Lista de Exercícios Resolvidos: Física Geral e Experimental III - Campo Elétrico

Lista III de Física Geral e Experimental III Prof Fábio Jesus Bruno Lima Resolução Constantes Dados 𝜀0 8851012 𝐶2𝑁𝑚2 𝐾0 90 109 𝑁𝑚2𝐶2 Exercício 1 Determine a intensidade do vetor campo elétrico gerado por um fio de comprimento 𝐿 200 𝑐𝑚 e eletrizado uniformemente com carga 𝑄 50 𝜇𝐶 no ponto P da figura abaixo Considere o meio o vácuo Resposta O problema nos forneceu o comprimento L do fio e a expressão que rege o comportamento da densidade de carga do fio portanto temos que 𝜆 𝑑𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝑄 0 𝜆𝑑𝑥 𝐿 0 1 Portanto podemos utilizar a fórmula do campo elétrico para resolver a questão 𝑑𝐸 𝑘0𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0𝜆 𝑟 𝑟3 𝑑𝑥 02 0 𝐸 90109 50106 𝑗 05 𝑥 05 𝑥2 3 𝑑𝑥 02 0 𝐸 45104 𝑗 1 05 𝑥2 𝑑𝑥 02 0 Para resolver vamos resolver as integrais separadamente Na primeira integral temos que realizar uma substituição trigonométrica onde 𝑡𝑔2𝜃 𝑥2 052 𝑑𝑥 05 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 Substituindo os limites de integração temos Para 𝑥 0 𝜃 0º Para 𝑥 02 𝜃 5631º 𝑜𝑢 0983 𝑟𝑎𝑑 E lembrando da seguinte relação trigonométrica 𝑠𝑒𝑐2𝜃 1 𝑡𝑔2𝜃 é possível resolver 05 052 𝑥2 3 𝑑𝑥 02 0 05 1 05 1 𝑥2 032 3 𝑑𝑥 02 0 05 053 1 1 𝑡𝑔2𝜃 3 𝑑𝑥 02 0 1 052 1 𝑠𝑒𝑐2𝜃 3 𝑑𝑥 02 0 1 052 05 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 3 𝑑𝜃 0983 0 1 05 1 sec 𝜃 𝑑𝑥 0983 0 1 05 sen 𝜃0 0983 166 Na segunda integral basta aplicar a regra da substituição onde 𝑢 052 𝑥2 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 Substituindo os limites de integração temos Para 𝑥 0 𝑢 025 Para 𝑥 02 𝑢 029 𝑥 052 𝑥2 3 𝑑𝑥 02 0 1 2 1 𝑢 3 𝑑𝑢 029 025 1 2 2 𝑢 025 029 1 1 029 1 05 014 Voltando para a equação original e substituindo as integrais encontradas chegamos ao seguinte resultado 𝐸 45104 𝑗 05 052 𝑥2 3 𝑑𝑥 02 0 𝑥 052 𝑥2 3 𝑑𝑥 02 0 𝐸 45104 𝑗 166 014 𝐸 684104 𝑗 Então o módulo do campo elétrico é 𝐸 684104 𝑁𝐶 Exercício 2 Um bastão delgado de comprimento L e carga distribuída uniformemente com densidade linear de carga 𝜆 está sobre o eixo dos x conforme a figura a demonstrar que o campo elétrico no ponto P a uma distância y do bastão sobre a mediatriz não tem componente x e é dado por 𝐸 2𝑘0𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑦 b Com o resultado de a mostrar que o campo de um bastão de comprimento infinito é dado por 𝐸 2𝑘0𝜆 𝑦 Resposta a O item a pede para demonstrar a existência do campo elétrico no ponto P Trabalhando com a fórmula do campo elétrico e os valores dados temos que 𝑑𝐸 𝑘0𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0𝜆𝑑𝑥 𝑟3 𝑟 𝐿 2 𝐿 2 Definindo 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑥 𝑥2𝑦2 e tendo 𝑟 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 considerando o referencial o fio pela parte positiva Então temos 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0 𝜆 𝑑𝑥 𝑟3 𝑟 𝐿 2 𝐿 2 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑖 𝑥2 𝑦2 3 2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑦 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 0 𝑗 𝑥 𝑦𝑥2 𝑦2 𝐿 2 𝐿 2 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑦 𝐿2 𝐿2 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑦 𝑗 b Para este caso basta mudarmos o limite de integração do fio para 𝑥 Através da análise de trigonometria