Princípio dos Trabalhos Virtuais

Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 O Princípio dos Trabalhos Virtuais O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual das forças externas equivale ao trabalho virtual das forças internas Neste contexto a palavra virtual significa que as forças e os deslocamentos envolvidos podem não corresponder um ao outro somente é necessário que as forças estejam estaticamente admissíveis e os deslocamentos cinematicamente admissíveis Na sua interpretação o princípio dos trabalhos virtuais dá origem a duas formas 1 Princípio dos deslocamentos virtuais 2 Princípio das forças virtuais Não se faculta neste texto a formulação exacta dos princípios apenas referese que no Princípio dos deslocamentos virtuais considerase o trabalho das forças reais ou seja aquelas que pertencem à solução do problema nos deslocamentos virtuais nãoreais fictícios e no Princípio das forças virtuais considerase o trabalho das forças virtuais nos deslocamentos reais Nesta parte da matéria somente será utilizado o Princípio dos deslocamentos virtuais aplicado ao conjunto de corpos rígidos no entanto por conveniência manterseá a designação O princípio dos trabalhos virtuais em abreviação PTV A formulação do princípio define que as forças externas e internas actuantes num conjunto de corpos rígidos estão em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual das forças internas equivale ao trabalho virtual das forças externas para qualquer campo de deslocamentos cinematicamente admissíveis Em seguida explicamse os termos envolvidos na formulação acima Corpo rígido Um corpo rígido mantém a sua forma e o tamanho volume em qualquer instante de tempo e não desenvolve os esforços internos nem as tensões o termo tensão será explicado na disciplina MMC A sua posição no plano no espaço está descrita via 3 6 parâmetros independentes assim dizse que tem 3 6 graus de liberdade cinemática Nesta disciplina os corpos rígidos serão principalmente representados pelas barras e apenas em alguns casos também pelas placas discos cilindros ou esferas O conjunto de corpos rígidos Vários corpos rígidos formam um conjunto quando ligados pelas ligações internas A forma das ligações internas é igual como dado na disciplina de Estática serão então rótulas ou encastramentos deslizantes Rótula interna Encastramento deslizante interno Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Além das ligações internas serão também utilizadas as ligações externas que são novamente iguais às dadas na disciplina de Estática apoio fixo apoio móvel encastramento e encastramento deslizante Apoio fixo Apoio móvel Encastramento Encastramento deslizante Como neste capítulo a maior parte dos corpos rígidos será representada pelas barras os conjuntos de corpos vão simplesmente corresponder às estruturas reticuladas Forças internas As forças internas correspondem neste contexto às reacções das ligações internas Sabese da Estática que a cada corpo adjacente actua uma força ou momento e que essas forças momentos têm as mesmas intensidades mesmas direcções mas sentidos opostos Forças externas As forças externas correspondem neste contexto às forças distribuídas ou concentradas e aos momentos distribuídos ou concentrados de carregamento externo e às reacções nos apoios externos Deslocamento O deslocamento de uma partícula ou de um ponto que pertence a um corpo rígido é uma grandeza física vectorial que representa a alteração de posição Este vector liga a posição inicial A com a posição nova A Deslocamento do ponto A Usase o termo o Campo dos deslocamentos quando os deslocamentos estão definidos para vários pontos Deslocamento virtual O deslocamento virtual corresponde a qualquer deslocamento não real que não existe e que não está provocado pelo carregamento aplicado No entanto tem que ser cinematicamente admissível ou seja tem que verificar as condições de fronteira cinemáticas por outras palavras é compatível com as restrições impostas via apoios externos e ligações internas Os deslocamentos virtuais poderão ter valores finitos grandes ou infinitesimais elementares Para distinguir valores infinitesimais usase d em frente da grandeza física para distinguir a qualidade virtual usase No PTV neste capítulo os deslocamentos virtuais terão sempre valores infinitesimais para simplificar a execução dos cálculos Os deslocamentos infinitesimais implicam que também as rotações associadas são infinitesimais Sabese das cadeiras de análise matemática que as funções trigonométricas dos ângulos pequenos podem aproximarse pelo primeiro termo da expansão de Taylor ou seja 1rad tan sin cos 1 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Consequências das pequenas rotações Assumese que um ponto A efectua uma rotação infinitesimal em radianos em torno da origem para a posição A Sendo a rotação d infinitesimal o arco AA pode substituirse pelo segmento recto Este segmento será perpendicular ao segmento original 0A porque tan sin 0 0 0 0 AA AA d d d A A A A 0 cos 1 0 0 0 A d A A A ou seja admitindo ângulos infinitesimais o segmento 0A não se alongou ou nas outras palavras o alongamento dele é desprezável porque corresponde aos termos de ordem maior Pode ainda dizerse que as equações acima são válidas aproximadamente ignorando os termos de ordem maior Ângulos finitos e infinitesimais Na resolução dos problemas é necessário ter cuidado para não misturar ângulos finitos e infinitesimais Os ângulos finitos usamse para o cálculo dos parâmetros geométricos da estrutura e assim a sua implementação é habitualmente via funções trigonométricas Os ângulos infinitesimais representam os ângulos de rotação infinitesimais velocidades angulares ou acelerações angulares que nunca fazem argumentos de uma função trigonométrica O conceito das projeções permite transferir o ângulo infinitesimal como se faz para os ângulos finitos ou seja os ângulos delimitados pelas semiretas mutuamente ortogonais são iguais Na primeira figura ao lado visualizase uma barra com troço vertical e horizontal cinzenta e a sua posição deformada vermelha Na outra figura mostrase a mesma barra cinzenta com a sua posição deformada vermelha mas neste