Aula Prática Análise e Processamento de Sinais

Público Análise e Processamento de Sinais Roteiro Aula Prática 2 Público ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 1 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 1 Fundamentos da análise de sinais Aula 2 Representação e propriedades básicas de sinais e sistemas OBJETIVOS Definição dos objetivos da aula prática Representar sinais no domínio do tempo aplicando operações de deslocamento e classificação com base em propriedades como periodicidade e continuidade SOLUÇÃO DIGITAL Octave O Octave é um software livre amplamente utilizado para cálculos numéricos simulações matemáticas e análises de dados com uma sintaxe compatível com o MATLAB Ele é ideal para estudantes e profissionais de engenharia matemática e ciências oferecendo ferramentas poderosas para processamento de sinais solução de equações diferenciais otimização e modelagem de sistemas Por ser de código aberto o Octave permite flexibilidade na personalização e uso em diferentes plataformas incluindo Windows macOS e Linux Seu ambiente interativo e rico em bibliotecas faz dele uma escolha acessível e eficiente para quem busca realizar análises computacionais avançadas sem custos de licenciamento Para obter o software acesse o link oficial de download httpsoctaveorgdownload PROCEDIMENTOS PRÁTICOS E APLICAÇÕES ProcedimentoAtividade nº 1 Representação e Análise de Sinais Atividade proposta Criar manipular e classificar sinais contínuos e discretos no tempo observando propriedades como periodicidade e alterações decorrentes de deslocamentos temporais Procedimentos para a realização da atividade Depois de instalar o Octave em seu computador ao abrilo irá se deparar com a tela a seguir 3 Público Os comandos podem ser digitados diretamente na janela de comandos um a um ou pode se montar um script onde uma série de comandos é executada automaticamente Esse formato é o mais recomendado quando se deseja executar vários comandos sequencialmente por várias vezes 4 Público Para realizar as práticas da disciplina você precisará da biblioteca de sinais adicionada no octave Na primeira que vez que abrir o software você pode instalala com o comando pkg install forge signal digitado diretamente na janela de comandos O software ficará processando o comando por algum tempo e irá aparecer uma mensagem indicando que a instalação ocorreu satisfatoriamente Uma vez instalado o pacote toda vez que iniciar o programa você deve carregar a biblioteca com o comando pkg load signal O octave possui uma vasta gama de comandos permitindo que ele possa ser utilizado em várias aplicações A listagem de todos os comandos e funções presentes no software pode ser encontrada em httpsoctavesourceforgeiooctaveoverviewhtml Os passos a seguir devem ser realizados no Octave e podem ser realizados em um único script Para resolvêlos faça pesquisas para concluir quais os comandos mais adequados e como eles devem ser utilizados para se resolver as etapas Gere um sinal contínuo definindo um sinal senoidal 𝒙𝒕 𝟓 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛑𝒇𝒕 onde 𝒇 𝟓𝟎 Hz variando t de 0 a 01 segundos com incremento de 1 ms Plote o gráfico de 𝒙𝒕 e insira legendas nos eixos Agora gere um sinal discreto 𝒙𝒏 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟒𝛑𝒏 com n variando de 0 a 20 Plote o gráfico do sinal discreto usando a função stem Faça uma análise dos sinais quanto à sua periodicidade e continuidade Desloque o sinal contínuo para 𝒙𝒕 𝟐 Plote o sinal deslocado e compare com o original Avaliando os resultados Nos seus resultados apresente os códigos executados no Octave com comentários linha a linha explicando cada um dos comandos Apresente também todos os gráficos gerados Além disso responda de forma detalhada as seguintes perguntas 1 O sinal contínuo é periódico Justifique 2 Qual foi o impacto do deslocamento no gráfico Checklist Gerar e plotar os sinais contínuo e discreto Classificar os sinais Aplicar deslocamento no sinal contínuo Plotar o sinal deslocado 5 Público RESULTADOS Resultados do experimento Ao final dessa aula prática você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento os cálculos realizados em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb