Teorema do Limite Central e Tipos de Amostragem

Teorema do Limite Central Prof Plácido Leitão Jr Tipos de Amostragem Amostras Amostras não probabilística Julgamento Amostras probabilísticas Aleatória simples Sistemática Estratificada Conglomerado Conveniência 2 Amostra Distribuições amostrais Uma distribuição amostral é a distribuição de probabilidade de uma estatística da amostra formada quando amostras de tamanho n são colhidas várias vezes de uma população Se a estatística da amostra for a sua média simples a distribuição será uma distribuição amostral de médias das amostras Amostra A distribuição amostral consiste nos valores das médias da amostra Amostra Amostra Amostra Amostra 3 Desenvolvimento de uma distribuição amostral Suponha que há uma população Tamanho da população N 4 Variável aleatória X é a idade dos indivíduos Valores de X 18 20 22 24 anos A B C D 4 03 02 01 0 18 20 22 24 A B C D Distribuição Uniforme Px x Medidas resumo para a distribuição da população Desenvolvimento de uma distribuição amostral 21 4 24 22 20 18 N X μ i 2236 N μ X σ 2 i 5 16 possíveis amostras amostragem com reposição Agora considere todas as possíveis amostras de tamanho n 2 Desenvolvimento de uma distribuição amostral 16 médias amostrais 1a Obs 2a Observação 18 20 22 24 18 1818 1820 1822 1824 20 2018 2020 2022 2024 22 2218 2220 2222 2224 24 2418 2420 2422 2424 1a Obs 2a Observação 18 20 22 24 18 18 19 20 21 20 19 20 21 22 22 20 21 22 23 24 21 22 23 24 6 Distribuição amostral de todas as médias 18 19 20 21 22 23 24 0 01 02 03 PX X Distribuição das médias amostrais 16 médias amostrais Desenvolvimento de uma distribuição amostral não é mais uniforme 1a Obs 2a Observação 18 20 22 24 18 18 19 20 21 20 19 20 21 22 22 20 21 22 23 24 21 22 23 24 7 Medidas resumo da distribuição amostral Desenvolvimento de uma distribuição amostral 21 16 24 18 19 19 μX 158 16 2421 1921 1821 σ 2 2 2 X Nota Aqui nós dividimos por 16 porque há 16 amostras diferentes de tamanho 2 8 Comparando a distribuição da população com a distribuição das médias amostrais 18 19 20 21 22 23 24 0 01 02 03 PX X 18 20 22 24 A B C D 0 01 02 03 População N 4 PX X 158 σ 21 μ X X 2236 σ 21 μ x x Distribuição das médias amostrais n 2 9 Distribuição amostral Erro padrão da média Diferentes amostras de mesmo tamanho da mesma população irão produzir médias de amostra diferentes A medida da variabilidade da média de amostra para amostra é dada pelo Erro Padrão da Média Isso pressupõe que a amostragem é com reposição ou amostragem é sem reposição de uma população infinita Note que o erro padrão da média diminui à medida que o tamanho da amostra aumenta n σ σX 10 Distribuição amostral Se a população é Normal Se uma população é normal com média μ e desvio padrão σ a distribuição amostral de também é normalmente distribuída com e X μ μ X n σ σX 11 Valor Z para um distribuição amostral Valor Z para a distribuição amostral de Em que média amostral média populacional desvio padrão populacional n tamanho da amostra X μ σ n σ μ X σ μ X Z X X X 12 Distribuição Normal populacional Distribuição Normal amostral tem a mesma média Propriedades da distribuição amostral ie é não viesado x x x μ μx μ x μ 13 Propriedades da distribuição amostral À medida que n aumenta diminui Tamanho de amostra maior Tamanho de amostra menor x x σ μ 14 Fatores da Estatística Amostral A estatística amostral depende de 3 fatores para se aproximar do verdadeiro valor do parâmetro populacional a estatística que se está usando o tamanho da amostra a variabilidade da própria população submetida a amostragem 15 Determinação de um intervalo incluindo uma proporção fixa da média amostral Encontre um intervalo simetricamente distribuído em torno de μ que inclui 95 das médias amostrais quando μ 368 σ 15 e n 25 Uma vez que o intervalo contém 95 das amostras significa 5 das médias das amostras serão fora do intervalo Uma vez que o intervalo é simétrico 25 vai estar acima do limite superior e 25 estará abaixo do limite inferior A partir da tabela normal padronizada a pontuação Z com 25 04750 abaixo é 196 e a pontuação Z com 25 04750 