caso a posição não deformada tem uma rotação finita definida pelo ângulo Setas verdes representam os deslocamentos totais linhas verdes ajudam definir os ângulos retos Setas pretas definem diretamente as componentes dos deslocamentos infinitesimais A A x y d 0 A A x y d 0 hcos hcos cos sin h d sin cos h d hsin hsin h d h h d Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Trabalho mecânico elementar de uma força F força aplicada ao ponto A r vetor de posição dr ou du vetor de alteração de posição deslocamento elementar infinitesimal diferencial de trajetória Trabalho mecânico realizado pela força F é uma grandeza física escalar que equivale ao produto interno d F du por isso a sua unidade é NmJ joule Devido à definição pode ainda escreverse cos d F du F du ou seja o valor do trabalho também corresponde ao producto de intensidade do vector da força com a intensidade do vector do deslocamento projectado na linha de acção da força e viceversa Neste caso quando os sentidos destes vectores são iguais o trabalho tem valor positivo quando opostos o valor é negativo Em consequência quando o vector de deslocamento é perpendicular à linha de acção da força o trabalho é nulo Quando os vectores são colineares basta multiplicar as suas intensidades e adicionar o sinal Nas expressões acima usouse a designação dr ou du para representar o deslocamento infinitesimal elementar por isso d designase o trabalho elementar Analogamente ao trabalho elementar de uma força definese o trabalho elementar de um momento como o trabalho desse momento realizado num ângulo elementar infinitesimal Esse ângulo considerase sempre em radianos d M d M vector associado ao binário momento atribuído usando a regra de mão direita d ângulo elementar o vector associado foi atribuído usando a regra de mão direita A unidade do trabalho do momento mantemse naturalmente igual NmJ A prova da relação acima usa o conceito de Propagação dos deslocamentos Propagação dos deslocamentos elementares Dualidade Em cada apoio externo é válido 0 x y z A A r dr F r dr Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 1 Movimento fixo implica existência da reacção nessa direcção 2 Falta da reacção implica possibilidade de movimento nessa direcção Exemplo em 2D O apoio fixo não permite deslocamento vertical nem horizontal por isso nele actuam o seu efeito pode substituirse pelas duas componentes de reacção uma força horizontal e uma vertical Não tem no entanto a reação do momento e por isso permite a rotação da estrutura adjacente Em cada ligação interna e em cada ponto interno da estrutura é válido 1 Movimento relativo igual implica existência da reacção nessa direcção sempre em componentes opostas 2 Falta da reacção implica possibilidade de movimento relativo nessa direcção Exemplos em 2D A rótula interna assegura deslocamentos iguais das partes adjacentes porque actuam nela reacções da força horizontal e vertical No entanto permite uma rotação relativa ou seja rotações diferentes das partes adjacentes porque não tem a reacção do momento O ponto interno da estrutura composta de barras impede qualquer movimento relativo das partes adjacentes todas as componentes de deslocamento e de rotação das partes adjacentes têm que ser iguais porque o ponto pode ser considerado como um encastramento interno e assim actuam nele todas as componentes de reacção Etc Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Utilização do PTV na disciplina DCR Cálculo das reacções externas das estruturas reticuladas isostáticas Cálculo das reacções internas das estruturas reticuladas isostáticas Cálculo dos esforços internos das estruturas reticuladas isostáticas Estruturas consideradas Vigas vigas de Gerber Estruturas reticuladas planas treliças planas Tipologia dos problemas 2D 1 cálculo das componentes de reacções das estruturas isostáticas já mencionado 2 determinação do campo dos deslocamentos virtuais de um mecanismo com 1 grau de liberdade cinemática 3 determinação da forçamomento que assegura equilíbrio a um mecanismo com 1 grau de liberdade cinemática 4 cálculo do esforço de uma barra de uma treliça isostática 5 cálculo dos esforços internos das estruturas isostáticas Procedimento Recordase que para a utilização do PTV é preciso definir um campo de deslocamentos virtuais Uma estrutura reticulada isostática composta pelas barras rígidas não pode sofrer nenhum movimento que não viole os apoios O campo de deslocamentos virtuais poderá ser apenas atribuído ao mecanismo ou seja a uma estrutura hipostática O grau de hipoestaticidade define o número de parâmetros independentes que descrevem a posição deformada do mecanismo Para a utilização do PTV é importante que este parâmetro seja apenas 1 ou seja os mecanismos considerados podem ter apenas 1 grau de liberdade cinemática Consequentemente todos os campos possíveis de deslocamentos virtuais serão proporcionais a este parâmetro Procedimento geral de cálculo de uma reacção externa de uma estrutura isostática 1 Libertar a ligação em que actua a componente de reacção que se pretende calcular e substituir esta ligação pela reacção em causa de valor desconhecido e de direcção arbitrária Assim obtémse o mecanismo de 1 grau de liberdade cinemática Isso implica que o apoio afectado pela libertação tem que reduzir o número das componentes de reacção pelo 1 ou seja em 2D o apoio que retira 3 GDL encastramento pode ser apenas substituído pelo apoio simples ou pelo encastramento deslizante O apoio que retira 2 GDL tem que ser substituído por aquele que retira apenas 1 por outras palavras o apoio fixo pode passar para apoio móvel e o encastramento deslizante para apoio móvel ou para um apoio que fixa a rotação mas permite o deslizamento em ambas as direcções Consequentemente o apoio móvel deve ser completamente retirado da estrutura Em 3D a situação é um pouco mais complicada mas a lógica é igual Encastramento e as possíveis libertações para o cálculo da reacção de momento e da reacção de força horizontal e vertical Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Apoio fixo e as possíveis libertações para o cálculo da componente de reacção horizontal e vertical Encastramento deslizante e as