Eletromagnetismo Aplicado - Marco Aurélio Gouveia

ELETROMAGNETISMO APLICADO Marco Aurélio Gouveia 2 SUMÁRIO 1 REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL 3 2LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 32 3 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 46 4 ENERGIA POTENCIAL E CORRENTE 70 5 CAPACITÂNCIA EQUAÇÃO DE LAPLACE CAMPO MAGNÉTICO E CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 93 6 FORÇAS MAGNÉTICAS INDUTÂNCIA CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO 121 3 1 REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL Apresentação Cálculo Vetorial CV é um ramo da matemática que aborda a diferenciação e integração de campos vetoriais habitualmente no espaço euclidiano ℝ3 O CV é muito utilizado em Física e Engenharia principalmente na descrição de campos eletromagnéticos campos gravitacionais e mecânica dos fluidos Neste bloco vamos retomar conceitos e operações vetoriais fundamentais a partir do ponto de vista de aplicações em Engenharia Elétrica sem nos aprofundar em deduções matemáticas mas focando na interpretação física Estudar CV é como aprender um novo idioma ele tem seus símbolos e regras próprias portanto o seu aprendizado requer concentração e prática Caso você sinta dificuldades ou queira se aprofundar no desenvolvimento matemático faça uso das referências bibliográficas contidas no final deste bloco 11 Introdução a vetores 111 Escalas e Vetores A análise vetorial e uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo EM são normalmente expressos e mais facilmente compreendidos Precisamos primeiramente aprender suas regras e técnicas antes de aplicálas com segurança Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor O termo escalar caracteriza uma grandeza da qual o valor pode ser representado por um único número real positivo ou negativo O x y e z que usamos na álgebra básica são escalares e as grandezas que eles representam também Se falarmos de um corpo que se desloca a uma distância S em um tempo t ou a temperatura T medida em qualquer ponto de um bule de chá cujas coordenadas são x y e z então S t T x y e z são todos escalares 4 O Sistema Internacional de Unidades também conhecido como SI é inspirado no sistema métrico e é o mais usado no mundo É um conjunto padronizado de definições de unidades de medida utilizado hoje em quase todo o mundo moderno e em várias áreas da atividade humana como a técnicocientífica a política a econômica e a social Por sua lógica e coerência pode ser usado por pessoas de origens de culturas e de línguas diferentes SI 2020 Exemplo de algumas grandezas escalar e suas unidades no SI Tabela 11 Grandezas escalares e suas unidades SI Grandeza Escalar Unidade SI Massa Quilograma Tempo Segundo Temperatura Kelvin Área m2 metro quadrado Energia Joule Carga elétrica Coulomb Fonte Elaborado pelo autor Uma grandeza vetorial possui intensidade direção e sentido no espaço conforme pode ser visto na figura 11 No estudo do eletromagnetismo EM iremos trabalhar somente com espaços bi e tridimensionais todavia em aplicações mais avançadas os vetores podem ser definidos em espaços ndimensionais Fonte Elaborado pelo autor Figura 11 Grandeza vetorial intensidade direção e sentido 5 São exemplos de grandezas vetoriais caracterizadas por uma intensidade uma direção e um sentido A força A velocidade A aceleração O campo elétrico O campo magnético O momento linear O momento angular Os campos vetoriais e escalares são um tema de extrema relevância no estudo do EM Matematicamente o campo escalar ou vetorial pode ser definido como uma função que faz a ligação entre uma origem e um ponto qualquer no espaço É importante frisarmos que o conceito de campo geralmente está associado a uma região Via de regra conseguimos associar algum efeito físico com um campo por exemplo Campo de velocidades determinado pela rotação em torno de um ponto fixo campo de velocidades determinado pelo movimento de um fluido campo gravitacional etc Se a grandeza é um escalar o campo é chamado de campo escalar se a grandeza é um vetor o campo e chamado de campo vetorial Exemplos de campos escalares são a distribuição de temperatura em um edifício a intensidade de som em um teatro o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado A forca gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exemplos de campos vetoriais SHADIKU 2004 P 21 Existem duas formas de fazer a notação vetorial Os vetores serão indicados por letras em negrito como por exemplo A ou representado por uma seta sobre a grandeza como por exemplo 𝐴 A vantagem dessa última forma é que quando se escreve à mão facilita destacar o caráter vetorial Para identificar os escalares utilizaremos o itálico como por exemplo A 6 ATENÇÃO A notação descuidada de um vetor sem seguir as regras falta da seta sobre a grandeza por exemplo caracteriza um erro frequente IMPORTANTE Um escalar é uma grandeza que só possui intensidade Um vetor é uma grandeza que tem intensidade direção e sentido Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região 112 Soma e Subtração de vetores produtos por um Escalar Algumas características da álgebra vetorial são similares as regras da álgebra escalar algumas serão levemente diferentes e outras por sua vez serão inteiramente novas Iniciemos com a adição de vetores que seguem a lei do paralelogramo A Figura 12 mostra a soma de dois vetores 𝐴 e 𝐵 Verificase com facilidade 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 ou seja a adição de vetores obedece a propriedade comutativa A adição vetorial também obedece a propriedade associativa 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪 Fonte Adaptado de Shadiku 2004 Figura 12 Soma de dois vetores regra do paralelogramo e regra do início de um final de outro Note que quando um vetor é desenhado como uma seta de comprimento finito sua posição é definida no início da seta 7 Podemos observar na Figura 12 que os vetores são coplanares isto é pertencem a um mesmo plano os vetores A e B pertencem ao plano do papel Podemos representar cada vetor em relação a direção horizontal e vertical e em seguida somar os componentes correspondentes O procedimento para somar os vetores em três dimensões é o mesmo representamos cada vetor utilizando três componentes e depois somamos os componentes correspondentes Os vetores no espaço ℝ2e no espaço ℝ3 têm uma relação muito próxima o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre utilizado da mesma forma a diferença está nas aplicações mais elaboradas que existem em ℝ3 Fonte elaborado pelo autor Figura 13 Representação de um vetor geométrico no espaço Um terceiro vetor é o resultado da subtração de vetores Este vetor chamado diferença cujas propriedades são deduzidas a partir da soma dos vetores 𝐴 e B que tem módulo e direção iguais ao do vetor 𝐵 mas tem o sentido oposto Consideremos os vetores 𝐴 e 𝐵 e sua subtração 𝐶 𝐴𝐵 Fonte elaborado pelo autor Figura 14 Subtração de vetores Podemos multiplicar um vetor por escalar um número x Dessa operação resulta um novo vetor chamado vetor resultante com as seguintes características 8 𝑅 𝑥𝑉 O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de 𝑥 pelo módulo de V A direção do novo vetor é a mesma O sentido de 𝑅 é o mesmo de 𝑉 se 𝑥 for positivo entretanto o sentido será oposto se A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece às propriedades associativa e distributiva da álgebra assim sendo 𝑥 y𝐴 𝐵 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐴 𝐵 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑦𝐴 𝑦𝐵 A divisão de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação do vetor pelo inverso do escalar Dois vetores são iguais se a diferença entre os dois é zero 𝐴 𝐵 𝑠𝑒 𝐴 𝐵 0 113 Sistema de Coordenadas Retangulares Para apresentar um vetor precisamente é necessário prover algumas informações específicas tais como comprimento direção e sentidos ângulos projeções ou componentes Existem algumas formas de prover essas informações a mais simples é utilizando o sistema de coordenadas retangulares também conhecido como sistema de coordenadas cartesianas retangulares Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço ou o espaço xyz consiste em três retas mutuamente perpendiculares denominadas eixo x eixo y e eixo z cada qual com graduação em números reais As três retas se interceptam em um único ponto que tem coordenada zero em cada eixo 9 Fonte Elaborado pelo autor Figura 15 Sistema de coordenadas cartesianas no espaço ortogonais tridimensionais O plano que é perpendicular ao eixo z e passa pela origem é chamado de plano xy De forma análoga são definidos o plano yz e o plano xz Estes três planos são conhecidos como planos coordenados Fonte Elaborado pelo autor Figura 16 Planos Coordenados 10 Para representar um ponto Pxyz no sistema de coordenadas retangulares marcamos x unidades a partir da origem sobre o lado positivo do eixo x se o valor de x for positivo a partir desse ponto andamos y unidades paralelamente ao eixo y no sentido positivo do eixo y se o valor de y for positivo e em seguida andamos z unidades paralelamente ao eixo z no sentido positivo do eixo z se o valor de z for positivo Fonte Elaborado pelo autor Figura 16 Pontos P 342 Q213 R 303 plotados no Sistema de Coordenadas Retangulares 114 Componentes de Vetores e Vetores Unitários Consideremos um vetor 𝑟 partindo da origem uma forma de identificar esse vetor utilizando o sistema de coordenadas cartesianas retangulares é informar os três componentes vetoriais ao longo do três eixos xyz a soma desses três componentes vetoriais representa o vetor 𝑟 Ao invés de um vetor temos agora três o que significa simplificação porque cada um está sempre na direção de um dos eixos coordenados 𝒓 𝒙 𝒚 𝒛 11 Fonte Elaborado pelo autor Figura 17 Componentes Vetoriais Os componentes vetoriais possuem intensidades que dependem em nosso exemplo do vetor 𝑟 porém cada um possui direção e sentido constantes e conhecidos Essas condições nos levam a dedução do conceito de vetor unitário também chamado de versor Vetor Unitário ou Versor Vetor com intensidade igual a 1 e direção e sentido coincidentes com os dos eixos coordenados SANTOS e FERREIRA 2009 Para representar o vetor unitário usaremos a sua direção e sentido no sistema de coordenadas retangulares usaremos a seguinte notação 𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧 Partindo de um componente vetorial 𝑦 que tenha 2 unidades de intensidade ou seja 𝑦 2𝑎𝑦 Um vetor 𝑟𝑝P 1 2 3 é escrito como Considerando um Q 2 2 1𝑟𝑝 𝑎𝑥 2𝑎𝑦 3𝑎𝑧P para Q aplicamos a regra de adição vetorial resultando em 12 Fonte Adaptado de Hayt e Bulk 2013 p 6 Como podemos observar na figura 18 o vetor não parte da origem contudo vetores com a mesma intensidade direção e sentido são iguais para facilitar a visualização podemos desde que mantido o paralelismo deslocar qualquer vetor até a origem antes de determinarmos seus componentes vetoriais Chamemos de 𝐹 um vetor de força F adotaremos a notação 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 para seus três componentes escalar portanto 𝐹 𝐹𝑥𝑎𝑥𝐹𝑦𝑎𝑦𝐹𝑧𝑎𝑧 sendo 𝐹𝑥𝑎𝑥 𝐹𝑦𝑎𝑦 𝐹𝑧𝑎𝑧 seus componentes vetoriais Qualquer vetor 𝐵 pode ser descrito como 𝐵 𝐵𝑥𝑎𝑥𝐵𝑦𝑎𝑦𝐵𝑧𝑎𝑧 a intensidade de 𝐵 é escrita como 𝐵 ou B podemos então dizer que 𝑩 𝑩𝒙𝟐 𝑩𝒚𝟐 𝑩𝒛𝟐 Um vetor unitário que possua direção e sentido especificados pode ser obtido dividindo o pelo vetor da sua intensidade 𝒂𝑩 𝑩 𝑩𝒙𝟐 𝑩𝒚𝟐 𝑩𝒛𝟐 𝑩 𝑩 13 Exemplo 1 Calcule o módulo do vetor 𝑣 2 4 Em seguida responda a O vetor 𝑣 é unitário b Explicite um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor 𝑣 e comprimento igual a 1 Resolução Cálculo do módulo do vetor 𝑣 22 42 4 16 20 25 a 𝑣 25 1 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 b Todo vetor possui um versor E o versor do vetor é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de portanto 𝑤 𝑣 𝑣 24 25 1 5 2 5 5 5 25 5 𝑤 5 5 2 25 5 2 1 2 Seja 𝐴 10𝑎𝑥 4𝑎𝑦 6𝑎𝑐 𝑒 𝐵 2𝑎𝑥 𝑎𝑦 determine a O componente de ao longo de 𝐴 b A magnitude de 3𝐴 𝐵 c Um vetor unitário ao longo de 𝐴 2𝐵 a O componente de 𝐴𝑎𝑦 b 3𝐴 𝐵 31046 210 30 1218 210 28 1318 Portanto 3𝐴 𝐵 282 132 182 3574 14 c 𝐶 𝐴 2𝐵 10 46 420 14 26 𝑎𝑐 𝐶 𝐶 14 26 142 22 62 𝑎𝑐 09113𝑎𝑥 01302𝑎𝑦 03906𝑎𝑧 12 Produtos e vetores 121 Produto Escalar Chamase produto escalar ou produto interno de dois vetores 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 e 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 representa por 𝑢 𝑣 ao número real 𝑢 𝑣 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑧1𝑧2 Este produto também é indicado por 𝑢 𝑣 e lêse 𝑢 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑣 As propriedades do Produto Escalar são Para quaisquer que sejam os vetores 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑣 𝑥2 𝑦2 2 e 𝑤 𝑥3 𝑦3 𝑧3 e m ℝ 𝑢 𝑢 0 𝑢 0 000 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝑚 𝑢 𝑣 𝑚 𝑢 𝑣 𝑢 𝑚 𝑣 𝑢 𝑢 𝑢2 𝑢 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 0 Exemplo 1 Determine o valor de m de modo que os vetores 𝑎 𝑚𝑖 5𝑗 4𝑘 𝑒 𝑏 𝑚 1𝑖 2𝑗 4𝑘 sejam ortogonais 15 𝑎 𝑚𝑖 5𝑗 4𝑘 𝑏 𝑚 1𝑖 2𝑗 4𝑘 𝑎 𝑏 Se 𝑎 𝑏 então 𝑎 𝑏 0 assim 𝑎 𝑏 𝑚𝑚 1 52 44 0 𝑚2 𝑚 10 16 𝑚2 𝑚 6 0 resolvendo a equação 𝑚 2 𝑚 3 Portanto 𝑆 3 2 122 Ângulos entre dois Vetores Ângulos Diretores Cossenos Diretores O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formados Se 𝑢 0 𝑣 0 e se 𝜃 é o ângulo formado por eles então 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 Os ângulos diretores são formados pelos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados O vetor representado em um plano cartesiano 𝑣 𝑥 𝑦 𝑥 juntamente com os vetores formam os ângulos α β e γ Figura 1 𝑖 𝑗 𝑘 16 Fonte Elaborado pelo autor Figura 19 Ângulos diretores Os cossenos diretores desses ângulos diretores cos α cos β e cos γ são os cossenos diretores de 𝑣 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 𝑥 considerando a definição de ângulos diretores temos cos 𝛼 𝑖 𝑣 𝑖 𝑣 cos 𝛼 1 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 cos 𝛼 𝑥 𝑣 cos 𝛽 𝑗 𝑣 𝑗 𝑣 cos 𝛽 0 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 cos 𝛽 𝑦 𝑣 cos 𝛾 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 cos 𝛾 0 0 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 cos 𝛾 𝑧 𝑣 As componentes do versor 𝑢𝑣 são os cossenos diretores de 𝑣 Seja 𝑣 o versor de um vetor 𝑢 então 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 𝑣 Ou seja 𝑢 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 17 Tendo em vista que o versor de 𝑢 é um vetor unitário então 𝑢 1 ou seja 𝑢 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 1 mas 𝑢 cos2 𝛼 cos2 𝛽 cos2 𝛾 1 então cos2 𝛼 cos2 𝛽 cos2 𝛾 1 Exemplo 1 Determine os ângulos diretores do vetor 𝑎 1 2 3 𝑎 12 22 32 14 cos 𝛼 𝑥 𝑎 1 14 cos 𝛽 𝑦 𝑎 2 14 cos 𝛾 𝑧 𝑎 3 14 𝛼 𝑐𝑜𝑠1 1 14 74𝑜 𝛽 𝑐𝑜𝑠1 2 14 58𝑜 𝛾 𝑐𝑜𝑠1 3 14 37𝑜 123 Produto Vetorial Dados os vetores 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 e 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 tomados nesta ordem chamase produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣 representado por 𝑢 𝑋 𝑣 ou 𝑢 𝑣 lêse 𝑢 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑢 ao vetor 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1𝑧2 𝑧1𝑦2𝑖 𝑥1𝑧2 𝑧1𝑥2𝑗 𝑥1𝑦2 𝑦1𝑥2𝑘 Cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de 2º ordem 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑖 𝑥1 𝑧1 𝑥2 𝑧2 𝑗 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑘 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑢 𝑥 𝑣 é ortogonal simultaneamente aos vetores 𝑢 𝑒 𝑣 e seu sentido é dado pela regra da mão direita Figura 110 18 Fonte adaptado de Shadiku 2004 p28 Figura 110 Regra da mão direita 1231 Propriedades do Produto Vetorial 1 𝑢 𝑥 𝑢 0 qualquer que seja 𝑢 𝑢 𝑥 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 2 𝑢 𝑥 𝑣 0 se a Um dos vetores for nulo b 𝑢 𝑒 𝑣 forem colineares pois 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 quando 𝜃 0 ou 180𝑜 3 Anticomutativa 𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑥 𝑢 Porém 𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑥 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 19 𝑣 𝑥 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥1 𝑦1 𝑧1 4 Associativa 𝑚𝑢 𝑥 𝑣 𝑚𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥 𝑚𝑣 5 Os vetores 𝑖 𝑗 𝑘 nesta ordem representam um triedo positivo Figura 111 Fonte Elaborado pelo autor Figura 111 Triedo positivo Portanto 𝑘 𝑖 𝑥 𝑗 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖 𝑖 𝑗 𝑥 𝑘 Consequentemente𝑘 𝑗 𝑥 𝑖 𝑗 𝑖 𝑥 𝑘 𝑖 𝑘 𝑥 𝑗 Casos particulares 𝑖 𝑥 𝑖 0 𝑗 𝑥 𝑗 0 𝑘 𝑥 𝑘 0 6 𝑢 𝑥 𝑣 𝑤 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥 𝑤 7 𝑢 𝑥 𝑣 é 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑢 𝑒 𝑣 8 Se 𝑢 0 𝑒 𝜃 é 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢 𝑒 𝑣 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 9 𝑢 𝑥 𝑣 𝑤 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑤 o produto vetorial não é associativo 1232 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial Conhecidas as expressões cartesianas podemos determinar o produto vetorial de dois vetores da seguinte forma Sejam 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑒 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑋 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 20 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥1𝑥2𝑖 𝑋 𝑖 𝑥1𝑦2𝑖 𝑋 𝑗 𝑥1𝑧2𝑖 𝑋 𝑘 𝑥2𝑦1𝑗 𝑋 𝑖 𝑦1𝑦2𝑗 𝑋 𝑗 𝑦1𝑧2𝑗 𝑋 𝑘 𝑥2𝑧1𝑘 𝑋 𝑖 𝑦2𝑧1𝑘 𝑋 𝑗 𝑧1𝑧2𝑘 𝑋 𝑘 Considerando que 𝑖 𝑥 𝑖 0 𝑖 𝑥 𝑗 𝑘 𝑖 𝑥 𝑘 𝑗 𝑗 𝑥 𝑖 𝑘 𝑗 𝑥 𝑗 0 𝑗 𝑥 𝑘 𝑖 𝑘 𝑥 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑗 𝑖 𝑘 𝑥 𝑘 0 𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 𝑗 𝑒 𝑘 𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1𝑧2 𝑦2𝑧1𝑖 𝑥2𝑧1 𝑥1𝑧2𝑗 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1𝑘 Como 𝑦1𝑧2 𝑦2𝑧1 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 𝑥2𝑧1 𝑥1𝑧2 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑒 𝑥1𝑦2 𝑥2 𝑦1 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑗 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑘 Um modo para facilmente memorizar esta fórmula é utilizar a notação 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 Devemos ressaltar que 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 baseado no Teorema de Laplace não representa um determinante porque a primeira linha não são números reais e sim vetores Utilizamos essa notação considerando essa ressalva pela facilidade de memorizar a fórmula Saiba mais Para saber mais sobre o teorema de Laplace veja o manual compacto de matemática de autoria de Bosquilha et al 2010 p 208 disponível na Biblioteca Virtual 1233 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial Geometricamente o módulo do produto vetorial de dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 mede a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 𝐴𝐵 𝑢 𝑒 𝐴𝐷 𝑣 Figura 112 21 Fonte Elaborado pelo autor Note que a área 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 ℎ considerando que ℎ 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 temos área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 mas 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 então a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 𝑥 𝑣 Exemplo Dados os pontos M01 02 01 N02 01 03 e P04 0 01 encontre a O vetor 𝑅𝑀𝑁 b O produto escalar 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑃 c A projeção escalar de 𝑅𝑀𝑁 em 𝑅𝑀𝑃 d O ângulo entre 𝑅𝑀𝑁 𝑒 𝑅𝑀𝑃 a 𝑅𝑀𝑁 02 01 03 01 02 01 03 03 04 b 𝑅𝑀𝑁 04 0 01 01 02 01 03 02 02 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑁 03 03 0403 02 02 009 006 008 005 c 𝑅𝑀𝑁 𝑎𝑅𝑀𝑃 03 03 04 03 02 02 009004004 005 017 012 d 𝜃𝑀 𝑐𝑜𝑠1 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑃 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑁 𝑐𝑜𝑠1 005 034017 78𝑜 124 Produto Misto Chamase produto misto dos vetores 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 tomados nesta ordem e representados por 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 o