a x a x A x Então 2 0 0 1 1 2 2 p x p x a a a a x a a x 0 Axioma v Associatividade da multiplicação Vamos mostrar que p x q x r x p x q x r x Escrevendo 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 i j t j t i i j t j t i i j t j t i i j t j t i q x r x d d x d x d b c p x q x r x e e x e x e a d p x q x l l x l x l a b p x q x r x m m x m x m l c devemos provar que i i e m i Tome então i daí i j t j j j j t i j t i t j i j i e a d a b c a b c a b c j n i n i j n n i a b c l c m Axioma vi Distributividade Faremos apenas a distributividade à esquerda A outra é aná loga Queremos mostrar que p x q x r x p x q x p x r x Escrevendo 21 2 0 1 2 p x q x r x x x i j t t j t i a b c 2 0 1 2 p x q x l l x l x i j t j t i l a b 2 0 1 2 p x r x v v x v x i j t j t i v a c devemos mostrar que ii i i l v m i Para i temos i j t t j t j t j t j t i i j t i j t i j t i j t i a b c a b a c a b a c l v Como A x satisfaz os 6 axiomas de anel temos que A x é um anel 2 Sejam 2 0 1 2 p x a a x a x A x e 2 0 1 2 q x b b x b x A x Escrevendo 2 0 1 2 p x q x l l x l x i j t j t i l a b 2 0 1 2 q x p x w w x w x i t j j t i w b a devemos provar que i i l w i Por hipótese o anel A é comutativo e então para cada i temos i j t t j i j t i j t i l a b b a w 3 Seja 2 0 1 2 p x a a x a x A x Escreva 1 g x como 2 0 1 2 g x b b x b x onde 0 1 b e tb 0 para 1 t Escrevendo 2 0 1 2 p x g x c c x c x i j t j t i c a b devemos provar que i i c a i e então teremos p x g x p x Para i note que a única forma das parcelas do somatório j t j t i a b serem não nulas é quando t 0 Assim 0 0 i j t j j i j t i j i j i c a b a b a a De forma análoga provase que g x p x p x Portanto 1 g x é a unidade do anel A x 22 4 Como A é domínio temos que A é anel comutativo com uni dade e sem divisores de zero Segue dos itens 2 e 3 que A x também é anel comutativo com unidade Falta provar que A x não tem divisores de zero Faremos esta prova por absurdo isto é vamos supor que A x tenha divisores de zero Então existem p x q x A x p x 0 q x 0 tais que p x q x 0 Es crevendo 2 0 1 2 p x a a x a x 2 0 1 2 q x b b x b x e lembrando que estes polinômios são não nulos existem m n tais que 0 1 m m p x a a x a x 0 m a e 0 1 n n q x b b x b x nb 0 Desde que 2 0 1 2 0 p x q x c c x c x i j t j t i c a b temos que ic 0 i Em particular 0 n m c Mas 0 1 1 1 1 1 1 0 0 n m j t n m n m m n m n m n n m j t n m c a b a b a b a b a b a b a b 0 1 1 1 1 1 1 0 0 n m j t n m n m m n m n m n n m j t n m c a b a b a b a b a b a b a b m a bn pois jb 0 para j n e ja 0 para j m Isso contradiz o fato de A ser domínio Portanto A x não tem divisores de zero Observação 114 Vimos que identificando os elementos do anel A com os polinômios constantes de A x temos a inclusão A A x Agora note que as operações com polinômios constan tes de A x são exatamente as operações do anel A Isso diz que A é um anel com a restrição das operações de A x Portanto A é subanel de A x Exemplo 114 Usando o Teorema 111 temos que x é domínio pois é domínio n x é anel comutativo pois n é anel comutativo 23 p x é domínio pois p é domínio para todo primo positivo p p x é domínio pois p é domínio para todo primo positivo p n x é anel comutativo com unidade pois n é anel comu tativo com unidade p x é domínio pois p x é domínio para todo primo posi tivo p 2 2 M x é anel com unidade pois 2 2 M é anel com unidade x é domínio pois é domínio x é domínio pois é domínio Agora vamos usar os axiomas de anel verificados em A x para fazer a multiplicação de polinômios Note que o procedi mento descrito abaixo é exatamente a maneira usual de multipli car polinômios Sejam A um anel e 0 1 n n p x a a x a x 0 1 m m q x b b x b x A x Cada parcela que compõe p x e q x é também um polinômio de A x Isto é 0 1 n p x p x p x p x 0 1 m q x q x q x q x onde i i i p x a x i i i q x b x A x 0 i n 0 j m Note que estamos usando a convenção 0 1 x Podemos multiplicar p x por q x usando a distributividade em A x 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 n m m m p x q x p x p x p x q x q x q x p x q x q x q x p x q x q x q x 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 n m m m p x q x p x p x p x q x q x q x p x q x q x q x p x q x q x q x 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 n m m m p x q x p x p x p x q x q x q x p x q x q x q x p x q x q x q x 0 1 n m p x q x q x q x 24 Usando novamente a distributividade e a comutatividade da adição podemos agrupar as parcelas da expressão acima de for ma que a soma dos índices seja constante 0 0 0 1 1 0 n m p x q x p x q x p x q x p x q x p x q x 0 0 0 1 1 0 n m p x q x p x q x p x q x p x q x p x q x Portanto para obter p x q x precisamos apenas efetuar produ tos do tipo i j i j a x b x O lema abaixo traz o resultado desta conta Lema 111 Sejam A um anel a b A e r s 1 r s r s ax bx ab x 2 s s a bx ab x e r r ax b ab x Demonstração 1 Chame r p x ax e s q x bx Por definição 2 0 1 2 p x q x c c x c x com k k c a b Desde que ra a e sb b sejam os únicos coeficientes de p x e q x que possam ser não nulos temos 0 para para k r s k r s c a b ab k r s Portanto r s r s ax bx p x q x ab x 2 Fazendo 0 r em 1 temos 0 0 s s a x b x ab x isto é s s a b x abx Fazendo s 0 em 1 temos 0 0 r r a x b x ab x isto é r r a x b abx Exemplo 115 Dados 3 2 3 p x x 2 1 2 q x x x x temos 3 2 2 3 1 2 p x q x x x x 2 3 2 21 2 3 1 2 x x x x x 2 3 4 5 2 2 4 3 3 6 x x x x x Nosso próximo objetivo é mostrar que um anel de polinômio nunca é corpo De outra forma a melhor estrutura algébrica para anéis de polinômios é domínio 25 Veremos que em um anel de polinômios os únicos elementos inversíveis são os polinômios constantes cujas constantes são in versíveis no anel Como conseqüência o polinômio p x x não é inversível portanto nenhum anel de polinômios pode ser corpo Para estudar elementos inversíveis em anéis de polinômios utilizaremos as propriedades de grau de um polinômio que pro varemos abaixo Definição 113 Seja A um anel Dizemos que 2 0 1 2 p x a a x a x A x tem grau n quando i na 0 ii ja 0 para j n Notação p x n indica que o grau de p x é n Observação 115 Note que grau só está definido para polinômio não nulo pois precisamos ter algum coeficiente não nulo no poli nômio É claro que grau é uma função 0 A x p x p x Exemplo 116 Sejam 2 5 2 3 3 p x x x x e 2 4 2 2 1 0 0 0 3 1 2 3 1 0 2 2 q x x x x M x Então 5 p x e 4 q x Proposição 111 Sejam A um anel p x q x A x e 0 p x q x 1 Se 0 p x q x então p x q x máx p x q x 2 Se p x q x então 0 p x q x e p x q x máx p x q x 26 3 Se p x q x 0 então p x q x p x q x 4 Se A é domínio então p x q x 0 e p x q x p x q x Demonstração Sejam 0 1 n n p x a a x a x 0 1 m m q x b b x b x com p x n e q x m Então 0 n m a b 1 Sem perda de generalidade assuma que n m Assim 0 0 1 1 0 m n m m n n p x q x a b a b x a b x a b x 0 0 1 1 0 m n m m n n p x q x a b a b x a b x a b x onde acrescentamos coeficientes jb 0 para j m se for necessário Se 0 n n a b então p x q x n senão p x q x n Portanto p x q x n máx n m máx p x q x 2 Por hipótese p x q x então n m Vamos assumir que n m Então 1 0 0 1 1 1 m m n m m m n p x q x a b a b x a b x a x a x Desde que na 0 temos que 0 p x q x e também p x q x n máx n m máx p x q x 3 Escrevendo 2 0 1 2 p x q x c c x c x k i j i j k c a b e lembrando que ia 0 para i n pois p x n e jb 0 para j m pois q x m vemos que kc 0 para k n m De fato quando k n m cada uma das parcelas de somatório k i j i j k c a b envol ve ia com i n ou jb com j m portanto todas as par celas são nulas Conseqüentemente kc 0 para k n m Segue que 2 0 1 2 n m n m p x q x c c x c x c x e então 2 0 1 2 n m n m p x q x c c x c x c x 27 4 Novamente escreva 2 0 1 2 p x q x c c x c x k i j i j k c a b Lembre que na 0 e 0 m b pois p x n e q x m Vi mos na demonstração do item anterior que kc 0 para k n m Além disso note que 0 1 1 1 1 1 1 0 n m n m n m n m n m m m n m n m c a b a b a b a b a b a b a b 0 1 1 1 1 1 1 0 n m n m n m n m n m m m n m n m c a b a b a b a b a b a b a b pois ia 0 para i n e jb 0 para j m Como A é domínio e 0 n m a b temos que 0 n m n m c a b Por tanto p x q x 0 e p x q x n m p x q x Os próximos exemplos mostram que de fato pode ocorrer desi gualdade estrita nos itens 1 e 3 da Proposição 111 Exemplo 117 Sejam 3 2 2 5 p x x x 2 3 1 2 5 q x x x x x Então 2 3 3 2 p x q x x x e 2 3 p x q x máx p x q x Exemplo 118 Sejam 2 1 2 p x x 3 4 2 3 2 q x x x x En tão 3 2 3 5 2 3 2 4 6 4 2 3 p x q x x x x x x x e 1 2 3 p x q x p x q x Proposição 112 Se A é um domínio então o conjunto dos elementos inversíveis de A e de A x coincidem isto é A A x Demonstração A inclusão A A x é imediata pois A A x Tome agora f x A x Então existe g x A x tal que 1 f x g x Assim f x 0 e g x 0 Como A x é domínio pois A é domínio segue da Proposição 111 4 que 0 1 f x g x f x g x Portanto 0 f x g x isto é f x a A g x b A e 1 ab Logo f x a A 28 Corolário 111 Nenhum anel de polinômios é corpo Demonstração Seja A um anel e suponha que A x é corpo En tão A A x A x Como A é subanel com unidade de A x temos que A é domínio Pela Proposição 112 concluímos que A A x A x o que é absurdo Exemplo 119 A Proposição 112 permite concluir que 1 x x x p p p x p um número primo Se K é corpo qualquer então K x K K 29 Lista de Exercícios 1 Sejam 2 1 f x a x bx c e 2 2 2 g x ax bx c polinô mios de x determine os possíveis valores para a b e c de forma que valha a igualdade f x g x 2 Dados 3 1 5 3 f x x x 2 7 g x x x 2 4 1 3 h x x x x calcule a f x g x f x g x e h x g x b f x g x f x h x e g x h x 3 Sejam f x A Bx 2 2 g x C Bx Ax M x onde 1 0 0 0 A 0 2 3 0 B e 3 0 0 1 C Calcule 2 f x e 2 f x g x 4 Justifique cada uma das afirmações abaixo a K x não é corpo mesmo que K seja corpo b 4 x é anel comutativo com unidade c 4 x não é domínio d Mn x é anel com unidade e Mn x não é anel comutativo quando 1 n 5 Verifique se cada um dos conjuntos abaixo é subanel de x a 0 1 0 é par n n A a a x a x x a b 0 1 0 3 0 n n B a a x a x x a c 0 1 0 1 0 n n C a a x a x x a a 6 Determine todos os polinômios de grau 1 do anel 3 x 30 7 Quantos polinômios de grau m existem em n x 8 Sejam A um domínio e f x g x A x Se 5 f x g x e 2 f x g x determine f x g x 2 2 f x g x e 2 2 f x g x 9 Sejam A um domínio e f x g x A x tais que 2 8 f x e 7 g x Determine f x g x f x g x e 2 2 3 4 f x f x g x f x g x 10 Seja 2 3 2 2 2 3 1 1 3 f x a a x a x a x x Determine em função de a o grau de f x 11 Seja um polinômio inversível Determine a b c e 1 f x 3 2 1 2 5 1 f x a x a b x b c x c a x 31 12 Algoritmo da Divisão e Raízes Lembre que se a b e b 0 então existem únicos q r tais que a bq r com 0 r b Este é o processo de divisão conhecido como algoritmo de Eu clides em Nesta seção verificaremos que se f x g x K x K corpo e g x 0 então sempre é possível dividir f x por g x ob tendo quociente e resto únicos em K x O procedimento usado para obter o quociente e o resto é o algoritmo de Euclides para polinômios Veremos que tal algoritmo é útil para estudar raízes de polinômios Dados f x g x x g x 0 sabemos efetuar a divisão de f x por g x utilizando um processo estudado no ensino médio Veja o exemplo abaixo Exemplo 121 Sejam 3 2 4 6 4 3 f x x x x 2 2 1 g x x x x Dividir f x por g x e identificar o quociente e o resto 3 2 2 3 2 2 2 4 6 4 3 2 1 4 2 2 2 2 4 2 3 4 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x 3 2 2 4 6 4 3 2 12 2 1 x x x x x x f x g x q x r x O quociente é 2 2 q x x O resto é 1 r x O procedimento usado no Exemplo 121 para dividir f x por g x foi reduzir em cada etapa o grau do dividendo até que restas se um polinômio cujo grau fosse menor que o grau de g x Pode ria ocorrer em um outro exemplo que restasse o polinômio nulo O que nos interessa no momento é observar que o grau de g x é usa 32 do como critério de parada De outra forma para dividir f x por g x 0 reduzimos o grau do dividendo até que reste o polinômio nulo ou um polinômio de grau menor que o grau de g x No teorema abaixo provamos que o procedimento para divi dir polinômios com coeficientes em um corpo sempre pode ser aplicado Além disso o quociente e o resto obtidos são únicos Teorema 121 Algoritmo de Euclides Sejam K um corpo f x g x K x e g x 0 Então existem úni cos q x r x K x tais que f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x Demonstração Se f x 0 tome 0 q x r x Podemos admitir f x 0 e como g x 0 escrevemos 0 1 n n f x a a x a x f x n 0 1 m m g x b b x b x g x m 1 Caso f x g x Tome q x 0 e r x f x 2 Caso f x g x Vamos usar o Segundo Princípio de Indução sobre n f x Se n 0 então 0 f x a K 0 0 0 n f x g x g x g x b K Como 0 0 g x b K temos que 0b 1 K Tome 1 0 0 q x b a e r x 0 É claro que 1 0 0 0 0 0 f x a b b a g x q x r x com r x 0 Agora consideramos 1 n e nossa hipótese de indução é Se h x K x h x 0 e h x n existem q1 x 1 r x K x tais que 1 1 h x g x q x r x com 1 r x 0 ou 1 r x g x 33 Agora considere o polinômio 1 n m n m h x f x a b x g x Se h x 0 então f x g x q x r x com r x 0 e 1 n m n m q x a b x Se h x 0 podemos calcular seu grau E pela escolha de h x temos h x n Usando a hipótese de indução obte mos 1 q x 1 r x K x tais que 1 1 h x g x q x r x com 1 r x 0 ou 1 r x g x Substituindo em e isolando f x vem que 1 1 1 n m n m f x g x q x a b x r x Chame 1 1 n m n m q x q x a b x e 1 r x r x Então f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x Isso prova a existência de q x e r x como enunciado Resta verificar a unicidade Sejam q x q x r x r x K x tais que f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x Temos agora a igualdade g x q x q x r x r x Suponha q x q x Então 0 q x q x e 0 r x r x Logo g x q x q x g x r x r x g x Essa contradição diz que não podemos supor q x q x Por tanto q x q x A igualdade g x q x q x r x r x fica 0 r x r x Isso assegura que r x r x 34 Observação 121 Vimos que se K é um corpo então vale o algo ritmo de Euclides em K x Usamos a função grau indicada por como critério de parada Por isso dizemos que K x é um domínio Euclidiano