possíveis libertações para o cálculo da reacção de momento e da componente de reacção vertical Apoio móvel e a única possível libertação ou seja sem apoio 2 Representar a forma deformada ou seja a posição do mecanismo ou seja um possível campo de deslocamentos virtuais Como este campo depende apenas de 1 parâmetro este parâmetro pode deixarse inalterado ou arbitrase como valor 1 infinitesimal Algumas estruturas permitirão deslocamentos finitos outras não Para efeitos de cálculo os deslocamentos representamse sempre como infinitesimais 3 Exprimir os trabalhos das forças externas e igualar a soma a zero Notase que o trabalho das forças internas reacções nos apoios internos não é preciso envolver no cálculo porque os seus efeitos anulamse Igualmente não é necessário introduzir as reacções externas nos apoios não libertados porque estes não se deslocam Em resumo habitualmente o trabalho total é constituído pelo trabalho das forças externas aplicadas na estrutura carregamento e de uma reacção externa que foi seleccionada como incógnita Outra incógnita no cálculo é o parâmetro do campo dos deslocamentos virtuais que existe em todos os termos e por isso pode cortarse da equação Visto que o trabalho é um escalar a equação de PTV é igualmente escalar e assim permite resolver apenas uma incógnita Isso implica que a cada componente de reacção é preciso definir um outro mecanismo Problema Calcule as reacções usando o PTV Resolução 1 Verificase que a estrutura é isostática 2 Apesar de não estar solicitado vamos primeiro resolver as reacções das equações de equilíbrio a carga distribuída faz carregamento simétrico e por isso as reacções verticais são iguais com o valor 4kN orientado para cima o momento corresponde ao carregamento anti 8kNm 2 2 m 2kNm A B Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 simétrico e por isso dá origem às reacções verticais opostas do valor 2kN o binário destas reacções roda no sentido horário oposto do momento aplicado As reacções correspondem à soma das duas e a reacção horizontal é nula porque o carregamento é apenas transversal PTV reacção horizontal A H 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita Notas Libertouse apenas uma ligação que corresponde à reacção que se pretende calcular outras reacções externas não é preciso representar porque já se sabe que a ligação delas não foi libertada e assim o trabalho realizado por elas é nulo por isso o esboço acima tem características diferentes do esboço para o cálculo das reacções na cadeira de estática A libertação tem obrigatoriamente que permitir que a reacção incógnita realize algum trabalho no campo dos deslocamentos virtuais O sentido da reacção pode ser arbitrado 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Notas Pode deduzirse facilmente que único movimento que o mecanismo acima pode fazer é o deslocamento horizontal Este movimento pode ser finito mas por conveniência apenas considerase o seu valor infinitesimal Pela introdução do parâmetro u os deslocamentos de todos os pontos estão unicamente determinados Variando o valor de u determinamse todos os possíveis campos dos deslocamentos virtuais Este movimento horizontal não foi provocado pelo carregamento nem pela reacção incógnita porque podia ter sentido oposto à reacção no entanto para facilitar a sua determinação podese assumir a forma qualitativa provocada pela reacção incógnita Nunca se deve deduzir a forma deformada com ajuda do carregamento 8kNm 2kNm 4kN 4kN 2kN 2kN VA B V HA A B HA A B A B u u Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 3 Trabalho virtual Facilmente deduzse que a carga distribuída actua na direcção perpendicular ao deslocamento por isso realiza trabalho nulo o momento concertado também porque a barra não roda 0 0 A A H u H PTV reacção vertical A V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Notas Visto que o deslocamento pretendido é infinitesimal desprezamse os alongamentos das barras e os arcos representamse pelas rectas perpendiculares à posição inicial das barras como já explicado Apesar de ser possível representar um deslocamento que não viola os apoios e não alonga a barra isso só acontece em casos raros e complicava o cálculo desnecessariamente Na figura acima foram introduzidos dois parâmetros mas estes estão dependentes Como já mostrado é válido 4 u u L e por isso cada ponto da barra tem o deslocamento unicamente determinado usando um único parâmetro Por exemplo o ponto C afastado do apoio B pelo x realiza um deslocamento de uC x 3 Trabalho virtual Neste caso a carga aplicada também realiza trabalho virtual Podese concluir que não é preciso alterar a direcção da sua aplicação visto que na determinação da componente vertical A V B V HA A B A V A B A u B A V A B B A u x C C uC A V A B B A u Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 usavase a função do cos 1 e a componente horizontal não realiza trabalho A carga distribuída pode ser substituída pela força resultante porque 4 4 2 0 0 2 2 16 2 4 2 2 p x dx x Ou seja a força resultante 8kN realiza trabalho negativo no deslocamento 2 Finalmente o momento concentrado realiza o trabalho negativo na rotação da barra e verifica se que o valor deste trabalho não depende da posição actual do ponto da aplicação na barra O trabalho é negativo porque os sentidos são opostos Em resumo 4 8 2 8 0 4 2 6kN A A V V Notase ainda que as duas contribuições da carga distribuída e do momento correspondem aos valores determinados usando as equações de equilíbrio O valor da incógnita calculouse como positivo e por isso o sentido real da reacção corresponde ao sentido arbitrado Mostrou se que cada termo na equação acima contém o parâmetro que caracteriza o campo dos deslocamentos virtuais que pode cortarse da equação Por esta razão pode concluirse que nos casos simples não é necessário introduzir este parâmetro e introduzir apenas um valor conveniente da deformada igual a 1 infinitesimal Por exemplo introduzindo o valor de rotação unitária 8kNm 2kNm A V A B B A u x C C uC A V A B B A u A V A B B A 4 2 2 8kNm 8kN A V 4 1 2 2 8kNm 8kN Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 4 8 2 8 0 4 2 6kN A A V V ou introduzindo o valor