Primeira Lei da Termodinâmica: Conservação da Massa e Energia

Termodinâmica 6 Primeira Lei da Termodinâmica para volume de controle 181 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v 24 182 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Os princípios básicos que nos são importantes estão escritos para um sistema Assim temos as expressões a seguir para a conservação da massa e da energia Introdução m constante 183 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Vamos escrever expressões equivalentes para um volume de controle Conservação da massa Podemos fazer isso considerando um sistema com fronteira móvel sistema mt mvctme sistema mtΔt mvctΔtms No instante t No instante tΔt mVCt mVCtΔt me ms mvctme mvctΔtms 184 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Agrupando os termos e dividindo por t Conservação da massa mvctΔt mvct me ms Δt Generalizando para outras entradas e saídas vazão mássica massatempo Δt 0 185 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Taxa de variação da massa contida no VC no instante t Taxa com que massa entra no VC Taxa com que massa sai do VC Conservação da massa Deduzimos De fato fizemos a seguinte conta 186 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo De forma análoga podemos deduzir a expressão da conservação da energia para um volume de controle Conservação da energia No instante t No instante tΔt EVCt EVCtΔt meee mses Qvc Wvc 187 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Conservação da energia Dividindo por Δt e aplicando o limite Δt 0 Agrupando os termos A potência pode ser dividida em dois componentes O que é essa tal de potência de fluxo dEvc dt me ue Ve 2 2 gze ms us Vs 2 2 gzs Qvc W 188 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Trabalho de fluxo Analogamente poderíamos repetir a análise para uma saída Dessa forma chegamos na expressão da potência de fluxo Para entender o porque da divisão e a introdução do trabalho de fluxo considere as figuras a seguir No instante t VC dme dx P PA O trabalho realizado pela vizinhança para que dme entre no sistema é PAdx Por sua vez a potência é dada PAV V é a velocidade média com dme entre no sistema Por que o sinal negativo associado à entrada 189 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Substituindo o resultado anterior na expressão da 1a Lei 1a Lei da Termodinâmica Expressão para volume de controle Lembrando da definição de entalpia e generalizando para várias entradas e saídas 190 Princípios de conservação para volume de controle Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Resumo Conservação da massa Conservação da energia 191 Regime permanente Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Caso particular O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas O estado da massa em cada ponto do VC não varia com o tempo O fluxo e o estado da massa em cada área discreta de escoamento na superfície de controle não variam com o tempo As taxas nas quais o calor e o trabalho cruzam a superfície de controle permanecem constantes 192 Regime permanente Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Caso particular O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas O estado da massa em cada ponto do VC não varia com o tempo As velocidades do fluido nas entradas e saídas são velocidades relativas ao VC portanto nesse caso absolutas 193 Resumos das equações com uma entrada e uma saída Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Regime permanente Combinando com a conservação da massa Dividindo pela vazão mássica 194 Bocal Difusor Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aplicação Misturador sc 195 Restrição Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aplicação sc 1a Lei he hs isentálpica Exemplos válvula e tubo capilar 196 Turbina Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de aplicação Compressor Bomba sc wvc he hs Note que resulta wvc 0 e que a vazão mássica dita a potência wvc wvc sc wvc he hs Note que resulta wvc 0 e que a vazão mássica dita a potência 197 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 1 Evaporador flash Propõemse usar um suprimento geotérmico de água quente para acionar uma turbina a vapor dágua utilizando o dispositivo esquematizado na figura Água a alta pressão 15 MPa e 180 oC é estrangulada e segue para um evaporador instantâneo flash adiabático de modo a se obter líquido e vapor à pressão de 400 kPa O líquido sai pela parte inferior do evaporador enquanto o vapor é retirado para alimentar a turbina O vapor sai da turbina a 10 kPa e com título igual a 90 Sabendo que a turbina produz uma potência de 1 MW qual é a vazão necessária de água quente que deve ser fornecida pela fonte geotérmica 198 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 1 Estado 1 conhecemos P e T Tabela de saturação a 1500 kPa Tsat 19832 oC como T1 Tsat temos líquido comprimido v1 vl 0001154 m3kg u1 ul 84314 kJkg h1 u1 P1v1 8449 kJkg Estado 2 vapor saturado seco a 400 kPa e Tsat 14363 oC h2 hv 273853 kJkg Estado 3 líquido e vapor saturados a 10 kPa e x3 09 h3 1 x3hl x3hv 1 0919181 09258463 23453 kJkg 199 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 1 VC turbina Hipóteses 1 Processo adiabático 2 3 2 Variações de energia cinética e potencial desprezível 3 Regime permanente wvc he hs wt h2 h3 39323 kJkg Wt wt mt mt Wt wt 1000 39323 254kg s 200 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 1 No evaporador temos líquido e vapor saturados com título desconhecido Hipóteses 1 Válvula adiabática 2 Variações de energia cinética e potencial desprezível x m2 m1 Esse título permite determinar a relação entre as vazões mássicas na entrada e saídas do evaporador Por que Podemos determinar o título aplicando a 1a lei à válvula he hs hs h1 7638 kJkg hl 400 kPa 60473 kJkg hV 400 kPa 273853 kJkg x 007447 m1 m2 x 254 007447 m1 341kg s 201 Regime uniforme Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Caso particular O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas O estado da massa dentro do VC pode variar com o tempo mas é uniforme ao longo de todo o VC o estado da massa que atravessa cada uma das áreas de fluxo na superfície de controle é constante e uniforme embora as vazões possam variar com o tempo Hipótese principal 202 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Regime Uniforme Vamos integrar as expressões a seguir de um instante inicial 1 até um instante t 2 de forma a eliminar a equação diferencial dt dt 203 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Regime uniforme Vamos integrar termo a termo a expressão da conservação da massa e energia Combinando as expressões anteriores 204 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Regime uniforme Combinando as expressões anteriores Qvc dt 1 2 Wvc dt 1 2 205 Resumo das equações Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Regime uniforme 206 Enchimento de um tanque com um gás perfeito Tfinal Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo vácuo gás a P0 T0 estado constante Hipóteses Gás perfeito Calores específicos constantes Regime uniforme Processo adiabático Estado final de equilíbrio m2 me Sobre o estado final conhecemos apenas uma propriedade intensiva independente a pressão P0 A outra será determinada pela aplicação dos princípios de conservação m2 u2 me he 207 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo Enchimento de um tanque com um gás perfeito Tfinal vácuo gás a P0 T0 estado constante Combinando as expressões obtémse m2 me m2 u2 me he u2 he Considerando calores específicos constantes cv0 T2 cp0 T0 T2 k T0 Quais são as demais considerações usadas nessa equação Portanto T2 será maior que T0 pois k é maior que um Resolva novamente o exercício usando a abordagem de sistema 208 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2 Considere a situação proposta em que um reservatório inicialmente evacuado é enchido lentamente com