Resolução de Exercícios de Física Geral e Experimental III - Densidade Linear de Carga

Lista I de Física Geral e Experimental III Prof Fábio Jesus Bruno Lima Resolução Exercício 1 Um fio retilíneo de comprimento 𝐿 100 𝑐𝑚 encontrase eletrizado com uma densidade linear de carga que varia com a posição x da pela expressão matemática a seguir 𝜆 6𝑥2 4𝑥 µ𝐶𝑚 Determine a carga total do fio e sua densidade linear média de carga Resposta O problema nos forneceu o comprimento L do fio e a expressão que rege o comportamento da densidade de carga do fio portanto temos que 𝜆 𝑑𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝑄 0 𝜆𝑑𝑥 𝐿 0 1 Portanto o problema se tornou em uma resolução de integral definida 𝑑𝑞 𝑄 0 𝜆𝑑𝑥 𝐿 0 𝑄 0 6𝑥2 4𝑥 106𝑑𝑥 010 0 𝑄𝜇 1062𝑥3 2𝑥20 010 𝑄𝜇 10620103 20102 203 202 𝑄 0022 𝜇𝐶 Para determinar a densidade linear média de carga realizamos uma média aritmética simples isto é 𝜆𝑀 𝑄 𝐿 𝜆𝑀 0022 106 010 𝜆𝑀 0220 𝜇𝐶𝑚 Exercício 2 Um de comprimento 𝑙 100 𝑐𝑚 está localizado sobre o eixo Ox conforme mostra a figura abaixo e tem uma densidade linear de carga que varia com a posição segundo a expressão 𝜆 2𝑥 3𝑥² µ𝐶𝑚 Determine a carga total e a densidade linear média de carga do fio Resposta Neste problema a sua intuição será integrar o fio de 2 cm até 12 cm Porém a carga do fio não depende da posição Logo para resolver este problema deve se utilizar a Equação 1 𝑑𝑞 𝑄 0 𝜆𝑑𝑥 𝐿 0 𝑄 0 2𝑥 3𝑥² 106𝑑𝑥 010 0 𝑄𝜇 106𝑥2 𝑥30 010 𝑄𝜇 1060102 0103 02 03 𝑄 0009 𝜇𝐶 Da mesma forma que o problema anterior a densidade de carga média do fio será 𝜆𝑀 𝑄 𝐿 𝜆𝑀 0009 106 010 𝜆𝑀 009 𝜇𝐶𝑚 Exercício 3 Uma distribuição de cargas positivas tem a forma de arco do arco de semicircunferência de raio 𝑅 600 𝑐𝑚 que aparece na figura A carga por unidade de comprimento sobre o arco é dada pela expressão 𝜆 𝜆0 𝑐𝑜𝑠²𝜃𝐶𝑚 Determine a carga total do arco e sua densidade média sabendose que 𝜆0 4 109 𝐶𝑚 Resposta Neste caso o problema nos forneceu o raio desta semicircunferência a equação que rege a densidade de carga no fio e o valor da densidade de carga quando o ângulo entre o eixo Y e o eixo X é de 0º Portanto para resolver este problema devese aplicar a fórmula da Equação 1 presente no exercício 1 porém dx não será mais um comprimento infinitesimal do comprimento do fio no eixo X devese realizar uma transformação para integrar em função de θ como na Equação 2 Sabese a partir da dedução de um triângulo α qualquer que a relação entre o ângulo θ e o comprimento x que é oposto ao ângulo θ é dada da seguinte forma 𝑥 𝜃𝑅 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 2 Onde