número ral 𝑢𝑣𝑋𝑤 22 Se 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 𝑒 𝑤 𝑥3𝑖 𝑦3𝑗 𝑧3𝑘 temos 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑦1 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 De acordo com o Teorema de Laplace 𝑢 𝑣 𝑋 𝑣 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 1241 Propriedades do Produto Misto 1 𝑢 𝑣 𝑤 0 𝑠𝑒 a um dos vetores for nulo b nenhum dos vetores é nulo mas dois são colineares c os três são coplanares figura 113 Fonte Elaborado pelo autor Figura 113 𝒖 𝒗 𝒆 𝒘 são coplanares 2 A ordem cíclica dos vetores não altera o produto misto Assim 𝑢 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑢 𝑣 3 𝑢 𝑣 𝑤 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑟 propriedade dos determinantes 23 1242 Interpretação Geométria do Produto Misto Geometricamente o módulo do produto misto 𝑢 𝑣 𝑤 é igual ao volume de um paralelepípedo cujas arestas são representadas pelos vetores 𝑢 𝑣 𝑤 Figura 114 Fonte Elaborado pelo autor O volume do paralelepípedo é dado pela expressão 𝑉 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑜𝑢 𝑉 𝐴𝑏ℎ mas 𝐴𝑏 𝑣 𝑥 𝑢 sendo 𝜃 o ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 𝑥 𝑣 a altura do paralelepípedo é determinadao por ℎ 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 Fazse necessário considerar o valor absoluto de 𝑐𝑜𝑠𝜃 pois 𝜃 pode ser obtuso portanto 𝑉 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝜃 Fazendo 𝑣 𝑥 𝑤 𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑉 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 I mas de acordo com a definição de produto interno 𝑢 𝑎 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢 𝑎 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 II Comparando I e II temos 𝑉 𝑢 𝑎 𝑜𝑢 𝑉 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑜𝑢 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 Exemplo Dados os pontos 𝐴 1 2 3 𝐵 1 0 3 𝑒 𝐶 4 2 1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 1 0 3 1 2 3 2 2 0 24 𝐵𝐶 𝐶 𝐵 4 2 1 1 0 3 5 2 4 𝐴𝐶 𝐶 𝐴 4 2 1 1 2 3 3 0 4 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 2 2 0 5 2 4 3 0 4 2 2 4 0 4 25 4 3 4 0 5 2 3 0 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 16 64 0 48 13 Sistema de Coordenas Cilíndricas e Sistemas de Coordenadas Esféricas 131 Sistema de Coordenas Cilíndricas Para o estudo do Eletromagnetismo são necessários sistemas de coordenadas além do cartesiano Os dois sistemas mais utilizados são o cilíndrico e o esférico Não serão considerados os tres eixos como no sistema de coordenadas cartesianas ao invés consideraremos qualquer ponto como a interseção de tres superfícies mutuamente perpendiculares Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 14 As tres superfícies mutuamente perpendiculares do sistema de coordenadas cilíndricas circulares Um ponto no espaço tridimensional é dado por Distância do ponto ao eixo 𝑧 𝜌 Ângulo que 𝜌 faz com o eixo 𝑥 Altura 𝑧 25 Os vetores unitários em coordenadas cilíndricas 𝑎𝜌 𝑒 𝑎 variam com a coordenada uma vez que suas direçoes também variam Assim em operaçoes de integração ou diferenciação em relação a 𝑎𝜌 𝑒 𝑎 não podem ser tratados como constantes Os vetores unitários são perpendiculares entre si pois cada um é normal a uma das tres superfícies mutuamente perpendiculares e assim podemos definir um sistema de coordenadas cilíndricas do tipo triedro direto onde 𝑎𝜌 𝑥 𝑎 𝑎𝑧 Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 115 Os tres vetores do sistema de coordenadas cilíndricas circulares A relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas é Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 26 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑧 Ou 𝜌 𝑥2 𝑦2 𝑡𝑎𝑛1 𝑧 𝑧 Um elemento de volume diferencial em coordenadas cilíndricas pode ser obtido Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 117 Elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas cilíndricas circulares Como 𝜌 𝑒 𝑧 têm dimensão de comprimento os elementos diferenciais são 𝑑𝜌 𝑒 𝑑𝑧 respectivamente a componente diferencial na direção de 𝑎 é 𝜌𝑑 As superfícies possuem áreas de 𝜌 𝑑𝑝 𝑑 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑒 𝜌 𝑑 𝑑𝑧 O volume é 𝜌 𝑑𝑝 𝑑 𝑑𝑧 A conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas é feita da seguinte forma Seja 𝐴 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝐴𝑧𝑎𝑧 queremo obter 𝐴 𝐴𝜌𝑎𝜌 𝐴𝑎 𝐴𝑧𝑎𝑧 Para isto projetamos o vetor em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas 27 𝐴𝜌 𝐴 𝑎𝜌 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎𝜌 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎𝜌 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎𝜌 𝐴 𝐴 𝑎 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎 𝐴𝑧 𝐴 𝑎𝑧 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎𝑧 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎𝑧 Analisando os produtos escalares entre vetores unitários podemos resumilos Tabela 12 Produtos escalares de vetores unitarios nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas 𝒂𝝆 𝒂 𝒂𝒛 𝒂𝒙 cos sen 0 𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛 cos 0 𝒂𝒛 0 0 1 Fonte Elaborado pelo autor Exemplo Considere que em uma determinada região do espaço a temperatura em um ponto genérico 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 pode ser expressa por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 240 𝑧2 2𝑥𝑦 Expresse a temperatura desta região no sistema de coordenadas cilíndricas Sendo 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 um campo escalar porque a cada ponto de uma determinada região do espaço é atribuida uma temperatura que é uma grandeza escalar temos 𝑇𝜌 𝑧 240 𝑧2 2𝜌2𝑠𝑒𝑛 cos podemos escrever essa equação como 𝑇𝜌 𝑧 240 𝑧2 𝜌2𝑠𝑒𝑛 2 132 Sistema de Coordenadas Esféricas Um ponto no espaço tridimensional é dado pela Distância do ponto a origem 𝑟 Ângulo que 𝑟 faz com o eixo 𝑧 𝜃 Figura 118 28 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 Figura 18 As tres coordenadas esfericas Os vetores unitários 𝑎𝑟 𝑎𝜃 𝑎 são perpendiculares enter si não são eixos são funçoes das coordenadas e formam um sistema de coordenadas cilíndricas do tipo triedro direto onde 𝑎𝑟 𝑥 𝑎 𝑎 Figura 119 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 A transformação de escalares do sistema de coordenadas cartesianas para esféricas é realizado relacionando os dois conjuntos de variáveis Figura 20 29 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 Ou 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝜃 𝑐𝑜𝑠1 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝜃 𝜋 Podemos construir um elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas incrementando 𝑟 𝜃 𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑒 𝑑 A distância entre as duas superfícies esféricas de raios 𝑟 𝑒 𝑟 𝑑𝑟 é 𝑑𝑟 a distância entre os dois cones cujos ângulos geradores são 𝜃 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 é 𝑟 𝑑𝜃 a distância entre os dois planos radiais nos ângulos 𝑒 𝑑 é definida como 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 Por meio de deduções trigonométricas concluise que as superfícies possuem áreas de 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑 𝑒 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑 e o volume é dado por 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑 Figura 120 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 Figura 120 O elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas esféricas 30 Parar transformarmos escalares para o sistema de coordenadas cartesianas relacionamos os dois conjuntos de variáveis 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠 Por outro lado a transformação do sistema de coordenadas cartesianas para escalares se dá por 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟 0 𝜃 𝑐𝑜𝑠1 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝜃 180 𝑡𝑔1 𝑦 𝑥 Para fazermos a conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas podemos utilizar a seguinte tabela Tabela 13 Produtos escalares de vetores unitários nos sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas 𝒂𝒓 𝒂𝜽 𝒂 𝒂𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos cos 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 cos 𝜃 sen 𝜃 cos 𝒂𝒛 cos sen 𝜃 0 Fonte Elaborado pelo autor Para ilustrar a construção da tabela 𝑎𝑟 𝑎𝑥 é obtido pela projeção de 𝑎𝑟 no plano 𝑥𝑦 resultando em 𝑠𝑒𝑛 𝜃 depois projetase sen 𝜃 no eixo 𝑥 o que nos leva a 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos Exemplo Expresse o vetor unitáiro 𝑎𝑥 em coordenadas esféricas no ponto 𝑟 2 𝜃 1 𝑟𝑎𝑑 08 𝑟𝑎𝑑 31 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑎𝑥 𝑎𝜃𝑎𝜃 𝑎𝑥 𝑎𝑎 𝑠𝑒𝑛 1cos 08𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠 1 cos 08𝑎𝜃 𝑠𝑒𝑛 08𝑎 059𝑎𝑟 038𝑎𝜃 072𝑎 Conclusão Este bloco foi dedicado a revisão de Cálculo Vetorial Essa revisão se faz importante porque o Cálculo Vetorial é fundamental para o entendimento das relações que envolvem os campos elétricos e magnéticos Iniciamos revisando a Álgebra Vetorial passando pela caracterização de Escalares e Vetores avançamos no estudo dos mecanismos e das propriedades da Soma e Subtração de Vetores e do Produto por um Escalar Revisados os conceitos de Álgebra Vetorial partimos para o estudo do Sistema de Coordenadas Retangulares e dos Componentes de Vetores e Vetores Unitários Boa parte deste bloco foi dedicada a revisão de Produto de Vetores incluindo suas interpretações geométricas Terminamos esse bloco revisando os conceitos e representações geométricas dos Sistemas de Coordenas Cilíndricas e Esféricas No decorrer na revisão foram apresentados exemplos para fixar os conceitos É importante recorrer aos materiais indicados para aprofundar sua revisão visando garantir sua compreensão dos conteúdos vindouros REFERÊNCIAS BOSQUILHA A Et al Manual compacto de matemática 1ª ed São Paulo Rideel 2010 HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 SANTOS F S FERREIRA S F Geometria Analítica Porto Alegre Bookman 2009 SHADIKU M NO Elementos do Eletromagnetismo 3ª edição Porto Alegre Bookman 2004 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI In Britannica Escola Web 2020 Disponível em httpsescolabritannicacombrartigoSistemaInternacionalde UnidadesSI483009 Acesso em 14 de jun 2020 32 2 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO Apresentação Caros alunos depois de revisarmos o conteúdo de Cálculo Vetorial estudaremos neste bloco alguns dos princípios fundamentais de eletricidade Iniciaremos introduzindo a Lei de Coulomb e a partir desta introdução generalizaremos esta Lei lançando mão da teoria de campo Os métodos desenvolvidos neste Bloco podem ser utilizados para resolução de problemas envolvam avaliar forças entre cargas elétricas ou determinar o campo elétrico associado com qualquer distribuição de carga Nosso estudo estará limitado aos campos no vácuo ou espaçolivre 21 A lei de Coulomb A Lei de Coulomb tem esse nome devido ao trabalho desenvolvido pelo coronel do exército francês Charles Augustin de Coulomb 17361806 Coulomb estudou a força de interação entre partículas carregadas e chegou à conclusão de que o módulo da força elétrica entre duas partículas é diretamente proporcional à quantidade de carga das partículas nesse caso a quantidade de carga é o produto do módulo das cargas e ao inverso do quadrado da distância que as separa HAYT e BULK 2013 A lei de Coulomb é expressa da seguinte forma 𝐹 𝑘 𝑄1𝑄2 𝑅2 Onde 𝑄1 e Q2 são as quantidades positivas ou negativas de carga 𝑅 é a distância entre as duas cargas 𝑘 é uma constante de proporcionalidade 33 As unidades no SI são 𝑄1 𝑒 𝑄2 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠 𝐶 𝑅 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚 𝐹 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠 𝑁 A constante de proporcionalidade k for é expressa como 𝑘 1 4𝜋𝜀0 A constante 𝜀0 é chamada de permissividade do espaço livre e tem o valor expresso em farads por metro Fm 𝜀0 8854 𝑥 1012 1 36𝜋 109𝐹𝑚 Dessa forma a lei de Coulomb passa a expressar da seguinte forma 𝐹 𝑘 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0𝑅2 A lei de Coulomb foi definida para cargas puntiformes ou seja para corpos carregados separados por uma distância muito maior que as dimensões destes corpos Outra condição fundamental estabelecida na lei de Coulomb é que se as cargas tiverem o mesmo sinal a força que atua ao longo da linha que as une será repulsiva e se tiverem sinais opostos será atrativa Vamos descrever a lei de Coulomb na forma vetorial 34 Fonte Hayt e Bulk 2013 p 28 Figura 21 Representação vetorial da lei de Coulomb Considerando que 𝑄1 𝑒 𝑄2 possuem o mesmo sinal o vetor de força 𝐹2 em 𝑄2 estará na mesma direção e sentido do vetor 𝑅12 𝑟1 posiciona 𝑄1 𝑟2 posiciona 𝑄2 portanto o segmento de reta orientado de 𝑄1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑄2 que é representado por 𝑅12 𝑟2 𝑟1 𝐹2 é a força em 𝑄2 representada para o caso em em 𝑄1 𝑒 𝑄2 possuem o mesmo sinal A forma vetorial da lei de Coulomb é 𝐹2 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0𝑅12 2 𝑎12 Sendo 𝑎12um versor de 𝑅12 temos 𝑎12 𝑅12 𝑅12 𝑅12 𝑅12 𝑟2 𝑟1 𝑟2 𝑟1 Exemplo Considere as cargas 𝑄1 6𝑥104𝐶 𝑒𝑚 𝑀2 4 10 e uma carga 𝑄2 2𝑥104𝐶 𝑒𝑚 𝑀4 2 11 posicionadas no vácuo Calcule a força exercida em 𝑄2 por 𝑄1 𝑅12 𝑟2 𝑟1 4 2𝑎𝑥 2 4𝑎𝑦 4 2𝑎𝑥 11 10𝑎𝑧 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 𝑎𝑧 35 𝑅12 3 𝑎12 1 3 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐹2 6 𝑥 104 2 𝑥 104 4𝜋 1 36𝜋 𝑥 109 𝑥 32 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 120 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 𝑁 A força tem uma intensidade de 120 N a direção e sentido são determinados pelo versor 𝑎12 2𝑎𝑥2𝑎𝑦0𝑎𝑧 3 a força em 𝑄2 pode ser representada por seus três componentes 𝐹2 80𝑎𝑥 80𝑎𝑦 40𝑎𝑧 Como a força expressa pela lei de Coulomb é mútua 𝐹1 𝐹2 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0𝑅12 2 𝑎21 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜀0𝑅12 2 𝑎12 212 Intensidade de Campo Elétrico Consideremos uma carga fixa em uma posição 𝑄1 agora moveremos uma segunda carga de teste 𝑄𝑡 lentamente em volta da carga 𝑄1 uma força por todo o percurso atuará nessa segunda carga o que evidencia a existência de um campo de força que está associado à carga 𝑄1 A força que age sobre 𝑄𝑡 é determinada pela lei de Coulomb 𝐹𝑡 𝑄1𝑄𝑡 4𝜋𝜀0𝑅1𝑡 2 𝑎1𝑡 Essa força expressa por unidade de carga nos dá a intensidade de campo elétrico 𝐸1 𝐹𝑡 𝑄𝑡 𝑄1 4𝜋𝜀0𝑅1𝑡 2 𝑎1𝑡 Sendo 𝐸1 o um vetor força tendo 𝑄1 como fonte que atua sobre uma carga positiva Podemos expressar a intensidade do campo elétrico como 𝐸 𝐹𝑡 𝑄𝑡 36 E podemos expressar a intensidade de campo elétrico devido a uma só carga pontual 𝑄1 no vácuo sem utilizar os índices subscritos que só serão utilizados em caso que possa ocorrer alguma dubiedade como 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑎𝑅 𝑅 é a intensidade do 𝑅 que é segmento de reta orientado do ponto onde a carga pontual 𝑄 está posicionada até o ponto onde 𝐸 Por sua vez 𝑎𝑅 é o vetor unitário na direção de 𝑅 Posicionando 𝑄1 arbitrariamente no centro de um sistema de coordenadas esféricas teremos o vetor unitário 𝑎𝑅 como o vetor unitário radial 𝑎𝑟 sendo que 𝑅 é 𝑟 𝐸 𝑄1 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑎𝑟 Consideremos uma carga que não esteja na origem do sistema de coordenadas dessa forma o campo deixará de ter simetria esférica e nesse caso utilizaremos coordenas cartesianas Fonte Hayt e Bulk 2013 p 31 Figura 22 Campo em um ponto genérico O vetor 𝑟 localiza a carga pontual 𝑄 o vetor 𝑟 identifica o ponto genérico 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 no espaço e o vetor 𝑅 de 𝑄 para 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 por sua vez vale 𝑅 𝑟 𝑟 37 Para a carga 𝑄 no ponto 𝑟 𝑥𝑎𝑥 𝑦𝑎𝑦 𝑧𝑎𝑧 o campo é localizado em um ponto genérico 𝑟 𝑥𝑎𝑥 𝑦𝑎𝑦 𝑧𝑎𝑧 se expressarmos 𝑅 𝑐𝑜𝑚 𝑟 𝑟 teremos 𝐸𝑟 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟 𝑟2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑄𝑟 𝑟 4𝜋𝜀0𝑟 𝑟3 𝑄𝑥 𝑥𝑎𝑥 𝑦 𝑦𝑎𝑦 𝑧 𝑧𝑎𝑧 4𝜋𝜀0𝑥 𝑥2 𝑦 𝑦2 𝑧 𝑧2 3 2 Tendo em conta que as forças de Coulomb são lineares que tendo como fonte duas cargas pontuais a intensidade de campo elétrico 𝑄1 em 𝑟1 e 𝑄2 em 𝑟2 é a soma das forças sobre 𝑄𝑡 causadas por 𝑄1 e 𝑄2 agindo sozinhas 𝐸𝑟 𝑄1 4𝜋𝜀0𝑟 𝑟12 𝑎1 𝑄2 4𝜋𝜀0𝑟 𝑟22 𝑎2 Onde 𝑎1 𝑒 𝑎2 são respectivamente os vetores unitários nas direções e sentidos de 𝑟 𝑟1 𝑒 𝑟 𝑟2 Na figura 22 são apresentados os demais elementos Adicionando 𝑛 cargas em outras posições o campo em decorrência de 𝑛 cargas pontuais será 𝐸𝑟 𝑄𝑚 4𝜋𝜀0𝑟 𝑟𝑚2 𝑎𝑚 𝑛 𝑚1 Exemplo Encontre 𝐸 no ponto 0 3 4 𝑚 em coordenadas cartesianas devido a uma carga pontual 𝑄 05 𝜇𝐶 localizada na origem 𝑅 3𝑎𝑦 4𝑎𝑧 𝑅21 32 42 5 𝑎𝑅 𝑅 𝑅 3𝑎𝑦 4𝑎𝑧 5 06𝑎𝑦 08𝑎𝑧 38 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑎𝑅 05 𝑥 106 4𝜋 1 36𝜋 𝑥 109 𝑥 52 06𝑎𝑦 08𝑎𝑧 𝐸 180 06𝑎𝑦 08𝑎𝑧 𝑉𝑚 𝐸 180 𝑉 𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑎𝑅 06𝑎𝑦 08𝑎𝑧 22 Distribuição de Carga 221 Volume de carga Em uma carga distribuída por todo um volume específico cada elemento de carga tem sua contribuição para o campo elétrico em um ponto externo Para obterse o campo elétrico total fazse a somatória ou uma integração A menor divisão de carga é um próton ou elétron ou seja cargas discretas vamos assumir que as distribuições de carga são contínuas e portanto diferenciáveis podendo dessa forma expressar 𝜌 𝑑𝑄 𝑑𝑣 𝐶 𝑚3 Fonte Shadiku 2004 109 Figura 23 Campo elétrico devido a uma carga Como pode ser observado na figura 23 cada carga diferencial 𝑑𝑄 produz um campo elétrico diferencial no ponto de observação 𝑃 39 𝑑𝐸 𝑑𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑎𝑅 Considerando que a única carga na região está contida no interior do volume o campo elétrico total no ponto 𝑃 é obtido por meio da integração ao longo do volume 𝐸 𝜌𝑎𝑅 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑣 𝑑𝑣 222 Plano de carga Uma carga pode estar distribuída por uma superfície ou um plano então a contribuição de cada carga diferencial 𝑑𝑄 sobre o plano resulta em um campo elétrico diferencial 𝑑𝐸 𝑑𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑎𝑅 Se a densidade superficial de cargas é 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 e se não há nenhuma outra distribuição de cargas na região o campo elétrico total no ponto 𝑃 é 𝐸 𝜌𝑠𝑎𝑟 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑆 𝑑𝑆 3 Fonte Shadiku 2004 109 Figura 24 Plano de cargas 40 Exemplo Determine a força sobre uma carga pontual de 50 𝜇𝐶 𝑒𝑚 0 0 5 𝑚 devido a uma carga de 500𝜋 𝜇𝐶 que está uniformemente distribuída sobre um disco circular Figura 25 de raio 𝑟 5 𝑚 localizado em 𝑧 0 Fonte Adaptado de Wentworth 2006 Figura 25 Plano de carga no disco circular A densidade de carga é calculada da seguinte forma 𝜌𝑠 𝑄 𝐴 500𝜋 𝑥 106 𝜋 52 02 𝑥 104 𝐶 𝑚2 Utilizando coordenadas cilíndricas 𝑅 𝑎𝑟 5𝑎𝑧 cada carga diferencial resulta em uma diferencial de força 𝑑𝐹 50 𝑥 106 𝜌𝑠 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 4𝜋 1 36𝜋 𝑥 109 𝑟2 25 𝑟𝑎𝑟 5𝑎𝑧 𝑟2 25 Antes de resolver a integral dupla observemos que as componentes radias se cancelam e como 𝑎𝑧 é constante 𝐹 50 𝑥 106 02 𝑥 104 5𝑟 𝑑𝑟 𝑑 4𝜋 1 36𝜋 𝑥 109 𝑟2 253 2 5 0 2𝜋 0 𝑎𝑧 41 𝐹 90𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑟2 253 2 5 0 𝑎𝑧 90𝜋 1 𝑟2 25 0 5 𝑎𝑧 1656𝑎𝑧 𝑁 223 Linha de carga Se a carga é distribuída sobre uma linha cada carga diferencial 𝑑𝑄 ao longo da linha produz um campo elétrico diferencial em 𝑃 pode ser expresso por 𝑑𝐸 𝑑𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑎𝑅 Se a densidade linear de cargas é 𝜌𝑙 𝐶 𝑚 e se não há outra distribuição de cargas na região o campo elétrico total no ponto 𝑃 é 𝐸 𝜌𝑙𝑎𝑅 𝐿 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑑𝑙 Fonte Adaptado de Wentworth 2006 Figura 26 Linha de carga Exemplo Sobre a linha descrita por 𝑥 2 𝑚 𝑒 𝑦 4𝑚 há uma distribuição uniforme de cargas de densidade 𝜌𝑙 20 𝑛 𝐶 𝑚 Determine o campo elétrico em 𝐸 𝑒𝑚 2 1 4 𝑚 e esboce o gráfico Como a linha é paralela a 𝑎𝑧 Figura 27 o campo não possui componentes em 𝑧 