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Matemática ·
Álgebra Linear
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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro AD2 Álgebra Linear II 20232 AVISO É obrigatório nas resoluções de sistemas lineares reduzir por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema Questão 1 24 pontos Seja Π o plano gerado por v1 354 e v2 266 Considere o operador linear T reflexão com respeito ao plano Π a 10 pt Dê exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T indicando os seus autovalores b 06 pt Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza T e a sua correspondente matriz diagonal D c 08 pt Determine a matriz A que representa T na base canônica do R3 Questão 2 29 pontos Seja v 425 a 16 pts Determine uma base ortonormal β u1 u2 u3 do R3 tal que u3 tenha mesma direção e sentido de v e u1 u2 u3 b 03 pt Determine a matriz Aβ que representa na base β a rotação de π radianos no sentido positivo em torno da reta ℓ gerada por v c 10 pt Determine a matriz A que representa na base canônica a rotação de π radianos no sentido positivo em torno da reta ℓ gerada por v Questão 3 21 pontos Sejam abc números reais e consideremos o operador linear definido por Txyz 136 x ay 572 z 736 x by 372 z 236 x cy 872 z a 03 pt Determine a matriz de T na base canônica b 14 pts Determine os números reais abc para que T seja um operador ortogonal c 04 pt Quantos operadores ortogonais há Justifique a sua resposta Questão 4 14 pontos Seja T a projeção ortogonal sobre a reta normal a 2021 passando pela origem a 06 pt Dê exemplo de uma base ortonormal do R2 formada por autovetores de T indicando os autovalores b 08 pt Determine Txy Questão 5 12 pontos Determine todos os operadores ortogonais T R2 R2 tais que T10 tenha mesma direção e sentido do vetor u 1160 Base ortogonal B 1 0 0 0 1 514 1 0 0 189377 35377 1 u1 u2 u3 Módulo dos vetores u1 1²0²0² 1 u2 0²514²1² 22114 u3 189377² 35377² 1² 519377 Base ortonormal BN 1 0 0 0 14221 514 10 0 377519 189377 35377 1 b P matriz dos autovetores P 1 0 189377 0 514 35377 0 1 1 2 v 4 2 5 página 9 a u1 x1 y1 z1 u2 x2 y2 z2 u3 k v 4 k 2 k 5 k u1 x u2 i j k i y1 z2 y2 z1 j x2 z1 x1 z2 k x1 y2 x2 y1 y1 z2 y2 z1 x2 z1 x1 z2 x1 y2 x2 y1 k4 k2 k5 Fazendo k 2 y1 z2 y2 z1 x2 z1 x1 z2 x1 y2 x2 y1 8 4 10 x1 6 x2 9 y1 2 y2 3 z1 4 z2 2 satisfazem a igualdade u1 6 2 4 u2 9 3 2 u3 8 4 10 u1 6² 2² 4² 244 u2 4² 3² 2² 29 u3 8² 4² 10² 65 Base ortonormal β 6244 2244 4244 429 329 229 865 465 1065 3 T 136 9 572 736 b 372 236 c 872 PAGINA 13 a T100 136 172 T010 abc T001 172 538 b Os vetores devem ser ortogonais 136 172abc 0 a7b2c0 172 538abc 0 5a3b8c0 a 3119 c b 119 c c c Se c19 abc 31119 c Como há um valor ilimitado para c que é independente há um número ilimitado de operadores ortogonais da forma dada no enunciado PAGINA 