Revisão de Cálculo Vetorial Aplicado ao Eletromagnetismo

ELETROMAGNETISMO APLICADO Marco Aurélio Gouveia 3 1 REVISÃO DE CÁLCULO VETORIAL Apresentação Cálculo Vetorial CV é um ramo da matemática que aborda a diferenciação e integração de campos vetoriais habitualmente no espaço euclidiano ℝ3 O CV é muito utilizado em Física e Engenharia principalmente na descrição de campos eletromagnéticos campos gravitacionais e mecânica dos fluidos Neste bloco vamos retomar conceitos e operações vetoriais fundamentais a partir do ponto de vista de aplicações em Engenharia Elétrica sem nos aprofundar em deduções matemáticas mas focando na interpretação física Estudar CV é como aprender um novo idioma ele tem seus símbolos e regras próprias portanto o seu aprendizado requer concentração e prática Caso você sinta dificuldades ou queira se aprofundar no desenvolvimento matemático faça uso das referências bibliográficas contidas no final deste bloco 11 Introdução a vetores 111 Escalas e Vetores A análise vetorial e uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo EM são normalmente expressos e mais facilmente compreendidos Precisamos primeiramente aprender suas regras e técnicas antes de aplicálas com segurança Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor O termo escalar caracteriza uma grandeza da qual o valor pode ser representado por um único número real positivo ou negativo O x y e z que usamos na álgebra básica são escalares e as grandezas que eles representam também Se falarmos de um corpo que se desloca a uma distância S em um tempo t ou a temperatura T medida em qualquer ponto de um bule de chá cujas coordenadas são x y e z então S t T x y e z são todos escalares 4 O Sistema Internacional de Unidades também conhecido como SI é inspirado no sistema métrico e é o mais usado no mundo É um conjunto padronizado de definições de unidades de medida utilizado hoje em quase todo o mundo moderno e em várias áreas da atividade humana como a técnicocientífica a política a econômica e a social Por sua lógica e coerência pode ser usado por pessoas de origens de culturas e de línguas diferentes SI 2020 Exemplo de algumas grandezas escalar e suas unidades no SI Tabela 11 Grandezas escalares e suas unidades SI Grandeza Escalar Unidade SI Massa Quilograma Tempo Segundo Temperatura Kelvin Área m2 metro quadrado Energia Joule Carga elétrica Coulomb Fonte Elaborado pelo autor Uma grandeza vetorial possui intensidade direção e sentido no espaço conforme pode ser visto na figura 11 No estudo do eletromagnetismo EM iremos trabalhar somente com espaços bi e tridimensionais todavia em aplicações mais avançadas os vetores podem ser definidos em espaços ndimensionais Fonte Elaborado pelo autor Figura 11 Grandeza vetorial intensidade direção e sentido 5 São exemplos de grandezas vetoriais caracterizadas por uma intensidade uma direção e um sentido A força A velocidade A aceleração O campo elétrico O campo magnético O momento linear O momento angular Os campos vetoriais e escalares são um tema de extrema relevância no estudo do EM Matematicamente o campo escalar ou vetorial pode ser definido como uma função que faz a ligação entre uma origem e um ponto qualquer no espaço É importante frisarmos que o conceito de campo geralmente está associado a uma região Via de regra conseguimos associar algum efeito físico com um campo por exemplo Campo de velocidades determinado pela rotação em torno de um ponto fixo campo de velocidades determinado pelo movimento de um fluido campo gravitacional etc Se a grandeza é um escalar o campo é chamado de campo escalar se a grandeza é um vetor o campo e chamado de campo vetorial Exemplos de campos