Referências bibliográficas ABNT quando houver Resultados de Aprendizagem O aluno desenvolverá habilidades para criar manipular e analisar sinais no domínio do tempo identificando suas propriedades fundamentais como periodicidade continuidade e comportamento frente a operações de deslocamento temporal Essas competências permitirão compreender e classificar sinais reais fornecendo uma base sólida para estudos avançados em processamento de sinais 6 Público ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 2 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 3 Princípios de filtragem analógica e digital Aula 3 Introdução aos filtros digitais OBJETIVOS Definição dos objetivos da aula prática Projetar e aplicar filtros FIR para atenuação de ruídos em sinais de baixa frequência SOLUÇÃO DIGITAL Octave O Octave é um software livre amplamente utilizado para cálculos numéricos simulações matemáticas e análises de dados com uma sintaxe compatível com o MATLAB Ele é ideal para estudantes e profissionais de engenharia matemática e ciências oferecendo ferramentas poderosas para processamento de sinais solução de equações diferenciais otimização e modelagem de sistemas Por ser de código aberto o Octave permite flexibilidade na personalização e uso em diferentes plataformas incluindo Windows macOS e Linux Seu ambiente interativo e rico em bibliotecas faz dele uma escolha acessível e eficiente para quem busca realizar análises computacionais avançadas sem custos de licenciamento Para obter o software acesse o link oficial de download httpsoctaveorgdownload PROCEDIMENTOS PRÁTICOS E APLICAÇÕES ProcedimentoAtividade nº 1 Filtragem de Sinais Ruidosos Atividade proposta Simular sinais ruidosos e filtrálos com um filtro FIR passabaixa Procedimentos para a realização da atividade Os passos a seguir devem ser realizados no Octave e podem ser realizados em um único script Para resolvêlos faça pesquisas para concluir quais os comandos mais adequados e como eles devem ser utilizados para se resolver as etapas 7 Público Gere e plote o sinal 𝑥𝑡 2 sin2𝜋60𝑡 com t variando de 0 a 1 s com passo de 1 ms Adicione a ele um ruído branco wt e gere um novo gráfico do sinal com ruido Para gerar o ruido branco utilize a função randn Utilizando a função fir1 crie um filtro FIR passabaixa com frequência de corte em 70 Hz e 20 coeficientes Plote a resposta desse filtro utilizando a função freqz Aplique o filtro ao sinal e plote em uma mesma figura o sinal ruidoso e o filtrado Avaliando os resultados Nos seus resultados apresente os códigos executados no Octave com comentários linha a linha explicando cada um dos comandos Apresente também todos os gráficos gerados Além disso responda de forma detalhada as seguintes perguntas 1 O filtro foi eficaz na remoção do ruído 2 Quais frequências foram atenuadas Checklist Gerar o sinal original Gerar o ruido e adicionar ao sinal Criar o filtro FIR Filtrar e comparar os sinais RESULTADOS Resultados do experimento Ao final dessa aula prática você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento os cálculos realizados em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb Referências bibliográficas ABNT quando houver Resultados de Aprendizagem Os alunos compreenderão o funcionamento de filtros FIR projetando e aplicando filtros passa baixa para remover ruídos de sinais Essa prática consolidará conceitos de filtragem digital e sua aplicação em sistemas práticos como tratamento de sinais em ambientes ruidosos 8 Público ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 3 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 4 Introdução ao processamento digital de sinais Aula 2 O algoritmo FastFourier Transform FFT OBJETIVOS Definição dos objetivos da aula prática Estudar a decomposição de sinais em suas componentes de frequência e observar as diferenças entre sinais periódicos e aperiódicos no domínio da frequência SOLUÇÃO DIGITAL Octave O Octave é um software livre amplamente utilizado para cálculos numéricos simulações matemáticas e análises de dados com uma sintaxe compatível com o MATLAB Ele é ideal para estudantes e profissionais de engenharia matemática e ciências oferecendo ferramentas poderosas para processamento de sinais solução de equações