Transferência de Calor Distribuição de Temperatura

a b c d e f g h Unidade em metros K50Wm K ValorTemp100 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp100 d Valor Temp100 e Valor Temp100 f fluxo de calor0 g fluxo de calor0 h Caso 1 APSGylles Temp max min 100 102 990 980 930 930 870 870 810 780 750 720 690 630 600 570 540 510 488 468 X Temp APSGylles Temp 99 96 93 90 87 84 81 0 03 06 09 12 15 18 21 Y Temp APSGylles 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 0 05 10 15 20 25 30 Y Temp APSGylles 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 0 05 10 15 20 25 30 35 40 Distance ValorTemp100 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp80 d Valor Temp100 e Valor Temp100 f fluxo de calor0 g fluxo de calor0 h Caso 2 APSGylles Temp max min 100 102 990 980 930 930 870 870 810 780 750 720 690 630 600 570 540 510 488 468 Y X Temp APSGylles Temp 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 0 03 06 09 12 15 18 21 Y Temp APSGylles 100 95 90 85 80 75 70 0 05 10 15 20 25 30 Y Temp APSGylles 100 95 90 85 80 75 70 65 60 0 05 10 15 20 25 30 35 40 Distance fluxo de calor0 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp80 d Valor Temp100 e Valor Temp100 f fluxo de calor0 g fluxo de calor0 h Caso 3 APSGylles Temp max min 100 102 990 980 930 930 870 870 810 780 750 720 690 630 600 570 540 510 488 468 Y X Temp APSGylles Temp 87 84 81 78 75 0 03 06 09 12 15 18 21 Y Temp APSGylles 85 80 75 70 65 60 55 0 05 10 15 20 25 30 Y Temp APSGylles 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 0 05 10 15 20 25 30 35 40 Distance fluxo de calor0 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp80 d Valor Temp100 e fluxo de calor0 f fluxo de calor0 g fluxo de calor0 h Caso 4 APSGylles Temp max 100 102 990 980 930 900 870 840 810 780 750 720 690 660 630 600 570 540 510 488 488 min fluxo de calor0 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp80 d Valor Temp100 e fluxo de calor0 f Valor Temp0 g fluxo de calor0 h Caso 5 APSGylles APSGylles APSGylles Temp APSGylles Temp Caso 6 ValorTemp80 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp20 d Valor Temp100 e fluxo de calor0 f Valor Temp0 g Valor Temp30 h APSGylles Temp max 100 100 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 500 000 min Caso 7 ValorTemp80 a ValorTemp50 b ValorTemp100 c Valor Temp20 d Valor Temp100 e fluxo de calor0 f Valor Temp0 g Valor Temp100 h APSGylles Temp max 1000 1000 950 950 900 850 850 780 780 750 650 680 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 min Temp APSGylles Temp APSGylles Temp APSGylles Temp Caso 8 ValorTemp80 a ValorTemp50 b fluxo de calor100 c Valor Temp20 d fluxo de calor100 e fluxo de calor0 f fluxo de calor0 g Valor Temp100 h APSGylles Temp max 101 105 100 950 950 900 850 850 780 750 650 600 550 500 450 400 350 300 28 8 min Temp APSGylles Temp APSGylles Temp APSGylles Temp Caso 9 ValorTemp180 a ValorTemp50 b fluxo de calor000 c Valor Temp20 d fluxo de calor000 e fluxo de calor0 f fluxo de calor0 g Valor Temp100 h APSGylles Temp max 180 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 28 8 min Temp APSGylles Temp APSGylles Temp APSGylles Temp Caso 10 fluxo de calor0 a ValorTemp50 b fluxo