R é o raio A partir do resultado obtido na Equação 2 podemos escrever a Equação 1 da seguinte forma 𝜆 𝑑𝑞 𝑑𝑥 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑥 1 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜆𝑑𝑥 𝐿 0 𝑄 𝜆𝑅𝑑𝜃 𝜃 0 3 Portanto podemos resolver o problema utilizando a Equação 3 𝑄 𝜆0𝑅𝑐𝑜𝑠²𝜃𝑑𝜃 180𝑜 0 𝑄 𝜆0𝑅 𝑐𝑜𝑠²𝜃𝑑𝜃 180𝑜 0 Para resolver a integral que se obteve devese fazer uma relação trigonométrica no caso será 𝑐𝑜𝑠2𝜃 1 cos2𝜃2 A partir disso terá uma soma de integrais que pode ser calculada facilmente Portanto ao fim podese obter que a carga será 𝑄 𝜆0𝑅 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 2 0 180𝑜 𝑄 3770 𝑛𝐶 OBS Para resolver a integral definida lembrese de utilizar o ângulo em radianos não em graus Para determinar a densidade de carga média no fio devese utilizar a Equação 2 Portanto 𝜆𝑀 𝑄 𝐿 𝜆𝑀 𝑄 𝜃𝑅 𝜆𝑀 3770 109 𝜋 060 𝜆𝑀 2000 𝑛𝐶𝑚 Exercício 4 Um arco de circunferência de raio 𝑅 200 𝑐𝑚 subtende um ângulo central de 60º conforme a figura abaixo e está eletrizado com densidade linear que varia de acordo com a expressão 𝜆 5 106 senθcosθ 𝐶𝑚 onde 0 𝜃 60º Determine a carga total do arco de circunferência e sua densidade linear média de carga Resposta A resolução deste é análoga ao problema anterior porém a variação do ângulo θ será de 0º até 60º logo vamos utilizar a Equação 3 para a resolução deste exercício 𝑄 𝜆𝑅𝑑𝜃 𝜃 0 𝑄 5 106𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 60𝑜 0 A integral acima deve ser resolvida utilizando substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒 𝑑𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 logo 𝛺 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 60𝑜 0 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝜋 3 0 𝑢𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑛𝜋 3 𝑠𝑖𝑛0 𝑢2 2 0 0866 0375 Portanto 𝑄 5 106 𝑅 𝛺 𝑄 0375 𝜇𝐶 Para determinar a densidade de carga média será da mesma forma que o problema anterior isto é 𝜆𝑀 𝑄 𝜃𝑅 𝜆𝑀 0375 106 𝜋 3 020 𝜆𝑀 1790 𝜇𝐶𝑚 Exercício 5 Um fio é dobrado na forma de uma semicircunferência conforme mostra a figura abaixo Sua densidade linear de carga elétrica varia segundo a expressão matemática 𝜆 5 𝑠𝑒𝑛𝜃 µ𝐶𝑚 Determine a densidade linear média de carga do referido fio Resposta A resolução deste problema é exatamente a mesma do Exercício 3 Logo 𝑄 106 5 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅𝑑𝜃 180𝑜 0 𝑄 5𝑅106 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 𝑄 5𝑅 106𝑐𝑜𝑠𝜃0 𝜋 𝑄 5𝑅 1061 1 𝑄 10𝑅 𝜇𝐶 Portanto para determinar a densidade de carga média no fio 𝜆𝑀 𝑄 𝜃𝑅 𝜆𝑀 10𝑅 106 𝑅𝜋 𝜆𝑀 10 𝜋 𝜇𝐶𝑚 Comentários