acima é 196 16 Determinação de um intervalo incluindo uma proporção fixa da média amostral Cálculo do limite inferior do intervalo Cálculo do limite superior do intervalo 95 de todas as médias de amostra de tamanho 25 estão entre 36212 e 37388 12 362 25 196 15 368 n Z XL 88 373 25 1 96 15 368 n Z XU 17 Intervalos de confiança Prof Plácido Leitão Jr Estimativas pontual e intervalo A estimativa pontual é um número único um intervalo de confiança fornece informações adicionais sobre a variabilidade da estimativa Estimativa pontual Limite de confiança inferior Limite de confiança superior largura do intervalo de confiança 19 Podemos estimar um parâmetro da população Estimativas pontuais com uma amostra estatística Estimativa pontual Média Proporção p π X μ 20 Intervalos de Confiança Quanta incerteza é associada a uma estimativa por ponto de um parâmetro da população Uma estimativa por intervalo fornece mais informações sobre uma característica da população do que uma estimativa pontual Tais estimativas intervalares são chamados de intervalos de confiança 21 Estimativa do Intervalo de Confiança Um intervalo Leva em consideração a variação nas estatísticas da amostra de amostra para amostra Com base em observações de uma amostra Fornece informações sobre a proximidade de parâmetros populacionais desconhecidos Expressos em termos de nível de confiança por exemplo 95 confiante 99 confiante Nunca pode ser 100 confiável 22 Exemplo de intervalo de confiança Exemplo Abastecimento de caixas de cereais A população tem µ 368 e σ 15 Se você coleta uma amostra de tamanho n 25 você sabe que 368 196 15 36212 37388 contém 95 das médias das amostras Quando você não conhece µ você usa para estimar µ Se 3623 o intervalo é 3623 196 15 35642 36818 Como 35642 µ 36818 o intervalo baseado nesta amostra é uma afirmação correta sobre µ E os outros intervalos de possíveis amostras de tamanho 25 25 25 X X Exemplo de intervalo de confiança Amostra X Limite inferior Limite superior Contem µ 1 36230 35642 36818 Sim 2 36950 36362 37538 Sim 3 36000 35412 36588 Não 4 36212 35624 36800 Sim 5 37388 36800 37976 Sim Exemplo de intervalo de confiança Na prática você só pode coletar uma amostra de tamanho n Na prática você não sabe μ então você não sabe se o intervalo realmente contém μ No entanto você sabe que 95 dos intervalos formados deste modo conterão μ Assim com base em uma amostra realmente selecionada por você você pode ter 95 de confiança de que o intervalo conterá μ este é um intervalo de confiança de 95 Nota 95 de confiança baseiase no fato de que foi utilizado Z 196 25 Processo de estimação média μ é desconhecida População Amostra aleatória Média X 50 Amostra Eu estou 95 confiante que μ está entre 40 e 60 26 Fórmula Geral A fórmula geral para todos os intervalos de confiança é dada por Estimativa pontual Valor críticoErro padrão Em que Estimativa pontual é a estatística amostral que estima o parâmetro da população de interesse Valor crítico é o valor tabelado baseado na distribuição amostral da estimativa pontual e o nível de confiança desejado Erro padrão é o desvio padrão da estimativa pontual 27 Nível de confiança Nível de confiança Confiança é o intervalo que irá conter o parâmetro da população desconhecido Uma porcentagem menos do que 100 28 Nível de confiança 1 Suponha um nível de confiança de 95 Também escrito como 1 095 então 005 Uma interpretação por frequência relativa 95 de todos os intervalos de confiança que podem ser construídos irão conter o verdadeiro parâmetro desconhecido Um intervalo específico também pode conter ou não o verdadeiro parâmetro Nenhuma probabilidade envolvida em um intervalo específico 29 Intervalos de confiança Média populacional σ desconhecido Intervalo de Confiança σ conhecido 30 Proporção populacional Suposições O desvio padrão populacional σ é conhecido ou n30 A população é normalmente distribuída Se a população não é normal use uma amostra grande Estimativa do intervalo de confiança Em que é a estimativa pontual Zα2 é o valor crítico da distribuição normal para uma probabilidade de 2 em cada cauda é o erro padrão