escalares são a distribuição de temperatura em um edifício a intensidade de som em um teatro o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado A forca gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exemplos de campos vetoriais SHADIKU 2004 P 21 Existem duas formas de fazer a notação vetorial Os vetores serão indicados por letras em negrito como por exemplo A ou representado por uma seta sobre a grandeza como por exemplo 𝐴 A vantagem dessa última forma é que quando se escreve à mão facilita destacar o caráter vetorial Para identificar os escalares utilizaremos o itálico como por exemplo A 6 ATENÇÃO A notação descuidada de um vetor sem seguir as regras falta da seta sobre a grandeza por exemplo caracteriza um erro frequente IMPORTANTE Um escalar é uma grandeza que só possui intensidade Um vetor é uma grandeza que tem intensidade direção e sentido Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região 112 Soma e Subtração de vetores produtos por um Escalar Algumas características da álgebra vetorial são similares as regras da álgebra escalar algumas serão levemente diferentes e outras por sua vez serão inteiramente novas Iniciemos com a adição de vetores que seguem a lei do paralelogramo A Figura 12 mostra a soma de dois vetores 𝐴 e 𝐵 Verificase com facilidade 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 ou seja a adição de vetores obedece a propriedade comutativa A adição vetorial também obedece a propriedade associativa 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪 Fonte Adaptado de Shadiku 2004 Figura 12 Soma de dois vetores regra do paralelogramo e regra do início de um final de outro Note que quando um vetor é desenhado como uma seta de comprimento finito sua posição é definida no início da seta 7 Podemos observar na Figura 12 que os vetores são coplanares isto é pertencem a um mesmo plano os vetores A e B pertencem ao plano do papel Podemos representar cada vetor em relação a direção horizontal e vertical e em seguida somar os componentes correspondentes O procedimento para somar os vetores em três dimensões é o mesmo representamos cada vetor utilizando três componentes e depois somamos os componentes correspondentes Os vetores no espaço ℝ2e no espaço ℝ3 têm uma relação muito próxima o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre utilizado da mesma forma a diferença está nas aplicações mais elaboradas que existem em ℝ3 Fonte elaborado pelo autor Figura 13 Representação de um vetor geométrico no espaço Um terceiro vetor é o resultado da subtração de vetores Este vetor chamado diferença cujas propriedades são deduzidas a partir da soma dos vetores 𝐴 e B que tem módulo e direção iguais ao do vetor 𝐵 mas tem o sentido oposto Consideremos os vetores 𝐴 e 𝐵 e sua subtração 𝐶 𝐴𝐵 Fonte elaborado pelo autor Figura 14 Subtração de vetores Podemos multiplicar um vetor por escalar um número x Dessa operação resulta um novo vetor chamado vetor resultante com as seguintes características 8 𝑅 𝑥𝑉 O módulo do novo vetor é o que resulta da multiplicação do módulo de 𝑥 pelo módulo de V A direção do novo vetor é a mesma O sentido de 𝑅 é o mesmo de 𝑉 se 𝑥 for positivo entretanto o sentido será oposto se A multiplicação de um vetor por um escalar também obedece às propriedades associativa e distributiva da álgebra assim sendo 𝑥 y𝐴 𝐵 𝑥𝐴 𝐵 𝑦𝐴 𝐵 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑦𝐴 𝑦𝐵 A divisão de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação do vetor pelo inverso do escalar Dois vetores são iguais se a diferença entre os dois é zero 𝐴 𝐵 𝑠𝑒 𝐴 𝐵 0 113 Sistema de Coordenadas Retangulares Para apresentar um vetor precisamente é necessário prover algumas