ar oriundo de uma grande linha de ar comprimido P0 1 MPa e T0 27oC após a abertura da válvula A pressão necessária para erguer o pistão é de 100 kPa O volume do reservatório quando o pistão encontra os batentes é de 1 m3 O reservatório e o êmbolo estão isolados termicamente Determine a o trabalho realizado pelo gás no tanque b a temperatura e massa do ar no reservatório quando o pistão encosta nos batentes c a temperatura e a pressão do ar no reservatório na condição de equilíbrio momento em que a válvula é fechada d a pressão e o calor trocado entre o ambiente a 27oC e o ar no tanque após a remoção do isolante e até a nova condição de equilíbrio ponto de partida é o estado do item c 209 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2 Estado 1 início Estado 2 pistão toca batentes Estado 3 fim do enchimento Estado 4 Equilíbrio com ambiente Hipóteses 1 O volume de controle envolve o ar no interior do tanque 2 Os estados 1 2 3 e 4 são estados de equilíbrio 3 O processo de enchimento é quaseestático 4 Não há atrito entre o pistão e o cilindro 5 Condições de regime uniforme 6 Comportamento de gás perfeito 7 Calores específicos constantes avaliados em 300 K 210 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2 a o trabalho realizado pelo gás no tanque W14 PdV P2V2 1001 W14 100 kJ b a temperatura e massa do ar no reservatório quando o pistão encosta nos batentes 1a lei regime uniforme U2 U1 Q12 W12 minhin mouthout m2cvT2 W12 m2cpT0 Simplificando U2 W12 minh0 CM m2 min U2 W12 m2h0 P2V2RT2cvT2 P2V2 P2V2RT2cpT0 1Rcv 1 1RT2cpT0 cv R cpT0T2 x R cv 1 Rcv kT0T2 1 1 k kT0T2 T0 T2 m2 P2V2RT2 m2 116 kg 211 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2 c a temperatura e a pressão do ar no reservatório na condição de equilíbrio momento em que a válvula é fechada 1a lei regime uniforme U3 U1 Q12 W12 minhin mouthout m3cvT3 W12 m3cpT0 Simplificando U3 W12 m3h0 T3 kT0 1 W121k P3V3 Após alguma álgebra T3 404 K P3 P0 1 MPa 212 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 2 d a pressão e o calor trocado entre o ambiente a 27oC e o ar no tanque após a remoção do isolante e até a nova condição de equilíbrio ponto de partida é o estado do item c 1a lei regime uniforme U4 Q34 W14 m3h0 Q34 m3cvT4 T3 ou 1a lei para sistema U4 U3 Q34 Q34 P3V3RT3cvT4 T3 Q34 P3V3T4 T3 1 k 1 Q34 644 kJ 213 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Um vaso de pressão cilíndrico com volume de 900 litros contém água saturada a 300º C sendo 70 do volume ocupado por líquido Retiramse lentamente 90 da massa de água pela parte inferior por um tubo vertical no centro do cilindro o qual dispõe de uma válvula de descarga e cuja tomada de fluido está a 23 da altura do tanque Durante o processo transferese calor de forma a manter a temperatura nesse tanque constante Defina o estado final da água no tanque Calcule a quantidade de calor transferida Determine a temperatura do fluido na saída da tubulação Despreze as variações de energia potencial e cinética 23H H líquido vapor 214 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado 1 início Estado 2 líquido atinge o dreno Estado 3 fim do esvaziamento Hipóteses 1 O volume de controle envolve o fluido no interior do tanque 2 Os estados 1 2 e 3 são estados de equilíbrio 3 O processo de esvaziamento é quaseestático 4 Condições de regime uniforme 6 Modelo de substância pura 215 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado 1 Estado 1 mistura líquido vapor saturados xvol 03 Da tabela de saturação a 300 oC P1 8581 kPa vl 0001404 m3kg vv 002167 m3kg ul 133197 kJkg uv 256296 kJkg hl 134401 kJkg hv 27489 kJkg ml1 Vl1 vl 07900 103 0001404 4487kg mv1 Vv1 vv 03900 103 002167 1246kg x1 mv1 m1 002702 Massas de líquido e vapor no estado 1 Demais propriedades do estado 1 m1 ml1 mv1 4612kg u1 1 x1ul1 x1uv1 1365kJ kg 216 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado 2 Estado 2 mistura líquido vapor saturados xvol 13 a 300 oC ml2 Vl2 vl 2 3900 103 0001404 4274kg mv2 Vv2 vv 1 3900 103 002167 1384kg ms12 m1 m2 20kg Massas de líquido e vapor no estado 2 Massa e entalpia correspondente do líquido saturado que deixa o volume de controle m2 ml2 mv2 4412kg hs12 hl 300 oC 134401kJ kg Processo 1 2 extraímos apenas líquido saturado do tanque 217 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado 3 Estado 3 v3 V m3 001952m3 kg ms23 m2 m3 3951kg Massa e entalpia correspondente do vapor saturado que deixa o volume de controle hs23 hv300 oC 27489kJ kg Processo 2 3 extraímos apenas vapor saturado do tanque m3 01m1 4612kg vl v3 001952 vv 002167 m3kgmistura x3 v3 vl vv vl 08937 u3 1 x3ul3 x3uv3 2432kJ kg 218 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Calor transferido 1a lei em regime uniforme Cálculo do calor transferido no processo 1 para 3 U2 U1 Q12 W12 minhin mouthout Q13 U3 U1 ms12 hs12 ms23 hs23 Q13 m3u3 m1u1 ms12hs12 ms23hs23 Q13 595400 kJ U3 U2 Q23 W23 minhin mouthout U2 U1 Q12 ms12 hs12 U3 U2 Q23 ms23 hs23 U3 U1 Q13 ms12 hs12 ms23 hs23 219 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado na saída Para determinar o estado do fluido na saída vamos fazer duas hipóteses adicionais válvula isentálpica pressão atmosférica igual a 100 kPa Para o processo 12 Tout12 T hs12 134401 kJkg e Patm como hl 41744 hs12 hv 267546 kJkg 100 kPa temos uma mistura na saída Tout12 9962 oC 220 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercício 3 Estado na saída Para o processo 23 Tout23 T hs23 27489 kJkg e Patm como hs23 hv 267546 kJkg 100 kPa temos vapor superaquecido na saída Tout23 1363 oC interpolando Mesma temperatura obtida com software 221 Mensagem final Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Encerramos o conteúdo para a primeira prova Alguma dúvida Termodinâmica 8 Entropia 266 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v 25 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Falamos sobre sentido natural dos processos oportunidade de realizar trabalho ou perda da fatores que impedem a realização do máximo trabalho irreversibilidades reversibilidade ciclo de Carnot e escala termodinâmica de temperatura Introdução Vimos dois enunciados da 2a Lei o de KelvinPlanck e o de Clausius Falamos nas aulas anteriores sobre a 2a Lei da Termodinâmica O que não fizemos foi desenvolver uma expressão matemática para a 2a Lei é o que faremos na seqüência 267 Motor térmico Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Desigualdade de Clausius Buscamos escrever uma equação matemática para representar a 2a Lei da Termodinâmica Considere um ciclo motor reversível ou irreversível Reservatório a TH Reservatório a TL QL QH Wlíquido Para esse ciclo a eficiência térmica é dada por ηmotor QL QH 1 Para um ciclo reversível vimos que o rendimento pode ser calculado por ηrev TL TH 1 268 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Desigualdade de Clausius No caso do motor reversível podemos escrever TL TH 1 QL QH 1 TL TH QL QH TL QL TH QH 0 Comparemos o rendimento de um ciclo irreversível com aquele de um reversível operando entre os mesmos reservatórios térmicos ηrev ηirrev TL TH 1 QL QH 1 TL QL TH QH 0 Generalizando para qualquer motor operando ciclicamente TL QL TH QH 0 269 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Desigualdade de Clausius Podíamos ter feito análise similar comparando os coeficientes de desempenho de refrigeradores e bombas de calor reversíveis e irreversíveis teríamos chegado à mesma conclusão Demonstramos assim a desigualdade de Clausius TL QL TH QH 0 T δQ 0 270 271 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo A propriedade entropia Considere um sistema que percorre dois ciclos reversíveis Ambos os ciclos começam no estado 1 e vão até o estado 2 sendo compostos por dois processos O primeiro ciclo é formado por dois processos A e B O segundo pelos processos B e C P v A B 2 1 Como os ciclos são compostos por processos reversíveis podemos escrever T δQ 0 1 2 A T δQ 