Cálculo de Área e Massa de Sólidos com Coordenadas Esféricas e Cilíndricas

Ex 1 Calcule a área de superfície da parte do cone z x² y² que está abaixo do plano z 2 Ex 3 Um sólido é limitado pelos paraboloides z 9 x² y² z 9 x² y² e pelo cilindro x² y² 9 A densidade em um ponto P é inversamente proporcional à distância do ponto P ao eixo z δ kd Utilize coordenadas cilíndricas para determinar a massa do sólido m Fr θ z r dz dr dθ Ex 2 O sólido E apresentado na figura é limitado pelo cilindro x² y² 1 e pelos planos z y e z 0 Ex 4 Um sólido no primeiro octante está limitado superiormente pela esfera x² y² z² 16 e inferiormente pela esfera x² y² z² 9 A densidade em um ponto P é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P à origem δ k a² Determine sua massa utilizando coordenadas esféricas Ex 4 Um sólido é limitado interiormente à esfera x² y² z² a² exteriormente ao cone z x² y² e acima do plano xy A densidade em um ponto P é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P ao polo O δ k 2 a² Determine sua massa utilizando coordenadas esféricas Ex 3 Um sólido é limitado inferiormente pelo plano xy z 0 lateralmente pelo cilindro x² y² 4 e superiormente pelo parabolóide z 4 x² y² A densidade em um ponto P é inversamente proporcional ao quadrado da distância do ponto P ao eixo z δ k x² Utilize coordenadas cilíndricas para determinar o momento de inércia em relação ao eixo z Iz md² y² z² 4 e x² y² 4 Determine a os limites de integração nas ordens dzdydx e dxdydz b o volume da região representada Ex 1 Calcule a área de superfície da parte do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano x y z 1 AS 1 zx² zy² dA questão 25 pontos calcule a integral x yx² y² y dx dy onde R é a região no 1º quadrante limitada pelas equações y 2 x y 6 x y x 1 y x 4 4ª Questão 15 pontos Utilizando integrais múltiplas calcule a área da superfície da parte de z x² y² cortada pelos planos z 1 e z 4 Dica 1 zx² zy² dA a 05 Esboço da área de superfície do sólido b Cálculo da área 3ª Questão 25 pontos Um sólido W é delimitado pelas equações x y 1 x 3 z x e z 0 a Represente o domínio de integração região R Marque cada curva limitante com sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentam interseção 1 ponto b Expresse o volume usando integrais duplas do tipo 1 dA dy dx e tipo 2 dA dx dy 15 pontos NÃO CALCULE Tipo 1 dA dy dx Tipo 2 dA dx dy 2ª Questão 3 pontos a Inverte a ordem de integração ₀³ ₂²²x fxy dy dx Faça um esboço da região R no plano xy b Inverte a ordem de integração e calcule ₀¹ ₀x 1 y⁵ dy dx