Aula 5: Função do 2 Grau e Funções Polinomiais

Matemática e Estatística Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 5 Fungao do 2 Grau Fungao Polinomial e Outras Fungdes red eneko nen sne ao Fungao do 2 Grau ou Fungao Quadratica QC et FUNGGOES POIINOMIAIGssscsscescnssessassnssnscnsscecsescessnssnscnsenssassascssssessessessnssessnsensssecassseseeess 17 Outras Fungoes one aaa Nebel OD divrars tive S Snohiccor vente ev ier NG ReFErENCIAS cacususesnsnmeneutetesemenetitemntatieneneunumetenmeeeenenennn hed AULA 5 Matematica e Estatistica AULA 5 Matemática e Estatística Função do 2 Grau Função Polinomial e Outras Funções Função do 2 Grau ou Função Quadrática y Ax2 Bx C ou fx Ax2 Bx C Uma função do 2 grau ou função quadrática é uma função polinomial de grau 2 dois e assim tem a forma 𝑓𝑥 𝐴 𝑥2 𝐵 𝑥 𝐶 ou 𝑦 𝐴 𝑥2 𝐵 𝑥 𝐶 em que 𝑥 𝑅 e 𝐴 𝐵 e 𝐶 são constantes e 𝐴 0 Exemplos 1 fx 2x² 3x 2 em que A 2 B 3 e C 2 2 y x² 2x 1 em que A 1 B 2 e C 1 3 fx 3x² 4x 4 em que A 3 B 4 e C 4 4 y 018x² 18x em que A 018 B 18 e C 0 5 fx x² 49 em que A 1 B 0 e C 49 6 y x² em que A 1 B 0 e C 0 Raízes ou zeros da função soluções É o instante em que o gráfico corta intercepta o eixo x Assim para determinarmos o zero ou raiz solução de uma função basta considerarmos fx 0 ou y 0 e utilizarmos as seguintes fórmulas 3 AULA 5 Matemática e Estatística Importante Se 𝟎 delta maior que zero temos duas raízes soluções reais e diferentes 𝒙𝟏 𝒙𝟐 Se 𝟎 delta igual a zero temos duas raízes soluções reais e iguais 𝒙𝟏 𝒙𝟐 Se 𝟎 delta menor que zero a função não admite raízes soluções reais 𝒆𝒎 𝑹 Exemplos 1 Obtenha as raízes os zeros ou soluções da função 𝑓𝑥 2𝑥2 3𝑥 2 4 AULA 5 Matemática e Estatística Resolução Logo as raízes soluções ou zeros são 2 e 1 2 ou 𝑆 2 1 2 2 Obtenha as raízes os zeros ou as soluções da função 𝑦 𝑥2 2𝑥 1 Resolução Logo a raiz solução ou zero é 1 ou 𝑆 1 5 AULA 5 Matemática e Estatística 3 Obtenha as raízes os zeros ou as soluções da função 𝑓𝑥 3𝑥2 4𝑥 4 Resolução Logo a equação não possui raízes reais ou 𝑆 4 Obtenha as raízes os zeros ou as soluções da função 𝑦 018𝑥² 18𝑥 6 AULA 5 Matemática e Estatística Logo as raízes soluções ou zeros são 0 e 100 ou 𝑆 0 100 5 Obtenha as raízes os zeros ou as soluções da função 𝑓𝑥 𝑥2 49 7 AULA 5 Matemática e Estatística Logo as raízes soluções ou zeros são 7 e 7 ou 𝑆 7 7 Gráfico O gráfico da função quadrática 𝑓𝑥 𝑨 𝑥2 𝐵 𝑥 𝐶 é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso 𝑨 seja positivo 𝑨 𝟎 e concavidade voltada para baixo caso 𝑨 seja negativo 𝑨 𝟎 Esboço dos gráficos Importante O Ponto Vértice PV é o ponto mais extremo o qual poderá ser máximo ou mínimo dependendo da concavidade da parábola 8 AULA 5 Matemática e Estatística Esquema gráfico com os pontos notáveis ou pontos principais para construção da parábola que é o gráfico da função do 2 grau Veja que a parábola fica bem caracterizada quando conhecemos seu cruzamento com os eixos x e y e seu ponto vértice O ponto vértice da parábola posiciona seu