14 c R já está na base canônica PAGINA 12 R100 145 13 16 40 R010 145 16 37 20 R001 145 40 20 5 A 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 λ2 1 T I û2 0 441841 420841 420841 4008410 0 PAGINA 16 L1 L1 841441 1 2021 420841 400841x y 0 0 x 2021 y y y û2 2021 1 Base 2120 1 2021 1 b Tx y 1841 400x 420y 420x 441y 5 a b c d1 0 k 11 60 PAGINA 17 T a k 11 c k 60 a c ū1 22 120 k 2 escolhermos T é ortogonal ū2 b d ū1 ū2 22 120 b d 0 22b 120d 0 11b 60d b 6011 d d é qualquer Fazendo d 1 b 6011 T 22 6011 120 1 Forma geral T 11k 6011 d 60k d k e d podem ser qualquer 4 Tx y ū v v v v xy2021 20212021 2021 PAGINA 15 ū x y v 20 21 Tx y 20x 21y 400 441 20 21 T x y 400x 420y 841 420x 441y 841 T 1841 400 420 420 441 Autovalores detT λI 0 1841 400 λ 420 420 441 λ 400 λ441 λ841 4202841 0 λ² 400λ 441λ 400441 420² 0841 λλ 1 0 λ1 0 λ2 1 autovalores Autovetores λ1 0 T 0I ū1 0 400841 420841 420841 441841x y 0 0 L1 L4 841400 1 2120 420841 441841x y 0 0 x 2120 y y y ū1 2120 1 PAGINA 2 X a 27c Y 275 a 145 b 5c Z b 14c matricialmente 1 0 27 x 275 145 5 y 0 1 14 z Redução eliminação de Gauss L2 L2 275 L1 1 0 27 x 0 145 7545 27x 54y 5 0 1 14 z L3 L3 514 L2 1 0 27 x 0 145 7545 27x 54y 5 0 0 4757 27x 5y 14z 14 Solução a 221x 135y 378z 950 b 189x 35y 377z 950 c 27x 5y 14z 950 PAGINA 3 Rxyz Txyz a 1 275 0 b0 145 1 c27514 221x 135y 378z 950 1 275 0 189x 35y 377z 9500 145 1 27x 5y 14z950 27514 Txyz x 13232375x 426475y 26392375z 189950x 7190 573950 z Txyz 1 13232375 189950 x 0 426475 7190 y 0 26392375 573950 z PAGINA 5 x x 1 0 0 0 514 1 y 514 z x 1 0 0 z 0 514 1 z z Autovetores 1 0 0 e 0 514 1 λ λ1 λ3 12 T 12 I v3 0 12 13232375 189950 0 0 377950 7190 0 0 26392375 49475 0 L4 241 L2 950377 L2 1 26462375 189475 0 0 1 35377 0 0 26392375 49475 0 L3 L3 26392375 L2 L1 L1 26462375 L2 1 0 189377 0 0 1 35377 0 0 0 0 0 x 189377 z y 35377 z z z r x y z z 189377 35377 1 Vamos calcular a inversa de P Página 7 P1 1 0 189377 1 0 0 0 514 35377 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Eliminação de Gauss L2 145 L2 L3 L3 L2 e L3 0 377475 L3 1 0 189377 1 0 0 0 1 98377 0 145 0 0 0 1 0 5275 377475 L2 L2 98377 L3 L1 L1 189377 L3 1 0 189377 1 0 0 0 1 0 0 52782375 98475 0 0 1 0 52782375 377475 1 0 0 1 26462375 189475 0 1 0 1 52782375 98475 0 0 1 0 52782375 377475 P1 T P 1 26462375 189475 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 573950 1 0 189377 0 514 35377 0 1 1 1 0 0 D a matriz dos autovalores de T 0 1 0 0 0 12 Autovetores e autovalores Página 4 detT λI 0 1 λ 13232375 189950 0 426475 λ 7190 0 26392375 573950 λ 0 12 λ 12λ² 3λ 1 0 Autovalores λ 1 0 λ₁ 1 2λ² 3λ 1 0 λ 3 9 421 22 3 1 4 λ₂ 1 λ₃ 12 λ₁ λ₂ λ λ₁ λ₂ 1 T λ₁ I v₁ 0 T I v₁ 0 0 13232375 189950 0 0 49475 7190 0 0 26392375 377950 0 L₁ L₁ 23751323 L₂ L₂ 49475 L₁ 0 1 514 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L₃ L₃ 26392375 L₁ γ 514 z x x 1 𝑣₁ 