do seno onde 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 1 e 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 1 Portanto temos 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑦 𝑗 𝐸 𝑘0 𝜆 1 1 𝑦 𝑗 𝐸 2 𝑘0 𝜆 𝑦 𝑗 Comentários o exercício exige amplo conhecimento na parte trigonométrica para realizar a demonstração As passagens marcadas com o asterisco foram resolvidas a partir de substituição trigonométrica que será deixada abaixo para fins de aprendizagem 𝑦 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑦 𝑗 1 𝑥2 𝑦2 1 3 2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑦 𝑗 1 𝑦2 sec𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 𝑑𝑢 1 𝑦 𝑗 1 sec𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 𝑑𝑢 1 𝑦 𝑗 sin𝑢 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐿 2𝑦 1 𝑦 𝑗 2𝐿 𝐿2 4𝑦2 𝐿 2 𝑥 1 𝑦 𝑗 𝑥 𝑥2 𝑦2 Exercício 3 Calcular o campo elétrico vetorial no ponto P do eixo da coroa circular distante de centro de 𝑥 100 𝑐𝑚 como mostra a figura e possui densidade superficial de carga 𝜎 50 𝜇𝐶𝑚² uniformemente distribuída com os raios interno 𝑎 50 𝑐𝑚 e externo e 𝑏 150 𝑐𝑚 respectivamente Resposta Para este problema o ideal é considerar a simetria de forças para poder realizar o exercício tendo portanto somente campo elétrico para o eixo x Um observador no ponto P possui a posição 𝑟𝑃 𝑃 0 0 A saída do Vetor Deslocamneto de um elemento genérico dx fica 𝑟 𝑃𝑖 𝑦𝑗 𝑧𝑘 As componentes y e z se anulam por simetria deixando o Vetor Deslocamento 𝑟 𝑃𝑖 Portanto podemos utilizar a Equação do campo elétrico para calcular o campo resultante sobre a carga no ponto P Lembrando que 𝑄 𝜎 𝑆 𝑑𝑄 𝜎 𝑑𝑆 E que 𝑆 𝜋 𝑟2 𝑑𝑆 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 Então temos 𝑑𝐸 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 015 005 𝐸 𝑘0 𝜎 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑟3 𝑟 015 005 𝐸 𝑘0 𝜎 2𝜋 𝑟 𝑃 𝑖 𝑃3 𝑑𝑟 015 005 𝐸 9109 5106 2𝜋 1 𝑃2 𝑖 𝑟 𝑑𝑟 015 005 𝐸 9104 𝜋 1 012 𝑖 𝑟 𝑑𝑟 015 005 𝐸 9102 𝜋 𝑖 𝑟2 2 005 015 𝐸 2827 𝑖 𝑁𝐶 Exercício 4 Uma distribuição semicircular de carga de raio R possui densidade superficial de carga dada por 𝜎 𝑎 𝑟² 𝜇𝐶𝑚² sendo 0 𝑟 𝑅 e a constante Determinar o vetor campo elétrico no centro do semicírculo Resposta A resolução deste problema é dada a partir da percepção de que a geometria é um semicírculo inteiriço Portanto temos as seguintes considerações 𝑄 𝜎 𝑆 𝑑𝑄 𝜎 𝑑𝑆 𝑑𝑄 𝜎 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 e 𝑟 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝑑𝐸 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑅 0 𝐸 𝑘0 𝜎 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑟3 𝑟 015 005 𝜋 0 𝐸 𝑘0 2 𝜎 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃 015 005 𝜋 0 𝐸 𝑘0 2 𝑎 𝑟2 𝑟 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃 015 005 𝜋 0 Por simetria teremos campo somente no eixo y portanto 𝐸 𝑘0 2 𝑎 𝑟2𝑟 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝑟3 𝑑𝑟 𝑑𝜃 015 005 𝜋 0 𝐸 𝑘0 2 𝑎 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝑑𝑟 𝑑𝜃 015 005 𝜋 0 𝐸 𝑘0 2 𝑎 𝑗𝑟2 2 005 015 𝑐𝑜𝑠𝜃0 𝜋 𝐸 𝑘0 2 𝑎 001 2 𝑗 𝐸 360 𝑎 𝑗 𝑁𝐶 Exercício 5 Seja um segmento retilíneo de comprimento 𝐿 2𝑎 uniformemente eletrizado com densidade linear de carga 𝜆 Pedese a determinar o campo eletrostático num ponto P à distância b do ponto médio do segmento de reta b determinar a tensão no fio ideal que