Exemplo 122 Sejam 3 2 2 1 f x x x x 3 2 2 g x x x Determinar o quociente e o resto da divisão de f x por g x f x g x q x r x com 2 2 2 q x x x e 1 r x Exemplo 123 Sejam 2 3 f x x 3 g x x Determinar o quociente e o resto da divisão de f x por g x f x g x q x r x com 2 1 3 q x x e r x 0 No exemplo acima observamos que 2 3 f x x e 3 g x também são polinômios do domínio x No entanto não é pos sível usar o algoritmo de Euclides para efetuar a divisão de f x por g x em x Basta notar que o algoritmo de Euclides for neceria um único quociente q x x x mas o Exemplo 123 mostrou que tal quociente é 2 1 3 q x x x O fato de não podermos aplicar o algoritmo de Euclides para quaisquer f x g x x g x 0 ocorre porque não satis faz as hipóteses do Teorema 121 pois não é corpo 35 Veremos a seguir que o algoritmo de Euclides pode ser aplicado com restrições para efetuar a divisão do polinômio f x A x pelo polinômio g x A x g x 0 quando A é anel comutati vo com unidade A restrição é que o coeficiente do termo de maior grau de g x seja um elemento inversível do anel A Teorema 122 Seja A um anel comutativo com unidade Dados f x g x A x 0 1 m m g x b b x b x com bm A existem úni cos q x r x A x tais que f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x Demonstração Para provar a existência de q x r x A x procedemos da mesma maneira como fizemos na prova do Teo rema 121 Vamos mostrar a unicidade Sejam q x q x r x r x A x tais que f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x f x g x q x r x com r x 0 ou r x g x Isso fornece a igualdade g x q x q x r x r x Suponha 0 q x q x Afirmação 0 g x q x q x e g x q x q x g x Escreva 0 1 t t q x q x c c x c x com tc 0 Se 0 g x q x q x vem que 0 m t b c e daí 1 0 m m t b b c que leva à contradição tc 0 Logo 0 g x q x q x Desde que 0 m t b c temos g x q x q x m t m g x Da afirmação acima podemos concluir que r x 0 e r x 0 De fato se r x 0 então g x q x q x r x Olhando para o grau chegamos ao absurdo g x g x q x q x r x g x 36 Assim r x 0 e analogamente r x 0 Isso garante que pode mos falar em r x e r x Finalmente g x g x q x q x r x r x máx r x r x g x g x g x q x q x r x r x máx r x r x g x A contradição acima mostra que não podemos ter 0 q x q x Portanto q x q x e conseqüentemente r x r x Observação 122 O teorema anterior assegura em particular que em x podemos dividir qualquer polinômio f x por n g x x a a e n Definição 121 Sejam A um anel e f x g x A x Dizemos que g x divide f x em A x quando existe h x A x tal que f x g x h x Notação g x f x Definição 122 Sejam A um anel 0 1 n n f x a a x a x A x e a A Chamamos de valor de f x em o elemento 2 0 1 2 n n f a a a a Como A é anel e 0 1 n a a a A a temos que f A Definição 123 Sejam A um anel e f x A x Dizemos que a A é raiz de f x quando f 0 A próxima proposição e seu corolário relacionam o algoritmo de Euclides com valor de polinômio em um elemento e divisibili dade de polinômio com raiz De forma mais precisa a proposição diz que o resto da divisão Euclidiana de f x por x é f e o corolário assegura que é raiz de f x se e somente se x divide f x Proposição 121 Sejam A um anel comutativo com unidade e a A Para f x A x existe q x A x tal que f x x q x f 37 Demonstração Como a A temos x A x De acordo com o Teorema 122 existem q x r x A x tais que f x x q x r x com r x 0 ou 1 r x x Isso assegura que r x é constante Avaliando f x no ponto temos f q r Como r x é constante e r f temos que r x f Logo f x x q x f Corolário 121 Sejam A um anel comutativo com unidade a A e f x A x São equivalentes a é raiz de f x b x f x Demonstração a b De acordo com a Proposição 121 existe q x A x tal que f x x q x f Como é raiz de f x temos f 0 Segue que x f x b a Por hipótese existe q x A x tal que f x x q x Avaliando f x em temos 0 f q Logo é raiz de f x Observação 123 O corolário acima é devido a DAlembert 1717 1783 Exemplo 124 Determine o resto da divisão de 4 3 2 2 2 3 f x x x x x por 1 g x x em x Pela Proposição 121 o resto procurado é 1 2 1 1 2 3 3 r x f 38 Exemplo 125 Determine o resto da divisão de 5 4 3 2 1 f x x x x x x por 1 g x x em x Desde que 1 g x x o resto procurado é 1 0 r x f Exemplo 126 Determinar k tal que 4 2 2 8 f x x kx x seja divisível por 2 g x x em x De acordo com o Corolário 121 isso ocorre exatamente quando 2 0 f Fazendo as contas 0 2 16 4 4 8 f k 1 k Exemplo 127 Determinar a e b em tais que 1 1 g x x e 2 2 g x x dividam 3 2 2 2 f x x ax bx Devemos ter 1 0 f e 2 0 f 0 1 2 2 0 2 16 4 2 2 f a b f a b 4 2 9 a b a b Logo a 5 e 1 b Exemplo 128 Um polinômio f x dividido por x 3 tem resto 6 e dividido por x 5 tem resto 8 Calcular o resto da divisão de f x por 3 5 x x Pela Proposição 121 sabemos que 3 6 f e 5 8 f Pelo algoritmo de Euclides 3 5 f x x x q x r x com r x 0 ou 2 r x Segue que r x é da forma r x a bx então basta calcular a e b Note que 6 3 3 3 f r a b 8 5 5 5 f r a b Isso fornece o sistema 3 6 5 8 a b a b Logo a 3 e 1 b isto é 3 r x x 39 Veremos agora que o grau de um polinômio com coeficientes em um domínio é uma cota superior para o número de raízes deste polinômio Proposição 122 Sejam A um domínio f x A x e f x 0 En tão o número de raízes de f x em A não ultrapassa f x Demonstração Desde que f x 0 podemos falar em grau de f x Seja n f x Faremos a demonstração usando o Pri meiro Princípio de Indução sobre n Se n 0 então 0 0 f x a Logo f x não tem raiz e a proposi ção está provada Seja n 0 e admita que todo polinômio de grau 1 n tenha no máximo 1 n raízes em A Note que se f x não tem raiz em A nada temos para fazer pois neste caso o número de raízes é 0 que é menor que f x n Admita então que f x tenha raiz a A Pelo Corolário 111 po demos escrever f x x q x q x A x Se f x só possui a raiz em A temos que o número de raízes é 1 f x Se f x tem raiz b A e b a então é raiz de q x De fato 0 f q e como b a e A é domínio vem que q 0 Como A x é domínio a Proposição 111 4 permi te concluir que 1 n f x x q x q x Logo 1 q x n e pela hipótese de indução q x tem no má ximo 1 n raízes em A Portanto f x tem no máximo n raízes em A pois as raízes de f x são e as raízes de q x A Proposição 122 assegura que um polinômio não nulo de grau n com coeficientes em p p p primo p primo tem no máximo n raízes O exemplo seguinte mostra que a hipótese de A ser domínio é essencial para limitarmos o número de raízes pelo grau do polinômio 40 Exemplo 129 O polinômio 2 f x x x tem 4 raízes em 6 De fato 0 0 0 é raiz 1 2 1 não é raiz 2 0 2 é raiz 3 0 3 é raiz 4 2 4 não é raiz 5 0 5 é raiz f f f f f f Uma conseqüência interessante da Proposição 122 é que dois polinômios de grau n com coeficientes em um domínio coinci dem quando seus valores coincidirem em 1 n pontos distintos Corolário 122 Sejam A um domínio f x g x A x e f x g x n Se existirem 1 2n1 1 2 1 n A a a a dois a dois distin tos tais que i i f g 12 1 i n então f x g x Demonstração Suponha que f x g x Então h x f x g x A x h x 0 e h x n Para cada 12 1 i n temos 0 i i i h f g Isso diz que h x tem mais de n raízes em A contradizendo a Proposição 122 Portanto f x g x Sejam A um anel comutativo com unidade a A e f x A x f x 0 Sabemos que é raiz de f x x f x Neste caso podemos escrever 1 f x x q x 1 q x A x Se 1 q 0 então não é raiz de 1 q x e dizemos que é uma raiz simples ou raiz de multiplicidade 1 de f x Se 1 q 0 então é raiz de 1 q x e dizemos que é raiz múltipla de f x Como 1 x q x podemos escrever 1 2 q x x q x 2 q x A x 2 2 f x x q x 41 Se 2 q 0 então é raiz de multiplicidade 2 de f x Se 2 q 0 então é raiz de q2 x e 2 x q x Segue que 2 3 q x x q x 3 q x A x 3 3 f x x q x Se 3 q 0 então a é raiz de multiplicidade 3 de f x Se 3 q 0 seguimos o processo Proposição 123 O processo descrito acima é finito isto é existe r tal que r r f x x q x com rq x A x e rq 0 Demonstração Seja n f x e suponha que o processo não seja finito Então podemos escrever 1 1 n n f x x q x com 1 nq x A x e 1 0 nq Segue que 1 1 n n x q x f x n Por outro lado como 1 0 nq x podemos escrever 1 0 1 t n t q x a a x a x com ta 0 e t 0 Segue que o termo de maior grau do polinômio 1 1 n n x q x é 1 1 n t n t t t x a x a x Logo 1 1 1 n n x q x n t n o que é uma contradição Portanto o processo é finito ou seja existe r tal que r r f x x q x com rq x A x e rq 0 Definição 124 Sejam A um anel comutativo com unidade e α A uma raiz de f x A x f x 0 Dizemos que é raiz de multi plicidade r r quando r f x x q x com q x A x e q 0 Observação 124 Com a notação usada na definição anterior te mos que é raiz de multiplicidade r de f x exatamente quando r x f x e 1 r x f x 42 Observação 125 A multiplicidade de raiz não está definida para o polinômio nulo Exemplo 1210 Determinar a multiplicidade da raiz 2 do polinô mio 4 3 2 3 5 2 f x x x x x Dividindo f x por 2 x temos 3 2 2 3 3 1 f x x x x x Como 2 não é raiz de 3 2 1 3 3 1 q x x x x pois 12 0 q te mos que 2 é raiz simples multiplicidade 1 de f x Exemplo 1211 Determinar a multiplicidade da raiz 1 do poli nômio 4 3 2 3 5 2 f x x x x x x Dividindo f x por 1 x temos 3 1 3 2 f x x x x Como 1 é raiz de 3 1 3 2 q x x x pois 1 1 0 q dividimos 1 q x por 1 x 2 1 1 2 q x x x x Como 1 é raiz de 2 2 2 q x x x pois 2 1 0 q dividimos q2 x por 1 x 2 1 2 q x x x É claro que 1 não é raiz de 3 2 q x x Assim 3 1 2 f x x x e 1 é raiz de multiplicidade 3 de f x Determinar a multiplicidade de uma raiz fazendo divisões pode ser um trabalho demorado quando a multiplicidade é um número relativamente grande Existe um procedimento mais prá tico para determinar a multiplicidade Este procedimento usa o conceito de derivada formal de um polinômio Definição 125 Sejam A um anel comutativo com unidade e 0 1 n n f x a a x a x A x Chamamos de derivada formal de f x o polinômio 2 1 1 2 3 2 3 n n f x a a x a x na x A x 43 Por recorrência 2 f x f x é a derivada formal de f x 3 f x f x é a derivada formal de f 2 x f r x é a derivada formal de f r 1 x Observação 126 No caso em que o anel A é o corpo dos números reais a definição de derivada formal de um polinômio coincide com a definição de derivada estudada no curso de cál culo A palavra formal se deve ao fato de que em um anel qual quer não temos o conceito de limite como estudado em que leva à definição de derivada Exemplo 1212 A derivada formal de 2 2 3 1 3 2 f x i i x i x x é 1 2 3 4 f x i i x O lema a seguir mostra que as regras de derivação da soma e do produto de polinômio valem para a derivada formal Lema 121 Sejam A um anel comutativo com unidade e f x g x A x a f x g x f x g x b f x g x f x g x f x g x Demonstração Sejam 0 1 n n f x a a x a x 0 1 m m g x b b x b x Sem perda de generalidade consideramos que n m a 1 1 1 1 2 2 1 2 1 m m n m m m n f x g x a b a b x m a b x m a x na x 1 1 1 1 2 2 1 2 1 m m n m m m n f x g x a b a b x m a b x m a x na x 1 1 1 2 1 2 1 m m n m m n a a x ma x m a x na x 1 1 2 2 m m b b x mb x f x g x 1 0 0 1 1 1 m m n m m m n f x g x a b a b x a b x a x a x 44 b Escreva 0 1 n m n m f x g x c c x c x onde k i j i j k c a b 1 1 1 2 2 m n m m n m f x g x c c x mc x n m c x 1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 2 m m m m a b a b a b a b a b x m a b a b a b x 1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0 1 1 0 2 m m m m a b a b a b a b a b x m a b a b a b x 1 1 1 1 0 n n m n m m n m m n n m n a b a b a b x n m a b x 1 1 1 1 0 n n m n m m n m m n n m n a b a b a b x n m a b x Fazendo agrupamentos convenientes chegamos a 1 1 0 1 2 1 1 2 2 2 m m m m f x g x a b b x mb x a x b b x mb x 1 1 0 1 2 1 1 2 2 2 m m m m f x g x a b b x mb x a x b b x mb x 1 1 2 1 0 1 2 n m m n m m a x b b x mb x a b b x b x 1 1 2 1 0 1 2 n m m n m m a x b b x mb x a b b x b x 1 2 0 1 0 1 2 m n m m n m a x b b x b x na x b b x b x 1 2 0 1 0 1 2 m n m m n m a x b b x b x na x b b x b x 1 1 2 0 1 2 n m n m a a x na x b b x b x 1 0 1 1 2 2 n m n m a a x a x b b x mb x f x g x f x g x Proposição 124 Sejam A um domínio a A e f x A x f x 0 São equivalentes i é raiz de multiplicidade r de f x ii 1 0 r f f f f e 0 f r Demonstração i ii Usaremos o Primeiro Princípio de Indu ção sobre r Quando 1 r temos f x x q x para algum q x A x e q 0 Segue que f x q x x q x Assim f 0 e 0 f q Portanto vale para 1 r Assuma que ii vale para r isto é se é raiz de multiplicidade r de g x A x então 1 0 r g g g e 0 g r 45 Devemos provar que vale para 1 r Para tanto consideramos que é raiz de multiplicidade 1 r de f x Segue que 1 r f x x q x q x A x e q 0 Chame r g x x q x Como q 0 temos que r é raiz de multiplicidade r de g x Pela hipótese de indução concluímos que 1 0 r g g g e 0 g r Agora f x g x x e claramente f 0 Além disso 0 f x g x x g x f g 2 2 0 f x g x x g x f g 1 1 2 1 2 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g 1 1 2 1 2 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g 1 1 1 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g 1 1 1 1 1 0 r r r r r f x g x x r g x f r g Note na linha acima que 1 r 0 e 0 g r garante que 1 0 r r g pois A x é domínio ii i Novamente usaremos o Primeiro Princípio de Indução sobre r Quando 1 r a hipótese ii diz que f 0 e 0 f De f 0 temos que é raiz de f x Escrevemos então f x x q x q x A x Derivando 0 f x q x x q x f q Segue que é raiz de multiplicidade 1 de f x Agora vamos assumir que vale para r isto é se g x A x 1 0 r g g g e 0 g r então é raiz de mul tiplicidade r de g x Devemos provar que vale para 1 r Para isso consideramos f x A x com 0 r f f f e 1 0 f r Desde que f 0 temos que é raiz de f x Vamos verificar que a multiplicidade de é 1 r 46 Escrevendo f x x g x g x A x e derivando temos 0 f x g x x g x f g 2 0 2 0 f x g x x g x f g g 2 0 2 0 f x g x x g x f g g 1 1 1 0 0 r r r r r r f x r g x x g x f r g g 1 1 1 0 0 r r r r r r f x r g x x g x f r g g 1 1 1 1 0 1 0 r r r r r r f x r g x x g x f r g g 1 1 1 1 0 1 0 r r r r r r f x r g x x g x f r g g Pela hipótese de indução é raiz de multiplicidade r de g x Assim existe q x A x tal que r g x x q x 0 q Substituindo em f x x g x vem que 1 r f x x q x 0 q Logo