eixo de simetria vertical Resumindo conforme vimos no esquema gráfico os pontos notáveis ou pontos principais são 1 Cruzamento com o eixo Ox São as raízes ou zeros soluções x1 e x2 da equação do 2º grau 𝐴 𝑥2 𝐵 𝑥 𝐶 0 2 Cruzamento com o eixo Oy É o ponto correspondente a x 0 em que y C 3 Ponto vértice corresponde ao ponto 𝑃𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 o qual é calculado pela seguinte fórmula 𝑃𝑣 𝐵 2𝐴 4𝐴 Exemplos 1 Construir a representação gráfica da função quadrática 𝑓𝑥 𝑥2 5𝑥 6 Ponto Vértice Ponto C X2 X1 y x Eixo de Simetria 9 AULA 5 Matemática e Estatística Resolução 10 AULA 5 Matemática e Estatística 2 Construir a representação gráfica da função quadrática 𝑓𝑥 𝑥2 10𝑥 16 Resolução 11 AULA 5 Matemática e Estatística Aplicação 3 Em um teatro o número de espectadores x por apresentação está diretamente ligado ao preço p do ingresso por meio da seguinte fórmula 𝑝 65 0065𝑥 Agora sabendo que a lotação máxima nesse teatro é de 600 espectadores qual deve ser o preço praticado por ingresso para maximizar a receita Dado Receita preço x quantidade ou Rx px Resolução 1 passo encontraremos a fórmula da receita Sabendo que o número de espectadores é x e o preço por ingresso é p temos Receita preço x quantidade 𝑅𝑥 𝑝 𝑥 Trocando na função receita 𝑝 65 0065𝑥 temos Aplicando a distributiva obtemos a seguinte equação do 2 grau 𝑅𝑥 65𝑥 0065𝑥² ou 𝑅𝑥 0065𝑥2 65𝑥 Agora para facilitar a análise de variação de preço e a variação da quantidade de espectadores confeccionaremos seu gráfico 12 AULA 5 Matemática e Estatística Finalmente podemos responder qual deve ser o preço praticado por ingresso para maximizar a receita Trocaremos a quantidade de 500 espectadores diretamente na fórmula 13 AULA 5 Matemática e Estatística 𝑝 65 0065𝑥 𝑝 65 0065 500 𝑝 65 3250 𝑝 𝑅 3250 Resposta O preço do ingresso será de R 3250 para maximizar a receita 4 Dada a função Receita 𝑅𝑥 2𝑥2 652𝑥 de um certo produto calcule o valor de x que a maximiza ou seja quantas unidades x de um certo produto devem ser vendidas para que tenhamos uma maior entrada receita de dinheiro no caixa da empresa 1ª resolução Igualando essa função a zero temos 2𝑥2 652𝑥 0 𝐴 2 𝐵 652 𝑒 𝐶 0 Agora como nessa equação do 2 grau o valor do 𝐴 2 é negativo sabemos que a concavidade dessa parábola é voltada para baixo Então obteremos o valor máximo de x apenas calculando a abscissa do ponto vértice ou seja o valor máximo de x é obtido por 𝑥𝑣 𝐵 2 𝐴 𝑥𝑣 652 2 2 𝑥𝑣 652 4 𝑥𝑣 163 Resposta O valor de x que maximiza a receita é igual a 163 14 AULA 5 Matemática e Estatística 2ª resolução Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 1 Obtenha as raízes os zeros ou as soluções das funções do 2 grau nos seguintes casos a 𝑓𝑥 𝑥2 4𝑥 3 Resposta 𝑆 1 3 b 𝑦 𝑥2 𝑥 2 Resposta 𝑆 2 1 c 𝑓𝑥 3𝑥2 27𝑥 Resposta 𝑆 0 9 d 𝑦 9𝑥2 16 Resposta 𝑆 4 3 4 3 e 𝑓𝑥 4𝑥2 9𝑥 7 Resposta 𝑆 15 AULA 5 Matemática e Estatística 2 Calcule o ponto vértice das funções a 𝑓𝑥 𝑥2 3𝑥 4 Resposta 𝑃𝑣 15 625 b 𝑦 2𝑥2 4𝑥 5 Resposta 𝑃𝑣 1 