Teoria das Estruturas: O Processo dos Esforços

FACENS FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TEORIA DAS ESTRUTURAS O PROCESSO DOS ESFORÇOS Prof JOSÉ LUIZ F de ARRUDA SERRA SUMÁRIO 01 Introdução 01 02 Conceitos fundamentais 01 03 Exemplos de estruturas hiperestáticas 02 31 Treliças 02 32 Estruturas aporticadas 02 04 Solução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços 04 05 Exemplo número 1 05 06 Exemplo número 2 09 07 Exemplo número 3 variação de temperatura 12 08 Exemplo número 4 estrutura atirantada 14 09 Exemplo número 5 treliça hiperestática 16 10 Exercícios propostos 18 1 O PROCESSO DOS ESFORÇOS edição beta abril de 2000 1 Introdução O Processo dos Esforços também chamado Método das Forças é um processo de cálculo para a determinação dos esforços em estruturas hiperestáticas Este processo assim como o Processo de Cross e o Processo dos Deslocamentos que serão vistos oportunamente baseiamse nas hipóteses de cálculo do Método Clássico fornecendo portanto os mesmos resultados após a análise As hipóteses fundamentais do Método Clássico para solução de problemas referentes às estruturas reticulares formadas por barras são 1 Validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral 2 Continuidade da estrutura caracterizada pelo fato de não apresentarem pontos angulosos as linhas elásticas das barras cujos eixos também não tenham pontos angulosos estes se houver serão considerados como nós e de se conservarem constantes os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas nos nós 3 Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos proporcionalidade entre tensões e deformações conservação das seções planas 4 Superposição de efeitos isto é o efeito produzido por um conjunto de ações cargas temperatura etc é igual a soma dos efeitos destas ações atuando isoladamente 2 Conceitos fundamentais Estrutura isostática é aquela para a qual as equações de equilíbrio da Mecânica Geral são suficientes para a determinação de todos os esforços externos e internos Estrutura hiperestática é aquela para a qual as equações de equilíbrio da Mecânica Geral não são suficientes para a determinação de todos os esforços externos e internos há necessidade de se estabelecer equações de compatibilidade de deslocamentos Incógnitas hiperestáticas são os esforços externos ou internos que existem a mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio Também recebem o nome de redundantes Grau de hiperestaticidade é o número de incógnitas hiperestáticas ou redundantes da estrutura Hiperestaticidade externa é o número de reações de apoio superior a três Hiperestaticidade interna é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhe cidas todas as reações Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre si formam uma poligonal fechada Naturalmente o grau de hiperestaticidade total é a soma do externo mais o interno e é o que influi na solução 2 3 Exemplos de estruturas hiperestáticas 31 Treliças Chamando de b o número de barras e n o número de nós e lembrando que um apoio móvel pode ser substituído por uma barra e o apoio fixo por duas temse a relação exceto os casos excepcionais b 2n sistema móvel ou cadeia cinemática b 2n treliça isostática b 2n treliça hiperestática O grau de hiperestaticidade da treliça é o número de barras que supera 2n Convém recordar aqui que a condição b 2n é necessária mas não suficiente para que a treliça seja isostática Assim podem ocorrer casos excepcionais em que esta expressão é satisfeita mas a treliça não é isostática A maioria dos casos excepcionais podem ser percebidos intuitivamente enquanto que os casos mais sutis podem ser determinados por não apresentarem solução ou o sistema de 2n equações obtido pela aplicação das equações de equilíbrio ΣX 0 e ΣY 0 para cada nó não tem solução definida isto é o determinante dos coeficientes é nulo 32 Estruturas aporticadas A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas