Métodos Quantitativos em Processos Decisórios - Distribuição Normal

Métodos Quantitativos em Processos Decisórios AULA 07 Distribuição Normal Profa Anna Célia Affonso dos Santos Medidas de Forma Além das medidas de variabilidade amplitude variância desvio padrão as medidas de forma ajudam a compreender a natureza da distribuição ASSIMETRIA CURTOSE Mede a simetria da distribuição em relação à média Medida do achatamento relativo da curva definida pela distribuição de frequência Assimetria Skewness Assimetria alongada à direita assimetria positiva Variável aleatória Uma variável aleatória é uma descrição numérica do resultado de um experimento Pode ser classificada como discreta ou contínua DISCRETA CONTÍNUA Assume um valor finito entre os 0 1 2 3 Ex Número de carros que chegam a um pedágio Número de clientes que realizam um pedido de compra Gênero do cliente Assume um valor numérico em um intervalo Ex Tempo na fila de atendimento Distância percorrida em um dia Quantidade em ml Porcentagem de conclusão do projeto depois de seis meses Temperatura quando ocorre a reação desejada Distribuição de probabilidade Descreve como as probabilidade estão distribuídas sobre os valores da variável aleatória Quando eu conheço o tipo de distribuição de probabilidade da variável posso determinar a probabilidade de uma série de eventos ocorrer que sejam do interesse do tomador de decisão DISCRETA CONTÍNUA Tipos de distribuição de probabilidade Uniforme discreta Binomial Poisson Tipos de distribuição de probabilidade Uniforme Normal Exponencial Distribuição Normal A mais importante distribuição de probabilidade para descrever uma variável aleatória contínua Descreve uma ampla variedade de conceitos como altura e peso das pessoas notas de exames medições científicas Caraterísticas da distribuição normal É diferenciada por dois parâmetros sua média µ e seu desvio padrão σ O ponto máximo da normal está na média que é também a mediana e a moda da distribuição A média pode ser qualquer valor numérico negativo zero ou positivo A distribuição normal é simétrica Caraterísticas da distribuição normal O desvio padrão determina quanto uma curva é achatada ou larga As probabilidades da variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva A área total sob a curva é 1 As porcentagens de valores de alguns intervalos bastante usados 683 para mais ou menos 1 desvipadrão 954 para mais ou menos 2 desvios padrão 997 para mais ou menos 3 desvios padrão Como determinar se os dados seguem uma distribuição normal 1000 2000 3000 4000 5000 6000 simulaIDADE 0 20 40 60 80 100 Frequency Mean 401665 Std Dev 962186 N 1000 1 2 3 4 5 Você está satisfeito no trabalho 0 50 100 150 200 250 300 Frequency Mean 305 Std Dev 1348 N 1000 Esse é um dos problemas quando trabalhamos com dados ordinais Através da visualização dos dados 000 20000 40000 60000 80000 100000 Renda familiar em milhares de dólares 0 100 200 300 400 500 Frequency Mean 72911 Std Dev 9341354 N 1000 Visualmente já percebemos a assimetria Inserir curva Normalna visualização É normal Selecionar Histograma e densidade Praticando no Jamovi Normalidade e outlier Média 000000000172 dp 100 Medida em desvios padrões Outliers Normal Arquivo VestibularIES Variável Nota em Matemática População Mesmo que a população tenha distribuição normal De amostra para amostra teremos resultados diferentes Abrir o conjunto de dados vestibulares Dados Calcular 1 2 3 Demonstrando no Jamovi Abrir o conjunto de dados vestibulares Dados Colcular 3 Enter Análises Exploração Selecionar a variável Gráfico histograma 3 amostras geradas por simulação normal média 10 dp1 Análise visual De amostra para amostra teremos resultados diferentes N1162 Análises Exploração Selecionar a variável Gráfico histograma 3 amostras geradas por simulação normal média 10 dp1 Análise visual De amostra para amostra teremos resultados diferentes N100 Inferência Estatística A partir da amostra busco identificar o parâmetro da população Teste de Hipótese A análise de dados envolve o teste de alguma hipótese Exemplos Uma loja de departamento tem a preferência de mais de 10 das residências Os usuários frequentes e os usuários eventuais de determinado produto diferem em termos de características psicográficas Um hotel tem melhor imagem do que seu concorrente mais próximo As notas dos alunos possuem distribuição normal A hipótese referese à algum parâmetro da população Teste de hipótese Uma hipótese estatística é uma suposição sobre determinado parâmetro da população como média desviopadrão coeficiente de correlação etc Um teste de hipótese é um procedimento para decisão sobre a veracidade ou falsidade de determinada hipótese Para que a hipótese estatística seja validade ou rejeitada com certeza seria necessário examinarmos toda a população o que na prática é inviável Como alternativa extraímos um amostra aleatória da população de interesse Comparação de médias Testes paramétricos Normal Testes não paramétricos sim não Tipos de testes Testes paramétricos São usados quando a variável dependente é uma variável intervalarrazão e segue alguns requisitos DISTRIBUIÇÃO CONHECIDA Testes não paramétricos Contém resultados estatísticos provenientes de uso de ordenação São usados para variáveis dependentes do tipo intervalarrazão ou ordinal e para dados distorcidos não normais ou que contém outliers DISTRIBUIÇÃO NÃO CONHECIDALIVRE Prérequisitos para os testes paramétricos Teste Paramétrico Dados por intervalos