de calor000 c Valor Temp200 d fluxo de calor0 e fluxo de calor0 f fluxo de calor0 g Valor Temp80 h APSGylles Temp max 200 min 380 Temp max 200 min 580 Temp max 200 min 001 Caso 11 fluxo de calor0 a ValorTemp50 b Valor Temp80 c Valor Temp200 d fluxo de calor0 e fluxo de calor0 f fluxo de calor0 g fluxo de calor0 h APSGylles Temp max 200 min 380 Temp max 200 min 580 Temp max 200 min 001 Caso 12 ValorTemp0 a ValorTemp50 b Valor Temp80 c Valor Temp200 d Valor Temp0 e ValorTemp0 f Valor Temp0 g ValorTemp0 h APSGylles Temp max 200 min 380 Temp max 200 min 580 Temp max 200 min 001 Caso 13 fluxo de calor0 a ValorTemp50 b Valor Temp80 c Valor Temp200 d fluxo de calor0 e fluxo de calor0 f Valor Temp0 g ValorTemp0 h APSGylles Temp max 200 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 900 800 700 600 500 400 300 200 100 000 min APSGylles APSGylles APSGylles APSGylles Temp Temp Temp Temp Distance X Y UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Apucarana Curso de Bacharelado em Engenharia Química TRANSFERÊNCIA DE CALOR APS 2 CASO 1 ACADÊMICOS BIANCA RAFAELLE DA SILVA GIOVANA GENARI CARMONA PAULO AKEJI MORIYAMA SATO VITOR BORSATTO FERNANDES RA 2103737 2103818 2103940 2150387 APUCARANA 2022 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO3 2 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO NUMÉRICA4 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES8 4 CONCLUSÕES10 5 ANEXO DO PROGRAMA11 RESUMO Neste artigo vamos aplicar o método das equações de diferenças finitas a fim de encontrar as temperaturas em vários pontos de uma placa com seção simétrica de um fluxo de canal com geração de calor e assim determinar a distribuição de calor sob a figura Utilizando a metodologia vista em aula onde dividese a figura como uma malha de forma igual e simétrica e aplicando os conceitos de cálculo de calor em cada um dos nós formados podese determinar a distribuição de temperatura sob a placa em diferentes pontos Deste modo com o auxílio de um software foi possível plotar os gráficos de distribuição de temperatura sob a placa onde podemos identificar onde está o maior fluxo de calor e como percorre a distribuição calorífica na figura 3 1 INTRODUÇÃO Com os problemas bidimensionais ou tridimensionais envolvendo geometrias e condições de contorno que impossibilitam as resoluções é comum a utilização da técnica chamada de Método Numérico como diferenças finitas elementos finitos ou elementos de contorno Para a determinação numérica da distribuição de temperaturas necessitase de uma equação para cada um dos pontos nodais ponto de referência ou nó com temperaturas desconhecidas sendo que com a resultante de equações determina se as mesmas Pelo Método do Balanço de Energia é possível obter a equação de diferenças finitas por meio da suposição em que todos os fluxos térmicos estão sendo direcionados para dentro do ponto nodal e o método pode ser utilizado por diferentes fenômenos como a presença de fontes de calor problemas contendo múltiplos materiais e superfícies expostas que não estejam na direção de um eixo do sistema coordenado E o trabalho foi realizado com o intuito de obter a distribuição de temperatura por meio do desenvolvimento das