é raiz de multiplicidade 1 r de f x Agora vamos refazer o Exemplo 1211 usando a Proposição 124 Exemplo 1213 Determinar a multiplicidade da raiz 1 como raiz dos polinômios 4 3 2 3 5 2 f x x x x x x 1 0 f 3 2 2 4 3 6 5 1 0 12 6 6 1 0 24 6 1 0 f x x x x f f x x x f f x x f Logo 1 é raiz de multiplicidade 3 de f x Dividindo f x por 3 x 1 obtemos 3 1 2 f x x x Vimos acima que 4 3 2 3 5 2 f x x x x x x pode ser escrito como 3 1 2 f x x x Além disso como 1 é raiz de multiplicidade 3 de f x e 2 é 47 raiz de multiplicidade 1 temos que a soma das multiplicidades das raízes não ultrapassa f x Veremos agora que este resul tado vale para todo polinômio com coeficientes em um domínio Proposição 125 Sejam A um domínio f x A x f x 0 e 1 2 t 1 2 t A a a a as raízes distintas de f x com multiplicidade 1 2 r r t r respectivamente Então 1 2 t r r r f x Demonstração Como 1 é raiz de multiplicidade 1r temos 1 1 1 r f x x q x com 1 q x A x e 1 1 0 q Como 2 é raiz de f x 22 1 a a 1 e A x é domínio segue que 2 é raiz de 1 q x Levando em consideração a multiplicidade de a2 escrevemos 1 2 1 2 2 r r f x x x q x com 2 q x A x e 2 2 0 q Seguindo o processo 1 2 1 2 t r r r t t f x x x x q x com tq x A x Usando a propriedade do grau de polinômio em domínios vem que 1 2 1 2 t r r r t t f x x x x q x 1 2 t t r r r q x 1 2 t r r r Observação 127 A Proposição 122 pode ser vista como um caso particular da proposição anterior De fato se f x A x não tem raiz em A a Proposição 122 está provada Caso tenha raízes em A o número destas raízes é menor ou igual à soma das multipli cidades das raízes Então pela Proposição 125 vem que o núme ro de raízes é menor ou igual a f x 48 Lista de Exercícios 1 Determine o quociente e o resto da divisão de f x por g x a 4 2 4 6 2 f x x x e 2 1 g x x em x b 3 4 3 f x x x e 2 2 2 6 g x x x em x c 2 1 f x x e 1 g x x em 2 x 2 Determine a b para que 4 3 2 3 2 f x x x x ax b divi dido por 2 1 g x x x tenha resto 7 5 x Qual é o quociente 3 Calcule o resto da divisão de 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 f x x x x x x x x x x x por 1 g x x 4 Sejam A um anel e p x A x Mostre que a soma dos coeficientes de p x é p1 Qual é a soma dos coeficientes de 4 3 2 10 7 3 4 2 1 p x x x x x x 5 Determine o valor de k para que 3 2 3 2 f x x x k x seja divisível por 3 x em x 6 Determine f x x sabendo que 2 f x 1 2 3 3 f e que as raízes de f x são 0 e 3 7 Um polinômio f x x dividido por 1 x tem resto 2 e dividido por x 4 tem resto 4 Calcule o resto da divisão de f x por 2 3 4 x x 8 Seja f x x Se a é raiz de f x mostre que o con jugado de também é raiz de f x 9 Mostre através de um contraexemplo que o resultado do exercício anterior pode não valer quando f x x 49 10 Mostre que se 2 f x ax bx c x a 0 então as ra ízes de f x são 2 4 2 b b ac a 11 Seja 0 1 n n f x a a x a x x um polinômio de grau 1 n a Mostre que se r s 1 mdc r s é raiz de f x então n s a e 0 r a Sugestão Calcule r f s e iguale a zero Multiplique por sn Isole anrn para concluir que san Isole a0sn para concluir que ra0 b Conclua que se 1 na então toda raiz racional de f x é inteira c Conclua que toda raiz inteira de f x deve dividir 0a 12 Calcule as raízes de 3 2 2 5 6 f x x x x 13 Calcule as raízes de 3 8 f x x x 14 Calcule a multiplicidade de 1 como raiz de 5 4 3 2 5 8 4 f x x x x x x 15 Determine a e b para que 1 seja raiz de multiplicidade 3 de 5 4 3 2 2 5 9 12 f x x ax x bx x 50 13 Irredutibilidade Em Álgebra I estudamos elementos irredutíveis em um do mínio qualquer Agora estudaremos elementos irredutíveis em domínios de polinômios Tais elementos são chamados de poli nômios irredutíveis Veremos que os polinômios irredutíveis são aqueles que não podem ser decompostos como produto de outros polinômios não inversíveis Desta forma os polinômios irredutíveis do domínio D x são os análogos dos números primos do domínio Em geral a tarefa de conhecer todos os polinômios irredutíveis de D x quando D é domínio ou corpo não é trivial Mesmo no caso de domínios de polinômios que estamos acostumados a trabalhar como por exemplo x e x podemse estabelecer alguns critérios e conhecer polinômios irredutíveis específicos mas conhecer todos é muito difícil Existem situações especiais em que conhecemos todos os poli nômios irredutíveis Uma delas é de polinômios em x em que é possível provar que os polinômios irredutíveis são exatamen te os polinômios de grau 1 e os polinômios de grau 2 que têm discriminante negativo Outro caso em que conhecemos todos os polinômios irredutíveis é quando trabalhamos em K x onde K é um corpo algebricamente fechado isto é todo polinômio não constante de K x tem todas as raízes em K No caso de K ser algebricamente fechado podese provar que os únicos polinô mios irredutíveis são os polinômios de grau 1 O principal exemplo de corpo algebricamente fechado é o cor po dos números complexos Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental da Álgebra e foi provado por Karl F Gauss 1777 1855 em 1799 A demonstração deste teorema não é trivial O leitor interessado pode encontrála na página 435 do livro 5 da bibliografia Enunciamos a seguir o Teorema Fundamental da Álgebra que será usado inicialmente para verificar que todo polinômio não constante de x pode ser decomposto como produto de fatores de grau 1 51 Teorema 131 Teorema Fundamental da Álgebra Todo polinômio não constante de x tem todas as suas raízes em Seja 0 1 n n f x a a x a x x f x n Pelo Teorema 131 existe 11 a tal que 1 é raiz de f x Assim 1 1 f x x q x com 1 q x x e 1 1 q x n Se 1 n 0 aplicamos novamente o Teorema 131 obtendo 2 2 a tal que 2 é raiz de 1 q x Logo 1 2 2 q x x q x com 2 q x x e 2 2 q x n 1 2 2 f x x x q x Se 2 0 n seguimos o processo Claro que chegaremos a 1 2 n n f x x x x q x com 0 nq x Segue que nq x é polinômio constante Além disso pela igualda de dos coeficientes da variável x obtido na equação acima temos que n n q x a Portanto 1 2 n n f x a x x x Desta forma decompusemos f x em fatores de grau 1 fato res lineares em x Note que tal decomposição não pode ser feita em um anel qualquer A x pois nem sempre todas as raízes estão em A x Exemplo 131 Seja 3 2 2 2 f x x x x x Como 1 0 f e 1 0 f temos que 1 é raiz simples de f x Dividindo f x por 1 x temos 2 1 2 f x x x Segue que as outras raízes de f x são 2 2 Portanto a decomposição de f x em x ou x é 2 1 2 f x x x Por outro lado a decomposição de f x em x ou x é 1 2 2 f x x x x 52 Exemplo 132 O polinômio 2 1 f x x x tem raízes i A decomposição de f x em x x ou x é 2 1 f x x A decomposição de f x em x é f x x i x i Nos exemplos acima vimos que um polinômio f x D x em que D é domínio ou corpo nem sempre pode ser decomposto em fatores lineares de D x Surge a pergunta seguinte Existe uma maneira padrão para decompor f x A resposta é sim Para decompor f x D x em D x usa mos os elementos irredutíveis do domínio D x Na definição abaixo apresentaremos o conceito de elemento irredutível no domínio D x Chamamos a atenção para o fato de que esta definição é caso particular da definição de elemento irredutível estudado no curso de Álgebra I Definição 131 Seja D um domínio Dizemos que p x D x é ir redutível em D x quando a p x é não nulo e não inversível em D x b p x f x g x com f x g x D x então f x ou g x é inversível em D x Se D é domínio segue da Proposição 112 que os elementos in versíveis de D x coincidem com os elementos inversíveis de D isto é D x D Assim podemos reescrever as condições a e b acima como a p x D x D b p x f x g x com f x g x D x f x D ou g x D Definição 132 Seja D um domínio Dizemos que p x D x é re dutível em D x quando a p x D x D 53 b Existem f x g x não inversíveis em D x tais que p x f x g x Observação 131 De acordo com as definições anteriores o poli nômio nulo e os polinômios inversíveis não são irredutíveis nem redutíveis Os demais polinômios serão redutíveis se puderem ser decompostos como produto de polinômios não inversíveis e caso contrário serão irredutíveis Apesar da irredutibilidade de polinômios ser definida para po linômios em D x onde D é um domínio qualquer nosso interesse neste curso é pelo estudo de polinômios irredutíveis em x x x e x Por isso nossos exemplos e resultados serão direcio nados para polinômios com coeficientes em ou Iniciamos com um resultado enunciado para um corpo qual quer K tendo em mente as possibilidades K ou Proposição 131 Sejam K um corpo e p x K x a Se p x é polinômio constante então p x não é redutível e nem irredutível em K x b Se 1 p x então p x é irredutível em K x Demonstração a É claro que o polinômio p x 0 não é redutível e nem irredutível Se p x a a 0 então p x é polinômio inver sível de K x e portanto não é redutível nem irredutível em K x b Como 1 p x temos que p x K x K Escreven do p x f x g x com f x g x K x e usando os resulta dos sobre grau de polinômios temos 1 f x g x Segue que 0 f x ou 0 g x Assim f x ou g x é polinômio constante não nulo Logo f x K K ou g x K K Portanto p x é irredutível em K x 54 Exemplo 133 Como caso particular da proposição anterior ve mos que p x a x não é redutível nem irredutível em x p x ax b x é irredutível em x quando a 0 p x ax b x é irredutível em x quando a 0 Vimos acima que todo polinômio de grau 1 em x é irre dutível em x A próxima proposição mostra que estes são os únicos polinômios irredutíveis de x Proposição 132 Seja p x x equivalentes i 1 p x ii p x é irredutível em x Demonstração i ii Segue do item b da Proposição 131 ii i Como p x é irredutível em x segue da Proposição 131 a que p x não é constante Logo 1 p x Suponha 1 p x Pelo Teorema 131 p x possui raiz a e então p x x q x q x x Segue que 1 1 q x p x Assim 0 q x Desta forma obtivemos uma decomposição de p x como produto de dois polinômios não inversíveis de x contradizendo a irredu tibilidade de p x Portanto 1 p x Observação 132 A proposição acima continua valendo se trocar mos por um corpo K que seja algebricamente fechado Os polinômios irredutíveis de x estão perfeitamente carac terizados pela Proposição 132 Esta caracterização não vale para polinômios de x x e x isto é existem polinômios ir redutíveis em x x e x de grau diferente de 1 Veja o próximo exemplo Exemplo 134 O polinômio 2 1 p x x é irredutível em x x e x É claro que p x é não nulo e não inversível em x x e x 55 Vamos ver que p x não pode ser decomposto como produto de dois polinômios não inversíveis de x x e x Escrevendo p x f x g x vem que 2 f x g x Temos as possibilidades 2 f x e 0 g x 2 g x e 0 f x 1 f x g x As duas primeiras possibilidades são análogas e por isso tratare mos apenas da primeira e da terceira 1 Caso 2 f x e 0 g x Sejam 2 f x ax bx c e g x d A igualdade p x f x g x diz que 1 a d Portanto g x d é inversível em x x e x 2 Caso 1 f x g x Sejam f x ax b e g x c x d A igualdade p x f x g x leva ao sistema 1 0 1 ac a d bc bd Multiplicando a segunda equação por c d e usando as outras duas temos 2 2 0 ac d bd c 2 2 1 1 0 d c 2 2 0 d c 2 2 d c Desde que esta equação não tenha solução em o segundo caso nunca pode ocorrer Portanto 2 1 p x x é irredutível em x x e x Proposição 133 a Sejam D um domínio p x D x e 1 p x Se p x tem raiz em D então p x é redutível em D x b Sejam K um corpo p x K x e 2 p x ou 3 p x Então p x é redutível em K x p x tem raiz em K 56 Demonstração a Seja a D uma raiz de p x Segue que p x x q x com x q x D x Como 1 p x temos que 1 x e 1 q x Assim x a e q x são polinômios não inversíveis de D x Logo p x é redutível em D x b Segue do item a Desde que p x seja redutível em K x existem f x g x K x f x e g x não inversíveis tais que p x f x g x Como p x tem grau 2 ou 3 e f x e g x não são constantes vem que 1 f x ou 1 g x Sem perda de generalidade admitimos que 1 f x e escreve mos f x a x b a 0 Assim p x a x b g x Portanto 1 a b K é raiz de p x Vamos usar a proposição anterior para refazer uma parte do Exemplo 134 Exemplo 135 O polinômio 2 1 p x x é irredutível em x e x De fato como as raízes de p x não estão em basta aplicar a Proposição 133 b O próximo exemplo mostra que Não vale a recíproca do item a da Proposição 133 A Proposição 133 b não vale para domínio que não é corpo Exemplo 136 O polinômio 2 2 2 p x x x é redutível em x e não tem raiz em É claro que p x não tem raiz em pois suas raízes são i Para ver se é redutível escrevemos 2 2 1 p x x Desde que f x 2 e 2 1 g x x sejam nãoinversíveis em x temos que p x é redutível em x 57 Pela Proposição 131 os polinômios constantes não são redutíveis nem irredutíveis em x x e x No exemplo a seguir estu daremos a irredutibilidade dos polinômios constantes em x Exemplo 137 Seja p x a x Se a01 1 então p x não é redutível nem irredutível em x p x é irredutível em x a é número primo É claro que o polinômio nulo p x 0 e os polinômios inversíveis 1 p x não satisfazem a definição de redutibilidade e nem de irredutibilidade Portanto a primeira parte da afirmação já está verificada Veja mos a segunda Como p x a é irredutível temos que 0 1 a Seja d um divisor de a e escreva d t a com t Assim p x a f x g x para f x d e g x t em x Pela irredutibilidade de p x vem que f x d ou g x t são inversíveis de isto é 1 d e t a ou d a e 1 t Logo os únicos divisores de a são 1 e a isto é a é número primo Como a é número primo temos que 0 1 a Assim p x a é não nulo e não inversível em x Supondo que p x f x g x com f x g x x concluí mos que f x b e g x c para as constantes b c Segue que a bc e sendo a número primo devemos ter 1 b ou 1 c Portanto f x ou g x é inversível em x e daí p x a é irredutível em x A seguir caracterizaremos os polinômios irredutíveis de x Proposição 134 Seja p x x equivalentes i p x é irredutível em x ii p x tem grau 1 ou p x tem grau 2 e discriminante negativo Demonstração i ii Como p x é irredutível em x temos que p x não é constante Pelo Teorema 131 existe a tal que é raiz de p x 58 1 Caso a Desde que x x e x dividam p x existe q x x tal que p x x q x No entanto p x é irredutível em x e então q x é