Condições de Derivabilidade em Funções Complexas

Derivadas fz lim h0 fzh fz h lim wz fw fz w z Dos últimos ejemplos funciones cuyas coordenadas parte real e imaginaria son diferenciables como funciones reales pero a función compleja en general no es derivable fz lim fzh fz h lim Uxtyt i Vxtyt Uxy i Vxy t Conclusão Se uma função complexa NÃO satisfizer a ambos eqs de CR então ela NÃO é derivável checando CR nos dois últimos exemplos fz z2 Uxy x Vxy y z x iy x iy como 1 das eqs não é satisfeita já podemos concluir que a função não é derivável fz z2 Uxy x² y² Vxy 0 Ux 2x Vy 0 são iguais só px0 a função não é derivável fora do eixo y Uy 2y Vx 0 são iguais só py0 a função não é derivável fora do eixo x Portanto a função não é derivável em xy 00 z 0 No ponto z0 ambas eqs de CR são satisfeitas este fato isolado porém não permite concluir que f é derivável em z0 de fato existem funções que satisfazem CR em um ponto mas não são deriváveis nele Fato Se f satisfaz CR em um ponto e além disso as deriv parciais são contínuas neste mesmo ponto então f é derivável como f complexa no ponto Conclusão é possível saber se uma f complexa é derivável usando somente as derivadas parciais Exemplo função exponencial Fórmula de Euler eiθ cosθ isinθ ez exiy ex eiy ex cos y i sen y usaremos esta fórmula para definir exiy Uxy ex cos y Vxy ex sen y Ux ex cos y Uy ex sen y Vx ex sen y Vy ex cos y como as deriv parciais são contínuas podemos concluir que ez é derivável em todos os pontos do plano complexo x iy fracdzdz ez ux i vx ex cos y i ex sen y ez Ex fz x senh cos y i y cosh senh y Uxy x cosh cos y Vxy y cosh senh y Ux 1 cosh cos y Uy senh senh y Vx senh senh y Vy 1 cosh cos y se derivável em todo o plano complexo fz 1 cosh cos y i senh senh y Ex fz 3x²y² 6ixy² Uxy 3x²y² Vxy 6x²y² Ux 6xy² Uy 6x²y Vx 12xy² Vy 12x²y 6xy² 12x²y 12x²y² 6xy 24y²x² 6xy 30x²y 0 x0 ou y0 Com as deriv parciais são contínuas em todo o plano concluímos que f é derivável sob os eixos coordenados Def f é dita Analítica em um ponto z₀ quando f é derivável em todos os pontos de algum disco centrado em z₀ Se f é analítica em todo o plano complexo f é dita inteira Ex fz z² é derivável em z0 mas não é analítica em nenhum ponto fz 3x²y² 6ixy² é função derivável sobre os eixos coordenados Não é analítica em nenhum ponto fz ez é inteira analítica em todos os pontos do plano Exercício Funções Trigonométricas Def cosz 12eiz eiz Senz 1zieiz eiz Verifique que cos e sen são funções inteiras cosz senz senz² cosz cos²z sen²z 1 para todo zℂ cos e sen não possuem zeros fora do eixo real senz 5 possui soluções complexas