Teste de Normalidade em Dados de Placas de Asfalto Boston e Vermont

Respostas dos Exercícios 1 O fabricante das placas de asfalto Boston e Vermont dá a seus clientes uma garantia de 20 anos para a maior parte dos seus produtos Para determinar se uma placa durará todo o período da garantia são conduzidos na área de produção testes de aceleração de vida útil O teste de aceleração de vida útil expõe a placa em um laboratório às condições de desgaste às quais ela estaria sujeita ao longo de uma vida útil de utilização normal por meio de um experimento que leva apenas alguns poucos minutos para ser realizado Nesse teste uma placa é repetidamente esfregada com uma escova por um período de tempo e os grãos da placa removidos por meio da escovação são pesados em gramas Esperase que as placas que sofrem a perda de poucas quantidades de grãos durem mais com a utilização normal do que as placas que sofrem a perda de grandes quantidades de grãos Pedese a Verifique se a variável Dados segue uma distribuição normal Respostas Análise do Teste KSSW Como o tamanho de amostra é maior do que 50 310 analisase o teste KS e verificase que o Sig 0012 é menor do que 005 alfa Sendo assim a variável Dados não segue uma distribuição Normal Teste de Assimetria e Curtose Assimetria Skewness Divisão Curtose Kurtosis Divisão Dados 0505 0138 36594 0262 0276 09493 Análise do teste de Assimetria e Curtose Analisando o teste de Assimetria e Curtose verificase que a variável Dados não apresenta problemas de Curtose mas há problemas de Assimetria Sendo assim podemos dizer que a variável Dados não segue uma distribuição Normal b Verifique se a variável Dados separada pelo tipo segue uma distribuição normal Respostas Análise do Teste KSSW Como o tamanho das amostras grupos é maior do que 50 170 e 140 utiliza se o teste KS e verificase que ambos os Sig 0200 e 0200 são maiores do que 005 alfa Portanto concluise que a variável Dados separada pelo tipo seguem uma distribuição Normal Teste de Assimetria e Curtose Tipo Assimetria Skewness Divisão Curtose Kurtosis Divisão Boston 0198 0186 10645 0326 0370 08811 Vermont 0473 0205 23073 0018 0407 00442 Tests of Normality 048 170 200 988 170 153 067 140 200 978 140 026 Tipo Boston Vermont Dados Statistic df Sig Statistic df Sig KolmogorovSmirnova ShapiroWilk This is a lower bound of the true significance a Lilliefors Significance Correction Análise do teste de Assimetria e Curtose Analisando o teste de Assimetria e Curtose verificase que o tipo Boston não apresenta problemas de assimetria ou de curtose sendo assim Boston segue uma distribuição Normal Já a variável Vermont não tem problemas de curtose porém tem um pequeno problema de assimetria Como o problema é pequeno podemos supor que Vermont segue uma distribuição Normal c Considerando a resposta dos itens anteriores deve ser aplicado um teste para avaliar os dados Qual o teste a ser aplicado neste caso Justifique Resposta No item a deve ser aplicado um teste não paramétrico Binomial Já no item b deve ser aplicado um teste paramétrico para duas amostras dependente ou independente d A média das duas placas em conjunto variável Dados tem média de grãos igual a 025 Justifique Resposta Análise do teste Como a variável Dados não segue uma distribuição Normal devese utilizar o teste não paramétrico Binomial Analisando o Sig 0061 verificase que é maior do que o alfa de 005 sendo assim podemos dizer que o valor 025 separa a amostra exatamente no meio e As médias de Grãos das placas são iguais Justifique Resposta Tabelas do teste OneSample Statistics 310 2465 12672 00720 Dados N Mean Std Deviation Std Error Mean OneSample Test 493 309 622 00355 0177 0106 Dados t df Sig 2tailed Mean Difference Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference Test Value 025 Binomial Test 25 172 55 50 061a 25 138 45 310 100 Group 1 Group 2 Total Dados Category N Observed Prop Test Prop Asymp Sig 2tailed Based on Z Approximation a Group Statistics 170 2223 10929 00838 140 2758 13998 01183 Tipo Boston Vermont Dados N Mean Std Deviation Std Error Mean Análise do teste Como as amostras grupos seguem uma distribuição Normal e tem tamanho de amostra diferente