é a técnica da árvore A árvore é uma estrutura em balanço ou seja engastada na terra engastamento dado através das raízes três vínculos e com galhos barras ligadas por nós rígidos sem formar anel isto é sem fechar Como a árvore é isostática devese procurar através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores separadas Quando estiver formando um anel há necessidade de abrir o anel através de um corte Uma chapa ao ser cortada perde três barras vinculares que transmitiam N Q e M Uma barra interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra vincular Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra vincular Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores o número de barras vinculares retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos é o grau de hiperestaticidade Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras vinculares que supera três A figura 31 mostra vários exemplos e tipos de estruturas indicando o respectivo grau de hiperestaticidade 3 Figura 31 Exemplos de graus de hiperestaticidade 4 4 Solução de estruturas hiperestáticas pelo Processo dos Esforços A solução de estruturas hiperestáticas utilizando o Processo dos Esforços é feita através de uma superposição de efeitos e estabelecimento de um sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos O primeiro passos é determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura e transformála em uma estrutura isostática pela retirada dos vínculos em excesso definindose as incógnitas hiperestáticas A estrutura isostática obtida é denominada Estrutura Isostática Fundamental EIF Vários exemplos serão resolvidos com comentários quando se fizerem necessários para a compreensão do processo que pode ser resumido como segue Caso se tenha uma estrutura n vezes hiperestática adotase n incógnitas hiperestáticas X1 X2 Xn definindo uma Estrutura Isostática Fundamental EIF A aplicação conveniente do Princípio de Superposição de Efeitos conduz à equação de superposição r 0 X1 1 X2 2 Xn n na qual r problema real 0 problema zero Estrutura Isostática Fundamental EIF submetida apenas ao carregamento dado 1 problema um EIF submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X1 2 problema dois EIF submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de X2 M n problema ene EIF submetida apenas a um esforço unitário na direção e sentido de Xn Como a equação de superposição de efeitos r 0 X11 X22 Xnn vale para qualquer esforço ou deslocamento podese aplicála para os deslocamentos nas direções e sentido das incógnitas hiperestáticas obtendose um sistema linear de equações de grau n conhecido como sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos 1real 10 δ11X1 δ12X2 δ1nXn 2real 20 δ21X1 δ22X2 δ2nXn M nreal n0 δn1X1 δn2X2 δnnXn Notação ireal deslocamento na direção e sentido de Xi no problema real Em geral igual a zero exceto se houver recalque correspondente à incógnita Xi i0 deslocamento na direção e sentido de Xi na EIF devido ao carregamento deslocamentos no problema zero 5 δij deslocamento na direção e sentido de Xi na EIF devido a um esforço unitário na direção e sentido de Xj deslocamentos no problema jota O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos usando a notação matricial pode ser escrito δij Xi ireal i0 Os deslocamentos δij são denominados coeficientes de flexibilidade e δij é a matriz de flexibilidade Os deslocamentos são calculados através do PTV ds EA N N ds GA cQ Q ds EI M M 1 0 1 0 1 0 10 δ ds EA N N ds GA cQ Q ds EI M M j i j i j i ij Para os casos usuais de estruturas lineares de nós rígidos as parcelas dos deslocamentos causados pelos esforços cortantes Q e forças normais N são desprezíveis em face da parcela devido ao momento fletor As integrais são estendidas a toda a estrutura e o sistema de equações é simétrico pois δij δji teorema da reciprocidade de Maxwell Após resolvido o sistema δij Xi ireal i0 os valores dos