informações específicas tais como comprimento direção e sentidos ângulos projeções ou componentes Existem algumas formas de prover essas informações a mais simples é utilizando o sistema de coordenadas retangulares também conhecido como sistema de coordenadas cartesianas retangulares Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço ou o espaço xyz consiste em três retas mutuamente perpendiculares denominadas eixo x eixo y e eixo z cada qual com graduação em números reais As três retas se interceptam em um único ponto que tem coordenada zero em cada eixo 9 Fonte Elaborado pelo autor Figura 15 Sistema de coordenadas cartesianas no espaço ortogonais tridimensionais O plano que é perpendicular ao eixo z e passa pela origem é chamado de plano xy De forma análoga são definidos o plano yz e o plano xz Estes três planos são conhecidos como planos coordenados Fonte Elaborado pelo autor Figura 16 Planos Coordenados 10 Para representar um ponto Pxyz no sistema de coordenadas retangulares marcamos x unidades a partir da origem sobre o lado positivo do eixo x se o valor de x for positivo a partir desse ponto andamos y unidades paralelamente ao eixo y no sentido positivo do eixo y se o valor de y for positivo e em seguida andamos z unidades paralelamente ao eixo z no sentido positivo do eixo z se o valor de z for positivo Fonte Elaborado pelo autor Figura 16 Pontos P 342 Q213 R 303 plotados no Sistema de Coordenadas Retangulares 114 Componentes de Vetores e Vetores Unitários Consideremos um vetor 𝑟 partindo da origem uma forma de identificar esse vetor utilizando o sistema de coordenadas cartesianas retangulares é informar os três componentes vetoriais ao longo do três eixos xyz a soma desses três componentes vetoriais representa o vetor 𝑟 Ao invés de um vetor temos agora três o que significa simplificação porque cada um está sempre na direção de um dos eixos coordenados 𝒓 𝒙 𝒚 𝒛 11 Fonte Elaborado pelo autor Figura 17 Componentes Vetoriais Os componentes vetoriais possuem intensidades que dependem em nosso exemplo do vetor 𝑟 porém cada um possui direção e sentido constantes e conhecidos Essas condições nos levam a dedução do conceito de vetor unitário também chamado de versor Vetor Unitário ou Versor Vetor com intensidade igual a 1 e direção e sentido coincidentes com os dos eixos coordenados SANTOS e FERREIRA 2009 Para representar o vetor unitário usaremos a sua direção e sentido no sistema de coordenadas retangulares usaremos a seguinte notação 𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧 Partindo de um componente vetorial 𝑦 que tenha 2 unidades de intensidade ou seja 𝑦 2𝑎𝑦 Um vetor 𝑟𝑝P 1 2 3 é escrito como Considerando um Q 2 2 1𝑟𝑝 𝑎𝑥 2𝑎𝑦 3𝑎𝑧P para Q aplicamos a regra de adição vetorial resultando em 12 Fonte Adaptado de Hayt e Bulk 2013 p 6 Como podemos observar na figura 18 o vetor não parte da origem contudo vetores com a mesma intensidade direção e sentido são iguais para facilitar a visualização podemos desde que mantido o paralelismo deslocar qualquer vetor até a origem antes de determinarmos seus componentes vetoriais Chamemos de 𝐹 um vetor de força F adotaremos a notação 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 para seus três componentes escalar portanto 𝐹 𝐹𝑥𝑎𝑥𝐹𝑦𝑎𝑦𝐹𝑧𝑎𝑧 sendo 𝐹𝑥𝑎𝑥 𝐹𝑦𝑎𝑦 𝐹𝑧𝑎𝑧 seus componentes vetoriais Qualquer vetor 𝐵 pode ser descrito como 𝐵 𝐵𝑥𝑎𝑥𝐵𝑦𝑎𝑦𝐵𝑧𝑎𝑧 a intensidade de 𝐵 é escrita como 𝐵 ou B podemos então dizer que 𝑩 𝑩𝒙𝟐 𝑩𝒚𝟐 𝑩𝒛𝟐 Um vetor unitário que possua direção e sentido especificados pode ser obtido dividindo o pelo vetor da sua intensidade 𝒂𝑩 𝑩 𝑩𝒙𝟐 𝑩𝒚𝟐 𝑩𝒛𝟐 𝑩 𝑩 13 Exemplo 1 Calcule o módulo do vetor 𝑣 2 4 Em seguida responda a O vetor 𝑣 é unitário b