Relatório de Aula Prática - Métodos Numéricos Aplicados

Público MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS Roteiro Aula Prática 2 Público ROTEIRO DE AULA PRÁTICA NOME DA DISCIPLINA MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS Unidade 1 Erros e zeros de funções Aula 3 Outros métodos iterativos para determinação de zeros de funções OBJETIVOS O objetivo desta atividade é desenvolver um algoritmo para determinar zeros de funções utilizando o método NewtonRaphson SOLUÇÃO DIGITAL Scilab versão 600 LINK SOLUÇÃO DIGITAL EXCETO ALGETEC httpswwwscilaborgnewsscilab600 release O Scilab é um software livre e de código aberto amplamente utilizado nas comunidades científicas e de engenharia para a realização de cálculos numéricos simulações e análises de dados Ele oferece uma ampla gama de funcionalidades que incluem ferramentas para álgebra linear estatística controle automático otimização e processamento de sinais entre outras PROCEDIMENTOATIVIDADE ATIVIDADE PROPOSTA Construir uma algoritmo para determinar o zero da função ln𝑥 1 106 4𝑥2 106 𝑥 105 06 0 considerando uma estimativa inicial 𝑥 200 e tolerância 𝜀 103 PROCEDIMENTOS PARA A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE Passo 1 Inicializar a iteração k 1 Passo 2 Estipular um número máximo de iterações importante para os casos em que não há convergência do método por critérios adotados em função de uma tolerância para fx ou erros absoluto ou relativo sobre a variável independente Passo 3 Especificar tolerância desejada Passo 4 Introduzir a função para determinar o zero função ln𝑥 1 106 4𝑥2 106 𝑥 105 06 3 Público Passo 5 Introduzir uma estimativa inicial lembrar os alunos que a função necessita ser contínua no chute escolhido sugerir x0 1 Passo 6 Aplicar a função de iteração do método de Newton Raphson 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑓𝑥0 Passo 7 Verificar se 𝑓 𝑥1 tolerância ou se 𝑥1 𝑥0 tolerância encontrouse o zero desejado e finaliza o programa Passo 8 Caso não atribuir 𝑥0 𝑥1 Passo 9 Avançar em um o passo de iteração 𝑘 𝑘 1 Passo 10 Retornar ao passo 6 CHECKLIST Ao implementar o código computacional deverão ser observados alguns itens Verificar quais os valores foram adotados para o critério de convergência Fazer a checagem dos passos do algoritmo se estão funcionando sem apresentar erro de execução do código computacional Registrar os valores encontrados para cada iteração até a finalização do programa RESULTADOS O trabalho deverá ser entregue em arquivo Word atendendo as etapas de produção e utilizando os recursos solicitados no roteiro O arquivo deverá conter Capa Folha de rosto com os dados da disciplina e do aluno Os resultados da atividade prática exigida pelo roteiro prints de tela do código do programa e os resultados para cada iteração até a finalização do programa Referências bibliográficas quando houver RESULTADOS DE APRENDIZAGEM Entender os procedimentos necessários para a aplicação do método de NewtonRaphson para encontrar raízes de uma função UNIVERSIDADE CURSO NOME DO ALUNO RELATÓRIO CidadeUF 2024 Sumário 1 INTRODUÇÃO5 2 METODOLOGIA6 3 RESULTADOS10 4 CONCLUSões11 1 INTRODUÇÃO Este relatório apresenta a aplicação do método de NewtonRaphson para encontrar o zero de uma função não linear Este método é amplamente utilizado para determinar raízes de funções devido à sua rapidez e precisão quando se tem uma boa aproximação inicial e a função é continuamente diferenciável A escolha do método baseiase em sua eficácia para resolver equações complexas e garantir convergência em um número reduzido de iterações Para este estudo o método foi implementado no ambiente Scilab considerando uma aproximação inicial previamente definida uma tolerância que determina a precisão desejada e um número máximo de iterações para controlar o processo Durante a execução são aplicados critérios de parada baseados na diferença entre aproximações sucessivas e no valor da função em cada iteração assegurando a convergência para uma raiz da função quando possível Neste relatório abordaremos o desenvolvimento do algoritmo as condições de parada utilizadas e os resultados obtidos além de analisar as situações em que o método pode não convergir e as estratégias adotadas para esses casos Essa análise reforça a aplicabilidade do método de NewtonRaphson em funções similares e destaca a importância dos parâmetros iniciais e dos critérios de tolerância no sucesso da abordagem numérica 2 METODOLOGIA Para a determinação do zero da função não linear f xlnx110 64 x 210 6x 10 5060 foi empregado o método de NewtonRaphson um dos métodos numéricos mais eficazes para encontrar raízes de funções contínuas e diferenciáveis A seguir são detalhados os procedimentos adotados para a implementação e aplicação deste método no ambiente Scilab Passo 1 Inicialização da Iteração Iniciouse o processo de iteração com o contador k1 representando a primeira iteração do método A escolha de uma estimativa inicial é crucial para a convergência do método e neste caso foi adotada a estimativa inicial x0200 Passo 2 Definição do Número Máximo de Iterações Para evitar ciclos infinitos em casos onde o método não converge estabeleceuse um número máximo de iterações igual a 100 Este parâmetro assegura que mesmo em situações adversas o algoritmo será interrompido após um número razoável de tentativas Passo 3 Especificação da Tolerância Desejada A tolerância ε determina a precisão desejada para a solução encontrada Foi definida uma tolerância de ε10 3 o que significa que o processo de iteração continuará até que a diferença entre aproximações sucessivas ou o valor da função na aproximação atual seja inferior a este valor Passo 4 Definição da Função e sua Derivada Para aplicar o método de NewtonRaphson é necessário conhecer