do deslocamento unitário 1 1 8 8 0 4 2 6kN 2 4 A A V V PTV reação vertical B V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais 3 trabalho virtual 1 1 8 8 0 4 2 2kN 2 4 B B V V A V 1 1 4 2 1 2 8kNm 8kN B V A B B V A B 1 4 1 B V 1 1 4 1 2 8kNm 8kN Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Vigas de Gerber Caso com uma rótula interna Sabese da estática que uma rótula interna liberta o momento flector o momento flector no lugar da rótula não carregada com um momento concentrado é nulo e as reacções internas envolvem apenas componentes de forças e não do momento por isso a rotação não está fixa e consequentemente a rótula permite uma rotação relativa das partes adjacentes da estrutura mas não permite deslocamentos relativos Problema Calcule as reacções usando o PTV Resolução Em primeiro lugar é preciso confirmar que a estrutura é isostática Isso está claro uma vez que a uma consola se juntou 1 apoio adicional e introduziuse 1 libertação Notase no entanto visto que há apenas cargas transversais que a reacção horizontal é nula Assim é indiferente se no lado direito da estrutura temos um apoio fixo ou móvel A resolução não se altera quando a estrutura tem apoio fixo no lado direito mesmo que isso implique que a estrutura é hiperstática Esta excepção pode usarse apenas em vigas e vigas de Gerber com carga transversal PTV reação do momento A M 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Neste caso a estrutura está composta pelos 2 corpos Ao traçar a deformada é de extrema importância manter esses corpos rígidos ou seja as barras rectas têm que se manter rectas A explicação acima justifica que as partes adjacentes à rótula podem ter declives diferentes na deformada mas o deslocamento no lugar da rótula tem que ser igual Este deslocamento é sempre perpendicular à recta original da viga indeformada justificação na parte de deslocamentos infinitesimais Outra regra que é preciso manter é que a deformada tem que passar pelos lugares dos apoios fixos e móveis porque nestes lugares o deslocamento vertical continua impedido não se libertou A M A M 1 1 2 1 3 2kNm 1 3 m 5kNm 1 A B C Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Arbitrado o deslocamento da rótula como 1 infinitesimal os declives das partes adjacentes tomam valores 12 e 13 com sinais opostos 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm que ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes 1 1 1 1 10 2 15 0 27kNm 2 2 2 2 A A M M anti horário Segundo termo o valor 12 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Este valor pode ser deduzido da semelhança dos triângulos como metade de 1 a força está posicionada no meio do corpo ou usando o ângulo de rotação como 12 ângulo vezes 1 distância Terceiro termo o valor 12 corresponde ao angulo da rotação Quarto termo o valor 12 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Este valor pode ser deduzido da semelhança dos triângulos como metade de 1 a força está posicionada no meio do corpo ou usando o ângulo de rotação como 13 ângulo vezes 15 distância PTV reação vertical A V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Novamente ao traçar a deformada é de extrema importância manter os dois corpos rígidos ou seja manter as barras rectas Sabese que as partes adjacentes à rótula podem ter declives diferentes na deformada mas o deslocamento no lugar da rótula tem que ser igual Outra regra que é preciso manter é que a deformada tem que passar pelo apoio móvel e que no encastramento deslizante não se pode alterar o ângulo recto porque a rotação mantémse fixa 2kNm A M 1 1 2 1 3 10kN 15kN A V A V 1 1 3 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Arbitrado o deslocamento da rótula como 1 infinitesimal o declive do corpo à direita toma o valor 13 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm que ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes 1 1 10 1 2 0 15 0 175kN 2 A A V V Segundo termo o valor 1 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Terceiro termo o valor 0 corresponde ao angulo da rotação neste caso o momento concentrado não realiza trabalho Quarto termo o valor 12 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Este valor pode ser deduzido da semelhança dos triângulos como metade de 1 a força está posicionada no meio do corpo ou usando o ângulo de rotação como 13 ângulo vezes 15 distância PTV reação vertical B V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Novamente ao traçar a deformada é de extrema importância manter os dois corpos rígidos ou seja manter as barras rectas Sabese que as partes adjacentes à rótula podem ter declives diferentes na deformada Outra regra que é preciso manter é que no encastramento não se pode alterar o ângulo recto Neste caso particular o primeiro corpo não tem possibilidade de movimento representa em si uma parte isostática e a sua posição não se altera A V 1 1 3 2kNm 10kN 15kN B V VB 1 3 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Arbitrado a rotação como 1 infinitesimal o deslocamento da extremidade do corpo à direita toma o valor 3 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm que ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes Não é necessário representar a carga que não realiza qualquer trabalho 3 15 3 0 75kN 2 B B V V Segundo termo o valor 32 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Terminando o cálculo das reacções é possível verificar o equilíbrio como na Estática para confirmar os valores calculados Forças verticais 175 75 5 5 0 Momentos em torno de A 27 2 5 5 25 75 5 0 Caso com um encastramento deslizante Sabese da estática que um encastramento deslizante interno na direcção perpendicular à viga liberta o esforço transverso o esforço transverso no lugar do encastramento deslizante não carregado com uma força vertical é nulo e as reacções internas envolvem apenas componente de momento e da força horizontal por isso o deslocamento vertical não está fixo e consequentemente o encastramento deslizante permite um deslocamento vertical relativo das partes adjacentes da estrutura mas não permite rotações relativas Por isso no lugar do encastramento deslizante podem existir deslocamentos