polinô mio constante não nulo Logo 1 p x 2 Caso a Escreva a bi a a b e b 0 Sabemos que também é raiz de p x e que a a Assim x x divide p x em x isto é existe q x x tal que p x x x q x p x x a bi x a bi q x 2 2 2 2 p x x a x a b q x Como p x e 2 2 2 2 x a x a b estão em x o algoritmo de Eu clides em x garante a existência de 1 q x 1 r x x tais que 2 2 2 1 1 2 p x x a x a b q x r x com 1 r x 0 ou 1 2 r x Por outro lado 1 q x e 1 r x x então temos em x as igual dades 2 2 2 2 0 p x x a x a b q x 2 2 2 1 1 2 p x x a x a b q x r x Pela unicidade do quociente e do resto obtidos pelo algoritmo de Euclides para polinômios em x vem que 1 q x q x Segue que q x x pois 1 q x x Como 2 2 2 2 p x x a x a b q x e p x é irredutível em x devemos ter q x constante não nulo Seja q x c Então 2 2 2 2 p x c x ac x c a b Logo 2 p x e o discriminante é 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 0 a c c a b c b pois b c 0 59 ii i Se 1 p x então p x é irredutível em x pela Proposição 131 Se 2 p x e p x tem discriminante negativo então p x não tem raiz em Segue da Proposição 133 b que p x é irredutível em x Exemplo 138 O polinômio 18 13 7 5 7 3 2 15 1631 3 x x x x é redutível em x Isso é conseqüência imediata da proposição anterior Conforme comentamos no início desta seção não existe um pro cedimento geral para saber se um polinômio de x ou x é redutível ou irredutível As Proposições 131 e 133 estabelecem al guns resultados sobre isso mas sempre trabalhando em situações particulares É claro que existem muitos outros resultados particu lares envolvendo irredutibilidade e não seria possível apresentálos todos aqui No entanto queremos destacar um destes resultados A partir de agora vamos nos restringir ao estudo da irreduti bilidade de polinômios em x e x Nosso objetivo é relacio nar a irredutibilidade em x com a irredutibilidade em x e então provar uma condição suficiente para que um polinômio de x seja irredutível em x Esta condição suficiente é conheci da como critério de irredutibilidade de Eisenstein 1823 1852 Iniciamos verificando que multiplicar um polinômio de x por um número racional não nulo não altera a irredutibilidade nem a redutibilidade deste polinômio Proposição 135 Sejam p x x e d equivalentes i p x é irredutível sobre x ii d p x é irredutível sobre x Demonstração i ii Como p x é irredutível temos que p x é não nulo e não inversível Em particular p x não é po linômio constante É claro que d p x 0 pois d 0 p x 0 e x é domínio Além disso d p x não é inversível pois não é polinômio constante 60 Suponha f x g x x tais que d p x f x g x Multipli cando por 1 d temos 1 p x d f x g x Por hipótese p x é irredutível e então d 1 f x ou g x é inver sível Segue que f x ou g x é inversível e portanto d p x é irredutível ii i Já provamos que multiplicar polinômio irredutível por constante não nula resulta em polinômio irredutível Por hipóte se d p x é irredutível e então multiplicando por 1 d concluí mos que p x é irredutível Sejam p x x e d o mínimo múltiplo comum dos deno minadores dos coeficientes de p x É claro que d p x x e d 0 Pela Proposição 135 temos que p x x é irredutível em x se e somente se d p x x é irredutível em x Portanto para estudar a irredutibilidade de polinômios em x podemos estudar apenas polinômios com coeficientes em Exemplo 139 Seja 2 3 4 2 1 1 5 3 2 6 2 p x x x x x x É fácil ver que o mínimo múltiplo comum dos denominadores dos coeficientes de p x é 3261 6 mmc e 2 3 4 6 4 3 6 15 p x x x x x x Portanto p x é irredutível em x se e somente se 2 3 4 4 3 6 15 x x x x é irredutível em x Provaremos a seguir um resultado que relaciona a irredutibili dade em x com a irredutibilidade em x Proposição 136 Lema de Gauss Seja p x x 1 p x Se p x é irredutível em x então p x é irredutível em x Demonstração Já vimos na Proposição 131 que todo polinômio de grau 1 em x é irredutível em x Assim podemos assu mir que 1 p x 61 Segue que p x é não nulo e não inversível em x Supondo que p x não é irredutível em x vem que p x é redutível em x Então existem f x g x x polinômios não inversíveis tais que p x f x g x Note que 1 f x e 1 g x Usando a propriedade do grau de polinômios temos 1 f x g x p x Também existem b tais que 1 f x f x x e 1 g x g x x É claro que 1 f x f x e 1 g x g x Assim 1 1 f x 1 g x p x Para m a b m a b podemos escrever 1 1 m p x f x g x Note que 1 m De fato se 1 m a igualdade acima diz que p x é redutível em x Isso contradiz nossa hipótese Sejam 1 0 1 r r f x a a x a x x ra 0 1 0 1 s s g x b b x b x x sb 0 Então r s p x Como m m 0 1 existe um número primo q que divide m Afirmação i q a 01 i r ou j q b 01 j s Vamos provar esta afirmação por redução ao absurdo Suponha que a afirmação não seja verdadeira isto é existe 01 i r tal que q ai e existe 01 j s tal que q bj Pode mos considerar i e j os menores possíveis com tal propriedade Sabemos que q divide m em assim q divide m p x em x e então q divide 1 1 f x g x em x Segue que q divide em o coeficiente de i j x do polinômio 1 1 f x g x De outra forma 0 1 1 1 1 1 1 0 i j i j i j i j i j i j q a b a b a b a b a b a b Pela escolha de i e j sabemos que 0 1 1 i j i j q a b q a b pois 0 1 i q a q a 1 1 0 i j i j q a b q a b pois 1 0 q bj q b Concluímos que i j q a b e desde que q seja primo i q a ou j q b Este absurdo prova a afirmação Sendo a afirmação verdadeira vamos admitir sem perda de gene ralidade que i q a 01 i r Isto garante que q divide 1 f x em x isto é existe 2 f x x tal que 1 2 f x q f x 62 Escrevendo 1 m qm com 1 m temos 1 1 m p x f x g x 1 2 1 q m p x q f x g x 1 2 1 m p x f x g x Novamente 1 m 0 1 e então 1 m tem um divisor primo Seguin do o processo que é finito pois o número de fatores primos de m é finito obtemos p x f x g x com f x g x x Mas 1 1 f x f x e 1 1 g x g x logo f x e g x são não inversíveis em x Isso contradiz a irredutibilidade de p x em x Portanto p x deve ser irredutível em x Observação 133 Queremos destacar aqui um resultado que vimos dentro da demonstração do Lema de Gauss Mostramos que se p x x e p x f x g x com f x g x x então existem f x g x x com f x f x e g x g x tais que p x f x g x Observação 134 A hipótese 1 p x é essencial no Lema de Gauss De fato o polinômio 2 p x x é irredutível em x mas não em x Portanto o Lema de Gauss não se aplica a po linômios constantes Observação 135 Não vale a recíproca do Lema de Gauss Como contraexemplo tomamos 2 2 p x x x que é irredutível em x pois tem grau 1 No entanto 2 1 p x x é redutível em x Destacamos na observação acima que existem polinômios de x irredutíveis em x que são redutíveis em x Fize mos isso escolhendo um polinômio que pudéssemos fatorar uma constante Veremos que esta é a única maneira de fatorar em x um polinômio irredutível em x Definição 133 O polinômio 0 1 n n p x a a x a x x é pri mitivo quando 0 1 1 n mdc a a a 63 Exemplo 1310 O polinômio 4 7 7 36 21 p x x x é primitivo pois 736 21 1 mdc Mostraremos agora que a recíproca do Lema de Gauss vale para polinômios primitivos Proposição 137 Seja p x x tal que 1 p x e p x pri mitivo São equivalentes i p x é irredutível em x ii p x é irredutível em x Demonstração i ii É o Lema de Gauss ii i é claro que p x x pois 1 p x Sejam f x g x x tais que p x f x g x Como f x g x x e p x f x g x é irredutível em x devemos ter f x ou g x inversíveis em x Logo f x ou g x é polinômio constante Assuma f x a De p x f x g x vem que p x ag x Assim a divide todos os coeficientes de p x mas p x é primiti vo e então 1 a Segue que 1 f x a é inversível em x Portanto p x é irredutível em x Podemos aplicar a Proposição 137 para verificar que 2 1 p x x é irredutível em x evitando as contas que fize mos no Exemplo 134 Exemplo 1311 O polinômio 2 1 p x x é irredutível em x Vimos no Exemplo 135 que 2 1 p x x é irredutível em x Como p x é primitivo segue da Proposição 137 que p x é irre dutível em x Teorema 132 Critério de Irredutibilidade de Eisenstein Seja 0 1 n n p x a a x a x x Se existir um número primo p tal que 0 1 1 n n p a p a p a p a e 2 p 0 a então p x é irredutível em x 64 Demonstração Inicialmente note que p x não pode ser polinô mio constante pois as condições 0 p a e p an dizem que 0 n a a Segue que 1 p x Portanto p x é polinômio não nulo e não inversível Supondo que p x não é irredutível em x existem 1 f x 1 g x x tais que 1 1 p x f x g x com 1 1 f x n e 1 1 g x n Pela Observação 133 existem f x g x x tais que p x f x g x com 1 f x g x n Sejam 0 1 r r f x b b x b x 0 1 s s g x c c x c x É claro que r s n p x Como 0 p a e 0 0 0 a b c temos que 0 p b ou 0 p c Se 0 p b e 0 p c então 2 0 0 p b c Daí 2 p 0 a que contradiz nossa hipótese Assim 0 p b e 0 p c ou 0 p c e 0 p b Trabalharemos apenas no primeiro caso pois o outro é análogo Como p an e n r s a b c temos que p br Desde que 0 p b e p br podemos tomar o menor 01 i r tal que p bi É obvio que 0 i r n Pela definição de produto de polinômios 0 1 1 1 1 0 i i i i i a b c b c b c bc Pela escolha de i vem que 0 1 1 i i p b c b c Além disso i p a pois i n Logo 0 i p bc e então i p b ou 0 p c Como nenhuma des tas possibilidades ocorre chegamos a uma contradição Portanto p x é irredutível em x Observação 136 O Critério de Irredutibilidade de Eisenstein não se aplica para polinômio constante conforme verificamos no ini cio da prova do Teorema 132 Observação 137 Não vale a recíproca do Critério de Irredutibili dade de Eisenstein Como contraexemplo tome 4 p x x que claramente é irredutível em x No entanto nenhum número primo p pode dividir 4 sem que 2 p divida 4 Logo não existe número primo que satisfaça as condições do Teorema 132 65 Exemplo 1312 Estude a irredutibilidade de 1 6 2 1 7 p x x x em x Multiplicando p x por 7 e usando a Proposição 135 vem que p x é irredutível em x 6 7 14 7 p x x x é irredutível em x Aplicando o Critério de Eisenstein com o primo p 7 vem que 7 p x é irredutível em x Logo 1 6 2 1 7 p x x x é irredu tível em x Exemplo 1313 Estude a irredutibilidade de cada um dos polinô mios abaixo em x e em x a 7 5 2 3 3 p x x x b 3 2 10 p x x x c 11 3 10 6 6 p x x x d n p x x p onde p é um número primo e n Solução a Aplicando o Critério de Eisenstein com p 3 vem que p x é irredutível em x Também é irredutível em x pois é primitivo b Análogo ao item a com p 2 c Aplicando o Critério de Eisenstein com p 3 vem que p x é irredutível em x Porém p x é redutível em x como vemos pela fatoração 11 3 25 3 3 p x x x d Análogo ao item a usando o primo p 66 Lista de Exercícios 1 Decomponha 3 2 3 3 f x x x x em fatores irredutíveis em x x x e x 2 Decomponha 2 f x x i em fatores lineares em x 3 Mostre que 2 f x x bx c x é irredutível em x se e somente se 2 4 b c 4 Decomponha 4 4 f x x em fatores lineares em x 5 Verifique que 4 4 f x x é redutível em x x e x e faça a decomposição em fatores irredutíveis 6 Verifique se cada um dos polinômios abaixo é irredutível em x e em x a 4 45 15 f x x x b 4 2 3 3 f x x x c 7 5 2 3 3 r f x x x r d 11 3 10 6 15 f x x x e 12 5 14 21 7 f x x x x f 13 5 5 10 f x x x g 16 16 f x x h n f x x p n e p é um número primo 7 Diga por que cada um dos polinômios abaixo é redutível no anel indicado e faça a decomposição em fatores irredutíveis a f x 4 em x b 2 6 f x x em x c 3 2 2 2 f x x x x em x d 3 2 2 2 f x x x x em x e 3 2 2 2 f x x x x em x f 3 2 7 3 3 f x x x x em x 67 14 Ideais e Máximo Divisor Comum No curso de Álgebra I estudamos ideais em um anel qualquer Agora vamos ver algumas propriedades de ideais em anéis de polinômios Mostraremos que se K é corpo então os ideais de K x são principais Como conseqüência obteremos a existência de máximo divisor comum em K x Em particular temos a exis tência de máximo divisor comum para polinômios de x x e x No caso de polinômios de x o máximo divisor comum também existe como decorrência de um teorema devido a Gauss Iniciamos relembrando alguns resultados sobre ideais em um anel qualquer vistos no Capítulo IV do curso de Álgebra I Sejam A um anel e I A I Dizemos que I é ideal à esquerda de A quando i a b I a b I ii r A e a I r a I Analogamente definimos ideal à direita trocando r a por ar em ii Quando I é ideal à direita e à esquerda dizemos que I é ideal ou ideal bilateral de A Dado r A o conjunto r A r a a A é ideal à direita de A chamado de ideal à direita principal gerado por r A O anel A é chamado de anel principal quando todo ideal de A pode ser ge rado por um elemento de A Exemplo 141 O polinômio 2 1 x x gera o ideal 2 2 1 1 x x x f x f x x no domínio x O primeiro resultado desta seção mostra que se K é corpo então o domínio K x é principal Proposição 141 Se K é corpo então K x é domínio principal 68 Demonstração Já sabemos que K x é domínio Veja o Teorema 111 4 Devemos mostrar que todo ideal de K x é gerado por um polinômio de K x Seja então J um ideal de K x Se J 0 temos J p x K x para p x 0 Isto é J é o ideal gerado pelo polinômio nulo Se J 0 então J Assim a função grau de poli nômio está definida em J Como J temos que J f x f x J é subconjunto não vazio de e pelo Princípio do Menor Número Inteiro existe um mínimo n para o conjunto J Seja p x J tal que p x n isto é p x é um polinômio de J que tem grau mínimo Vamos mostrar que J p x K x É claro que p x K x J pois p x J e J é ideal de K x Por outro lado dado g x J K x usamos o algoritmo de Eucli des em K x Teorema 121 para obter q x r x K x tais que g x p x q x r x com r x 0 ou r x p x Note que r x deve ser nulo De fato se r x 0 vem que r x tem grau menor que o grau de p x e r x J pois p x q x J g x J e r x g x p x q x Segue que r x 0 e então g x p x q x p x K x Isso mostra a inclusão J p x K x e portanto J p x K x A proposição anterior diz em particular que cada ideal de x x ou x pode ser gerado por apenas um polinômio No caso do ideal ser não nulo o polinômio gerador é um polinô mio de menor grau dentro do ideal O próximo exemplo mostra que a Proposição 141 não se aplica quando K não é corpo Exemplo 142 x não é domínio principal Pelo Teorema 111 4 sabemos que