Intervalo de confiança para μ conhecido n σ Z X 2 X n σ 31 Encontrando o valor crítico Zα2 Considere um intervalo de confiança de 95 Zα2 196 Zα2 196 095 então 005 1 2 0025 α 2 0025 α Limite de confiança inferior Limite de confiança superior Unidades Z Unidades X Estimativa pontual 0 196 Z 2 32 Níveis de confiança no Excel Os níveis de confiança comumente usados são 90 95 e 99 Nível de confiança C Coeficiente de confiança C 1 α Valor Zα2 1645 196 258 090 095 099 90 95 99 33 INVNORMPNc Uma cauda INVNORMPNcα2 Duas caudas μ μx Intervalos e nível de confiança Intervalo de confiança Intervalo estendido de a 1x100 do intervalo construído contém μ x100 não Distribuição amostral da média n σ Z 2 X n σ Z 2 X x x1 x2 2 2 1 34 Exemplo Uma amostra de 121 chamadas telefônicas para o número 0800 de sua empresa tem uma duração média de 166 minutos e um desvio padrão de 363 minutos Você pretende encerrar esse serviço a menos que a média de duração de chamada exceda 18 minutos Com grau de confiança de 90 qual é a sua decisão 35 Intervalos de confiança Média populacional σ desconhecido Intervalo de Confiança σ conhecido 36 Proporção populacional Você realmente conhece o valor de σ Provavelmente não Em praticamente todas as situações de negócios do mundo real σ não é conhecido Se existe uma situação em que é conhecido então μ é conhecida também uma vez que para calcular σ é preciso conhecer μ Se você realmente sabe μ não haveria necessidade de recolher uma amostra para estimála 37 Se o desvio padrão da população σ é desconhecido nós podemos substituir pelo desvio padrão amostral s Isso introduz incerteza extra desde que s é variável de amostra para amostra Então nós usamos a distribuição t em vez de uma distribuição Normal Intervalo de confiança para μ σ Desconhecido 38 Suposições O desvio padrão populacional é desconhecido A população é normalmente distribuída Se a população não é Normal use amostras grandes Use uma distribuição t de Student Estimativa do intervalo de confiança em que tα2 é o valor crítico da distribuição t com n 1 graus de liberdade e uma área de α2 em cada cauda Intervalo de confiança para μ σ Desconhecido n s t X 2 39 A distribuição t Desenvolvida por William S Gosset 1876 1937 que trabalhou como preparador de cerveja para a Cervejaria Guinness em Dublin Irlanda Três condições devem ser satisfeitas a A amostra é pequena n30 b é desconhecido e c A população é normalmente distribuída ou quase 40 Distribuição t de Student A t é uma família de distribuições O valor de tα2 depende dos graus de liberdade gl Número de observações que são livres para variar após a média amostra ter sido calculada gl n 1 41 Ideia Número de observações que são livres para variar após a média amostra ter sido calculada Exemplo Suponha que a média de 3 números é 80 X1 7 X2 8 Qual é X3 Se a média desses três valores é 80 então X3 deve ser 9 ie X3 não é livre para variar Graus de liberdade gl Aqui n 3 então os graus de liberdade n 1 3 1 2 2 valores podem ser qualquer número mas o terceiro não é livre para variar dada uma média 42 Distribuição t de Student t 0 t gl 5 t gl 13 Distribuições t tem forma de sino e simetria mas tem caudas mais pesadas que a Normal Normal padrão t com gl Nota t Z quando n aumenta 43 Tabela t de Student Área da cauda superior gl 10 05 025 1 3078 6314 12706 2 1886 3 1638 2353 3182 t 0 2920 O corpo da tabela contém valores t não probabilidades Seja n 3 gl n 1 2 010 2 005 2 005 4303 2920 44 Valores da distribuição t selecionados Em comparação com o valor Z Nível de t t t Z confiança 10 gl 20 gl 30 gl gl 080 1372 1325 1310 128 090 1812 1725 1697 1645 095 2228 2086 2042 196 099 3169 2845 2750 258 Nota t Z quando n aumenta 45 INVTc gl Uma cauda INVTcα2 gl Duas caudas Exemplo de intervalo de confiança usando distribuição t Uma amostra aleatória de n 25 tem 50 e s 8 Construa um intervalo de confiança de 95 para μ gl n 1 24 então O intervalo de confiança é 20639 t0025 2 t 25 8 20639 50 n S 2 t X 46698 μ 53302 X 46 Exemplo Um acordo trabalhista entre a United Auto Workers UAW e a Ford Motors Company FMC requer que a média de