diferenciais otimização e modelagem de sistemas Por ser de código aberto o Octave permite flexibilidade na personalização e uso em diferentes plataformas incluindo Windows macOS e Linux Seu ambiente interativo e rico em bibliotecas faz dele uma escolha acessível e eficiente para quem busca realizar análises computacionais avançadas sem custos de licenciamento Para obter o software acesse o link oficial de download httpsoctaveorgdownload PROCEDIMENTOS PRÁTICOS E APLICAÇÕES ProcedimentoAtividade nº 1 Decomposição de Sinais com FFT Atividade proposta Analisar sinais periódicos e aperiódicos aplicando a FFT para identificar suas componentes de frequência Procedimentos para a realização da atividade Os passos a seguir devem ser realizados no Octave e podem ser realizados em um único script Para resolvêlos faça pesquisas para concluir quais os comandos mais adequados e como eles devem ser utilizados para se resolver as etapas 9 Público Gere e plote os dois sinais elencados a seguir Sinal periódico 𝑥𝑡 3 sin2𝜋50𝑡 2 cos2𝜋100𝑡 variando t de 0 a 01 s com incremento de 01 ms Sinal aperiódico y𝑡 𝑒2𝑡 cos2𝜋30𝑡 para t 0 variando t de 0 a 1 s com incremento de 1 ms Utilizando a função fft obtenha a FFT de ambos os sinais Extraia as frequências de ambos os sinais e plote os espectros de magnitude Para cada um dos espectros identifique e apresente nos seus resultados as frequências predominantes Avaliando os resultados Nos seus resultados apresente os códigos executados no Octave com comentários linha a linha explicando cada um dos comandos Apresente também todos os gráficos gerados Além disso responda de forma detalhada as seguintes perguntas 1 Como o sinal periódico se diferencia do aperiódico no espectro 2 Qual é a importância da FFT na análise de sinais Checklist Definir e plotar os sinais periódico e aperiódico Calcular e plotar a FFT dos sinais Identificar frequências principais RESULTADOS Resultados do experimento Ao final dessa aula prática você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações obtidas no experimento os cálculos realizados em conjunto com um texto conclusivo a respeito das informações obtidas O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb Referências bibliográficas ABNT quando houver Resultados de Aprendizagem Ao final da prática os alunos serão capazes de aplicar a Transformada de Fourier para decompor sinais em suas componentes de frequência distinguindo espectros de sinais periódicos e aperiódicos Essa aprendizagem fortalecerá a compreensão do domínio da frequência e sua importância no projeto de sistemas de comunicação e filtragem ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 1 Nome da Disciplina Análise e Processamento de Sinais Unidade Fundamentos da análise de sinais Representação e propriedades básicas de sinais e sistemas A questão dá as seguintes instruções Gerar um sinal contínuo definindo um sinal senoidal 𝒙𝒕 𝟓 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛑𝒇𝒕 onde 𝒇 𝟓𝟎Hz variando t de 0 a 01 segundos com incremento de 1 ms Plote o gráfico de 𝒙𝒕 e insira legendas nos eixos Gerar um sinal discreto 𝒙𝒏 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟒𝛑𝒏 com n variando de 0 a 20 Plotar o gráfico do sinal discreto usando a função stem Fazer uma análise dos sinais quanto à sua periodicidade e continuidade Deslocar o sinal contínuo para 𝒙𝒕 𝟐 Plote o sinal deslocado e compare com o original Vamos ao programa no Octave Sinal Contínuo Definição dos parâmetros f 50 Frequência em Hz t 0000101 Vetor de tempo de 0 a 01 segundos com incremento de 1 ms Sinal contínuo xt 5 sin2π f t x 5 sin2 pi f t Plot do sinal contínuo figure plott x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Contínuo xt 5 sin2π50t grid on Sinal Discreto Definição do vetor de índices n 020 Sinal discreto xn 2 cos04π n xn 2 cos04 pi n Plot do sinal discreto usando stem figure stemn xn r filled xlabeln ylabelAmplitude titleSinal Discreto xn 2 cos04πn grid on Análise dos Sinais O sinal contínuo xt é definido para todo t e possui valor para cada instante dentro do intervalo considerado Como se trata de um senoide com f 50 Hz seu período é T 150 002 s ou seja é periódico O sinal discreto xn é definido apenas para n inteiros Para verificar sua periodicidade