esforços obtidos para as incógnitas X1 X2 Xn além do carregamento original devem ser aplicados na EIF para a solução final dos itens desejados 5 Exemplo número 1 Determinar os diagramas de M e Q da viga contínua da figura 51 O produto de rigidez à flexão EI é constante e como é usual nos cálculos manuais das estruturas reticulares formadas por barras o efeito do esforço cortante nas deformações será desprezado Figura 51 Exemplo número 1 A viga da figura 51 é uma vez hiperestática Teoricamente existem infinitas alternativas para transformála em uma estrutura isostática com a retirada de um vínculo 6 externo ou interno Naturalmente devese procurar uma estrutura isostática básica ou fundamental simples via de regra simplesmente apoiada ou eventualmente articulada nos nós intermediários A figura 52 mostra quatro opções para a Estrutura Isostática Fundamental EIF As opções a e c foram obtidas pela retirada de um vínculo externo reações de apoio As opções b e d mantiveram intactas as vinculações da viga retirando vínculos internos correspondentes ao momento fletor ou seja introduzindo articulações As opções a e b são mais aconselháveis por manter a simetria da estrutura Figura 52 Opções para estrutura isostática fundamental Vamos adotar a opção a Separando o carregamento aplicado da incógnita X1 podemos aplicar a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 53 Figura 53 Superposição de efeitos Substituindose o apoio B pelo valor da reação que por ser incógnita chamamos de X1 continuamos a ter a mesma situação do problema real O sentido adotado para a incógnita define o sentido positivo para os esforços e deslocamentos naquela direção Assim os 7 deslocamentos 1real 10 e δ11 são medidos na direção da incógnita e serão positivos se estiverem no mesmo sentido adotado para X1 Convém notar que 1real ou seja o deslocamento na direção e sentido de X1 no problema real é nulo sendo diferente de zero apenas se houver recalque no apoio B cujo valor deve ser conhecido 10 é o deslocamento na direção e sentido de X1 no problema zero estrutura isostática fundamental submetida ao carregamento dado e no caso analisado certamente deverá resultar através dos cálculos negativo pois sabese que a elástica da viga do problema 0 se desenvolve para baixo e o sentido positivo do deslocamento 10 imposto pela orientação adotada para X1 é para cima O conhecimento prévio do sentido dos deslocamentos não é necessário sendo conveniente avaliálos nos casos simples apenas com o intuito de controle dos cálculos evitando erros grosseiros O problema um é a aplicação de uma carga unitária na direção e sentido da incógnita que foi colocada em evidência multiplicando o carregamento unitário A notação tradicional para os deslocamentos é usarse letras gregas maiúsculas para os deslocamentos dos problemas real e zero e gregas minúsculas nos outros problemas Os índices dos deslocamentos seguem o padrão o primeiro índice indica o local do deslocamento e o segundo a causa ou problema em outras palavras deslocamentoij é o deslocamento na direção e sentido de Xi no problema j A equação que retrata a superposição da figura 53 é r 0 X1 1 51 Esta equação de superposição vale para qualquer esforço ou deslocamento Aplicando para os deslocamentos na direção da incógnita hiperestática temos 1real 10 X1 δ11 52 Esta equação recebe o nome de equação de compatibilidade de deslocamento A única incógnita nesta equação é X1 pois 1real é nulo neste problema e os deslocamentos 10 e δ11 são deslocamentos em estrutura isostática com carregamentos conhecidos podendo ser determinados através do PTV utilizando a técnica da carga unitária Para o cálculo de 10 o problema 0 é o estado de deslocamento e o estado de carregamento unitário correspondente ao deslocamento 10 é o problema 1 Analogamente para o cálculo de δ11 o problema 1 é o estado de deslocamento e também o estado de carregamento unitário Assim 10 será determinado