2 1 B C T δQ 0 1 2 C T δQ 2 1 B 272 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo A propriedade entropia Combinando as equações anteriores T δQ 0 1 2 A T δQ 2 1 B T δQ 0 1 2 C T δQ 2 1 B T δQ 1 2 A T δQ 1 2 C Observe que a integral não depende do caminho para qualquer processo reversível ela só depende dos estados inicial e final 273 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo A propriedade entropia T δQ 1 2 rev Propriedade Assim sendo quando resolvemos a integral de linha ao longo de um processo reversível estamos calculando a variação de uma propriedade termodinâmica A essa propriedade dáse o nome de entropia S que como pode ser observado na expressão é dada em kJ K no SI S Na forma diferencial T δQ rev dS 274 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot O ciclo de Carnot de é composto apenas por processos reversíveis Podemos então calcular variações de entropia usando a integral anterior Processo 12 Isotérmico interação de calor com o reservatório H T δQ 1 2 rev S TH QH S2 S1 Processo 23 Adiabático expansão S3 S2 Processo 34 Isotérmico interação de calor com o reservatório L TL QL S4 S3 Processo 41 Adiabático compressão S4 S1 275 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot As características do Ciclo de Carnot sugerem a utilização de um diagrama Ts para visualização dos processos observe T S 2 1 3 4 TH Área QH TL Área QL Wliq Como aumentar o trabalho realizado e o rendimento do ciclo Importante essa relação com as áreas só é válida quando todos os processos que compõem o ciclo forem reversíveis 276 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Relação entre propriedades termodinâmicas Agora precisamos aprender a calcular variações de entropia a partir de outras propriedades não mensuráveis energia e entalpia e de propriedades mensuráveis como pressão e temperatura Considere a 1a Lei para um sistema na forma diferencial dU δQ δW Para uma substância compressível simples que passa por um processo reversível δWrev pdV Para um processo reversível T δQ rev dS Combinando as expressões anteriores dU TdS pdV A primeira relação procurada é TdS dU pdV 277 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Relação entre propriedades termodinâmicas A segunda relação pode ser obtida usando a definição de entalpia Definição de entalpia H U PV Derivando Pela regra do produto Substituindo a expressão anterior na relação obtemos a segunda relação TdS dU pdV dH dU dPV dH dU VdP PdV TdS dH VdP 278 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Relação entre propriedades termodinâmicas As duas relações obtidas foram TdS dU PdV TdS dH VdP Podemos escrevêlas em termos de propriedades intensivas Tds du Pdv Tds dh vdP 279 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia As variações de entropia de substâncias puras compressíveis simples podem ser obtidas a partir da integração das relações anteriores Tds du Pdv T du s2 s1 T dv 2 1 2 1 P Tds dh vdP T dh s2 s1 T dP 2 1 2 1 v 280 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia líquido saturado para vapor saturado T dh sv sl T dP v l v l v processo isobárico Tsat hv hl sv sl entropia de uma mistura saturada s 1 x sl x sv entropia do líquido comprimido aproximação sliq comp TP sl T 281 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia líquido ou sólido modelo incompressível T du s2 s1 T dv 2 1 2 1 P incompressível T du s 2 1 T c dT s2 s1 2 1 Considerando calor específico independente da temperatura T1 s2 s1 c ln T2 282 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia gás perfeito T du s2 s1 T dv 2 1 2 1 P T cvdT s2 s1 v dv 2 1 2 1 R integrando T cvdT s2 s1 2 1 v1 v2 R ln Considerando calor específico independente da temperatura s2 s1 cv T1 T2 ln v1 R ln v2 283 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia gás perfeito T cpdT s2 s1 P dP 2 1 2 1 R integrando T cpdT s2 s1 2 1 P1 P2 R ln Considerando calor específico independente da temperatura s2 s1 cp T1 T2 ln P1 P2 R ln T dh s2 s1 T dp 2 1 2 1 v 284 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variações de entropia gás perfeito utilização da tabela T cpdT s2 s1 2 1 P1 P2 R ln Quando não pudermos admitir cp independente de T a integral da equação deve ser calculada A integração do 1o termo entre a temperatura de um estado de referência T0 e a temperatura de um estado em análise T foi calculada e encontrase tabelada T cpdT s0T T T0 Apêndice A Propriedades Gerais 563 TABELA A7 Propriedades termodinâmicas do ar gás ideal pressão de referência para a entropia é 01 MPa ou 1 bar T K u kJkg h kJkg s0 T kJkg K Pr vr 200 14277 20017 646260 02703 49347 220 15707 22022 655812 03770 38915 240 17138 24027 664535 05109 31327 260 18570 26032 672562 06757 25658 280 20002 28039 679998 08756 21326 290 20702 29043 683521 09899 19536 29815 21304 29862 686305 10907 18229 300 21436 30047 686926 11146 17949 320 22873 32058 693413 13972 15273 340 24311 34070 699515 17281 13120 360 25753 36086 705276 21123 11365 380 27199 38106 710735 25548 99188 400 28649 40130 715926 30612 87137 420 30104 42159 720875 36373 77003 440 31564 44194 725607 42897 68409 460 33031 46234 730142 50233 61066 480 34504 48281 734499 58466 54748 500 35984 50336 738692 67663 49278 520 37473 52398 742736 77900 44514 540 38969 54469 746642 89257 40344 560 40474 56547 750422 10182 36676 580 41987 58635 754084 11568 33436 600 43510 60732 757638 13092 30561 620 45042 62838 761090 14766 28001 640 46583 64953 764448 16598 25713 660 48134 67078 767717 18600 23662 680 49694 69212 770903 20784 21818 700 51264 71356 774010 23160 20155 720 52844 73510 777044 25742 18652 740 54433 75673 780008 28542 17289 760 56032 77846 782905 31573 16052 780 57640 80028 785740 34851 14925 800 59258 82220 788514 38388 13897 850 63342 87740 795207 48468 11695 900 67482 93315 801581 60520 99170 950 71676 98944 807667 74815 84677 1000 75919 104622 813493 91651 72760 1050 80210 110348 819081 11135 62885 termo 18indd 563 060409 102914 s2 s1 P1 R ln P2 s0T2 s0T1 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Processo politrópico reversível As equações desenvolvidas para a variação de entropia de um gás ideal com cp e cv constantes podem ser usadas para obter expressões que relacionam em pares P T e v em um processo isentrópico Δs 0 0 cv T1 T2 ln v1 R ln v2 T1 T2 v2 v1 k1 0 cp T1 T2 ln P1 R ln P2 T1 T2 P1 P2 k1 k Combinando as equações anteriores P1 P2 v2 v1 k Tratase de um processo politrópico PVn cte com n k 285 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Processo politrópico gás perfeito processo isobárico n 0 n 0 P v s T n processo isocórico n processo isotérmico n 1 n 1 n 1 n 1 processo isentrópico n k n k n k 1 n k n 0 n 0 n 0 n 286 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2a Lei para um Sistema Considere a desigualdade de Clausius T δQ 0 Para um ciclo reversível composto por dois processos T δQ 1 2 S2 S1 Para um ciclo irreversível composto por dois processos T δQ 1 2 S2 S1 287 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2a Lei para um Sistema Chegamos em Podemos eliminar a desigualdade introduzindo a entropia gerada Sger T δQ 1 2 S2 S1 T δQ 1 2 S2 S1 Sger Finalmente chegamos em uma expressão da 2a Lei para um sistema 288 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Entropia gerada Introduzimos o conceito de entropia gerada sem no entanto dar qualquer explicação Notas Sger não é uma propriedade termodinâmica Sger 0 para um processo irreversível Sger não pode ser menor que 0 Sger 0 para um processo reversível Sger tem unidade de entropia 289 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Entropia gerada Vamos agora associar um significado para a entropia gerada Para um processo reversível temos δQ TdS δW PdV Considere um processo irreversível T δQirr dS δSger δQirr TdS T δSger A interação de calor no caso irreversível é menor do que no reversível Aplicando a 1a lei para esse processo dU δQirr δWirr dU TdS T