procuramos um inteiro N0 tal que 04π N0 2π k para algum inteiro k Tomando k 1 temos N0 2π04π 5 logo o sinal discreto é periódico com período 5 Quanto à continuidade xt é um sinal contínuo enquanto xn é um sinal discreto definido apenas para valores inteiros de n Sinal Contínuo Deslocado Deslocamento xt2 Note que xt2 5 sin2π50t2 5 sin2π50t 200π Como o seno é periódico com período 2π e 200π é múltiplo de 2π 200π 1002π temse que xt2 5 sin2π50t Assim o sinal deslocado coincide exatamente com o sinal original Mesmo assim vamos plotálos juntos para demonstrar o fato xshifted 5 sin2 pi f t 2 figure plott x b LineWidth 15 hold on plott xshifted r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleComparação xt vs xt2 legendxt xt2 grid on Observação Como 2 segundos correspondem a 100 períodos do sinal 2 002 100 a função xt2 é exatamente igual a xt Portanto os gráficos se sobrepõem Gráficos Sínal Contínuo Sinal discreto Comparação de Sinais Análise dos Sinais O sinal contínuo xt é definido para todo t e possui valor para cada instante dentro do intervalo considerado Como se trata de um senoide com f 50 Hz seu período é T 150 002 s ou seja é periódico O sinal discreto xn é definido apenas para n inteiros Para verificar sua periodicidade procuramos um inteiro N0 tal que 04π N0 2π k para algum inteiro k Tomando k 1 temos N0 2π04π 5 logo o sinal discreto é periódico com período 5 Quanto à continuidade xt é um sinal contínuo enquanto xn é um sinal discreto definido apenas para valores inteiros de n Sinal Contínuo Deslocado Deslocamento xt2 Note que xt2 5 sin2π50t2 5 sin2π50t 200π Como o seno é periódico com período 2π e 200π é múltiplo de 2π 200π 1002π temse que xt2 5 sin2π50t Assim o sinal deslocado coincide exatamente com o sinal original Mesmo assim vamos plotálos juntos para demonstrar o fato ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 2 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 3 Princípios de filtragem analógica e digital Aula 3 Introdução aos filtros digitais A questão dá as seguintes instruções Gerar e plotar o sinal 𝑥𝑡 2 sin2𝜋60𝑡 com t variando de 0 a 1 s com passo de 1 ms Adicione a ele um ruído branco wt e gere um novo gráfico do sinal com ruido Para gerar o ruido branco utilize a função randn Utilizar a função fir1 criar um filtro FIR passabaixa com frequência de corte em 70 Hz e 20 coeficientes Plote a resposta desse filtro utilizando a função freqz Aplicar o filtro ao sinal e plote em uma mesma figura o sinal ruidoso e o filtrado Programa Octave Parâmetros Gerais fs 1000 Frequência de amostragem Hz t 01fs1 Vetor de tempo de 0 a 1 s com passo de 1 ms 1 Geração e Plot do Sinal com Ruído Sinal original xt 2sin2pi60t x 2 sin2 pi 60 t Plot do sinal original opcional figure plott x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Original xt 2 sin2π60t grid on Geração do ruído branco utilizando randn noise randnsizet Sinal com ruído soma do sinal original com o ruído branco xnoise x noise Plot do sinal com ruído figure plott xnoise r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal com Ruído xt wt grid on 2 Projeto do Filtro FIR PassaBaixa Definindo a frequência de corte em 70 Hz Para o fir1 a frequência de corte deve ser normalizada em relação a fs2 cutoff 70 fs2 cutoff normalizado Para obter 20 coeficientes usamos uma ordem de 19 ordem número de coeficientes 1 norder 19 b fir1norder cutoff Coeficientes do filtro FIR Plot da resposta em frequência do filtro utilizando freqz figure freqzb 1 512 fs titleResposta em Frequência do Filtro FIR PassaBaixa 3 Aplicação do Filtro e Comparação dos Sinais Filtragem do sinal ruidoso xfilt filterb 1 xnoise Plot dos sinais ruidoso e filtrado na mesma figura para comparação figure plott xnoise r LineWidth 1 hold on plott xfilt b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude ylim6 6 titleComparação Sinal com Ruído e Sinal Filtrado legendSinal com Ruído Sinal Filtrado grid on Gráficos O filtro foi eficaz na remoção do ruído Sim Como o sinal desejado possui frequência de 60 Hz e o filtro passabaixa foi projetado com frequência de corte em 70 Hz as componentes de alta frequência acima de 70 Hz presentes no ruído foram atenuadas Assim o sinal filtrado preserva a onda de 60 Hz enquanto as