verticais diferentes mas as partes adjacentes têm que se manter paralelas com o mesmo ângulo de rotação ou seja com a rotação relativa nula Problema 2kNm 1 3 m 5kNm 1 A B C VB 1 3 2kNm 10kN 15kN 2kNm 1 3 m 5kNm 1 75 175 27 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Calcule as reacções usando o PTV Resolução Em primeiro lugar é preciso confirmar que a estrutura é isostática Isso está claro uma vez que a uma consola se juntou 1 apoio adicional e introduziuse 1 libertação Notase novamente que a resolução não se altera quando a estrutura tem apoio fixo no lado direito PTV reação do momento A M 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Neste caso a estrutura está composta pelos 2 corpos Ao traçar a deformada é de extrema importância manter esses corpos rígidos ou seja as barras rectas têm que se manter rectas A explicação acima justifica que as partes adjacentes ao encastramento deslizante podem ter deslocamentos verticais diferentes na deformada mas têm que se manter paralelas Outra regra que é preciso manter é que a deformada tem que passar pelos lugares dos apoios fixos e móveis porque nestes lugares o deslocamento vertical continua impedido não se libertou Arbitrado a rotação como 1 infinitesimal os deslocamentos no lugar do encastramento deslizante das partes adjacentes tomam valores 2 e 3 com sinais opostos 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm que ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes 3 1 10 1 2 1 15 0 105kNm 2 A A M M horário Segundo termo o valor 1 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Este valor pode ser deduzido da semelhança dos triângulos como metade de 2 a força está A M A M 2 1 1 3 2kNm 10kN 15kN A M 2 1 1 3 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 posicionada no meio do corpo ou usando o ângulo de rotação como 1 ângulo vezes 1 distância Terceiro termo o valor 1 corresponde ao angulo da rotação Quarto termo o valor 32 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada Este valor pode ser deduzido da semelhança dos triângulos como metade de 3 a força está posicionada no meio do corpo ou usando o ângulo de rotação como 1 ângulo vezes 15 distância PTV reação vertical A V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Novamente ao traçar a deformada é de extrema importância manter os dois corpos rígidos ou seja manter as barras rectas As partes adjacentes ao encastramento deslizante podem ter deslocamentos verticais diferentes na deformada mas têm que se manter paralelas Outra regra que é preciso manter é que a deformada tem que passar pelo apoio móvel e que no encastramento deslizante não se pode alterar o ângulo recto porque a rotação mantémse fixa 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm que ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes mas não é necessário representar a carga que não realiza qualquer trabalho 1 10 1 2 0 0 10kN A A V V Segundo termo o valor 1 corresponde ao deslocamento no lugar da força concentrada A V A V 1 A V 1 2kNm 10kN Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Terceiro termo o valor 0 corresponde ao angulo da rotação neste caso o momento concentrado não realiza trabalho PTV reação vertical B V 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais Novamente ao traçar a deformada é de extrema importância manter os dois corpos rígidos ou seja manter as barras rectas A explicação acima justifica que as partes adjacentes ao encastramento deslizante podem ter deslocamentos verticais diferentes na deformada mas têm de se manter paralelas Outra regra que é preciso manter é que no encastramento não se pode alterar o ângulo recto Neste caso particular o primeiro corpo não tem possibilidade de movimento representa em si uma parte isostática e a sua posição não se altera 3 Trabalho virtual As forças resultantes da carga distribuída têm de ser calculadas separadamente para cada corpo porque os movimentos dos corpos são diferentes Não é necessário representar a carga que não realiza qualquer trabalho 1 15 1 0 15kN B B V V Terminando o cálculo das reacções é possível verificar o equilíbrio como na Estática para confirmar os valores calculados B V B V 1 1 15kN B V 1 1 2kNm 1 3 m 5kNm 1 15 10 105 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Forças verticais 10 15 5 5 0 Momentos em torno de A 105 2 5 5 25 15 5 0 Procedimento geral de cálculo de uma reacção interna de uma estrutura isostática 1 Libertar a ligação em que actua a componente de reação que se pretende calcular e substituir esta ligação pela reacção em causa de valor desconhecido e de direcção arbitrária Assim obtémse o mecanismo de 1 grau de liberdade cinemática Visto que se trata de uma ligação interna a reacção libertada existe sempre emparelhada ou seja há sempre duas componentes de forças ou de momentos actuantes nas partes adjacentes de intensidades iguais mas com sentidos opostos O apoio afectado pela libertação tem de reduzir o número das componentes de reacção pelo 1 ou seja em 2D as ligações internas que retiram 2 GDL podem ser apenas substituídas pelas ligações que mantêm apenas uma componente de reacção As ligações que retiram apenas 1 grau de liberdade têm de ser completamente removidas Em 3D a situação é um pouco mais complicada mas a lógica é igual Rótula interna e a possível libertação para o cálculo da reacção da força vertical esta ligação permite uma rotação relativa tal como a ligação original e um deslocamento vertical relativo libertado mantemse igual apenas o deslocamento horizontal Encastramento deslizante interno e a possível libertação para o cálculo da reacção do momento esta ligação permite um deslocamento vertical relativo tal como a ligação original e uma rotação relativa libertada mantemse igual apenas o deslocamento horizontal Uma barra rotulada de ligação tem de ser completamente removida e substituída pelas forças actuantes na sua direcção este assunto será ainda abordado na parte de resolução dos esforços axiais de uma treliça 2 Representar a forma deformada ou seja a posição do mecanismo ou seja um possível campo de deslocamentos virtuais Para efeitos de cálculo os deslocamentos representamse sempre como