Métodos Quantitativos em Processos Decisórios - Testes de Hipóteses

Métodos Quantitativos em Processos Decisórios AULA 09 Testes de hipóteses e Testet Profa Anna Célia Affonso dos Santos Teste de Hipótese E quando minha amostra é pequena ou não conheço o desvio padrão Teorema do limite central Ao selecionar amostras aleatórias de tamanho n a partir de uma população a distribuição amostral da média amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal à medida que o tamanho amostral se torna grande Varia de amostra para amostra Teorema do limite central Uso do teorema do limite central para calcular a média populacional População Teorema do Limite Central Amostras Gráficos das médias Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Intervalo de confiança para a média 95 das vezes o intervalo de confiança conterá a média populacional µ População μ 40 Amostra 1 média 37 Amostra 2 média 43 Amostra n média População µ σ População μ Amostra 1 média 37 Amostra 2 média 43 Amostra n média INFERÊNCIA Intervalo de confiança para a média Conhecendo a média amostral posso inferir a média populacional Teste tStudent Para amostras pequenas n 30 a distribuição Normal apresenta valores menos precisos o que nos leva a utilizar um modelo melhor a Distribuição t de Student proposta pelo pesquisador Willian Gosset em 1908 Cada tamanho amostral possui sua própria distribuição t ou seja ao contrário da distribuição normal a distribuição t não tem forma fixa mas sim uma família de curvas Cada curva é determinada por um parâmetro chamado grau de liberdade encontrado pelo tamanho da amostra menos um GL n 1 Conforme os graus de liberdade aumentam a distribuição t se aproxima da distribuição normal Depois de 30 gl a distribuição t está muito próxima à distribuição normal Teste tstudent Para σ desconhecido a distribuição é uma t não uma normal mas para amostras de tamanho muito grandes as diferenças entre as distribuições normal e t são desprezíveis e o uso da distribuição t dá melhores resultados Estatística do teste ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent Na estatística de t o desvio padrão amostral s é usado para estimar o desvio padrão populacional Estimação usando distribuição tstudent Quando não conheço o desvio padrão populacional σ ou minha amostra é muito pequena utilizo a distribuição tstudent para estimar o valor z Na estatística de t o desvio padrão amostral s é usado para estimar o desvio padrão populacional t ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent A consulta na tabela retorna o valor de tcrítico considerando um nível de significância e graus de liberdade tamanho da amostra 1 especificados Estimação usando testet Dois tipos de questão podem ser efetuadas 1º Verificar se houve alteração na média populacional a partir da média da amostra 2º A questão fornece uma probabilidade e identifico o valor de correspondente na tabela t A partir do valor de t calculo a média populacional 1º Verificar se houve alteração na média populacional a partir da média da amostra Formulação das Hipóteses Normalmente são formuladas duas hipóteses H0 hipótese nula É uma afirmação do status quo É aquela em que as coisas estão acontecendo como esperadas Não há diferença com frequência tem o sinal de igualdade O parâmetro populacional é assumido como o esperado H1 hipótese alternativa que será aceita se não for possível provar que H0 é verdadeira Exemplo H0 mulheres vivem o mesmo ou mais que os homens H1 mulheres vivem menos que os homens Teste de Hipótese As hipóteses podem ter várias formas Onde µ0 é o valor numérico específico que está sendo considerado nas hipóteses nula e alternativa H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 Teste 1 Bilateral 2 Unilateral 21 À direita 22 À esquerda Erros de decisão Erro tipo I rejeitar H0 quando está verdadeira Erro tipo II não rejeitar H0 quando está falsa A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada nível de significância e é denotada por α A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por β Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa Não rejeitar H0 Decisão Correta Erro tipo II Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão Correta REALIDADE DECISÃO ESTATÍSTICA Erros de decisão Na prática é especificado a probabilidade máxima permissível de se cometer o erro tipo I chamado nível de significância Escolhas comuns para