δSger δWirr 290 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Entropia gerada dU TdS T δSger δWirr TdS dU pdV Lembrando de pdV T δSger δWirr 0 Como δW PdV δWirr δW T δSger Observamos que Wirr é menor do que Wrev A diferença é igual a T δSger Esse termo é chamado de trabalho perdido significando na verdade uma perda de oportunidade de realização de trabalho 291 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Trabalho perdido Veja a figura 292 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2a Lei para sistema Resumo das equações para sistema T δQ 1 2 S2 S1 Sger Na forma de taxas T δQ 1 2 Sger dS dt 293 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Casos particulares Processo reversível T δQ 1 2 ΔS Sger T δQ 1 2 ΔS Processo adiabático reversível Δs 0 Perguntas 1a Δs pode se menor que zero 2a Quando Δs 0 o processo é necessariamente adiabático reversível Regime permanente T δQ 1 2 Sger dSvc dt 294 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Representação em diagramas A partir de agora utilizaremos o diagrama Ts na representação de processos veja suas características T s liq sat vap sat PC h cte P cte 295 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Diagrama Ts isentálpicas H2O 296 httpcommonswikimediaorgwikiFileTsdiagramsvg Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Representação em diagramas Em algumas situações o diagrama hs também pode ser útil Em particular é mostrado o da água h kJkg s kJkg PC x 08 vap sat liq sat 297 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Diagrama hs Mollier H2O 298 httpwwwengineeringtoolboxcommollierdiagramwaterd308html Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 1 Um sistema isolado de massa total m é formado pela mistura de duas quantidades de massa iguais do mesmo líquido inicialmente a temperaturas T1 e T2 Eventualmente o sistema atinge um estado de equilíbrio Cada quantidade de massa é considerada incompreensível com calor específico c constante a determine a entropia gerada b demonstre que ela é positiva 614 Moran Shapiro 4a ed líquido a T1 líquido a T2 líquido a Tf 299 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 1 O sistema é todo o líquido contido no tanque 2 O modelo de substância incompressível é válido 3 O processo de mistura é adiabático 4 O calor específico é constante 5 Os estados inicial e final são estados de equilíbrio Hipóteses Solução a 2a lei para o sistema T δQ 1 2 Sf Si Sger Sger Sf Si Sf Si m2 sf s1 m2 sf s2 300 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução a T1 Tf sf s1 c ln Sger m2 sf s1 m2 sf s2 Para uma substância incompreensível T2 Tf sf s2 c ln Combinando as expressões acima T1 Tf ln T2 ln Tf Sger m c 2 T1 Tf2 ln T2 Sger m c 2 T1 Tf ln T2 Sger m c 301 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução a A temperatura final pode ser obtida pela aplicação da 1a Lei ao sistema Combinando com a expressão para a entropia gerada Tf T1 T2 2 T1 Tf ln T2 Sger m c 302 ln Sger m c T1T2 T1 T2 2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução b A entropia gerada é dada por 303 ln Sger m c T1T2 T1 T2 2 Para que ela seja positiva precisamos que T1T2 T1 T2 2 T1T2 T1 T2 0 2 T1T2 T1 T2 2 T105T2052 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 2 Um sistema é submetido a um ciclo termodinâmico de potência enquanto recebe energia sobre a forma de calor de um corpo incompressível de massa total m e calor específico c inicialmente a TH O sistema submetido ao ciclo rejeita energia sob a forma de calor para outro corpo incompressível de massa total m e calor específico c porém a TL Trabalho é realizado pelo ciclo até que a temperatura dos dois corpos seja a mesma Tf a desenvolva uma expressão para a temperatura mínima teórica final Tf em função dos dados do problema b desenvolva uma expressão para a quantidade máxima teórica de trabalho que pode ser produzida Wmax em função dos dados do problema c qual é o trabalho mínimo teórico necessário para que um ciclo de refrigeração restabeleça as temperaturas dos dois corpos aos valores iniciais 617 Moran Shapiro 4a ed 304 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 1 O modelo de substância incompressível é válido 2 O calor específico das massas é constante e igual a c Hipóteses Solução a 1a lei para o sistema H corpo inicialmente a TH 305 dUH δQH 1a lei para o sistema L corpo inicialmente a TL dUL δQL TH TL Motor δQL δQH W mcdTH δQH mcdTL δQL Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução a 306 TH TL Motor δQL δQH W mcdTH δQH mcdTL δQL Desigualdade de Clausius δQH TH δQL TL 0 δQL TL TH δQH Substituindo nas expressões da 1a lei mcdTH δQH mcdTL TL TH δQH mcdTL TL TH mcdTH Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução a 307 TH TL Motor δQL δQH W Separando as variáveis e integrando entre o início e o fim mcdTL TL TH mcdTH dTL TL dTH TH Tf TL TH Tf Tf 2 TLTH Tf será mínima no limite reversível Tf TLTH Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Outra solução a 308 TH TL Motor δQL δQH W Tomemos as duas massas e o motor como sistema 2a lei para o novo sistema ΔS δQ T i f Sg ΔSH ΔSM ΔSL Sg mcln Tf TH mcln Tf TL Sg mcln Tf 2 THTL Sg Tf THTL exp Sg mc Tf será mínima no limite reversível Sg 0 Tf THTL Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução b 309 TH TL Motor δQL δQH W Tomemos as duas massas e o motor como sistema 1a lei para o novo sistema W será máximo quando Tf for mínima ΔU W ΔUH ΔUL W mc Tf TH Tf TL W W mc TH TL 2Tf Wmax mc TH TL 2 THTL Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução c 310 TH TL R δQL δQH W Tomemos as duas massas e o refrigerador como sistema 1a lei para o novo sistema ΔU W ΔUH ΔUL W mc TH Tf TL Tf W W mc TH TL 2Tf 2a lei para o novo sistema ΔS δQ T i f Sg mcln TH Tf mcln TL Tf Sg Sg mcln THTL Tf 2 Tf THTL exp Sg mc Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução c 311 TH TL R δQL δQH W Combinando as duas expressões Tf THTL exp Sg mc W mc TH TL 2Tf W mc TH TL 2 THTL exp Sg mc W será máximo quando Sg for zero Wmin mc TH TL 2 THTL Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 3 Uma barra de alumínio é colocada em um grande banho com água e gelo Corrente elétrica passa pela barra até que em regime permanente a potência dissipada seja de 1000 W Um termopar na superfície da barra indica 640 K Ebulição ocorre na interface barrabanho com posterior colapso ruidoso das bolhas Qual é a variação de entropia da barra banho e do universo durante os 2 min de operação dessa operação extremamente irreversível Assuma que ainda haja gelo no final do processo Exemplo 42 Modell Reid Thermodynamics and its applications 2a ed 312 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 1 A transferência de calor entre o banho e o ambiente é desprezível 2 A variação de volume durante a fusão do gelo é desprezível Hipóteses Solução Vamos considerar dois sistemas a barra B e o banho águagelo A Adicionalmente vamos calcular a entropia gerada em cada sistema 313 2a lei Para o banho ΔSB δQ T i f SgB SgB Q TB Q Q 2601000 12 105 J TB SgB 12 105 640 SgB 1875 J K Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução Para o banho geloágua A o resultado líquido foi que parte do gelo derreteu e a temperatura permaneceu constante 314 2a lei para o banho ΔSA δQ T i f SgA ΔSA Q TA ΔSA 12 105 2732 ΔSA 4392 J K Para calcular a variação de entropia precisamos imaginar um processo reversível entre os mesmos estados inicial e final TAdt TA Q Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução Em resumo 315 ΔSB 0 ΔSA 4392 J K Como o sistema composto é isolado termicamente podemos escrever ΔSuniv ΔSB ΔSA 4392 J K ΔSuniv 4392 J K Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 4 Com o intuito de explicar um ponto adicional vamos modificar o problema anterior Consideremos que a barra está imersa em ar ao invés do banho com água e gelo Todas as demais condições são mantidas 316 Solução Vamos considerar três sistemas