Exercícios Resolvidos Topologia Limites e Continuidade de Funções

3 A partir do estudo da classificação de conjuntos conforme os conceitos da topologia complete as lacunas das afirmações a seguir de modo a tornálas descrições corretas a respeito dos intervalos em estudo I A 0 3 é um intervalo de números reais composto somente por pontos II B 1 2 é um intervalo de números reais que ser classificado como um conjunto fechado III C 4 5 é um intervalo de números reais classificado como conjunto IV D 0 2 é um intervalo de números reais que por todos os seus pontos aderentes V E 2 4 é um intervalo de números reais ser classificado como um conjunto discreto Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas Alternativas a I aderentes II não pode III fechado IV não é composto V pode b I de acumulação II pode III compacto IV é composto V pode c I interiores II pode III aberto IV é composto V não pode d I aderentes II pode III limitado VI é composto V pode e I interiores II não pode III compacto IV não é composto V não pode 2 Considerando a definição de limite e continuidade de funções julgue as afirmações seguintes classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Para o estudo da continuidade de funções em um ponto basta que esse elemento seja um ponto de acumulação não sendo necessário que ele pertença ao domínio da função II Toda função contínua em pelo menos um ponto de acumulação de seu domínio será contínua em todos os pontos de seu domínio III Para que uma função f seja contínua em um ponto x de seu domínio é necessário que o limite da função f no ponto x exista e seja igual a fx IV Se uma função é contínua em seu domínio então ela não admite nenhum ponto de descontinuidade em seu domínio Assinale a alternativa que indica a sequência correta Alternativas a V V F V b V F F F c V V F F d F F V V e F V F V 4 Para a interpretação de funções e suas propriedades um dos conceitos primordiais é o de limite A partir dele podemos compreender o comportamento de funções em pontos de seu domínio inclusive ao redor de pontos que não fazem parte de seu domínio mas que são pontos de acumulação do mesmo Diante dessa temática vamos estudar o limite a seguir com base na definição lim x3 2x 1 5 Para que esse estudo possa ser realizado precisamos analisar ε e δ convenientes de tal forma a validar a definição e sendo assim comprovar o limite em questão Nesse sentido dado ε 0 qualquer qual deve ser a expressão de δ correspondente para a validação do limite apresentado Alternativas a δ ε b δ 2ε c δ ε2 d δ ε2 e δ ε 2 1 O estudo das derivadas de funções pode ser motivado por diferentes contextos como por exemplo a análise das taxas de variações de funções o que pode estar relacionados a modelos matemáticos no estudo de problemas reais No entanto para o estudo dessas derivadas é essencial o conhecimento das regras de derivação e a identificações das funções nas quais cada uma delas podem ser aplicadas Diante desses conhecimentos associe as funções presentes na coluna A com as regras de derivação correspondentes presentes na coluna B considerando o principal procedimento empregado na determinação da derivada de cada função dada Assinale a alternativa que indica as associações corretas Assinale a alternativa que indica as associações corretas Alternativas a f I g II h IV j III b f II g IV h I j III c f III g I h II j IV d f IV g I h III j II e f IV g III h I j II 5 Considere a função real dada por fx x³3 x²2 2x 1 Em relação a essa função analise as seguintes afirmações I A função f admite como pontos críticos os valores x 35 e x 05 II A função f admite como pontos críticos os valores x 2 e x 1 III A função f admite um ponto de mínimo local em x 1 IV A função f admite um ponto de máximo local em x 35 Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I b I e III c I e IV d II e III e II e IV Assinale a alternativa que indica as associações corretas Alternativas a f I g II h IV j III b f II g IV h I j III c f III g I h II j IV d f IV g I h III j II e f IV g III h I j II 2 Considerando a definição de limite e continuidade de funções julgue as afirmações seguintes classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Para o estudo da continuidade de funções em um ponto basta que esse elemento seja um ponto de acumulação não sendo necessário que ele pertença ao domínio da função II Toda função contínua em pelo menos um ponto de acumulação de seu domínio será contínua em todos os pontos de seu domínio III Para que uma função f seja contínua em um ponto x de seu domínio é necessário que o limite da função f no ponto x exista e seja igual a fx IV Se uma função é contínua em seu domínio então ela não admite nenhum ponto de descontinuidade em seu domínio Assinale a alternativa que indica a sequência correta Alternativas a V V F V b V F F F c V V F F d F F V V e F V F V 3 A partir do estudo da classificação de conjuntos conforme os conceitos da topologia complete as lacunas das afirmações a seguir de modo a tornálas descrições corretas