3 5 4 𝑣₂ 2 6 6 Página 1 Plano II 𝑣₁ x 𝑣₂ i j k 3 5 4 2 6 6 i30 24 j8 18 k18 10 𝑣₁ x 𝑣₂ i54 j10 k28 54 10 28 Podemos escrever x y z 54 10 28 54x 10y 28z 0 27x 5y 14z 0 Plano II y 27x 14z 5 x y z x 275 x 145 z z x y z x1 275 0 z0 145 1 Esses dois vetores o vetor normal ao plano II formam uma base de ℝ³ B 1 275 0 0 145 1 27 5 14 T é operador de reflexão Txyz aT1 275 0 bT0 145 1 cT27 5 14 1 275 0 0 145 1 27 5 14 Txyz a1 275 0 b0 145 1 c27 5 14 Base canônica R3 100 010 001 T100 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 5739501 0 0 1 0 0 T100 100 T010 13232375 426475 26392375 T001 189950 7190 573950 A 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 573950 A T T já está na base de R3 PÁGINA 8 β 314 114 214 429 329 229 435 235 535 b xyz 435 235 535 C cosπ 1 S sinπ 0 vecv 42 22 52 35 R c 1cx² 1cxy sz 1cxz sy 1cxy sz c 1cy² 1cyz sx 1cxz sy 1cyz sx c 1cz² R 111x² 11xy 11xz 11xy 111y² 11yz 11xz 11yz 111z² R 12x² 2xy 2xz 2xy 12y² 2yz 2xz 2yz 12z² x 435 x² 1645 y 235 y² 445 z 535 z² 59 R 1345 1645 89 1645 3745 49 89 49 19 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 matriz de rotação PÁGINA 10 b Na base β µ1 µ2 µ3 PÁGINA 11 Rµ1 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 114 3 1 2 31414 1414 147 Rµ2 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 129 4 3 2 42929 32929 22929 Rµ3 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 135 4 2 5 2845675 3855675 195135 Aβ 31414 42929 2845675 1414 32929 385675 147 22929 195135
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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro AD2 Álgebra Linear II 20232 AVISO É obrigatório nas resoluções de sistemas lineares reduzir por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema Questão 1 24 pontos Seja Π o plano gerado por v1 354 e v2 266 Considere o operador linear T reflexão com respeito ao plano Π a 10 pt Dê exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T indicando os seus autovalores b 06 pt Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza T e a sua correspondente matriz diagonal D c 08 pt Determine a matriz A que representa T na base canônica do R3 Questão 2 29 pontos Seja v 425 a 16 pts Determine uma base ortonormal β u1 u2 u3 do R3 tal que u3 tenha mesma direção e sentido de v e u1 u2 u3 b 03 pt Determine a matriz Aβ que representa na base β a rotação de π radianos no sentido positivo em torno da reta ℓ gerada por v c 10 pt Determine a matriz A que representa na base canônica a rotação de π radianos no sentido positivo em torno da reta ℓ gerada por v Questão 3 21 pontos Sejam abc números reais e consideremos o operador linear definido por Txyz 136 x ay 572 z 736 x by 372 z 236 x cy 872 z a 03 pt Determine a matriz de T na base canônica b 14 pts Determine os números reais abc para que T seja um operador ortogonal c 04 pt Quantos