Note que até agora trabalhamos com problemas onde existia um material de apenas 1 dimensão um fio no caso logo podemos utilizar a relação 𝑑𝑄 𝜆𝑑𝑥 ou para geometrias lineares curvas 𝑑𝑄 𝜆𝑅𝑑𝜃 Agora nos próximos exercícios será utilizado outra relação uma vez que teremos um material bidimensional isto é um elemento de área Logo teremos de encontrar outra relação para poder expressar as integrais Exercício 6 Um disco de raio 𝑅 200 𝑐𝑚 está eletrizado de modo que sua densidade superficial de carga σ varia com a distância r em relação ao seu centro através da expressão 𝜎 20𝑟2𝐶𝑚² Determine a densidade superficial média de carga Resposta Aqui devese tomar a atenção em uma observação nos exercícios anteriores o R que utilizamos nas integrais era um valor constante ou seja era o raio do arco em questão Devido a isto ele sempre saia para fora da integral Nos problemas de área não podemos fazer isto pois a área é função do raio R logo para efeitos de notação utilizaremos R como o valor geométrico do raio de um disco e r como o raio genérico que varia no elemento de área Foi apresentado que a Equação que rege o comportamento da densidade de carga na área é 𝜎 𝑑𝑄 𝑑𝑆 𝑑𝑄 𝜎𝑑𝑆 4 Onde dS é o elemento infinitesimal da área Podemos tratar 𝑆 𝜋𝑟2 e portanto sua diferencial será 𝑑𝑆 2𝜋𝑟𝑑𝑟 Logo podemos escrever a Equação 4 da forma 𝑑𝑄 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑅 0 5 Portanto utilizando a Equação 5 determinamos que a carga no fio será 𝑄 2𝜋 20𝑟3𝑑𝑟 02 0 𝑄 40𝜋 𝑟 4 4 0 02 𝑄 10𝜋024 𝑄 502 𝑚𝐶 Para determinar a densidade superficial média do fio 𝜎𝑀 𝑄 𝑆 𝜎𝑀 50 103 𝜋 𝑅² 𝜎𝑀 50 103 𝜋 020² 𝜎𝑀 399 𝑚𝐶𝑚² Exercício 7 Um disco de raio 𝑅 200 𝑐𝑚 e espessura desprezível está uniformemente eletrizado com densidade superficial de carga 𝜎 1 𝑟205 𝜇𝐶𝑚² com 0 𝑟 𝑅 Determine a A carga total do disco b A densidade superficial de carga no disco Resposta Para este exercício iremos utilizar o mesmo conceito do anterior A partir disso temos 𝑑𝑄 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 02 0 𝑄 106 1 𝑟2 05 2𝜋𝑟𝑑𝑟 02 0 Substituindo por 𝑢 𝑟2 05 e 𝑑𝑢 2𝑟 𝑑𝑟 e os limites de integração Para 𝑟 0 𝑢 02 05 05 Para 𝑟 02 𝑢 022 05 054 Temos o seguinte 𝑄 106 𝜋 1 𝑢 𝑑𝑢 054 05 𝑄 106 𝜋 ln𝑢05 054 𝑄 0242 𝜇𝐶 Para o cálculo da densidade média de carga do disco temos 𝜎𝑀 𝑄 𝑆 𝜎𝑀 0242 106 𝜋 02² 𝜎𝑀 1926 𝜇𝐶𝑚² Exercício 8 Uma coroa circular de espessura desprezível com raio interno 𝑎 100 𝑐𝑚 e externo 𝑏 150 𝑐𝑚 está eletrizado com densidade superficial de carga elétrica conforme expressão 𝜎 1 2𝑟01 𝜇𝐶𝑚² com 𝑎 𝑟 𝑏 Determine a A carga total do disco b A densidade superficial média