frequências indesejadas do ruído são significativamente reduzidas Quais frequências foram atenuadas O filtro atenua principalmente as frequências acima de 70 Hz Dessa forma componentes de alta frequência típicas de um ruído branco são removidas ou reduzidas permitindo que a componente de 60 Hz e outras abaixo de 70 Hz seja mantida praticamente intacta ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 3 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 4 Introdução ao processamento digital de sinais Aula 2 O algoritmo FastFourier Transform FFT A questão dá as seguintes instruções Gerar e plotar os dois sinais elencados a seguir Sinal periódico 𝑥𝑡 3 sin2𝜋50𝑡 2 cos2𝜋100𝑡 variando t de 0 a 01 s com incremento de 01 ms Sinal aperiódico y𝑡 𝑒2𝑡 cos2𝜋30𝑡 para t 0 variando t de 0 a 1 s com incremento de 1 ms Utilizando a função fft obter FFT de ambos os sinais Extrair as frequências de ambos os sinais e plote os espectros de magnitude Para cada um dos espectros identificar e apresentar nos resultados as frequências predominantes Programa Octave 1 Geração e Plot dos Sinais Sinal periódico xt 3 sin2π50t 2 cos2π100t t varia de 0 a 01 s com incremento de 01 ms 00001 s dt1 01e3 incremento de 01 ms t1 0dt101 vetor tempo para o sinal periódico x 3sin2pi50t1 2cos2pi100t1 figure plott1 x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Periódico xt 3 sin2π50t 2 cos2π100t grid on Sinal aperiódico yt e2t cos2π30t t varia de 0 a 1 s com incremento de 1 ms 0001 s dt2 1e3 incremento de 1 ms t2 0dt21 vetor tempo para o sinal aperiódico y exp2t2 cos2pi30t2 figure plott2 y r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Aperiódico yt e2t cos2π30t grid on 2 Cálculo da FFT e Plot dos Espectros de Magnitude FFT do Sinal Periódico N1 lengthx fs1 1dt1 Frequência de amostragem 100001 10000 Hz X fftx Vetor de frequências para o espectro f1 0N11fs1N1 Como o sinal é real plotase apenas até a metade dos pontos frequências positivas halfN1 floorN12 1 magnitudeX absX1halfN1 figure plotf11halfN1 magnitudeX b LineWidth 15 xlabelFrequência Hz ylabelMagnitude titleEspectro de Magnitude Sinal Periódico grid on FFT do Sinal Aperiódico N2 lengthy fs2 1dt2 Frequência de amostragem 10001 1000 Hz Y ffty f2 0N21fs2N2 halfN2 floorN22 1 magnitudeY absY1halfN2 figure plotf21halfN2 magnitudeY r LineWidth 15 xlabelFrequência Hz ylabelMagnitude titleEspectro de Magnitude Sinal Aperiódico grid on 3 Identificação das Frequências Predominantes Para identificar os picos no espectro utilizase a função findpeaks No sinal periódico esperase picos em 50 Hz e 100 Hz pksx locsx findpeaksmagnitudeX f11halfN1 dispFrequências predominantes no sinal periódico displocsx No sinal aperiódico apesar do envelope exponencial a componente cossenoidal gera um pico em torno de 30 Hz pksy locsy findpeaksmagnitudeY f21halfN2 dispFrequências predominantes no sinal aperiódico displocsy Comentários dos Resultados No sinal periódico os picos identificados confirmam a presença de componentes em aproximadamente 50 Hz e 100 Hz No sinal aperiódico o pico predominante ocorre em torno de 30 Hz que é a frequência da componente cossenoidal embora o decaimento exponencial introduza uma dispersão espectral Gráficos Espectro de Magnitude Sinal Periódico Magnitude Frequência Hz Espectro de Magnitude Sinal Aperiódico Magnitude Frequência Hz Perguntas 1 Diferenças no Espectro Sinal Periódico vs Sinal Aperiódico Sinal Periódico O sinal xt3sin2π50t2cos2π100txt é composto por duas senóides puras com frequências bem definidas 50 Hz e 100 Hz No domínio da frequência isso se reflete na presença de picos ou linhas espectrais bem nítidos e concentrados exatamente nessas frequências Em outras palavras a energia do sinal está concentrada em pontos discretos como ocorre com qualquer sinal periódico que pode ser representado por uma série de Fourier com coeficientes não nulos apenas para as frequências harmônicas Sinal Aperiódico O sinal yt e2tcos2pi30t é um sinal modulada por um envelope exponencial o que faz com que ele não seja periódico ou seja ele decai com o tempo Essa característica de decaimento no tempo faz com que o espectro de frequência não seja composto de picos discretos mas sim de uma distribuição contínua ao redor da frequência central