𝑟 2 2𝑎𝑥 1 4𝑎𝑦 4𝑎𝑥 3𝑎𝑦 42 𝑟 42 32 5 𝑎𝑟 𝑟 𝑟 4𝑎𝑥 3𝑎𝑦 5 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝑟 𝑎𝑟 20 𝑥 109 2𝜋𝜀05 4𝑎𝑦 3𝑎𝑦 5 576𝑎𝑥 432𝑎𝑦 𝑉 𝑚 Fonte Adaptado de Wentworth 2006 Figura 27 Gráfico da distribuição uniforme de carga Nas distribuição de carga de volume do plano e da linha e em suas respectivas integrais para 𝐸 o vetor unitário 𝑎𝑅 é variável em função das coordenadas do elemento de carga 𝑑𝑄 portanto 𝑎𝑅 não pode ser retirada da integral Sempre que a integralconvergir ie se o limite existe e é um número real ela definará 𝐸 em ponto interno da distribuição de cargas 23 Configurações Elementares de Carga Quando a carga não está sobre um condutor não é necessário fazer a integração Devemos considerar que a carga está suspensa no espaço de algum modo e fixa em uma configuração específica Carga pontual Como visto anteriormente o campo de uma única carga pontual 𝑄 é 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 43 Linha infinita de cargas As cargas estão uniformemente distribuídas ao longo de uma linha retilínea infinita coincidente com o eixo z com densidade 𝜌𝑙 Fonte Adaptado de Hayt e Bulk 2013 p 34 Figura 28 Linha infinita de cargas Usando coordenadas cilíndricas com a linha de cargas ao longo do eixo z 𝑑𝐸 𝑑𝑄 4𝜋𝜀0𝑅2 𝑟𝑎𝑟 𝑧𝑎𝑧 𝑟2 𝑧2 Sendo que para cada carga 𝑑𝑄 no eixo z há outra carga 𝑑𝑄 simétrica em 𝑧 as componentes 𝑧 se cancelam mutuamente 𝐸 𝜌𝑙𝑟𝑑𝑧 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑧23 2 𝑎𝑟 𝜌𝑙𝑟 4𝜋𝜀0 𝑧 𝑟2𝑟2 𝑧2 𝑎𝑟 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝑟 𝑎𝑟 Plano de Carga Infinito Seja uma distribuição uniforme de cargas sobre um plano infinito com densidade 𝜌𝑆 Utilizaremos o sistema de coordenadas cilíndricas com a distribuição de cargas no plano 𝑧 0 44 Fonte Adaptado de Wentworth 2006 Figura 29 Plano infinito de cargas 𝑑𝐸 𝜌𝑠 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑧2 𝑟𝑎𝑟 𝑧𝑎𝑧 𝑟2 𝑧2 A simetria em relação ao eixo z resulta no cancelamento das componentes radiais 𝐸 𝜌𝑠 𝑟𝑧 𝑑𝑟 𝑑 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑧23 2 𝑎𝑧 0 𝜌𝑠𝑧 2𝜀0 1 𝑟2 𝑧2 0 𝑎𝑧 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑧 2𝜋 0 Este resultado é valido para pontos acima do plano 𝑥𝑦 Para pontos abaixo do plano 𝑥𝑦 o vetor unitário troca de sinal 𝑎𝑧 Podemos expressar o campo como 𝐸 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 O campo elétrico é perpendicular ao plano de cargas em todo o espaço e seu módulo é independe da distância do ponto de observação ao plano Saiba mais Para revisar o Cálculo Integral estude o livro Cálculo Diferecial II do autor Guilherme Lemermeier Rodrigues que está disponível na biblioteca virtual 45 Conclusão Este bloco foi dedicado ao estudo da lei de Coulomb e do campo elétrico Campo elétrico é a região que uma carga elétrica puntiforme geradora exerce no espaço como se fosse um campo de força em torno das cargas elétricas Os campos elétricos têm o comportamento semelhante aos campos magnéticos e gravitacionais ou seja quando estão próximos entre si interagem uns com os outros produzindo forças O campo elétrico é uma grandeza vetorial com módulo direção e sentido que está sujeito às forças de interação que dependendo do sinal das cargas se atraem ou se repelem Coulomb formulou sua lei a partir de experimentos utilizando um aparato construído por ele chamado balança de torção Com os resultados dos experimentos ele concluiu que a força que atua sobre dois corpos eletricamente carregados é diretamente proporcional às suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância REFERÊNCIAS HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 RODRIGUES G L Cálculo diferencial e integral II Curitiba InterSaberes 2017 SHADIKU M N O Elementos do Eletromagnetismo 3ª ed Porto Alegre Bookman 2004 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com aplicações em engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2006 46 3 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA Apresentação Neste bloco vamos introduzir os conceitos relativos ao fluxo e relacionar estes conceitos com os de campo elétrico Vamos também introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade de fluxo elétrico e relacionar estes conceitos com os de campo elétrico 31 Densidade de Fluxo e a Lei de Gauss Fluxo de um vetor Seja a função vetorial 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 analisada em termo físicos como a velocidade de um determinado fluido Assim o fluxo 𝑓𝑓 deste vetor que passa através de uma área será dado como o produto do módulo deste vetor pela área transversal à direção do vetor Vetores desse tipo são chamados de vetores de densidade Para generalizar o cálculo de fluxo devemos considerar que nem sempre o vetor é perpendicular à área Na maioria das vezes forma um ângulo diferente de 90 com a área portanto as áreas são consideradas vetores sendo o módulo o próprio valor da área a direção é perpendicular à superfície e o sentido é definido conforme a necessidade Outro fator fundamental para o cálculo do fluxo é o vetor normal que é unitário e perpendicular à superfície e seu sentido é também definido conforme a necessidade Dessa forma o cálculo de fluxo através de uma área incremental 𝐷𝑆 pode ser descrito considerando três situações 𝑓 𝑓𝑆 Fonte Elaborado pelo autor Figura 31 Vetor normal à área ou paralelo ao vetor área 47 𝒇 𝟎 Fonte Elaborado pelo autor Figura 32 Vetor tangente à área ou perpendicular ao vetor área 𝑓 𝑓𝑛𝑆 𝑓𝑐𝑜𝑠𝛼𝑆 𝑓𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑓𝑆 Fonte Elaborado pelo autor Figura 33 Vetor inclinado em relação à área Para o cálculo do fluxo de vetores utilizaremos o produto escalar 𝑓 𝑓𝑆 O fluxo é considerado positivo quando o sentido do vetor 𝑓 coincide com o sentido definido para o vetor área e negativo se for o contrário Sendo o módulo do vetor e o seu ângulo em relação à superfície constantes ao longo da mesma esta equação será válida para cálculo de fluxo através de quaisquer superfícies finitas Caso haja variação do módulo eou do ângulo em relação a superfície devemos utilizar o cálculo integral Fonte Elaborado pelo autor Figura 34 Fluxo em um paralelepípedo 48 Fluxo de vetor que sai de superfície fechada Para calcularmos o fluxo através de superfícies fechadas consideramos o sentido positivo do vetor área apontando para fora do sólido Em um paralelepípedo de dimensões incrementais contendo o ponto 𝑃𝑥𝑜 𝑦𝑜 𝑧𝑜 em seu centro e nessa posição é conhecido o valor do campo vetorial 𝑓𝑥0𝑦0𝑧0 Queremos calcular o fluxo do vetor 𝑓 que sai através de toda a superfície fechada que envolve o volume incremental 𝑉 Os fluxos sairão das seis faces do paralelepípedo Face da frente 𝑆 𝑦𝑧𝑎𝑥 Face de trás 𝑆 𝑦𝑧𝑎𝑥 Face da direita 𝑆 𝑥𝑧𝑎𝑦 Face da esquerda 𝑆 𝑥𝑧𝑎𝑦 Face superior 𝑆 𝑥𝑦𝑎𝑧 Face inferior 𝑆 𝑥𝑦𝑦𝑎𝑧 As dimensões são incrementais muito pequenas portanto admitese que o valor da função vetorial 𝑓 seja aproximadamente constante ao longo de cada uma delas Será considerada somente a componente do vetor normal a superfície pois somente ela interessa no cálculo do fluxo Desta forma o fluxo através de cada face será calculado fazendo o produto da componente normal da função vetorial pelo valor da área da face Exemplo Determine o fluxo do vetor 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 10𝑦2𝑧𝑎𝑥 2𝑥2𝑦𝑎𝑦 2𝑥2𝑧𝑎𝑧 através de uma fração de superfície plana expressa por 𝑥 3 2 𝑦 3 38 𝑧 52 no sentido positivo do eixo 𝑥 49 Figura 35 O diferencial de área é 𝑑𝑆 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑥 𝒇 𝒇𝒅𝑺 𝟏𝟎𝒚𝟐𝒛𝒂𝒙 𝟐𝒙𝟐𝒚𝒂𝒚 𝟐𝒙𝟐𝒛𝒂𝒛 𝑺 𝑺 𝒅𝒚𝒅𝒛𝒂𝒙 𝑓 10𝑦2𝑧𝑎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑥 10 𝑦2𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑆 10 𝑦2𝑑𝑦 3 2 52 38 𝑆 𝑧𝑑𝑧 𝑓 10 𝑦3 3 2 3 52 38 𝑧𝑑𝑧 10 1 3 27 8 𝑧𝑑𝑧 52 38 10 19 3 𝑧𝑑𝑧 52 38 𝑓 190 3 𝑧𝑑𝑧 52 38 190 3 𝑧2 2 38 52 190 6 522 382 399 Fluxo e densidade de fluxo elétrico Michel Faraday estabeleceu por volta de 1837 os conceitos de fluxo elétrico e densidade de fluxo elétrico Como relatam Hayt e Bulk 2013 p 48 Ele construiu um par de esferas metálicas concêntricas cuja esfera externa consistia em dois hemisférios que podiam ser firmemente fixados um no outro Ele também preparou cascas de materiais isolantes ou material dielétrico ou simplesmente dielétrico que ocupariam todo o volume entre as esferas concentricas 50 Fonte Hayt e Bulk 2013 Figura 36 Fluxo elétrico na região entre um par de esferas concêntricas carregadas Como resultado do experimento das esferas concêntricas Faraday chegou à conclusão de que houve certo deslocamento de carga da esfera interna para a esfera externa através do isolamento e que esta carga era independente do meio do dielétrico Chamou a isto de deslocamento fluxo de deslocamento ou fluxo elétrico Concluiu que quanto maior fosse a carga interna maior seria o deslocamento e portanto maior seria a carga externa 𝜓 𝑄 Sendo 𝜓 o fluxo elétrico o fluxo de cargas que passa da esfera interna para a esfera externa sua unidade é Coulombs Densidade de fluxo elétrico ou vetor deslocamento 𝐷 De acordo com Wentworth 2006 a densidade de fluxo elétrico é um vetor com a mesma direção e sentido do campo elétrico e cujo módulo é a razão entre a quantidade de fluxo elétrico que passa em uma superfície e a área desta superfície No SI sua unidade é Coulomb por 𝑚2 e é expresso em coordenadas esféricas como 𝐷 𝑄 4𝜋𝑟2 𝑎𝑟 51 Como pode ser visto na figura 36 se colocarmos qualquer casca esférica imaginária entre a primeira e a segunda esfera o fluxo será o mesmo por outro lado a densidade de fluxo diminui com o aumento do raio 𝑟 pois a área superficial aumenta Se compararmos campo elétrico criado por uma carga elétrica pontual com a densidade de fluxo elétrico chegaremos à seguinte conclusão 𝐷 𝑄 4𝜋𝑟2 𝑎𝑟 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀𝑟2 𝑎𝑟 𝐷 𝜀𝐸 Consideremos inicialmente estas relações válidas apenas para o vácuo onde o porém a última relação será válida também para outras distribuições de carga Exemplo Uma carga pontual 𝑄 30 𝑛𝐶 está localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas Determine a densidade de fluxo elétrico 𝐷 em 1 3 4 𝑚 𝐷 𝑄 4𝜋𝑟2 𝑎𝑟 30 𝑥 109 4𝜋26 𝑎𝑥 3𝑎𝑦 4𝑎𝑧 26 918 𝑥 1011 𝑎𝑥 3𝑎𝑦 4𝑎𝑧 26 𝐶 𝑚2 Fluxo de um vetor em superfície fechada A lei de Gauss Partindo das conclusões de Faraday que demonstrou que o fluxo elétrico que atravessa uma superfície esférica é igual à carga contida na esfera interior Gauss generalizou os resultados e concebeu a lei de Gauss De acordo com a lei de Gauss o fluxo elétrico que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga envolvida por ela Ela se aplica a qualquer distribuição de carga e para qualquer forma da superfície desde que seja fechada independentemente do meio dielétrico que envolve a carga Chamamos a superfície fechada imaginária ou real de superfície Gaussiana SHADIKU 2004 52 Na figura 37 podemos observar uma nuvem de cargas pontuais O fluxo que atravessa a superfície é igual à carga envolvida por ela no entanto em cada ponto da superfície teremos uma maior ou menor concentração das linhas do que em outros pontos Fonte Hayt e Bulk 2013 Para cada incremento de área desta superfície 𝑆 e em cada ponto teremos uma dada inclinação portanto haverá um ângulo 𝑞 entre o vetor densidade de fluxo e a normal a este elemento de área O incremento de área S será tratado como vetor cujo módulo é o valor da sua área S e o sentido coincide com a normal ao mesmo que aponta para fora da superfície Utilizamos o componente normal de 𝐷 em relação a 𝐷𝑆 para calcular o fluxo elétrico que atravessa este elemento de área 𝜓 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑆 𝐷𝑆 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑆 𝐷𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑆 𝐷𝑆𝐷𝑆 O fluxo total que passa pela superfície fechada será obtido pela soma dos diferenciais que atravessam cada elemento de superfície 𝑆 Tomandose infinitos elementos com área tendendo a zero e integrandose obtemos 53 𝜓 𝑑 𝜓 𝐷𝑆 𝑑𝑆 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 Essa é uma integral de superfície fechada onde o elemento de superfície 𝑑𝑆 sempre envolverá duas coordenadas portanto uma integral dupla e ele deverá ser substituído por 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝜌𝑑𝑑𝑝 𝑜𝑢 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑 A representação matemática da lei de Gauss será 𝜓 𝐷𝑆 𝑑𝑆 𝑆 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑄 Onde 𝑄 é a carga total envolvida pela superfície Gaussiana Lembrando as representações 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 𝑆 O índice 𝑆 representa uma integral de superfície para simplificar a representação não utilizamos o símbolo Podemos calcular 𝑄 de várias maneiras 𝑄 𝑄𝑛 𝑄 𝜌𝐿𝑑𝐿 𝑄 𝜌𝑆𝑑𝑆 𝑄 𝜌𝑉𝑑𝑉 𝑉𝑜𝑙 𝑆 A última fórmula é a mais utilizada portanto a lei de Gauss pode ser representada por utilizando a distribuição de carga 𝐷𝑑𝑆 𝜌𝑉𝑑𝑉 𝑉𝑜𝑙 32 Aplicações da lei de Gauss Campo elétrico de carga pontual Tomemos uma carga 𝑄 colocada na origem de um sistema de coordenadas esféricas e como superfície gaussiana uma casca esférica de raio 𝑎 54 Fonte Hayt e Bulk 2013 Figura 38 Aplicação da lei de Gauss para o campo de uma carga pontual em uma superfície esférica fechada de raio O campo elétrico em um ponto 𝑃 pertencente à superfície é dado por 𝐸 𝑄 4𝜋𝜀𝑟2 𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐷 𝜀𝐸 𝐷 𝑄 4𝜋𝑟2 𝑎𝑟 Vetorialmente considerando 𝑟 𝑎 𝑐𝑡𝑒 representamos o elemento diferencial de área como 𝑑𝑆 𝑎2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝜃𝑎𝑟 O integrando será 𝐷𝑆𝑑𝑆 𝑄 4𝜋𝑎2 𝑎2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑 𝑑𝜃 𝑎𝑟 𝑎𝑟 𝑄 4𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑 𝑑𝜃 Desenvolvendo a integral de superfície fechada 𝜓 𝐷𝑑𝑆 𝑄 4𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑 2𝜋 0 𝜃𝜋 𝜃0 𝜓 𝐷𝑑𝑆 𝑄 4𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2𝜋 𝑑𝜃 𝜃𝜋 𝜃0 𝑄 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝜋 𝑄 55 Demonstrase que o fluxo elétrico que atravessa a casca esférica é igual a 𝑄 significando que a carga envolvida pela superfície gaussiana é realmente 𝑄 comprovando o que se esperava pela experiência de Faraday Exemplo Qual é o fluxo total que atravessa a superfície 𝑆 ilustrada na figura abaixo que contém uma distribuição de cargas na forma de um disco plano de raio de 4 𝑚 com densidade 𝜌𝑠 𝑠𝑒𝑛2 2𝑟 𝐶 𝑚2 𝜓 𝑄 𝑠𝑒𝑛2 2𝑟 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 2𝜋 𝐶 4 0 2𝜋 0 Campo elétrico de reta carregada A simetria é uma condição que facilita a solução da lei de Gauss para obtenção de 𝐷 a partir de uma dada distribuição de carga dada essa condição podemos escolher uma superfície gaussiana que atenda às seguintes condições 𝐷 é em todos os pontos da superfície normal ou paralelo a esta portanto o produto escalar 𝐷 𝑑𝑆 é um produto simples 𝐷 𝑑𝑆 ou zero Em um determinado local da superfície em que 𝐷 𝑑𝑆 não é zero 𝐷 é constante Analisemos o caso de uma carga pontual colocada na origem do sistema de coordenadas esféricas a superfície que atende a estes requisitos é uma casca esférica O vetor 𝐷 é normal à superfície e seu módulo é constante em todos os seus pontos 56 Fonte Hayt e Bulk 2013 Figura 39 A superfície gaussiana para uma linha infinita e uniforme de cargas e um cilindro circular reto de comprimento 𝑳 e raio 𝝆 De acordo com Hayt e Bulk 2013 p57 usar a lei de Gauss não é uma questão de utilizar simetria para simplificar a solução porque a aplicação da lei de Gauss depende de simetria e se não pudermos mostrar que a simetria existe então não poderemos usar a lei de Gauss para obter a solução Para mostra que há simetria devemos responder 1 Com que coordenadas o campo não varia ou de que coordenadas 𝐷 é função 2 Quais componentes de 𝐷 não existem Como já visto sobre a intensidade do campo elétrico podemos afirmar que só existe a componente radial 𝐷𝑟 𝐷 𝐷𝑟 𝑎𝜌 e que ela só depende de 𝜌 𝐷𝜌 𝑓𝜌 57 A escolha da superfície recai em uma casca cilíndrica de raio 𝑟 com duas tampas uma em 𝑧 0 e outra em 𝑧 𝐿 Assim teremos 𝐷 radial e constante em toda a superfície cilíndrica e paralelo à normal e nas tampas verificase que 𝐷 é paralelo às mesmas dando contribuição nula à integração 𝜓 𝑄 𝐷 𝑑𝑆 𝐷 𝑆 𝑑𝑆 𝐷 cos 90 𝑑𝑆 𝐷 cos 90 𝑑𝑆 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑇𝑜𝑝𝑜 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝜓 𝑄 𝐷 𝜌 𝑑 𝑑𝑧 𝐷2𝜋𝜌𝐿 2𝜋 0 𝐿 𝑧0 𝐷 𝐷𝜌 𝑄 2𝜋𝜌𝐿 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 𝜌𝐿 𝐷 𝐷𝜌 𝜌𝐿 2𝜋𝜌 𝑜𝑢 𝐸𝜌 𝜌𝐿 2𝜋𝜀𝜌 Campo elétrico de cabo coaxial Vamos analisar um cabo coaxial ou um capacitor cilíndrico em que há um condutor cilíndrico de raio 𝑎 carregado no interior de outro condutor cilíndrico oco de raio 𝑏 Consideremos que o comprimento deste cabo coaxial é teoricamente infinito ou que o comprimento seja muitas vezes superior aos diâmetros envolvidos Fonte Hayt e Bulk 2013 Figura 310 Dois condutores cilíndricos coaxiais formando um cabo coaxial 58 As condições de simetria mostram que apenas a componente 𝐷𝑟 está presente e que a mesma só depende de 𝑟 ou seja não depende de 𝑧 𝑒 𝑓 A superfície gaussiana a ser escolhida será um cilindro com raio 𝑟 localizado entre 𝑎 𝑒 𝑏 limitado entre 𝑧 𝐿 2 𝑒 𝑧 𝐿 2 A carga do cabo interno tem uma distribuição superficial uniforme 𝜌𝑆 𝑄 2𝜋𝑎𝐿𝜌𝑆 Aplicando a integração de Gauss à superfície gaussiana 𝐷 𝑑𝑆 𝐷 𝑆 𝑑𝑆 𝐷 cos 90 𝑑𝑆 𝐷 cos 90 𝑑𝑆 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑇𝑜𝑝𝑜 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷 𝑑𝑆 𝐷 𝑆 𝜌 𝑑 𝑑𝑧 𝐷2𝜋𝜌𝐿 𝑄 2𝜋 0 𝑧𝐿 2 𝑧𝐿 2 Q L D dz d D dS D dS D dS D dS D L z L z base o topo o S Lat 2 cos90 cos90 2 2 2 0 Igualandose as duas equações 𝑄 2𝜋𝑎𝐿𝜌𝑆 𝐷2𝜋𝜌𝐿 𝑄 𝐷 𝜌𝑆𝑎 𝜌 𝑎𝜌 a r b Podemos resolver este problema quando a distribuição de carga no condutor interno é dada de forma linear 𝜌𝐿𝐶 𝑚 da seguinte forma 𝑄 𝑚 𝜌𝐿 1𝑚 𝜌𝑆 2𝜋𝑎 1𝑚 𝜌𝑆 𝜌𝐿 2𝜋𝑎 Substituindo na equação anterior 𝐷 𝜌𝑆𝑎 𝜌 𝑎𝜌 𝜌𝐿 2𝜋𝑎 𝑎 𝜌 𝑎𝜌 𝜌𝐿 2𝜋𝜌 𝑎𝜌 a r b Em uma superfície gaussiana com 𝑟 𝑏 a carga total envolvida é nula portanto o valor de 𝐷 no espaço exterior ao cabo coaxial é nulo de forma que o condutor externo age como uma blindagem para o cabo central 59 Em uma superfície gaussiana com 𝑟 𝑎 veremos que a carga envolvida é nula portanto 𝐷 é nulo no interior do cabo interno uma vez que a carga está só na superfície do condutor central Exemplo Um cabo coaxial de 50 cm de comprimento que possui um 𝑟𝑖𝑛𝑡 1𝑚𝑚 e 𝑟𝑒𝑥𝑡 4𝑚𝑚 Considere que o espaço entre os condutores seja preenchido com ar em termos práticos ar é sinônimo de vácuo e de espaço livre e que a carga total no condutor interno seja de 30 𝑛𝐶 Calcule a densidade de carga em cada condutor e os campos 𝐸 𝑒 𝐷 𝜌𝑆 𝑐𝑖𝑙 𝑖𝑛𝑡 𝑄𝑐𝑖𝑙 𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑎𝐿 30 𝑥 109 2𝜋10305 955 𝜇𝐶𝑚2 𝜌𝑆 𝑐𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑡 𝑄𝑐𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑡 2𝜋𝑏𝐿 30 𝑥 109 2𝜋4 𝑥 10305 239 𝜇𝐶𝑚2 𝐷𝜌 𝑎𝜌𝑆 𝜌 103955 𝑥 106 𝜌 955 𝜌 𝑛𝐶𝑚2 1 𝜌 4 𝑚𝑚 𝐸𝜌 𝐷𝜌 𝜀0 955 𝑥 109 8854 𝑥 1012𝜌 1079 𝜌 𝑉𝑚 1 𝜌 4 𝑚𝑚 Para 1 𝜌 4 𝑚𝑚 𝐸 𝑒 𝐷 0 Aplicação da lei de Gauss a um elemento diferencial de volume Para generalizar a aplicação da lei de Gauss consideremos um ponto 𝑃 no espaço e o envolveremos com uma superfície gaussiana fechada muito pequena que determina um pequeno volume 𝐷𝑉 Supomos que seja conhecido o valor de 𝐷0 no ponto 𝑃 expresso em coordenadas cartesianas 𝐷 𝐷0 𝐷𝑥𝑜𝑎𝑥 𝐷𝑦𝑜𝑎𝑦 𝐷𝑧𝑜𝑎𝑧 60 Fonte Hayt e Bulk 2013 O paralelepípedo incremental terá o ponto 𝑃 bem no seu centro e terá arestas 𝐷𝑥 𝐷𝑦 𝑒 𝐷𝑧 aplicada a lei de Gauss 𝐷𝑑𝑆 𝑄 𝑆 Consideremos por ora somente o lado direito da equação Vamos dividir em seis partes conforme as faces do paralelepípedo a superfície fechada para realizarmos a integração 𝐷𝑑𝑆 𝐴𝑡𝑟á𝑠 𝐸𝑠𝑞 𝐷𝑖𝑟 𝑇𝑜𝑝𝑜 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝐹𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆 Desenvolveremos a integral sobre a face da frente com detalhes e estenderemos os resultados às outras faces Visto que 𝐷𝑆 é muito pequeno 𝐷 será considerado aproximadamente constante em toda a extensão desta superfície 𝐷𝑑𝑆 