x é domínio Vamos mos trar que ele não é principal exibindo um ideal que não é principal Tome 2 2 J x x x f x xg x f x g x x É fácil ver que J é ideal de x 69 Supondo que J é ideal principal existe p x x tal que J p x x Como 2 J pois 2 21 x0 e x J pois 2 20 x1 temos que 2 x p x x Então 2 p x e p x x em x De 2 p x em x tiramos que 1 p x ou p x 2 Não podemos ter p x 2 pois 2 x em x Logo 1 p x e daí J p x x x Segue que 1 2 J x x x então existem f x g x x tais que 1 2 f x xg x Isso é um absurdo pois o lado direito da igualdade acima tem termo independente par Concluímos que J não é ideal principal portanto x não é do mínio principal Uma aplicação importante da Proposição 141 é garantir a existência de máximo divisor comum para polinômios em K x quando K é corpo Trataremos disso agora começando com a de finição de máximo divisor comum em um domínio D que pode ser inclusive D K x K x Definição 141 Seja D um domínio Dizemos que d D é um máxi mo divisor comum de a b D a quando d a e d b b Se d D e d a d b então d d Observação 141 A definição acima se estende de maneira na tural para qualquer quantidade finita de elementos do domí nio D Isto é temos a definição de máximo divisor comum de 1 2 n a a a D para todo n n 2 Observação 142 Existem domínios nos quais há elementos que não possuem máximo divisor comum De outra forma nem sempre é possível calcular máximo divisor comum em domínios Um exem plo disto ocorre no domínio 5 onde os elementos a 9 e 6 3 5 b não admitem máximo divisor comum Veja 1 p 330 70 Quando existe máximo divisor comum em geral ele não é único No entanto quaisquer dois máximos divisores comuns para a e b pertencentes ao domínio D são associados Lembre que d d D são associados quando d d e d d Isto é existe u D tal que d d u Proposição 142 Sejam D um domínio a b d D e d um máximo divisor comum para a e b Então d D é máximo divisor comum para a e b se e somente se d d Demonstração Suponha que d é um máximo divisor comum para a e b d a d b e d é máximo divisor comum para a e b diz que d d d a d b e d é máximo divisor comum para a e b diz que d d Logo d d Reciprocamente suponha que d d isto é d d e d d d a d b e d d d a e d b Se d a e d b então d d Mas d d então d d Logo d é um máximo divisor comum para a e b De acordo com a proposição acima podemos dizer que quan do existe máximo divisor comum para a e b este máximo divi sor comum é único a menos de elementos associados Isto é se conhecemos um máximo divisor comum sabemos que qualquer outro é associado a ele Usaremos a notação d mdc a b para indicar que d é um máximo divisor comum para a e b deixando claro que d não é único 71 Teorema 141 Sejam D um domínio principal e a b D a Existe d D tal que d mdc a b b Se d mdc a b existem r s D tais que d r a sb Demonstração Seja J o ideal de D gerado por a e b isto é J aD bD ax by x y D Como D é domínio principal existe d D tal que J a D b D d D Note que a b J a b d D d a e d b Se d D e d a e d b então a b d D Desde que d D é ideal todo múltiplo de a somado com um múltiplo de b permanece em d D isto é a D b D d D Segue que d D d D então d d Isso mostra que d mdc a b A igualdade a D b D d D assegura que existem x y D tais que d a x b y Observação 143 O Teorema 141 mostra não apenas que exis te máximo divisor comum em domínios principais mas tam bém mostra que se d mdc a b então existem r s D tais que d r a sb Esta última igualdade é conhecida como Identidade de Bezout Corolário 141 Sejam a b a Existe d tal que d mdc a b b Se d mdc a b existem r s tais que d r a sb Demonstração Vimos no curso de Álgebra I que é um domí nio principal Assim basta aplicar o Teorema 141 em D 72 Corolário 142 Sejam K um corpo e f x g x K x a Existe p x K x tal que p x mdc f x g x b Se p x mdc f x g x existem r x s x K x tais que p x r x f x s x g x Demonstração De acordo com a Proposição 141 temos que K x é domínio principal Assim basta aplicar o Teorema 141 em D K x Já sabemos que existe máximo divisor comum para polinômios em K x quando K é corpo Além disso todos os possíveis má ximos divisores comuns são associados Veremos agora que para polinômios não todos nulos de K x existe um único máximo divisor comum que é um polinômio mônico Proposição 143 Sejam K um corpo e f x g x K x Se f x 0 ou g x 0 então existe um único p x K x tal que p x é mônico e p x mdc f x g x Demonstração Pelo Corolário 142 existe q x K x tal que q x mdc f x g x Se q x 0 vem que 0 f x g x Como isso não é possível devemos ter q x 0 Seja 0 1 n n q x a a x a x com na 0 Como na K e K é corpo segue que 1 na K Assim 1 n q x a q x Chamando 1 n p x a q x temos que p x é mô nico e p x mdc f x g x pela Proposição 142 Falta provar a unicidade Seja p x K x outro polinômio mônico tal que p x mdc f x g x Pela Proposição 142 temos p x p x Assim existe u K x K K tal que u p x p x Desde que u é uma constante e p x e p x são mônicos vem que 1 u Portanto p x p x 73 Observação 144 A partir de agora quando trabalharmos com polinômios de K x onde K é corpo escrevemos p x mdc f x g x Deixamos subentendido que p x é mônico quando p x 0 Nosso próximo objetivo é descrever um procedimento para o cálculo efetivo do máximo divisor comum para polinômios com coeficientes em um corpo Lema 141 Sejam K um corpo e f x g x q x r x K x g x 0 tais que f x g x q x r x com r x 0 ou r x r x a Se r x 0 então mdc f x g x g x b Se r x 0 então mdc f x g x mdc g x r x Demonstração a Como r x 0 temos que f x g x q x Segue que g x f x então mdc f x g x g x b Seja d x mdc f x g x Vamos mostrar que d x mdc g x r x Como r x f x g x q x e d x di vide f x e g x temos que d x divide r x Assim d x g x e d x r x Seja d x K x tal que d x g x e d x r x Segue da igual dade f x g x q x r x que d x divide f x Como d x f x d x g x e d x mdc f x g x concluí mos que d x d x Portanto d x mdc g x r x Método das Divisões Sucessivas Sejam K um corpo e f x g x K x Se 0 f x g x então 0 mdc f x g x Se f x e g x não são ambos nulos podemos supor sem perda de generalidade que g x 0 Pelo algoritmo de Eu clides em K x obtemos 1 q x 1 r x K x tais que 1 1 f x g x q x r x com 1 r x 0 ou 1 r x g x 74 Se 1 r x 0 segue do Lema 141 a que mdc f x g x g x Se 1 r x 0 segue do Lema 141 b que 1 mdc f x g x mdc g x r x Para calcular 1 mdc g x r x aplicamos o algoritmo de Euclides obtendo q2 x 2 r x K x tais que 2 1 2 g x q x r x r x com 2 r x 0 ou 2 1 r x r x Se 2 r x 0 então 1 1 mdc g x r x r x Se 2 r x 0 então 1 1 2 mdc g x r x mdc r x r x e as sim por diante Note que este processo é finito De fato em cada divisão obtemos um resto que deve ser zero ou tem grau menor que o resto ante rior Logo em algum momento teremos resto zero e obteremos o máximo divisor procurado Exemplo 143 Calcule 3 2 2 6 15 12 3 2 1 mdc x x x x x em x Dividindo 3 2 6 15 12 3 f x x x x por 2 2 1 g x x x temos 3 2 2 6 15 12 3 2 13 9 24 12 x x x x x x x Logo 1 3 9 q x x e 1 24 12 r x x Dividindo g x por 1 r x temos 2 1 1 2 1 24 12 12 12 x x x x Como 2 r x 0 vem que 1 mdc f x g x r x Para obter um polinômio mônico associado a 1 r x multiplicare mos 1 r x por 1 24 Assim 3 2 2 1 6 15 12 3 2 1 2 mdc x x x x x x Exemplo 144 Calcule 3 2 2 7 4 4 7 mdc x x x x x em x Dividindo 3 2 7 4 4 f x x x x por 2 7 g x x x temos 3 2 2 7 4 4 7 4 4 x x x x x x x 75 Logo 1 q x x e 1 4 4 r x x Dividindo g x por 1 r x temos 2 1 3 7 4 4 6 4 2 x x x x Logo 2 1 3 4 2 q x x e 2 6 r x Dividindo 1 r x por 2 r x temos 2 2 4 4 6 0 3 3 x x Logo 3 2 2 3 3 q x x e 3 r x 0 Portanto 2 mdc f x g x r x e como o polinômio mônico as sociado a 2 r x 6 é 1 p x temos que 3 2 2 7 4 4 7 1 mdc x x x x x Definição 142 Sejam K um corpo e f x g x K x Dize mos que f x e g x são polinômios primos relativos quando 1 mdc f x g x Pelo Exemplo 144 os polinômios 3 2 7 4 4 f x x x x e 2 7 g x x x são primos relativos Conforme comentamos na seção anterior nosso principal in teresse é por polinômios de x x x e x Até o mo mento sabemos que existem e como calcular efetivamente o má ximo divisor comum de polinômios de x x e x e que vale a Identidade de Bezout Ainda não temos informações sobre a validade destes resultados para polinômios de x Adianta mos que existe máximo divisor comum para polinômios de x mas não vale a Identidade de Bezout O fato de x não ser domínio principal Exemplo 142 im pede que usemos o Teorema 141 para assegurar a existência de máximo divisor comum para polinômios de x Portanto pre cisamos de novos resultados 76 Definição 143 Um domínio D é chamado domínio fatorial quando i Dado a D D existem 1 2 s p p p irredutíveis em D tais que 1 2 s a p p p ii Se 1 2 1 2 s t a p p p q q q são duas decomposições de a em pro duto de irredutíveis de D então s t e cada ip é associado a algum jq 12 i j t Exemplo 145 Todo corpo é um domínio fatorial De fato se K é corpo então K K Assim o item i da Definição 143 está satisfeito pela inexistência de elemento não nulo e não inversível Isso também mostra o item ii pois em um corpo não existem elementos irredutíveis O próximo exemplo mostra que é um domínio fatorial Este resultado é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmé tica Essencialmente este teorema diz que todo número inteiro diferente de 0 1 e 1 pode ser decomposto de forma única como produto de números primos Observação 145 O Teorema Fundamental da Aritmética é um resultado conhecido desde o Ensino Médio quando se aprende fazer decomposição de inteiros em fatores primos Uma demons tração pode ser vista em 1 p 46 ou 3 p 25 Exemplo 146 é domínio fatorial Vimos no curso de Álgebra I que as definições de elemento primo e elemento irredutível coincidem no domínio Portanto basta aplicar o Teorema Fundamental de Aritmética Veremos a seguir que a propriedade ser fatorial se transporta do domínio D para o domínio D x Gauss foi o primeiro a provar tal resultado que por isso é conhecido como Teorema de Gauss A demonstração do Teorema de Gauss exige um bom número de re sultados auxiliares alguns dos quais bastante técnicos O leitor inte ressado pode encontrar estas provas em 1 p 344 ou 2 p 48 77 Teorema 142 Teorema de Gauss Se D é domínio fatorial então D x é domínio fatorial Corolário 143 Os domínios x x x e x são domí nios fatoriais Demonstração Segue do Teorema 142 junto com os Exemplos 145 e 146 De acordo com o corolário acima podemos decompor de forma única os polinômios nãonulos e nãoinversíveis de x x x e x em fatores irredutíveis Estes fatores irredutíveis são os polinômios irredutíveis estudados na seção anterior Veremos agora que em domínios fatoriais sempre existe máxi mo divisor comum Em particular existe máximo divisor comum para polinômios de x Teorema 143 Sejam D um domínio fatorial e a b D Então existe d D tal que d mdc a b Demonstração Faremos a demonstração em 3 partes Caso 1 a 0 ou b 0 Admita que a 0 O caso b 0 é análogo Tome d b É claro que d a e d b Se d D d a e d b então d d pois d b Logo d b mdc a b Caso 2 a D ou b D Admita que a D O caso b D é análogo Tome d a Claro que d a e como 1 a a b b também temos que d a divide b Se d D e d a d b então d d pois d a Logo d a mdc a b 78 Caso 3 a b D D Como D é domínio fatorial existem famílias de irredutíveis 1 i i l q e 1 j j t q em D tais que 1 2 l a q q q 1 2 t b q q q Cada uma das decomposições anteriores pode conter fatores ir redutíveis associados Se ocorrer i i q q existe iu D tal que i i iq u q Daí 2 i i i q qi u q Seguindo este raciocínio sempre que necessário podemos agrupar os fatores irredutíveis associados e escrever 1 2 1 2 r r a u q q q onde não há associados no conjunto de irredutíveis 1 2 r q q q 0 i a para 12 i r e u D Note que u é o produto dos inversíveis que apareceram quando agrupamos os irredutíveis Analogamente temos 1 2 s s b v q q q onde não há associados no conjunto de irredutíveis 1 2 s q q q 0 j b para 12 j s e v D Seja 1 2 n p p p o conjunto dos irredutíveis que aparecem na de composição de a ou b Então podemos decompor a e b como onde eventualmente ou pode ser nulo mas não ambos Sejam min i i i 12 i n e Vamos provar que d mdc a b Desde que e vem que d a e d b Explicitamente 1 1 2 2 1 2 n n n d u p p p a e 1 1 2 2 1 2 n n n d v p p p b Seja d D tal que d a e d b Como a 0 e d a temos que d 0 Se d D é claro que d d e a demonstração acabou Assim podemos considerar que d D D Como D é do mínio fatorial o elemento d possui uma decomposição em fato res irredutíveis Escrevendo 1 2 m d q q q onde 1 2 m q q q são irredutíveis em D 79 e sabendo que d t a para algum t D temos Para cada 12 i m sabemos que iq é elemento primo por ser irredutível que divide o lado esquerdo da igualdade acima Assim iq deve dividir algum fator do lado direito Note que se iq u então iq h u com h D Segue que 1 1 iq hu donde iq é inversível Absurdo pois iq é irredutível Segue que i j q p para algum 12 j t Assim existe k D tal que j i p kq Pela irredutibilidade de jp vem que k D então i j q p Isso prova que os fatores irredutíveis de d são as sociados a algum elemento do conjunto 1 2 n p p p Procedendo com d da mesma forma que fizemos com a e b temos 1 2 1 2 wn w w n d w p p p com w D e iw para 12 i n Afirmamos que i i w g e i i w d 12 i n Suponha que i i w g para algum 12 i n A igualdade d t a leva à Desde que i i w g podemos fazer cancelamentos obtendo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i n i i n w w w w w i i i n i i n w p p p p p t u p p p p Desde que ip divide o lado esquerdo pois 0 i i w g 0 i i w g vem que ip divide o lado direito Logo ip divide algum fatores do lado direito e como vimos acima um irredutível nunca divide um in versível Concluímos que i j p p para algum 12 j n j i Também vimos acima que isso implica em i j p p o que contra diz a escolha do conjunto 1 2 n p p p Portanto não podemos ter i i w g Analogamente provase que não é possível i i w d Segue que min i i i i w Assim 1 2 1 2 wn w w n d w p p p divide então d mdc a b Observação 146 O teorema acima pode ser usado como uma al ternativa ao Corolário 142 para