utilizase um teste t para amostras independentes No teste de Levene verificase que o Sig 0004 é menor do que 005 alfa Sendo assim não é possível assumir igualdade de variâncias Analisando a segunda linha verificase que o Sig 0000 é menor do que 005 alfa Portanto há diferenças significativas entre os desgastes dos dois tipos f Qual das duas placas seria mais interessante comprar Justifique sua resposta Resposta Como há diferenças significativas entre os dois tipos analisando as estatísticas descritivas podemos afirmar que o tipo Boston é mais interessante porque seu desgaste médio foi menor 2 Uma turma de 17 estudantes obteve nota baixa no vestibular em 2006 Este grupo foi matriculado em um cursinho para futura aprovação no vestibular do ano seguinte Justifique se o cursinho foi eficiente em melhorar o desempenho dos 17 estudantes Independent Samples Test 8358 004 3777 308 000 05349 01416 08136 02563 3689 259743 000 05349 01450 08204 02494 Equal variances assumed Equal variances not assumed Dados F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Ranks 170 14059 2389950 140 17361 2430550 310 Tipo Boston Vermont Total Dados N Mean Rank Sum of Ranks Test Statisticsa 9364500 23899500 3230 001 MannWhitney U Wilcoxon W Z Asymp Sig 2tailed Dados Grouping Variable Tipo a Descriptive Statistics 17 3612 20130 3407 550 12956 1063 17 4806 22543 1502 550 4106 1063 17 Pontos2006 Pontos2007 Valid N listwise Statistic Statistic Statistic Statistic Std Error Statistic Std Error N Mean Std Deviation Skewness Kurtosis Paired Samples Correlations 17 855 000 Pontos2006 Pontos2007 Pair 1 N Correlation Sig Paired Samples Test 11941 11739 2847 17977 5905 4194 16 001 Pontos2006 Pontos2007 Pair 1 Mean Std Deviation Std Error Mean Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference Paired Differences t df Sig 2tailed Assimetria Curtose 61945 121881 27309 38627 Resposta No teste de assimetria e curtose como as divisões estão fora do intervalo de 2 a 2 podemos dizer que Pontos2006 e Pontos2007 não seguem uma distribuição Normal Sendo assim devemos analisar um teste não paramétrico para duas amostras Como os tamanhos de amostra são os mesmos para ambos devese analisar o teste de correlação No teste de correlação como o Sig0000 é menor do que 005 alfa rejeitase a hipótese nula Elevando a correlação ao quadrado temos que 08552 0731 é maior do que 05 Devido a tudo isso concluímos que existe correlação entre os pontos dos dois anos Analisando o teste não paramétrico de Wilcoxon duas amostras pareadas que não seguem uma distribuição Normal como o Sig 0002 é menor do que 005 alfa concluise que há diferenças significativas entre os pontos de 2006 e 2007 Para saber se houve melhora na pontuação podese analisar a média dos Rankings Mean Rank Ao analisarmos verificamos que a média dos rankings positivos é maior do que os rankings negativos ou seja isso mostra que os pontos de 2007 são maiores do que os pontos de 2006 3 Com o objetivo de avaliar os melhores instrumentos de promoção 18 cursos de uma instituição de ensino foram divididos em dois grupos O primeiro deles foi divulgado por meio de folders e pôsteres e o segundo por meio de maladireta Verifique se há diferença no volume de vendas dos dois grupos Ranks 3a 300 900 13b 977 12700 1c 17 Negative Ranks Positive Ranks Ties Total Pontos2007 Pontos2006 N Mean Rank Sum of Ranks Pontos2007 Pontos2006 a Pontos2007 Pontos2006 b Pontos2007 Pontos2006 c Test Statisticsb 3053a 002 Z Asymp Sig 2tailed Pontos2007 Pontos 2006 Based on negative ranks a Wilcoxon Signed Ranks Test b Descriptive Statistics 10 978000 1599861 266 687 1015 1334 8 1185000 3594440 2062 752 4968 1481 8 Grupo 1 Grupo 2 Valid N listwise Statistic Statistic Statistic Statistic Std Error Statistic Std Error N Mean Std Deviation Skewness Kurtosis Independent Samples Test 1363 260 1639 16 121 20700 12632 6079 47479 1513 9215 164 20700 13678 10133 51533 Equal variances assum ed Equal variances not assumed Vendas F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Ranks 8 1175 9400 10 770 7700 18 Grupo 1 2 Total Vendas N Mean Rank Sum of Ranks Test Statisticsb 22000 77000 1601 109 122 a MannWhitney U Wilcoxon W Z Asymp