Equações de Diferenças Finitas sendo realizado o Balanço de Energia para encontrar uma matriz e pelo Matlab criar um gráfico das temperaturas obtidas 4 2 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO NUMÉRICA Um método numérico muito utilizado se trata do método de volumes finitos Esse método necessita de uma equação de balanço de energia para cada ponto teórico denominado Dessa forma possuímos pontos internos onde a temperatura de cada ponto depende exclusivamente da temperatura dos pontos vizinhos pontos de fronteira com fluxo de calor em que a temperatura do ponto depende dos três pontos vizinhos e do fluxo de calor incidente no mesmo e pontos de simetria ou de fronteira sem fluxo de calor onde a derivada da temperatura em relação a posição é zero fluxo de calor igual a zero Conforme a figura 1 a baixo o caso estudado possui coordenadas cartesianas um fluxo de calor da esquerda para direita um eixo de simetria na direita e exposição á 100C tanto na parte superior quanto na parte inferior Figura 1 Caso desenvolvido Fonte APS 2022 Conforme a figura do caso a mesma foi dividia em 55 pontos com temperaturas desconhecidas e a uma distância de 025 metros entre cada um 5 Figura 2 Divisão dos pontos Fonte Autoria própria 2022 Pontos internos 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚1𝑛 4𝑇𝑚𝑛 0 Pontos de fronteira com fluxo de calor 2𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛1 2𝑞𝑥 𝑘 4𝑇𝑚𝑛 0 Pontos de fronteira sem fluxo de calor 2𝑇𝑚1𝑛 𝑇𝑚𝑛1 𝑇𝑚𝑛1 4𝑇𝑚𝑛 0 Pontos de fronteira sem fluxo de calor possui a mesma equação de balanço porém o termo que contém o fluxo é zero Por meio das equações descritas anteriormente foi possível encontrar as seguintes equações para cada um dos pontos do caso Pontos internos 2 𝑇1 4𝑇2 𝑇3 𝑇15 100 3 𝑇2 4𝑇3 𝑇4 𝑇16 100 4 𝑇3 4𝑇4 𝑇5 𝑇17 100 5 𝑇4 4𝑇5 𝑇6 𝑇18 100 6 𝑇5 4𝑇6 𝑇7 𝑇19 100 7 𝑇6 4𝑇7 𝑇8 𝑇20 100 8 𝑇7 4𝑇8 𝑇9 𝑇21 100 9 𝑇8 4𝑇9 𝑇10 𝑇22 100 10 𝑇9 4𝑇10 𝑇11 𝑇23 100 11 𝑇10 4𝑇11 𝑇12 𝑇24 100 12 𝑇11 4𝑇12 𝑇13 𝑇25 100 6 15 𝑇2 𝑇14 4𝑇15 𝑇16 𝑇28 0 16 𝑇3 𝑇15 4𝑇16 𝑇17 𝑇29 0 17 𝑇4 𝑇16 4𝑇17 𝑇18 𝑇30 0 18 𝑇5 𝑇17 4𝑇18 𝑇19 𝑇31 0 19 𝑇6 𝑇18 4𝑇19 𝑇20 𝑇32 0 20 𝑇7 𝑇19 4𝑇20 𝑇21 𝑇33 0 21 𝑇8 𝑇20 4𝑇21 𝑇22 𝑇34 0 22 𝑇9 𝑇21 4𝑇22 𝑇23 𝑇35 0 23 𝑇10 𝑇22 4𝑇23 𝑇24 𝑇36 0 24 𝑇11 𝑇23 4𝑇24 𝑇25 𝑇37 0 25 𝑇12 𝑇24 4𝑇25 𝑇26 𝑇38 0 28 𝑇15 𝑇27 4𝑇28 𝑇29 𝑇41 0 29 𝑇16 𝑇28 4𝑇29 𝑇30 𝑇42 0 30 𝑇17 𝑇29 4𝑇30 𝑇31 𝑇43 0 31 𝑇18 𝑇30 4𝑇31 𝑇32 100 32 𝑇19 𝑇31 4𝑇32 𝑇33 100 33 𝑇20 𝑇32 4𝑇33 𝑇34 100 34 𝑇21 𝑇33 4𝑇34 𝑇35 100 35 𝑇22 𝑇34 4𝑇35 𝑇36 100 36 𝑇23 𝑇35 4𝑇36 𝑇37 100 37 𝑇24 𝑇36 4𝑇37 𝑇38 100 38 𝑇25 𝑇37 4𝑇38 𝑇39 100 41 𝑇28 𝑇40 4𝑇41 𝑇42 𝑇45 0 42 𝑇29 𝑇41 4𝑇42 𝑇43 𝑇46 0 43 𝑇30 𝑇42 4𝑇43 𝑇44 𝑇47 0 45 𝑇41 𝑇44 4𝑇45 𝑇46 𝑇49 0 46 𝑇42 𝑇45 4𝑇46 𝑇47 𝑇50 0 47 𝑇43 𝑇46 4𝑇47 𝑇48 𝑇51 0 49 𝑇45 𝑇48 4𝑇49 𝑇50 𝑇53 0 50 𝑇46 𝑇49 4𝑇50 𝑇51 𝑇54 0 51 𝑇47 𝑇50 4𝑇51 𝑇52 𝑇55 0 53 𝑇49 𝑇52 4𝑇53 𝑇54 100 54 𝑇50 𝑇53 4𝑇54 𝑇55 100 55 𝑇51 𝑇54 4𝑇55 200 7 Pontos de fronteira sem fluxo de calor 13 2𝑇12 4𝑇13 𝑇26 100 26 𝑇13 2𝑇25 4𝑇26 𝑇39 0 39 𝑇26 2𝑇38 4𝑇39 100 Pontos de fronteira com fluxo de calor 1 4𝑇1 2𝑇2 𝑇14 100 14 𝑇1 4𝑇14 2𝑇15 𝑇27 10 27 𝑇14 4𝑇27 2𝑇28 𝑇40 10 40 𝑇27 4𝑇40 2𝑇41 𝑇44 10 44 𝑇40 4𝑇44 2𝑇45 𝑇48 10 48 𝑇44 4𝑇48 2𝑇49 𝑇52 10 52 𝑇48 4𝑇52 2𝑇53 110 Após encontrarse as equações para cada um dos 55 