produção de uma determinada seção da produção seja de 112 unidades por mês por empregado Surgiu um desentendimento entre a UAW e a Ford em relação à verificação se esse padrão estava sendo mantido O acordo trabalhista especificou que se a produção média fosse menor que a quantidade estipulada em 112 a Ford tinha permissão para uma ação remediadora Por causa do alto custo envolvido apenas 20 trabalhadores foram testados resultando em uma média de 102 unidades Assuma que o desvio padrão de 85 unidades foi encontrado e que a produção tem distribuição normal Verifique se um intervalo de confiança de 90 tende a sugerir uma violação do contrato de trabalho permitindo uma intervenção 47 Intervalos de confiança Média populacional σ desconhecido Intervalo de Confiança σ conhecido 48 Proporção populacional Intervalo de confiança para a proporção poulacional π A distribuição da proporção amostral é aproximadamente normal se a amostra for suficientemente grande com desvio padrão Nós o estimaremos com os dados da amostra n p p1 n 1 σp 49 Intervalo de confiança Os limites superior e inferior para a proporção populacional são calculados com a fórmula Em que Zα2 é o valor da normal padrão para o nível de confiança desejado p é a proporção amostral n é o tamanho da amostra Nota devese ter np 5 e n1p 5 n p1 p Z p 2 50 Exemplo Uma empresa de recolocação é especializada em ajudar corporações a localizar e garantir pessoal altamente talentoso Chamadas de headhunters essas empresas são responsáveis pela colocação de vários executivos de alto escalão Uma revista especializada reportou recentemente que um de cada quatro executivos é estrangeiro Se numa amostra de 350 empresas 77 tem executivos estrangeiros um intervalo de confiança de 99 reafirmaria essa quota 51 Determinando o tamanho da amostra Prof Plácido Leitão Jr Determinando o tamanho da amostra Para a média Determinando o tamanho da amostra Para a proporção 53 Erro amostral O tamanho da amostra desejado pode ser encontrado para uma desejada margem de erro e com um nível de confiança específico 1 A margem de erro é também conhecida como erro amostral a quantidade de imprecisão na estimativa do parâmetro populacional a quantidade adicionada ou subtraída da estimativa pontual para formar o intervalo de confiança 54 Determinando o tamanho da amostra Para a média n σ Z 2 X n σ Z 2 e Erro amostral margem de erro Determinando o tamanho da amostra 55 Determinando o tamanho da amostra Para a média n σ Z 2 e 2 2 2 2 e Z n σ Resolvendo para n Determinando o tamanho da amostra 56 Determinando o tamanho da amostra Para determinar o tamanho da amostra para a média você deve conhecer O nível de confiança desejado 1 que determinará o valor crítico Zα2 O erro amostral aceitável e O desvio padrão σ 57 Exemplo de cálculo de tamanho de amostra Se 45 qual tamanho de amostra é necessário para estimar a média dentro de 5 com 90 de confiança sempre arredonde para cima 21919 5 1645 45 σ 2 2 2 2 2 2 e Z n Então o tamanho da amostra será n 220 58 Determinando o tamanho da amostra Para a proporção 2 2 e 1 Z n π π Resolvendo para n n 1 Z e π π Determinando o tamanho da amostra 59 Determinando o tamanho da amostra Para determinar o tamanho da amostra para a proporção você deve conhecer O nível de confiança desejado 1 que determina o valor crítico Zα2 O erro amostral aceitável e A verdadeira proporção de eventos de interesse π π pode ser estimado com uma amostragem piloto se necessário ou ser usado 05 como uma estimativa de π 60 Exemplo de cálculo de tamanho de amostra Quão grande deve ser uma amostra para estimar a verdadeira proporção em uma população grande dentro de 3 com 95 de confiança Assuma uma amostragem piloto teve p 012 61 Exemplo de cálculo de tamanho de amostra Solução Para 95 de confiança use Zα2 196 e 003 p 012 useo para estimar π Use n 451 45074 003 0121 012 196 e 1 Z n 2 2 2 2 2 π π 62 Exercício Completo Uma empresa fornece água engarrafada para as casas do perímetro municipal em vasilhames de 15 litros O gerente quer estimar o número médio de vasilhames que uma casa usa por mês Uma amostra de 75 casas