neste caso aproximadamente 30 Hz O envelope exponencial introduz uma broadening espalhamento na resposta em frequência fazendo com que a energia se distribua em uma faixa de frequências ao invés de se concentrar em um único valor 2 Importância da FFT na Análise de Sinais Transformação de Domínio A FFT Fast Fourier Transform é um algoritmo eficiente para computar a Transformada Discreta de Fourier DFT Ela permite converter um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência de maneira rápida e precisa Essa transformação é essencial porque muitos aspectos importantes de um sinal como componentes harmônicas ruídos e padrões de modulação são mais facilmente identificados e analisados no domínio da frequência Análise Espectral Com a FFT é possível identificar quais frequências estão presentes em um sinal determinar a intensidade magnitude de cada componente e verificar a presença de interferências ou ruídos Isso auxilia em diversas aplicações como filtragem de sinais diagnóstico de sistemas processamento de áudio análise de vibrações entre outros Eficiência Computacional A FFT reduz significativamente o tempo de processamento em comparação com a implementação direta da DFT especialmente quando se trabalha com grandes conjuntos de dados Essa eficiência permite a análise em tempo real de sinais em aplicações práticas ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 1 Nome da Disciplina Análise e Processamento de Sinais Unidade Fundamentos da análise de sinais Representação e propriedades básicas de sinais e sistemas A questão dá as seguintes instruções Gerar um sinal contínuo definindo um sinal senoidal 𝒙𝒕 𝟓 𝐬𝐢𝐧𝟐𝛑𝒇𝒕 onde 𝒇 𝟓𝟎Hz variando t de 0 a 01 segundos com incremento de 1 ms Plote o gráfico de 𝒙𝒕 e insira legendas nos eixos Gerar um sinal discreto 𝒙𝒏 𝟐 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟒𝛑𝒏 com n variando de 0 a 20 Plotar o gráfico do sinal discreto usando a função stem Fazer uma análise dos sinais quanto à sua periodicidade e continuidade Deslocar o sinal contínuo para 𝒙𝒕 𝟐 Plote o sinal deslocado e compare com o original Vamos ao programa no Octave Sinal Contínuo Definição dos parâmetros f 50 Frequência em Hz t 0000101 Vetor de tempo de 0 a 01 segundos com incremento de 1 ms Sinal contínuo xt 5 sin2π f t x 5 sin2 pi f t Plot do sinal contínuo figure plott x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Contínuo xt 5 sin2π50t grid on Sinal Discreto Definição do vetor de índices n 020 Sinal discreto xn 2 cos04π n xn 2 cos04 pi n Plot do sinal discreto usando stem figure stemn xn r filled xlabeln ylabelAmplitude titleSinal Discreto xn 2 cos04πn grid on Análise dos Sinais O sinal contínuo xt é definido para todo t e possui valor para cada instante dentro do intervalo considerado Como se trata de um senoide com f 50 Hz seu período é T 150 002 s ou seja é periódico O sinal discreto xn é definido apenas para n inteiros Para verificar sua periodicidade procuramos um inteiro N0 tal que 04π N0 2π k para algum inteiro k Tomando k 1 temos N0 2π04π 5 logo o sinal discreto é periódico com período 5 Quanto à continuidade xt é um sinal contínuo enquanto xn é um sinal discreto definido apenas para valores inteiros de n Sinal Contínuo Deslocado Deslocamento xt2 Note que xt2 5 sin2π50t2 5 sin2π50t 200π Como o seno é periódico com período 2π e 200π é múltiplo de 2π 200π 1002π temse que xt2 5 sin2π50t Assim o sinal deslocado coincide exatamente com o sinal original Mesmo assim vamos plotálos juntos para demonstrar o fato xshifted 5 sin2 pi f t 2 figure plott x b LineWidth 15 hold on plott xshifted r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleComparação xt vs xt2 legendxt xt2 grid on Observação Como 2 segundos correspondem a 100 períodos do sinal 2 002 100 a função xt2 é exatamente igual a xt Portanto os gráficos se sobrepõem Gráficos Sínal Contínuo Sinal discreto Comparação de Sinais Análise dos Sinais O sinal contínuo xt é definido para todo t e possui valor para cada instante dentro do intervalo considerado Como se trata de um senoide com f 50 Hz seu período é T 150 002 s ou seja é periódico O sinal discreto xn é definido apenas para n inteiros Para verificar sua periodicidade procuramos um inteiro N0 tal que 04π N0 2π k para algum