Processamento Digital de Sinais - Lista de Exercícios sobre Amostragem e Transformada Z

Processamento Digital de Sinais 2º Semestre de 2022 Tarefa 1 Entrega 02102022 Exercício 1 Sabendo que novas tecnologias são predominantemente realizadas no domínio digital ou discreto em oposição ao tradicional domínio analógico ou contínuo considere que no teste de seu algoritmo um pesquisador precisa gerar um sinal no domínio discreto que tenha o espectro de frequências ilustrado na figura a seguir onde a amplitude A pode assumir qualquer valor constante maior do que zero Considere ainda que para testar seu algoritmo esse pesquisador gerará o sinal discreto xn com N amostras e que consiste na soma de duas senoides de amplitude 1 e frequências 105 Hz e 225 Hz utilizando uma frequência de amostragem apropriada a Baseado nas informações acima selecione um valor de frequência de amostragem apropriada b Considerando que o sinal gerado possui uma expressão similar a expressão seguinte forneça os valores de 𝑓1 𝑓2 𝑓3 𝑒 𝑓4 𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝑓1 𝑓2 𝑛 𝑠𝑒𝑛2𝜋 𝑓3 𝑓4 𝑛 c Esboce o espectro do sinal discreto gerado segundo a equação acima Exercício 2 Considere o seguinte sistema em tempo discreto a Calcule a função de transferência deste sistema b Determine a equação diferença que expressa o comportamento deste sistema Considerando b0 08849 b1 17697 b2 04424 a1 15951 a2 09444 e T 110000 s c Calcule os pólos e zeros deste sistema d Plote a resposta em frequência em função da frequência em Hz e Determine se este sistema é estável Exercício 3 Calcule a Transformada z das seguintes funções a 𝑢𝑛 3 22𝑛1 b 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑛22𝜋𝑓0𝑛 01 a PARA OBEDACER O CRITÉRIO DE NYQUIST fa 2 fmax 2225 450 Hz REGRAS PRÁTICAS AGUIRRE fa 10 fmax 10 225 2250 Hz FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM ESCOLHIDA fa 4725 Hz b SINAL CONTÍNUO xt sen 2πf1t sen 2πf3t AMOSTRAGEM tnT n1fa nfa xn sen2πf1 nfa sen 2πf3nfa xn sen 2π 1fan sen 2πf3fan PARA fa 4725 Hz E AS FREQUÊNCIAS DOS GRÁFICOS f1105 Hz f3225 Hz xn sen 2π1054725n sen 2π2254725n COMPARANDOSE COM A EXPRESSÃO DADA f1 105 Hz f2 4725 Hz f3 225 Hz f4 4725 Hz c TREM DE IMPULSOS PERIÓDICOS st StnT SjΩ 2πT SΩkΩs n k SINAL AMOSTRADO xSt xCt st xSjΩ 1 2Π XcjΩ SjΩ 1 2Π XcjΩ 2ΠT SΩkΩs xSjΩ 1T k Xc jΩjkΩs PELA EXPRESSÃO ACIMA VEMOS QUE O ESPECTRO DO SINAL AMOSTRADO XsdΩ É COMPOSTO POR CÓPIAS DO ESPECTRO DO SINAL XcdΩ REPETIDAS A CADA Ωs rads ωs2π1Ta 2Π4725 9450Π rads IDEM COM SINAL 02 a xn b0 b0 xn h1 xn1 a1 yn1 b2 xn2 a2 yn2 yn yn b0 xn b1 xn1 a1 yn1 b2 xn2 a2 yn2 yn a1 yn1 a2 yn2 b0 xn b1 xn1 b2 xn2 APLICANDOSE A TRANSFORMADA Z COM CONDI COES INICIAIS NULAS Yz a1 z1 Yz a2 z2 Yz b0 Xz b1 z1 Xz b2 z2 Xz Yz 1 a1 z1 a2 z2 b0 b1 z1 b2 z2 Xz Yz Xz b0 b1 z1 b2 z2 1 a1 z1 a2 z2 b0 z2 b1 z b2 z2 a1 z a2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Yz Xz b0 z2 b1 z b2 z2 a1 z a2 b EQUAÇÃO A DIFERENÇAS yn a1 yn1 a2 yn2 b0 xn b1 xn1 b2 xn2 UTILIZANDOSE OS VALORES DADOS yn 15951 yn1 09444 yn2 08849 xn 17697 xn1 04424 xn2 c PELA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Yz Xz 08849 z2 17697 z 04424 z2 15951 z 09444 P06 ZEROS DO SISTEMA 08849 z2 17697 z 04424 0 z1 17070 z2 02929 POLOS DO SISTEMA z2 15951 z 09444 0 P1 04596 P2 20547 d z e jωT e j 2π t T e j 2π t 10000 HejωT Hz z ejωT USANDOSE O MATLAB PARA TRAÇAR A RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE He j 2π f 10000 08849 z2 17697 z 04424 z2 15951 z 09444 z e j 2π f 10000 f Hz HejT f Hz phaseHejT e O sistema NÃO É ESTÁVEL p09 pois tem um polo com módulo maior que 1 p11 20547 20547 1 03 a xn un 3 22n1 xn 3un 22n1 un xn 3un 22 un xn 3un 22n2 un utilizandose a transformada z unilateral Xz Σ 3zn Σ 22n2 zn n0 n0 Xz 3 Σ z1n 12 Σ 22 z1n n0 n0 Xz 3 11z1 12 1122 z1 xz 31 z1 12 11 14 z1 xz 3zz 1 12 zz 025 b xn un sin22πfon xn un 12 1 cos 2 2πfon xn 12 un 12 cos 4πfon un xn 12 un 12 ej4πfon ej4πfon2 un xn 12 un 14 ej4πfon un 14 ej4πfon un Xz Σ n0 to 12 zn Σ n0 to 14 ej4πfon zn Σ n0 to 14 ej4πfon zn Xz 12 Σ n0 to z1n 14 Σ n0 to ej4πfon z1n 14 Σ n0 to ej4πfon z1n Xz 12 11 z1 14 11 ej4πfo z1 14 11 ej4πfo z1 Xz 12 zz 1 14 zz ej4πfo zz ej4πfo