Lista 1 - Gabarito de Sinais e Sistemas

PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 1 Questão 1 Determine a taxa de amostragem minima taxa de Nyquist e o período de amostragem máximo para os seguintes sinais a sinc100t 3 sinc2 100𝜋t Solução Segundo o Teorema da Amostragem Nyquist Shannon a frequência de amostragem deve ser maior pelo menos 2 vezes do que a maior frequência do sinal Portanto temos que descobrir a maior frequência do sinal fornecido Ou seja temos que calcular a Transformada de Fourier do sinal em questão PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 2 Para resolver este item precisamos calcular a Transf De Fourier da função sincx Sabemos porque vimos no curso de Sinais e Sistemas que 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡 𝜏 𝑭 𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝜏 2 𝜔𝜏 2 𝜏 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜔𝜏 2 Mas a Transformada de Fourier tem uma propriedade chamada de dualidade que pode ser expressa assim 𝑥 𝑡 𝑋 𝜔 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑋 𝑡 2𝜋𝑥𝜔 Portanto 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜔0𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑡 𝜔0𝑡 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 2𝜔0 Para a primeira parcela do sinal fornecido no enunciado sinc100t a frequência máxima do sinal é igual a 𝜔02𝜋 50 Hz e a frequência de amostragem mínima é igual a 100 amostrass e o período máximo é igual a 001 s 𝜔0 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 2𝜔0 𝜔0 𝜋 2 𝜔 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 3 Solução Precisamos calcular o espectro da função original sinc2100𝜋t Sabemos que o espectro de 𝑠𝑖𝑛𝑐 100𝜋t é dado por 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 20𝜋 e seu gráfico é 100𝜋 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 20𝜋 100𝜋 𝜋 2 𝜔 Mas qual a Transformada de Fourier de sinc𝟐100𝜋t PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 4 Solução a Esboce o espectro do sinal amostrado Sabemos também que a Transformada de Fourier do produto de duas funções é igual à convolução do espectro destas duas funções Assim o espectro de sinc2 10𝜋t é dado por 100𝜋 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 20𝜋 100𝜋 𝜋 2 𝜔 100𝜋 𝜋 2 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝜔 20𝜋 100𝜋 𝜋 2 𝜔 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 5 100𝜋 h𝜏 100𝜋 𝜋 2 𝜔 100𝜋 𝑔𝜔 100𝜋 𝜋 2 𝜔 Vamos calcular esta convolução graficamente 𝑔𝜔 𝜏 𝜋 2 100𝜋 𝜔 100𝜋 𝜔 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 6 100𝜋 h𝜏 100𝜋 𝜋 2 Vamos calcular esta convolução graficamente 𝑔𝜔 𝜏 𝜋 2 100𝜋 𝜔 100𝜋 𝜔 Situação a 𝝎 𝟐𝟎𝟎𝝅 Não há superposição A convolução é igual a 0 100𝜋 h𝜏 100𝜋 𝜋 2 𝑔𝜔 𝜏 𝜋 2 100𝜋 𝜔 100𝜋 𝜔 Situação b𝟐𝟎𝟎𝝅 𝝎 𝟎 ℎ 𝜔 𝑔 𝜔 𝜋2 4 100𝜋 100𝜋𝜔 𝑑𝜔 𝜋2 4 𝜔 200𝜋 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 7 Vamos calcular esta convolução graficamente Situação c 0 𝝎 𝟐𝟎𝟎𝝅 Não há superposição A convolução é igual a 0 100𝜋 h𝜏 100𝜋 𝜋 2 100𝜋 𝜔 100𝜋 𝜔 Situação d 𝟐𝟎𝟎𝝅 𝝎 ℎ 𝜔 𝑔 𝜔 𝜋2 4 100𝜋𝜔 100𝜋 𝑑𝜔 𝜋2 4 𝜔 200𝜋 100𝜋 h𝜏 100𝜋 𝜋 2 100𝜋 𝜔 100𝜋 𝜔 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 PDS Lista 1 Gabarito 8 O resultado da convolução o espectro da função sinc ao quadrado será 200𝜋 200𝜋 50𝜋3 𝜔 Usando a linearidade da Transformada de Fourier o espectro do sinal sinc100t 3 sinc2 100𝜋t é dado pela figura abaixo observe que a escala vertical não está devidamente registrada 200𝜋 100𝜋 200𝜋 100𝜋 𝜔 A maior frequência do sinal é igual a 2002 100 Hz e a frequência de amostragem mínima é igual a 200 amostrass O período máximo de amotrage é igual a 1200 0005 s PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 9 Questão 2 25 pontos Um sistema linear discreto causal e invariante no tempo é definido tendo como entrada o sinal xn e como saída o sinal yn A sua dinâmica é modelada pela seguinte equação de diferenças yn xn 0125xn2xn3 xn4 xn5 xn6 0125xn7 xn8 Com base nas informações apresentadas resolva as questões a seguir Quando a entrada é o impulso unitário δn quais são os valores yn n0128 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 10 Solução 1 Sabemos que para n0 o sistema está em repouso e yn0 Para n 0 y0 x0 0125x2x3 x4 x5 x6 0125x7 x8 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y0 δ01 Para n 1 y1 x1 0125x1x2 x3 x4 x5 0125x6 x7 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y1 0 Para n 2 y2 x2 0125x0x1 x2 x3 x4 0125x5 x6 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y20125 Para n 3 y3 x3 0125x1x0 x1 x2 x3 0125x4 x5 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y31 Para n 4 y4 x4 0125x2x1 x0 x1 x2 0125x3 x4 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y41 Para n 5 y5 x5 0125x3x2 x1 x0 x1 0125x2 x3 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y21 Para n 6 y6 x6 0125x4x3 x2 x1 x0 0125x1 x2 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y21 Para n 7 y7 x7 0125x5x4 x3 x2 x1 0125x0 x1 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y70125 Para n 8 y8 x8 0125x6x5 x4 x3 x2 0125x1 x0 Como a entrada é a função impulso e esta só é não nula para n 0 y81 Solução 2 A equação descreve um filtro FIR Assim a resposa imulsiva é dada pelos coeficientes dos termos dependentes da entrada Assim y0 1 y10 y2 0125 y31y41y51y61y70125 y81 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 11 Questão 3 A figura abaixo representa a transformada de Fourier de um sinal amostrado Esboce a transformada de Fourier do sinal original do qual este sinal foi gerado e indique claramente qual frequência de amostragem foi utilizada Não se preocupe com a escala do eixo vertical PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 12 Solução Sabemos que o espectro de um sinal amostrado é formado por réplicas do sinal original deslocadas para frequências múltiplas da frequência de amostragem Na figura fornecida é possível ver claramente que o sinal é formado por réplicas do espectro abaixo deslocada para frequências múltiplas de 45 Hz Assim o espectro do sinal abaixo é o da figura baixo e a frequência de amostragem é igual a 45 Hz esta frequência não está de acordo com o Teorema da Amostragem e o sinal amostrado sofre de aliasing PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 13 Calcule a equação diferença que expressa a relação entre a entrada e a saída da rede abaixo Questão 4 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E COMPUTAÇÃO 02102021 Fundamentos de IoT ESP32 14 Solução Os sinais em cada nó da rede digital estão assinalados em vermelho na figura abaixo yn yn1 b yn1 b yn2 xn b yn2 axn b yn2 Portanto yn axn b yn2 yn axn a b yn2