de carga do disco Resposta Assim como nos exercícios anteriores iremos resolver da mesma maneira 𝑑𝑄 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 015 01 𝑄 106 1 2𝑟 01 2𝜋𝑟𝑑𝑟 015 01 Substituindo 𝑢 2𝑟 01 e 𝑑𝑢 2𝑑𝑟 e os limites de integração Para 𝑟 010 𝑢 2 010 01 03 Para 𝑟 015 𝑢 2 015 01 04 Note que 𝑟 𝑢01 2 Temos o seguinte 𝑄 106 𝜋 𝑟 2𝑟 01 2𝑑𝑟 015 01 𝑄 106 𝜋 1 𝑢 𝑢 01 2 𝑑𝑢 04 03 𝑄 106 𝜋 2 𝑢 01 𝑢 𝑑𝑢 04 03 𝑄 106 𝜋 2 1 01 𝑢 𝑑𝑢 04 03 𝑄 106 𝜋 2 1𝑑𝑢 04 03 01 1 𝑢 𝑑𝑢 04 03 𝑄 106 𝜋 2 04 03 01𝑙 𝑛 04 ln 03 𝑄 0112 𝜇𝐶 Para o cálculo da densidade média de carga do disco temos 𝜎𝑀 𝑄 𝑆 𝜎𝑀 0112 106 𝜋 0152 010² 𝜎𝑀 285 𝜇𝐶𝑚² Exercício 9 Uma esfera de raio 𝑅 100 𝑐𝑚 tem sua densidade volumétrica de carga variando com a distância em relação ao seu centro r através da expressão 𝜌 8 106 𝑟³ medidas no SI Determine a densidade volumétrica média de carga da esfera Resposta Neste problema já não estamos mais tratando de uma unidade de área e sim uma unidade de volume Isto é nosso objeto é tridimensional Logo devemos tratar o problema em coordenadas esféricas E devemos integrar para obter a carga da seguinte maneira 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑉𝑜𝑙 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 4 3 𝜋𝑟3 6 Podemos utilizar esta resolução analítica para todo problema que envolver uma Esfera Caso envolva outro objeto tridimensional é só derivar o volume deste obtido que você encontrará o elemento infinitesimal 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑉𝑜𝑙 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜌 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑅 0 7 Utilizando a Equação 7 temos 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜌 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑅 0 𝑄 8 106 𝑟3 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 01 0 𝑄 32 106 𝜋 𝑟5𝑑𝑟 01 0 𝑄 32 106 𝜋 𝑟6 6 0 01 𝑄 32 106 𝜋 016 6 𝑄 168 𝑝𝐶 Para o cálculo de densidade média de carga do disco temos 𝜌𝑀 𝑄 𝑉 𝜌𝑀 168 1012 4 3 𝜋 013 𝜌𝑀 4 𝑛𝐶𝑚³ Exercício 10 Uma esfera de raio 𝑅 500 𝑐𝑚 está eletrizada com a densidade volumétrica de carga 𝜌 𝑎 𝑏𝑟² SI Sabese que a constante 𝑎 002 106 SI e 𝑏 10 106 SI e que r é a distância radial medida a partir do centro da esfera pedese a As equações dimensionais de a e b assim como as suas unidades no SI b A carga total da esfera c A densidade volumétrica medida de carga da esfera Resposta a Para a constante a temos Cm3 que é a mesma unidade da densidade volumétrica de carga para b temos Cm5 devido ao termo r² b A carga total da esfera será calculada utilizando a Equação 7 logo 𝑄 𝑎 