é selecionada e o número de vasilhames é registrado A média é 32 com desvio padrão de 078 a O que podemos deduzir pelo intervalo de 92 de confiança para a média b O gerente acha que o intervalo de confiança do item a é muito grande Quantas casas ele deve amostrar para construir um intervalo de confiança de 99 com erro menor do que 010 vasilhames c Uma amostra de 10 casas é selecionada para estimar o número médio de membros na família por casa Os resultados são 1 3 4 7 2 2 3 5 6 e 6 em cada casa Qual é o intervalo de confiança de 99 para o número médio de membros na família d Das 75 casas selecionadas na amostra 22 tem purificadores de água em casa Qual é o intervalo de 95 estimado para a proporção da população de todas as casas na área municipal com purificadores e Se a amplitude do intervalo do item e é pouco precisa qual deveria ser o tamanho da amostra para produzir um intervalo de 10 63 Tipos de Amostragem Prof Plácido Leitão Jr Ramos da estatística A estatística compreende a estatística descritiva a teoria de probabilidade e amostragem Método científico Definir cuidadosamente o problema Formular um plano para a coleta dos dados adequados Coligir os dados Reunir em coleção Ajuntar o que está disperso Analisar e interpretar os dados Relatar as conclusões de maneira que sejam facilmente entendidas por quem as for usar na tomada de decisões 65 Conceitos básicos Estatística uma estatística descreve uma amostra e serve como uma estimativa do correspondente parâmetro da população População é o conjunto de todos os elementos que o pesquisador deseja investigar Parâmetro uma medida ou característica que descreve a população que o pesquisador deseja investigar Amostra uma parte da população que é selecionada para estudo pois a população inteira é muito grande para ser analisada 66 População e Amostra Problemas envolvendo amostra Qual a população a ser amostrada Como obter os dados a amostra Que informações pertinentes podem ser retiradas da amostra Como se comporta a estatística quando o mesmo procedimento de escolher a amostra é usado em uma população conhecida 67 Importância Obter uma indicação do valor de um ou mais parâmetros de uma população tais como a média o desviopadrão populacional ou a proporção de itens que possuem determinada característica As estatísticas amostrais que correspondem a esses parâmetros populacionais são usadas para aproximar valores desconhecidos daqueles parâmetros 68 Fatores da Estatística Amostral A estatística amostral depende de 3 fatores para se aproximar do verdadeiro valor do parâmetro populacional a estatística que se está usando o tamanho da amostra a variabilidade da própria população submetida a amostragem 69 Tipos de Amostragem Amostras Amostras não probabilística Julgamento Amostras probabilísticas Aleatória simples Sistemática Estratificada Conglomerado Conveniência 70 Tipos de amostras Amostras não probabilística Em uma amostra não probabilística os itens incluídos são escolhidos sem se considerar sua probabilidade de ocorrência Na amostragem por conveniência os itens são selecionados com base apenas no fato de que eles são fáceis baratos ou convenientes para amostra Em uma amostra de julgamento você coleta as opiniões dos especialistas préselecionados em relação ao assunto objeto da pesquisa 71 Tipos de amostras Amostra probabilística Numa amostra probabilística os componentes da amostra são escolhidos com base em probabilidades conhecidas Amostras probabilísticas Aleatória Simples Sistemática Estratificada Conglomerado 72 Amostra Probabilística Amostra aleatória simples Cada indivíduo ou item tem uma chance igual de ser selecionado A seleção pode ser com substituição o indivíduo selecionado é devolvido com possível nova seleção ou sem substituição o indivíduo selecionado não é devolvido As amostras são obtidas a partir da tabela de números aleatórios ou de geradores de números aleatórios 73 Seleção de uma amostra aleatória simples usando uma tabela de números aleatórios Tabela de amostragem para a população de 850 Itens Nome Item Bev R 001 Ulan X 002 Joann P 849 Paul F 850 