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑆𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦𝑧𝑎𝑥 𝐷𝑥𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑦𝑧 61 O valor conhecido é 𝐷𝑥𝑜 e só é válido para o centro do paralelepípedo O valor de 𝐷𝑥𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 será calculado utilizando o método de aproximação local para isso será calculado a derivada parcial de 𝐷𝑥 na direção de 𝑥 e a distância entre os dois pontos que é 𝐷𝑥 2 𝐷𝑥𝑜 𝑥 2 𝐷𝑥 𝑥 Sendo 𝐷𝑥𝑜 Valor de 𝐷𝑥 no centro do paralelepípedo 𝐷𝑥𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 Valor de 𝐷𝑥 no centro da face 𝑦𝑧 da frente 𝐷𝑥 𝑥 Derivada parcial de 𝐷𝑥 em relação a 𝑥 𝐷𝑑𝑆 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑥0 𝑥 2 𝐷𝑥 𝑥 𝑦𝑧 Em seguida aplicamos o mesmo raciocínio à face de trás 𝑦𝑧 𝐷𝑑𝑆 𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝐷𝑎𝑡𝑟á𝑠𝑆𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝐷𝑎𝑡𝑟á𝑠𝑦𝑧𝑎𝑥 𝐷𝑥𝑎𝑡𝑟á𝑠𝑦𝑧 𝐷𝑑𝑆 𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝐷𝑥0 𝑥 2 𝐷𝑥 𝑥 𝑦𝑧 A soma destas duas integrais nós dará o fluxo que passa pelas duas faces 𝑦𝑧 𝐷𝑑𝑆 𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑑𝑆 𝑎𝑡𝑟á𝑠 𝑥 𝐷𝑥 𝑥 𝑦𝑧 𝐷𝑥 𝑥 𝑥𝑦𝑧 Apliquemos o mesmo desenvolvimento para as demais faces 𝐷𝑑𝑆 𝑒𝑠𝑞 𝐷𝑑𝑆 𝑑𝑖𝑟 𝑦 𝐷𝑦 𝑦 𝑥𝑧 𝐷𝑦 𝑦 𝑥𝑦𝑧 𝐷𝑑𝑆 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐷𝑑𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑧 𝐷𝑧 𝑧 𝑥𝑧 𝐷𝑧 𝑧 𝑥𝑦𝑧 62 Para obter o fluxo total que sai pelas seis faces do paralelepípedo somamos as três parcelas 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑜𝑢 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑉 Segundo a lei de Gauss a carga interna a este volume é igual ao fluxo elétrico que sai dele 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑉 𝑄 Saiba mais Para revisar derivadas parciais estude o capítulo 3 do livro Cálculo Diferecial II do autor Guilherme Lemermeier Rodrigues disponível na biblioteca virtual Exemplo Dado o campo 𝐷 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑎𝑥 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑎𝑦 2𝑧𝑎𝑧 calcule a carga elétrica contida em um pequeno paralelepípedo com volume 𝐷𝑉 1 𝑥 109 𝑚3 centrado no ponto 𝑃 000 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑉 𝑄 𝐷𝑥 𝑥 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝐷𝑦 𝑦 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 2 𝑄 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 2𝑉 2 𝑥 1 𝑥 109 2 𝑥 109𝐶 Divergência Voltemos a equação do fluxo elétrico 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝜓 𝑄 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑉 63 Dividindo pelo volume obtemos 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝜓 𝑉 𝑄 𝑉 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 Para termos a equação exata para o fluxo elétrico que emana da superfície fechada que envolve o volume infinitesimal levamos o volume em direção a zero que por sua vez segundo a lei de Gauss representa a carga contida neste volume lim 𝑉0 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 lim 𝑉0 𝑄 𝑉 𝜌𝑉 Sendo 𝜌𝑉 Densidade volumétrica de carga 𝐶𝑚3 Vamos dividir e analisar a equação anterior em duas partes para facilitar o entendimento 1 lim 𝑉0 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑒 2 lim 𝑉0 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝜌𝑉 Como a primeira parte da equação não envolve nenhuma carga podemos aplicála a qualquer vetor 𝐴 que representa uma densidade de fluxo para encontrar o fluxo deste vetor através de uma superfície fechada 𝜓𝐴 𝐴𝑑𝑆 𝑆 lim 𝑉0 𝐴𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝐴𝑥 𝑥 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 𝑧 A operação representada desta forma é frequentemente utilizada em física matemática e engenharias dada a frequência que aparece em problemas relacionados a estas ciências recebeu o nome de divergência do vetor 𝐴 sendo escrita como 𝑑𝑖𝑣 𝐴 lim 𝑉0 𝐴𝑑𝑆 𝑆 𝑉 64 Divergência de um vetor 𝐴 em um dado ponto 𝑃 é o fluxo que sai por unidade de volume através de uma superfície fechada que encerra o ponto 𝑃 quando o volume tende a zero Nenhuma direção é associada à divergência ou seja é um escalar A divergência simplesmente nos dá a quantidade de fluxo que está deixando o volume quantificada por unidade de volume Quadro 31 Significado do sinal da divergência Divergência positiva Significa que a quantidade de fluxo que sai do volume infinitesimal é maior do que o que entra ou seja o volume é considerado fonte Divergência negativa Significa que a quantidade de fluxo que sai do volume infinitesimal é menor do que o que entra ou seja o volume é considerado sorvedouro Divergência nula Significa que a quantidade de fluxo que entra no volume infinitesimal é igual a que entra Fonte Adaptado de Hayt e Bulk 2013 A partir da equação 𝑑𝑖𝑣 𝐷 lim 𝑉0 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 chegamos as equações para cada sistema de coordenadas 𝑑𝑖𝑣 𝐷 𝐷𝑥 𝑥 𝐷𝑦 𝑦 𝐷𝑧 𝑧 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣 𝐷 1 𝜌 𝜌 𝜌𝐷𝜌 1 𝜌 𝐷 𝐷𝑧 𝑧 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣 𝐷 1 𝑟2 𝑟 𝑟2𝐷𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐷𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐷 65 Exemplo Dado o campo vetorial 𝐴 5𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2 𝑎𝑥 determine a 𝑑𝑖𝑣 𝐴 no ponto 𝑥 1 𝐴 𝑥 5𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2 5𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑥 2 𝜋 2 10𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2 5 2 𝜋𝑥2𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑥 2 10𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2 𝑑𝑖𝑣 𝐴𝑥1 10 33 Teorema da divergência e a Primeira Equação de Maxwell Eletrostática Consideremos as equações 𝑎 𝑑𝑖𝑣 𝐷 lim 𝑉0 𝐷𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝑏 𝑑𝑖𝑣 𝐷 𝜌𝑉 A equação a é a definição de divergente e a equação b é conhecida como a forma pontual da Lei de Gauss e coincide com a primeira das quatro equações de Maxwell Ela pode ser aplicada à eletrostática e a campos magnéticos estacionários A divergência é uma operação vetorial que dá um resultado escalar tal como um produto escalar Podemos definir outro vetor de modo que o produto escalar do mesmo com o vetor em questão dê resultado idêntico ao da divergência deste vetor Hayt e Bulk 2013 Será definido um operador vetorial chamado nabla 𝑥 𝑎𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑧 𝑎𝑧 O vetor representa um vetor comum para qualquer circunstância exceto que sua aplicação a um vetor resulta nas suas derivadas e não no produto escalar Analisemos a operação 𝐷 66 𝐷 𝑥 𝑎𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑧 𝑎𝑧𝐷𝑥𝑎𝑥 𝐷𝑦𝑎𝑦 𝐷𝑧𝑎𝑧 Consideremos primeiro os produtos escalares dos vetores unitários deixando de lado os seis termos nulos e obtendo o resultado 𝐷 𝑥 𝐷𝑥 𝑦 𝐷𝑦 𝑧 𝐷𝑧 𝑑𝑖𝑣 𝐷 Considerando a lei de Gauss e outras relações já demonstradas teremos 𝐷𝑑𝑆 𝑄 𝑞 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑉𝑑𝑉 𝑒 𝐷 𝑆 𝜌𝑉 reunindo as equações em uma única chegamos ao teorema da divergência também conhecido como teorema da divergência de Gauss 𝑫 𝒅𝑺 𝑺 𝑫 𝒅𝑽 𝒗𝒐𝒍 Teorema da Divergência A integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada S é igual à integral da divergência deste campo através do volume V envolvido pela superfície fechada Fonte Hayt e Bulk 2013 Figura 312 Seção reta de um volume Podemos observar na figura 312 que o fluxo que diverge de um dos elementos infinitesimais de volume converge para as células vizinhas de modo que o fluxo total que diverge do 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉 seria nulo Como algumas células têm uma face que pertence à 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 e o fluxo que por ali passa não entra em outra célula mas abandona a 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑆 o volume não é nulo 67 Em alguns casos é mais fácil integrar ao longo da superfície fechada e achar o fluxo líquido através dela do que integrar a divergência do vetor ao longo de todo o volume envolto pela superfície em outros é mais fácil fazer o contrário Exemplo Calcule a carga no interior de um paralelepípedo retângulo formado pelos planos 𝑥 0 𝑥 1 𝑦 0 𝑦 2 𝑧 0 𝑒 𝑧 3 sabendose que a densidade de fluxo é dada por 𝐷 2𝑥𝑦𝑎𝑥 𝑥2𝑎𝑦 O vetor 𝐷 não tem componentes na direção 𝑧 logo os fluxos através das faces horizontais paralelas a 𝑧 0 são nulos e não serão considerados na equação a seguir 𝐷 𝑑𝑆 𝐷𝑥0 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 𝑆 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎𝑥 𝐷𝑥1 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎𝑥 𝐷𝑦0 𝑥1 𝑥0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑎𝑦 𝐷𝑦2 𝑥1 𝑥0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑎𝑦 Resolvendo os produtos escalares temos 𝐷 𝑑𝑆 𝐷𝑥0 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 𝑆 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷𝑥1 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷𝑦0 𝑥1 𝑥0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷𝑦2 𝑥1 𝑥0 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑥𝑑𝑧 Substituindo alguns valores conhecidos temos 𝐷𝑥𝑥0 0 𝐷𝑦𝑦0 0 𝐷𝑦𝑦2 0 e se anulam suas contribuições 𝐷 𝑑𝑆 0 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 𝑆 0 2𝑦2 2 𝑦0 𝑦2 𝑧3 𝑧0 𝑑𝑧 4𝑑𝑧 4𝑧0 3 12 𝐶 𝑧3 𝑧0 Para comprovarmos façamos a integração de volume 𝐷 𝑥 2𝑥𝑦 𝑥 𝑥2 2𝑦 𝐷𝑑𝑣 𝑣𝑜𝑙 2𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥1 𝑥0 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 68 Chegamos ao mesmo valor de carga no interior do paralelepípedo comprovando o teorema da divergência 𝐷𝑑𝑣 𝑣𝑜𝑙 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 4𝑑𝑧 12 𝐶 𝑧3 𝑧0 𝑦2 𝑦0 𝑧3 𝑧0 Conclusão Neste bloco vimos que o campo escalar 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝛹 e o campo vetorial 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐷 são grandezas uteis na solução de certos problemas Diferentemente de 𝐸 esses campos não são diretamente mensuráveis a existência deles foi inferida de experimentos em eletrostática realizados no século XIX Em seguida exploramos a lei de Gauss que estabelece que o fluxo elétrico total 𝛹 através de qualquer superfície fechada é igual a carga total encerrada por esta superfície Matematicamente a lei de Gauss pode ser escrita na forma integral A lei de Gauss estabelece que a superfície sobre a qual a integração é realizada deve ser fechada porém não especifica a forma desta superfície A melhor escolha por exemplo uma superfície esférica cilíndrica etc vai depender do problema e da simetria associada Apresentamos um operador vetorial chamado nabla que é um vetor definido para cada ponto em um campo escalar por exemplo o potencial em um campo elétrico ou a altura dos pontos em um terreno O gradiente é definido de forma que a variação infinitesimal 𝑑𝑉 na função escalar 𝑉 devido a um deslocamento sobre um percurso diferencial 𝑑𝑟 é produto escalar entre 𝑉 𝑒 𝑑𝑟 Concluímos nossos estudos deste bloco demonstrando o Teorema da Divergência e estudamos a primeira Equação de Maxwell Eletrostática que é o modelo matemático da relação dos campos elétricos com os campos magnéticos e viceversa 69 REFERÊNCIAS HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 RODRIGUES G L Cálculo diferencial e integral II Curitiba InterSaberes 2017 SHADIKU M N O Elementos do Eletromagnetismo 3ª ed Porto Alegre Bookman 2004 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com aplicações em engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2006 70 4 ENERGIA POTENCIAL E CORRENTE Apresentação Neste bloco vamos estudar os conceitos relacionados com a energia utilizada no movimento de uma carga em um campo elétrico e vamos definir a diferença de potencial Na sequência estudaremos os conceitos relativos à corrente elétrica densidade de corrente elétrica e compreenderemos que em eletromagnetismo a lei de Ohm em sua forma básica é insuficiente para descrever os fenômenos relativos à corrente 41 Energia Trabalho para mover uma carga elétrica Considere uma carga Q em um campo elétrico 𝐸 que sofre a ação de uma força 𝐹 É necessário aplicar na carga uma força 𝐹𝑎 igual em módulo mas de sentido contrário ao da força elétrica 𝐹 para que a carga Q seja mantida em equilíbrio dentro do campo elétrico Fonte Elaborado pelo autor 𝑬 𝑭 𝑭𝒂 𝑸 71 Definimos trabalho como uma força atuando ao longo de uma distância A força 𝐹𝑎 agindo sobre uma carga elétrica produz um diferencial de deslocamento 𝑑𝐿 A carga é deslocada de uma distância 𝑑𝑙 𝑑𝐿 um diferencial de trabalho 𝑑𝑊 será realizado pela ou sobre a carga elétrica O sinal negativo na equação anterior foi adicionado de maneira que quando Q é positiva e 𝑑𝐿 está na direção de 𝐸 temos 𝑑𝑊 𝑄𝐸𝑑𝑙 0 Quando 𝑑𝑊 assume um valor positivo indica trabalho realizado contrariamente ao campo elétrico por uma forma externa Escrevemos os vetores diferenciais de deslocamento da seguinte forma 𝑑𝐿 𝑑𝑥𝑎𝑥 𝑑𝑦𝑎𝑦 𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝐿 𝑑𝑟𝑎𝑟 𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝐿 𝑑𝑟𝑎𝑟 𝑟𝑑𝜃𝑎𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠 Exemplo 1 Dado o campo eletrostático 𝐸 𝑥 2 2𝑦 𝑎𝑥 2𝑥𝑎𝑦 𝑉 𝑚 calcule o trabalho necessário para mover uma carga pontual 𝑄 20𝜇𝐶 da origem para o ponto 4 0 0 O caminho está ao longo do eixo x portanto 𝑑𝐿 𝑑𝑥𝑎𝑥 𝑑𝑊 𝑄𝐸 𝑑𝐿 20 𝑥 106 𝑥 2 2𝑦𝑑𝑥 𝑊 20 𝑥 106 𝑥 2 2𝑦𝑑𝑥 4 0 80𝜇𝐽 Propriedade conservativa do campo eletrostático Quando uma carga elétrica se movimenta de um ponto B para um ponto A em um campo eletrostático o trabalho realizado é independente do caminho escolhido entre B e A 𝐸 𝑑𝐿 𝐸 𝑑𝐿 𝑜𝑢 𝐸 𝑑𝐿 𝑐𝑎𝑚 1𝑐𝑎𝑚 2 𝑐𝑎𝑚 2 𝑐𝑎𝑚 1 0 72 Sendo 𝐸 𝑑𝐿 𝑐𝑎𝑚 1𝑐𝑎𝑚 2 calculada sobre um contorno fechado formado pelos caminhos 1 considerado positivo e 2 considerado negativo Um campo vetorial 𝐹 tem como propriedade 𝐹 𝑑𝐿 0 sobre o caminho fechado portanto o valor de qualquer integral de 𝐹 é determinado unicamente pelos pontos extremos do caminho Essa propriedade é chamada de campo conservativo Para que um campo vetorial 𝐹 seja conservativo seu rotacional ser identicamente nulo 𝑥 𝐹 0 Fonte Elaborado pelo autor Figura 42 Campo vetoria Exemplo 2 Considere o campo elétrico 𝐸 do exemplo 1 calcule o trabalho necessário para mover a mesma carga do ponto 4 2 0 m de volta para a origem ao longo da linha diagonal que une os dois pontos 𝑊 20 𝑥 106 𝑥 2 2𝑦 𝑎𝑥 2𝑥𝑎𝑦 000 420 𝑑𝑥𝑎𝑥 𝑑𝑦𝑎𝑦 20 𝑥 106 𝑥 2 2𝑦 𝑑𝑥 2𝑥𝑑𝑦 000 420 A B 1 2 73 A equação do caminho é 𝑦 𝑥 2 𝑑𝑦 1 2 𝑑𝑥 𝑊 20 𝑥 106 5 2 0 4 𝑥𝑑𝑥 400 𝜇𝐽 42 Potencial Diferença de potencial entre dois pontos O trabalho realizado ao se mover uma carga unitária positiva 𝑄𝑢 de B até A é definido como o potencial do ponto A em relação ao ponto B e é expresso como 𝑉𝐴𝐵 𝑊 𝑄𝑢 𝐸 𝐵 𝐴 𝑑𝐿 𝐽 𝐶 𝑜𝑢 𝑉 O ponto inicial de referência deve estar no limite inferior da integral e o sinal negativo não deve ser omitido O sentido físico deste sinal negativo está relacionado com a força 𝐹𝑎 𝑄𝐸 que deve ser aplicada à carga positiva para que ela permaneça em equilíbrio no interior do campo Considerando que 𝐸 é um campo conservativo 𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐶 𝑉𝐵𝐶 Onde 𝑉𝐴𝐵 é a diferença de potencial entre os pontos A e B Quando 𝑉𝐴𝐵 é positiva deve ser realizado trabalho para mover uma carga unitária de B para A neste caso dizemos que o ponto A está em potencial mais elevado que o ponto B Potencial de uma carga pontual Considerando que o campo elétrico devido a uma carga pontual Q tem direção somente radial podemos calcular o potencial elétrico da seguinte maneira 𝑉𝐴𝐵 𝐸 𝑑𝐿 𝐴 𝐵 𝐸𝑟 𝑑 𝐴 𝐵 𝑟 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑑𝑟 𝑟2 𝑄 4𝜋𝜀0 1 𝑟𝐴 1 𝑟𝐵 𝑟𝐴 𝑟𝐵 Sendo Q uma carga positiva o ponto A está em potencial mais elevado que B quando 𝑟𝐴 é menor que 𝑟𝐵 74 Considerando que o ponto de referência B seja movido para o infinito 𝑉𝐴 𝑄 4𝜋𝜀0 1 𝑟𝐴 1 𝑉𝐴 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟 Está equação se aplica desde que o ponto de referência esteja no infinito ela não se aplica a distribuições de carga que se estendam até o infinito Potencial de uma distribuição de cargas Vamos considerar uma distribuição de cargas em um volume finito Caso seja conhecida a densidade de cargas 𝜌 𝐶 𝑚3 podemos determinar o potencial elétrico em um ponto externo devido à distribuição de cargas Tomemos um diferencial de carga dQ em um ponto genérico dentro do volume conforme pode ser visto na figura 43 No ponto P o elemento diferencial de potencial dV devido a dQ é 𝑑𝑉 𝑑𝑄 4𝜋𝜀0𝑅 Fonte Elaborador pelo autor Figura 43 Distribuição de cargas Para encontrarmos o potencial total em P devido a toda a distribuição de cargas devemos integrar em todo o volume 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 4𝜋𝜀0𝑅 𝑣𝑜𝑙 dQ R P dV 75 Onde dQ foi substituído por 𝜌 𝑑𝑉 A variável R não deve ser confundida com a variável r do sistema de coordenadas esféricas R não é um vetor mas a distância de dQ ao ponto de observação P Na maioria dos casos R não pode ser removido do integrando porque varia de ponto a ponto ao longo do volume de integração A expressão para V se manterá estando as cargas distribuídas sobre uma superfície ou sobre uma linha Nestes casos a integração é feita sobre uma superfície ou sobre uma linha e as densidades 𝜌𝑠 𝐶 𝑚2 𝑜𝑢 𝜌𝑙𝐶 𝑚 devem ser utilizadas no lugar de 𝜌 Importante lembrar que todas essas expressões para o potencial em um ponto externo à distribuição de cargas são baseadas no referencial de potencial zero no infinito Exemplo 3 Uma carga total de 40 3 𝑛𝐶 está uniformemente distribuída na forma de um disco circular de raio de 2m Calcule o potencial devido a esta distribuição de cargas em um ponto sobre o eixo z a 2m do centro do disco figura 44 Em seguida compare este potencial com aquele que resulta se toda a carga estiver concentrada no centro do disco Fonte HALLIDAY 2016 Figura 44 Carga distribuída em um disco circular 76 𝜌𝑠 𝑄 𝐴 108 3𝜋 𝐶 𝑚2 𝑅 4 𝑟2 𝑚 𝑉 30 𝜋 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 4 𝑟2 2 0 2𝜋 0 497 𝑉 Como toda a carga está concentrada no centro do disco podese aplicar a equação para potencial elétrico devido a uma carga pontual 𝑉 𝑄 4𝜋𝜀0𝑧 40 3 𝑥 109 4𝜋 109 36𝜋 2 60𝑉 Relação entre campo elétrico E e potencial V O elemento diferencial de V pode ser escrito a partir da expressão integral para o potencial de A em relação a B como 𝑑𝑉 𝐸 𝑑𝐿 Por outro lado da definição do gradiente de V 𝑑𝑉 𝑉 𝑑𝑟 Os elementos diferenciais 𝑑𝐿 𝑒 𝑑𝑟 correspondem a deslocamentos infinitesimais arbitrários portanto para pequenos deslocamentos 𝑑𝐿 𝑑𝑟 assim sendo ao comparar as duas equações anteriores 𝐸 𝑉 A partir desta equação podemos deduzir que a intensidade de campo elétrico 𝐸 pode ser obtida quando a função potencial V é conhecida simplesmente tomando o negativo do gradiente de V 77 O gradiente de V representa o vetor normal às superfícies equipotenciais na direção de crescimento máximo de V O sinal negativo indica que o campo 𝐸 aponta na direção contrária de crescimento do potencial V ou seja está direcionado dos níveis mais elevados para os níveis mais baixos de potencial Em coordenadas esféricas e considerando a referência de potencial no infinito o potencial na região 𝑟 0 no entorno de uma carga pontual Q é 𝑉 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟 𝐸 𝑉 𝑟 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟𝑎𝑟 𝑄 4𝜋𝜀0𝑟2 𝑎𝑟 O que está de acordo com a lei de Coulomb Como V é obtido em princípio pela integração de 𝐸 ao longo de um caminho a diferenciação de V resulta em 𝐸 novamente Energia em campos elétricos estáticos Vamos considerar o trabalho para compor carga por carga uma distribuição com 𝑛 3 cargas pontuais Vamos assumir que incialmente a região é livre de cargas e que 𝐸 0 em todo espaço Fonte SHADIKU 2004 Figura 45 Distribuição com 3 cargas pontuais Tomando o diagrama representado na figura 45 e as condições anteriores o trabalho necessário para colocar a primeira carga Q1 na posição 1 é zero Em seguida vamos mover a carga Q2 Para isso é necessário