o nível de significância são 005 5 e 001 1 Assim se a probabilidade de se cometer um erro Tipo I é controlada por selecionar um pequeno valor para o nível de significância temos um alto grau de confiança que a conclusão para rejeitar H0 está correta Em tais casos temos o suporte estatístico para concluir que H0 é falso e Ha é verdadeiro Qualquer hipótese sugerida para Ha é aceita Erros de decisão Como na prática não se atenta para a probabilidade de se cometer o erro tipo II se decidimos aceitar H0 não podemos determinar quão confiantes podemos estar com aquela decisão Assim recomendase que seja usado a declaração não rejeitar H0 em vez de aceitar H0 Como realizar Testes de Hipótese Passo 1 Interprete a situação de modo a obter a média μ Passo 2 Construa as hipóteses dizendo se é bilateral ou unilateral considerando a média em questão Passo 3 Obtenha o grau de significância Passo 4 Verifique qual o tipo de distribuição mais apropriado normal ou tStudent Como realizar Testes de Hipótese Passo 5 Calcule a estatística de teste usando 𝑍 ҧ𝑥𝜇 𝜎 𝑛 para a normal 𝑡 ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent Como realizar Testes de Hipótese Passo 6 Interprete a estatística de teste para verificar se a hipótese nula será ou não rejeitada Se z ou t corresponder a valores da região crítica rejeite H0 caso contrário não rejeite H0 Região crítica Diferentes níveis de significância podem gerar diferentes conclusões Com um nível de 5 H0 poderá ser rejeitado mas com 1 poderá ser aceito Como realizar Testes de Hipótese Para amostras pequenas n 30 ou quando σ for desconhecido usamos s ao invés de σ e consideramos o grau de liberdade como n1 Para σ desconhecido a distribuição é uma t não uma normal mas para amostras de tamanho muito grandes as diferenças entre as distribuições normal e t são desprezíveis mas o uso da distribuição t dá melhores resultados 1 Testes de Hipótese Bilateral 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 α2 α2 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Não rejeitar H0 1 Testes de Hipótese Bilateral Exemplo Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos tijolos está deteriorando Sabese pela experiência passada que a média de resistência ao esmagamento destes tijolos é de 400 libras com desvio padrão de 20 libras Uma amostra de 100 tijolos deu uma média de 395 libras Teste a hipótese de que a qualidade média não se alterou contra a alternativa de que se tenha deteriorado considere o nível de significância de 5 𝐻0 𝜇 400 𝐻𝑎 𝜇 400 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎 𝑛 395 400 20 100 5 2 25 Para 5 zc 198 Conclusão rejeitamos H0 isto é a resistência não é mais de 400 libras zc 198 zc 198 21 Testes de Hipótese Unilateral a direita 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 Não rejeitar H0 Rejeitar H0 21 Testes de Hipótese Unilateral a direita Exemplo Um trecho de uma rodoviária quando é utilizado o radar são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade O chefe da polícia acredita que este número pode ter aumentado Para verificar isso o radar foi mantido por 10 dias consecutivos Os resultados foram 8 9 5 7 8 12 6 9 6 10 Os dados trazem evidências do aumento das infrações 𝐻0 𝜇 7 𝐻𝑎 𝜇 7 Média amostral 895781269610 10 8 Não conhecendo σ estimamos s onde s 21 Usando tStudent 𝑡 ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 87 21 10 15 t 15 tc 183 Conclusão Não rejeitamos H0 o que implica que o número de infrações não teve um aumento significativo 22 Testes de Hipótese Unilateral a esquerda 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 Rejeitar H0 Não rejeitar H0 22 Testes de Hipótese Unilateral a esquerda Exemplo Uma pesquisa feita em universidades mostrou que professores de Estatística ganham em média de R45678 Um deles contestou a pesquisa e disse que a real média seria de R48000 com um desvio padrão de R7000 Foram analisados 81 professores para que ele chegasse a essa média amostral O que o professor disse é válido nível de significância de 5 𝐻0 𝜇 48000 𝐻𝑎 𝜇 48000 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎 𝑛 45678 48000 7000 81 2322 77777 298 Para 5 zc 166 Conclusão Rejeitamos H0 O salário é menor que R 45678 considerando o nível de significância de 5 zc 166 Exercícios no Excel EM DUPLA OU INDIVIDUAL Atividade para nota Dupla ou individual Resolva os exercícios no arquivo Excel Grave sua resposta no Moodle