Sig 2tailed Exact Sig 21tailed Sig Vendas Not corrected for ties a Grouping Variable Grupo b Assimetria Curtose 03872 07609 27420 33545 Resposta No teste de assimetria e curtose para o Grupo 1 como as divisões estão dentro do intervalo de 2 a 2 podemos dizer que segue uma distribuição Normal Já para o Grupo 2 como as divisões estão fora do intervalo de 2 a 2 podemos dizer que não segue uma distribuição Normal Sendo assim por segurança devemos analisar um teste não paramétrico para duas amostras Como os tamanhos de amostra são diferentes podese considerar o Grupo 1 independente do Grupo 2 Como foram consideradas que não seguem uma distribuição Normal e são duas amostras independentes devese aplicar o teste de Mann Whitney No teste de Mann Whitney como o Sig 0109 é maior do que 005 alfa não rejeitase que não há diferenças entre as vendas Sendo assim é indiferente o instrumento de promoção 4 Em um restaurante foi coletada uma amostra das compras de 17 clientes quando a música de fundo era lenta e uma amostra de 14 clientes quando a música de fundo era rápida Justifique se pode afirmar a um nível de significância de 5 que a verdadeira medida de tendência central média ou mediana de compras quando a música de fundo é lenta é maior Dica verifique qual o teste a ser utilizado e compare a medida de tendência central Resposta Como o tamanho das duas amostras é menor do que 50 17 e 14 utilizase o teste SW Analisando os Sig 0966 e 0130 verificase que ambos são maiores do que 005 alfa Sendo assim podese afirmar que as duas amostras grupos seguem uma distribuição Normal Como os tamanhos das amostras são diferentes podemos afirmar que elas não são dependentes Como seguem uma distribuição Normal e são independentes utilizase o teste t para amostras independentes Tests of Normality 116 17 200 981 17 966 218 14 070 904 14 130 Bar 1 2 Gasto Statistic df Sig Statistic df Sig KolmogorovSmirnova ShapiroWilk This is a lower bound of the true significance Lilliefors Significance Correction a Group Statistics 17 360527 1303876 316236 14 202973 770048 205804 Bar 1 2 Gasto N Mean Std Deviation Std Error Mean Independent Samples Test 3780 062 2634 29 013 840824 319163 38912 1720560 2706 28852 011 840824 310753 16036 1697684 Equal variances assum ed Equal variances not assumed Gasto F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 99 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Test Statisticsb 65000 170000 2143 032 032 a MannWhitney U Wilcoxon W Z Asymp Sig 2tailed Exact Sig 21tailed Sig Gasto Not corrected for ties a b Grouping Variable Bar No teste de Levene como o Sig 0062 é maior do que 005 alfa podemos assumir igualdade de variâncias Analisando a primeira linha do teste t para igualdade de médias temos que o Sig 0013 é menor do que 005 alfa e podemos afirmar que há diferenças significativas entre os gastos com música lenta e rápida Analisando as estatísticas descritivas observamos que a maior média de gastos ocorre quando a música é lenta amostra com n17 5 Um sistema de cancela automático recentemente instalado foi testado para verificar se o número de falhas em 1000 entradas era o mesmo que o número de falhas em 1000 saídas Uma amostra aleatória de oito caminhões de entrega foi selecionada para a coleta dos dados Justifique se existem diferenças significativas entre o número de falhas na entrada e na saída a um nível de confiança de 1 Justifique se existe alguma evidência de que as falhas na entrada ou na saída são maiores Descriptive Statistics 8 5013 6334 583 752 653 1481 8 5750 6024 073 752 1780 1481 8 Entrada Saida Valid N listwise Statistic Statistic Statistic Statistic Std Error Statistic Std Error N Mean Std Deviation Skewness Kurtosis Paired Samples Correlations 8 694 006 Entrada Saida Pair 1 N Correlation Sig Paired Samples Test 7375 4838 1711 13361 1389 4311 7 004 Entrada Saida Pair 1 Mean Std Deviation Std Error Mean Lower Upper 99 Confidence Interval of the Difference Paired Differences t df Sig 2tailed Independent Samples Test 008 928 2386 14 032 7375 3091 16575 1825 2386 13965 032 7375 3091 16579 1829 Equal variances assum ed Equal variances not assumed Falha F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 