inteiro k Tomando k 1 temos N0 2π04π 5 logo o sinal discreto é periódico com período 5 Quanto à continuidade xt é um sinal contínuo enquanto xn é um sinal discreto definido apenas para valores inteiros de n Sinal Contínuo Deslocado Deslocamento xt2 Note que xt2 5 sin2π50t2 5 sin2π50t 200π Como o seno é periódico com período 2π e 200π é múltiplo de 2π 200π 1002π temse que xt2 5 sin2π50t Assim o sinal deslocado coincide exatamente com o sinal original Mesmo assim vamos plotálos juntos para demonstrar o fato ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 2 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 3 Princípios de filtragem analógica e digital Aula 3 Introdução aos filtros digitais A questão dá as seguintes instruções Gerar e plotar o sinal 𝑥𝑡 2 sin2𝜋60𝑡 com t variando de 0 a 1 s com passo de 1 ms Adicione a ele um ruído branco wt e gere um novo gráfico do sinal com ruido Para gerar o ruido branco utilize a função randn Utilizar a função fir1 criar um filtro FIR passabaixa com frequência de corte em 70 Hz e 20 coeficientes Plote a resposta desse filtro utilizando a função freqz Aplicar o filtro ao sinal e plote em uma mesma figura o sinal ruidoso e o filtrado Programa Octave Parâmetros Gerais fs 1000 Frequência de amostragem Hz t 01fs1 Vetor de tempo de 0 a 1 s com passo de 1 ms 1 Geração e Plot do Sinal com Ruído Sinal original xt 2sin2pi60t x 2 sin2 pi 60 t Plot do sinal original opcional figure plott x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Original xt 2 sin2π60t grid on Geração do ruído branco utilizando randn noise randnsizet Sinal com ruído soma do sinal original com o ruído branco xnoise x noise Plot do sinal com ruído figure plott xnoise r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal com Ruído xt wt grid on 2 Projeto do Filtro FIR PassaBaixa Definindo a frequência de corte em 70 Hz Para o fir1 a frequência de corte deve ser normalizada em relação a fs2 cutoff 70 fs2 cutoff normalizado Para obter 20 coeficientes usamos uma ordem de 19 ordem número de coeficientes 1 norder 19 b fir1norder cutoff Coeficientes do filtro FIR Plot da resposta em frequência do filtro utilizando freqz figure freqzb 1 512 fs titleResposta em Frequência do Filtro FIR PassaBaixa 3 Aplicação do Filtro e Comparação dos Sinais Filtragem do sinal ruidoso xfilt filterb 1 xnoise Plot dos sinais ruidoso e filtrado na mesma figura para comparação figure plott xnoise r LineWidth 1 hold on plott xfilt b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude ylim6 6 titleComparação Sinal com Ruído e Sinal Filtrado legendSinal com Ruído Sinal Filtrado grid on Gráficos O filtro foi eficaz na remoção do ruído Sim Como o sinal desejado possui frequência de 60 Hz e o filtro passabaixa foi projetado com frequência de corte em 70 Hz as componentes de alta frequência acima de 70 Hz presentes no ruído foram atenuadas Assim o sinal filtrado preserva a onda de 60 Hz enquanto as frequências indesejadas do ruído são significativamente reduzidas Quais frequências foram atenuadas O filtro atenua principalmente as frequências acima de 70 Hz Dessa forma componentes de alta frequência típicas de um ruído branco são removidas ou reduzidas permitindo que a componente de 60 Hz e outras abaixo de 70 Hz seja mantida praticamente intacta ROTEIRO DE AULA PRÁTICA 3 NOME DA DISCIPLINA Análise e Processamento de Sinais Unidade 4 Introdução ao processamento digital de sinais Aula 2 O algoritmo Fast Fourier Transform FFT A questão dá as seguintes instruções Gerar e plotar os dois sinais elencados a seguir Sinal periódico 𝑥𝑡 3 sin2𝜋50𝑡 2 cos2𝜋100𝑡 variando t de 0 a 01 s com incremento de 01 ms Sinal aperiódico y𝑡 𝑒2𝑡 cos2𝜋30𝑡 para t 0 variando t de 0 a 1 s com incremento de 1 ms Utilizando a função fft obter FFT de ambos os sinais Extrair as frequências de ambos os sinais e plote os espectros de magnitude Para cada um dos espectros identificar e apresentar nos resultados as frequências predominantes Programa Octave 1 Geração e Plot dos Sinais Sinal periódico xt 3 sin2π50t 2 cos2π100t t varia de 0 a 01 s com incremento de 01 ms 00001 s dt1 01e3 incremento de 01 ms t1 0dt101 vetor tempo para o sinal periódico x 3sin2pi50t1 2cos2pi100t1 figure plott1 x b LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Periódico