3 c 𝑓𝑥 𝑥2 2𝑥 1 Resposta 𝑃𝑣 1 2 d 𝑦 2𝑥2 8 Resposta 𝑃𝑣 0 8 e 𝑓𝑥 𝑥² 11𝑥 Resposta 𝑃𝑣 55 3025 3 A função Custo de um certo tipo de creme para as mãos é dada por 𝐶 300 3𝑥 e a função Demanda desse creme é 𝑝 150 3𝑥 Calcule o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro na venda desse creme Sabendo Receita Preço x Quantidade Custo Total Custo Fixo Custo Variável Lucro Receita Custo Resposta O preço do creme para mãos deve ser de R 7650 para maximizar o lucro 4 Dada a função receita 𝑅𝑥 3𝑥2 1200𝑥 obtenha o valor de x unidades que a maximiza Resposta A quantidade que maximiza a receita é 200 unidades ou x 200 16 AULA 5 Matemática e Estatística Funções Polinomiais São aquelas definidas por uma expressão polinomial e são representadas pela seguinte expressão algébrica Obs As constantes 𝒂𝒏 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝟐 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟎 são números reais chamados de coeficientes e ainda com 𝒂𝒏 𝟎 para garantir o grau n da função polinomial O termo 𝒂𝒏𝒙𝒏 é o termo principal e 𝒂𝟎 é o termo constante Grau As funções polinomiais são classificadas de acordo com o maior expoente entre os termos do polinômio por exemplo Função polinomial Exemplo Obs Função do 1 grau 𝑓𝑥 8𝒙 2 O expoente de x na função é igual a 1 Função do 2 grau ou Função quadrática 𝑓𝑥 𝒙𝟐 4𝑥 4 O expoente de x na função é igual a 2 Função do 3 grau ou Função cúbica 𝑓𝑥 𝒙𝟑 𝑥 2 2 O expoente de x na função é igual a 3 Função de grau zero ou Função constante 𝑓𝑥 5 𝒙𝟎 𝑜𝑢 𝑓𝑥 5 O expoente de x na função é igual a zero então é classificada como função constante pois não há variável x 17 AULA 5 Matemática e Estatística Função do 4 grau ou Função quártica 𝑓𝑥 𝑥2 10 2 𝑜𝑢 𝑓𝑥 𝒙𝟒 20𝑥2 100 O expoente de x na função é igual a 4 Obs desenvolvemos o produto para conhecer o grau da função Gráfico O gráfico da função polinomial é importante para os estudos do comportamento ou das variações dessas funções por exemplo a localização de seus zeros raízes ou soluções ou de suas variações máximas ou mínimas ou ainda de sua mudança de trajetória inflexão Uma estratégia para construir o gráfico de uma função polinomial consiste em atribuir valores para a variável x dentro de um determinado intervalo domínio da função de forma que os valores de x estejam próximos uns dos outros Importante para facilitar tal procedimento é geralmente feito por meio de algum aplicativo em informática por exemplo o Excel o Geogebra etc Exemplo Construir o gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥5 3𝑥 1 função polinomial do 5 grau dentro do intervalo 15 15 Resolução Atribuiremos a x os valores no intervalo aleatório de 15 15 assim temos 18 AULA 5 Matemática e Estatística 𝒙 𝒇𝒙 𝒙𝟓 𝟑𝒙 𝟏 𝒚 𝒇𝒙 Pontos 15 𝑓𝑥 155 3 15 1 21 21 𝑃115 21 10 𝑓𝑥 105 3 10 1 30 30 𝑃210 30 05 𝑓𝑥 055 3 05 1 25 25 𝑃305 25 0 𝑓𝑥 05 3 0 1 10 10 𝑃40 10 05 𝑓𝑥 055 3 05 1 05 05 𝑃505 05 10 𝑓𝑥 105 3 10 1 10 10 𝑃610 10 15 𝑓𝑥 155 3 15 1 41 41 𝑃715 41 19 AULA 5 Matemática e Estatística