99 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Ranks 0a 00 00 7b 400 2800 1c 8 Negative Ranks Positive Ranks Ties Total Saida Entrada N Mean Rank Sum of Ranks Saida Entrada a Saida Entrada b Saida Entrada c Test Statisticsb 2366a 018 Z Asym p Sig 2tailed Saida Entrada Based on negative ranks a Wilcoxon Signed Ranks Test b Ranks 8 613 4900 8 1088 8700 16 ESnum 1 2 Total Falha N Mean Rank Sum of Ranks Test Statisticsb 13000 49000 1998 046 050 a MannWhitney U Wilcoxon W Z Asymp Sig 2tailed Exact Sig 21tailed Sig Falha Not corrected for ties a Grouping Variable ESnum b Assimetria Curtose 07753 04409 00971 12019 Resposta No teste de assimetria e curtose como as divisões estão no intervalo de 2 a 2 podemos dizer que Entrada e Saída seguem uma distribuição Normal Sendo assim devemos analisar um teste paramétrico para duas amostras Como os tamanhos de amostra são os mesmos para ambos devese analisar o teste de correlação No teste de correlação como o Sig0006 é menor do que 001 alfa rejeitase a hipótese nula Elevando a correlação ao quadrado temos que 06942 0482 05 Devido a tudo isso concluímos que não existe correlação entre a Entrada e a Saída Como existe normalidade dos dados e são independentes devese analisar o teste t para amostras independentes No teste de Levene o Sig 0928 001 portanto as variâncias são iguais Analisando a primeira linha do teste t temos que o sig 0032 é maior do que 001 alfa concluise que não há diferenças significativas entre as falhas na Entrada e na Saída UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS Respostas da Lista de Exercícios Obs Exemplos do livro Análise de dados modelagem multivariada para tomada de decisões de Luiz Paulo Fávero et al Rio de Janeiro Elsevier 2009 1 Uma empresa automobilística está lançando um novo tipo caminhão do tipo Y Desejase testar a hipótese de que o tempo médio de pintura do novo caminhão é igual ao do caminhão antigo tipo X Para isso coletouse uma amostra de 12 elementos do novo caminhão e mediuse o tempo médio de pintura As análises estatísticas são mostradas nas tabelas a seguir Faça uma análise completa das tabelas Resposta Como o tamanho da amostra é menor do que 50 n12 analisase o teste SW e verificase que o Sig 0075 é maior do que 005 alfa sendo assim concluise que a variável Tempo segue uma distribuição Normal Como há apenas um grupo uma amostra e desejase comparar com o tempo médio de pintura anterior neste caso sendo considerado o tempo médio populacional utilizase um teste t para uma amostra Como o Sig 0001 no teste t para uma amostra é menor do que 005 alfa verificase que o tempo médio de pintura do caminhão novo é diferente do tempo médio de pintura anterior Como há diferenças significativas no tempo médio analisandose a média na tabela de estatísticas descritivas verificase que o tempo médio de pintura do caminhão novo 8758333 é maior do que o tempo médio de pintura anterior 690 2 Pretendese verificar se o tempo médio de fabricação de dois produtos plásticos X e Y é semelhante Para cada produto coletouse o tempo médio em minutos de uma amostra de tamanho igual a 10 Faça uma análise completa das tabelas Tests of Normality 215 12 132 875 12 075 Tempo Statistic df Sig Statistic df Sig KolmogorovSmirnova ShapiroWilk Lilliefors Significance Correction a OneSample Statistics 12 8758333 13666205 3945093 Tempo N Mean Std Deviation Std Error Mean OneSample Test 4710 11 001 18583333 633064 3083603 Tempo t df Sig 2tailed Mean Difference Lower Upper 99 Confidence Interval of the Difference Test Value 690 Resposta Como o tamanho das duas amostras grupos é igual a 10 que é menor do que 50 utilizase o teste SW e verificase que ambos os produtos têm Sig 0957 e 0791 maior do que 005 alfa concluindo se assim que ambos seguem uma distribuição Normal Como não há o teste de correlação partiremos do pressuposto que as amostras são independentes vejam que seria necessário fazer o teste de correlação para confirmar os resultados a seguir No teste de Levene o Sig 0942 é maior do que 005 alfa e as variâncias podem ser assumidas iguais Analisando a primeira linha do teste t para igualdade de médias verificase que