xt 3 sin2π50t 2 cos2π100t grid on Sinal aperiódico yt e2t cos2π30t t varia de 0 a 1 s com incremento de 1 ms 0001 s dt2 1e3 incremento de 1 ms t2 0dt21 vetor tempo para o sinal aperiódico y exp2t2 cos2pi30t2 figure plott2 y r LineWidth 15 xlabelTempo s ylabelAmplitude titleSinal Aperiódico yt e2t cos2π30t grid on 2 Cálculo da FFT e Plot dos Espectros de Magnitude FFT do Sinal Periódico N1 lengthx fs1 1dt1 Frequência de amostragem 100001 10000 Hz X fftx Vetor de frequências para o espectro f1 0N11fs1N1 Como o sinal é real plotase apenas até a metade dos pontos frequências positivas halfN1 floorN12 1 magnitudeX absX1halfN1 figure plotf11halfN1 magnitudeX b LineWidth 15 xlabelFrequência Hz ylabelMagnitude titleEspectro de Magnitude Sinal Periódico grid on FFT do Sinal Aperiódico N2 lengthy fs2 1dt2 Frequência de amostragem 10001 1000 Hz Y ffty f2 0N21fs2N2 halfN2 floorN22 1 magnitudeY absY1halfN2 figure plotf21halfN2 magnitudeY r LineWidth 15 xlabelFrequência Hz ylabelMagnitude titleEspectro de Magnitude Sinal Aperiódico grid on 3 Identificação das Frequências Predominantes Para identificar os picos no espectro utilizase a função findpeaks No sinal periódico esperase picos em 50 Hz e 100 Hz pksx locsx findpeaksmagnitudeX f11halfN1 dispFrequências predominantes no sinal periódico displocsx No sinal aperiódico apesar do envelope exponencial a componente cossenoidal gera um pico em torno de 30 Hz pksy locsy findpeaksmagnitudeY f21halfN2 dispFrequências predominantes no sinal aperiódico displocsy Comentários dos Resultados No sinal periódico os picos identificados confirmam a presença de componentes em aproximadamente 50 Hz e 100 Hz No sinal aperiódico o pico predominante ocorre em torno de 30 Hz que é a frequência da componente cossenoidal embora o decaimento exponencial introduza uma dispersão espectral Gráficos Sinal Aperiódico yt e2t cos2π30t Amplitude Tempo s Espectro de Magnitude Sinal Periódico Magnitude Frequência Hz Perguntas 1 Diferenças no Espectro Sinal Periódico vs Sinal Aperiódico Sinal Periódico O sinal xt3sin2π50t2cos2π100txt é composto por duas senóides puras com frequências bem definidas 50 Hz e 100 Hz No domínio da frequência isso se reflete na presença de picos ou linhas espectrais bem nítidos e concentrados exatamente nessas frequências Em outras palavras a energia do sinal está concentrada em pontos discretos como ocorre com qualquer sinal periódico que pode ser representado por uma série de Fourier com coeficientes não nulos apenas para as frequências harmônicas Sinal Aperiódico O sinal yt e2tcos2pi30t é um sinal modulada por um envelope exponencial o que faz com que ele não seja periódico ou seja ele decai com o tempo Essa característica de decaimento no tempo faz com que o espectro de frequência não seja composto de picos discretos mas sim de uma distribuição contínua ao redor da frequência central neste caso aproximadamente 30 Hz O envelope exponencial introduz uma broadening espalhamento na resposta em frequência fazendo com que a energia se distribua em uma faixa de frequências ao invés de se concentrar em um único valor 2 Importância da FFT na Análise de Sinais Transformação de Domínio A FFT Fast Fourier Transform é um algoritmo eficiente para computar a Transformada Discreta de Fourier DFT Ela permite converter um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência de maneira rápida e precisa Essa transformação é essencial porque muitos aspectos importantes de um sinal como componentes harmônicas ruídos e padrões de modulação são mais facilmente identificados e analisados no domínio da frequência Análise Espectral Com a FFT é possível identificar quais frequências estão presentes em um sinal determinar a intensidade magnitude de cada componente e verificar a presença de interferências ou ruídos Isso auxilia em diversas aplicações como filtragem de sinais diagnóstico de sistemas processamento de áudio análise de vibrações entre outros Eficiência Computacional A FFT reduz significativamente o tempo de processamento em comparação com a implementação direta da DFT especialmente quando se trabalha com grandes conjuntos de dados Essa eficiência permite a análise em tempo real de sinais em aplicações práticas