um trabalho igual ao produto desta carga pelo potencial gerado na posição 2 devido a Q1 Ao se mover a terceira carga Q3 o trabalho total realizado deve ser igual ao produto de Q3 pelos potenciais gerados na posição 3 devido a Q1 e Q2 Assim sendo o trabalho total para o posicionamento das três cargas será dado pela soma do trabalho realizado em cada etapa de transporte 78 𝑊𝐸 𝑊1 𝑊2 𝑊3 0 𝑄2𝑉21 𝑄3𝑉31 𝑄3𝑉32 O potencial 𝑉21 se lê como o potencial no ponto 2 devido a carga Q1 na posição 1 𝑊𝐸 é a energia armazenada no campo elétrico da distribuição de cargas Se fizéssemos o desmonte das cargas na ordem inversa em que as cargas foram trazidas o trabalho total seria 𝑊𝐸 𝑊3 𝑊2 𝑊1 0 𝑄2𝑉23 𝑄1𝑉13 𝑄1𝑉12 Adicionando as duas expressões acima o resultado é o dobro da energia armazenada 2𝑊𝐸 𝑄1𝑉12 𝑉13 𝑄2𝑉21 𝑉23 𝑄3𝑉31 𝑉32 Fisicamente 𝑄1𝑉12 𝑉13 pode ser interpretado como o trabalho realizado contra os campos de Q2 e Q3 quando se movimenta a carga Q1 Dessa forma o potencial na posição 1 é 𝑉12 𝑉13 𝑉1 Similarmente para uma região contendo n cargas pontuais temos 2𝑊𝐸 𝑄1𝑉1 𝑄2𝑉2 𝑄3𝑉3 𝑊𝐸 1 2 𝑄𝑚𝑉𝑚 𝑛 𝑚1 Para uma região com uma densidade de cargas 𝜌 𝐶𝑚3 a somatória se torna uma integração 𝑊𝐸 1 2 𝜌𝑉 𝑑𝑣 A energia armazenada no campo elétrico também pode ser expressa das seguintes formas 𝑊𝐸 1 2 𝐷 𝐸 𝑑𝑣 𝑊𝐸 1 2 𝜖𝐸2 𝑑𝑣 𝑊𝐸 1 2 𝐷2 𝜖 𝑑𝑣 Em um circuito elétrico a energia armazenada no campo de um capacitor é dada por 79 𝑊𝐸 1 2 𝑄𝑉 1 2 𝐶𝑉2 Onde 𝐶 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑉 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑄 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 Exemplo 4 Um capacitor de placas paralelas para o qual 𝐶 𝜖𝐴 𝑑 tem uma diferença de potencial constante V aplicada entre as placas figura 46 Determine a energia armazenada no campo elétrico Fonte SHADIKU 2004 Figura 46 Capacitor de placas paralelas Desprezando os efeitos de borda tempos que o campo é 𝐸 𝑉 𝑑𝑎𝑛 entre as placas e 𝐸 0 em todos os pontos 𝑊𝐸 1 2 𝜖𝐸2 𝑑𝑣 𝜖 2 𝑉 𝑑 2 𝑑𝑣 𝜖𝐴𝑉2 2𝑑 1 2 𝐶𝑉2 Usando a lei de Gauss podemos também obter a carga total sobre um dos condutores a partir do campo 𝐷 na superfície da placa 𝐷 𝜖𝑉 𝑑 𝑎𝑛 𝑄 𝐷𝐴 𝜖𝑉𝐴 𝑑 𝑊 1 2 𝑄𝑉 1 2 𝜖𝐴𝑉2 𝑑 1 2 𝐶𝑉2 80 43 Corrente Elétrica Quando temos cargas suspensas em um líquido ou em um gás ou onde estão presentes tanto elementos de cargas positivas como negativas com diferentes características a forma básica da lei de Ohm é insuficiente Assim tendo em vista a solução de problemas mais gerais no âmbito do eletromagnetismo daremos mais atenção o vetor densidade de corrente 𝐽 𝐴𝑚2 que a corrente I Cargas em movimento Consideremos a forca sobre uma partícula carregada positivamente em um campo elétrico no vácuo figura 47 Esta forca 𝐹 𝑄𝐸 não encontra oposição e tem uma aceleração constante da carga portanto a carga se movimenta na direção de 𝐸 com velocidade 𝑈 que aumenta enquanto a partícula permanece no campo 𝐸 Quando a carga está em um liquido ou em um gás ocorrem colisões repetidas entre ela e as partículas do meio que resultam em mudanças aleatórias na trajetória e desaceleração da carga Porém para 𝐸 constante e considerando o meio homogêneo podese mostrar que as componentes aleatórias da velocidade se cancelam e a carga se movimenta com uma velocidade média constante conhecida como velocidade de arraste 𝑈 orientada ao longo da direção de 𝐸 A condução nos metais ocorre pelo movimento dos elétrons das camadas mais externas dos átomos que compõem a estrutura cristalina Estes elétrons alcançam a velocidade de arraste de modo equivalente ao que ocorre quando uma partícula carregada atravessa um líquido ou um gás A velocidade de arraste é diretamente proporcional a intensidade de campo elétrico WENTWORTH 2006 𝑈 𝜇𝐸 81 Fonte SHADIKU 2004 Figura 47 Força sobre uma partícula Onde 𝜇 é a mobilidade do portador de carga e tem como unidade 𝑚2 𝑉𝑠 Cada metro cúbico de um condutor contém cerca de 1028 átomos e em geral bons condutores têm um ou dois elétrons por átomos livres para se movimentar sob a ação de um campo aplicado Outro aspecto importante é a dependencia do parâmetro 𝜇 a temperatura e a estrutura cristalina do sólido Sabese que as partículas em um sólido possuem um movimento vibratório que aumenta com a temperatura Tal vibração tende a dificultar o movimento de cargas no interior do sólido Assim em temperaturas mais elevadas a mobilidade 𝜇 é reduzida resultando em uma menor velocidade de arraste para um dado campo aplicado 𝐸 Em termos macroscópicos na análise de circuitos elétricos este fenômeno é levado em consideração pela introdução de um parâmetro para cada material chamado de resistividade e pela especificação de um crescimento dessa resistividade com o aumento da temperatura Densidade de corrente de convecção 𝐽 A figura 48 ilustra um conjunto de partículas carregadas que resultam em uma densidade 𝜌 em um volume 𝑣 se movendo para a direita com velocidade 𝑈 Assumese que tais partículas mantem suas posições relativas no interior do volume Quando esta configuração de cargas atravessa uma superfície 𝑆 temos a corrente de convecção cuja densidade é dada por 𝐽 𝜌𝑈 𝐴𝑚2 82 Fonte SHADIKU 2004 Figura 48 Corrente de convecção Caso a seção reta do volume 𝑣 variar ou se a densidade 𝜌 não for constante em todo o 𝑣 então 𝐽 não será constante com o tempo Ademais 𝐽 será zero quando a última porção do volume 𝑣 atravessar 𝑆 Densidade de corrente de condução 𝐽 A densidade de corrente é dada por 𝐽 𝜌𝑈 𝐴 𝑚2 𝑐 que considerando a relação 𝑈 𝜇𝐸 pode ser escrita como 𝐽 𝜎𝐸 forma pontual da lei de Ohm Onde 𝜎 𝜌𝜇 é a condutividade do material em Siemens por metro 𝑆𝑚 No caso de condutores metálicos os portadores de carga são os elétrons que se deslocam em um sentido contrário ao do campo elétrico aplicado figura 49 Assim para os elétrons tanto 𝜌 como 𝜇 são negativos o que resulta em uma condutividade 𝜎 positiva De fato a condutividade σ é sempre positiva o que abrange o caso dos portadores de carga positivos se movimentando sob a ação de um campo 𝐸 Portanto os vetores 𝐽 e 𝐸 têm sempre a mesma orientação não importando quais sejam os portadores de carga do meio No estudo de circuitos é usual tratar o movimento de elétrons para a esquerda Figura 49 como o equivalente movimento de cargas positivas para a direita considerando sempre 𝜌 e 𝜇 positivos Esta consideração é chamada de corrente convencional 83 Fonte WENTWORTH 2006 Figura 49 Movimentação dos elétrons Exemplo 5 Qual é a intensidade campo elétrico e a densidade de corrente correspondentes a uma velocidade de arraste de 6 𝑥 104𝑚𝑠 em um condutor de prata Dados do condutor de prata 𝜎 617 𝑀𝑆 𝑚 𝑒 𝜇 56 𝑥103 𝑚2 𝑉𝑠 𝐸 𝑈 𝜇 6 𝑥 104 56 𝑥 103 107 𝑥 101 𝑉 𝑚 𝐽 𝜎𝐸 661 𝑥 106 𝐴 𝑚2 Corrente I Quando uma densidade de corrente 𝐽 cruza uma superfície 𝑆 figura 410 a corrente 𝐼 é obtida pela integração do produto escalar entre 𝐽 e 𝑑𝑆 ou seja integrase a componente normal de 𝐽 ao longo da superfície 𝑆 𝑑𝐼 𝐽 𝑑𝑆 𝐼 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 𝐽 não precisa ser uniforme ao longo de 𝑆 e também 𝑆 não precisa ser necessariamente plana mas uma superfície qualquer 84 Fonte HALLIDAY 2016 Exemplo 6 Calcule a corrente no fio circular ilustrado na figura 411 se a densidade de corrente é 𝐽 151 𝑒1000𝑟𝑎𝑧 𝐴 𝑚2 Dado o raio do fio igual a 2 m Fonte HALLIDAY 2016 Figura 411 Fio circular Como superfície 𝑆 tomaremos uma seção reta circular no fio 𝑑𝐼 𝐽 𝑑𝑆 151 𝑒1000𝑟𝑎𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 𝑎𝑧 𝐼 151 𝑒1000𝑟 0002 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑 133 𝑥 104𝐴 𝑜𝑢 0133 𝑚𝐴 Como o fio tem diâmetro uniforme qualquer superfície que englobe toda a superfície externa do fio terá a mesma corrente total 𝐼 0133 𝑚𝐴 atravessandoa 85 Resistencia R Considerando um condutor de seção reta uniforme 𝐴 e comprimento 𝑙 figura 412 e uma diferença de potencial 𝑉 aplicada entre suas extremidades 𝐸 𝑉 𝑙 𝑒 𝐽 𝜎𝑉 𝑙 Considerando que a corrente está uniformemente distribuída sobre a área 𝐴 temos que a corrente total será 𝐼 𝐽𝐴 𝜎𝐴𝑉 𝑙 Com a lei de Ohm estabelece que 𝑉 𝑅𝐼 a resistência é 𝑅 𝑙 𝜎𝐴 𝛺 Esta expressão para resistencia é geralmente aplicada para todos os condutores em que a seção reta 𝐴 permanece constante ao longo do comprimento 𝑙 Em casos em que a distribuição de corrente não for uniforme sobre a seção do condutor por exemplo uma maior densidade na periferia do condutor que no centro ou quando a área da seção varia ao longo do comprimento 𝑙 fazendo com que a distribuição se altere ao longo do comprimento 𝑙 não podemos aplicar a expressão anterior nestes casos aplicamos 𝑅 𝑉 𝐽 𝑑𝑆 𝑉 𝜎𝐸𝑑𝑆 Se o campo 𝐸 é conhecido em vez da diferença de potencial 𝑉 entre as extremidades do condutor a resistência será calculada por 𝑅 𝐸 𝑑𝐼 𝜎𝐸 𝑑𝑆 Nesta expressão o numerador nos dá a queda de tensão através da amostra de material condutor e o denominador nos dá a corrente total que atravessa a amostra 86 Fonte HALLIDAY 2016 Figura 412 condutor de seção reta uniforme Exemplo 7 Determine a resistência entre as duas superfícies curvas interna e externa do bloco ilustrado na figura 413 sendo o material entre elas de prata para o qual 𝜎 617 𝑥 107 𝑆 𝑚 Fonte SHADIKU 2004 Figura 413 Bloco Como a mesma corrente I atravessa ambas as superfícies curvas temos 𝐽 𝑘 𝑟 𝑎𝑟 𝑒 𝐸 𝑘 𝜎𝑟 𝑎𝑟 50 00873 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝑘 𝜎𝑟 𝑎𝑟 𝑑𝑟 𝑎𝑟 30 02 𝑘 𝑟 00873 0 005 0 𝑎𝑟 𝑟 𝑑 𝑑𝑧 𝑎𝑟 𝑅 ln 15 𝜎00500873 101 𝑥 105𝛺 101𝜇𝛺 87 Densidade de corrente superficial K Em algumas situaçoes a corrente é confinada a superfície do condutor No tratamento destas correntes superficiais é útil definir o vetor densidade de corrente 𝐾 𝐴𝑚 cujo sentido corresponde ao sentido de circulação da corrente e cujo módulo corresponde a corrente elétrica por unidade de comprimento transversal que circula pela superfície Neste caso 𝐾 1 2𝜋𝑟 𝑎𝑧 em cada ponto na superfície do cilindro Para outras superfícies o vetor K pode variar de ponto a ponto Em geral a corrente fluindo através de um contorno 𝐶 situado sobre a superfície onde as cargas se movem é obtida pela integração da componente normal de 𝐾 ao longo do contorno 𝐼 𝐾𝑛 𝑑𝑙 𝐶 Fonte SHADIKU 2004 Figura 414 Corrente distribuída sobre a superfície de um cilindro oco Continuidade da corrente Em uma corrente que atravessa uma superfície fechada há uma relação entre a corrente total que flui para fora da superfície fechada e a redução das cargas contidas no interior dela dada por 𝐽 𝑑𝑆 𝐼 𝑑𝑄 𝑑𝑡 𝑡 𝜌 𝑑𝑣 88 Onde o vetor unitário normal a 𝑆 é escolhido apontado para fora da superfície Dividindo a equação anterior por 𝛥𝑣 𝐽 𝑑𝑆 𝛥𝑣 𝑡 𝜌 𝑑𝑣 𝛥𝑣 Tomando o limite 𝛥𝑣 0 o lado esquerdo da equação por definição tende a divergência do vetor densidade de corrente 𝐽 enquanto o lado direito tende a 𝜌 𝑡 Assim sendo 𝐽 𝜌 𝑡 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 Esta equação estabelece que a divergência de 𝐽 é igual a menos a taxa de variação da densidade volumétrica de cargas O sinal negativo indica que a medida que a corrente deixa o volume ocorre uma diminuição na quantidade efetiva de cargas encerradas em 𝑣 Essencialmente está equação ilustra o princípio de conservação da carga A densidade volumétrica de cargas moveis e a densidade de carga total é representada por 𝜌 A derivada parcial 𝜌 𝑡 no interior de um condutor é diferente de zero apenas transitoriamente durante um intervalo muito pequeno de tempo Assim a equação da continuidade é simplificada para 𝐽 0 e tornase o equivalente de campo da lei de Kirchoff das correntes que estabelece que a corrente total deixando uma junção de vários condutores é nula Suponha que devido a um desbalanceamento de cargas temporário uma região no interior de um condutor sólido tenha uma densidade de cargas liquida 𝜌0 no instante de tempo 𝑡 0 Dado que 𝐽 𝜎𝐸 𝜎 𝜖𝐷 temos 𝜎 𝜖 𝐷 𝜌 𝑡 A divergência consiste em tomar as derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais Se os parâmetros são uniformes como devem ser em um condutor homogêneo então eles podem ser removidos da derivada parcial 89 𝜎 𝜖 𝐷 𝜌 𝑡 𝜎 𝜖 𝜌 𝜌 𝑡 𝜌 𝑡 𝜎 𝜖 𝜌 0 considerando a condição inicial 𝜌 𝜌0 em 𝑡 0 temos 𝜌 𝜌0𝑒𝜎 𝜖𝑡 Temos que 𝜌 decai exponencialmente com uma constante de tempo 𝜏 𝜖 𝜎 também conhecida como tempo de relaxação Em 𝑡 𝜏 𝜌 reduz para 368 de seu valor inicial Em condutores τ é extremamente pequeno da ordem de 1019 segundos Isso confirma a observação de que cargas livres não permanecem no interior de um condutor mas ao invés disso ficam uniformemente distribuídas sobre sua superfície ou seja ao colocar cargas no interior de um condutor a maior parte da carga desaparece em um tempo muito curto associado ao tempo de relaxação e reaparece na superfície como carga superficial HAYT 2013 Exemplo 8 Determine o tempo de relaxação para a prata dado que 𝜎 617 𝑥 107 𝑆 𝑚 Se cargas são colocadas no interior de um bloco de prata com densidade resultante 𝜌0 encontre 𝜌 após uma e após cinco constantes de tempo Dado que 𝜖 𝜖0 para condutores 𝜏 𝜖 𝜎 10936𝜋 617 𝑥 107 143 𝑥 1019𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 𝜏 𝜌 𝜌0𝑒1 0368𝜌0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 5𝜏 𝜌 𝜌0𝑒5 674 𝑥 107𝜌0 Condiçoes de fronteira na interface condutordielétrico Sob condições estáticas toda a carga liquida em um condutor estará em sua superfície externa e portanto ambos os campos 𝐸 𝑒 𝐷 serão nulos no interior do condutor Dado que o campo eletrostático 𝐸 é um campo conservativo a integral de linha de 𝐸 𝑑𝑙 é nula para qualquer contorno fechado Consideremos um caminho retangular na interface entre um dielétrico e um condutor com vértices 1 2 3 e 4 figura 415 Para esse caminho 90 Fonte HAYT 2013 Figura 415 Caminho na interface dielétricocondutor 𝐸 𝑑𝐼 2 1 𝐸 𝑑𝐼 3 2 𝐸 𝑑𝐼 4 3 𝐸 𝑑𝐼 1 4 0 Se os comprimentos dos caminhos 23 e 41 se aproximam de zero mas mantendo a interface entre o par de pontos a segunda e a quarta integrais se anulam O caminho 34 está dentro do condutor o que resulta em 𝐸 0 𝐸 𝑑𝐼 2 1 𝐸𝑡 𝑑𝑙 0 2 1 onde 𝐸𝑡 é a componente tangencial de 𝐸 na superfície do dielétrico Mas dado que o intervalo 12 pode ser escolhido arbitrariamente em cada ponto da superfície 𝐸𝑡 𝐷𝑡 0 Para determinar as condições de fronteira para as componentes normais de campo elétrico consideremos um pequeno cilindro circular reto fechado colocado na interface entre os dois meios figura 416 Aplicando a lei de Gauss a esta superfície temos Fonte HAYT 2013 Figura 416 Cilindro circular reto 91 𝐷 𝑑𝑆 𝑄 𝐷 𝑑𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝐷 𝑑𝑆 𝐷 𝑑𝑆 𝜌𝑠 𝑑𝑆 𝐴 𝑙𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑓 A terceira integral é nula uma vez que de acordo com a dedução anterior 𝐷𝑡 0 em quaisquer lados da superfície A segunda integral também é nula pois a base do cilindro está no interior do condutor onde os campos 𝐷 e 𝐸 são zero Então 𝐷 𝑑𝑆 𝑠𝑢𝑝 𝐷𝑛 𝑑𝑆 𝜌𝑠 𝑑𝑆 𝐴 𝑠𝑢𝑝 Esta expressão só é válida se 𝐷𝑛 𝜌𝑆 𝑒 𝐸𝑛 𝜌𝑠 𝜖 Exemplo 9 A intensidade de campo elétrico em um ponto sobre a superfície de um condutor é dada por 𝐸 02𝑎𝑥 03𝑎𝑦 02𝑎𝑧 𝑉 𝑚 Supondo que o condutor está colocado no espaço livre encontre a densidade superficial de cargas neste ponto 𝐷𝑛 𝜖0𝐸𝑛 𝜌𝑠 𝐸𝑛 𝐸 0412 𝑉 𝑚 𝜌𝑠 109 36𝜋 0412 364 𝑝 𝐶 𝑚2 O sinal decorre da escolha da normal apontando para fora da superfície no ponto em consideração Como no problema não foi informada a geometria do condutor não é possível determinar o sentido do vetor normal e portanto existe uma ambiguidade com relação ao sinal da carga Sob condiçoes estáticas o campo elétrico imediatamente fora de um condutor é nulo componentes tangencial e normal a menos que exista uma distribuição superficial de cargas Contudo devese salientar que uma carga superficial não implica uma carga liquida ou total no condutor 92 Conclusão Neste bloco iniciamos nossos estudos com a teoria eletromagnética referente a energia e potencial Vimos a propriedade conservativa do campo eletrostático e as propriedades relativas à diferença de potencial potencial de uma carga pontual e potencial de uma distribuição de cargas Em seguida estudamos a teoria eletromagnética referente à corrente elétrica abordando a densidade de corrente de convecção e de condução a resistência a continuidade da corrente e finalizamos estudando as condições de fronteira na interface condutordielétrico Agora que voce compreendeu a teoria eletromagnética relacionada a energia potencial e corrente você está apto a aplicar seu conhecimento na resolução de problemas REFERÊNCIAS HALLIDAY D Fundamentos de Física Vol 3 Eletromagnetismo 10ª edição Rio de Janeiro Grupo GEN 2016 HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 SHADIKU M N O Elementos do Eletromagnetismo 3ª ed Porto Alegre Bookman 2004 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com aplicações em engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2006 93 5 CAPACITÂNCIA EQUAÇÃO DE LAPLACE CAMPO MAGNÉTICO E CONDIÇÕES DE FRONTEIRA Apresentação Neste bloco vamos estudar os métodos de cálculo de capacitâncias e analisar criticamente a forma como a capacitância de determinado dispositivo será alterado se forem feitas mudanças nos materiais ou em suas configurações geométricas Nos problemas de aplicação prática de eletrostática em sua grande parte a distribuição de cargas não é especificada e sim o potencial aplicado em diferentes superfícies particular e superfícies condutoras Os métodos estudados até agora para calcular o campo elétrico não são apropriados para calcular o potencial eletrostático em todo o espaço dadas condições de contorno em algumas superfícies portanto um novo método será necessário Para solucionar problemas que envolvam essas condições estudaremos as equações de Poisson e Laplace Encerrando este bloco vamos estudar os campos magnéticos produzidos por correntes constantes Também será abordado o comportamento dos vetores intensidade de campo magnético 𝐻 e densidade de fluxo magnético 𝐵 através da fronteira entre dois meios ou materiais diferentes Vale ressaltar que as condições de fronteira serão desenvolvidas considerando um campo magnético estático porém os resultados obtidos também se aplicam para campos magnéticos variáveis no tempo 51 Capacidade e materiais dielétricos Polarização 𝑃 e permissividade relativa 𝜖𝑟 Considere um átomo de um dielétrico constituído de uma carga negativa 𝑄 𝑛𝑢𝑣𝑒𝑚 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑟ô𝑛𝑖𝑐𝑎 e uma carga positiva 𝑄 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 veja a figura 51 Sob a aplicação de um campo elétrico 𝐸 a região de cargas positivas se move no sentido do campo aplicado e a região de cargas negativas se move no sentido oposto Esse deslocamento pode ser representado por um momento de dipolo elétrico 𝑝 𝑄𝑑 SHADIKU 2004 94 Fonte SADIKU 2012 Figura 51 Deslocamento da carga Para a maior parte dos materiais as regioes de carga retornarão as suas posiçoes originais quando o campo externo é removido Uma região 𝛥𝑣 de um dielétrico polarizado contém 𝑁 momentos de dipolo 𝑝 O vetor polarização 𝑃 é definido como o número de dipolos por unidade de volume ou seja 𝑃 lim 𝑣0 𝑁𝑝 𝑣 𝐶 𝑚2 A equação a seguir segundo visão microscópica define o aumento da densidade de fluxo elétrico 𝐷 𝜖0𝐸 𝑃 Esta equação permite que 𝐸 𝑒 𝑃 tenham orientações distintas como realmente ocorre em certos dielétricos Mas considerando um meio linear e isotrópico os campos 𝐸 𝑒 𝑃 são paralelos em cada ponto sendo essa relação expressa por 𝑃 𝜒𝑒𝜀0𝐸 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑜 Onde a suscetibilidade elétrica 𝜒𝑒 é uma constante adimensional Então 𝐷 𝜀01 𝜒𝑒𝐸 𝜀0𝜀𝑟𝐸 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑜 Onde 𝜀𝑟 1 𝜒𝑒 também é uma constante adimensional Uma vez que 𝐷 𝜖𝐸 𝜀𝑟 𝜖 𝜖0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜀𝑟 é 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 95 Exemplo 1 Determine os módulos de 𝐷 𝑒 𝑃 para um material dielétrico no qual se tem um campo aplicado 𝐸 015𝑀𝑉 𝑚 𝑒 𝜒𝑒 425 Sendo 𝜀𝑟 1 𝜒𝑒 525 𝐷 𝜀0𝜀𝑟𝐸 109 36𝜋 525015 𝑥 106 696 𝜇𝐶𝑚2 𝑃 𝜒𝑒𝜀0𝐸 109 36𝜋 425015 𝑥 106 564 𝜇𝐶𝑚2 Capacitância Dois condutores quaisquer separados pelo espaço livre ou por um