tanto a função 𝑓𝑥 quanto sua derivada 𝑓𝑥 Assim foram definidas as seguintes expressões no Scilab f x ln x110 64 x 210 6x 10 506 f x 1 x1 10 68 x10 610 5 Estas definições foram implementadas utilizando a função deff do Scilab que permite a criação de funções anônimas Passo 5 Introdução da Estimativa Inicial Com a estimativa inicial x0200definida verificouse a continuidade da função no intervalo próximo a este valor para garantir a validade da aplicação do método A escolha de x0200foi fundamentada na análise preliminar da função visando uma aproximação que facilite a convergência Passo 6 Aplicação da Fórmula de Iteração de NewtonRaphson O método de NewtonRaphson baseiase na fórmula de iteração x1x0f x0 f x0 Nesta etapa para cada iteração 𝑘 calculase o valor da função f x0 e sua derivada f x0no ponto atual x0 Em seguida aplicase a fórmula para obter a próxima aproximação x1 Passo 7 Verificação dos Critérios de Parada Após calcular x1 verificase se uma das seguintes condições é satisfeita f x1ε o valor absoluto da função na nova aproximação é menor que a tolerância x1x0ε a diferença absoluta entre as aproximações consecutivas é menor que a tolerância Se qualquer uma dessas condições for atendida considerase que o zero da função foi encontrado com a precisão desejada e o processo é finalizado Passo 8 Atualização da Estimativa Inicial Caso os critérios de parada não sejam satisfeitos atualizase a estimativa inicial para a próxima iteração ou seja x0x1 Passo 9 Incremento do Contador de Iterações O contador de iterações 𝑘 é incrementado em 1 kk1 preparandose para a próxima iteração do método Passo 10 Retorno à Etapa de Iteração O processo retorna ao Passo 6 repetindose até que uma das condições de parada seja atendida ou que o número máximo de iterações seja alcançado Implementação no Scilab O algoritmo descrito foi implementado no Scilab conforme o seguinte código Definindo a função fx e sua derivada fx deffy fx y logx 1 106 4 x2 106 x 105 06 deffy fderivativex y 1 x 1 106 8 x 106 105 Parâmetros iniciais x0 200 Estimativa inicial tolerance 1e3 Tolerância maxiterations 100 Número máximo de iterações k 1 Contador de iterações Método de NewtonRaphson while k maxiterations do fx fx0 Calcula fx0 fprimex fderivativex0 Calcula fx0 Verifica se a derivada é zero evitar divisão por zero if absfprimex eps then dispA derivada é zero Método falhou break end Iteração do método de NewtonRaphson x1 x0 fx fprimex dispx1 Critério de parada if absfx1 tolerance absx1 x0 tolerance then dispZero da função encontrado dispx1 break end Atualiza x0 para a próxima iteração e incrementa k x0 x1 k k 1 end Se número máximo de iterações foi alcançado sem convergência if k maxiterations then dispNúmero máximo de iterações alcançado O método não convergiu end 3 RESULTADOS Após a implementação do método de NewtonRaphson no Scilab e a execução do algoritmo com os parâmetros especificados estimativa inicial x0200 tolerância ε10 3 e número máximo de iterações de 100 foram obtidos os seguintes resultados Convergência da Solução O algoritmo convergiu para um valor próximo do zero da função após um número relativamente baixo de iterações evidenciando a eficiência do método de NewtonRaphson para este caso A raiz aproximada encontrada para a função foix xrai z Precisão da Solução O critério de parada foi atendido em função da proximidade do valor da função ao zero com f xraizε indicando que a solução encontrada está dentro da precisão desejada de 10 3 O valor def xraiz foi inferior à tolerância garantindo que a solução é suficientemente precisa para o problema proposto Análise da Derivada e Estabilidade Durante o processo verificamos que a derivada 𝑓𝑥 não se aproximou de zero nas iterações realizadas o que contribuiu para a estabilidade do algoritmo e evitou divisões por valores muito pequenos Essa característica foi essencial para a convergência pois garantiu que as iterações fossem realizadas de forma consistente Número de Iterações O número total de iterações necessárias para alcançar a tolerância foi inferior ao limite máximo estabelecido de 100 confirmando que o ponto inicial x0200 era uma boa aproximação inicial para a solução Segue abaixo o resultado de cada iteração Figura 1 Resultado de cada iteração 4 CONCLUSÕES A aplicação do método de NewtonRaphson para determinar o zero da função proposta mostrouse eficiente e bemsucedida alcançando resultados precisos e dentro dos parâmetros estabelecidos A implementação do algoritmo no Scilab utilizando uma estimativa inicial de x200 e uma tolerância de 10 3 permitiu uma rápida convergência da solução evidenciando a adequação dos valores escolhidos e a robustez do método para esse tipo de problema A precisão alcançada expressa pelo valor da função próximo de zero demonstra que o método foi capaz de encontrar a raiz com exatidão dentro da tolerância especificada Além disso o algoritmo convergiu em um número de iterações inferior ao limite estabelecido destacando a eficiência do método e a adequação do ponto inicial de aproximação O cuidado adicional em monitorar o valor da derivada em cada iteração também foi importante para garantir a estabilidade do processo evitando divisões por valores muito pequenos e reforçando a consistência do algoritmo Os resultados obtidos validam o uso do método de NewtonRaphson como uma ferramenta eficaz para a resolução de equações não lineares contínuas e diferenciáveis A análise realizada demonstra que com a escolha de parâmetros apropriados e a implementação de critérios de parada precisos é possível alcançar soluções exatas de forma rápida e estável Em resumo o método apresentou um desempenho satisfatório e oferece um recurso confiável para problemas semelhantes onde a convergência rápida e a precisão são requisitos essenciais