operadores ortogonais há Justifique a sua resposta Questão 4 14 pontos Seja T a projeção ortogonal sobre a reta normal a 2021 passando pela origem a 06 pt Dê exemplo de uma base ortonormal do R2 formada por autovetores de T indicando os autovalores b 08 pt Determine Txy Questão 5 12 pontos Determine todos os operadores ortogonais T R2 R2 tais que T10 tenha mesma direção e sentido do vetor u 1160 Base ortogonal B 1 0 0 0 1 514 1 0 0 189377 35377 1 u1 u2 u3 Módulo dos vetores u1 1²0²0² 1 u2 0²514²1² 22114 u3 189377² 35377² 1² 519377 Base ortonormal BN 1 0 0 0 14221 514 10 0 377519 189377 35377 1 b P matriz dos autovetores P 1 0 189377 0 514 35377 0 1 1 2 v 4 2 5 página 9 a u1 x1 y1 z1 u2 x2 y2 z2 u3 k v 4 k 2 k 5 k u1 x u2 i j k i y1 z2 y2 z1 j x2 z1 x1 z2 k x1 y2 x2 y1 y1 z2 y2 z1 x2 z1 x1 z2 x1 y2 x2 y1 k4 k2 k5 Fazendo k 2 y1 z2 y2 z1 x2 z1 x1 z2 x1 y2 x2 y1 8 4 10 x1 6 x2 9 y1 2 y2 3 z1 4 z2 2 satisfazem a igualdade u1 6 2 4 u2 9 3 2 u3 8 4 10 u1 6² 2² 4² 244 u2 4² 3² 2² 29 u3 8² 4² 10² 65 Base ortonormal β 6244 2244 4244 429 329 229 865 465 1065 3 T 136 9 572 736 b 372 236 c 872 PAGINA 13 a T100 136 172 T010 abc T001 172 538 b Os vetores devem ser ortogonais 136 172abc 0 a7b2c0 172 538abc 0 5a3b8c0 a 3119 c b 119 c c c Se c19 abc 31119 c Como há um valor ilimitado para c que é independente há um número ilimitado de operadores ortogonais da forma dada no enunciado PAGINA 14 c R já está na base canônica PAGINA 12 R100 145 13 16 40 R010 145 16 37 20 R001 145 40 20 5 A 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 λ2 1 T I û2 0 441841 420841 420841 4008410 0 PAGINA 16 L1 L1 841441 1 2021 420841 400841x y 0 0 x 2021 y y y û2 2021 1 Base 2120 1 2021 1 b Tx y 1841 400x 420y 420x 441y 5 a b c d1 0 k 11 60 PAGINA 17 T a k 11 c k 60 a c ū1 22 120 k 2 escolhermos T é ortogonal ū2 b d ū1 ū2 22 120 b d 0 22b 120d 0 11b 60d b 6011 d d é qualquer Fazendo d 1 b 6011 T 22 6011 120 1 Forma geral T 11k 6011 d 60k d k e d podem ser qualquer 4 Tx y ū v v v v xy2021 20212021 2021 PAGINA 15 ū x y v 20 21 Tx y 20x 21y 400 441 20 21 T x y 400x 420y 841 420x 441y 841 T 1841 400 420 420 441 Autovalores detT λI 0 1841 400 λ 420 420 441 λ 400 λ441 λ841 4202841 0 λ² 400λ 441λ 400441 420² 0841 λλ 1 0 λ1 0 λ2 1 autovalores Autovetores λ1 0 T 0I ū1 0 400841 420841 420841 441841x y 0 0 L1 L4 841400 1 2120 420841 441841x y 0 0 x 2120 y y y ū1 2120 1 PAGINA 2 X a 27c Y 275 a 145 b 5c Z b 14c matricialmente 1 0 27 x 275 145 5 y 0 1 14 z Redução eliminação de Gauss L2 L2 275 L1 1 0 27 x 0 145 7545 27x 54y 5 0 1 14 z L3 L3 514 L2 1 0 27 x 0 145 7545 27x 54y 5 0 0 4757 27x 5y 14z 14 Solução a 221x 135y 378z 950 b 189x 35y 377z 950 c 27x 5y 14z 950 PAGINA 3 Rxyz Txyz a 1 275 0 b0 145 1 c27514 221x 135y 378z 950 1 275 0 189x 35y 377z 9500 145 1 27x 5y 14z950 27514 Txyz x 13232375x 426475y 26392375z 189950x 7190 