a barra B o ar longe da barra A e o ar próximo à barra I Para a barra ΔSB 0 SgB Q TB Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 317 Solução Se nos afastarmos da barra pode ser bem pouco a temperatura do ar tende a TA De modo que a transferência de calor para esse sistema se dá de forma reversível Para o ar ΔSA δQ T i f SgA ΔSA Q TA SgA 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução Para o ar próximo à barra na interface I temos 318 Barra TB TA Ar Q Q 2a lei para a interface ΔSI δQ T i f SgI I 0 Q TB Q TA SgI SgI Q TA Q TB ΔSI 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Quadro resumo 319 Sistema ΔS Sg Barra B 0 Interface I 0 Ar A 0 Universo Q TA Q TA Q TB Q TA Q TB Q TA Termodinâmica 2a Lei da Termodinâmica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v 22 223 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 1ª lei da termodinâmica não estabelece restrições no sentido da interação de calor ou trabalho De nossa experiência sabemos que há um único sentido para os processos espontâneos veja os exemplos Introdução válvula P0 PiP0 Ar Ar PiPP0 Ar P0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução Aspectos importantes dos experimentos anteriores Perguntas a condição inicial pode ser restaurada mas não espontaneamente Alguma mudança permanente na condição da vizinhança ocorreria existe a possibilidade de realização de trabalho à medida que o equilíbrio é atingido Qual é o valor teórico máximo para o trabalho que poderia ser realizado Quais os fatores que poderiam impedir a realização do valor máximo 224 225 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução Aspectos da 2a Lei da Termodinâmica prever a direção de processos estabelecer condições para o equilíbrio determinar o melhor desempenho teórico de ciclos motores e dispositivos avaliar quantitativamente os fatores que impedem a obtenção do melhor desempenho teórico definir uma escala de temperatura independente das propriedades de qualquer substância termométrica 226 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Definições Reservatório Térmico sistema com capacidade térmica elevada de modo que qualquer interação de calor é insuficiente para alterar significativamente sua temperatura Motor Térmico dispositivo que operando segundo um ciclo termodinâmico realiza um trabalho líquido positivo a custa de interação de calor de um corpo a uma temperatura mais alta e para um corpo a temperatura mais baixa Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplo de motor térmico Gás TH QH TL QL Aplicando a 1a lei ao motor Qciclo Wciclo Wciclo QH QL Podemos definir um rendimento ηmotor efeito desejado gasto Wciclo QH ηmotor QH QL QH QL QH 1 Note que para o motor operar QL 0 o que significa que η 1 227 228 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo motor líquido P alta T baixa vapor TP altas fluido TP baixas Esquema Reservatório a TH Reservatório a TL Motor térmico QL QH Wlíquido Podemos trabalhar também com potências 229 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de refrigeração vapor T baixa compressor Wc vapor T alta condensador QH líquido P T altas válvula de expansão líquido T baixa evaporador QL Coeficiente de desempenho β QL Wc Aplicando a 1a lei ao refrigerador Qciclo Wciclo Wc QH QL Note que β pode e de preferência deve ser maior do que 1 Nota o balanço de energia é feito com base no sentido das setas Abandonamos a convenção de sinais provisoriamente 230 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Bomba de calor compressor Wc condensador QH válvula de expansão evaporador QL Objetivo da bomba é aquecimento por exemplo de uma piscina Por que não utilizar um dispositivo mais simples e barato como um resistor Coeficiente de desempenho β QH Wc Aplicando a 1a lei ao refrigerador Qciclo Wciclo Wc QH QL Note que β é maior do que 1 Enunciado de KelvinPlanck é impossível construir um dispositivo que opere em um ciclo termodinâmico e que não produza outros efeitos além do levantamento de um peso e troca de calor com um único reservatório térmico 232 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Enunciados da 2a Lei 18221888 Enunciado de Clausius é impossível construir um dispositivo que opere segundo um ciclo e que não produza outros efeitos além da transferência de calor de um corpo frio para um corpo quente Reservatório a TH Reservatório a TL Dispositivo QL QH Impossível 1ª Lei 2ª Lei Qciclo QH QL Wciclo 0 233 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Equivalência entre enunciados Para demonstrar a equivalência entre os enunciados devemos provar que a violação do enunciado de Clausius implica na violação do enunciado de Kevin Planck e viceversa Vamos fazer apenas a primeira demonstração Reservatório a TH Reservatório a TL Dispositivo QL QL Motor térmico QH WQH QL QL Admitimos possível viola EC Fronteira Viola enunciado de KP 234 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Definição Processo reversível processo que depois de ocorrido pode ser revertido sem deixar nenhum traço no sistema e nas redondezas Processo reversível processo em que o sistema e todas as partes que compõe sua vizinhança puderem ser restabelecidos exatamente aos seus respectivos estados iniciais Exemplo expansão adiabática Gás Note um único valor de P e T descreve o estado do gás durante o processo de expansão o processo pode ser revertido Um processo de compressão seguindo o histórico de P e T inversamente pode ser realizado recolocando os pesos a vizinhança retornou ao seu estado original mesmo valor em módulo do trabalho na expansão e na compressão 235 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exemplos de irreversibilidades Expansão não resistida Transferência de calor com diferença de temperatura Atrito Atrito no fluido em escoamento Mistura de duas substâncias Reação química espontânea Efeito Joule 236 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Irreversibilidade externa x interna Processo internamente reversível é aquele que pode ser realizado de forma reversível de pelo menos um modo com outra vizinhança Exemplo sistema vapor líquido vapor líquido T Fonte de irreversibilidade vapor líquido T Outra vizinhança dt 0 irreversibilidade 0 237 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot Ciclo reversível composto por quatro processos Cada estado visitado pelo ciclo é um estado de equilíbrio O sistema pode executar o mesmo ciclo no sentido inverso Sadi Carnot 17961832 238 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot Processo 1 processo reversível isotérmico no qual calor é transferido de ou para o reservatório a alta temperatura Processo 2 processo adiabático reversível no qual a temperatura do fluido de trabalho decresce Processo 3 processo reversível isotérmico no qual calor é transferido para ou do reservatório a baixa temperatura Processo 4 processo adiabático reversível no qual a temperatura do fluido de trabalho aumenta 239 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Máquina de Carnot Reservatório a TH Reservatório a TL QL QH caldeira turbina condensador bomba Wlíquido condensador QH turbina evaporador QL bomba W 240 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot corolários 1º Corolário é impossível construir motor que opere entre dois reservatórios térmicos dados e que seja mais eficiente que um motor térmico reversível operando entre os mesmos dois reservatórios 2º Corolário todos os motores reversíveis que operam entre dois reservatórios térmicos apresentam o mesmo rendimento A demonstração dos dois corolários pode ser feita de forma similar àquela demonstração da equivalência entre os dois enunciados da 2a Lei Por exemplo com referência ao primeiro corolário admitimos que existe um motor mais eficiente que um reversível e mostramos que essa hipótese conduz a uma violação da 2a Lei 241 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo de Carnot corolários