dielétrico tem uma capacitância entre eles Ao aplicar uma diferença de potencial entre esses dois condutores temos o estabelecimento de uma carga 𝑄 em um condutor e 𝑄 no outro A razão entre o valor absoluto da carga e o valor absoluto da diferença de potencial é definida como a capacitância do sistema 𝐶 𝑄 𝑉 𝐹 𝑜𝑛𝑑𝑒 1 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑 𝑓 1 𝐶 𝑉 A capacitância depende apenas da geometria do sistema e das propriedades dos dielétricos envolvidos Conforme pode ser observado na figura 52 a carga total 𝑄 no condutor 1 e a carga 𝑄 no condutor 2 criam um fluxo elétrico conforme ilustrado Também devido a essas cargas os campos 𝐷 𝑒 𝐸 são estabelecidos Se dobrarmos as cargas os campos 𝐷 𝑒 𝐸 também são dobrados e consequentemente também é dobrada a diferença de potencial entre os condutores Portanto a razão 𝑄 𝑉 se mantém fixa Fonte SADIKU 2012 Figura 52 Capacitância e geometria 96 Desprezando os efeitos de dispersão do fluxo nas bordas vamos encontrar a capacitância entre as placas paralelas do sólido representado na figura 53 Fonte SADIKU 2012 Figura 53 Capacitância entre as placas paralelas Assumamos uma carga total 𝑄 na placa superior e 𝑄 na placa inferior Esta carga normalmente estaria distribuída sobre as placas com maior densidade próxima às bordas Desprezando os efeitos das bordas fazemos uma simplificação nas condições do problema podemos assim assumir densidades uniformes 𝜌𝑠 𝑄 𝐴 sobre as placas Entre as placas 𝐷 é uniforme e aponta de 𝜌𝑠 para 𝜌𝑠 𝐷 𝑄 𝐴 𝑎𝑧 𝑒 𝐸 𝑄 𝜖0𝜖𝑟 𝑎𝑧 O potencial da placa superior em relação a placa inferior é obtido por 𝑉 𝑄 𝜖0𝜖𝑟𝐴 𝑑 0 𝑎𝑧 𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑄𝑑 𝜖0𝜖𝑟 Então 𝐶 𝑄 𝑉 𝜖0𝜖𝑟𝐴 𝑑 Observe que o resultado não depende da forma geométrica das placas mas da área da distância de separação e do dielétrico entre elas Capacitores com múltiplos dielétricos No caso de um capacitor composto por dois dielétricos de modo que os campos 𝐸 𝑒 𝐷 sejam paralelos a interface entre esses dois dielétricos figura 54 a capacitância equivalente pode ser obtida considerando esse arranjo como dois capacitores em paralelo 97 Fonte SADIKU 2012 Figura 54 Capacitores com múltiplos dielétricos paralelos 𝐶1 𝜖0𝜖𝑟1𝐴1 𝑑1 𝐶2 𝜖0𝜖𝑟2𝐴2 𝑑2 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝜖0 𝑑 𝜖𝑟1𝐴1 𝜖𝑟2𝐴2 No caso de um capacitor composto por dois dielétricos de modo que os campos 𝐸 𝑒 𝐷 sejam normais a interface entre os dielétricos figura 55 a capacitância equivalente pode ser obtida considerando esse arranjo como dois capacitores em série Fonte SADIKU 2012 Figura 55 Capacitor composto por dois dielétricos série 𝐶1 𝜖0𝜖𝑟1𝐴1 𝑑 𝐶2 𝜖0𝜖𝑟2𝐴2 𝑑 1 𝐶𝑒𝑞 1 𝐶1 1 𝐶2 𝜖𝑟2𝑑1 𝜖𝑟1𝑑2 𝜖0𝜖𝑟1𝜖𝑟2 Este resultado pode ser estendido a qualquer número de dielétricos desde que os campos 𝐸 𝑒 𝐷 sejam normais a todas as interfaces entre dielétricos O recíproco da capacitância equivalente é a soma dos recíprocos das capacitâncias individuais 98 Exemplo 2 Um capacitor de placas paralelas com área de 030 𝑚2 e separação de 55 𝑚𝑚 contém dielétricos sendo os campos 𝐸 𝑒 𝐷 normais às interfaces Os dielétricos possuem as seguintes características 𝜀𝑟1 30 𝑒 𝑑1 10 𝑚𝑚 𝜀𝑟2 40 𝑒 𝑑2 20 𝑚𝑚 𝜀𝑟3 60 𝑒 𝑑3 25 𝑚𝑚 Calcule a capacitância Consideraremos cada dielétrico como constituindo um capacitor em um conjunto de três capacitores em série 𝐶1 𝜖0𝜖𝑟1𝐴1 𝑑1 𝜖03030 103 796 𝑛𝐹 Do mesmo modo 𝐶2 531 𝑛𝐹 𝑒 𝐶3 637 𝑛𝐹 assim sendo 1 𝐶𝑒𝑞 1 796 𝑥 109 1 531 𝑥 109 1 637 𝑥 109 𝐶𝑒𝑞 212 𝑛𝐹 Energia armazenada em um capacitor A energia armazenada no campo elétrico de um capacitor é dada por 𝑊𝐸 1 2 𝐷𝐸𝑑𝑣 Onde a integração deve ser efetuada sobre o espaço entre os condutores desprezando os efeitos de dispersão nas bordas Considerando o espaço ocupado por um dielétrico de permissividade relativa 𝜖𝑟 então 𝐷 𝜖0𝜖𝑟𝐸 podemos então expressar 𝑊𝐸 1 2 𝜖0𝜖𝑟𝐸2𝑑𝑣 Segundo nos apresenta Hayt 2013 analisando a expressão anterior podemos concluir que para um mesmo campo 𝐸 a presença do dielétrico implica um crescimento da energia armazenada por um fator 𝜖𝑟 1 em relação a energia armazenada se o meio entre os condutores fosse o vácuo Em termos da capacitância 𝐶 e da diferença de potencial 𝑉 a energia armazenada é dada por 99 𝑊𝐸 1 2 𝐶𝑉2 Onde o crescimento na energia armazenada em relação ao espaço livre é levado em consideração na capacitância 𝐶 que é diretamente proporcional a 𝜖𝑟 Campos 𝐷 𝑒 𝐸 para uma diferença de potencial fixa Um capacitor de placas paralelas com espaço livre entre as placas e submetido a uma diferença de potencial constante 𝑉 figura 56 possui uma intensidade de campo elétrico 𝐸 constante Desprezando os efeitos de dispersão nas bordas temos Fonte SADIKU 2012 Figura 56 Capacitor de placas paralelas 𝐸0 𝑉 𝑑 𝑎𝑛 𝐷0 𝜖0𝐸0 𝜖0𝑉 𝑑 𝑎𝑛 Se considerarmos agora um dielétrico de permissividade relativa 𝜀𝑟 entre as placas temos 𝐸 𝐸0 𝐷 𝜖𝑟𝐷0 Podemos assim concluir que o campo 𝐸 permanece constante pois a diferença de potencial foi mantida fixa e o campo 𝐷 aumenta porque a permissividade foi multiplicada por um fator 𝜀𝑟 Campos 𝐷 𝑒 𝐸 para uma carga fixa De acordo com Hayt 2013 o capacitor de placas paralelas na figura 56 tem uma carga 𝑄 na placa superior e uma carga 𝑄 na placa inferior Vamos supor que esta carga seja resultado da conexão de uma fonte de tensão 𝑉 entre as placas que após o carregamento do capacitor foram removidas Considerando o espaço livre entre as placas e desprezando os efeitos de borda temos 100 𝐷0 𝑄 𝐴 𝑎𝑛 𝐸0 1 𝜖0 𝐷0 𝑄 𝜖0𝐴 𝑎𝑛 Nesta configuração não há possibilidade de aumento ou redução da carga nas placas pois não existe caminho condutor entre elas Assim quando um material dielétrico é inserido entre as placas temos 𝐷 𝐷0 𝐸 1 𝜖𝑟 𝐸0 Condições de fronteira na interface entre dois dielétricos Em uma situação na qual existem dois dielétricos diferentes ou um dielétrico e um condutor nos deparamos com o que chamamos de condição de fronteira Neste caso temos a condição na superfície de um condutor apresentando os campos tangenciais igual a zero e a densidade de fluxo elétrico normal igual a densidade superficial de carga no condutor Dadas estas condições podemos determinar o comportamento dos campos na interface do dielétrico e estabelecer duas novas condições de fronteira para interfaces dielétricodielétrico HAYT 2013 Fonte SADIKU 2012 Figura 57 Condições de fronteira 1 A componente tangencial de 𝐸 é contínua através da interface entre os dielétricos sendo expressa como 𝐸𝑡1 𝐸𝑡2 𝑒 𝐷𝑡1 𝜖𝑟1 𝐷𝑡2 𝜖𝑟2 101 2 A componente normal de 𝐷 é descontínua através da interface entre os dielétricos sendo o valor de tal descontinuidade dado por 𝜌𝑠 Se o vetor unitário normal é escolhido apontando para o dielétrico 2 então podemos escrever essa condição como 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝜌𝑠 𝑒 𝜖𝑟1𝐸𝑛1 𝜖𝑟2𝐸𝑛2 𝜌𝑠 𝜖0 A densidade 𝜌𝑠 corresponde a densidade superficial de cargas presente na interface entre os dois dielétricos Em geral não há cargas livres na interface entre dielétricos 𝜌𝑠 0 portanto podemos expressar 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝑒 𝜖𝑟1𝐸𝑛1 𝜖𝑟2𝐸𝑛2 Exemplo 3 Dada que 𝐸 2𝑎𝑥 3𝑎𝑦 5𝑎𝑧 𝑉 𝑚 na interface entre os dielétricos da figura 57 e que não há cargas livres na interface vamos determinar 𝐷2 e os ângulos 𝜃1 𝑒 𝜃2 A interface é um plano 𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 As componentes 𝑥 𝑒 𝑦 dos campos são tangenciais e as componentes 𝑧 são normais a interface Pela continuidade da componente tangencial de 𝐸 e da componente normal de 𝐷 neste caso em que não há cargas livres na interface 𝐸1 2𝑎𝑥 3𝑎𝑦 5𝑎𝑧 𝐸2 2𝑎𝑥 3𝑎𝑦 5𝑎𝑧 𝐷1 𝜖0𝜖𝑟1𝐸1 4𝜖0𝑎𝑥 6𝜖0𝑎𝑦 10𝜖0𝑎𝑧 𝐷2 𝐷𝑥2𝑎𝑥 𝐷𝑦2𝑎𝑦 10𝜖0𝑎𝑧 Determinados os componentes desconhecidos a partir da relação 𝐷2 𝜖0𝜖𝑟2𝐸2 𝐷𝑥2𝑎𝑥 𝐷𝑦2𝑎𝑦 10𝜖0𝑎𝑧 2𝜖0𝜖𝑟2𝑎𝑥 3𝜖0𝜖𝑟2𝑎𝑦 𝜖0𝜖𝑟2𝐸𝑧2𝑎𝑧 𝐷𝑥2 2𝜖0𝜖𝑟2 10𝜖2 𝐷𝑦2 3𝜖0𝜖𝑟2 15𝜖0 𝐸𝑧2 10 𝜖𝑟2 2 102 Podemos identificar os ângulos dos campos 𝐸1 𝑒 𝐸2 com o plano da interface a partir de 𝐸1𝑎𝑧 𝐸1 cos90 𝜃1 5 38 sen 𝜃1 𝜃1 542 𝐸2𝑎𝑧 𝐸2 cos90 𝜃2 2 17sen 𝜃2 𝜃2 290 A seguinte relação entre as componentes dos campos e os ângulos pode ser obtida de tan 𝜃1 𝐸𝑧1 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 𝐷𝑧1 𝜖0𝜖𝑟1 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 tan 𝜃2 𝐸𝑧2 𝐸𝑥2 2 𝐸𝑦2 2 𝐷𝑧2 𝜖0𝜖𝑟2 𝐸𝑥2 2 𝐸𝑦2 2 Considerando a continuidade dos campos 𝐸𝑡1 𝐸𝑡2 𝑒 𝐷𝑛1 𝐷𝑛2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜌𝑠 0 a partir da divisão das duas equações anteriores temos tan 𝜃1 tan 𝜃2 𝜖𝑟2 𝜖𝑟1 Método das imagens Consideremos o campo elétrico devido a um par de cargas pontuais 𝑄 localizadas em 𝑧 𝑑 no sistema de coordenadas cartesianas O potencial elétrico sobre o plano 𝑧 0 e o vetor 𝐸 é normal ao plano Consideremos agora o campo devido a uma carga pontual 𝑄 localizada acima de um plano condutor infinito aterrado colocado em 𝑧 0 O plano aterrado estabelece uma superfície equipotencial em 𝑉 0 com o vetor 𝐸 normal a ele ou seja temos as mesmas condições de contorno que no caso do dipolo elétrico analisado anteriormente Tendo isso em conta podese mostrar que os campos nos dois casos são equivalentes no espaço acima do plano aterrado Assim o campo da carga pontual única na região acima do plano condutor pode ser obtido considerando a imagem da carga em relação ao plano e removendo o plano condutor Este procedimento é chamado de método das imagens e pode ser usado para qualquer configuração de cargas acima de um plano aterrado infinito HAYT 2013 103 Exemplo 4 Encontre a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de raio 𝑎 25 𝑐𝑚 e um plano aterrado paralelo ao eixo do condutor e a uma distância ℎ 60 𝑚 dele Tomemos a imagem especular do condutor relativamente ao plano aterrado figura 58 e considere este condutor imagem carregado com o oposto da carga distribuída sobre o condutor real Vamos supor que o plano aterrado é removido Observemos que nessa configuração equivalente condutor real mais condutor imagem o campo elétrico dos dois condutores obedece às condições de contorno impostas pelo condutor real e pela simetria temos portanto uma superfície equipotencial onde o plano aterrado estava localizado Assim esta configuração equivalente pode ser utilizada para calcular o campo elétrico na região entre o condutor real e o plano aterrado Aproximando as distribuições de cargas nos condutores real e imagem por linhas de cargas com densidade de 𝜌𝑙 𝑒 𝜌𝑙 respectivamente no centro dos condutores temos Fonte SADIKU 2012 Figura 58 imagem especular do condutor 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 à 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑎 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝜌𝑙 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln 𝑎 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 𝜌𝑙 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln2ℎ 𝑎 104 O potencial devido a 𝜌𝑙 não é constante ao longo de 𝑟 𝑎 a superfície do condutor real Porém é aproximadamente constante quando 𝑎 ℎ Considerando essa aproximação o potencial total do condutor real é 𝑉𝑎 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln 𝑎 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln2ℎ 𝑎 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln 𝑎 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 ln 2ℎ 𝜌𝑙 2𝜋𝜖0 𝑙𝑛 2ℎ 𝑎 De modo similar podemos mostrar que o potencial do condutor imagem é 𝑉𝑎 Assim a diferença de potencial entre os condutores é 2𝑉𝑎 de modo que a diferença de potencial entre o condutor real e o plano aterrado é 1 2 2𝑉𝑎 𝑉𝑎𝐴 A capacitância por unidade de comprimento desejada é portanto 𝐶 𝐿 𝑄 𝐿 𝑉𝑎 𝜌𝑙 𝑉𝑎 2𝜋𝜖0 ln 2ℎ 𝑎 Para os valores numéricos de 𝑎 𝑒 ℎ 𝐶𝐿 90 𝑝𝐹𝑚 A expressão anterior para 𝐶𝐿 não é exata porém fornece uma boa aproximação quando 𝑎 ℎ que corresponde aos casos práticos A solução exata é 𝐶 𝐿 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜 2𝜋𝜖0 𝑙𝑛 ℎ ℎ2 𝑎2 𝑧 Observamos que para um sistema geral de dois condutores cilindros reais paralelos quaisquer com distância entre os centros igual a 2ℎ o parâmetro 𝐶𝐿 é metade do valor encontrado anteriormente mesma carga e tensão duas vezes maior Ou seja com 𝑑 2ℎ 𝐶 𝐿 𝜋𝜖0 𝑙𝑛 𝑑 𝑑2 4𝑎2 2𝑎 𝜋𝜖0 ln 𝑑 𝑎 Saiba mais Para saber mais sobre o método da imagem veja o item 55 Método da Imagem do livro Eletromagnetismo do autor HAYT W H Disponível na biblioteca virtual 105 52 Equação de Laplace Equação de Poisson e equação de Laplace De acordo com Hayt 2013 partindo de uma das equações de Maxwell 𝐷 𝜌 e substituindo 𝐷 𝜖𝐸 𝑒 𝐸 V temos 𝜖𝑉 𝜌 Se em toda a região de interesse o meio é homogeneo então 𝜖 pode ser retirado das derivações parciais envolvidas na divergência resultando em 𝑉 𝜌 𝜖 𝑜𝑢 2𝑉 𝜌 𝜖 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 Quando a região de interesse contém cargas com uma distribuição 𝜌 conhecida a equação de Poisson pode ser utilizada para determinar a função potencial 𝑉 Por outro lado muito frequentemente a região é livre de cargas e possui permissividade uniforme Nestes casos a equação de Poisson se torna 2𝑉 0 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 Formas explicitas da equação de Laplace Uma vez que o lado esquerdo da equação de Laplace corresponde a divergencia do gradiente de 𝑉 esses dois operadores podem ser utilizados para se obter as equações diferenciais para 𝑉 em um sistema de coordenadas particular Coordenadas cartesianas 𝑉 𝑉 𝑥 𝑎𝑥 𝑉 𝑦 𝑎𝑦 𝑉 𝑥 𝑎𝑦 Para um campo genérico 𝐴 𝐴 𝐴𝑥 𝑥 𝐴𝑦 𝑦 𝐴𝑧 𝑧 Portanto a equação de Laplace é expressa 106 2𝑉 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 0 Coordenadas cilíndricas 𝑉 𝑉 𝑟 𝑎𝑟 1 𝑟 𝑉 𝑎 𝑉 𝑧 𝑎𝑧 𝐴 1 𝑟 𝑟 𝑟𝐴𝑟 1 𝑟 𝐴 𝐴𝑧 𝑧 Portanto a equação de Laplace é expressa 2V 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑉 𝑟 1 𝑟2 2𝑉 2 2𝑉 𝑧2 Coordenadas esféricas 𝑉 𝑉 𝑟 𝑎𝑟 1 𝑟 𝑉 𝜃 𝑎𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 𝑎 𝐴 1 𝑟2 𝑟 𝑟2𝐴𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝐴𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴 Portanto a equação de Laplace é expressa 2𝑉 1 𝑟2 𝑟 𝑟2 𝑉 𝑟 1 𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 𝜃 1 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2𝑉 2 0 Teorema da Unicidade Qualquer solução da equação de Laplace ou da equação de Poisson que satisfaça as condições de contorno deve ser a única solução existente Às vezes existe certa confusão sobre este ponto devido a especificação incompleta das condiçoes de contorno do problema Por exemplo considere um plano condutor em 𝑧 0 sob um potencial de 100 𝑉 figura 59 107 Note que ambas as funções 𝑉1 5𝑧 100 𝑒 𝑉2 100 satisfazem a equação de Laplace e a exigência de que 𝑉 100 para 𝑧 0 Pois bem isso contraria o teorema da unicidade que estabelece uma única solução para a equação de Laplace A explicação para esta aparente contradição está no fato de que a especificação do potencial de uma única superfície condutora sem especificar a referência não nos dá um conjunto completo de condições de contorno que definam apropriadamente a região Mesmo dois planos condutores finitos em paralelo não constituem condiçoes completas visto que não é possível especificar completamente os efeitos de borda do campo Contudo quando especificamos dois planos paralelos e considerarmos desprezíveis os efeitos de borda então a região entre os planos apresenta condiçoes de contorno completas Neste caso a solução das equaçoes de Laplace e Poisson é única HAYT 2013 Fonte SADIKU 2012 Figura 59 Plano condutor Teoremas do valor médio e do valor máximo Duas importantes propriedades do potencial em uma região livre de cargas podem ser obtidas a partir da equação de Laplace 1 No centro de um círculo ou de uma esfera o potencial 𝑉 é igual a média dos valores assumidos sobre o círculo ou a esfera 2 O potencial 𝑉 não pode assumir um máximo ou um mínimo dentro da região Conforme pode ser visto em 2 qualquer máximo de 𝑉 deve ocorrer na fronteira da região de interesse Ainda dado que 𝑉 obedece a equação de Laplace 108 O mesmo ocorrendo com 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝑒 𝑉𝑧 Logo as componentes cartesianas da intensidade de campo elétrico assumem seus respectivos valores máximos na fronteira da região HAYT 2013 Saiba Mais Para saber mais sobre as soluções da equação de Laplace em coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas vejo os itens 35 36 e 37 do livro Eletromagnetismo de Ramos A que está disponível na biblioteca virtual 53 Campo magnético e condições de fronteira Lei de BiotSavart Um elemento diferencial de corrente 𝐼 𝑑𝐼 produz um elemento diferencial de vetor intensidade de campo magnético 𝑑𝐻 O campo varia inversamente com o quadrado da distância é independente do meio circunvizinho e tem uma orientação dada pelo produto vetorial de 𝐼 𝑑𝐼 𝑒 𝑎𝑅 A relação enunciada anteriormente é conhecida como lei de BiotSavart 𝑑𝐻 𝐼 𝑑𝐼 𝑥 𝑎𝑅 4𝜋𝑅2 𝐴 𝑚 O sentido de 𝑅 é do elemento de corrente para o ponto onde o campo 𝑑𝐻 deve ser calculado como ilustrado na figura 510 Fonte SADIKU 2012 Figura 510 Sentido do elemento de corrente 109 Elementos de corrente não tem existência isolada Todos os elementos que formam o filamento de corrente contribuem para 𝐻 e devem ser considerados Somando todas as contribuições de 𝑑𝐻 obtémse a forma integral da Lei de BiotSavart 𝐻 𝐼 𝑑𝐼 𝑥 𝑎𝑟 4𝜋𝑅2 A integral de linha fechada é necessária de modo a assegurar que todos os elementos de corrente sejam incluídos o contorno pode se fechar no SADIKU 2012 Lei de Ampère A integral de linha da componente tangencial do vetor intensidade de campo magnético 𝐻 em torno de um caminho fechado é igual a corrente líquida 𝐼𝑒𝑛𝑣 envolvida pelo caminho 𝐻 𝑑𝑙 𝐼𝑒𝑛𝑣 A lei Ampére fornece um método para calcular o campo 𝐻 observemos que o procedimento é similar àquele adotado quando aplicamos a lei de Gauss para obter o campo 𝐷 uma vez conhecida a distribuição de cargas De modo similar a aplicação da lei de Gauss para a obtenção do campo 𝐷 veremos que a utilização da lei de Ampère para o cálculo de 𝐻 está condicionada a um considerável grau de simetria no problema Para este fim duas condições devem ser respeitadas 1 Em cada ponto do caminho fechado caminho amperiano 𝐻 deve ser tangencial ou normal ao caminho 2 𝐻 𝐻 tem o mesmo valor para todos os pontos ao longo do caminho onde 𝐻 é tangencial A Lei de BiotSavart pode ser usada para ajudar na seleção de um caminho que atenda a estas condições Na maioria dos casos um caminho apropriado será evidente SADIKU 2012 110 Exemplo 5 Uma lâmina infinita de corrente está localizada no plano 𝑧 0 com 𝐾 𝐾𝑎𝑦 como ilustrado na figura 511 determine 𝐻 Fonte SADIKU 2012 Figura 511 Lâmina infinita de corrente A partir da lei de BiotSavart e de considerações de simetria podemos inferir que o campo 𝐻 tem apenas uma componente 𝑥 Aplicando a lei de Ampere ao contorno quadrado 12341 e considerando que 𝐻 é antissimétrico em relação ao plano 𝑧 temos 𝐻 𝑑𝐼 𝐻2𝑎 0 𝐻2𝑎 0 𝐾2𝑎 𝑜𝑢 𝐻 𝐾 2 Assim sendo para todo 𝑧 0 𝐻 𝐾 2𝑎𝑥 Generalizando para uma orientação arbitrária da corrente superficial temos 𝐻 𝐾 2 𝐾 𝑥 𝑎𝑛 Observamos neste caso que 𝐻 é independente da distância do ponto de observação da lâmina Além disso a orientação de 𝐻 acima e abaixo da lâmina pode ser obtida pela aplicação da regra da mão direita a alguns elementos de corrente no plano SADIKU 2012 Relação entre 𝐽 e 𝐻 111 Considerando a lei de Ampère a definição da componente 𝑥 do rotacional de 𝐻 𝑟𝑜𝑡 𝐻𝑥 pode ser escrita como 𝑟𝑜𝑡 𝐻 𝑎𝑥 lim 𝑦 𝑧0 𝐼𝑥 𝑦 𝑧 𝐽𝑥 𝐽𝑥 𝑑𝐼𝑥 𝑑𝑆 é a densidade de corrente na direção 𝑥 Assim as componentes 𝑥 𝑑𝑜 𝑟𝑜𝑡 𝐻 e da densidade de corrente 𝐽 são iguais em qualquer ponto De modo análogo obtemos relações similares entre as componentes 𝑦 𝑒 𝑧 𝑑𝑜 𝑟𝑜𝑡 𝐻 e da densidade 𝐽 de modo que 𝑥 𝐻 𝐽 Esta é uma das Equaçoes de Maxwell para campos estáticos Se o vetor 𝐻 é conhecido em toda uma região então 𝑥 𝐻 fornece a densidade 𝐽 para essa região Exemplo 6 Um condutor longo retilíneo com seção reta de raio 𝑎 possui um campo magnético 𝐻 𝐼𝑟2𝜋𝑎2𝑎 dentro do condutor 𝑟 𝑎 e 𝐻 𝐼2𝜋𝑟𝑎 para 𝑟 𝑎 Determine 𝐽 em ambas as regiões Dentro do condutor 𝐽 𝑥 𝐻 𝑧 𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎𝑟 1 𝑟 𝑟 𝐼𝑟2 2𝜋𝑎2 𝑎𝑧 𝐼 𝜋𝑎2 𝑎𝑧 Que corresponde a uma corrente de módulo 𝐼 