Lista de Exercícios 2 Física Estatística-2021 2

FıSICA ESTATıSTICA LISTA 2 1 Quatro moedas diferentes sao lancadas de uma so vez Vamos designar o resultado de cada lancamento de microestado assim um possıvel microestado seria M1 M2 M3 M4 HTTT a Construa uma tabela com todos os microestados possıveis b Aplicando o princıpio de igual probabilidade a priori determine a probabilidade de se obter cada um dos seguintes macroestados a macroestado 1 quatro caras b macroestado 2 trˆes caras c macroestado 3 duas caras d macroestado 1 uma cara e macroestado 5 nenhuma cara 2 Considere um conjunto de N partıculas distintas Suponha que cada uma destas partıculas so possa assumir valores definidos de energia 0 e 2e 3e etc e que a energia total e fixa em E re onde r 0 1 2 As partıculas podem trocar energia atraves de algum mecanismo mas como o sistema esta isolado a energia total e fixa Vocˆe deve determinar todos os macroestados distribuicoes de energia da forma N0 partıculas com energia ε0 0 N1 partıculas com energia ε1 e N2 partıculas com energia ε2 2e compativeis com os vınculos N0 N1 N2 N3 N ε0 N0 ε1 N1 ε2 N2 ε3 N3 E A tabela 1 a tıtulo de exemplo contem para N 4 e r 4 todos os macroestados possıveis e para cada macroestado k o numero de microestados Ωk que lhe correspondem A probabilidade pk de cada macroestado consta na ultima coluna onde a quantidade ΩTE e o numero total 1 de microestados de energia E N 4 E 4e N0 N1 N2 N3 N4 Ωk pk ΩkΩT Macroest 1 3 0 0 0 1 4 435 Macroest 2 2 1 0 1 0 12 1235 Macroest 3 2 0 2 0 0 6 635 Macroest 4 1 2 1 0 0 12 1235 Macroest 5 0 4 0 0 0 1 135 Tabela 1 tabela indicativa dos macroestados 2 a Construa uma tabela para N 8 e r 8 Determine o ntmero total QrF de microes tados b Facga o grafico de Ne i 6 0 rétulo do estado de energia para o macroestado mais provavel Qual o tipo de curva que melhor se ajusta a este grafico Use 0 programa SciDAVis para fazer o ajuste c Determine 0 nimero médio de particulas em cada estado de energia Para fazer este calculo consulte a tabela O numero médio de particulas no 7ésimo estado de energia sera entao dado por N So pe i k onde k é 0 rétulo do macroestado Em seguida faca 0 grafico N Qual o tipo de curva que melhor se ajusta a este grafico Use o programa SciDAVis para fazer 0 ajuste Referéncias Eisberg e Resnick Fisica Quantica Apéndice C D H Trevena Statistical Mechanics Nota Seja um conjunto de N particulas distintas onde cada particula pode assumir somente valores definidos de energia 0 e 2e 3e etc Se estas particulas dividem entre si uma quantidade de energia EF re onde r é um numero inteiro nao negativo entao uma expressao para oO numero total de microestados 27 em fungao de r e N é dado por r N1 Qe rN 1 3 3 Considere um sistema de seis Bésons distribuidos em niveis de energia igualmente espacados Eg 0 1 2 2 3 3 etc Suponha que cada nivel possua trés estados degenerados g 3 para qualquer nivel j e que a energia total disponivel para o sistema seja EK 6e a Quantos niveis de energia o sistema possui b Determine todos os macroestados No N23 compativeis com os vinculos do sistema c Faga um diagrama de nivelcompartimento para cada macroestado Porém para evitar detalhamentos excessivos e desnecessarios pois o numero de microestados é muito grande represente somente um tinico microestado no diagrama d Determine o peso estatistico Q de cada macroestado k é 0 rotulo do macroestado Qual o numero total Qr de microestados Qual a probabilidade p de cada macroestado Qual é o macroestado mais provavel e Determine o ntimero médio N de particulas do jésimo nivel quantico dado pela expressao 1 Nj peNix Op Dd 2Nix k k onde Or SO O k Compare NoN N23 com o macroestado mais provavel NoNN2N3 ve 4 Repita o problema anterior porém agora as particulas seguem o principio da exclusao de Pauli Férmions 4 5 Considere um sistema de N partıculas distintas e nao interagentes em equilıbrio termico com um reservatorio na temperatura T representacao canˆonica Cada partıcula possui dois estados individuais de energia ε e ε a Determine a funcao particao Zβ N do sistema b Calcule Eβ N c Determine o limite de E quando β tende ao infinito d Calcule CV β N e Determine o limite de CV quando β tende ao infinito f Mostre que a entropia Sβ N e dada por S Nk lneβε eβε Nkβε eβε eβε eβε eβε g Determine o limite de S quando β tende ao infinito h Escreva as probabilidades p e p de se encontrar uma partıcula com energias ε e ε respectivamente i Determine os valores de p e p quando β tende ao zero 5 6 Considere um sistema de 5 partıculas distintas e nao interagentes cada qual pode ter somente energias ε ne n 0 1 2 3 e 0 015 eV Estes sao os estados individuais de energia Como as partıculas nao interagem a energia do sistema pode ser escrita como uma soma de energias privadas E ε1 ε2 ε3 ε4 ε5 n1e n2e n3e n4e n5e A soma certamente resultara num multiplo de e ou seja E αe onde α 0 1 2 3 a Complete a tabela da degenerescˆencia ao menos ate r 10 estado r Nivel de energia ΩE do sistema do sistema 1 E 0 1 2 E e 5 3 10 E 10e 1001 6 b Calcule a funcao particao do sistema c Considerendo βe 12 avalie esta funcao particao d Tendo a funcao particao determine a distribuicao de probabilidades pr probabilidade de se encontrar o sistema em um dado estado r de energia Er e Determine a distribuicao de probabilidades pEr probabilidade do sistema ter um certa energia Er f Trace em um mesmo grafico pr ΩE e pE em funcao de E 7 N 8 E 8e N0N1N2N3N4N5N6N7N8 Wk pk Wk Ω 1 700000001 8 86435 2 080000000 1 16435 3 404000000 70 706435 4 600101000 56 566435 5 601000100 56 566435 6 502010000 168 1686435 7 161000000 56 566435 8 331100000 1120 11206435 9 340010000 280 2806435 10 511001000 336 3366435 11 510110000 336 3366435 12 610000010 56 566435 13 520000100 168 1686435 14 430001000 280 2806435 15 421010000 840 8406435 16 250100000 168 1686435 17 501200000 168 1686435 18 323000000 560 5606435 19 242000000 420 4206435 20 420200000 420 4206435 21 412100000 840 8406435 22 600020000 28 286435 Ω 6435 Macroestado mais provável N0N1N2N3N4N5N6N7N7 331100000