Lista de Exercícios: Cálculo 4 - Integrais e Transformadas

Exercícios lista 1 Cálculo 4 Exercícios lista 2 Cálculo 4 Questão 1 Calcule as seguintes integrais a z 1² dz Exercícios lista 3 Cálculo 4 b sin² z dz Questão 1 Calcule as seguintes transformadas Questão 2 Se C é descrito por zt 2eit 0 t 2π calcule 1 L7cos 3t sen3t a C Rez dz 2 L5e3t X 3 2 4 X b C Imz dz 3 Le3tsen4t x 4x 5y c C z² dz 4 Le3tcos 2t fx 1 se 0 x π d C z² dz 5 Le3tsen4t Questão 3 Seja uma barra de alumínio α 086 de comprimento l 20cm com a temperatura inicial uniforme de 25 C Suponhamos que no instante t 0 a extremidade é resfriada a 0 C enquanto a extremidade x l é aquecida a 60 C mantendose depois imutáveis as temperaturas das duas extremidades a Achar a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante t b Usar apenas o primeiro termo da série ux t para achar a temperatura aproximada em x 5cm quando t 30s e quando t 60s c Usar os dois primeiros termos da série de ux t para determinar um valor aproximado de u530 Qual a diferença percentual entre as aproximações com um termo e com dois termos O terceiro termo tem efeito apreciável para esse valor de t Questão 3 Calcule a integral C fz dz onde fz z² 4z 3 e C é um caminho que vai de z i até z 1 de cinco maneiras diferentes 6 Le3tcos 2t a c usando uma primitiva para fz 7 Lcosh 2t 3senh2t b C é um segmento sobre a reta y x 1 8 Lt2cos t c C é um arco sobre a parábola y x² 1 9 Lte3t sen 2t d C é um arco sobre a circunferência de centro na origem e raio 1 10 L4cos 2t tcos 2t e C é formado por dois segmentos de reta um sobre o eixo imaginário que vai de i à origem outro sobre o eixo real que vai de 0 até 1 11 L3cos 2t te5t Questão 4 Calcule zz i dz sabendo que C é uma circunferência orientada positivamente descrita por cada uma das seguintes equações 12 L3cos 2t te5t a z i 1 Questão 2 Calcule as seguintes transformadas inversas b z i 12 1 Fs 12s26s13 c z 12 i 2 2 Fs 3s15s23s d z 12 i 1 3 Fs 9s22 Questão 5 Seja C um quadrado que tem extremidades de uma das diagonais nos pontos 1 i e 1 i descrito no sentido positivo Calcule cada uma das seguintes integrais 4 Fs 8ss26s13 a 12 z dz 5 Fs 3s9s39s b z22 z dz 6 Fs s7s2s6 c ezz² 1 dz 7 Fs 2s26s9s39s d z 1z² 1 dz 8 Fs 6ss29 Questão 11 Determine a imagem do círculo S z C z 1 1 pela função fz z² 2z Questão 3 Encontre a solução de cada PVI Questão 12 Mostre por definição que lim zi 2z² iz 2z i 6i 1 y 3y 18t y0 5 Questão 13 Calcule os limites 2 y 5y et y0 7 y0 11 1 lim z0 1 cos z2z 3 y 9y 36 y0 0 y0 2 2 lim z0 z sen zz³ 1 4 y 3y 2y 20sen t y0 0 y0 0 3 lim z z²3x 1² 5 y 4y 0 y0 2 y0 6 4 lim z zz² 1 6 y3 2y 4t y0 y0 0 y0 4 Questão 14 Determine onde fz é analítica quando fz x ay² 2ix ay 7 y y 8t y0 0 y0 10 Questão 15 Verifique em quais pontos as funções são analíticas Em quais pontos são deriváveis 8 y3 2y 0 y0 y0 0 y0 32 1 fz z³ z 2 fz ix 2 3 fz 1z 4 z²