Exercício Resolvido-2022 2

→ P 5.6 Calcule a capacitância do capacitor visto na Figura 5.19. Figura 5.19 C = \frac{2\varepsilon_0A \cdot \frac{K_1 \cdot K_2}{K_1 + K_2}}{d} → P 6.4 A Figura 6.20 mostra um cone feito de material com resistividade \rho, com a ponta aparada por um plano paralelo à base. As duas faces circulares do corpo têm raios a e b, e foram metalizadas. Supondo que \rho seja muito maior do que a resistividade do metal depositado nas faces circulares, calcule a resistência elétrica entre essas faces. R = \frac{\rho h}{\pi ab} Figura 6.20 (Problena 6.4) Vamos supor que há uma carga +Q em uma das placas e -Q em outra. Assim, o campo elétrico na parte inferior da região entre as placas será Ei = \frac{q}{K_2\varepsilon_0A} e o campo elétrico na parte superior da região entre as placas será Es = \frac{q}{K_1\varepsilon_0A} Se \frac{d}{2} for a espessura de cada dielétrico. A ddp entre as placas será V = \frac{E_i \cdot d}{2} + \frac{E_s \cdot d}{2} = \frac{q\cdot d}{2K_1 \varepsilon_0A} + \frac{q\cdot d}{2K_2\varepsilon_0A} = \frac{q\cdot d}{2\varepsilon_0A}\left(\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}\right) V = \frac{q \cdot d}{2\varepsilon_0A}\cdot\frac{K_1 + K_2}{K_1 \cdot K_2} Logo, C = \frac{q}{V} = \frac{q}{\frac{q \cdot d}{2\varepsilon_0A}\cdot\frac{K_1 + K_2}{K_1 \cdot K_2}} \Rightarrow C = \frac{2\varepsilon_0A\cdot K_1 \cdot K_2}{d} \cdot \frac{1}{K_1 + K_2} Vamos calcular a resistência sobre cada disco fino e depois integrar para encontrar a resistência total. \nu = a + \left(\frac{y_g}{h}\right)(b-a) = a + yg\beta, \beta = \frac{(b-a)}{h} \text{* raio de um cone a uma distância yg acima do fundo} Assim dR = \frac{\rho \cdot dy}{A} = \frac{\rho \cdot dy}{\pi \cdot r^2} = \frac{\rho \cdot dy}{\pi(a+\beta y_g)^2} Então, a resistência total será R = \int dR = \frac{\rho}{\pi} \int_0^h \frac{dy}{(a+\beta y_g)^2} = \frac{\rho}{\pi}\left[-\frac{1}{\beta}(a+ y_g\beta)^{-1}\right]_0^h = -\frac{\rho}{\pi\beta}\left[\frac{1}{a+h\beta} - \frac{1}{a}\right] Mas como a+h\beta = b R = \frac{\rho}{\pi\beta}\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right] = \frac{\rho}{\pi}\left(\frac{h}{b-a}\right)\cdot\left(\frac{b-a}{ab}\right) = \frac{\rho h}{\pi ab}