Explicite um vetor que tenha a mesma direção e sentido do vetor 𝑣 e comprimento igual a 1 Resolução Cálculo do módulo do vetor 𝑣 22 42 4 16 20 25 a 𝑣 25 1 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑣 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜 b Todo vetor possui um versor E o versor do vetor é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de portanto 𝑤 𝑣 𝑣 24 25 1 5 2 5 5 5 25 5 𝑤 5 5 2 25 5 2 1 2 Seja 𝐴 10𝑎𝑥 4𝑎𝑦 6𝑎𝑐 𝑒 𝐵 2𝑎𝑥 𝑎𝑦 determine a O componente de ao longo de 𝐴 b A magnitude de 3𝐴 𝐵 c Um vetor unitário ao longo de 𝐴 2𝐵 a O componente de 𝐴𝑎𝑦 b 3𝐴 𝐵 31046 210 30 1218 210 28 1318 Portanto 3𝐴 𝐵 282 132 182 3574 14 c 𝐶 𝐴 2𝐵 10 46 420 14 26 𝑎𝑐 𝐶 𝐶 14 26 142 22 62 𝑎𝑐 09113𝑎𝑥 01302𝑎𝑦 03906𝑎𝑧 12 Produtos e vetores 121 Produto Escalar Chamase produto escalar ou produto interno de dois vetores 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 e 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 representa por 𝑢 𝑣 ao número real 𝑢 𝑣 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑧1𝑧2 Este produto também é indicado por 𝑢 𝑣 e lêse 𝑢 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑣 As propriedades do Produto Escalar são Para quaisquer que sejam os vetores 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑣 𝑥2 𝑦2 2 e 𝑤 𝑥3 𝑦3 𝑧3 e m ℝ 𝑢 𝑢 0 𝑢 0 000 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝑚 𝑢 𝑣 𝑚 𝑢 𝑣 𝑢 𝑚 𝑣 𝑢 𝑢 𝑢2 𝑢 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 0 Exemplo 1 Determine o valor de m de modo que os vetores 𝑎 𝑚𝑖 5𝑗 4𝑘 𝑒 𝑏 𝑚 1𝑖 2𝑗 4𝑘 sejam ortogonais 15 𝑎 𝑚𝑖 5𝑗 4𝑘 𝑏 𝑚 1𝑖 2𝑗 4𝑘 𝑎 𝑏 Se 𝑎 𝑏 então 𝑎 𝑏 0 assim 𝑎 𝑏 𝑚𝑚 1 52 44 0 𝑚2 𝑚 10 16 𝑚2 𝑚 6 0 resolvendo a equação 𝑚 2 𝑚 3 Portanto 𝑆 3 2 122 Ângulos entre dois Vetores Ângulos Diretores Cossenos Diretores O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formados Se 𝑢 0 𝑣 0 e se 𝜃 é o ângulo formado por eles então 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 Os ângulos diretores são formados pelos ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados O vetor representado em um plano cartesiano 𝑣 𝑥 𝑦 𝑥 juntamente com os vetores formam os ângulos α β e γ Figura 1 𝑖 𝑗 𝑘 16 Fonte Elaborado pelo autor Figura 19 Ângulos diretores Os cossenos diretores desses ângulos diretores cos α cos β e cos γ são os cossenos diretores de 𝑣 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 𝑥 considerando a definição de ângulos diretores temos cos 𝛼 𝑖 𝑣 𝑖 𝑣 cos 𝛼 1 0 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 cos 𝛼 𝑥 𝑣 cos 𝛽 𝑗 𝑣 𝑗 𝑣 cos 𝛽 0 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 cos 𝛽 𝑦 𝑣 cos 𝛾 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 cos 𝛾 0 0 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑘 cos 𝛾 𝑧 𝑣 As componentes do versor 𝑢𝑣 são os cossenos diretores de 𝑣 Seja 𝑣 o versor de um vetor 𝑢 então 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 𝑣 Ou seja 𝑢 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 17 Tendo em vista que o versor de 𝑢 é um vetor unitário então 𝑢 1 ou seja 𝑢 cos 𝛼 cos 𝛽 cos 𝛾 1 mas 𝑢 cos2 𝛼 cos2 𝛽 cos2 𝛾 1 então cos2 𝛼 cos2 𝛽 cos2 𝛾 1 Exemplo 1 Determine os ângulos diretores do vetor 𝑎 1 2 3 𝑎 12 22 32 14 cos 𝛼 𝑥 𝑎 1 14 cos 𝛽 𝑦 𝑎 2 14 cos 𝛾 𝑧 𝑎 3 14 𝛼 𝑐𝑜𝑠1 1 14 74𝑜 𝛽 𝑐𝑜𝑠1 2 14 58𝑜 𝛾 𝑐𝑜𝑠1 3 14 37𝑜 123 Produto Vetorial Dados os vetores 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 e 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 tomados nesta ordem chamase produto vetorial dos vetores 𝑢 e 𝑣 representado por 𝑢 𝑋 𝑣 ou 𝑢 𝑣 lêse 𝑢 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑢 ao vetor 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1𝑧2 𝑧1𝑦2𝑖 𝑥1𝑧2 𝑧1𝑥2𝑗 𝑥1𝑦2 𝑦1𝑥2𝑘 Cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de 2º ordem 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑖 𝑥1 𝑧1 𝑥2 𝑧2 𝑗 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑘 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑢 𝑥 𝑣 é ortogonal simultaneamente aos vetores 𝑢 𝑒 𝑣 e seu sentido é dado pela regra da mão direita Figura 110 18 Fonte adaptado de Shadiku 2004 p28 Figura 110 Regra da mão direita 1231 Propriedades do Produto Vetorial 1 𝑢 𝑥 𝑢 0 qualquer que seja 𝑢 𝑢 𝑥 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 2 𝑢 𝑥 𝑣 0 se a Um dos vetores for nulo b 𝑢 𝑒 𝑣 forem colineares pois 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 quando 𝜃 0 ou 180𝑜 3 Anticomutativa 𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑥 𝑢 Porém 𝑢 𝑥 𝑣 𝑣 𝑥 𝑢 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 19 𝑣 𝑥 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥1 𝑦1 𝑧1 4 Associativa 𝑚𝑢 𝑥 𝑣 𝑚𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥 𝑚𝑣 5 Os vetores 𝑖 𝑗 𝑘 nesta ordem representam um triedo positivo Figura 111 Fonte Elaborado pelo autor Figura 111 Triedo positivo Portanto 𝑘 𝑖 𝑥 𝑗 𝑗 𝑘 𝑥 𝑖 𝑖 𝑗 𝑥 𝑘 Consequentemente𝑘 𝑗 𝑥 𝑖 𝑗 𝑖 𝑥 𝑘 𝑖 𝑘 𝑥 𝑗 Casos particulares 𝑖 𝑥 𝑖 0 𝑗 𝑥 𝑗 0 𝑘 𝑥 𝑘 0 6 𝑢 𝑥 𝑣 𝑤 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑥 𝑤 7 𝑢 𝑥 𝑣 é 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑢 𝑒 𝑣 8 Se 𝑢 0 𝑒 𝜃 é 𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢 𝑒 𝑣 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜃 9 𝑢 𝑥 𝑣 𝑤 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑤 o produto vetorial não é associativo 1232 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial Conhecidas as expressões cartesianas podemos determinar o produto vetorial de dois vetores da seguinte forma Sejam 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑒 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑋 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 20 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥1𝑥2𝑖 𝑋 𝑖 𝑥1𝑦2𝑖 𝑋 𝑗 𝑥1𝑧2𝑖 𝑋 𝑘 𝑥2𝑦1𝑗 𝑋 𝑖 𝑦1𝑦2𝑗 𝑋 𝑗 𝑦1𝑧2𝑗 𝑋 𝑘 𝑥2𝑧1𝑘 𝑋 𝑖 𝑦2𝑧1𝑘 𝑋 𝑗 𝑧1𝑧2𝑘 𝑋 𝑘 Considerando que 𝑖 𝑥 𝑖 0 𝑖 𝑥 𝑗 𝑘 𝑖 𝑥 𝑘 𝑗 𝑗 𝑥 𝑖 𝑘 𝑗 𝑥 𝑗 0 𝑗 𝑥 𝑘 𝑖 𝑘 𝑥 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑗 𝑖 𝑘 𝑥 𝑘 0 𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖 𝑗 𝑒 𝑘 𝑒𝑚 𝑒𝑣𝑖𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1𝑧2 𝑦2𝑧1𝑖 𝑥2𝑧1 𝑥1𝑧2𝑗 𝑥1𝑦2 𝑥2𝑦1𝑘 Como 𝑦1𝑧2 𝑦2𝑧1 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 𝑥2𝑧1 𝑥1𝑧2 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑒 𝑥1𝑦2 𝑥2 𝑦1 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑢 𝑥 𝑣 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧2 𝑖 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑗 𝑥1 𝑥2 𝑦1 𝑦2 𝑘 Um modo para facilmente memorizar esta fórmula é utilizar a notação 𝑢 𝑥 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 Devemos ressaltar que 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 baseado no Teorema de Laplace não representa um determinante porque a primeira linha não são números reais e sim vetores Utilizamos essa notação considerando essa ressalva pela facilidade de memorizar a fórmula Saiba mais Para saber mais sobre o teorema de Laplace veja o manual compacto de matemática de autoria de Bosquilha et al 2010 p 208 disponível na Biblioteca Virtual 1233 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial Geometricamente o módulo do produto vetorial de dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 mede a área do paralelogramo cujos lados são os vetores 𝐴𝐵 𝑢 𝑒 𝐴𝐷 𝑣 Figura 112 21 Fonte Elaborado pelo autor Note que a área 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 ℎ considerando que ℎ 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 