Outras Funções Função racional 𝒚 𝟏 𝒙𝒏 ou 𝒇𝒙 𝟏 𝒙𝒏 Uma função é chamada de função racional se expressa como uma razão divisão de dois polinômios em que 𝒙𝒏 𝟎 pois não podemos ter resultado zero no denominador de uma fração Exemplos 1 𝑓𝑥 2𝑥 5 𝑥2 7𝑥 10 2 𝑦 𝑥 1 𝑥 4 3 𝑓𝑥 1 𝑥 Gráfico Ao contrário do que acontece com as algumas funções polinomiais cujos gráficos são formados por uma única linha contínua quer dizer que podem ser traçados sem que se tire a ponta do lápis do papel os gráficos de funções racionais são constituídos por partes separadas por assíntotas verticais ou seja existe uma quebra ou descontinuidade no gráfico em uma linha imaginária na vertical eou também podem ser separados por assíntotas horizontais ou seja existe uma quebra ou descontinuidade no gráfico em uma linha imaginária na horizontal Funções cujos gráficos apresentam esta característica são ditas descontínuas 20 AULA 5 Matemática e Estatística Exemplo Construir o gráfico da função racional 𝑓𝑥 𝑥1 𝑥4 em que a condição de existência diz que o denominador da fração não pode ser zero então temos 𝑥 4 0 𝑜𝑢 𝑥 4 Resolução Para construção do gráfico também poderíamos dar valores para x e calcularmos as variações em y ou fx mas nesse caso particularmente utilizamos uma ferramentaaplicativo para construção gráfica chamado GEOGEBRA Para acessálo gratuitamente na Internet escreva no navegador de seu computador o seguinte endereço httpswwwgeogebraorggraphing acesso em jul 2022 Em seguida digite essa função na parte superior da tela em seu lado esquerdo e veja que o gráfico se formará Importante vale destacar que qualquer gráfico que fizemos até o momento poderá ser confeccionado utilizando esse aplicativo chamado Geogebra Então fica a dica tente utilizálo para confirmar os gráficos apresentados até o momento ok 21 AULA 5 Matemática e Estatística Função potência 𝒚 𝒙𝒏 ou 𝒇𝒙 𝒙𝒏 Uma função do tipo 𝑓𝑥 𝑥𝑛 em que n é uma constante é chamada de função potência Exemplos 1 𝑓𝑥 𝑥 2 𝑦 𝑥² 3 𝑓𝑥 𝑥³ 4 𝑦 𝑥 1 2 22 AULA 5 Matemática e Estatística Gráfico Funções potências têm comportamentos característicos conforme o valor de n Suponhamos que n seja um inteiro positivo ímpar função ímpar o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à ORIGEM do plano cartesiano Consideremos por exemplo os gráficos das funções ímpares 𝑓𝑥 𝑥 𝑓𝑥 𝑥3 𝑓𝑥 𝑥5 e 𝑓𝑥 𝑥7 Suponhamos que n seja um inteiro positivo par função par o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao EIXO Y no plano cartesiano Consideremos por exemplo os gráficos das funções pares 𝑓𝑥 𝑥² 𝑓𝑥 𝑥4 𝑓𝑥 𝑥6 e 𝑓𝑥 𝑥8 23 AULA 5 Matemática e Estatística Suponhamos que n seja uma fração igual a 1 𝑛 A função 𝑓𝑥 𝑥 1 𝑛 ou 𝑓𝑥 𝑥1 𝑛 é uma função raiz função irracional geralmente contém sinal de raiz o gráfico de uma função raiz é sempre crescente Consideremos por exemplo quando a função raiz possui um índice par seu gráfico estará somente no 1 quadrante 𝑓𝑥 𝑥 e 𝑓𝑥 𝑥 4 ou 𝑓𝑥 𝑥 1 2 e 𝑓𝑥 𝑥 1 4 24 AULA 5 Matemática e Estatística