𝑏𝑟2 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 05 0 𝑄 4𝜋 𝑎𝑟2𝑑𝑟 05 0 𝑏𝑟4𝑑𝑟 05 0 𝑄 4𝜋 𝑎𝑟3 3 0 05 𝑏𝑟5 5 0 05 𝑄 4𝜋 𝑎 053 3 𝑏 055 5 𝑄 4𝜋 002 106 053 3 1 106 055 5 𝑄 0089 𝜇𝐶 c A densidade média da esfera é 𝜌𝑀 𝑄 𝑉 𝜌𝑀 0089 106 4 3 𝜋 053 𝜌𝑀 017 𝜇𝐶𝑚³ Exercício 11 Um fio de cobre possui 𝜆 3𝑥2 𝑥 1 𝜇𝐶𝑚 Calcule a Qual a carga de um carregador de celular constituído deste fio de cobre se este possui 30 metros de comprimento b Qual a densidade de carga linear média Resposta Sabese que a relação entre a densidade de carga linear e o comprimento do fio pode ser dada por 𝜆 𝑑𝑄 𝑑𝑥 Onde λ é a densidade linear de carga dQ é o diferencial da carga e dx é o diferencial do comprimento Desta forma podese obter a carga Q integrando a densidade linear de carga em seu comprimento Isto é 𝑑𝑄 𝜆𝑑𝑥 Logo substituindo os valores fornecidos pelo problema 𝑑𝑄 𝑄 0 106 3𝑥2 𝑥 1𝑑𝑥 3 0 𝑄 𝑥3 𝑥2 2 𝑥 0 3 106 𝑄 33 32 2 3 106 𝑄 285 𝜇𝐶 Para determinar a densidade de carga linear média λm pela razão entre a quantidade de carga total no fio sobre o seu comprimento isto é 𝜆𝑀 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑥 Desta forma 𝜆𝑀 285 3 106 𝜆𝑀 95 𝜇𝐶𝑚 Exercício 12 Um fio de alumínio possui 𝜆 𝑥 µ𝐶𝑚 Determine a A carga contida em um fio alumínio de 𝑙 90 𝑚 de comprimento b A densidade linear média de carga Resposta Da mesma maneira do exercício anterior 𝑄 𝑥 106 𝑑𝑥 9 0 𝑄 𝑥2 2 0 9 106 𝑄 405 𝜇𝐶 𝜆𝑀 405 9 106 𝜆𝑀 45 𝜇𝐶𝑚 Exercício 13 Um cabo de aço possui densidade linear de carga 𝜆 3𝑥² 𝑥39 𝜇𝐶𝑚 Determine a A carga contida em um cabo de aço entre 𝑥 50 𝑘𝑚 e 𝑋 120 𝑘𝑚 b A densidade linear média de carga no cabo Resposta Assim como nos exercícios anteriores temos 𝑄 3𝑥2 106 𝑥3 9 𝑑𝑥 12000 5000 Para realizar esta integral podemos utilizar o método da substituição a partir de 𝑢 𝑥3 9 𝑒 𝑑𝑢 3𝑥2𝑑𝑥 Portanto a solução da integral indefinida é 𝑄 106 1 𝑢 𝑑𝑢 𝐶 𝑄 ln 𝑢 𝐶 Considerando a constante como 0 e retornando à integral definida temos 𝑄 ln 𝑥3 95000 12000 106 𝑄 ln 120003 9 50003 9 106 𝑄 263 𝜇𝐶 E para o cálculo da densidade linear média será 𝜆𝑀 263 106 12000 5000 𝜆𝑀 0376 𝑛𝐶𝑚 Exercício 14 Um disco de aço de raio 𝑅 20 𝑐𝑚 possui densidade de carga elétrica segundo a expressão 𝜎 𝑟2 1 𝜇𝐶𝑚² Calcule a A carga total contida na superfície deste disco b A densidade superficial média do disco Resposta Para determinar a carga total contida na superfície de um disco qualquer podese utilizar a relação da área de um círculo 𝑆 𝜋𝑟2 𝑑𝑆 2𝜋𝑟𝑑𝑟 A fórmula que relaciona a densidade superficial de carga a carga e a área do disco é 𝑄 𝜎 𝑆 𝑑𝑄 𝜎 𝑑𝑆 𝑑𝑄 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 