Reservatório a TH Reservatório a TL Motor irreversível QLi QH Motor reversível QH WiQH QLi QL Fronteira Viola enunciado de KP QH QL Wr WliqQL QLi A demonstração do 2o corolário é análoga basta substituir o motor irreversível por um outro reversível e repetir a mesma linha de raciocínio Será que podemos medir a temperatura de forma absoluta independente de uma substância termométrica A resposta é sim Utilizaremos motores reversíveis para alcançar esse fim Para um motor térmico ηtérmica 1 QL QH Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Escala termodinâmica de temperatura mas dever haver uma relação entre as temperaturas tal que Assim Kelvin escolheu Sendo que T é a escala termodinâmica de temperatura que é igual à escala dos gases ideais 243 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Vendedores estão apregoando máquinas térmicas excepcionais para operar entre reservatórios térmicos a 100 oC e 200 oC com características apresentadas na tabela Verifique se elas são possíveis e se impossíveis justifique a causa indicando o enunciado que violam Existe a necessidade de uma diferença mínima de temperatura de 10 oC para torna real a transferência de calor entre a máquina e a fonte Solução Para que a operação seja possível nas condições especificadas é preciso que não haja violação da 1a Lei ou da 2a Lei Basta que haja violação de apenas uma delas para que possamos dizer que é impossível 244 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Tipo QH QL W Possível Por que não Bomba de calor 100 76 24 Motor 100 16 74 Refrigerador 100 0 100 Motor 100 85 15 Motor 100 0 100 Refrigerador 100 78 22 Motor 100 100 0 Motor 100 75 25 Refrigerador 100 100 0 Bomba de Calor 100 0 100 245 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Tipo QH QL W Possível Por que não Bomba de calor 100 76 24 Motor 100 16 74 Refrigerador 100 0 100 Motor 100 85 15 Motor 100 0 100 Refrigerador 100 78 22 Motor 100 100 0 Motor 100 75 25 Refrigerador 100 100 0 Bomba de Calor 100 0 100 1a Lei Não Viola a 1a Lei 246 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios η QL QH 1 β QH QH QL β QL QH QL ηrev TL TH 1 βrev TL TH TL βrev TH TH TL 200 oC Motor QL QH W 100 oC 10oC 10oC 200 oC Refrigerador QL QH W 100 oC 10oC 10oC 200 oC Bomba de calor QL QH W 100 oC 10oC 10oC 247 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios η ηrev ηrev TL TH 1 473 K Motor QL QH W 373 K 10 K 10 K Tipo QH QL W η Possível Bomba de calor 100 76 24 Motor 100 16 74 Refrigerador 100 0 100 Motor 100 85 15 Motor 100 0 100 Refrigerador 100 78 22 Motor 100 100 0 Motor 100 75 25 Refrigerador 100 100 0 Bomba de Calor 100 0 100 2a Lei η QL QH 1 ηrev 383 1 463 0173 074 Não 015 Sim 1 Não KP 0 Sim 025 Não 248 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios β βrev 473 K Refrigerador QL QH W 373 K 10 K 10 K βrev TL TH TL 363 483 363 βrev 303 2a Lei β QL QH QL Tipo QH QL W β Possível Bomba de calor 100 76 24 Motor 100 16 74 Refrigerador 100 0 100 Motor 100 85 15 Motor 100 0 100 Refrigerador 100 78 22 Motor 100 100 0 Motor 100 75 25 Refrigerador 100 100 0 Bomba de Calor 100 0 100 0 Sim 355 Não Não Clausius 249 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios β βrev βrev TH TH TL 483 483 363 βrev 403 2a Lei β QH QH QL Tipo QH QL W β Possível Bomba de calor 100 76 24 Motor 100 16 74 Refrigerador 100 0 100 Motor 100 85 15 Motor 100 0 100 Refrigerador 100 78 22 Motor 100 100 0 Motor 100 75 25 Refrigerador 100 100 0 Bomba de Calor 100 0 100 417 Não 1 Sim 473 K Bomba de calor QL QH W 373 K 10 K 10 K 250 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Tipo QH QL W Possível Por que não Bomba de calor 100 76 24 Não Viola a 2a Lei Motor 100 16 74 Não Viola a 1a Lei Refrigerador 100 0 100 Sim Motor 100 85 15 Sim Motor 100 0 100 Não Viola a 2a Lei KelvinPlanck Refrigerador 100 78 22 Não Viola a 2a Lei Motor 100 100 0 Sim Motor 100 75 25 Não Viola a 2a Lei Refrigerador 100 100 0 Não Viola a 2a Lei Clausius Bomba de Calor 100 0 100 Sim 1a Lei 251 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 2 Um tanque rígido isolado é dividido pela metade por uma divisória De um lado da divisória está um gás O outro lado está inicialmente em vácuo Uma válvula na divisória é aberta e o gás se expande preenchendo todo o volume Usando o enunciado de KelvinPlanck demonstre que este processo é irreversível gás vácuo válvula A B Paredes rígidas e isoladas 252 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios gás vácuo válvula gás válvula gás Análise 1a Lei ΔU Q W ΔU 0 Estados iniciais e finais são estados de equilíbrio Não há variações de energia cinética e potencial Hipóteses 253 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Análise 1 2 Expansão de parte do gás através de uma turbina Vamos assumir que o processo seja reversível isto é todo o gás em B mova se espontaneamente para A Vamos construir um ciclo termodinâmico composto por 3 processos gás vácuo válvula turbina gás válvula gás turbina 1a Lei U2 U1 W U2 U1 254 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 2 3 Remoção de parte do isolante e transferência de calor até que a energia interna do gás retorne ao valor inicial gás Reservatório térmico Q 1a Lei U3 U2 Q U3 U1 255 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios 3 4 Evocamos a suposta irreversibilidade do sistema de forma que o gás retorne ao estado inicial gás vácuo válvula Observamos que o resultado líquido do ciclo foi a realização de trabalho e a transferência de calor com um único reservatório térmico o que viola o enunciado de Kelvin Planck Como os processos 12 e 23 são possíveis concluímos que o processo 34 é impossível Logo o processo original é irreversível 256 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 3 Demonstre que a escala de temperatura de gás é idêntica à escala de temperatura de Kelvin 1 O sistema é um gás em um conjunto cilindropistão 2 O gás comportase como perfeito sendo T a temperatura na escala do gás 3 O sistema percorre um ciclo reversível composto por quatro processos 12 isotérmico a TH 23 adiabático 34 isotérmico a TL e 41 adiabático 4 Variações de energia cinética e potencial ausentes Hipóteses 257 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios dU δQ δW mdu δQ δW du δq pdv cvdT δq RT v dv 1a lei para o sistema na forma diferencial cvdT δq RT d lnv 258 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios cvdT δqH RTH d lnv 1a lei para o sistema na forma diferencial cvdT δq RT d lnv Processo 12 isotérmico δqH RTH d lnv cvdT δq RT d lnv Process 23 adiabático qH RTH ln v2 v1 1 cv dT T Rd lnv cv dT T TH TL Rln v3 v2 2 259 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios cvdT δqL RTLd lnv 1a lei para o sistema na forma diferencial cvdT δq RT d lnv Processo 34 isotérmico δqL RTLd lnv cvdT δq RT d lnv Process 41 adiabático qL RTL ln v4 v3 3 cv dT T Rd lnv cv dT T TL TH Rln v1 v4 4 260 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios qL RTL ln v4 v3 3 cv dT T TL TH Rln v1 v4 4 qH RTH ln v2 v1 1 cv dT T TH TL Rln v3 v2 2 Obtivemos De 2 e 4 ln v3 v2 ln v1 v4 ln v3 v2 ln v4 v1 De 1 e 3 qH TH Rln v2 v1 qL TL Rln v4 v3 v3 v4 v2 v1 5 qH TH qL TL R ln v2 v1 ln v4 v3 Combinando com 5 qH TH qL TL 0 qH qL TH TL 261 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Ex 767 7a Ed Propõese construir uma central termoelétrica com potência de 1000 MW e utilizando vapor dágua como fluido de trabalho Os condensadores devem ser resfriados com água de um rio A temperatura máxima do vapor será de 550oC e a pressão no condensador de 10 kPa Como consultor de engenharia você é solicitado a estimar o aumento de temperatura da água do rio Qual é a sua estimativa 262 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Hipóteses A planta opera em regime permanente O ciclo a vapor é reversível O sistema é o ciclo a vapor O volume de controle é o rio incluindo a entrada e saída de água para a planta A água comportase como incompressível