temos área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 mas 𝑢 𝑥 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 então a área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑢 𝑥 𝑣 Exemplo Dados os pontos M01 02 01 N02 01 03 e P04 0 01 encontre a O vetor 𝑅𝑀𝑁 b O produto escalar 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑃 c A projeção escalar de 𝑅𝑀𝑁 em 𝑅𝑀𝑃 d O ângulo entre 𝑅𝑀𝑁 𝑒 𝑅𝑀𝑃 a 𝑅𝑀𝑁 02 01 03 01 02 01 03 03 04 b 𝑅𝑀𝑁 04 0 01 01 02 01 03 02 02 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑁 03 03 0403 02 02 009 006 008 005 c 𝑅𝑀𝑁 𝑎𝑅𝑀𝑃 03 03 04 03 02 02 009004004 005 017 012 d 𝜃𝑀 𝑐𝑜𝑠1 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑃 𝑅𝑀𝑁 𝑅𝑀𝑁 𝑐𝑜𝑠1 005 034017 78𝑜 124 Produto Misto Chamase produto misto dos vetores 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 tomados nesta ordem e representados por 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 o número ral 𝑢𝑣𝑋𝑤 22 Se 𝑢 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 𝑧1𝑘 𝑣 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 𝑧2𝑘 𝑒 𝑤 𝑥3𝑖 𝑦3𝑗 𝑧3𝑘 temos 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑥1 𝑦2 𝑧2 𝑦3 𝑧3 𝑦1 𝑥2 𝑧2 𝑥3 𝑧3 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 De acordo com o Teorema de Laplace 𝑢 𝑣 𝑋 𝑣 𝑥1 𝑦1 𝑧1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥3 𝑦3 𝑧3 1241 Propriedades do Produto Misto 1 𝑢 𝑣 𝑤 0 𝑠𝑒 a um dos vetores for nulo b nenhum dos vetores é nulo mas dois são colineares c os três são coplanares figura 113 Fonte Elaborado pelo autor Figura 113 𝒖 𝒗 𝒆 𝒘 são coplanares 2 A ordem cíclica dos vetores não altera o produto misto Assim 𝑢 𝑣 𝑤 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑢 𝑣 3 𝑢 𝑣 𝑤 𝑟 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑟 propriedade dos determinantes 23 1242 Interpretação Geométria do Produto Misto Geometricamente o módulo do produto misto 𝑢 𝑣 𝑤 é igual ao volume de um paralelepípedo cujas arestas são representadas pelos vetores 𝑢 𝑣 𝑤 Figura 114 Fonte Elaborado pelo autor O volume do paralelepípedo é dado pela expressão 𝑉 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑜𝑢 𝑉 𝐴𝑏ℎ mas 𝐴𝑏 𝑣 𝑥 𝑢 sendo 𝜃 o ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 𝑥 𝑣 a altura do paralelepípedo é determinadao por ℎ 𝑢𝑐𝑜𝑠𝜃 Fazse necessário considerar o valor absoluto de 𝑐𝑜𝑠𝜃 pois 𝜃 pode ser obtuso portanto 𝑉 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝜃 Fazendo 𝑣 𝑥 𝑤 𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑉 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 I mas de acordo com a definição de produto interno 𝑢 𝑎 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢 𝑎 𝑢 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 II Comparando I e II temos 𝑉 𝑢 𝑎 𝑜𝑢 𝑉 𝑢 𝑣 𝑥 𝑤 𝑜𝑢 𝑉 𝑢 𝑣 𝑤 Exemplo Dados os pontos 𝐴 1 2 3 𝐵 1 0 3 𝑒 𝐶 4 2 1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 1 0 3 1 2 3 2 2 0 24 𝐵𝐶 𝐶 𝐵 4 2 1 1 0 3 5 2 4 𝐴𝐶 𝐶 𝐴 4 2 1 1 2 3 3 0 4 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 2 2 0 5 2 4 3 0 4 2 2 4 0 4 25 4 3 4 0 5 2 3 0 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐶 16 64 0 48 13 Sistema de Coordenas Cilíndricas e Sistemas de Coordenadas Esféricas 131 Sistema de Coordenas Cilíndricas Para o estudo do Eletromagnetismo são necessários sistemas de coordenadas além do cartesiano Os dois sistemas mais utilizados são o cilíndrico e o esférico Não serão considerados os tres eixos como no sistema de coordenadas cartesianas ao invés consideraremos qualquer ponto como a interseção de tres superfícies mutuamente perpendiculares Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 14 As tres superfícies mutuamente perpendiculares do