Logo a carga total pode ser calculada por 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 002 0 𝑄 2𝜋 𝑟2 1 106 𝑟𝑑𝑟 002 0 𝑄 2𝜋 106 𝑟3 002 0 𝑑𝑟 𝑟𝑑𝑟 002 0 𝑄 2𝜋 106 𝑟4 4 0 002 𝑟2 2 0 002 𝑄 126 𝑛𝐶 Para a densidade superficial média temos 𝜎𝑀 126 109 𝜋 0022 𝜎𝑀 100 𝜇𝐶𝑚² Exercício 15 Um disco vazado possui densidade superficial de carga 𝜎 3𝜋𝑟2 𝜇𝐶𝑚² Determine a A carga total contida na superfície deste disco se seu raio interno é de 𝑟 40 𝑚 e seu raio externo de 𝑅 70 𝑚 b A carga total contida na superfície deste disco se seu raio interno é de 𝑟 10 𝑚 e seu raio externo de 𝑅 50 𝑚 c A carga total contida na superfície deste disco se seu raio interno é de 𝑟 90 𝑚 e seu raio externo de 𝑅 150 𝑚 Resposta a Pelas relações feitas no exercício anterior aplicamos os limites de integração de 4 a 7 𝑑𝑄 𝑄 0 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟 7 4 𝑄 2𝜋 106 3𝜋𝑟2𝑟𝑑𝑟 7 4 𝑄 6𝜋2 106 𝑟3𝑑𝑟 7 4 𝑄 6𝜋2 106 𝑟4 4 4 7 𝑄 6435𝜋2 2 𝜇𝐶 𝑜𝑢 318 𝑚𝐶 b Assim como no item anterior basta mudar os limites de integração para 1 a 5 𝑄 2𝜋 106 3𝜋𝑟2𝑟𝑑𝑟 5 1 𝑄 6𝜋2 106 𝑟3𝑑𝑟 5 1 𝑄 6𝜋2 106 𝑟4 4 1 5 𝑄 936𝜋2 𝜇𝐶 𝑜𝑢 9238 𝑚𝐶 c Neste é só aplicar os limites de integração para 9 a 15 𝑄 2𝜋 106 3𝜋𝑟2𝑟𝑑𝑟 15 9 𝑄 6𝜋2 106 𝑟3𝑑𝑟 15 9 𝑄 6𝜋2 106 𝑟4 4 9 15 𝑄 66096𝜋2 𝜇𝐶 𝑜𝑢 652341 𝑚𝐶 Exercício 16 Uma esfera de níquel de raio 3m possui densidade volumétrica de carga elétrica 𝜌 𝑒𝑟 𝑟2 𝜇𝐶𝑚³ Determine a A carga total da esfera b A carga total da esfera se a densidade de carga fosse 𝜌 3𝑟2 1 𝜇𝐶𝑚³ Resposta a A relação entre a carga de um objeto volumétrico sua densidade volumétrica de carga e sua geometria pode ser dada por 𝑄 𝜌 𝑉𝑜𝑙 𝑑𝑄 𝜌 𝑑𝑉𝑜𝑙 Sabendo que a relação de volume da esfera é 𝑉 4 3 𝜋𝑟3 𝑑𝑉𝑜𝑙 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 Portanto substituindo os valores dados pelo problema temos 𝑑𝑄 𝜌 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝑄 𝑄 0 106 𝑒𝑟 𝑟2 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 3 0 𝑄 4𝜋106 𝑒𝑟𝑑𝑟 3 0 𝑄 4𝜋 106𝑒3 𝑒0 𝑄 239835 𝜇𝐶 b Para o cálculo da carga total da esfera caso sua densidade volumétrica de carga fosse 𝜌 3𝑟2 1 𝜇𝐶𝑚³ 𝑄 106 3𝑟2 1 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 3 0 𝑄 4𝜋 106 3𝑟4𝑑𝑟 3 0 𝑟2𝑑𝑟 3 0 𝑄 4𝜋 106 3𝑟5 5 0 3 𝑟3 3 0 3 𝑄 4𝜋 106 36 5 32 𝑄 1945 𝜇𝐶 𝑜𝑢 1945 𝑚𝐶 Exercício 17 Um disco é composto de dois materiais diferentes de cobre cuja densidade superficial de carga é 𝜎𝐶𝑢 4 3 𝜋𝑟 𝜇𝐶𝑚² e de níquel cuja densidade superficial de carga é 𝜎𝑁𝑖 3𝜋 𝑟 𝜇𝐶𝑚² O disco possui raio interno de 𝑟 60 𝑚 e nesta área o material é de cobre Já o restante do disco cujo raio externo e de 𝑅 100 𝑚 é composto de níquel Determine a A