Cálculo da Área de Superfície em Cálculo Diferencial e Integral III

Área de Superfície Cálculo Diferencial e Integral III R y z S z f xy x S O objetivo é definir a área da região 𝑺 e obter a fórmula para o seu cálculo Seja a parte do gráfico de fxy contínua sobre a região 𝑹 a qual denominamos de 𝑺 Suponhamos f xy 0 em toda a região 𝑹 do plano 𝑥𝑦 e dotada de derivadas parciais primeiras contínuas no domínio 𝑹 Para simplificar admitiremos que 𝑺 não tem nenhum vetor normal paralelo a 𝑥𝑦 S R y z S z f xy x Vamos dividir o domínio 𝑹 em pequenos retângulos 𝑹𝒊𝒋 com áreas 𝐴 𝑥𝑦 Seja 𝑥𝑖 𝑦𝑗 0 o canto da região 𝑹𝒊𝒋 mais próximo da origem Em 𝑺 há um ponto P 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 que está diretamente acima de 𝑥𝑖 𝑦𝑗 0 No gráfico é possível visualizar o ponto P 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 pertencente a 𝑺 que corresponde a imagem de 𝑥𝑖 𝑦𝑗 0 Há uma porção de 𝑺 que correspondente a área de f xy que está acima da região 𝑹𝒊𝒋 S R y z Dx DA S z f xy xiyj0 x xi Dy yj Pxiyjf xiyj A porção de S que correspondente a região acima de 𝑹𝒊𝒋 é denotada por 𝑺𝒊𝒋 ela está representada no gráfico ao lado A região 𝑺𝒊𝒋 é extremamente pequena A partir do ponto P 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 será traçado o plano tangente a 𝑺 que passa pelo ponto P S R y z DSij Dx S z f xy xiyj0 Pxiyjf xiyj x xi Dy yj A porção do plano tangente a S que passa por 𝑃 correspondente a região acima de 𝑹𝒊𝒋 é denotada por 𝑻𝒊𝒋 ela está representada no gráfico ao lado A região 𝑻𝒊𝒋 é extremamente pequena e se aproxima da porção 𝑺𝒊𝒋 𝑻𝒊𝒋 é uma aproximação da área 𝑺𝒊𝒋 da parte de 𝑺 que fica diretamente acima de 𝑹𝒊𝒋 Portanto σ σ 𝑻𝒊𝒋 corresponde a uma aproximação à área total de S Essa aproximação melhora quando as partições do domínio R aumentam 𝐴 𝑆 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑻𝒊𝒋 S DTij R y z DSij Dx DA S z f xy xiyj0 Pxiyjf xiyj x xi Dy yj 𝐴 𝑆 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑻𝒊𝒋 Uma fórmula para determinar 𝐴 𝑆 que seja mais conveniente do que a demostrada será obtida utilizando conceitos vetoriais Para facilitar a compreensão representaremos apenas a porção do gráfico de 𝑺 que corresponde às porções 𝑺𝒊𝒋 e 𝑻𝒊𝒋 Como 𝑻𝒊𝒋 é uma aproximação de 𝑺𝒊𝒋 vamos considerar apenas a representação de 𝑻𝒊𝒋 DA z y Dx DA xiyj0 x xi Dy yj DTij DSij Pxiyjf xiyj DTij Pxiyjf xiyj y z x b a xi xiyj0 yj Vamos considerar dois vetores com origem em P 𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑓 𝑥𝑖 𝑦𝑗 Os dois vetores com origem em P ficam ao longo dos lados dos paralelogramos com área 𝑻𝒊𝒋 Utilizando a interpretação geométrica da derivada parcial em que 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 e 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 correspondem aos coeficientes angulares das retas tangentes através de P nas direções dos vetores Ԧ𝑎 e 𝑏 respectivamente A seguir escreveremos os dois vetores Ԧ𝑎 𝑥 Ƽ𝑖 0 Ƽ𝑗 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑥𝑘 𝑏 0 Ƽ𝑖 𝑦 Ƽ𝑗 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑦𝑘 A área de 𝑻𝒊𝒋 do paralelogramo determinado por Ԧ𝑎 e 𝑏 é dado pelo módulo do produto vetorial entre os dois vetores isto é Ԧ𝑎 x 𝑏 𝑻𝒊𝒋 Ԧ𝑎 x 𝑏 b a Dx fxxiyjDx fyxiyjDy Dy DTij Pxiyjfxiyj y z b a x Dx fxxiyjDx Dy fyxiyjDy xi xiyj0 yj Ԧ𝑎 x 𝑏 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 Ƽ𝑖 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑦𝑥 Ƽ𝑗 𝑥𝑦𝑘 Ԧ𝑎 x 𝑏 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝐴 Ƽ𝑖 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝐴 Ƽ𝑗 𝐴𝑘 𝑻𝒊𝒋 Ԧ𝑎 x 𝑏 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝐴 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝐴 2 𝐴2 𝑻𝒊𝒋 Ԧ𝑎 x 𝑏 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝐴 𝐴 𝑆 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑻𝒊𝒋 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝐴 Ԧ𝑎 𝑥 Ƽ𝑖 0 Ƽ𝑗 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑥𝑘 𝑏 0 Ƽ𝑖 𝑦 Ƽ𝑗 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑦𝑘 Ԧ𝑎 x 𝑏 Ƽ𝑖 Ƽ𝑗 𝑘 𝑥 0 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 0 𝑦 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝒙𝒚 𝑨 𝑻𝒊𝒋 Ԧ𝑎 x 𝑏 𝐴 𝑆 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑻𝒊𝒋 lim 𝑚𝑛 𝑖1 𝑚 𝑗1 𝑛 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝐴 Aplicando a definição de integral dupla onde o limite de uma soma dos 𝑻𝒊𝒋 nos traz a fórmula integral dada por 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝑑𝐴 A área da superfície com equação 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑅 onde 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 são contínuas é 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝑑𝐴 Essa fórmula também pode ser usada se 𝑓 𝑥 𝑦 0 em 𝑅 Notações para derivadas parciais Se 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 então 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑧 𝑥 𝑧𝑥 𝐷𝑥𝑓 𝑦 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑦 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 𝑓𝑦 𝑧 𝑦 𝑧𝑦 𝐷𝑦𝑓 Área da superfície 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑓𝑥 𝑥 𝑦 2 𝑓𝑦 𝑥 𝑦 2 1 𝑑𝐴 ou 𝐴 𝑆 ඵ 𝑅 𝑧𝑥 2 𝑧𝑦 2 1 𝑑𝐴