Tópicos de Geometria Analítica

1 Tópicos de Geometria Analítica PAIVA Herivelto Nunes NASCIMENTO Raquel Costa da S I Distância entre dois pontos Podemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B quaisquer que sejam Ax1 y1 e Bx2 y2 Observe o triângulo ABC retângulo em C logo podemos usar a relação de Pitágoras a2 b2 c2 Convém observarmos que como a ordem dos termos nas diferenças de abscissas e ordenadas não influi no cálculo de d uma forma simples da fórmula da distância é onde ou 2 1 x x x é diferente ou é diferente II PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO EM IR2 Dizemos que M é ponto médio do segmento AB quando Observe a figura a seguir logo M A B M 2M A B A M B 2 Exemplo Se A 2 1 e B 4 5 o ponto médio M do segmento AB é M M 3 2 III BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO EM IR2 Disponivel em httpprofessoremersonpaivablogspotcom201106baricentrodotriangulohtml Exemplos 1 Os pontos A 4 2 0 B 7 2 1 e C 1 6 2 são vértices de um triângulo confeccionado com a ajuda de um fio de cobre homogêneo Achar o centro de gravidade do triângulo Solução G 3 C B A G 3 2 0 1 3 6 2 2 3 4 7 1 G 4 2 1 2 O ponto B 5 12 é um dos vértices de um triângulo ABC Uma reta que contém G ponto médio de AB e é paralela ao lado AC intercepta o terceiro lado no ponto H 10 2 Calcule as coordenadas do vértice C Solução B5 12 H 10 2 Repare que é base média do triângulo e H médio de BC H 15 8 5 12 2 10 2 2 2 C C B H C B C A C G Considere M xaya N xbyb e P xc yc temos que o Baricentro do Triangulo obtido pelos vértices M N e C é dado por 3 Você sabia que é possível determinar a área do triângulo no plano cartesiano R2 No entanto para isso é necessário conhecermos seus vértices observe Disponível em httpwwwbrasilescolacommatematicaAreaumaregiaotriangularatravesdeterminantehtm A área do Triângulo ABC será dada por S Exemplo 03 Qual é a área do triângulo cujos vértices são A1 2 B3 4 e C4 1 Solução S IV ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Sendo Ax1 y1 Bx2 y2 e Cx3 y3 três pontos distintos dois a dois são colineares ou estão alinhados se e somente se 4 ou V EQUAÇÃO DA RETA O estudo da reta compreende um dos mais importantes assuntos da Geometria analítica pois através de várias funções algébricas conhecidas é possível expressálas por meio de retas O capítulo em questão dada a sua importância engloba uma gama maior de conceitos e definições A Equação Geral da Reta Sabemos por conta da Geometria da posição que uma reta será sempre determinada por dois pontos distintos Daí para determinarmos uma reta é necessário então conhecer dois pontos distintos desta reta y yB P y B yA A 0 xA x xB x Como base no exposto é possível afirmar que os pontos A e B indicados acima e que qualquer ponto P genérico que pertença a reta AB estão alinhados A condição para que três pontos estejam alinhados é x1y2 xy1 x2y xy2 x2y1 x1y 0 xy1 y2 yx2 x1 x1y2 x2y1 0 xy1 y2 yx2 x1 x1y2 x2y1 0 x a y b c 0 5 Assim obtemos a equação geral da reta que é dada por Exemplos 4 Determine a equação da reta que passa pelos pontos A 1 1 e B1 3 Solução Considerando o ponto genérico Px y que pertence a reta e aplicando a Logo a equação da reta que passa pelos pontos A e b é 2x y 1 0 B Pontos que pertencem à Reta Podemos afirmar que um ponto Pxp yp pertence a uma reta r quando ao substituirmos as suas coordenadas na equação da reta verificase uma igualdade Exemplo 5 Verifique se o ponto P2 1 pertence a reta r definida pela equação r 2x y 3 0 Solução Neste caso efetuase a substituição de x por 2 e y por 1 na equação 2x y 3 0 Assim temos 2 2 1 3 0 4 1 3 0 0 0 C Intersecção Entre Duas Retas Sejam r ax bx c 0 e s x0 y0 0 as equações de duas retas e Px0 y0 a sua intersecção ax by c 0 onde 6 Graficamente temos s y r P x Assim P r ax bx c 0 e P s x0 y0 0 Logo x0 y0 é a solução do sistema formado pelas equações de r e s Logo podemos afirmar que para obter o ponto de intersecção entre duas retas r e s basta resolver o sistema de equações do primeiro grau formado por elas Exemplo 6 Determine o ponto de intersecção das retas x 2y 9 0 Solução 29 2y 5y 0 18 4y 5y 0 18 9y 0 y 2 X 9 2y x 9 2 2 x 5 Logo P5 2 D Representações da Equação da Reta Há distintas maneiras de se representar uma reta além da forma da equação geral da reta Vejamos a seguir as principais formas IMPORTANTE Caso o sistema possua mais do que uma solução as retas são coincidentes