com calor específico independente da temperatura e igual ao valor a 25 oC 263 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Solução TH 550 oC TL Tsat 10 kPa 4581 oC TH 823 K TL 319 K ηrev TL TH 1 ηrev 319 1 823 0612 QL QH W ηrev W QH ηrev W QH QL 1ηrev 1W QL 634 MW Taxa com que calor rejeitado para o rio QL 264 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Vazão mássica do rio Aquecimento do rio m VA v 10860 0001 48 106kg min m 80000kg s ΔT QL mc 634 106 800004184 103 ΔT 19 oC Para um rendimento de 03 obteríamos ΔT 7 oC 265 Termodinâmica 5 Primeira Lei da Termodinâmica 138 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo v 13 139 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Introdução Segundo Max Planck a 1ª Lei da Termodinâmica nada mais é do que o princípio da conservação da energia aplicado a fenômenos que envolvem transferência de calor 1a Lei da Termodinâmica Max Planck 18581947 140 Para um sistema num ciclo termodinâmico propriedades finais coincidem com as iniciais temse que Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 1a Lei da Termodinâmica δQ δW Integral cíclica 0 δQ δW variação de uma propriedade ΔE δQ δW energia 141 Para um sistema que passa por uma mudança infinitesimal de estado podemos realizar uma balanço de energia Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variação da energia do sistema no processo Energia que entra no sistema durante o processo Energia que sai do sistema durante o processo Assim 1a Lei da Termodinâmica dE δQ δW δQ 0 quando o calor é transferido da vizinhança para o sistema δQ 0 quando o calor é transferido do sistema para a vizinhança δW 0 trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança δW 0 trabalho realizado sobre o sistema pela vizinhança 143 Podemos integrar a expressão entre o estado 1 e 2 e obter a expressão da 1a Lei para um sistema Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 1a Lei da Termodinâmica 144 Podemos realizar um balanço em um determinado instante de tempo temos Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Taxa de variação da energia do sistema Taxa com que energia que entra no sistema Taxa com que energia sai do sistema Assim 1a Lei da Termodinâmica 145 Na expressão Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Temos uma equação diferencial ordinária EDO cuja solução exige o conhecimento da energia no instante inicial As seguintes relações são válidas Taxa de transferência de calor para o sistema Taxa de realização de trabalho pelo sistema 1a Lei da Termodinâmica 146 Resumo Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 1a Lei para um processo 12 1a Lei para um instante 1a Lei da Termodinâmica 147 Simplificações Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Ciclo Podemos escrever de outra forma E1 E2 ΔE 0 Q W δQ δW integral cíclica Regime permanente propriedades não variam com o tempo 0 1a Lei da Termodinâmica 148 Escrevemos expressões para a conservação da energia sem nos preocuparmos sob quais formas encontramos a energia Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Anteriormente vimos ou ΔE ΔU ΔEc ΔEp A energia total E de um sistema composto por uma substância compressível simples em um dado estado é potencial cinética interna E U Ec Ep dE dU dEc dEp Igualdades válida pois Energia é uma função de ponto 1a Lei da Termodinâmica 149 1a Lei da Termodinâmica Voltando à questão de função de ponto e caminho Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Variação da energia propriedades Interação de energia nãopropriedades Processo Processo Q12 Q12 W12 W12 ΔE ΔE Observe a figura Fica claro que apesar de seguirmos por processos em que trabalho e calor são diferentes a variação de energia do sistema é a mesma 150 Lembrando de Mecânica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Energia cinética Energia potencial Determinação de propriedades Completamos a apresentação da conservação da energia para um sistema Veremos como avaliar a propriedade energia interna 151 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo U energia interna energia u energia interna específica energia massa Para uma mistura líquido vapor ou Dividindo por m e introduzindo o título ou Determinação de propriedades m sendo ul a energia específica do líquido saturado uv a energia do vapor saturado e ulv a diferença entre a primeira e a segunda 152 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Considere o gás no conjunto cilindropistão como sistema Vamos aquecer o sistema lentamente 1 2 1ª lei Por que Simplificando Definese entalpia como E2 E1 Q12 W12 E2 E1 U2 U1 W12 pdV P1V2V1 Combinando as expressões U2 U1 Q12 P1V2V1 A propriedade entalpia H U PV Assim Q12 H2 H1 153 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo H entalpia energia h entalpia específica energia massa Para uma mistura líquido vapor ou Introduzindo o título ou Determinação de propriedades sendo hl a entalpia específica do líquido saturado hv a entalpia do vapor saturado e hlv a entalpia de vaporização 154 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Aproximações para o líquido comprimido usando as propriedades do líquido saturado Determinação de propriedades ou vliq compTP vlT uliq compTP ulT hliq compTP ulT PvlT hliq compTP hlT vlTP PsatT Apresentamos novas propriedades agora precisamos aprender a determinalas 155 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Nesse caso para aprender a calcular as variações de entalpia e energia interna precisamos definir duas novas propriedades termodinâmicas os calores específicos a pressão e volume constante Determinação de propriedades Substância incompressível Considere os dois experimentos com um fluido Calor específico a volume constante δQ m m δQ dT cv Calor específico a pressão constante m δQ dT cp m δQ 156 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Calores específicos Concluímos que Calor específico a volume constante m δQ dT cv Calor específico a pressão constante m δQ dT cp Podemos aplicar a 1a Lei para os dois casos considerando a substância como sistema δQ dU δW 0 δQ dU δW pdV Combinando com as expressões dos calores específicos m dU dT cv m dU pdV dT cp u T cv v h T cp p Determinação de propriedades Substância incompressível O modelo considera que v cte u uT cvT fracdudT Derivando a definição de entalpia fracdhdTbiggp fracdudT Rightarrow c cp cv Rightarrow u2 u1 intT1T2 cT dT Considerando adicionalmente calor específico constante u2 u1 cT2 T1 Quando podemos fazer essa hipótese 158 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Determinação de propriedades Gás perfeito O modelo considera que Considerando a definição da entalpia Combinando a equação anterior com as definições dos calores específicos Obtémse maior que cv cv0T du dT cp0T dh dT indica gp 159 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Determinação de propriedades Gás perfeito Aproximações cp0 e cv0 constantes Em alguns problemas aparecem u e h isolados isto é não aparecem diferenças de u e h Nessa situação como determinamos as propriedades Integrando u2 u1 cv0T2 T1 h2 h1 cp0T2 T1 Definimos um estado de referência para u por exemplo Nesse estado estabelecemos um valor arbitrário para u e calculamos h correspondente Vejamos como fazer isso na seqüência cv0T du dT cp0T dh dT 160 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Determinação de propriedades Calor específico a pressão constante de gases a baixa pressão Complexidade da molécula 161 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Determinação de propriedades Gás perfeito Aproximações Por simplicidade vamos estabelecer que para T 0 K u 0 uT cv0 T Vamos definir o estado de referência Considere a expressão Agora calculamos h hTref u Tref Pv h 0 RTref h 0K 0 Analogamente hT cpoT 162 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Determinação de propriedades Gás perfeito Tabelas de gás ideal Fizemos a integração usando