combinandose M0 com M1 e δ11 resultará da combinação de M1 com M1 A figura 54 mostra os diagramas de momento fletor M0 e M1 correspondentes aos problemas 0 e 1 respectivamente 8 Figura 54 Diagramas de momento fletor A aplicação da técnica da carga unitária fornece desprezandose os efeitos da força cortante nas deformações δ δ M M ds EI ds EI M M M M ds EI ds EI M M 1 1 11 1 1 11 1 0 10 1 0 10 53 Ou 24 p 5 2 p 2 12 5 2 EI 4 2 10 l l l l 54 l l l p 4 5 4 3 1 2 EI 2 11 δ 55 A equação de compatibilidade de deslocamentos fica 11 10 1 11 1 10 11 1 10 1real X X 0 X δ δ δ 56 l p 4 X 1 5 57 Com o valor de X1 conhecido qualquer esforço ou deslocamento na estrutura hiperestática real pode ser determinado através da superposição do problema 0 mais X1 vezes o problema 1 Zr Z0 X1 Z1 Z esforço ou deslocamento qualquer58 Alternativamente podese resolver a estrutura isostática fundamental adotada carregada com as cargas dadas mais a incógnita aplicada como carga externa Usando este procedimento temse os diagramas de M e Q conforme figura 55 9 Figura 55 Diagramas finais 6 Exemplo número 2 Resolver o pórtico da figura 61 de EI constante Figura 61 Exemplo número 2 Tratase de uma estrutura duas vezes hiperestática A figura 62 mostra três opções para escolha das incógnitas hiperestáticas e as respectivas estruturas isostáticas fundamentais resultantes Naturalmente o resultado final será o mesmo qualquer que seja a opção escolhida variando apenas os cálculos durante o desenvolvimento da solução A incógnita X1 terá o mesmo valor nas opções a e c assim como a incógnita X2 será igual nas opções a e b pois são os valores finais das reações respectivas no problema real 10 Figura 62 Opções para estrutura isostática fundamental Adotandose a opção a temos o esquema estático ou superposição de efeitos apresentado na figura 63 a qual inclui os diagramas de momento fletor dos problemas 0 1 e 2 Figura 63 Superposição de efeitos Os deslocamentos multiplicados pelo produto EI constante valem 2 0 1 10 9 tm 1 54 3 1 6 M M ds EI 3 0 2 20 36 tm 4 54 3 1 6 M M ds EI 11 6 m 1 3 1 6 1 4 M M ds EI 2 2 1 1 11 δ 3 2 2 2 2 22 m 3 160 4 3 1 6 4 3 1 4 M M ds EI δ 2 2 1 21 12 16 m 4 1 3 1 6 4 1 2 1 4 M M ds EI EI δ δ O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos δij Xi ireal i0 fica lembrando que ireal 0 10 2 12 1 11 X X δ δ 6 X1 16 X2 9 ou 20 2 22 1 21 X X δ δ 16 X1 1603 X2 36 Resolvendo temos X1 1500 tm X2 1125 t A figura 64 mostra a estrutura isostática fundamental com o carregamento dado e as incógnitas aplicadas As reações de apoio foram determinadas e os diagramas dos esforços solicitantes M Q e N desenhados exceto para N por ser constante nos trechos concluindo a solução Figura 64 Resultados finais 12 7 Exemplo número 3 variação de temperatura Supondo que o pórtico do exemplo anterior figura 61 ao invés do carregamento sofra um acréscimo de temperatura nas fibras externas de 40o C determinar os diagramas de M Q e N O coeficiente de dilatação térmica vale 12 105 oC1 o módulo de elasticidade E vale 2 106 tm2 e a seção transversal das barras é retangular com base b 030m e altura h 050m h sempre no plano da figura Adotandose a mesma estrutura isostática fundamental usada para a solução do exemplo anterior não haverá alteração na matriz de flexibilidade da estrutura ou seja os deslocamentos δij não se alteram pois os problemas 1 e 2 da superposição são os mesmos Apenas o problema 0 é alterado agora os deslocamentos e deformações são devido a uma variação não uniforme de temperatura ao invés do carregamento A figura 71 mostra a superposição de efeitos e os diagramas das deformações no problema 0 e dos esforços solicitantes nos problemas 1 e 2 Figura 71 Exemplo número 3 variação de temperatura 13 Neste caso a variação de temperatura média no eixo da barra vale 20o C e o gradiente de temperatura dth vale 4005 80 oCm As deformações diferenciais du e dϕ na direção da normal e do momento no problema 