infinitesimais 3 Exprimir os trabalhos das forças externas e igualar a soma a zero É preciso sublinhar que as reacções internas no mecanismo derivado da estrutura inicial pela libertação da ligação interna correspondente assumem o papel das forças externas e por isso e dedução do trabalho virtual mantemse inalterada Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Problema Utilizando o PTV calcule a reação da força vertical na rótula interna Resolução Confirmase que a estrutura é isostática 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais O corpo à esquerda não tem possibilidade de movimento 3 Trabalho virtual Não é necessário representar a carga que não realiza qualquer trabalho 1 15 1 0 75kN 2 C C V V Problema Utilizando o PTV calcule a reação do momento no encastramento deslizante interno Resolução Confirmase que a estrutura é isostática 2kNm 1 3 m 5kNm 1 A B C C V C V C V VC 1 3 1 C V VC 1 3 1 15kN A B C 2kNm 1 3 m 5kNm 1 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 1 Libertação e a introdução da reacção incógnita 2 Determinação dos deslocamentos virtuais O corpo à esquerda não tem possibilidade de movimento 3 Trabalho virtual Não é necessário representar a carga que não realiza qualquer trabalho 1 15 1 0 225kNm 3 2 C C M M Procedimento geral de cálculo de um esforço interno de uma estrutura isostática Como já referido anteriormente cada ponto interno de uma estrutura reticulada impede qualquer movimento relativo ou seja todas as componentes de deslocamento e de rotação das partes adjacentes têm que ser iguais e o ponto interno pode ser considerado com um encastramento interno Assim actuam nele todas as componentes de reacções internas e o procedimento geral de determinação dos esforços internos obedece às mesmas regras como o cálculo das reacções internas Libertação para o cálculo do momento flector do esforço transverso e do esforço axial Problema Utilizando o PTV calcule o momento flector e os esforços transversos nas secções D e E 2kNm 1 2 m 5kNm 1 1 D E C M C M C M C M 1 3 1 15kN 1 3 1 C M MC Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Resolução Momento flector na secção E libertação e a introdução da incógnita Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual 1 1 1 1 10 5 0 5kNm 2 2 2 E E E M M M Neste caso o momento é positivo por isso representase no diagrama dos momentos flectores na parte inferior da viga Momento flector na secção D libertação e a introdução da incógnita Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual Neste caso podese decidir onde colocar o momento concentrado da carga o cálculo abaixo corresponde à situação em que está colocado na parte que não sofre deslocamentos virtuais 1 1 1 5 15 0 10kNm 2 2 D D M M O momento é negativo por isso representase no diagrama dos momentos flectores na parte superior da viga Esforço transverso na secção E libertação e a introdução da incógnita 1 2 m 1 1 D E ME E M 1 2 m 1 1 D E MD D M 1 ME E M 1 1 2 5 10 D MD M 1 1 3 1 15 5 1 2 m 1 1 D E E V VE Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual 1 1 2 10 1 5 0 25kN 2 E E E V V V Esforço transverso na secção D libertação e a introdução da incógnita Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual Neste caso podese decidir onde colocar o momento concentrado da carga o cálculo abaixo corresponde à situação em que está colocado na parte que não sofre deslocamentos virtuais 1 5 1 15 1 0 125kN 2 D D V V Problema Utilizando o PTV calcule o momento flector e os esforços transversos nas secções D e E Resolução Momento flector na secção E libertação e a introdução da incógnita 2kNm 1 2 m 5kNm 1 1 D E D V D V 1 2 m 1 1 D E 2 1 1 5 10 1 E V E V 1 1 3 15 5 D V VD 1 1 2 m 1 1 D E ME ME Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual 1 10 1 5 1 0 125kNm 2 E E M M Neste caso o momento é positivo por isso representase no diagrama dos momentos flectores na parte inferior da viga Momento flector na secção D libertação e a introdução da incógnita Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual Neste caso podese decidir onde colocar o momento concentrado da carga o cálculo abaixo corresponde à situação em que está colocado na parte que não sofre deslocamentos virtuais 1 3 1 5 15 0 20kNm 2 2 D D M M O momento é negativo por isso representase no diagrama dos momentos flectores na parte superior da viga Esforço transverso na secção E libertação e a introdução da incógnita 1 ME E M 1 5 10 1 1 2 m 1 1 D E MD D M D MD M 3 1 1 15 5 1 2 m 1 1 D E E V VE Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual 1 10 1 0 10kN E E V V Esforço transverso na secção D libertação e a introdução da incógnita Deslocamentos virtuais e o trabalho virtual Neste caso podese decidir onde colocar o momento concentrado da carga o cálculo abaixo corresponde à situação em que está colocado na parte que não sofre deslocamentos virtuais 1 5 1 0 5kN D D V V Concluise este capítulo com a afirmação que nas vigas as cargas geralmente separamse na parte normal cargas na direção do eixo da viga e na parte transversal forças verticais e momentos concentrados ou distribuídos por esta razão a viga isostática com apoios bem distribuídos só pode ter uma fixação na direção horizontal aplicada do exterior Esta regra pode ser facilmente verificada em todos os problemas anteriores Isso significa que por exemplo a estrutura abaixo não pode ser considerada isostática porque está estaticamente indeterminada na direção horizontal tem duas fixações na direção horizontal do exterior e consequentemente já tem 1GDL cinemática na direção transversal sendo assim possível traçar uma deformada virtual como na figura ao lado 1 2 m 1 1 D E D V D V 1 10 1 E V E V 1 1 5 D V D V 2kNm 1 2 m 5kNm 1 1 D E Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Estruturas reticuladas O procedimento de cálculo das reacções externas internas e dos esforços internos é igual como já explicado Mas para a determinação dos deslocamentos virtuais num mecanismo derivado da estrutura reticulada não é suficiente usar apenas o conjunto de regras definidas para as vigas de Gerber A determinação da deformada do campo dos deslocamentos virtuais será ajudada através da determinação dos