quantidade de carga armazenada na parte de cobre do disco b A quantidade de carga armazenada na parte de níquel do disco c A quantidade total de carga no disco d A carga média sobre a superfície do disco Resposta a 𝑄𝐶𝑢 106 4 3 𝜋𝑟2𝜋𝑟𝑑𝑟 6 0 𝑄𝐶𝑢 8 3 𝜋2 106 𝑟2𝑑𝑟 6 0 𝑄𝐶𝑢 8 3 𝜋2 106 𝑟3 3 0 6 𝑄𝐶𝑢 106 8 3 𝜋2 63 3 𝑄𝐶𝑢 1894 𝑚𝐶 𝑜𝑢 192𝜋2 𝜇𝐶 b Podese determinar a carga da parte de cobre do disco por 𝑄𝑁𝑖 106 3𝜋 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟 10 6 𝑄𝑁𝑖 6𝜋2 106 𝑑𝑟 10 6 𝑄𝑁𝑖 6𝜋210610 6 𝑄𝑁𝑖 24𝜋2 106 𝑄𝑁𝑖 0236 𝑚𝐶 𝑜𝑢 24𝜋2 𝜇𝐶 c Para determinar a quantidade total de carga no disco basta somar ambas as cargas 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄𝑁𝑖 𝑄𝐶𝑢 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 192𝜋2 24𝜋2 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 216𝜋2 𝜇𝐶 𝑜𝑢 213 𝑚𝐶 d Para descobrir a carga média sobre a superfície do disco temos de utilizar a carga total no cálculo 𝜎𝑀 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑆 𝜎𝑀 216𝜋2 𝜋102 𝜎𝑀 54𝜋 25 𝜇𝐶𝑚2 𝑜𝑢 6786 𝜇𝐶𝑚2 Exercício 18 A distância entre duas cargas elétricas 𝑞1 6 𝜇𝐶 𝑒 𝑞2 3 𝜇𝐶 no plano é de 𝑑 70 𝑚 Determine o módulo de força elétrica que uma causa na outra sabendo que a constante elétrica do meio é de 𝐾0 9 109 𝑁𝑚²𝐶2 Resposta Sabese que a relação entre as cargas elétricas distância e o módulo de sua força pode ser dada por 𝐹 𝐾𝑞1𝑞2 1 𝑑2 Desta forma temos 𝐹 9 109 6 106 3 106 1 72 𝐹 3306 103 𝑁 Exercício 19 Um fio num trecho curvo de 90º possui 𝜆 cos 𝜃 𝜇𝐶𝑚 O raio de curvatura do fio é de 𝑅 30 𝑚 a Calcule a carga contida neste trecho do fio b Calcule a carga contida no fio caso o trecho esteja curvado à 𝛼 60 Resposta a Para resolver este problema devese utilizar uma relação básica de trigonometria Esta relação é 𝑥 𝑅𝜃 desta forma 𝑑𝑥 𝑅 𝑑𝜃 portanto a carga no fio pode ser calculada por 𝑄 𝜆𝑅𝑑𝜃 Substituindo os valores fornecidos pelo problema temos 𝑄 106 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑄 3 106 sen 𝜋 2 sen 0 𝑄 3 𝜇𝐶 b A resolução é da mesma forma do item anterior apenas alterando o limite superior de integração 𝑄 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 𝜋 3 0 𝑄 3 sen 𝜋 3 sen 0 𝑄 26 𝜇𝐶 Exercício 20 Determine a quantidade total de carga disposto no volume de um cilindro de altura ℎ 90 𝑚 raio 𝑟 30 𝑚 e densidade volumétrica de carga 𝜌 3𝜋𝑟2𝜇𝐶𝑚³ Resposta Podese determinar o elemento diferencial 𝑑𝑉𝑜𝑙 do cilindro sabendo que o seu volume pode ser calculado por 𝑉 𝜋𝑟2ℎ desta forma 𝑑𝑉𝑜𝑙 2𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟 Logo 𝑄 3𝜋𝑟2 106 2𝜋𝑟ℎ𝑑𝑟 3 0 𝑄 6𝜋2ℎ 106 𝑟3𝑑𝑟 3 0 𝑄 6𝜋2 9 106 𝑟4 4 0 3 𝑄 0011 𝐶