na direção 𝑧 estando esta uniformemente distribuída sobre a área da seção reta 𝜋𝑎2 Fora do condutor 𝐽 𝑥 𝐻 𝑧 𝐼 2𝜋𝑟𝑎𝑟 1 𝑟 𝑟 𝐼 2𝜋𝑎𝑧 0 Densidade de fluxo magnético 𝐵 112 O vetor intensidade de campo magnético 𝐻 assim como o campo 𝐷 depende apenas das cargas no caso de 𝐻 cargas móveis e é independente do meio O campo de forças associado a 𝐻 é a densidade de fluxo magnético 𝐵 que é dada por 𝐵 𝜇𝐻 Onde 𝜇 𝜇0𝜇𝑟 é a permeabilidade do meio A unidade de 𝐵 é o tesla 1𝑇 1 𝑁 𝐴𝑚 A permeabilidade do vácuo 𝜇0 é 4𝜋 𝑥 107 𝐻𝑚 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 O fluxo magnético 𝛷 através de uma superfície é definido como 𝐵 𝑑𝑆 𝑆 O sinal de 𝛷 pode ser positivo ou negativo dependendo da escolha da normal a superfície em 𝑑𝑆 A unidade do fluxo magnético é o weber Wb As várias unidades magnéticas estão relacionadas por 1𝑇 1 𝑊𝑏 𝑚2 1𝐻 𝑊𝑏 𝐴 Exemplo 7 Considere uma corrente filamentar de 250 𝐴 ao longo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 no sentido 𝑎𝑧 Calcule o fluxo devido a esta corrente que atravessa a porção do plano 𝜋4 definida por 001 𝑟 005 𝑚 e 0 𝑧 2 𝑚 figura 512 Fonte SADIKU 2012 Figura 512 Corrente filamentar 113 𝐵 𝜇0𝐻 𝜇0𝐼 𝜋𝑟 𝑎 𝑑𝑆 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑎 𝜇0𝐼 2𝜋𝑟 005 001 2 0 𝑎 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑎 2𝜇0𝐼 2𝜋 ln 005 001 161 𝑥 106 𝑊𝑏 𝑜𝑢 161 𝜇𝑊𝑏 Conforme nos mostra Sadiku 2004 observemos que as linhas de fluxo magnético formam percursos fechados sem ponto inicial ou final Isto contrasta com o fluxo elétrico 𝛹 que se origina nas cargas positivas e termina nas negativas Como pode ser visto na figura 513 todo o fluxo magnético que entra na superfície fechada deve deixar a superfície Assim os campos 𝐵 não possuem fontes ou sorvedouros o que é matematicamente expresso por 𝐵 0 Fonte SADIKU 2012 Condições de contorno para campos magnéticos Quando os campos 𝐻 e 𝐵 são examinados na interface de separação entre dois meios ou dois materiais diferentes mudanças abruptas podem ocorrer similares àquelas observadas para os campos 𝐸 e 𝐷 na interface entre dois dielétricos distintos HAYT 2013 Na figura 514 é ilustrada uma interface separando o meio 1 com propriedades 𝜎1 𝑒 𝜇𝑟1 do meio 2 com propriedades 𝜎2 𝑒 𝜇𝑟2 O comportamento de 𝐵 pode ser determinado com o auxílio de um pequeno cilindro circular reto posicionado através da interface Uma vez que as linhas de fluxo magnético são contínuas temos 114 𝐵 𝑑𝑆 𝐵1 𝑑𝑆1 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 𝐵 𝑑𝑆 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐵2 𝑑𝑆2 0 𝑏𝑎𝑠𝑒 2 Fonte SADIKU 2012 Figura 514 Interface separando o meio Aproximando as duas faces circulares do cilindro ou seja tendendo a altura do cilindro para zero mantendo a interface entre elas a aérea da superfície lateral tende a zero temos 𝐵1 𝑑𝑆1 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 𝐵2 𝑑𝑆2 0 𝑏𝑎𝑠𝑒 2 𝐵𝑛1 𝑑𝑆1 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 𝐵𝑛2 𝑑𝑆2 0 𝑏𝑎𝑠𝑒 2 𝐵𝑛1 𝐵𝑛2 Fisicamente essa condição de contorno indica que a componente normal de 𝐵 e continua através da interface Observemos que qualquer normal a interface pode ser utilizada para o cálculo de 𝐵𝑛1 𝑒 𝐵𝑛2 A figura 515 ilustra o comportamento de 𝐻 através da interface É determinado pela aplicação da lei de Ampère ao longo de um caminho retangular fechado Assumindo que não há correntes na interface e aproximando o percurso retangular da fronteira entre os dois meios de forma que possamos desprezar as contribuições dos percursos perpendiculares a 𝛥𝑙1 𝑒 𝛥𝑙2 115 Fonte SADIKU 2012 0 𝐻 𝑑𝐼 𝐻𝑙1𝛥𝑙1 𝐻𝑙2𝛥𝑙2 𝐻𝑙1 𝐻𝑙2 Assim a componente tangencial de 𝐻 tem a mesma projeção ao longo dos dois lados do retângulo já que 𝛥𝑙1 𝛥𝑙2 Dado que o retângulo pode ser girado 90 e o mesmo procedimento anterior pode ser repetido 𝐻𝑡1 𝐻𝑡2 Fisicamente a condição anterior indica que a componente tangencial de 𝐻 é continua através de uma interface livre de corrente Conforme pode ser deduzido a partir da figura 515 a relação entre os ângulos feitos por 𝐻1 𝑒 𝐻2 com uma interface livre de corrente é tan 𝜃1 tan 𝜃2 𝜇𝑟2 𝜇𝑟1 Saiba mais Para saber mais sobre as condiçoes de contorno assista a vídeo aula condiçoes de contorno da eletrostática acessível por meio do seguinte link httpswwwyoutubecomwatchvogzqmXNZRpc 116 Corrente superficial na fronteira Se um material na interface entre dois meios tem uma condutividade diferente de zero uma corrente pode estar presente Esta corrente pode estar distribuída em todo o material entretanto para fins de avaliação do comportamento do campo magnético na fronteira nos interessa basicamente o caso de uma corrente superficial na interface que pode ser adequadamente representada como uma lâmina de corrente HAYT 2013 A figura 516 representa uma lâmina uniforme de corrente Esta lâmina de corrente tem densidade K K0ay e está localizada na interface 𝑥 0 entre as regiões 1 𝑒 2 O campo magnético 𝐻 produzido por esta lâmina de corrente é dado por 𝐻1 1 2 𝐾 𝑥 𝑎𝑛1 1 2 𝐾0𝑎𝑧 𝐻2 1 2 𝐾 𝑥 𝑎𝑛2 1 2 𝐾0𝑎𝑧 Note que os campos resultantes 𝐻1 e𝐻2 são totalmente tangenciais a interface entre os dois meios e que 𝐻1 𝐻2 𝐾0 Assim 𝐻 tem uma descontinuidade nas componentes tangenciais de módulo 𝐾0 na interface Se um segundo campo magnético 𝐻 associado a uma outra fonte está presente sua componente tangencial será continua na interface O campo magnético resultante 𝐻 𝐻 𝐻 Terá então uma descontinuidade de módulo 𝐾0 em sua componente tangencial Tal relação é expressa 𝐻1 𝐻2 𝑥 𝑎𝑛12 𝐾 Onde 𝑎𝑛12 é o vetor normal orientado da 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑎 𝑜 1 para a 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑎 𝑜 2 A relação vetorial anterior que é independente da escolha do sistema de coordenadas também é válida para uma lâmina não uniforme de corrente Neste último caso o valor de 𝐾 na expressão deve ser o valor da densidade de corrente no ponto considerado na interface 117 Fonte SADIKU 2012 Figura 516 lâmina uniforme de corrente Potencial vetor magnético O campo elétrico 𝐸 foi inicialmente obtido a partir de configurações de cargas conhecidas Posteriormente foi desenvolvido o potencial escalar elétrico 𝑉 e mostrou se que 𝐸 poderia ser obtido como o negativo do gradiente de 𝑉 ou seja 𝐸 𝑉 A equação de Laplace proporcionou um método de obtenção de 𝑉 a partir de potenciais conhecidos sobre os condutores na fronteira de certa região condições de contorno do problema De modo análogo um potencial vetor magnético 𝐴 é definido de tal forma que 𝑥 𝐴 𝐵 Serve como uma grandeza auxiliar a partir da qual 𝐵 e da mesma forma 𝐻 pode ser calculado Note que a definição de 𝐴 é consistente com 𝐵 0 Impondo a condição adicional 𝐴 0 podese calcular o potencial vetor magnético 𝐴 a partir de correntes conhecidas nas regioes de interesse As expressoes na forma integral para o potencial vetor magnético 𝐴 considerando as tres configuraçoes elementares de corrente são 118 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝜇𝐼 𝑑𝐼 4𝜋𝑅 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 𝑙â𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐴 𝜇𝐾 𝑑𝑆 4𝜋𝑅 𝑆 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝐴 𝜇𝐽 𝑑𝑣 4𝜋𝑅 𝑣 Nestas expressoes 𝑅 é a distância de cada elemento de corrente ao ponto em que o potencial vetor magnético é calculado Estas expressoes para 𝐴 pressupoem um nível zero no infinito Assim elas não podem ser aplicadas se a distribuição de corrente se estende ao infinito WENTWORTH 2020 Saiba mais Para saber mais sobre potencial vetor magnético veja o item 76 Potenciais escalar e vetor magnéticos do livro Eletromagnetismo de HAYT W H Disponível na biblioteca virtual Teorema de Stokes Consideremos uma superfície aberta 𝑆 limitada por uma curva fechada 𝐶 figura 517 O teorema de Stokes estabelece que a integral de linha de um campo vetorial 𝐹 em torno de uma curva fechada 𝐶 é igual a integral da componente normal do rotacional de 𝐹 sobre a superfície 𝑆 limitada pela curva HAYT 2013 Fonte HAYT 2013 Figura 517 Superfície aberta limitada por uma curva fechada 119 A soma das integrais de linha fechada pelo perímetro de cada 𝑆 é a mesma que a integral de linha fechada ao longo do perímetro de 𝑆 em decorrência do cancelamento em cada caminho interior Consideremos a superfície 𝑆 que está particionada em superfícies incrementais de área 𝑆 Se aplicarmos a definição de rotacional a uma dessas superfícies incrementais 𝐻 𝑑𝐿𝑆 𝑆 𝑥 𝐻𝑁 Onde novamente o subscrito 𝑁 indica a superfície normal dada pela regra da mão direita O subscrito em 𝑑𝐿𝑆 indica que o caminho fechado é o perímetro de uma área incremental 𝑆 Esse resultado também pode ser escrito 𝐻 𝑑𝐿𝑆 𝑆 𝑥 𝐻 𝑎𝑁 ou 𝐻 𝑑𝐿𝑆 𝑥 𝐻 𝑎𝑁𝑆 𝑥 𝐻𝑆 Vamos agora determinar a circulação de todos os 𝑆 que compoem 𝑆 e somar os resultados A medida que calcularmos a integral de linha fechada para cada 𝑆 alguns cancelamentos irão ocorrer porque toda parede interior é percorrida uma vez em cada direção As únicas fronteiras nas quais os cancelamentos não podem ocorrer formam as fronteiras externas justamente o caminho que envolve 𝑆 Portanto 𝐻 𝑑𝐿 𝑥 𝐻 𝑆 𝑑𝑆 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 Onde 𝑑𝐿 é tomado apenas no perímetro de 𝑆 120 Conclusão Ao final deste bloco você está apto a aplicar os métodos de cálculo de capacitâncias e entender como a capacitância se altera em função dos materiais e suas configurações geométricas Também será capaz de aplicar as equações de Poisson e Laplace na resolução de problemas relativos ao cálculo do potencial eletrostático em todo o espaço considerando as condições de contorno em algumas superfícies Por fim você conseguirá aplicar métodos matemáticos na resolução de problemas que envolvam o comportamento dos vetores intensidade de campo magnético 𝐻 e densidade de fluxo magnético 𝐵 através da fronteira entre dois meios REFERÊNCIAS ELETROMAGNETISMOUFF AULA 110 Condições de contorno da Eletrostática Youtube 13 jun 2020 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvogzqmXNZRpc Acesso em 16 ago 2020 HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 RAMOS A Eletromagnetismo São Paulo Blucher 2016 SADIKU M N O Elementos do Eletromagnetismo 5ª ed Porto Alegre Bookman 2012 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com aplicações em engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2006 121 6 Forças Magnéticas Indutância Campos Variáveis no Tempo Apresentação Neste bloco vamos estudar a determinação das forças e torques exercidos pelo campo magnético sobre outras cargas Vamos também estudar a Indutância e suas propriedades e apresentaremos a indução eletromagnética e a forca eletromotriz fem devido a um campo magnético variável no tempo Finalizaremos apresentando a corrente de deslocamento proposta por Maxwell para remover a contradição na lei de Ampère quando aplicada a campos elétricos variáveis no tempo 61 Forças magnéticas Força magnética sobre partículas Uma partícula carregada em movimento em um campo magnético sofre a ação de uma forca perpendicular a sua velocidade cujo módulo é proporcional a carga elétrica a velocidade da partícula e a densidade de fluxo magnético Essa condição pode ser expressa como 𝐹 𝑄𝑈𝐵 De acordo esta equação o sentido do movimento de uma partícula pode ser modificado por um campo magnético Por outro lado o módulo da velocidade não é alterado e consequentemente a energia cinética associada a partícula permanece a mesma o que nos leva a conclusão de que a forca magnética não realiza trabalho Um ponto a ser destacado é que essa particularidade da forca magnética contrasta com a força elétrica 𝐹 𝑄𝐸 que realiza trabalho sobre a partícula e portanto altera sua energia cinética Se o campo 𝐵 é uniforme em toda uma região e a carga tem uma velocidade inicial normal a esse campo a trajetória descrita por ela é um círculo de raio 𝑟 A força que o campo magnético exerce tem módulo 𝐹 𝑄𝑈𝐵 e está orientada em direção ao centro do círculo A aceleração centrípeta associada tem módulo 𝜔𝑟𝑟 𝑈2𝑟 Então pela segunda lei de Newton SADIKU 2012 122 F Observe que 𝑟 é uma medida indireta do momento linear da partícula 𝑚𝑈 𝑄𝑈𝐵 𝑚 𝑈2 𝑟 𝑜𝑢 𝑟 𝑚𝑈 𝑄𝑈𝐵 Exemplo 1 Calcule a força sobre uma partícula de massa 170 𝑥 1027 𝑘𝑔 e carga 160 𝑥 1019 𝐶 Se essa partícula entra em uma região de campo magnético uniforme 𝐵 5 𝑚𝑇 com uma velocidade inicial de 835 𝑘𝑚𝑠 Assumindo que 𝐵 𝑒 𝑈0 são perpendiculares como pode ser visto na figura 61 vamos calcular o módulo da força agindo sobre a partícula 𝐵 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛𝑎 𝑝á𝑔𝑖𝑛𝑎 Fonte elaborado pelo autor Figura 61 Força de uma partícula 𝐹 𝑄𝑈𝐵 160 𝑥 1019835 𝑥 1035 𝑥 103 668 𝑥 1017 𝑁 Forças elétrica e magnética combinadas Quando os campos elétrico e magnético estão presentes simultaneamente em uma região a força sobre uma partícula carregada é 𝐹 𝑄𝐸 𝑈𝐵 O que corresponde a superposição das forças elétrica e magnética e é conhecida como força de Lorentz A partir dela e das condiçoes iniciais a trajetória da partícula é completamente determinada SADIKU 2012 X X X X X X X X X X X X X X X X 𝑈0 123 Exemplo 2 Em uma dada região no entorno da origem temos os campos 𝐵 50 𝑥 104𝑎𝑧 𝑇 e 𝐸 50𝑎𝑧 𝑉 𝑚 Um próton 𝑄𝑝 1602 𝑥 1019 𝐶 𝑚𝑝 1673 𝑥 1027 entra no campo a partir da origem com uma velocidade inicial 𝑈0 25 𝑥 105𝑎𝑧 𝑚 𝑠 Descreva o movimento do próton e de sua posição após três revoluções completas A força inicial sobre a partícula é 𝐹0 𝑄𝐸 𝑈0𝐵 𝑄𝑝𝐸𝑎𝑧 𝑈0𝐵𝑎𝑦 A componente 𝑧 da força associada ao campo elétrico é constante e produz uma aceleração constante na direção 𝑧 Assim a equação de movimento na direção 𝑧 é 𝑍 1 2 𝑎𝑡2 1 2 𝑄𝑝𝐸 𝑚𝑝 𝑟2 A outra componente da força associada ao campo magnético que varia segundo 𝑄𝑝𝑈𝐵𝑎𝑟 produz um movimento circular em torno do eixo 𝑧 cujo período de revolução é 𝑇 2𝜋𝑟 𝑈 2𝜋𝑚𝑝 𝑄𝑝𝐵 O movimento resultante é helicoidal conforme ilustrado Fonte Sadiku 2012 Figura 62 Movimento helicoidal 124 Após três revoluções temos 𝑥 𝑦 0 e 𝑍 1 2 𝑄𝑝𝐸 𝑚𝑝 3𝑇2 18𝜋2𝐸𝑚𝑝 𝑄𝑝𝐵2 370𝑚 Força magnética sobre um elemento de corrente Uma situação frequente é aquela em que temos um elemento de corrente em um campo magnético externo Dado que 𝐼 𝑑𝑄𝑑𝑡 a equação para o elemento diferencial de força pode ser escrita como 𝑑𝐹 𝑑𝑄𝑈𝐵 𝐼𝑑𝑡𝑈𝐵 𝐼𝑑𝐼 𝐵 Onde 𝑑𝐼 𝑈𝑑𝑡 é o elemento vetorial de linha de comprimento no sentido da corrente convencional 𝐼 Se o condutor é retilíneo e o campo é constante ao longo de toda a extensão do condutor o elemento diferencial de força pode ser integrado o que resulta em WENTWORTH 2006 𝐹 𝐼𝐿𝐵 sen 𝜃 No estudo de máquinas elétricas os resultados anteriores serão modificados considerando a fonte da corrente 𝐼 e da energia necessária para mantela constante no circuito também para considerar a lei de Faraday da indução Exemplo 3 Determine a força sobre um condutor retilíneo de comprimento 030 𝑚 conduzindo uma corrente de 50 𝐴 no sentido 𝑎𝑧 em uma região onde o campo 𝐵 350 𝑥 103𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑇 𝐹 𝐼𝐿 𝐵 50030𝑎𝑧 𝑥 350 𝑥 103𝑎𝑥 𝑎𝑦 742 𝑥 103 𝑎𝑥 𝑎𝑦 2 𝑁 A força de módulo 742 𝑚𝑁 é perpendicular ao campo 𝐵 e ao sentido da corrente conforme ilustrado 125 Fonte Sadiku 2012 Figura 63 Força campo e corrente Trabalho e potência As forças magnéticas sobre partículas carregadas e elementos de corrente resultam da ação do campo magnético Para conter estas forças e estabelecer um equilíbrio forças de mesmo módulo e sentido oposto 𝐹𝑎 teriam que ser aplicadas Nesta situação se existir movimento resultante o trabalho feito sobre o sistema pelo agente externo aplicando a força é dado pela integral 𝑊 𝐹𝑎 𝑑𝐼 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝐼 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑎𝑙 𝐼 Um resultado positivo a partir da integração indica que foi feito trabalho pelo agente externo sobre o sistema para mover as partículas ou para mover o condutor da posição inicial até a posição final contrariamente ao campo Dada a natureza não conservativa do campo magnético e consequentemente de 𝐹𝑎 todo o caminho de integração entre os pontos inicial e final do condutor deve ser especificado HAYT 2013 Exemplo 4 Determine o trabalho e a potência necessários para mover o condutor ilustrado na figura 64 uma volta completa no sentido indicado em 002 𝑠 Considere que na região existe um campo 𝐵 250 𝑥 103𝑎𝑟 𝑇 e que a corrente no condutor vale 450 𝐴 𝐹 𝐼𝐼 𝐵 113 𝑥 102𝑎 𝑁 𝐹𝑎 113 𝑥 102𝑎 𝑁 126 Vamos Integrar 𝐹𝑎 ao longo de um percurso circular 𝑊 𝐹𝑎 dI 113 𝑥 102 2𝜋 0 𝑎 𝑟𝑑𝑎 213 𝑥 103 𝐽 𝑃 𝑊 𝑡 0107 𝑊 O sinal negativo indica que é realizado trabalho para mover o condutor no sentido ilustrado Para o movimento no sentido oposto a inversão dos limites de integração produziria a mudança esperada no sinal sendo que nenhuma troca de sinal em 𝑟𝑑𝑎 será necessária Fonte Sadiku 2012 Figura 64 Condutor Torque O momento de uma força ou torque em relação a um ponto específico 𝑃 é o produto vetorial do braço de alavanca até 𝑃 pela força 𝐹 O braço de alavanca 𝑟 é orientado do ponto em relação ao qual o torque será calculado até o ponto de aplicação da força Na figura 65 a força em 𝑃 produz um torque em relação a origem dado por HAYT 2013 𝑇 𝑟 𝐹 𝑁 𝑚 127 Fonte Sadiku 2012 Figura 65 Torque O torque pode ser aplicado em relação a um eixo qualquer não somente em relação ao ponto O Exemplo 5 Um condutor localizado em 𝑥 04 𝑚 𝑦 0 𝑒 0 𝑧 20 𝑚 transporta uma corrente de 50 𝐴 no sentido dado pelo unitário 𝑎𝑥 O campo magnético 𝐵 25𝑎𝑧 𝑇 é uniforme ao longo de todo o condutor Calcule o torque em relação ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑧 𝐹 𝐼𝐿 𝐵 5020𝑎𝑧 𝑥 25𝑎𝑥 250𝑎𝑧 𝑁 𝑇 𝑟 𝐹 04𝑎𝑥 𝑥 250𝑎𝑦 100𝑎𝑧 𝑁 𝑚 Momento magnético de uma espira plana Consideremos uma única espira retangular situada no plano 𝑧 0 de largura 𝑤 na direção 𝑥 e comprimento 𝑙 ao longo do 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 figura 66 Considere ainda um campo 𝐵 uniforme no sentido 𝑥 Da definição do produto vetorial na força magnética os únicos elementos de corrente que contribuem para a força total são aqueles orientados segundo 𝑦 Para o lado a esquerda da origem 𝐹 𝐼𝑙𝑎𝑦𝐵𝑎𝑥 𝐵𝐼𝑙𝑎𝑧 E para o lado da origem 𝐹 𝐵𝐼𝑙𝑎𝑧 128 Fonte Sadiku 2012 Figura 66 Espira retangular O torque relativo ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 do elemento de corrente a esquerda impoe um braço de alavanca 𝑟 𝑤 2𝑎𝑥 e à direita 𝑟 𝑤 2𝑎𝑥 O torque que resulta de ambos os elementos é 𝑇 𝑤 2 𝑎𝑥𝐵𝐼𝑙𝑎𝑧 𝑤 2 𝑎𝑥𝐵𝐼𝑙𝑎𝑧 𝐵𝑖𝑙𝑤𝑎𝑦 𝐵𝐼𝐴𝑎𝑦 onde 𝐴 é a área da espira Pode ser demonstrado que esta expressão para o torque é válida para uma espira plana de forma arbitrária e para quaisquer eixos paralelos ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 O 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒 𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑚 de uma espira de corrente plana é definida como 𝐼𝐴𝑎𝑛 onde o vetor unitário 𝑎𝑛 é determinado pela regra da mão direita O torque sobre uma espira plana está relacionado ao campo aplicado por 𝑇 𝑚 𝐵 Este conceito de momento magnético é essencial para o entendimento do comportamento de partículas carregadas em órbita Por exemplo uma carga positiva 𝑄 se movendo em uma órbita circular com uma velocidade 𝑈 ou uma velocidade angular 𝜔 é equivalente a uma corrente 𝐼 𝜔 2𝜋𝑄 de modo que cria um momento magnético 𝑚 𝜔 2𝜋 𝑄𝐴𝑎𝑛 129 Como pode ser visto na figura 67 na presença de um campo magnético 𝐵 existirá um torque 𝑇 𝑚 𝐵 que tende a girar a espira de corrente até que 𝑚 𝑒 𝐵 fiquem alinhados segundo a mesma direção Nessa orientação 𝑚 𝑒 𝐵 𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑑𝑜𝑠 o torque será nulo HAYT 2013 Fonte Sadiku 2012 62 Indutância Indutância A indutância 𝐿 de um circuito ou um caminho condutor fechado pode ser definida como a razão entre o fluxo magnético concatenado ou enlaçado pelo circuito e a corrente que produz esse fluxo Para uma corrente estática I e uma bobina contendo 𝑁 espiras como pode ser visto na figura 68 temos 𝑳 𝑵 𝑰 Fonte Sadiku 2012 Figura 68 Fluxo em uma bobina 130 A unidade de 𝐿 𝑒 𝑜 ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦 𝐻 sendo 1 𝐻 1 𝑊𝑏𝐴 A indutância também é dada por 𝐿 𝜆𝐼 onde 𝜆 é o