Distribuição Normal e tStudent - Aula 08

Métodos Quantitativos em Processos Decisórios AULA 08 Distribuição Normal e tStudent Profa Anna Célia Affonso dos Santos Importância da distribuição normal Retrata com boa aproximação as distribuições de frequência de muitos fenômenos naturais e físicos Serve como aproximação das probabilidades binomiais sim ou não quando n é grande Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras o que tem relevante implicação na amostragem a mais importante Cálculos utilizando a distribuição Normal A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos µ a b P a x b área hachurada sob a curva Distribuição Normal e escoreZ A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões z Normal padronizada Normal não padronizada z x µ µ x 0 z P P Escala efetiva x Escala padronizada 70 80 90 100 110 120 130 3 2 1 0 1 2 3 µ 1000 100 escala efetiva escala padronizada Como calcular o valor z 22 4 22 0 0 18 3 135 45 15 Como calcular Z µ x x µ x µ z média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa 40 1 42 2 2 30 25 375 75 3 37 38 39 40 41 42 43 escala efetiva 3 2 1 0 1 2 3 42 401 2 S 1 25 2 23 2 1 Distribuição Normal Consultando a tabela 11 10 00 01 02 03 04 05 06 12 125 03944 olhando a tabela Distribuição Normal Consultando a tabela Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões z área entre a média e z 100 03413 150 04332 213 04834 277 04972 área tabelada área desejada 0 z Escore Z Consultando a tabela z P0 x z Px z 05 P0 x z 0 z área desejada 05 área tabelada área tabelada Distribuição Normal Cálculo de Probabilidade Determinando a área entre dois pontos quaisquer Exemplos Determinando a área probabilidade sob a curva entre dois pontos entorno da média 01359 0 1 2 03413 04772 1 0 1 03413 03413 Estimação usando distribuição normal A tabela de probabilidades da distribuição normal padrão pode ser utilizada para encontrar probabilidades associadas a valores da variável aleatória normal padrão z Dois tipos de questão podem ser efetuadas 1º Especifico um valor ou valores para z e determino as áreas de probabilidade 2º A questão fornece uma área ou probabilidade e identifico o valor de z correspondente Vamos praticar a criação de hipóteses As hipóteses podem ter várias formas Onde µ0 é o valor numérico específico que está sendo considerado nas hipóteses nula e alternativa As hipóteses alternativas sempre são o complemento da hipótese nula Teste 1 Bilateral 2 Unilateral 21 À direita 22 À esquerda H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 1º Especifico um valor ou valores para z e determino as áreas de probabilidade Após 28 dias de curagem o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desviopadrão de 120psi Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi Caso Resistência de cimento Situação atual Hipótese que eu quero testar HO Resistência compressiva 3800 psi H1 Resistência compressiva 3850 psi Após 28 dias de cura o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desviopadrão de 120psi Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi 1056 01056 1 25 Z P 3850 4000 Escala efetiva Área em vermelho z 125 03944 Área desejada 050 03944 01056 1056 1 25 120 4000 3850 X z Caso Resistência de cimento HO Resistência compressiva 3800 psi H1 Resistência compressiva 3850 psi Unilateral à esquerda Média 4000 psi Desvio Padrão 120 psi Ponto X 3850 psi Pz 125 125 0 Escala padronizada Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desviopadrão de 15 dias Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro Caso Vida média de lâmpada Para a lâmpada ser substituída no dia 1º Setembro sua vida média é menor do que 31 dias HO Vida Média 31 dias H1 Vida Média 31 dias N N5015 dias Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas continuamente A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desviopadrão de 15 dias Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro 1 27 15 31 50 X z 1020 01020 0 3980 0 5000 log 0 3980 1 27 o P Z Consultando tabela Deverão ser substituídas um total de 01020x 8000 816 lâmpadas Caso Vida média de lâmpada X Z fx 50 0 31 127 35 20 HO Vida Média 31 dias H1 Vida Média 31 dias Unilateral à esquerda Média 50 dias Desvio Padrão 15 dias Ponto X 31 dias Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média 1000 metros e desvio padrão igual a 009 metros Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo igual a 1020 m Caso Tubos de aço HO Comprimento 1020 H1 Comprimento 1020 Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média 1000 metros e desvio padrão igual a 009 metros Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo igual a 1020 m N N10009 metros X 1020m 2 22 09 0 1020 10 X z 132 00132 04868 05 222 222 P Z Z P Consultando tabela temos fx 10 X 1020 0 222 Z Caso Tubos de aço HO Comprimento 1020 H1 Comprimento 1020 unilaterial à direita Média 10 metros Desvio Padrão 009 metros Ponto X 1020 m O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desviopadrão de 3 minutos Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos Caso Logística na prestação de serviços HO Chamada 4 minutos H1 Chamada 4 minutos O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desviopadrão de 3 minutos Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos 918 0 0918 0 4082 50 133 4 P Z x P Consultando a tabela Caso Logística na prestação de serviços 133 3 8 4 X z N N83 minutos X 4 minutos fx X 8 0 4 Z 133 HO Chamada 4 minutos H1 Chamada 4 minutos Unilateral à esquerda Média 8 minutos Desvio Padrão 3 minutos Ponto X 4 minutos Uma máquina produz peças com o diâmetro médio de 200 e o desviopadrão de 001 As peças que se afastam da média por mais de 003 são consideradas defeituosas Qual é a percentagem de peças defeituosa Caso Controle da Produção industrial HO Diâmetro médio 2 H1 Diâmetro médio 2 Uma máquina produz peças com o diâmetro médio de 200 e o desviopadrão de 001 As peças que se afastam da média por mais de 003 são consideradas defeituosas Qual é a percentagem de peças defeituosa 3 3 197 2 03 P Z P Z ouP x x P 3 01 0 03 2 2 1 X z N N200001 X1 203 e X2197 3 01 0 2 97 1 2 X z Consultando tabela 0 28 0 0014 0 0014 3 3 P Z Z P Caso Controle da Produção industrial fx 2 X 2 0 3 Z 203 197 3 HO Diâmetro médio 2 H1 Diâmetro médio 2 Bilateral Média 2 Desvio Padrão 001 Ponto X 003 minutos 2º A questão fornece uma área ou probabilidade e identifico o valor de z correspondente Caso Tempo de garantia de televisão A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desviopadrão de 18 anos A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos Se você fosse o gerente de produção qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 5 de trocas Considerando somente 5 de troca identifico na tabela o z X Z fx z 005 045 0 z Para a probabilidade de 045 o z é 164 Caso Tempo de garantia de televisão Transformo o valor de z no valor efetivo 164 𝑋 8 18 𝑋 8 164 18 𝑋 8 2952 𝑋 504 O gerente deve estipular um tempo de garantia de 5 anos z x µ Exercícios no Excel EM DUPLA OU INDIVIDUAL Atividade para nota Dupla ou individual Resolva os exercícios no arquivo Excel Grave sua resposta no Moodle