Centros instantâneos de rotação CIR Mais detalhes serão dados no capítulo de cinemática Para já é suficiente perceber o conceito Sabese que um corpo plano placa em 2D tem 3 graus de liberdade cinemática o que significa que para impedir o seu movimento é necessário aplicar apoios que resultam pelo menos em 3 componentes de reacção e que existem 3 equações de equilíbrio linearmente independentes Igualmente o número 3 indica que são necessários 3 parâmetros independentes para descrever a posição nova do corpo em relação à posição inicial quando o corpo está em movimento Considerase o corpo representado na figura abaixo O ponto G corresponde ao centro de gravidade e o ponto A ao ponto de referência A posição nova do corpo está definida pelo deslocamento horizontal e vertical do ponto G posição G e pelo ângulo de rotação d que é possível identificar usando o ponto de referência A Se for utilizado para a determinação da nova posição do corpo um outro ponto por exemplo B notase que as componentes do deslocamento são diferentes mas o ângulo de rotação permanece igual Isso indica que alterando o ponto que se utiliza para a definição da nova posição do corpo o deslocamento alterase mas a rotação permanece igual Por isso deve existir um ponto cujo deslocamento se reduz a zero Este ponto chamase o CIR Podese dizer que O CIR é o ponto que num dado instante não realiza qualquer deslocamento e o corpo em movimento apenas faz rotação em seu torno Quando a rotação é infinitesimal o CIR será facilmente encontrado na intersecção das rectas perpendiculares aos vectores dos deslocamentos dos pontos correspondentes como se mostra na figura Neste caso todos os ângulos de rotação representados na figura são iguais e os deslocamentos podem ser definidos usando a relação já deduzida que faz parte da figura Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Regras de marcação dos deslocamentos infinitesimais Em resumo a posição nova B de um ponto arbitrário B de um corpo em movimento com rotação infinitesimal d encontrase na recta perpendicular à recta que une o CIR com este ponto B A intensidade deste vector do deslocamento infinitesimal du corresponde ao comprimento DCIR B da distância entre o CIR e o ponto B multiplicado pelo ângulo de rotação d tal como mostra a figura abaixo Regras de expressão do trabalho virtual Assumese que atua uma força F neste ponto B e que o ângulo finito entre os vectores da força F e do deslocamento du é O trabalho elementar realizado pela força F no deslocamento elementar du é cos d Fdu considerando as intensidades dos vectores Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Esta relação poderá ser facilmente alterada para cos CIR B d FD d FPd onde P é o braço da força distância da sua linha de acção relacionado ao CIR ou seja em vez do trabalho da força no deslocamento infinitesimal pode considerarse o trabalho do momento na rotação infinitesimal Este momento corresponde ao momento da força em torno do CIR A relação acima pode ser ainda interpretada de outra maneira porque nesta parte da matéria pode procederse como na Estática ou seja considerar que o efeito da força não se altera quando deslocada na sua linha de acção Também nas resoluções anteriores notouse que às vezes a força aplicada foi representada na estrutura indeformada às vezes na deformada e outras vezes numa posição intermédia mas sempre com o mesmo sentido sem projecção e na sua linha de acção As soluções não ficaram afectadas por este facto Podese por isso concluir que para os efeitos do cálculo do trabalho elementar as forças aplicadas podem deslocarse nas suas linhas de acção para uma posição mais vantajosa que permite mais facilmente calcular o trabalho elementar No caso anterior a força F podia ser considerada na posição tracejada e assim o deslocamento infinitesimal corresponderia ao Pd verde tracejado Regras de determinação dos CIRs Apoios externos O encastramento fixa os três graus de liberdade por isso os corpos com encastramento não realizam qualquer movimento O apoio fixo não permite deslocamentos por isso corresponde directamente ao CIR porque apenas é possível o movimento de rotação em torno deste apoio Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 O encastramento deslizante restringe a rotação e uma direcção de deslocamento permite assim apenas o deslocamento translação na direcção da libertação do movimento Isso em outras palavras representa uma rotação com raio infinito por isso o CIR está neste caso plenamente determinado e está posicionado na recta perpendicular ao movimento no infinito Podese ainda concluir que os apoios externos que retiram 2 GDL determinam plenamente a posição do CIR do corpo correspondente porque apenas 1 GDL está ainda livre O apoio móvel fixa apenas um deslocamento 1GDL e permite ainda deslocamento na direcção da libertação e a rotação em torno do apoio Neste caso é impossível determinar plenamente o CIR é possível ter apenas uma indicação da sua possível colocação Sabese que o deslocamento infinitesimal é perpendicular à ligação entre o CIR e o ponto que efectua o deslocamento e por isso o CIR será posicionado algures na recta perpendicular ao movimento Quando um corpo tem 2 CIRs ou indicações para posições dos CIRs diferentes pode concluir se que este corpo não realiza qualquer movimento Os corpos sem apoios externos são ligados aos restantes corpos via ligações internas Neste caso a determinação dos CIRs correspondentes é mais complicada Esta determinação pode ser ajudada usando o termo de Centro instantâneo de rotação relativo que representa o ponto que pertence aos dois corpos distintos mas marca a separação dos movimentos deles ou seja nele verificase a mudança de rotação ligação por rótula ou a mudança de translação ligação por encastramento deslizante Para poder utilizar este conceito é preciso distinguir os CIRs definidos acima como absolutos Os CIRs absolutos usam apenas 1 índice que corresponde ao número do corpo a que se referem Os CIRs relativos têm 2 índices que correspondem aos números dos 2 corpos relacionados Rótula interna Admitese que dois corpos estão ligados via uma rótula interna e que a posição do CIR do primeiro