Sequências e Series 1

2) DETERMINAR SE A SEQUÊNCIA CONVERGE OU DIVERGE E O LIMITE, SE CONVERGIR.\n\nm) a_n = (-3)^n/n! (n>0)\n\nI) A sequência alterna entre termos positivos e negativos, devido ao (-3)^n.\n\nn = ímãs\n\n(-3)^n/n! = (-3)(-3)(-3)...(-3) = (-3/n) * (-3/n-1) * (-3/n-2) * ... * (-3/n) = ... = (-3)^n/n! = \n\n|(-3)/n| ≥ 1 p| n ≤ 3, porém 0 < |(-3)/n| < 1, p/\n\nn > 3. Como estamos pensando no comportamento da sequência quando n → ∞, acredito que isso já nos permite afirmar que a sequência converge para zero.\n\nlim n → ∞ a_n = 0.\n\ng) a_n = (-1)^n/3/n^3 + 2n^2 + 1\n\nSe não tivéssemos o fator (-1)^n, poderíamos usar a função f(x) = n^3/(n^2 + 2n + 1) e concluir que lim f(x) = 1,\n\n3/(n^2 + 2n + 1),\n\npara L'Hôpital ou por uma resolução algébrica do limite. Porém, o termo (-1)^n torna negativos os termos de posição ímpar. Portanto, a sequência diverge. 11) SEQUÊNCIA DADA POR: { a_n = √2, a_{n+1} = √2 + a_n }\n\na) Mostre que (a_n) é crescente e limitada superiormente por 3.\n\nA sequência é crescente, pois a_1 = √2 > 0 e a_{n+1} = √2 + a_n, certamente será maior que a_n+1, pois a_{n-1} > 0.\n\n(√ insuficiente? indução?)\n\nSerá mostrado que a sequência é limitada superiormente por 3 por indução. Para o caso inicial, temos a_1 = √2 < 3. Para a hipótese de indução, devemos demonstrar que a_n = √2 + a_{n-1} < 3 ⇒ a_{n+1} = √2 + a_n < 3, para n ∈ ℕ.\n\nPor hipótese, temos que a_n < 3.\n\na_n < 3\n\n2 + a_{n-1} < 5\n\n√2 + a_n < √5\n\nMas √2 + a_2 = a_{n+1} e √5 < 3. Então,\n\na_{n+1} < 3.\n\nb) Mostre que a sequência é convergente e calcule seu limite.\n\nComo a sequência é crescente e limitada, podemos concluir que é convergente pelo Teorema 9. Cálculo do limite da sequência:\n\nPelo Teorema 9, sabemos que o limite existe, desde que a_n = L. Pela relação de recorrência, temos:\n\nlim n→∞ a_{n+1} = lim n→∞ L = L = ... = √2 + L\n\nComo lim a_n = L, então lim a_{n+1} = L também, pois se n → ∞, então n+1 → ∞ também. Disso temos que √2 + L = L, L > 0.\n\nResolvendo a equação, temos L = 2.\n\nLista 2:\n\n1) DETERMINAR SE A SÉRIE CONVERGE OU DIVERGE, E A SOMA.\n\nd) Σ{(-3)^n/(4^n)}\n\nReescrevendo a expressão:\n\n(-3)^n/(4^n) = (-3/4)^n * 1\n\nEntão Σ{(-3/4)^n} = Σ{ (1/4) * (1/(1 - (-3/4)))}\n\nlogo a_1 = 1/4 e r = -3/4.\n\nComo |r| < 1, a série converge. Sua soma será:\n\nΣ{(1/4)/(1 - (-3/4))} = 1/4/(7/4) = 1/7. 2\n\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{1}{n^2-1} \n\nRescrevendo a expressão:\n\n2 = \\frac{A}{n-1} + \\frac{B}{n+1} \\Rightarrow A(n+1)+B(n-1)=2\n\nAm + A + Bn - B = 2 \n\\Rightarrow A + B = 0 \quad A = 1\n(A + B)n + (A - B) = 2 \\Rightarrow A - B = 2 \quad B = -1 \n\nLogo \\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{2}{(n^2-1)} = \\sum_{n=2}^{\\infty} \\left(\\frac{1}{n-1} - \\frac{1}{n+1}\\right). \nExpanding terms:\n\\sum_{n=2}^{\\infty} \\left(1 - \\frac{1}{3} + \\frac{1}{20} - \\frac{1}{9} + \\cdots + \\left(\\frac{1}{n - 1} - \\frac{1}{n + 1}\\right) = S_n\n\nTodos os termos se cancelam, exceto 1, 1/2, -1/2 e -1/n.\n\nEntão S_n = 1 + \\frac{1}{2} - \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n + 1}.\n\n\\lim_{n \\to \\infty} S_n = \\lim_{n \\to \\infty} \\left(1 + \\frac{1}{2} - \\frac{1}{n} - \\frac{1}{n+1}\\right) = \\frac{3}{2} 5) SE A n-ésima soma parcial de uma série \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n FOR\nS_n = 3 - n \\cdot 2^{-n}\n\nENCONTRE a_n \\in S_n, \\quad S_{n - 1}\n\nI) S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \\cdots + a_n + a_n\nS_{n - 1}\n\nS_n = S_{n - 1} + a_n \\Rightarrow a_n = S_n - S_{n - 1}\n\nEntão a_n = \\left(3 - n \\cdot 2^{-n}\\right) - \\left(3 - (n - 1) \\cdot 2^{-(n - 1)}\\right)\n= -n \\cdot 2^{-n} + \\left(1 - 2^{-n} \\cdot n \\cdot 2^{n - 1}\\right)\n= -n \\cdot 2^{-n} + (2^{n - 1} - 2^{-n})\n\nII) \\sum_{n=1}^{\\infty} 3 - n \\cdot 2^{-n} = 3 + \\lim_{n \\to \\infty} n \\cdot 2^{-n} = 3 + \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{2^n} \\Rightarrow 3 + \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{1}{2^{n - 1}}\\left(\\frac{1}{2^{\\ln 2}}\\right)\n= 3