a hipótese de calores específicos constantes Obs Prefira usar as Tabelas de Gás Ideal a considerar calores constantes Nas tabelas de gás ideal a integração é feita a partir de um estado de referência considerando a dependência dos calores com a temperatura Apêndice A Propriedades Gerais 563 TABELA A7 Propriedades termodinâmicas do ar gás ideal pressão de referência para a entropia é 01 MPa ou 1 bar T K u kJkg h kJkg s0 T kJkg K Pr vr 200 14277 20017 646260 02703 49347 220 15707 22022 655812 03770 38915 240 17138 24027 664535 05109 31327 260 18570 26032 672562 06757 25658 280 20002 28039 679998 08756 21326 290 20702 29043 683521 09899 19536 29815 21304 29862 686305 10907 18229 300 21436 30047 686926 11146 17949 320 22873 32058 693413 13972 15273 340 24311 34070 699515 17281 13120 360 25753 36086 705276 21123 11365 380 27199 38106 710735 25548 99188 400 28649 40130 715926 30612 87137 420 30104 42159 720875 36373 77003 440 31564 44194 725607 42897 68409 460 33031 46234 730142 50233 61066 480 34504 48281 734499 58466 54748 500 35984 50336 738692 67663 49278 520 37473 52398 742736 77900 44514 540 38969 54469 746642 89257 40344 560 40474 56547 750422 10182 36676 580 41987 58635 754084 11568 33436 600 43510 60732 757638 13092 30561 620 45042 62838 761090 14766 28001 640 46583 64953 764448 16598 25713 660 48134 67078 767717 18600 23662 680 49694 69212 770903 20784 21818 700 51264 71356 774010 23160 20155 720 52844 73510 777044 25742 18652 740 54433 75673 780008 28542 17289 760 56032 77846 782905 31573 16052 780 57640 80028 785740 34851 14925 800 59258 82220 788514 38388 13897 850 63342 87740 795207 48468 11695 900 67482 93315 801581 60520 99170 950 71676 98944 807667 74815 84677 1000 75919 104622 813493 91651 72760 1050 80210 110348 819081 11135 62885 termo 18indd 563 060409 102914 cv0T du dT cp0T dh dT 163 Exercícios Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra 1 Um conjunto cilindroêmbolo contém 1 kg de água A mola encontrase comprimida na posição inicial de modo que é necessária uma pressão de 300kPa no fluido para erguela Para um volume de 15 m3 a força exercida pela mola é tal que a pressão no fluido é de 500 kPa No estado inicial a água está a 100 kPa e ocupa um volume de 05m3 Calor é então transferido até que a pressão atinja 400 kPa Pedese para a representar o processo em um diagrama pv incluindo as linhas de saturação b calcular o trabalho e c determinar calor transferido no processo 164 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra 1 Solução Hipóteses 1O sistema é a água contida no conjunto 2Os processos são de quaseequilíbrio 3Os estados 1 2 e 3 são estados de equilíbrio Exercícios 4Não há atrito entre o pistão e o cilindro 5A mola é linear 6Sistema estacionário 7Variação desprezível da energia potencial 165 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Estado 1 Definido pois conhecemos v e P v1 051 05 m3kg Para identificar o estado 1 devemos consultar a tabela de saturação com P1 100kPa Tsat 9962oC e comparar o valor de v1 com vl0001043 e vv1694 m3kg Como vl v1 vv temos líquido vapor Logo T1 Tsat O título pode ser prontamente calculado x1v1vlvvvl 0295 Aproveitamos a oportunidade para buscar da tabela ul41733 e uv25061kJkg A energia da mistura é calculada por u11x1ulx1uv 10335 kJkg 166 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Estado 2 batente sem atuação Definido pois conhecemos v e P v2 v1 05 m3kg Para identificar o estado 2 devemos consultar a tabela de saturação com P2 300kPa Tsat 13355oC e comparar o valor de v2 com vl0001073 e vv06058 m3kg Como vl v2 vv temos líquido vapor Logo T2 Tsat O título pode ser prontamente calculado x2v2vlvvvl 0825 Aproveitamos a oportunidade para buscar da tabela ul56113 e uv25436kJkg A energia da mistura é calculada por u21x2ulx2uv 21967 kJkg 167 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Estado 3 Definido pois conhecemos v e P3 400kPa Como Analisando a mola PkPa Vm3 05 300 15 500 400 10 v3 11 1 m3kg 168 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Estado 3 Definido pois conhecemos v e P v3 1 m3kg Para identificar o estado 3 devemos consultar a tabela de saturação com P3 400kPa Tsat 14369oC e comparar o valor de v3 com vl e vv04625 m3kg Como v3 vv temos vapor superaquecido Da tabela de vapor superaquecido com P3 400kPa e v3 10056m3kg temos T3 600oC e u3 33002kJkg 169 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Diagrama Pv e o trabalho 3 1 2 Processo a v constante 996oC 1336oC W13 W13 P3P2V3V22175kJ 170 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Cálculo do calor Aplicando a 1a Lei para o sistema considerando sistema estacionário a variação da energia potencial desprezível em face da variação da energia interna U3 U1 Q13 W13 Q13 mu3 u1 W13 Q13 133002 10335 175 Q13 2442kJ 171 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra 1 Observações Substância pura Exercícios O sinal do trabalho é positivo pois temos o sistema realizando trabalho sobre a vizinhança O sinal do calor é positivo pois transferimos para o sistema 172 Exercícios Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra 2 Um tanque rígido está dividido em dois compartimentos por uma membrana Ambos os lados contêm água O compartimento A com volume de 1 m3 está a 400 kPa e o fluido nele contido tem volume específico de 1 m3kg O compartimento B contém 05kg de água a 100kPa e 150 oC A membrana rompe ocorrendo transferência de calor com o ambiente até que a água contida no tanque atinja uma temperatura uniforme de 100 oC Pedese para determinar o calor transferido entre o fluido no tanque e o ambiente 173 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra 2 Solução Hipóteses 1O sistema é a água contida no conjunto 2 O trabalho de rompimento da membrana é nulo 3Os estados 1 e 2 são estados de equilíbrio Exercícios 4Variação desprezível da energia potencial 5Sistema estacionário 174 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 2 Solução Estado 1 Volume A Definido pois conhecemos v e P vA1 1 m3kg Da tabela de saturação Tsat 14363oC e vv04265 m3kg Como vA1 vv temos vapor superaquecido PA1 400 kPa Da tabela de vapor superaquecido com P 400kPa e v 10056m3 kg temos TA1 600oC e uA1 33002kJkg 175 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 2 Solução Estado 1 Volume B Definido pois conhecemos T e P TB1 150oC Da tabela de saturação TB1 Tsat a 100 kPa temos vapor superaquecido PB1 100 kPa Da tabela de vapor superaquecido vB1 19364 m3kg e uB1 25827 kJkg Calculamos então mA1 1 kg e VB1 09682 m3 176 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 2 Solução Estado 2 Definido pois conhecemos T e v T2 100oC v2 19682 15 131 m3kg Da tabela de saturação com T2 100oC Psat 10135 kPa vl0001044 e vv16729 m3kg Como vl v2 vv temos líquido vapor Logo P2 Psat O título pode ser prontamente calculado x2v2vlvvvl 0784 Aproveitamos a oportunidade para buscar da tabela ul41891 e uv25065kJkg A energia da mistura é calculada por u21x2ulx2uv 20556 kJkg 177 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Exercícios Extra 1 Solução Cálculo do calor Aplicando a 1a Lei para o sistema A B U2 UA1 UB1 Q12 W12 Q12 m2 u2 mA1 uA1 mB1 uB1 Q12 1508kJ 178 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra demonstração PVk cte Considere um gás contido em um conjunto cilindropistão Gás pistão mg PatmA PA ma P PatmA mg 1a lei para gás na forma diferencial calores específicos constantes processo adiabático dU δQ δW dU δW quaseestático mcvdT Pd mcvdT Pd 179 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Extra demonstração PVk cte 1a lei para gás na forma diferencial mcvd P mR Pd mcv Rd P Pd d P 1 k Pd dP Pd 1 k Pd dP kPd dP P k d dP P 1 2 k d 1 2 P2 P1 2 1 k P11 k P22 k para um processo adiabático quaseestático de um gás perfeito com calores específicos constantes 180 Mensagem final Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Falta pouco para a primeira prova Resolva mais exercícios