Variável dependente intervalarrazao Normalidade Testes KolmogorovSmirnov ShapiroWilk AndersonDarling Homogeneidade da Variância Dados variam de forma similar Teste de Levene Independência dos dados amostrais Dado de um indivíduo não pode interferir no resultado de outro Formulação da hipótese Hipótese Nula H0 Uma afirmação em que não se espera qualquer diferença ou efeito Hipótese Alternativa H1 Uma afirmação de que se espera alguma diferença ou efeito A aceitação da hipótese alternativa conduz à modificação de opiniões ou atitudes EXEMPLO O peso na embalagem é 500g Qual a probabilidade de ter se alterado H0 Peso da embalagem é igual a 500 g H1 Peso da embalagem é diferente de 500g Criação de hipóteses As hipóteses podem ter várias formas Onde µ0 é o valor numérico específico que está sendo considerado nas hipóteses nula e alternativa As hipóteses alternativas sempre são o complemento da hipótese nula Teste 1 Bilateral 2 Unilateral 21 À direita 22 À esquerda H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 Tipos de erro na inferência estatística Erro tipo I rejeitar H0 quando está verdadeira Erro tipo II não rejeitar H0 quando está falsa A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada nível de significância e é denotada por α A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por β Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa Não rejeitar H0 Decisão Correta 1 α Erro tipo II β Rejeitar H0 Erro tipo I α Decisão Correta 1β REALIDADE DECISÃO ESTATÍSTICA Nível de significância O nível de significância α de um teste representa a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira A região crítica RC de um teste bilateral é representada por duas caudas de tamanhos iguais A região crítica RC de um teste unilaterial ou unicaudal pode ser à esquerda ou à direita População De amostra para amostra teremos resultados diferentes Mas será que essa diferença é pequena Ou será que a diferença é tão grande que não dá para aceitarmos a hipótese nula de que a distribuição seja normal na população O teste de hipótese vai nos ajudar a avaliar isso E quando não conhecemos a distribuição populacional População 𝐻0 𝐴 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 é 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 Dados observados Amostra Teoria normal Mas será que essa diferença é pequena Ou será que a diferença é tão grande que não dá para aceitarmos a hipótese nula de que a distribuição seja normal na população Sempre haverá alguma diferença entre nosso histograma e a curva normal De amostra para amostra a diferença muda histogramas diferentes Será que essa diferença é pequena e podemos aceitar que seja zero na população isto é podemos aceitar que a distribuição é normal Ou a diferença é grande e devemos rejeitar a hipótese nula Ho Lógica dos testes de hipótese 0 Diferença pequena menor que 2 desvios padrões Diferença grande maior que 2 desvios padrões O gráfico muda dependendo do teste mas a lógica é a mesma 1 Definimos a priori a Hipótese nula Região de aceitação diferença pequena 95 2 Calculamos a diferença em uma escala padronizada se o valor for grande 2 neste exemplo rejeitamos a hipótese nula H0 Nula zero não há diferença Normal histograma zero Calculamos a diferença padronizada 0 Região de aceitação da Ho diferenças pequenas Ao longo do semestre usaremos vários testes de hipóteses Na hipótese nula ou H zero assumimos que não há diferença não há relação não há efeito ou efeito é nulo α 5 bicaudal Dependendo do teste que fazemos testet testez testeF etc a curva muda mas a lógica é a mesma Quanto maior a diferença maior nossa tendência de rejeitar a Ho 0 Quanto maior a diferença entre a distribuição analisada e uma normal mais entramos na área de rejeição Região de aceitação da Ho diferenças pequenas α 5 bicaudal 0 α 5 bicaudal Se a área calculada for menor que 5 bicaudal estaremos na região de rejeição Sig 005 p 005 Testes estatísticos de normalidade SHAPIROWILK O teste de ShapiroWilk SW é baseado em Shapiro e Wilk 1965 e pode ser aplicado para amostras de tamanho 4n2000 sendo uma alternativa ao teste de normalidade de KolmogorovSmirnovKS no caso de pequenas amostras n30 KOLMOGOROVSMIRNOV O teste de KolmogorovSmirnov KS testa se os valores amostrais são oriundos de uma população com distribuição normal H0 A amostra provém de uma população com distribuição N µσ H1 A amostra não provém de uma população com distribuição N µσ Sig 005 Rejeita Ho Sig 005 Não rejeita Ho p 005 Rejeita Ho p 005 Não rejeita Ho Output dos softwares Artigos de um modo geral usam valorp Ao longo do semestre usaremos vários testes de hipóteses Na hipótese nula ou H zero assumimos que não há diferença não há relação não há efeito ou efeito é nulo Probabilidade de significância Dado que a distribuição é normal na população qual a probabilidade de obtermos uma amostra como essa Se valorp for muito baixo p005 rejeitamos a H0 Nível descritivo ou Valorp Exercitando httpscloudjamoviorg Análises Exploração Selecionar a variável Estatísticas Selecionar ShapiroWilk teste Simuladas p 005 Idade p 005 Veja os histogramas Atividade para nota Dupla ou individual Abra o arquivo vestibularIESsav Utilizando o Jamovi responda as perguntas do próximo slide Coloque suas respostas no arquivo Excel da aula 8 Exercício Avalie a normalidade por meio do histograma e teste SW para as variáveis numéricas Nota de matemática Média nota Português Redação e Inglês Dica DadosCalcular fx MEAN