573950 z Txyz 1 13232375 189950 x 0 426475 7190 y 0 26392375 573950 z PAGINA 5 x x 1 0 0 0 514 1 y 514 z x 1 0 0 z 0 514 1 z z Autovetores 1 0 0 e 0 514 1 λ λ1 λ3 12 T 12 I v3 0 12 13232375 189950 0 0 377950 7190 0 0 26392375 49475 0 L4 241 L2 950377 L2 1 26462375 189475 0 0 1 35377 0 0 26392375 49475 0 L3 L3 26392375 L2 L1 L1 26462375 L2 1 0 189377 0 0 1 35377 0 0 0 0 0 x 189377 z y 35377 z z z r x y z z 189377 35377 1 Vamos calcular a inversa de P Página 7 P1 1 0 189377 1 0 0 0 514 35377 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Eliminação de Gauss L2 145 L2 L3 L3 L2 e L3 0 377475 L3 1 0 189377 1 0 0 0 1 98377 0 145 0 0 0 1 0 5275 377475 L2 L2 98377 L3 L1 L1 189377 L3 1 0 189377 1 0 0 0 1 0 0 52782375 98475 0 0 1 0 52782375 377475 1 0 0 1 26462375 189475 0 1 0 1 52782375 98475 0 0 1 0 52782375 377475 P1 T P 1 26462375 189475 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 573950 1 0 189377 0 514 35377 0 1 1 1 0 0 D a matriz dos autovalores de T 0 1 0 0 0 12 Autovetores e autovalores Página 4 detT λI 0 1 λ 13232375 189950 0 426475 λ 7190 0 26392375 573950 λ 0 12 λ 12λ² 3λ 1 0 Autovalores λ 1 0 λ₁ 1 2λ² 3λ 1 0 λ 3 9 421 22 3 1 4 λ₂ 1 λ₃ 12 λ₁ λ₂ λ λ₁ λ₂ 1 T λ₁ I v₁ 0 T I v₁ 0 0 13232375 189950 0 0 49475 7190 0 0 26392375 377950 0 L₁ L₁ 23751323 L₂ L₂ 49475 L₁ 0 1 514 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L₃ L₃ 26392375 L₁ γ 514 z x x 1 𝑣₁ 3 5 4 𝑣₂ 2 6 6 Página 1 Plano II 𝑣₁ x 𝑣₂ i j k 3 5 4 2 6 6 i30 24 j8 18 k18 10 𝑣₁ x 𝑣₂ i54 j10 k28 54 10 28 Podemos escrever x y z 54 10 28 54x 10y 28z 0 27x 5y 14z 0 Plano II y 27x 14z 5 x y z x 275 x 145 z z x y z x1 275 0 z0 145 1 Esses dois vetores o vetor normal ao plano II formam uma base de ℝ³ B 1 275 0 0 145 1 27 5 14 T é operador de reflexão Txyz aT1 275 0 bT0 145 1 cT27 5 14 1 275 0 0 145 1 27 5 14 Txyz a1 275 0 b0 145 1 c27 5 14 Base canônica R3 100 010 001 T100 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 5739501 0 0 1 0 0 T100 100 T010 13232375 426475 26392375 T001 189950 7190 573950 A 1 13232375 189950 0 426475 7190 0 26392375 573950 A T T já está na base de R3 PÁGINA 8 β 314 114 214 429 329 229 435 235 535 b xyz 435 235 535 C cosπ 1 S sinπ 0 vecv 42 22 52 35 R c 1cx² 1cxy sz 1cxz sy 1cxy sz c 1cy² 1cyz sx 1cxz sy 1cyz sx c 1cz² R 111x² 11xy 11xz 11xy 111y² 11yz 11xz 11yz 111z² R 12x² 2xy 2xz 2xy 12y² 2yz 2xz 2yz 12z² x 435 x² 1645 y 235 y² 445 z 535 z² 59 R 1345 1645 89 1645 3745 49 89 49 19 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 matriz de rotação PÁGINA 10 b Na base β µ1 µ2 µ3 PÁGINA 11 Rµ1 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 114 3 1 2 31414 1414 147 Rµ2 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 129 4 3 2 42929 32929 22929 Rµ3 145 13 16 40 16 37 20 40 20 5 135 4 2 5 2845675 3855675 195135 Aβ 31414 42929 2845675 1414 32929 385675 147 22929 195135