a respeito dos intervalos em estudo I A 0 3 é um intervalo de números reais composto somente por pontos II B 1 2 é um intervalo de números reais que ser classificado como um conjunto fechado III C 4 5 é um intervalo de números reais classificado como conjunto IV D 0 2 é um intervalo de números reais que por todos os seus pontos aderentes V E 2 4 é um intervalo de números reais ser classificado como um conjunto discreto Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas Alternativas a I aderentes II não pode III fechado IV não é composto V pode b I de acumulação II pode III compacto IV é composto V pode c I interiores II pode III aberto IV é composto V não pode d I aderentes II pode III limitado IV é composto V pode e I interiores II não pode III compacto IV não é composto V não pode 4 Para a interpretação de funções e suas propriedades um dos conceitos primordiais é o de limite A partir dele podemos compreender o comportamento de funções em pontos de seu domínio inclusive ao redor de pontos que não fazem parte de seu domínio mas que são pontos de acumulação do mesmo Diante dessa temática vamos estudar o limite a seguir com base na definição limx 3 2x 1 5 Para que esse estudo possa ser realizado precisamos analisar ε e δ convenientes de tal forma a validar a definição e sendo assim comprovar o limite em questão Nesse sentido dado ε 0 qualquer qual deve ser a expressão de δ correspondente para a validação do limite apresentado Alternativas a δ ε b δ 2ε c δ ε2 d δ ε² e δ ε 2 5 Considere a função real dada por fx x³3 x²2 2x 1 Em relação a essa função analise as seguintes afirmações I A função f admite como pontos críticos os valores x 35 e x 05 II A função f admite como pontos críticos os valores x 2 e x 1 III A função f admite um ponto de mínimo local em x 1 IV A função f admite um ponto de máximo local em x 35 Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I b I e III c I e IV d II e III e II e IV Assinale a alternativa que indica as associações corretas Alternativas a f I g II h IV j III b f II g IV h I j III c f III g I h II j IV d f IV g I h III j II e f IV g III h I j II 2 Considerando a definição de limite e continuidade de funções julgue as afirmações seguintes classificandoas como verdadeiras V ou falsas F I Para o estudo da continuidade de funções em um ponto basta que esse seja um ponto de acumulação não sendo necessário que ele pertença ao domínio da função II Toda função contínua em pelo menos um ponto de acumulação de seu domínio será contínua em todos os pontos de seu domínio III Para que uma função f seja contínua em um ponto x de seu domínio é necessário que o limite da função f no ponto x exista e seja igual a fx IV Se uma função é contínua em seu domínio então ela não admite nenhum ponto de descontinuidade em seu domínio Assinale a alternativa que indica a sequência correta Alternativas a V V F V b V F F F c V V F F d F F V V e F V F V 3 A partir do estudo da classificação de conjuntos conforme os conceitos da topologia complete as lacunas das afirmações a seguir de modo a tornálas descrições corretas a respeito dos intervalos em estudo I A 0 3 é um intervalo de números reais composto somente por pontos II B 1 2 é um intervalo de números reais que ser classificado como um conjunto fechado III C 4 5 é um intervalo de números reais classificado como conjunto IV D 0 2 é um intervalo de números reais que por todos os seus pontos aderentes V E 2 4 é um intervalo de números reais ser classificado como um conjunto discreto Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas Alternativas a I aderentes II não pode III fechado IV não é composto V pode b I de acumulação II pode III compacto IV é composto V pode c I interiores II pode III aberto IV é composto V não pode d I aderentes II pode III limitado IV é composto V pode e I interiores II não pode III compacto IV não é composto V não pode 4 Para a interpretação de funções e suas propriedades um dos conceitos primordiais é o de limite A partir dele podemos compreender o comportamento de funções em pontos de seu domínio inclusive ao redor de pontos que não fazem parte de seu domínio mas que são pontos de acumulação do mesmo Diante dessa temática vamos estudar o limite a seguir com base na definição Para que esse estudo possa ser realizado precisamos analisar ε e δ convenientes de tal forma a validar a definição e sendo assim comprovar o limite em questão Nesse sentido dado ε 0 qualquer qual deve ser a expressão de δ correspondente para a validação do limite apresentado Alternativas a δ ε b δ 2ε c δ ε2 d δ ε² e δ ε 2 5 Considere a função real dada por fx x33 x22 2x 1 Em relação a essa função analise as seguintes afirmações I A função f admite como pontos críticos os valores x 35 e x 05 II A função f admite como pontos críticos os valores x 2 e x 1 III A função f admite um ponto de mínimo local em x 1 IV A função f admite um ponto de máximo local em x 35 Está correto o que se afirma apenas em Alternativas a I b I e III c I e IV d II e III e II e IV