garantir a existência de máximo divisor comum em x x e x 80 O Teorema 143 assegura que existe máximo divisor comum entre polinômios de x e fornece um procedimento para calcu lálo baseado na decomposição em fatores irredutíveis Vimos na seção anterior que não se conhecem todos os fatores irredutíveis e conseqüentemente não sabemos decompor um polinômio qual quer de x em fatores irredutíveis Isso é uma restrição forte para o cálculo de máximo divisor comum em x Veremos exemplos onde conseguimos calcular o máximo divi sor comum em x Exemplo 147 Calcular mdc f x g x em x quando 2 2 3 2 1 4 2 2 f x x x x x 3 2 3 4 2 23 5 10 g x x x x x x Como 2 1 x e 4 x são polinômios de grau 1 sabemos que são irredutíveis em x Proposição 131 Também são irredutíveis em x pois são primitivos Proposição 137 Os polinômios 2 2 2 x x e 3 3 5 10 x x são irredutíveis em x pelo critério de Eisenstein Desde que são primitivos estes poli nômios também são irredutíveis em x Segue que as decomposições em fatores irredutíveis de f x e g x em x são 2 2 3 2 1 4 2 2 f x x x x x 3 2 3 4 2 23 5 10 g x x x x x x Pelo Teorema 143 vem que 2 2 4 2 2 mdc f x g x x x x Exemplo 148 Calcular mdc f x g x em x quando 4 3 2 5 12 6 6 4 f x x x x x 3 2 2 7 4 4 g x x x x Vamos decompor f x e g x em fatores irredutíveis de x As possíveis raízes inteiras de f x são 1 2 e 4 Veja exer cício 11secção 112 Fazendo as contas vemos que 1 0 f 4 0 f 2 0 f e 2 0 f 81 Além disso 3 2 20 36 12 6 f x x x x e então 2 0 f Segue que 2 é raiz simples de f x Dividindo f x por x 2 temos 3 2 25 2 2 2 f x x x x x Pelo critério de Eisenstein o polinômio 3 2 5 2 2 2 x x x é irredu tível em x Por ser primitivo também é irredutível em x Portanto já temos a decomposição de f x em fatores irredutí veis de x Um raciocínio análogo mostra que a única raiz inteira de g x é 2 Como 2 6 14 4 g x x x e 12 14 g x x temos que 2 0 g e 2 0 g Logo 2 é raiz de multiplicidade 2 de g x Dividindo g x por 2 x 2 vem que 2 2 2 1 g x x x O polinômio 2 1 x é irredutível em x pois tem grau 1 Por ser primitivo também é irredutível em x Isso diz que já te mos a decomposição de g x em fatores irredutíveis Pelo Teorema 143 concluímos que 2 mdc f x g x x O próximo exemplo mostra que em algumas situações é possí vel calcular o máximo divisor comum em x sem fazer decom posição em fatores irredutíveis Exemplo 149 Calcular mdc f x g x em x e x para 4 3 2 4 6 6 4 f x x x x x 3 2 3 4 g x x x Vamos aplicar o método das divisões sucessivas para calcular o má ximo divisor comum em x Dividindo f x por g x temos 3 2 2 3 4 1 3 10 8 f x x x x x x Assim 2 1 3 10 8 r x x x e dividimos g x por 1 r x 2 1 1 14 28 3 10 8 3 9 9 9 g x x x x x Logo 2 14 28 14 2 9 9 9 r x x x e dividimos 1 r x por 2 r x 82 1 14 9 2 3 4 9 14 r x x x Segue que 2 r x é um máximo divisor comum para f x e g x Como procuramos um polinômio mônico vem que 2 mdc f x g x x em x Já sabemos que 2 x x é fator comum a f x e g x Se existisse outro fator comum não constante em x teríamos que x 2 não é máximo divisor comum de f x e g x em x Absurdo Como f x e g x são primitivos não existe inteiro que seja fator comum a estes polinômios Portanto 2 mdc f x g x x em x Como último resultado deste capítulo mostraremos que apesar de x ser domínio fatorial e portanto existir máximo divisor comum em x não vale a Identidade de Bezout em x Exemplo 1410 Não vale a Identidade de Bezout em x Sejam f x x e g x 2 Note que f x e g x já estão decompostos em fatores irredutíveis de x De fato f x x tem grau 1 logo é irredutível em x Por ser primitivo f x é irredutível em x O polinômio g x 2 é irredutível em x pois 2 é número primo Exemplo 137 Segue do Teorema 143 que 2 1 mdc x Se valesse a Identidade de Bezout em x existiriam r x s x x tais que 1 2 x r x s x Já vimos no Exemplo 142 que isso é absurdo pois o lado direito da equação acima tem termo independente par enquanto o lado esquerdo tem termo independente 1 Portanto não vale a Identidade de Bezout em x 83 Lista de Exercícios 1 Seja 2 2 J x x x f x x g x f x g x x x 2 f x x g x f x g x x x a Mostre que J é ideal de x b Determine p x x tal que J p x x 2 Verifique se J é ideal de x Em caso afirmativo calcule p x J p x mônico tal que J p x x a 1 2 0 J f x x f f b 1 0 e 2 0 J f x x f f c 7 0 J f x x f d 3 3 J f x x f f 3 Seja K um subcorpo do corpo L a Verifique se K x é subdomínio de L x b Se f x g x K x mostre que mdc f x g x em K x coincide com mdc f x g x em L x 4 Calcule mdc f x g x em x para a 3 2 6 4 f x x x x e 5 6 1 g x x x b 2 1 f x x e 6 3 1 g x x x x 5 Calcule mdc f x g x em x para a 3 4 2 5 f x x x x i e 3 1 2 5 g x x x x b 2 2 1 1 f x x x e 3 3 1 g x x i x 6 Calcule mdc f x g x em x para a f x a a é constante não nula e g x x b 5 4 3 2 5 10 30 10 5 f x x x x x x e 2 2 7 14 g x x x 84 c 3 2 4 6 4 f x x x x e 6 5 2 2 3 9 6 g x x x x x Note que 2 é raiz d 2 2 2 1 5 6 f x x x x x e 2 1 6 g x x x x Note que f x e g x não estão decompostos em fatores irredu tíveis 7 Determine r s de forma que 3121 31 21 mdc r s 85 Resumo do Capítulo Este capítulo foi dedicado ao estudo de polinômios Os princi pais resultados vistos foram Definição formal de polinômios operações entre polinô mios e anel de polinômios A x Determinação da melhor estrutura algébrica do anel A x em função da melhor estrutura algébrica do anel A Propriedades do grau de polinômios Elementos inversíveis no domínio D x Algoritmo de Euclides e raízes de polinômios Irredutibilidade de polinômios e decomposição em fatores irredutíveis Caracterização dos polinômios irredutíveis em x e x Relação entre irredutibilidade em x e em x Critério de Irredutibilidade de Eisenstein Verificação de que se K é corpo então K x é domínio principal tem máximo divisor comum e vale a Identidade de Bezout Verificação de que x não é domínio principal tem máxi mo divisor comum mas não vale a Identidade de Bezout Cálculo do máximo divisor comum pelo método das divi sões sucessivas em K x quando K é corpo Cálculo do máximo divisor comum em x através da de composição em fatores irredutíveis 2 Grupos e Subgrupos 89 Neste capítulo estudaremos os primeiros resultados da teoria de grupos Veremos que um grupo é uma estrutura algébrica com uma operação que satisfaz os axiomas da adição de um anel com possível exceção da comutatividade Assim as propriedades operacionais de um grupo serão semelhantes às propriedades operacionais da adição de um anel Destacaremos exemplos especiais de grupos tais como grupo de rotações de polígono regular grupo de simetrias de polígono regular e grupo de permutações A importân cia dos grupos de rotações e de simetrias está no seu sig nificado geométrico e a do grupo de permutações está no fato de que todo grupo pode ser identificado como subgru po de um grupo de permutações Faremos a caracterização dos subgrupos do grupo e abordaremos subgrupos gerados por elementos Isso leva à noção de grupo cíclico Definiremos também ordem de grupo ordem de elemento de um grupo e veremos algumas propriedades 21 Grupos Nesta seção apresentaremos a definição de grupo mostrare mos algumas propriedades básicas dos grupos e destacaremos exemplos Lembre que uma operação em um conjunto não vazio G é uma função G G G a b a b Portanto uma operação em G associa a cada par de elementos de G um único elemento de G 2 Grupos e Subgrupos 90 Definição 211 Seja uma operação no conjunto não vazio G Dize mos que G é um grupo quando i a b c a b c a b c G ii Existe e G tal que a e e a a a G iii Dado a G existe a G tal que a a a a e Quando o conjunto G é finito dizemos que o grupo G é grupo finito Caso contrário G é grupo infinito Definição 212 O grupo G é abeliano ou comutativo quando iv a b b a a b G Observação 211 A palavra abeliano é uma referência ao nome do matemático norueguês Niels Henrik Abel 18021829 Observação 212 Os axiomas i ii e iii acima são chamados de axiomas de grupo Acrescentando iv temos os axiomas de grupo abeliano Quando a operação do grupo G é uma adição conhecida dize mos que G é um grupo aditivo e usamos a notação G Ana logamente quando a operação do grupo G é uma multiplicação conhecida dizemos que G é um grupo multiplicativo e usamos a notação G Em grupos multiplicativos é comum escrever ab em vez de a b para indicar a operação entre os elementos a e b Outro comentário sobre notação normalmente nos referimos ao grupo G simplesmente por grupo G subentendendo a existência da operação Observação 213 Um elemento e que satisfaz o axioma ii da definição de grupo é chamado de elemento neutro do grupo G Observação 214 Um elemento a que satisfaz o axioma iii da definição de grupo é chamado de simétrico de a em G 91 Nossa primeira proposição mostrará a unicidade do elemento neutro a unicidade do simétrico de cada elemento e propriedades operacionais com simétrico Proposição 211 Seja G um grupo a Existe um único elemento neutro em G b Para cada a G existe um único simétrico em G c Se a G e a G é o simétrico de a então o simétrico de a é a isto é a a d Se a b G e a b G são os simétricos de a e b respectivamen te então o simétrico de a b é b a Demonstração a Suponha que e e e sejam elementos neutros para G Como e é elemento neutro temos e e e Como e é elemento neutro temos e e e Portanto e e b Suponha que a e a sejam simétricos para a Como a é simétrico para a temos a a e Como a é simétrico para a temos a a e Portanto a a e a a a a a a e a a c Como a é o simétrico de a vale a a a a e Isso assegu ra que a é o simétrico de a isto é a a d Basta notar que a b b a a b b a a e a a a e b a a b b a a b b e b b b e Observação 215 Quando G é um grupo multiplicativo é comum denotar o único elemento neutro de G por 1 e o único simétrico de a G por 1 a Neste caso chamamos 1 a de inverso de a 92 Observação 216 Quando G é um grupo aditivo é comum de notar o único elemento neutro de G por 0 e o único simétrico de a G por a Neste caso chamamos a de oposto de a Podemos produzir exemplos de grupos a partir de resultados conhecidos sobre anéis e corpos Se A é um anel então A é um grupo abeliano pois a adição em A satisfaz os axiomas de grupo abeliano Se K é corpo então K é grupo abelia no pois a multiplicação é fechada em K e valem os axiomas de grupo abeliano em K Exemplo 211 Com as operações de anel estudadas temos que e são grupos abelianos infinitos n n é grupo abeliano finito com n elementos Se A é um anel então Mn A e A x são grupos abelianos para cada n e são grupos abelianos infinitos p p um número primo é grupo abeliano finito com 1 p elementos Exemplo 212 Com as operações usuais e não são grupos Em cada um dos casos temos uma operação fechada associati va e que tem elemento neutro No entanto não é possível obter simétrico para todos os elementos De fato em o elemento neutro é zero mas para 1 não existe x tal que 1 0 x Em e o elemento neutro é 1 mas para 2 não existe x tal que 2 1 x Outro procedimento para produzir grupos a partir de anéis conhecidos é tomar o conjunto dos elementos inversíveis de um anel com unidade Mostraremos isso na próxima proposição Proposição 212 Seja A um anel com unidade Então A é grupo e será abeliano se A for comutativo Demonstração Inicialmente note que a multiplicação é de fato uma operação em A pois dados a b A temos 1 1 a b A en tão 1 1 1 1 1 ab b a b a ab 93 Logo ab A e a multiplicação é fechada em A Como a multiplicação é associativa no anel A também será asso ciativa em A É claro que 1 A e que 1 é elemento neutro para A Dado a A temos por definição que existe a 1 A tal que 1 1 1 a a a a Assim 1 a A Até aqui provamos que A é grupo Se A é anel comutativo então a multiplicação em A é comu tativa Segue que a multiplicação em A é comutativa e portanto A é grupo abeliano Exemplo 213 O conjunto 11 é grupo abeliano multipli cativo Basta observar que é anel comutativo que 1 e aplicar a proposição acima Note ainda que o elemento neutro de é 1 o inverso de 1 é 1 e o inverso de 1 é 1 O grupo tem a seguinte tabela de operação 1 1 1 1 1 1 1 1 Exemplo 214 Seja K um corpo Sabemos que Mn K é anel com unidade e então Mn K é um grupo chamado de grupo linear geral sobre K e denotado por n GL K Exemplo 215 O conjunto G e a b c com a operação dado por e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e é um grupo abeliano chamado grupo de Klein 94 Olhando para a tabela vemos que e é o elemento neutro de G e que cada elemento é seu próprio simétrico A comutatividade também é imediata A verificação da associatividade envolve vá rias combinações de elementos Faremos algumas e deixaremos as demais como exercício e x y x y e x y x y e a b c x e y x y x e y x y e a b c x y e x y x y e x y e a b c Resta verificar todas as combinações que não envolvem o elemen to e x x x x e x e x x x x x a b c Resta verificar as combinações que envolvem pelo menos dois elementos do conjunto a b c a a b a c b e b a a b a b a a c b c a a b a b a a b e b c a b a a Faça as demais A partir de grupos conhecidos podemos produzir novos grupos fazendo produto cartesiano Veremos isso na proposição abaixo Proposição 213 Sejam G e H grupos Então G H é grupo com a operação 1 1 2 2 1 2 1 2 g h g h g g h h Além disso G H é abeliano se e somente se G e H são abelianos Demonstração É claro que é uma operação em G H pois e são operações em G e H respectivamente Sejam G e e H e os elementos neutros de G e H respectivamente Então G H e e G H e para todo g h G H temos G H G H g h e e g e h e g h G H G H e e g h e g e h g h Logo G H e e é o elemento neutro de G H Agora vamos mostrar que g h G H tem inverso em G H Como g G h H e G e H são grupos existem g G e h H tais que G g g g g e e H h h h h e Assim 1 1 g h G H e G H g h g h g h g h e e 95 Para ver que é associativa usamos a associatividade de em G e de em H Sejam 1 1 g h 2 2 g h 3 3 g h G H 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 g h g h g h g h g g h h g g g h h h 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 g h g h g h g h g g h h g g g h h