0 valem respectivamente du αt médiods 24 105 m dϕ αgradienteds 96 105 radianos Os deslocamentos 10 e 20 no problema 0 e nas direções de X1 e X2 respectivamente valem ϕ M d du N 1 1 10 ϕ M d du N 2 2 20 Cuidado especial deve ser tomado na avaliação do sinal resultante das integrais acima elas serão positivas quando as deformações du e dϕ forem concordantes com os esforços correspondentes N e M Para evitar confusão na figura 71 foram desenhados os diagramas de du considerado positivo se há aumento de temperatura e portanto alongamento da barra e de dϕ desenhado do lado da fibra distendida em concordância com a convenção adotada para o gráfico de M Assim os valores de 10 e 20 podem ser avaliados normalmente através das tabelas do produto de duas funções m 656 10 10 96 1 2 1 6 96 10 1 4 10 24 6 1 4 5 5 5 5 10 m 1712 10 96 10 4 2 1 6 4 24 10 6 1 10 24 3 2 4 5 5 5 5 20 Os valores de δ11 δ22 e δ12 δ21 a menos do produto EI já foram calculados no exemplo anterior Assim multiplicandose os valores de 10 e 20 por EI temse E 2 106 tm2 I bh312 3125 103 m4 EI 6250 tm2 10 2 12 1 11 EI X EI X EI δ δ 6 X1 16 X2 41 ou 20 2 22 1 21 EI X EI X EI δ δ 16 X1 1603 X2 107 Resolvendo obtémse X1 7417 tm X2 0219 t A figura 72 mostra os esforços finais na estrutura e os diagramas pedidos 14 Figura 72 Resultados finais 8 Exemplo número 4 estrutura atirantada No caso de estruturas atirantadas a deformação por força normal no tirante naturalmente deve ser considerada pois é a única que atua nesta peça da estrutura A figura 81 mostra uma viga em balanço AB de rigidez à flexão EI 103 tm2 reforçada por um tirante de rigidez axial EA 25 103 t A mesma figura ilustra o esquema estático ou superposição de efeitos adotandose como incógnita hiperestática o esforço normal no tirante Mostra também os diagramas de momento fletor M0 e M1 na barra AB correspondentes aos problemas 0 e 1 e o valor constante da força normal N1 1 no tirante apenas no problema 1 pois no problema 0 o valor do esforço normal N0 no tirante é nulo Os efeitos da força cortante e força normal na deformação da viga AB serão desprezados conforme o procedimento usual adotado para as barras com flexão Os deslocamentos 10 e δ11 valem viga 1 0 viga 10 1 0 10 M M ds ou EI ds EI M M δ δ viga tirante viga tirante 2 1 11 2 1 2 1 11 EA EI M ds ou EI ds EA N ds EI M l 15 Figura 81 Exemplo número 4 Estrutura atirantada Efetuandose os cálculos 3 10 1152 tm 42 84 4 1 4 EI 3 3 3 2 11 9 68m 5 10 52 10 42 3 1 4 EI Aplicandose a equação de compatibilidade de deslocamentos 1real 10 X1 δ11 0 1152 X1 968 daí X1 119 t 16 A figura 82 apresenta os diagramas finais obtidos Figura 82 Exemplo número 4 Resultados finais 9 Exemplo número 5 treliça hiperestática A figura 81 mostra uma treliça uma vez hiperestática internamente b13 n6 de barras com rigidez axial EA constante Como a estrutura é isostática externamente há necessidade de adotarse como incógnita hiperestática um esforço interno tendo sido escolhida a força normal na barra 56 conforme ilustra a mesma figura mostrando também a respectiva superposição de efeitos Os deslocamentos 10 e δ11 valem l l 1 0 10 1 0 10 N N EA ou EA N N δ δ l l 2 1 11 2 1 11 N EA ou EA N A tabela 81 organiza os valores necessários para o calculo dos somatórios 0 944 t 1350 1275 EA EA X dai 11 10 11 10 1 δ δ Com X1 determinado obtémse Nr N0 0944 N1 conforme consta na tabela 81 A figura 82 apresenta os resultados finais 17 Figura 81 Exemplo número 5 Treliça Tabela 81 Barra l N0 N1 N0 N1 l N1 2 l NrN00944N1 12 20 400 0 0 0 4000 23 20 400 100 800 200 3056 34 20 300 0 0 0 3000 15 25 125 0 0 0 1250 56 20 0 100 0 200 0944 46 25 375 0 0 0 3750 25 15 0 075 0 084375 0708 35 25 125 125 390625 390625 0069 26 25 0 125 0 390625 1181 36 15 075 075 084375 084375 0042 Σ 1275 1350 Figura 82 Exemplo número 5 Resultados finais 18 10 Exercícios propostos Para as estruturas das figuras abaixo traçar M Q e N respostas ao lado 01 02 03 19 04 05 06 07