sistema de coordenadas cilíndricas circulares Um ponto no espaço tridimensional é dado por Distância do ponto ao eixo 𝑧 𝜌 Ângulo que 𝜌 faz com o eixo 𝑥 Altura 𝑧 25 Os vetores unitários em coordenadas cilíndricas 𝑎𝜌 𝑒 𝑎 variam com a coordenada uma vez que suas direçoes também variam Assim em operaçoes de integração ou diferenciação em relação a 𝑎𝜌 𝑒 𝑎 não podem ser tratados como constantes Os vetores unitários são perpendiculares entre si pois cada um é normal a uma das tres superfícies mutuamente perpendiculares e assim podemos definir um sistema de coordenadas cilíndricas do tipo triedro direto onde 𝑎𝜌 𝑥 𝑎 𝑎𝑧 Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 115 Os tres vetores do sistema de coordenadas cilíndricas circulares A relação entre coordenadas retangulares e cilíndricas é Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 26 𝑦 𝜌𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑧 Ou 𝜌 𝑥2 𝑦2 𝑡𝑎𝑛1 𝑧 𝑧 Um elemento de volume diferencial em coordenadas cilíndricas pode ser obtido Fonte Hayt e Buck 2013 p 15 Figura 117 Elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas cilíndricas circulares Como 𝜌 𝑒 𝑧 têm dimensão de comprimento os elementos diferenciais são 𝑑𝜌 𝑒 𝑑𝑧 respectivamente a componente diferencial na direção de 𝑎 é 𝜌𝑑 As superfícies possuem áreas de 𝜌 𝑑𝑝 𝑑 𝑑𝑝 𝑑𝑧 𝑒 𝜌 𝑑 𝑑𝑧 O volume é 𝜌 𝑑𝑝 𝑑 𝑑𝑧 A conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e cilíndricas é feita da seguinte forma Seja 𝐴 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝐴𝑧𝑎𝑧 queremo obter 𝐴 𝐴𝜌𝑎𝜌 𝐴𝑎 𝐴𝑧𝑎𝑧 Para isto projetamos o vetor em cada uma das direções das coordenadas cilíndricas 27 𝐴𝜌 𝐴 𝑎𝜌 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎𝜌 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎𝜌 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎𝜌 𝐴 𝐴 𝑎 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎 𝐴𝑧 𝐴 𝑎𝑧 𝐴𝑥𝑎𝑥 𝑎𝑧 𝐴𝑦𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝐴𝑧𝑎𝑧 𝑎𝑧 Analisando os produtos escalares entre vetores unitários podemos resumilos Tabela 12 Produtos escalares de vetores unitarios nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas 𝒂𝝆 𝒂 𝒂𝒛 𝒂𝒙 cos sen 0 𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛 cos 0 𝒂𝒛 0 0 1 Fonte Elaborado pelo autor Exemplo Considere que em uma determinada região do espaço a temperatura em um ponto genérico 𝑃𝑥 𝑦 𝑧 pode ser expressa por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 240 𝑧2 2𝑥𝑦 Expresse a temperatura desta região no sistema de coordenadas cilíndricas Sendo 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 um campo escalar porque a cada ponto de uma determinada região do espaço é atribuida uma temperatura que é uma grandeza escalar temos 𝑇𝜌 𝑧 240 𝑧2 2𝜌2𝑠𝑒𝑛 cos podemos escrever essa equação como 𝑇𝜌 𝑧 240 𝑧2 𝜌2𝑠𝑒𝑛 2 132 Sistema de Coordenadas Esféricas Um ponto no espaço tridimensional é dado pela Distância do ponto a origem 𝑟 Ângulo que 𝑟 faz com o eixo 𝑧 𝜃 Figura 118 28 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 Figura 18 As tres coordenadas esfericas Os vetores unitários 𝑎𝑟 𝑎𝜃 𝑎 são perpendiculares enter si não são eixos são funçoes das coordenadas e formam um sistema de coordenadas cilíndricas do tipo triedro direto onde 𝑎𝑟 𝑥 𝑎 𝑎 Figura 119 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 A transformação de escalares do sistema de coordenadas cartesianas para esféricas é realizado relacionando os dois conjuntos de variáveis Figura 20 29 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 Ou 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝜃 𝑐𝑜𝑠1 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝜃 𝜋 Podemos construir um elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas incrementando 𝑟 𝜃 𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑒 𝑑 A distância entre as duas superfícies esféricas de raios 𝑟 𝑒 𝑟 𝑑𝑟 é 𝑑𝑟 a distância entre os dois cones cujos ângulos geradores são 𝜃 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 é 𝑟 𝑑𝜃 a distância entre os dois planos radiais nos ângulos 𝑒 𝑑 é definida como 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 Por meio de deduções trigonométricas concluise que as superfícies possuem áreas de 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑 𝑒 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑 e o volume é dado por 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑 Figura 120 Fonte Hayt e Buck 2013 p 19 Figura 120 O elemento de volume diferencial no sistema de coordenadas esféricas 30 Parar transformarmos escalares para o sistema de coordenadas cartesianas relacionamos os dois conjuntos de variáveis 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠 Por outro lado a transformação do sistema de coordenadas cartesianas para escalares se dá por 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟 0 𝜃 𝑐𝑜𝑠1 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 0 𝜃 180 𝑡𝑔1 𝑦 𝑥 Para fazermos a conversão de componentes escalares entre coordenadas retangulares e esféricas podemos utilizar a seguinte tabela Tabela 13 Produtos escalares de vetores unitários nos sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas 𝒂𝒓 𝒂𝜽 𝒂 𝒂𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos cos 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 𝒂𝒚 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 cos 𝜃 sen 𝜃 cos 𝒂𝒛 cos sen 𝜃 0 Fonte Elaborado pelo autor Para ilustrar a construção da tabela 𝑎𝑟 𝑎𝑥 é obtido pela projeção de 𝑎𝑟 no plano 𝑥𝑦 resultando em 𝑠𝑒𝑛 𝜃 depois projetase sen 𝜃 no eixo 𝑥 o que nos leva a 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos Exemplo Expresse o vetor unitáiro 𝑎𝑥 em coordenadas esféricas no ponto 𝑟 2 𝜃 1 𝑟𝑎𝑑 08 𝑟𝑎𝑑 31 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑎𝑥 𝑎𝜃𝑎𝜃 𝑎𝑥 𝑎𝑎 𝑠𝑒𝑛 1cos 08𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠 1 cos 08𝑎𝜃 𝑠𝑒𝑛 08𝑎 059𝑎𝑟 038𝑎𝜃 072𝑎 Conclusão Este bloco foi dedicado a revisão de Cálculo Vetorial Essa revisão se faz importante porque o Cálculo Vetorial é fundamental para o entendimento das relações que envolvem os campos elétricos e magnéticos Iniciamos revisando a Álgebra Vetorial passando pela caracterização de Escalares e Vetores avançamos no estudo dos mecanismos e das propriedades da Soma e Subtração de Vetores e do Produto por um Escalar Revisados os conceitos de Álgebra Vetorial partimos para o estudo do Sistema de Coordenadas Retangulares e dos Componentes de Vetores e Vetores Unitários Boa parte deste bloco foi dedicada a revisão de Produto de Vetores incluindo suas interpretações geométricas Terminamos esse bloco revisando os conceitos e representações geométricas dos Sistemas de Coordenas Cilíndricas e Esféricas No decorrer na revisão foram apresentados exemplos para fixar os conceitos É importante recorrer aos materiais indicados para aprofundar sua revisão visando garantir sua compreensão dos conteúdos vindouros REFERÊNCIAS BOSQUILHA A Et al Manual compacto de matemática 1ª ed São Paulo Rideel 2010 HAYT W H E BUCK J A Eletromagnetismo 8ª ed Porto Alegre AMGH 2013 SANTOS F S FERREIRA S F Geometria Analítica Porto Alegre Bookman 2009 SHADIKU M NO Elementos do Eletromagnetismo 3ª edição Porto Alegre Bookman 2004 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI In Britannica Escola Web 2020 Disponível em httpsescolabritannicacombrartigoSistemaInternacionalde UnidadesSI483009 Acesso em 14 de jun 2020