fluxo enlaçado dado por 𝜆 𝑁𝛷 sendo 𝑁 o número de espiras que compõem a bobina ou simplesmente 𝜆 𝛷 no caso de circuitos simples com uma única espira E importante destacar que a indutância 𝐿 sempre será o produto entre a permeabilidade 𝜇𝐻 𝑚 do meio e um fator geométrico com unidade de comprimento associado a configuração de condutores analisada Exemplo 6 Determine a indutância por unidade de comprimento de um condutor coaxial como o ilustrado na figura 69 Fonte Sadiku 2012 Figura 69 Condutor axial Entre os condutores 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 𝑎𝛷 𝐵 𝜇0𝐼 2𝜋𝑟 𝑎𝛷 Entre os dois condutores de corrente temos o fluxo enlaçado que atravessa a superfície 𝛷 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 A corrente circula pelo condutor interno e retorna pelo condutor externo que no caso corresponde a superfície externa do cabo coaxial Assim temos um caminho fechado de corrente e o fluxo enlaçado está entre os dois condutores que formam esse caminho fechado No cálculo de indutâncias é de fundamental importância a identificação do citado caminho fechado de corrente 131 Para um comprimento 𝑙 𝜆 𝜇0𝐼 2𝜋𝑟 𝑏 𝑎 𝑙 0 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝜇0𝐼𝑙 2𝜋 𝑒 𝐿 𝑙 𝜇0 2𝜋 𝑙𝑛 𝑏 𝑎 𝐻 𝑚 Lei de Faraday e autoindutância Consideremos uma superfície aberta 𝑆 limitada por um contorno fechado 𝐶 Se o fluxo magnético 𝛷 enlaçando 𝑆 varia com o tempo então há uma tensão induzida ao longo de 𝐶 Pela lei de Faraday como foi abordado anteriormente o potencial eletrostático ou potencial escalar elétrico 𝑉 é bem definido no espaço e está associado a um campo elétrico conservativo Por outro lado a 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎 𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎 𝑣 dada pela lei de Faraday depende do caminho tomado para a integração do campo elétrico e está associada a um campo não conservativo A lei de Faraday continua válida no caso particular em que o fluxo através de um circuito está variando devido a variação da corrente que circula no próprio circuito Neste caso 𝑣 𝑑𝛷 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝐿 é chamada de autoindutância ou indutância própria do elemento e 𝑣 é chamada de tensão autoinduzida Indutância interna O fluxo magnético produzido por uma corrente pode ser interno ou externo ao condutor O fluxo interno dá origem a uma indutância interna que é geralmente menor se comparada a indutância devido ao fluxo externo e frequentemente ignorada nos cálculos Na figura 610 um condutor de seção reta circular é ilustrado assumindose uma corrente uniformemente distribuída sobre a área1 Dentro do condutor de raio 𝑎 segundo a lei de Ampère 𝐻 𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎𝛷 𝑒 𝐵 𝜇0𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎𝛷 1 Esta consideração é válida apenas em baixas frequencias uma vez que para frequencias mais elevadas o efeito pelicular se torna significativo e a corrente se concentra na periferia do condutor 132 Fonte Sadiku 2012 Figura 610 Condutor de seção reta circular A fração retilínea de condutor figura 610 a deve ser considerado como uma pequena seção de um toroide infinito como sugerido na figura 610 b Os filamentos de corrente se tornam círculos de raio infinito As linhas de fluxo 𝑑𝛷 através da faixa 𝑙𝑑𝑟 envolvem somente aquele filamento de corrente cuja distância ao eixo do condutor é menor que 𝑟 Assim uma superfície aberta limitada por algum desses filamentos é cortada uma vez ou um número ímpar de vezes pelas linhas de 𝑑𝛷 por outro lado para filamentos como aqueles rotulados por 1 e 2 na figura 610 b a superfície é cortada zero vezes ou um número par de vezes Segue que 𝑑𝛷 enlaça somente a fração 𝜋𝑟2𝜋𝑎2 da corrente total do condutor de modo que o fluxo total envolvido é dado pela integral 𝜆 𝜋𝑟2 𝜋𝑎2 𝑑 𝜋𝑟2 𝜋𝑎2 𝜇0𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 𝑎 0 𝑙𝑑𝑟 𝜇0𝐼𝑙 8𝜋 𝐿 𝑙 𝜆 𝐼 𝑙 𝜇0 8𝜋 1 2 𝑥 107 𝐻 𝑚 Este resultado é independente do raio do condutor A indutância total é a soma das indutâncias interna e externa Nos casos em que a indutância externa é da ordem de 1 2 𝑥 107 𝐻 𝑚 a indutância interna não deve ser ignorada no cálculo da indutância total HAYT 2013 Indutância mútua 133 Na figura 611 uma parte 𝛷12 do fluxo magnético produzido pela corrente 𝑖1 que circula pela bobina 1 enlaça as 𝑁2 espiras da bobina 2 A tensão induzida na bobina 2 devido ao fluxo magnético variável no tempo 𝛷12 produzido pela corrente 𝑖1 na bobina 1 omitindo o sinal negativo é dada por 𝑣2 𝑁2 𝑑𝛷12 𝑑𝑡 Fonte Sadiku 2012 Figura 611 Indutância mútua Definindo a indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 como 𝑀12 𝑁2𝛷12 𝐼1 Podemos reescrever a equação anterior da seguinte forma 𝑣2 𝑁2 𝑑𝛷12 𝑑𝑡 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 𝑀12 𝑑𝑖1 𝑑𝑡 Esta indutância mútua será o produto da permeabilidade 𝜇 da região entre as bobinas por um fator geométrico que depende da distância entre as bobinas da forma geométrica delas e do ângulo entre elas com unidade de comprimento HAYT 2013 Se considerarmos agora o efeito produzido na bobina 1 pelo fluxo devido a corrente na bobina 2 𝑣1 𝑀21 𝑑𝑖2 𝑑𝑡 134 Portanto podemos estabelecer a seguinte relação de reciprocidade 𝑀21 𝑀12 Exemplo 7 Um solenoide com 𝑁1 1000 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑟1 10 𝑐𝑚 𝑒 𝑙1 50 𝑐𝑚 está posicionado concentricamente no interior de um segundo solenoide com 𝑁2 2000 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑠 𝑟2 20 𝑐𝑚 𝑒 𝑙2 50 𝑐𝑚 Calcule a indutância mútua entre os solenoides assumindo que o vácuo preenche o espaço entre eles Para bobinas longas com pequena seção reta o campo 𝐻 pode ser considerado constante no interior da bobina e zero para pontos imediatamente fora da mesma Como a primeira bobina conduzindo uma corrente 𝐼1 𝐻 1000 050 𝐼1 𝐴 𝑚 𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝐵 𝜇02000𝐼1 𝑊𝑏 𝑚2 𝛷 𝐵𝐴 𝜇02000𝐼1𝜋 𝑥 104 𝑊𝑏 Dado que os campos 𝐻 𝑒 𝐵 são nulos fora do solenoide o fluxo calculado anteriormente devido a corrente que circula no primeiro solenoide é o único que enlaça o segundo solenoide 𝑀12 𝑁2 𝛷 𝐼1 20004𝜋 𝑥 1072000𝜋 𝑥 104 158 𝑚𝐻 Curva de magnetização Uma amostra de material ferromagnético pode ser testada pela aplicação de valores crescentes de 𝐻 e medição dos valores correspondentes da densidade de fluxo B Com base nesses testes podem ser levantadas curvas conhecidas como curvas de magnetização ou curvas 𝐵 𝐻 A figura 611 apresenta as curvas 𝐵 𝐻 para alguns materiais ferromagnéticos considerando diferentes faixas de campo 𝐻 aplicado A permeabilidade relativa de um material pode ser avaliada a partir de sua curva 𝐵 𝐻 por meio da relação 𝜇𝑟 𝐵 𝜇0𝐻 135 Fonte BRASIL 2005 Figura 612 Curva de magnetização Lei de Ampère para circuitos magnéticos Uma bobina com 𝑁 espiras enroladas sobre um núcleo ferromagnético e percorrida por uma corrente I produz uma 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑜𝑚𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑓𝑚𝑚 dada por 𝑁𝐼 O símbolo 𝐹 é usado às vezes no lugar de 𝑓𝑚𝑚 a unidade dessa grandeza é o 𝑎𝑚𝑝𝑒 𝑟𝑒 𝑜𝑢 𝑎𝑚𝑝𝑒 𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 A lei de Ampere aplicada ao longo do caminho que percorre o centro do núcleo mostrado na figura 613 nos leva a 𝐹 𝑁𝐼 𝐻𝑑𝑙 𝐻𝑑𝑙 1 𝐻𝑑𝑙 2 𝐻𝑑𝑙 3 𝐻1𝑙1 𝐻2𝑙2 𝐻3𝑙3 Fonte Sadiku 2012 Figura 613 Lei de Ampère 136 Comparando a equação anterior com aquela fornecida pela lei de Kirchhoff para um circuito fechado com três resistores e uma 𝑓𝑒𝑚 𝑉 𝑉 𝑉1 𝑉2 𝑉3 Podemos deduzir que 𝐹 pode ser vista como uma elevação de 𝑁𝐼 e os termos 𝐻𝑙 podem ser considerados quedas de 𝑁𝐼 em analogia respectivamente com a elevação de 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎 𝑜 𝑉 e com as quedas de 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑎 𝑜 𝑉1 𝑉2 𝑒 𝑉3 no circuito elétrico Essa analogia é desenvolvida na figura 613 abc é análoga a corrente 𝐼 e a relutância ℜ é análoga a resistência elétrica 𝑅 A relutância pode ser expressa 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑁𝑖 𝐻𝑙 𝐵𝐴 𝑙 𝜇𝐴 𝛷ℜ ℜ 𝑙 𝜇𝐴 𝐻1 Caso as relutâncias sejam conhecidas 𝐹 𝑁𝐼 𝛷ℜ1 ℜ2 ℜ3 Entretanto 𝜇𝑟 deve ser conhecida para cada material que compõe o núcleo antes de se calcular a relutância Por outro lado apenas conhecendose os valores de 𝐵 𝑒 𝐻 o valor de 𝜇𝑟 também será conhecido considerando a não linearidade observada em materiais ferromagnéticos dependendo do valor do 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐻 SADIKU 2012 Núcleos com entreferro de ar Circuitos magnéticos com pequenos entreferros de ar são bastante comuns Os entreferros geralmente possuem comprimento bastante reduzido uma vez que a queda 𝑁𝐼 no entreferro de ar é muito maior que a queda no núcleo O fluxo magnético se dispersa em volta do entreferro de tal forma que a área aparente do entreferro excede a área do núcleo adjacente Dado que o comprimento 𝑙𝑎 do entreferro é em geral menor que 110 da menor dimensão do núcleo é possível desenvolver uma expressão com erro desprezível para a área aparente 𝑆𝑎 do entreferro de ar Para um núcleo retangular de dimensões 𝑎 𝑒 𝑏 a área aparente é 𝑆𝑎 𝑎 𝑙𝑎𝑏 𝑙𝑎 137 Caso o fluxo total no entreferro de ar seja conhecido 𝐻𝑎 𝑒 𝐻𝑎𝑙𝑎 podem ser calculados diretamente 𝐻𝑎 1 𝜇0 𝛷 𝑆𝑎 𝐻𝑎𝑙𝑎 𝑙𝑎𝛷 𝜇0𝑆𝑎 Para um núcleo de ferros uniforme de comprimento 𝑙𝑖 com um único entreferro de ar a lei de Ampère nos leva a 𝑁𝐼 𝐻𝑖𝑙𝑖 𝐻𝑎𝑙𝑎 𝐻𝑖𝑙𝑖 𝑙𝑎𝛷 𝜇0𝑆𝑎 Circuitos magnéticos paralelos O método de solução de um circuito magnético paralelo figura 614 pode ser obtido em analogia com um circuito elétrico de duas malhas O ramo a esquerda contém uma elevação e uma queda de 𝑁𝐼 A queda de 𝑁𝐼 entre os nós 𝑎 𝑒 𝑏 pode ser escrita para cada ramo da seguinte forma 𝐹 𝐻1𝑙1 𝐻2𝑙2 𝐻3𝑙3 Similarmente à lei de Kirchhoff das correntes 𝛷1 𝛷2 𝛷3 No caso de o núcleo ser composto de materiais diferentes será necessário trabalhar com várias curvas 𝐵 𝐻 Ainda se em um dos ramos estiver presente um entreferro de ar a forca magnetomotriz fmm terá uma equação do tipo 𝐻𝑖𝑙𝑖 𝐻𝑎𝑙𝑎 Fonte Sadiku 2012 Figura 614 Circuito magnético 138 63 Campos Variáveis no Tempo e Equações de Maxwell Equações de Maxwell para campos estáticos Os campos elétricos e magnéticos estáticos não são acoplados ou interconectados Eles são tratados separadamente por dois conjuntos de equações vetoriais desacopladas como a seguir Quadro 61 Equações Vetoriais para Campo Elétrico e Magnético Equações Vetoriais para Campo Elétrico e Magnético Campo elétrico 𝑥 𝐸 0 Lei de Faraday 𝑥 𝐷 𝜌 Lei de Gauss Campo Magnético 𝑥 𝐻 𝐽 Lei de Ampère 𝑥 𝐵 𝜌 Lei de Gauss Nas equações 𝜌 é a densidade de cargas 𝐶 𝑚3 𝑒 𝐽 é a densidade de corrente 𝐴 𝑚2 Fonte Elaborado pelo autor Lei de Faraday e Lei de Lenz Vamos considerar o caso de uma área plana S delimitada por uma curva fechada C em que S é atravessada perpendicularmente por uma densidade de fluxo variável no tempo B figura 615 Utilizando a lei de Faraday na forma integral E C dl d dt B S dS Em que o sentido positivo ao longo de C e o sentido da normal dS são determinados pela regra da mão direita figura 615 a Considerando a situação em que B está aumentando com o tempo a derivada com relação ao tempo será positiva e assim o lado direito da equação acima será negativo Para que o lado esquerdo da equação seja negativo e satisfaça a igualdade da lei de Faraday o sentido de E deve ser oposto àquele do contorno C figura 615 b 139 Fonte Sadiku 2012 Figura 615 Área plana delimitada por uma curva fechada No caso especial de um condutor se movendo através de um campo magnético estático a polaridade prevista pela Lei de Lenz é obtida por dois outros métodos 1 A polaridade é tal que o condutor sofre a ação de uma forca magnética que se opõe ao seu movimento 2 Como poder ser visto na figura 116 um condutor em movimento parece distorcer o fluxo empurrando as linhas de fluxo a sua frente a medida que se move Essa mesma distorção é sugerida pelas linhas de fluxo no sentido anti horário no entorno do condutor Pela regra da mão direita a corrente que resultaria se fosse fornecido um caminho fechado teria o sentido ilustrado e a polaridade da tensão induzida é na extremidade do condutor por onde a corrente está saindo Conforme pode ser visto na figura 616 essa polaridade é confirmada comparando o condutor em movimento e sua corrente resultante a uma fonte de tensão conectada a um circuito externo similar Figura 116 Fluxo distorcido Condutores em movimento em campos variáveis no tempo Quando uma espira condutora fechada está em movimento isso inclui alteraçoes na forma da espira e ainda o campo magnético é uma função do tempo então a tensão induzida total é composta de uma contribuição de cada uma das fontes de fluxo magnético variável no tempo Neste caso a lei de Faraday nos leva a 140 𝑣 𝑑 𝑑𝑡 𝐵 𝑆 𝑑𝑆 𝐵 𝑡 𝑆 𝑑𝑆 𝑈𝑥𝐵 𝑑𝑙 O primeiro termo a direita corresponde a tensão induzida devido a variação de 𝐵 com a espira mantida fixa o segundo termo corresponde a tensão induzida devido ao movimento da espira com o campo 𝐵 mantido fixo A polaridade de cada termo da equação acima é determinada a partir da lei de Lenz Após os dois termos devem ser somados considerando suas respectivas polaridades HAYT 2013 Exemplo 8 Considere a figura 617 uma espira condutora plana gira com velocidade angular 𝜔 em relação ao 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑒𝑚 𝑡 0 ela está no plano 𝑥𝑦 Um campo magnético variável no tempo 𝐵 𝐵𝑡𝑎𝑧 está presente na região Determine a tensão induzida entre os terminais da espira a partir da contribuição de cada um dos termos da lei de Faraday Fonte Sadiku 2012 Figura 617 Espira condutora plana Vamos chamar a área da espira de 𝐴 A contribuição para a tensão induzida total 𝑣 devido à variação de 𝐵 é 𝑣1 𝐵 𝑡 𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝑆 𝑎𝑧𝑑𝑆𝑎𝑛 𝑑𝐵 𝑑𝑡 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑧𝑎𝑛 cos 𝜔𝑡 141 Para determinar a segunda parcela que diz respeito à contribuição para 𝑣 devido ao movimento da espira é necessário conhecer a velocidade 𝑈 de um ponto sobre a espira Analisando a figura 617 b 𝑈 𝑟𝜔𝑎𝑛 𝑦 cos 𝜔𝑡 𝜔𝑎𝑛 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑈 𝑥 𝐵 𝑦 cos 𝜔𝑡 𝜔𝑎𝑛 𝑥 𝐵𝑎𝑧 𝑦 cos 𝜔𝑡 𝜔𝐵 sen 𝜔𝑡𝑎𝑥 Como 𝑎𝑛𝑎𝑧 sen 𝜔𝑡𝑎𝑥 temos 𝑣2 𝑈 𝑥 𝐵 𝑑𝑙 𝜔𝐵 sen 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑦𝑎𝑥 𝑑𝑙 Como 𝑥 𝑦𝑎𝑥 𝑎𝑧 podemos utilizar o teorema de Stokes 𝑦𝑎𝑥 𝑑𝑙 𝑠 𝑥 𝑦𝑎𝑥 𝑑𝑆 𝑎𝑧𝑑𝑆𝑎𝑛 𝐴 𝑆 cos 𝜔𝑡 𝑣2 𝜔𝐵 sen 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 A cos 𝜔𝑡 𝐵𝐴 𝜔 sen 𝜔𝑡 Corrente de deslocamento Se a equação 𝑥 𝐻 𝐽𝑐 fosse válida para campos e cargas variáveis no tempo então a equação da continuidade seria 𝐽𝑐 x H 0 diferentemente da equação fisicamente correta 𝐽𝑐 𝜌 𝑡 Para solucionar essa inconsistência Maxwell propôs 𝑥 𝐻 𝐽𝑐 𝐽𝐷 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐽𝐷 𝐷 𝑡 Com a inclusão da densidade de corrente de deslocamento 𝐽𝐷 a equação da continuidade é satisfeita 𝐽𝑐 𝐽𝐷 𝐷 𝑡 𝑡 𝐷 𝜌 𝑡 142 A corrente de deslocamento 𝑖𝐷 através de uma superfície específica é obtida pela integração da componente normal de 𝐽𝐷 sobre a superfície do mesmo modo como 𝑖𝑐 é obtida a partir de 𝐽𝑐 𝑖𝐷 𝐽𝐷 𝑑𝑆 𝐷 𝑡 𝑆 𝑆 𝑑𝑆 𝑑 𝑑𝑡 𝐷𝑑𝑆 𝑆 A comutação do símbolo de integração com o de derivação na última passagem foi realizada assumindose que a superfície 𝑆 é fixa no espaço ou seja não varia com o tempo HAYT 2013 Razão entre 𝑗𝑐 𝑒 𝑗𝐷 Alguns materiais não são nem bons condutores nem dielétricos perfeitos de modo que as correntes de condução e deslocamento estão presentes Um modelo para um mau condutor ou para um dielétrico com perdas está ilustrado pode ser visto na figura 618 Assumindo uma dependência com o tempo do tipo 𝑒𝑗𝜔𝑡 para o campo 𝐸 a densidade de corrente total é 𝐽𝑡 𝐽𝑐 𝐽𝐷 𝜎𝐸 𝑡 𝜖𝐸 𝜎𝐸 𝑗𝜔𝜖𝐸 𝐽𝑐 𝐽𝐷 𝜎 𝜔𝜖 Fonte Sadiku 2012 Figura 618 Modelo de um dielétrico com perdas A relação entre a corrente de condução e a corrente de deslocamento em determinado material não depende do campo elétrico mas apenas de suas propriedades elétricas condutividade e permissividade e da frequência Como esperado a corrente de deslocamento se torna mais relevante a medida que a frequencia aumenta HAYT 2013 143 Exemplo 9 Um condutor de seção reta circular de raio 15 𝑚𝑚 conduz uma corrente 𝑖𝑐 55 sen4 𝑥 1010𝑡 𝜇𝐴 Qual é a amplitude da densidade de corrente de deslocamento se 𝜎 35 𝑀𝑆 𝑚 𝑒 𝜖𝑟 1 𝐽𝑐 𝐽𝐷 𝜎 𝜔𝜖 350 𝑥 107 4 𝑥 1010109 36𝜋 990 𝑥 107 𝐽𝐷 55 𝑥 106 𝜋15 𝑥 1032 990 𝑥 107 786 𝑥 103 𝜇𝐴𝑚2 Equações de Maxwell para campos variáveis no tempo Um campo elétrico estático 𝐸 pode existir mesmo na ausência de um campo magnético 𝐻 um capacitor com uma carga estática 𝑄 é um exemplo De modo similar um condutor com uma corrente constante 𝐼 tem um campo magnético 𝐻 associado sem a presença de um campo 𝐸 Contudo quando os campos são variáveis no tempo 𝐻 não pode existir sem um campo 𝐸 nem um campo 𝐸 pode existir sem um campo 𝐻 associado Ainda que muitas informações importantes possam ser derivadas da teoria de campos estáticos a generalidade e a ampla aplicação da teoria de campos eletromagnéticos podem ser demonstradas apenas quando consideramos campos variáveis no tempo Os experimentos de Faraday e Hertz e as análises teóricas de Maxwell estão relacionadas a campos variáveis no tempo HAYT 2013 O quadro a seguir mostra a forma mais geral dessas equações considerando uma região onde cargas e corrente de condução podem estar presentes As formas diferencial pontual e integral das duas primeiras equações são equivalentes segundo o teorema de Stokes enquanto as formas diferencial pontual e integral das duas últimas equações são equivalentes segundo o teorema da divergência ou de Gauss 144 Quadro 62 Forma geral das equações de Maxwell Forma geral das equações de Maxwell Forma diferencial Forma integral x H 𝐽𝑐 𝐷 𝑡 𝐻 𝑑𝑙 𝐽𝑐 𝐷 𝑡 𝑑𝑆 𝑆 Lei de Ampère 𝑥 𝐸 𝐵 𝑡 𝐸 𝑑𝑙 𝐵 𝑡 𝑆 𝑑𝑆 Lei de Faraday 𝑆 fixa no espaço 𝐷 𝜌 𝐷𝑑𝑆 𝜌 𝑑𝑣 𝑣 𝑆 Lei de Gauss 𝐵 0 𝐵𝑑𝑆 0 𝑆 Inexistência de monopolos magnéticos Fonte elaborado pelo autor Para o espaço livre vácuo onde não há cargas 𝜌 0 e não há corrente de condução 𝐽𝑐 0 as Equações de Maxwell tomam a forma apresentada no quadro 63 Equações de Maxwell no espaço livre Forma diferencial Forma integral x H 𝐽𝑐 𝐷 𝑡 𝐻 𝑑𝑙 𝐷 𝑡 𝑑𝑆 𝑆 𝑥 𝐸 𝐵 𝑡 𝐸 𝑑𝑙 𝐵 𝑡 𝑆 𝑑𝑆 𝐷 0 𝐷𝑑𝑆 0 𝑆 𝐵 0 𝐵𝑑𝑆 0 𝑆 Fonte elaborado pelo autor Quadro 63 Equações de Maxwell no espaço livre 145 As duas primeiras equações na forma diferencial no espaço livre podem ser utilizadas para mostrar que campos 𝐸 𝑒 𝐻 variáveis no tempo não podem existir de forma independente Por exemplo se 𝐸 é uma função do tempo então 𝐷 𝜖0𝐸 também será uma função do tempo de modo que 𝐷𝑡 será diferente de zero Consequentemente 𝑥 𝐻 é diferente de zero e portanto um campo 𝐻 não nulo deve existir De forma similar a segunda equação pode ser usada para mostrar que se 𝐻 é uma função do tempo então deve existir um campo 𝐸 associado As Equações de Maxwell na forma diferencial ou pontual são utilizadas com maior frequência na solução dos problemas Entretanto a forma integral também é importante na medida em que em algumas situaçoes fornece uma interpretação física mais direta do fenômeno em questão e além disso é a forma mais adequada quando se deseja tratar de condições de fronteira HAYT 2013 Conclusão Ao final deste bloco você está apto a resolver problemas que envolvam forças e torques em campos magnéticos e a aplicar os conceitos que envolvem Indutâncias em circuitos magnéticos Agora você é capaz entender que o conjunto formado pela lei de Faraday lei de Ampère e lei de Gauss para os campos elétrico e magnético são chamadas Equaçoes de Maxwell e que estas descrevem de forma completa os campos eletrostáticos os campos magnetostáticos e os campos eletromagnéticos variáveis no tempo também chamados de campos dinâmicos REFERÊNCIAS HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 BRASIL Ministério da educação Enade 2005 Engenharia grupo II Brasília 2005 SADIKU M N O Elementos do Eletromagnetismo 5ª ed Porto Alegre Bookman 2012 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com aplicações em engenharia 1ª ed Rio de Janeiro LTC 2006