corpo é conhecida Neste caso o deslocamento virtual infinitesimal da rótula u correspondente a um ângulo de rotação virtual 1 é conhecido a intensidade corresponde a 1 1 u L e o vetor do deslocamento é perpendicular à recta que une o CIR do corpo com a rótula sentido corresponde ao sentido de rotação algures Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Esta rótula interna tem que ser considerada como parte integrante dos dois corpos e por isso o seu deslocamento tem que também verificar os requisitos em relação ao segundo corpo o que implica que o CIR do segundo corpo tem estar no prolongamento da reta 1 CIR CIR12 Isso comprova o primeiro teorema Os CIRs absolutos de 2 corpos e o respectivo CIR relativo estão posicionados na mesma recta A figure abaixo mostra uma das possíveis posições do CIR2 Admitindo que a recta que une o CIR do segundo corpo com a rótula interna tem comprimento 2 L os ângulos de rotação dos dois corpos verificam 1 1 2 2 L L u Na realidade os ângulos têm sentidos opostos mas não se costuma introduzir o sinal na relação acima Os sentidos correctos dos deslocamentos determinamse de acordo com os esboços que apoiam a resolução A recta que une os CIRs na figura acima está inclinada e o ângulo deste declive pode ser designado como O ângulo é finito ou seja grande e não tem nenhuma relação com as infinitesimais rotações dos corpos Verificase que 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin L L L L d d L L h h ou seja a relação entre os ângulos pode ser deduzida em qualquer projecção Para esta projecção usase naturalmente a posição do CIR relativo na forma indeformada Durante as Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 resoluções é assim possível simplificar os cálculos e retirar as relações necessárias do esboço mais vantajoso O primeiro teorema não está limitado às ligações via rótulas internas mas tem validade geral Justificase em seguida a sua validade quando a ligação interna está na forma de encastramento deslizante com ângulos rectos Da forma análoga admitese que dois corpos estão ligados via encastramento deslizante interno e que a posição do CIR do primeiro corpo é conhecida Neste caso o deslocamento virtual infinitesimal do ponto em que está posicionado o encastramento é conhecido e o vector do deslocamento é perpendicular à recta que une o CIR do corpo com o encastramento O encastramento deslizante interno tem que ser considerado como parte integrante dos dois corpos e por isso o deslocamento da parte adjacente tem que também verificar os requisitos em relação ao segundo corpo o que implica que o CIR do segundo corpo tem estar no prolongamento da recta que une o CIR do primeiro corpo com o encastramento deslizante na posição indeformada Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 As rectas que unem os CIRs com o encastramento deslizante têm de estar paralelas na posição deformada visto que a rotação relativa tem que ser nula A impossibilidade da rotação relativa indica que o ponto que sofre a rotação relativa não existe por ouras palavras só pode estar posicionado no infinito A posição paralela das rectas deformadas indica que os ângulos de rotação dos dois corpos são iguais incluindo o sentido Uma das possíveis posições do CIR2 visualizase abaixo A justificação acima além de verificar o primeiro teorema justificou que o CIR relativo do encastramento deslizante interno está posicionado no infinito na direcção perpendicular ao deslizamento Recordase que os CIRs se referem a uma posição instantânea ou seja as suas posições são válidas num único instante Se for necessário examinar o movimento completo do mecanismo seria preciso para cada instante determinar a nova posição dos CIRs Os deslocamentos infinitesimais apenas indicam a tendência do movimento mas a nova posição do mecanismo precisava de obedecer as regras dos movimentos finitos ou seja sem alongamentos infinitesimais das barras No capítulo de cinemática será importante distinguir os CIRs que mantêm as suas posições ao longo do movimento completo como por exemplo apoios fixos e os CIRs que alteram a sua posição em cada instante que são aqueles que foram determinados via algumas regras e teoremas e encontrados na intersecção de rectas de auxílio Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 O segundo teorema Os CIRs relativos de 3 corpos estão posicionados numa recta Prova Admitese que há 3 corpos azul verde e vermelho e que a posição dos 3 CIRs absolutos e 2 CIRs relativos é conhecida Na forma gráfica é possível encontrar o terceiro CIR relativo Em seguinda será mostrado que este está posicionado na recta que une os dois CIRs relativos conhecidos A demostração na figura abaixo usa as projecções porque assim é fácil manter o mesmo ângulo de rotação para cada corpo Primeiro arbitramse as posições 1 CIR 2 CIR 3 CIR 12 CIR e 23 CIR A cor dos corpos mantémse nas rectas que verificam o movimento desse corpo A recta cinzenta representa a ligação entre 1 CIR e 3 CIR porque ainda não se sabe onde fica a separação dos movimentos deles 13 CIR As posições dos CIRs conhecidos projectamse para uma recta horizontal Em seguida arbitrase um dos ângulos de rotação Recordase que neste esboço é preciso manter os CIRs absolutos na recta horizontal fixos Os deslocamentos comuns dos corpos ligados representamse na posição dos CIRs relativos na direcção vertical Facilmente podemse determinar os outros ângulos mantendo o mesmo deslocamento no local dos CIRs relativos Isso indica a posição do 13 CIR na intersecção da recta vermelha vertical com a recta cinzenta Unindo depois este ponto com os 12 CIR e 23 CIR notase que eles estão numa recta violeta tracejada 1 1 CIR 2 CIR 3 CIR 12 CIR 23 CIR 1 2 2 3 3 1 CIR 2 CIR 3 CIR 12 CIR 23 CIR CIR13 Sebenta de Disciplina DCR Zuzana Dimitrovová DECFCTUNL 2017 Problema 1 Considerando a estrutura ACB determine as reacções em B Utilize o método dos trabalhos virtuais Exprime o trabalho virtual usando as variações e pela ajuda dos CIRs solução 2 tan P HB 2 P VB Problema 2 Utilizando o método dos trabalhos virtuais determine o valor do momento M que mantém a estrutura em equilíbrio Na resolução use os CIRs solução tan 2 PL M