Consideremos por exemplo quando a função raiz possui um índice ímpar seu gráfico estará no 1 e 3 quadrante 𝑓𝑥 𝑥 3 e 𝑓𝑥 𝑥 7 ou 𝑓𝑥 𝑥 1 3 e 𝑓𝑥 𝑥 1 7 Exemplo aplicação Sabendo que em um mercado o equilíbrio representa o resultado da interação entre consumidores e produtores e que o comportamento dos consumidores é descrito pela curva de demanda de mercado e o dos produtores pela curva de oferta de mercado consequentemente o preço p de equilíbrio é encontrado quando a quantidade x desejada pelos consumidores é exatamente igual à quantidade vendida pelos produtores Assim obtenha o ponto de equilíbrio de mercado para as funções Demanda de mercado 𝑝 5 𝑥 e Oferta de mercado 𝑝 𝑥 4 25 AULA 5 Matemática e Estatística Resolução Para calcularmos o ponto de equilíbrio de mercado entre as funções demanda e oferta igualaremos em primeiro lugar o preço p para encontrar a quantidade x que equilibra a demanda e a oferta 𝑝 5 𝑥 𝑝 𝑥 4 Comparando as duas equações temos 5 𝑥 𝑥 4 5 𝑥 𝑥 4 1 Multiplicando em xis temos 𝑥 𝑥 4 51 𝑥2 4𝑥 5 𝑥2 4𝑥 5 0 Resolução da equação do 2 grau Importante veja que temos um sistema com duas equações e duas variáveis Então para resolver esse sistema utilizaremos o método da comparação e encontraremos o valor de x 26 AULA 5 Matemática e Estatística Agora para calcularmos o preço p vamos escolher uma das duas equações e trocar o valor de x 1 então 𝑝 5 𝑥 𝑝 5 1 𝑝 5 Gráfico Resposta O ponto de equilíbrio de mercado para essas funções é um preço de p R 500 e uma quantidade x 1 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas Obtenha o ponto de equilíbrio de mercado para os seguintes casos 27 AULA 5 Matemática e Estatística 1 Demanda de mercado 𝑝 12 𝑥 e Oferta de mercado 𝑝 2𝑥 10 Resposta O ponto de equilíbrio de mercado para essas funções é um preço de p R 1200 e uma quantidade x 1 2 Demanda de mercado 𝑝 5𝑥60 6 𝑥 e Oferta de mercado 𝑝 27𝑥 28 7 Resposta O ponto de equilíbrio de mercado para essas funções é um preço aproximado de p R 786 ou 𝑝 55 7 e uma quantidade x 1 Conclusão Bem chegamos ao final desta aula Espero que tenha compreendido como calcular as raízes soluções de uma função de 2 grau bem como os passos para construção de sua parábola determinando seus pontos de máximo e mínimo e como a análise de sua variação é importante em aplicações em Economia receita custo e lucro Ainda conhecemos e construímos gráficos de outras funções como a função racional função polinomial de 5 grau as funções potências ímpares pares e com raiz também conhecida como função irracional E não esqueça para um melhor aproveitamento releia e refaça os exemplos resolvidos no material teórico e o mais importante não deixe de praticar então pedimos que você faça as Atividades práticas propostas ok Bons estudos 28 AULA 5 Matemática e Estatística Referências DEMANA F D et al Précálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática aplicada economia administração e contabilidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015 29