h 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 g g g h h h g g h h g h g h g h g h 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 g g g h h h g g h h g h g h g h g h Isso mostra que G H é grupo Suponha que G e H são abelianos Para 1 1 g h 2 2 g h G H temos 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 g h g h g g h h g g h h g h g h 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 g h g h g g h h g g h h g h g h Logo G H é abeliano Reciprocamente suponha que G H é abeliano Para 1g g2 G e 1h 2h H temos 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 g h g h g h g h g g h h g g h h 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 g h g h g h g h g g h h g g h h 1 2 2 1 g g g g e 1 2 2 1 h h h h Portanto G e H são abelianos Definição 213 O grupo G H construído acima é chamado gru po produto direto ou cartesiano dos grupos G e H Exemplo 216 O conjunto 4 é um grupo abeliano com a operação a b x y a x b y obtido a partir dos grupos e 4 Note que 21 83 40 96 Lista de Exercícios 1 Sejam G um grupo e a b G Verifique se a equação X a b tem solução única em G 2 Sejam G um grupo e u G Mostre que u é o elemento neutro de G se e somente se u a a para algum a G Dica para fazer a recíproca note que u a a tem u e e como soluções 3 Seja G um grupo no qual x x e para todo x G Mos tre que G é abeliano 4 Lembre que p a b p a b p um número pri mo Verifique se p e p são grupos abelianos 5 Mostre que se A é um anel então Mm n A é grupo abe liano 6 Verifique se é grupo quando 1 x y x y 7 Construa a tabela de operações para n quando n 46 e 7 8 Construa a tabela de operações para p quando p 35 e 7 9 Determine o inverso de cada elemento de 7 10 Mostre que o oposto de n x é n x 97 22 Grupos de Permutações Grupos de Rotações e Grupos Diedrais Trataremos aqui de três famílias de grupos grupos de permu tações grupos de rotações e grupos diedrais Os grupos de per mutações são grupos formados por bijeções de um conjunto nele mesmo Os grupos de rotações descrevem as rotações no plano de um polígono regular Finalmente os grupos diedrais descre vem os movimentos que preservam um polígono regular Grupos de Permutações Seja E um conjunto não vazio e denote por Bij E o conjunto de todas as bijeções de E em E isto é é bijetora Bij E f E E f Desde que a composição de bijeções é uma bijeção temos que a composição é uma operação em Bij E Denotaremos a operação composição pelo símbolo Proposição 221 Se E é um conjunto não vazio então Bij E é um grupo Demonstração É claro que a função identidade de E é o ele mento neutro de Bij C pois f id id f f para toda função f Bij E Seja g Bij C Como g é bijetora existe a função inversa g 1 E E que é bijetora e satisfaz 1 1 g g g g id Logo 1 g Bij C é o simétrico de g Bij C Para ver a associatividade tomamos f g h Bij E e x E f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x Assim f g h f g h Definição 221 O grupo Bij E é chamado grupo de permutações ou grupo simétrico do conjunto E 98 Observação 221 A notação para o grupo de permutações não é a mesma em todos os livros Além de Bij E também são comuns as notações P E e S E Notação Quando E é um conjunto finito com n elementos indi camos Bij E por n S O corolário da próxima proposição assegura que se E tem n elementos então n S tem n elementos Proposição 222 Sejam E e F conjuntos com n elementos Então o número de bijeções de E em F é n Demonstração Usaremos o Primeiro Princípio de Indução sobre n O resultado é óbvio para 1 n Assuma como hipótese de indução que o número de bijeções en tre conjuntos com k elementos é k Sejam 1 2 1 k E a a a e 1 2 1 k F b b b Devemos mostrar que o número de bijeções de E em F é 1 k Para cada 12 1 i k considere a função 1 ig a F 1 i a b Vamos estender ig ao conjunto E para obter bijeções de E em F Como 1 E a e i F b têm k elementos a hipótese de indução garante a existência de k bijeções entre estes conjuntos Se f é uma destas bijeções então f E F 1 1 se i f x x a f x b se x a é uma bijeção que estende ig Assim para cada 12 1 i k produzimos k bijeções de E em F Desde que temos 1 k possibilidades para i obtemos 1 1 k k k bijeções de E em F Observe que estas são todas as bijeções de E em F De fato se h E F é bijetora então 1 i h a b para algum 12 1 i k Logo h é uma bijeção que estende ig e portanto h é uma das bijeções construídas acima 99 Corolário 221 Se E tem n elementos então n S tem n elementos Demonstração Imediata da proposição Se n f S então 12 12 f n n é bijeção e para cada 12 i n 12 i f i a n com i j a a quan do i j Assim 1 f 1 a 2 2 n f a f n a Uma notação mais concisa é 1 2 1 2 n n n f S a a a Note que não se trata de uma matriz 2 n mas sim de uma no tação onde está subentendido que a bijeção f leva cada elemento da linha superior no elemento abaixo dele Por exemplo a função 4 f S tal que 1 2 f 2 3 f 3 1 f e 4 4 f pode ser indicada por 4 1 2 3 4 2 3 1 4 f S Uma outra notação ainda mais breve consiste em descre ver n f S como uma seqüência 1 2 m a a a indicando que 1 2 f a a 2 3 1 m m f a a f a a 1 f am a e j j f a a para 12 j m Nesta nova notação o elemento 4 1 2 3 4 2 3 1 4 f S é escrito 4 1 2 3 f S Dizemos neste caso que f está representado na notação de ciclo A palavra ciclo terá um sentido preciso no último capítulo Por enquanto nos interessa apenas a notação de ciclos Exemplo 221 Escrever 5 1 2 3 4 5 4 5 3 1 2 f S na notação de ciclo Como 1 4 f e 4 1 f deve aparecer 14 na notação Pelo mesmo motivo aparece 25 Assim 5 1425 f S 100 Sejam 1 2 1 2 n n f a a a 1 2 1 2 n n n g S b b b Para ob ter f g basta calcular 1 1 f g c 2 2 n f g c f g n c e então 1 2 1 2 n n f g c c c Exemplo 222 Calcular f g para 1 2 3 4 2 3 1 4 f 4 1 2 3 4 4 3 2 1 g S 1 4 4 f g f 2 3 1 f g f 3 2 3 f g f 4 1 2 f g f Logo 1 2 3 4 4 1 3 2 f g Exemplo 223 Refazer o exemplo anterior usando a notação de ciclos Na notação de ciclos 1 2 3 f e g 1423 Para calcular f g devemos efetuar 1 2 3 1423 lem brando que se trata de composição de funções O trabalho estará completo quando soubermos o valor de f g em 123 e 4 Note que 1 2 3 1423 é composto por 3 ciclos O primeiro da direita para a esquerda não move 1 o segundo leva 1 em 4 e o terceiro não move 4 Logo 1 é levado em 4 Agora vamos calcular a imagem de 4 O primeiro ciclo deixa 4 fixo o segundo leva 4 em 1 e o terceiro leva 1 em 2 Logo 4 é levado em 2 Até aqui calculamos que 1 2 3 1423 1 4 2 Seguindo o processo é fácil ver que 2 é levado em 1 Finalmente 3 é fixado Portanto 1 2 3 1423 1 4 2 101 O objetivo dos 3 próximos exemplos é descrever os elementos 2 3 4 e S S S Exemplo 224 2 S id f onde 1 2 1 2 id e 1 2 2 1 f É fácil calcular a tabela de operações de 2 S id f id id f f f id Logo 2 S é grupo abeliano cujo elemento neutro é id e o inverso de f é f Na notação de ciclos 2 12 S id Exemplo 225 3 1 2 3 4 5 S id f f f f f onde 1 2 3 1 2 3 id 1 1 2 3 2 3 1 f 2 1 2 3 3 1 2 f 3 1 2 3 2 1 3 f 4 1 2 3 3 2 1 f 5 1 2 3 1 3 2 f Vamos ver como construir a tabela de operações de 3 S É claro que i i i id f f id f para i125 Vamos calcular 1 3 f f e 3 1 f f 1 3 1 1 2 3 f f f 1 3 1 2 1 2 f f f 1 3 1 3 3 1 f f f 3 1 3 1 2 1 f f f 3 1 3 2 3 3 f f f 3 1 3 3 1 2 f f f Assim 1 3 4 1 2 3 3 2 1 f f f e 3 1 5 1 2 3 1 3 2 f f f Seguindo desta maneira podemos completar a tabela de opera ções de 3 S 102 id f1 f2 f3 f4 f5 id id f1 f2 f3 f4 f5 f1 f1 f2 id f4 f5 f3 f2 f2 id f1 f5 f3 f4 f3 f3 f5 f4 id f2 f1 f4 f4 f3 f5 f1 id f2 f5 f5 f4 f3 f2 f1 id Na notação de ciclos 3 12 313 212132 3 S id No próximo exemplo escreveremos todos os 24 elementos de 4 S usando apenas a notação de ciclos Nos exercícios pediremos que estes elementos sejam escritos na notação 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a Exemplo 226 4 12 3412 4 313 2 413 4 214 2 314 3 212 3 S id 4 12 3412 4 313 2 413 4 214 2 314 3 212 3 S id 12 413 213 414 214 32 3 42 4 31213142 32 43 4 12 413 213 414 214 32 3 42 4 31213142 32 43 4 123 4132 4142 3 Vimos nos Exemplos 224 e 225 que 2 S é grupo abeliano e que 3 S é grupo não abeliano Mostraremos que 2 S é o único gru po de permutações que é abeliano Proposição 223 Se n e n 3 então n S não é abeliano Demonstração Como n 3 temos pelo menos 3 elementos em 12 E n Assim podemos escolher n f g S Bij E como 1 2 3 2 1 3 n f n e 1 2 3 2 3 1 n g n Segue que 1 1 f g e 1 3 g f Portanto f g g f então n S não é abeliano para n 3 103 Grupos de Rotações Seja 12 n n 3 o conjunto dos vértices de um polígono regular com n lados conforme a figura abaixo Figura 221 Cada uma das rotações de ângulo 2 2 2 0 2 n 1 n n n no sentido antihorário mantém o polígono invariante move apenas os vértices Além disso se olharmos para Sn Bij E 12 E n vemos que estas rotações podem ser identificadas com elementos distintos de n S Sejam e a rotação de 0 radianos e a a rotação de radianos Estes elementos correspondem às seguintes funções de n S 1 2 1 2 2 1 n n e n n e 1 2 1 2 3 1 n n a n Usando a notação a j a a a j vezes e a convenção a0 id e é fácil ver que as potências de a produzem todas as rotações De fato 2 a é a rotação de ângulo n 1 a é a rotação de ângulo 2 n 1 n 0 an a e é a rotação de ângulo 0 Denotaremos por n R o conjunto das rotações do polígono re gular de n lados isto é 0 2 1 n n n R e a a a a S 104 Note que dados i j n a a R vale i j i j a a a Dividindo i j por n obtemos q r tais que i j nq r com 0 r n As sim i j i j nq r n q r q r a a a a a a e a r r n e a a R Portanto n n n i j i j R R R a a a é uma operação em n R Proposição 224 n R é grupo abeliano com n elementos Demonstração Desde que os elementos de n R são rotações que correspondem a elementos distintos de n S temos que n R tem exatamente n elementos É claro que a0 e é o elemento neutro de n R A comutatividade segue das igualdades abaixo i j i j j i j i a a a a a a A associatividade também é simples i j k i j k i j k i j k i j k i j k a a a a a a a a a a a a Finalmente observe que 0 i n i a a a e 01 1 i n Logo o simétrico de i n a R é n i n a R Portanto n R é um grupo abeliano Definição 222 O grupo n R é chamado grupo de rotações de um polígono regular de n lados Exemplo 227 2 3 R e a a é o grupo de rotações do triângulo eqüilátero de vértices 12 e 3 O elemento neutro é 1 2 3 1 2 3 e o elemento 1 2 3 2 3 1 a é a rotação de e o elemento 2 1 2 3 2 1 2 a é a rotação de A tabela de operações de 3 R é 105 e a a2 e e a a2 a a a2 e a2 a2 e a Exemplo 228 2 3 4 R e a a a é o grupo de rotações do quadra do de vértices 1234 O elemento 4 ra R é a rotação de ângulo A tabela de operações de 4 R é e a a2 a3 e e a a2 a3 a a a2 a3 e a2 a2 a3 e a a3 a3 e a a2 Grupos Diedrais Considere novamente 12 n n 3 como o conjunto dos vértices de um polígono regular de n lados Seja n b S a reflexão em relação ao eixo horizontal conforme a figura abaixo Figura 222 106 Note que 1 2 3 1 1 1 3 2 n n b n n não é uma rotação e que 2 1 2 1 2 n b e n Lembre que o conjunto das rotações é 2 1 n Rn e a a a onde 1 2 1 3 3 1 n n a n Ao conjunto n R vamos acrescentar b e também todos os produtos ia b 12 1 i n Aqui esta mos considerando a composição como sendo um produto apenas para facilitar a escrita Isso não causará nenhuma confusão Desta forma obtemos o conjunto 2 1 2 1 n n n n D e a a a b ab a b a b S que tem 2n elementos Cada um destes elementos representa uma simetria do polígono isto é um movimento que deixa o polígono invariante move apenas os vértices Provaremos que n D é um grupo com a operação composição existente em n S Para isso precisamos provar que n n n i u j v i u j v D D D a b a b a b a b é de fato uma operação em n D ou seja i u j v n a b a b D Iniciamos com um lema que será útil para fazer contas em n D Lema 221 Em n D vale a igualdade r n r ba a b 12 1 r n Demonstração Usaremos o Princípio de Indução sobre r Para 1 r temos 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 3 2 2 3 4 1 1 2 2 1 n n n n n n ba n n n n n n 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 1 3 2 2 3 4 1 1 2 2 1 n n n n n n ba n n n n n n Para calcular an 1 b lembramos que 1 1 an a pois an 1 a e As sim 1 1 an a corresponde à rotação de no sentido horário 107 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1 1 3 2 n n n n n a b a b n n n n n 1 2 3 1 1 2 2 2 1 n n n n n n Isso prova que n 1 ba a b Admita como hipótese de indução que k n k ba a b para 1 k Devemos provar que 1 1 k n k ba a b 1 1 1 1 1 k k n k n k n n n k n k n k ba ba a a ba a a b a a b ea b a b Note que usamos a hipótese de indução na segunda igualdade o caso 1 r na terceira igualdade além da associatividade de n S Lema 222 A composição é uma operação em n D Demonstração Devemos provar que se i u j v n a b a b D então i u j v n a b a b D para 01 1 i j n e u v01 1º Caso u 0 i u j v i j v i j v n a b a b a ea b a b D Lembre que provamos que 2 1 i j n a e a a a para quaisquer i e j 2º Caso 1 u Pelo lema anterior sabemos que j n j ba a b Então 1 i u j v i j v i n j v n i j v n a b a b a ba b a a bb a b D Lembre que b2 e e portanto qualquer potência de b pode ser reduzida a e ou b Proposição 225 n D é grupo não abeliano com 2n elementos Demonstração Desde que n n D S a associatividade em n D é conseqüência da associatividade em n S É claro que e é o elemento neutro de n D Para provar que i u n a b D tem inverso em n D separamos em dois casos 108 1º Caso u 0 Neste caso i u i a b a e seu inverso é n 1 n a D 2º Caso 1 u Neste caso i u i a b a b cujo inverso é o próprio i n a b D pois 2 i i i n i n a ba b a a bb a b e e e Portanto n D é grupo Para ver que n D tem exatamente 2n elementos mostraremos que os elementos do conjunto 2 1 2 1 n n e a a a b ab a b a b são distintos dois a dois Sejam 01 1 i j n e u v01 tais que i u j v a b a b Deve mos verificar que i j e u v Multiplicando à esquerda por 1 a j e à direita por 1 bu vem que 1 1 1 j i v u v u u v n a a b b b b b e a a pois 1 j i a a é uma rotação Se u v então 1 u v n b b e a a Absurdo Logo u v e a igualdade i u j v a b a b leva a i j a a e daí i j