Parte de uma tabela de números aleatórios 49280 88924 35779 00283 81163 07275 11100 02340 12860 74697 96644 89439 09893 23997 20048 49420 88872 08401 Os primeiros 5 itens em uma amostra aleatória simples Item 492 Item 808 Item 892 não existe então ignore Item 435 Item 779 Item 002 74 Decida sobre o tamanho da amostra n Divida o quadro de N indivíduos em k grupos de indivíduos k N n Selecione aleatoriamente um indivíduo do grupo 1 Selecione cada késimo indivíduo Amostra probabilística Amostra sistemática N 40 n 4 k 10 Primeiro Grupo 75 Amostra probabilística Amostra estratificada Divida a população em dois ou mais subgrupos chamados estratos de acordo com alguma característica comum Uma amostra aleatória simples é selecionada a partir de cada subgrupo com tamanhos da amostra proporcional ao tamanho dos estratos As amostras de subgrupos são combinados em uma única amostra Esta é uma técnica comum na amostragem de população de eleitores estratificando por meio das linhas raciais ou socioeconômica População dividida em 4 estratos 76 Amostra probabilística Amostra por conglomerado A população é dividida em vários conglomerados cada um representativo da população Uma amostra aleatória simples de conglomerados é selecionada Todos os itens dos conglomerados selecionados podem ser usados ou os itens podem ser escolhidos a partir de um conglomerado utilizando uma outra técnica de amostragem probabilística Uma aplicação comum dos conglomerados envolve pesquisas eleitorais em que certos distritos eleitorais são selecionados e amostrados População dividida em 16 conglomerados Grupos selecionados aleatoriamente na amostra 77 Amostras probabilísticas Comparando métodos de amostragem Amostra aleatória simples e amostragem sistemática Simples de usar Pode não ser uma boa representação de características subjacentes da população Amostra estratificada Garante a representação de indivíduos por toda a população Amostra por conglomerados Custo mais efetivo Menos eficiente necessidade uma amostra maior para ter o mesmo nível de precisão 78 Avaliando a validade da pesquisa Qual é a finalidade da pesquisa A pesquisa é com base em uma amostra probabilística Erro de cobertura estrutura adequada Erro de não resposta acompanhamento Erro de medição boas perguntas obtém boas respostas Erro de amostragem sempre existe 79 Tipos de erros da pesquisa Erro de cobertura ou viés de seleção Existe se alguns grupos são excluídos do quadro ou não tem chance de ser selecionado Erro de não resposta ou preconceito As pessoas que não respondem podem ser diferentes daqueles que respondem Erro de amostragem Variação de amostra para amostra sempre existirá Erro de medição Devido às deficiências no projeto da questão erro do entrevistado e efeitos do entrevistador sobre o entrevistado efeito Hawthorne Conceito que se originou nos Estudos Hawthorne e que consiste numa mudança positiva do comportamento de um grupo de trabalhadores em relação aos objetivos de uma empresa devido ao fato de eles se sentirem valorizados pela gerência ou pela direção da mesma 80 Erro de cobertura Erro de não resposta Erro de amostragem Erro de medição Excluídos do quadro Acompanhar não resposta Diferenças aleatórias entre as amostras Perguntas ou líderes ruins Tipos de erros da pesquisa 81 Erros em Amostragem Erros de Amostragem Erros Alheios à Amostragem Erros de Resposta Ausência de Resposta Erros do Entrevistador Erros do Respondente Erros do Pesquisador Erro de Substituição de Informação Erro de Mensuração Erro de Definição da População Erro de Análise de Dados Erro de Seleção do Respondente Erro de Formulação da Questão Erro de Registro da Resposta Erros Deliberados por Conveniência Erro por Falta de Habilidade em Responder Corretamente Erro por Relutância em Responder Corretamente Erros de Cobertura Erro Total 82 Bibliografia Utilizada Levine D M Stephan D F Krehbiel T C Berenson M L Estatística teoria e aplicações usando Microsoft Excel em português Rio de Janeiro LTC 2012 Webster A L Applied Statistics for Business and Economics An essential Version The McGrawHill Companies Inc 2006 83