e caso não possua solução as retas são paralelas entre si 7 Equação Segmentária A equação segmentária de uma reta é obtida quando os pontos em que ela intercepta os eixos coordenados são conhecidos Disponível em httpsomatematicacombremedioretasretas5php A equação segmentária é dada por Equação Reduzida A equação reduzida da reta é obtida quando isolamos y na equação geral Assim temos Equação Paramétrica Uma reta pode ser representada por um par de equações que representam as coordenadas de seus pontos em função de uma terceira variável denominada de parâmetro Os valores m e n são denominados coeficientes angular e linear respectivamente Onde 8 E Equação da Reta que passa por um dado ponto Ao estudarmos o coeficiente angular é possível determinar a equação da reta conhecendo um ponto dela e o ângulo que a mesma forma com o eixo x Disponivel em httpestatisticanocetablogspotcom201312formasdeequacaonaretahtml Observe que existe somente uma reta que passa pelo ponto AxA yA e que forma um ângulo com o eixo x Logo a sua equação será definida por Exemplos 7 Determine a equação da reta que passa pelo ponto 3 2 com inclinação de 60º Solução y y0 mx x0 y 2 8 Calcule a equação segmentária da reta Solução Assim temos y yA mx xA 9 x 2 y 1 x y 3 0 Equação Geral da Reta y x 3 1 y x 3 Equação Reduzida Logo para a equação segmentária obtemos Sendo x y 3 0 Se x 0 y 3 Se y 0 x 3 Equação Segmentária F Posições Relativas Entre Duas Retas Para determinar se duas retas r e s são concorrentes paralelas ou coincidentes devemos inicialmente considerar suas equações gerais r a1x b1y c1 0 s a2x b2y c2 0 Conhecidas as equações gerais encontramos as posições relativas entre elas pelas relações abaixo indicadas G Estudo dos Coeficientes Angulares Quando duas retas r e s são paralelas ou perpendiculares há duas relações entre os coeficientes angulares que são de grande importância no estudo de Geometria Analítica 10 i Retas paralelas Disponível em wwwinfoescolacom Se as retas r e s são paralelos então podemos afirmar que seus coeficientes angulares são iguais ou seja mr ms ii Retas perpendiculares Disponível em wwwobjetivobr Se duas retas r e s são perpendiculares então podemos afirmar que seus coeficientes angulares são valores inversos com sinais trocados ou seja Exemplos 9 Sejam as retas r 2x 3y 5 0 s 3x 2y 1 0 e v 4x 6y 3 0 Determine as posições relativas entre as retas r e s r e v s e v Solução r e s logo r e s são concorrentes r e v logo r e v são paralelos s e v logo s e v são concorrentes 11 10 Determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P3 4 e é perpendicular à reta dada por r 3x 9 Solução O coeficiente angular da reta m é mr 3 Pela condição de perpendicularidade devese ter mr ms 1 3 ms 1 ms 13 Como P3 4 pertence a s e ms 13 obtémse y msx n 4 13 3 n 4 1 n n 3 Logo a equação da reta s é y H Distância de ponto à reta Ao falarmos de distância entre um ponto e uma reta estamos nos pautando na medida do segmento de uma reta perpendicular à reta que tem extremidades no ponto e na reta Assim para encontrar o valor numérico que representa a distância vamos observar a figura a seguir Disponível em wwwestgvipvpt Daí é possível calcular a distância pela relação 12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 UNITAU SP A equação da reta que passa pelos pontos 3 3 e 6 6 é a y x b y 3x c y 6x d 2y x e 6y x 2 UNISINOSRS Uma reta tem equação 3y 2x 12 0 Os parâmetros coeficientes angular e linear nesta ordem são a 23 e 4 b 32 e 12 c 23 e 12 d 23 e 4 e 23 e 4 3 UELPR Considere os pontos A0 0 B2 3 C4 1 O comprimento da altura do triângulo ABC relativo ao lado BC é a b c d e 4 SOUZA MARQUES Assinale o valor de p para o qual os pontos 2 3 6 1 e p 2 são colineares a 25 b 3 c 35 d 4 e 45 5 FEBASP SP Determine a área da região triangular ABC dados A B e C em cada um dos casos a A1 2 B31 e C2 0 b A0 0 B0 4 e C5 0 13 5 FEISP A equação de reta que passa pela origem e forma um ângulo de 45º com a reta y 3x 5 pode ser a y x b x 2y c y 3x d y 3x e y 2 6 Univ Gama FilhoRJ Os pontos A01 B1 0 e Cx y pertencem à reta r então devemos ter a x y 0 b x y 0 c x y 2 d x y 1 e x y5 7 Calcular a distância entre os pontos A 2 5 e B 4 3 8 Calcular a distância entre os pontos A 2 2 e B 4 6 9 Determine o ponto médio entre os pontos A3 e B5 8 10 Calcule as coordenadas do vértice C de um triângulo cujos pontos são A 3 1 B 1 2 e o baricentro G 6 8