Portanto n D tem 2n elementos Para ver que n D não é abeliano basta notar que de acordo com o Lema 221 temos que n 1 ba a b ab Definição 223 O grupo n D é chamado grupo diedral de ordem 2n ou grupo das simetrias do polígono regular de n lados Exemplo 229 2 2 3 D e a a b ab a b é o grupo das simetrias do triângulo eqüilátero de vértice 12 e 3 onde 1 2 3 2 3 1 a é a ro tação de ângulo e 1 2 3 1 2 3 b é a reflexão As ferramentas para montar a tabela de operações de 3 D são o Lema 221 que diz que 3 r r ba a b e o fato de que 3 2 a b e Vejamos alguns cálculos 2 2 3 a a b aa b a b eb b 2 2 ab ab a ba b a a b b a a bb e 2 2 2 2 2 2 a b a a ba a ab a a b b Seguindo com as contas podemos montar toda a tabela 109 e a a2 b ab a2b e e a a2 b ab a2b a a a2 e ab a2b b a2 a2 e a a2b b ab b b a2b ab e a2 a ab ab b a2b a e a2 a2b a2b ab b a2 a e 110 Lista de Exercícios 1 Calcule o simétrico de cada elemento de 3 S 2 Escreva os elementos de 4 S na notação 1 2 3 4 1 2 3 4 a a a a 3 Considere os elementos de 4 S abaixo 1 2 3 4 1 2 3 4 id 1 1 2 3 4 1 2 4 3 f 2 1 2 3 4 2 3 4 1 f 3 1 2 3 4 3 4 1 2 f e 4 1 2 3 4 4 1 2 3 f a Mostre que 1 i d f é um grupo com a operação composição b Calcule 2 3 2 f 2 f e 2 3 f f Lembre que n i i i f f f n vezes c Apesar de 4 S não ser abeliano verifique se 2 3 3 2 f f f f d Mostre que 2 3 4 i d f f f é grupo com a operação composi ção É abeliano 4 Desenhe cada um dos elementos do grupo 4 R Inicie com um quadrado de vértices 123 e 4 que pode ser chamado de e Depois desenhe os quadrados correspondentes a 2 3 a a e a 5 Construa a tabela de operações de 5 R e 6 R 6 Determine o simétrico de cada elemento de 6 R 7 Calcule o simétrico de cada elemento de 3 D 8 Identifique cada elemento de 3 D com a permutação corres pondente de 3 S 9 Construa a tabela de operações de 4 D 111 23 Subgrupos A partir de agora usaremos preferencialmente a notação mul tiplicativa para grupos Desta forma um grupo arbitrário G será indicado por G Isso evitará escrever uma entre os ele mentos operados isto é a b será escrito ab As ressalvas para grupos aditivos serão feitas quando forem necessárias Nesta seção trataremos dos subgrupos que são grupos dentro de grupos dados Veremos que a noção de subgrupo é útil para produzir novos exemplos de grupos Determinaremos todos os subgrupos do grupo estudaremos subgrupos gerados por elementos grupos cíclicos ordem de grupo e ordem de elementos de um grupo Definição 231 Seja G um grupo Dizemos que H G H é um subgrupo de G quando i a b H ab H ii H é grupo Notação Para indicar que H é subgrupo de G escrevemos H G Se H é subgrupo de G existem elementos neutros H e e G e em H e G respectivamente Também para cada a H G existem simétricos H1 a e G1 a em H e G respectivamente Veremos abaixo que H G e e e 1 1 H G a a Assim podemos denotar o elemento neu tro de H e G pelo mesmo símbolo e e também podemos deno tar o simétrico de a H em H e G pelo mesmo símbolo 1 a Proposição 231 Sejam H G e a H Então a H G e e b 1 1 H G a a Demonstração a Claro que H H H e e e Como G e é elemento neutro de G e eH G temos G H H e e e Segue que G H H H e e e e Multiplicando à direita pelo inverso u de H e em G vem G H H H G G H G G H e e u e e u e e e e e e 112 b Por a podemos escrever H G e e e Assim 1 1 H H a a a a e e 1 1 G G a a a a e isto é H1 a e G1 a são simétricos de a em G Pela unicidade do simétrico temos 1 1 G H a a Observação 231 O item a da proposição acima informa que se o elemento neutro do grupo G não está em H então H não é subgrupo de G Veremos agora uma forma mais breve de verificar se um sub conjunto é um subgrupo Proposição 232 Seja H um subconjunto não vazio do grupo G São equivalentes i H G ii 1 a b H ab H Demonstração i ii Como H é grupo e b H existe b 1 H Agora temos a b 1 H então ab 1 H ii i Como H existe c H G Por ii vem que 1 e cc H Dado b H temos e b H e por ii vem que 1 1 b eb H Até aqui já provamos que o elemento neutro está em H e que o inverso de cada elemento de H está em H Sejam a b H Então a b 1 H e por ii temos 1 1 ab a b H Segue que a operação de G é fechada em H Como a proprieda de associativa em H é herdada de G concluímos que H G Observação 232 Quando G é um grupo aditivo a condição ii da proposição acima se escreve como ii a b H a b H Observação 233 Um subgrupo de um grupo abeliano é abelia no pois a comutatividade é propriedade hereditária Exemplo 231 Todo grupo G tem pelo menos dois subgrupos A saber 1 H e e H2 G Estes subgrupos são chamados subgru pos triviais 113 Exemplo 232 Usando a Proposição 232 vem que m n m n m n m n M M M M n n n GL GL GL n n n R D S 1 é subgrupo multiplicativo de Exemplo 233 Para cada m o conjunto m m x x é subgrupo de De fato sejam a b m Então existem x y tais que a m x e b m y Assim a b m x y m Pela Proposição 322 vem que m Como casos particulares do exemplo acima temos 0 0 1 2 e 175 175 É fácil ver que m m para todo m Por isso os sub grupos m são escolhidos com m 0 Exemplo 234 Sejam m n Então m n n m Como m m n existe q tal que m nq Portanto n m Seja m x m Como m n existe q tal que m nq As sim m x n q x n Logo m n Desde que m é grupo por ser subgrupo de temos que m n Segue do exemplo acima que 4 2 isto é o conjunto dos múltiplos de 4 é subgrupo aditivo do grupo formado pelos nú meros pares Da mesma forma 8 2 9 3 12 2 12 3 12 4 e 12 6 A próxima proposição mostra que todo subgrupo de é da forma m para algum m 114 Proposição 233 Caracterização dos subgrupos de H H m para algum m Demonstração Já vimos no Exemplo 233 Se H 0 então H 0 Se H 0 então 0 x H x pois existe 0 a H e a H Um deles a ou a é positivo Pelo Princípio do Menor Número Natural existe min 0 m x H x Afirmamos que H m Seja m x m Se x 0 então 0 m x H pois H Se x 0 então m x m m m H pois m H e H Se x 0 então m x m m m H pois m H e H Logo m H Reciprocamente seja h H Pelo algoritmo de Euclides em existem q r tais que h mq r com 0 r m m Como m H temos que mq H Também é verdade que h H e então r h mq H Mas m é o menor número po sitivo em H e assim r não pode ser positivo já que r m Resta r 0 daí h mq m Isso mostra que H m A definição a seguir diz que o centro de um grupo é formado pelos elementos do grupo que comutam com todos os demais ele mentos Definição 232 Seja G um grupo O conjunto Z G g G g x x g x G é chamado centro do grupo G Proposição 234 Seja G um grupo a Z G G b Z G G G é abeliano Demonstração a Claro que Z G pois e G Sejam a b Z G Devemos mostrar que 1 ab Z G 115 Seja x G Como b Z G temos que b x xb Multiplicando esta igualdade à esquerda e à direita por 1 b vem que 1 1 xb b x Multiplicando agora à esquerda por a Z G temos 1 1 x ab ab x Portanto 1 ab comuta com todo elemento de G isto é 1 ab Z G b É imediato Exemplo 235 Z Z Z e Z como grupos aditivos Z Z e Z como grupos multi plicativos n n Z R R 3 Z D e de acordo com a tabela de operações de 3 D vis ta no Exemplo 229 Existe uma maneira padrão para produzir subgrupos Para isso tomamos um elemento x num grupo G e introduzimos a notação m x x m Lembre que 1 se 0 vezes se 0 vezes se 0 m e m x x x x m m x x x m m Com notação aditiva temos x m x m onde 0 se 0 vezes se 0 vezes se 0 m m x x x x m m x x x m m Proposição 235 Sejam G um grupo e x G Então x é subgrupo abeliano de G 116 Demonstração Sejam a b x Devemos mostrar que ab 1 x Como a b x existem m n tais que m a x e n b x Desde que 1 n b x temos que 1 m n ab x x Logo x G Para ver que x é abeliano basta notar que para quaisquer m n vale n m n m m n m n x x x x x x Definição 233 Sejam G um grupo e x G O subgrupo x é cha mado subgrupo gerado por x Observação 234 Um procedimento mais geral permite obter um subgrupo do grupo G gerado por um subgrupo não vazio S G Quando S x obtemos o subgrupo x gerado por x A construção de subgrupo gerado por um subconjunto qualquer não é objetivo deste curso O leitor interessado poderá ver este assunto em 2 p130 Definição 234 Dizemos que o grupo G é cíclico quando existe x G tal que G x De acordo com a definição acima x é um subgrupo cíclico de G para cada x G Note que todo grupo cíclico é abeliano De fato se G é cíclico então G x para algum x G Pela Proposição 235 temos que G x é abeliano Exemplo 236 é grupo cíclico De fato basta observar que 1 1 m m O exemplo anterior pode ser generalizado Exemplo 237 n é grupo cíclico É claro que n n nm m Exemplo 238 n R é cíclico pois m Rn a a m 117 Exemplo 239 n D e n S n 3 não são cíclicos pois não são abelianos Exemplo 2310 Calcular o subgrupo gerado por cada elemento de 3 D Basta calcular as potências de cada elemento de 3 D e e pois ne e n 2 a e a a pois a3 e 2 2 a e a a pois 2 2 4 a a a e 2 3 6 a a e b e b pois b2 e ab e ab pois 2 2 ab a ba b a a b b e 2 2 a b e a b pois 2 2 2 2 2 a b a ba b a ab b e Exemplo 2311 n é cíclico gerado por 1 pois 1 1 n m m Exemplo 2312 Calcular o subgrupo gerado por cada elemento de 6 0 0 6 1 2 024 3 03 4 024 6 5 543210 Vimos no exemplo acima que os únicos geradores de 6 são 1 e 5 Isso pode ser escrito da forma seguinte m gera 6 se e so mente se 6 1 mdc m Veremos que este resultado vale em geral não apenas para o número 6 Proposição 236 Sejam n 1 n e n m Então 1 n m mdc m n Demonstração Se n m então 1 m e daí existe x tal que 1 x m Segue que 1 m m x m isto é 1 n x m As sim existe y tal que 1 n y x m que pode ser escrito como 1 n y m x Portanto todo inteiro que divide m e n deve dividir 1 e então 1 mdc m n 118 Reciprocamente admita que mdc m n 1 Pela Identidade de Be zout em Corolário 141 b existem r s tais que 1 r m s n Tomando classes em n e lembrando que n 0 temos 1 0 r m s n r m s r m r m Seja n u Como 1 u u ur m vem que u m Logo n m É claro que n m portanto n m Exemplo 2313 Os geradores de 20 são 1379111317 e 19 Definição 235 A ordem de um grupo G é o número de elementos do conjunto G Notação A ordem do grupo G é indicada por G Quando G é um grupo infinito escrevemos G e se G é finito escreve mos G Definição 236 Sejam G um grupo e x G A ordem de x é a ordem do subgrupo gerado por x isto é x Notação A ordem de x é indicada por o x Exemplo 2314 n n Rn n 1 p p primo p 2 Dn n Sn n Exemplo 2315 Calcular a ordem de cada elemento de 3 D Pelo Exemplo 2310 temos 1 o e 2 3 o a o a e 2 2 o b o ab o a b Exemplo 2316 Calcular a ordem de cada elemento de 6 Pelo Exemplo 2311 temos 0 1 o 1 5 6 o o 2 4 3 o o e 3 2 o A próxima proposição é útil para o cálculo do subgrupo gera do por um elemento 119 Proposição 237 Sejam G um grupo e x G São equivalentes i o x n ii r tal que rx e Neste caso 2 1 n x e x x x min r n r x e e n r Demonstração i ii Por hipótese o x n Assim m x x m é conjunto finito Logo existem p q p q tais que p q x x Segue que 1 p q p q x x x e Sem perda de generalidade podemos assumir que p q Tome r p q É claro que r p q x x e ii i Por hipótese r X r x e Logo X tem um mínimo n Em particular nx e Afirmamos que 2 1 n x e x x x A inclusão 2 1 n x e x x x é óbvia Para provar a inclusão contrária tomamos t u x x Pelo algoritmo de Euclides em existem q l tais que t nq l com 0 l n n 2 1 t nq l n q l q l l n u x x x x e x x e x x x Isso conclui a demonstração da afirmação Para concluir que o x x n devemos mostrar que os ele mentos do conjunto 2 1 n e x x x são distintos dois a dois Suponha que não Então existem u v 0 1 u v n tais que u v x x com u v Podemos considerar 0 u v e assim u v e x com 0 u v n contradizendo a minimalidade de n Portanto min r o x n r x e e 2 1 n x e x x x Resta provar que se rx e r então n r Dividindo r por n obtemos a b tais que com Se b 0 então r X r x e pois r n n e x x x x e x x Como b n isso contradiz a minimalidade de n Portanto b 0 e isto é n r 120 Vimos na Proposição 237 que se G é um grupo e x G tem ordem n então n é o menor natural não nulo tal que nx e 2 1 n x e x x x Se r e rx e então n r Exemplo 2317 Calcular a ordem de cada elemento de 5 1 1 1 1 1 o e 1 1 1 2 3 4 2 2 2 4 2 3 2 1 2 4 o e 5 2 1 2 3 4 3 3 3 4 3 2 3 1 3 4 o e 5 3 1 2 4 4 4 1 4 2 o e 4 14 Exemplo 2318 Calcular a ordem de cada elemento do grupo de Klein Vimos no Exemplo 215 que o grupo de Klein é e a b c e que 2 2 2 a b c e Logo 2 o a o b o c e 1 o e Portanto o grupo de Klein é um grupo abeliano não cíclico Exemplo 2319 Em temos 1 1 o 1 2 o 4 o i 4 o i e 1 3 3 2 2 o i 121 Lista de Exercícios 1 Verifique se H é subgrupo de G quando a G e 0 H x x b G e cos sen H i c G e 1 H i d 1 G x y x y x y e H 2 e G e 1 H z z f G e 2 H a b a b g 2 G GL e cos sen sen cos H h n G e 1 2 1 2 0 n n n H a a a a a a i n G e 1 2 n n i H a a a a 2 Determine todos os subgrupos de 4 e 8 3 Determine todos os subgrupos de 7 4 Verifique que se 1 H e 2 H são subgrupos de G então 1 2 H H é subgrupo de G 5 Apresente dois subgrupos 1 H e 2 H de um grupo G tais que 1 2 H H não é subgrupo de G Dica Exemplo 2312 6 Se H1 G H2 G e 1 2 H H ou 2 1 H H prove que 1 2 H H G 7 Calcule 3 Z S e Z K K grupo de Klein 122 8 Mostre que Gx a G a x x a é subgrupo do grupo G 9 Calcule o subgrupo gerado e a ordem de cada elemento de 4 10 Sejam e elemen tos do grupo Calcule o e o 11 Determine todos os geradores do grupo 26 12 Mostre que o grupo 2 2 com a operação usual do pro duto cartesiano é abeliano mas não é cíclico 13 Mostre que se p é número primo então todo elemento diferente de 0 em p tem ordem p 14 Descreva os elementos de 2 em 15 Determine G para n n G M e 2 2 2 G M 16 Mostre que o único elemento de ordem 1 em um grupo é o elemento neutro 17 Sejam G um grupo e x G Mostre que o x 2 se e so mente se 1 x x 123 Resumo do Capítulo Neste capítulo apresentamos os conceitos e os primeiros resul tados da teoria de grupos Os tópicos abordados foram As noções de grupo grupo abeliano e subgrupo As propriedades elementares dos elementos de um grupo Construção de exemplos de grupos Em particular os gru pos de rotações diedrais e de permutações Determinação dos subgrupos de Subgrupo gerado por um elemento Grupo cíclico Caracterização dos geradores de Ordem de um grupo e ordem de elemento do grupo Propriedades da ordem de um elemento