mantém uma carga q colocada em P Resposta a A resolução deste exercício é baseada na questão 2 da lista onde há uma carga posicionada a uma certa distância do ponto médio do fio Portanto temos a seguinte equação 𝑑𝐸 𝑘0𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0𝜆𝑑𝑥 𝑟3 𝑟 𝑎 𝑎 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0 𝜆 𝑑𝑥 𝑟3 𝑟 𝑎 𝑎 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑗 𝑦 𝑖 𝑥2 𝑦2 3 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑗 𝑦 𝑖 𝑥2 𝑦2 3 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑗 𝑦 𝑖 𝑥2 𝑦2 3 2 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 𝑥 𝑗 𝑥2 𝑦2 3 2 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝑦 𝑖 𝑥2 𝑦2 3 2 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝐸 𝑘0 𝜆 0 𝑖 2𝑎 𝑦𝑎2 𝑦2 𝑦𝑏 𝐸 𝑘0 𝜆 2𝑎 𝑏𝑎2 𝑏2 𝑖 b Para determinar a tensão no fio que irá manter a carga em equilibrio temos que fazer algumas associações inicialmente Tais como 𝐹𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝐹𝐸𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑇𝑥 𝑞 𝐸 𝑇 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑞 𝐸 𝑇 𝑞 𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 A partir da associação acima e que 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑏 𝑎2𝑏2 temos 𝑇 𝑞 𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑇 𝑞 𝑘0 𝜆 2𝑎 𝑏𝑎2 𝑏2 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑇 𝑞 𝑘0 𝜆 2𝑎 𝑏𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑏 𝑇 𝑞 𝑘0 𝜆 2𝑎 𝑏2 Exercício 6 Um disco de raio R e espessura desprezível está eletrizado com carga Q uniformemente distribuída conforme mostra a figura abaixo a Determine a intensidade do campo elétrico gerado pela distribuição de carga no ponto P situado a uma distancia a do centro O do disco b a partir da expressão obtida determine o campo elétrico gerado por um plano muito extenso isto é R tendendo ao infinito Resposta a Para determinar a intensidade do campo elétrico gerado pela distribuição de carga no ponto P situado a uma distância a do centro O do disco podemos utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por cada elemento de carga dQ do disco O campo elétrico gerado por um elemento de carga dQ no ponto P é dado por 𝑑𝐸 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 Como a carga está uniformemente distribuída no disco podemos expressar dQ em termos da densidade superficial de carga 𝜎 𝑑𝑄 𝜎 𝑑𝑆 𝑑𝑄 𝜎 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 O fato de ser um disco completo há simetria de forças portanto temos a seguinte expressão 𝑑𝐸 𝑘0 𝑑𝑄 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝑘0 𝜎 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑟3 𝑟 𝑑𝐸 𝐸 0 𝑘0 𝜎 2𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑟2 𝑎23 𝑎 𝑖 𝑅 0 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 𝑟 𝑟2 𝑎2 3 𝑅 0 𝑑𝑟 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 1 𝑢 3 𝑑𝑢 𝑅2𝑎2 𝑎2 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 𝑢 𝑎2 𝑅2𝑎2 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 1 𝑎 1 𝑅2 𝑎2 b Para este item basta alterarmos o limite de integração para então temos 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 𝑟 𝑟2 𝑎23 0 𝑑𝑟 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 𝑢 𝑎2 𝐸 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑎 𝑖 2 𝑎 𝐸 2 𝑘0 𝜎 𝜋 𝑖