pontos foi possível produzir uma matriz 55x55 posteriormente desenvolver a matriz por meio do software matlab e por fim encontrar a distribuição de temperatura dos pontos 8 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES Após ter sido feito o programa no Matlab para resolver as cinquenta e cinco equações pelo método numérico e obter a distribuição de temperatura da malha definida para o caso 1 foi programado para fazer dois gráficos de temperatura por distância Na Figura 1 é dado a distribuição de temperatura para um valor constante de 15 metros para Y e variando o valor de X de 0 até 3 metros T X 15 onde foi obtido o seguinte gráfico Figura 3 Distribuição de temperatura em Y 15 metros e X variando Fonte Autoria própria 2022 Por meio da Figura 3 é possível observar que quanto mais próximo de X0 metros maior a temperatura isso se deve pois é exatamente nesta aresta da figura que se encontra o fluxo de calor de 1000 Wm2 e conforme vai aumentando os valores de X a temperatura vai caindo devido as paredes laterais estarem a uma temperatura menor de 100C dessa forma vai resfriando conforme mais distante da aresta onde está entrando o fluxo de calor até chegar em uma temperatura constante de 100C 9 Já na Figura 4 é dado a distribuição de temperatura em X 05 metros e variando os valores de Y T 05 Y dessa forma sendo obtido o seguinte gráfico Figura 4 Distribuição de temperatura em X 05 metros e Y variando Fonte Autoria própria 2022 A Figura 4 é um gráfico que se assemelha muito à uma parábola ao se fazer uma análise sobre ele é observado que nos pontos onde Y0 metros e Y2 metros a temperatura é de 100C que é a temperatura na parede e conforme vai se afastando das paredes a temperatura vai aumentando justamente pois a troca de calor com as paredes diminui e como está entrando um fluxo de calor em X0 metros a temperatura vai aumentando quanto mais distante das paredes dessa forma em Y1 metro a temperatura é máxima pois é o ponto onde ocorre menos transferência de calor 10 4 CONCLUSÕES Com base nos resultados obtidos e a plotagem dos gráficos podemos concluir que o fluxo de calor é maior quando x se aproxima de 0 pois tem um grande fluxo de calor de 1000 Wm2 e conforme ele vai se afastando e se aproximando das outras laterais a temperatura diminui pois elas estão a 100C causando resfriamento nos limites da placa Quando os pontos se afastam das laterais observase que a temperatura aumenta pois a troca de calor com as laterais diminui 11 5 ANEXO DO PROGRAMA clear Por meio das equações e análise da malha foram feitas 55 equações para 55 temperaturas diferentes matriz dos coeficientes 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 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110 100 100 200 20 sol1Ab resolve o sistema linear por método direto Com os valores das temperaturas vamos agora programar os gráficos Para o gráfico onde X varia Tx15 Tempsol11426 EixoX00253 figure1 plotEixoXTemp ylabelTemperaturaC xlabelXm grid on Para o gráfico onde Y varia T05y xsol154 50 46 42 29 16 3 xxtranspondo x para ter apenas uma linha e concatenar posteriormente Temp2100 x 100 Eixox00252 figure2 plotEixoxTemp2 ylabelTemperaturaC xlabelYm grid on