o Sig 0002 é menor do que 005 alfa sendo assim há diferenças significativas no tempo médio de produção de ambos os produtos O produto que apresenta menor tempo de produção é o produto X 3 Um grupo de funcionários foi submetido a um treinamento cujo objetivo é verificar o desempenho deles antes e depois do curso Para tanto foram atribuídas notas para cada funcionário de 1 a 10 antes e depois do treinamento A amostra analisada é formada por 11 funcionários Faça uma análise completa das tabelas Tests of Normality 140 10 200 979 10 957 195 10 200 960 10 791 Produto X Y Tempo Statistic df Sig Statistic df Sig KolmogorovSmirnova ShapiroWilk This is a lower bound of the true significance Lilliefors Significance Correction a Group Statistics 10 212000 335989 106249 10 267000 333500 105462 Produto X Y Tempo N Mean Std Deviation Std Error Mean Independent Samples Test 005 942 3674 18 002 550000 149703 809595 290405 3674 17999 002 550000 149703 809596 290404 Equal variances assumed Equal variances not assumed Tempo F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 90 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Tests of Normality 201 11 200 956 11 723 147 11 200 952 11 675 AD Antes Depois Nota Statistic df Sig Statistic df Sig KolmogorovSmirnova ShapiroWilk This is a lower bound of the true significance Lilliefors Significance Correction a Paired Samples Statistics 64000 11 74833 22563 72364 11 139160 41958 Antes Depois Pair 1 Mean N Std Deviation Std Error Mean Paired Samples Correlations 11 327 326 Antes Depois Pair 1 N Correlation Sig Resposta Como as amostras tem tamanho igual a 11 que é menor do que 50 utilizase o teste SW e verificase que ambos têm Sig 0723 e 0675 maior do que 005 alfa Sendo assim podemos assumir que os grupos Antes e Depois seguem uma distribuição Normal Como temos o mesmo de tamanho de amostra é necessário analisar o teste de correlação Como o Sig do teste é igual a 0326 que é maior do que 005 alfa não rejeitase a hipótese nula e sendo assim conclui se que os grupos são independentes Analisandose o teste t para amostras independentes no teste de Levene verificamos que o Sig 0061 é maior do que 005 alfa e podemos assumir que existe igualdade de variâncias Analisando a primeira linha verificamos que no teste de igualdade de médias que o Sig 0094 é maior do que 005 alfa sendo assim podemos concluir que não há diferenças significativas entre as médias de Antes e Depois do curso Paired Samples Test 83636 178285 53755 203410 36137 1556 10 151 Antes Depois Pair 1 Mean Std Deviation Std Error Mean Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference Paired Differences t df Sig 2tailed Independent Samples Test 3948 061 1756 20 094 83636 47640 183012 15739 1756 15337 099 83636 47640 184985 17712 Equal variances assumed Equal variances not assumed Nota F Sig Levenes Test for Equality of Variances t df Sig 2tailed Mean Difference Std Error Difference Lower Upper 95 Confidence Interval of the Difference ttest for Equality of Means Questão 1 a Como as amostras são pequenas n 50 utilizamos o teste de ShapiroWilk Ambos os grupos Ala A e Ala B seguem uma distribuição normal Os valoresp sig são maiores que o nível de significância de 5 005 Assim os dados das duas alas são normalmente distribuídos b As amostras da Ala A e da Ala B foram coletadas em alas diferentes do hotel É razoável supor portanto que são grupos de hóspedes diferentes Assim as observações em uma ala não influenciam ou estão relacionadas às observações na outra Portanto as amostras são independentes c e d PRECISA DE FOTOS NÍTIDAS DAS TABELAS AO CENTRO DA PÁGINA Questão 4 H 0 μ82 ponto s H 1 μ82 ponto s Como o tamanho da amostra é pequeno menor que 50 utilizamos o teste SW Considerando nível de significância de 2 também para o teste de normalidade os dados seguem distribuição normal valorp 002 Assim fazemos o teste t para uma amostra Rejeitase a hipótese nula pois valorp 002 O intervalo de confiança fornecido é 95 não de 98 como pede o enunciado Entretanto considerando esse IC concluímos que o grau médio de satisfação é inferior a 82 pontos já que o IC é inteiramente negativo A empresa deve contratar um consultor