P2 - Variáveis Complexas - 2021-2

Universidade Federal de Campina Grande Unidade Acadêmica de Matemática Disciplina: 1109108 Variáveis Complexas - Turma 01 - Semestre: 2021.2 Segundo Estágio Aluno(a): ............................................................. Nota: .......................... Professor: Marco Antonio Lázaro Velásquez Data: 14 de julho de 2022. Importante: • Não retire o grampo da prova, use apenas o papel disponível da prova, escreva seus procedimentos e respostas com letra clara e legível. • A resolução da prova é individual, alunos que forem pegos colando terão automatica­ mente a nota mínima, questões e provas com soluções identicas terão também a nota mínima. 1. (2.0 pontos) Em que números complexos z = x + iy ∈ C, a função f(z) = e^(3y) e^(ix) é analítica? Justifique sua resposta. 2. (2.0 pontos) f(z) = senh x cos y + i cosh x sen y, com z = x + iy, é uma função inteira? Justifique sua resposta. 3. (2.0 pontos) Encontre uma função inteira f(z) tal que Re [f(z)] = x³y - xy³, com z = x + iy. Justifique sua resposta. 4. (2.0 pontos) Determine todos os números complexos z = x + iy ∈ C que verificam a equação e^(z) = i^(−2i). Justifique sua resposta. 5. (2.0 pontos) Para z ∈ C \ {1}, considere a função inversa tag h^−1 z = 1/2 log (1 + z)/(1 - z) da função hiperbólica tag h z. No conjunto D = {(r, θ) : r > 0, α < θ < α + 2π} ∩ {C \ {1}}, temos que tag h^−1 z assume um único valor, onde α ∈ R é fixo. Deduz a fórmula de derivação d/dz tag h^−1 z = 1/(1 − z²), z ∈ D. Derivando (II) com relação a x e usando a segunda equação de (I) obtemos 3xy² + \Phi'(x) = \nu_x = -x³ + 3x² y, o que por sua vez implica \Phi'(x) = -x³, cuja solução é \Phi(x) = -\frac{x^4}{4} + c para algum c \in \mathbb{R}. Substituindo isso em (II) temos \nu (x,y) = \frac{3}{2} x² y² - \frac{y^4}{4} - \frac{x^4}{4} + c. Observemos que \nu (x,y) satistaz \nu_{xx} + \nu_{yy} = \frac{\partial}{\partial x} (3x y² - x³) + \frac{\partial}{\partial y} (3x² y - y³) = (3y² - 3x²) + (3x² - 3y²) = 0 em todo (x,y). Daí, \nu (x,y) é harmônica em todo (x,y). Por último, a função inteira associada é \xi (z) = u(x,y) + i \nu(x,y) = (x³ y - x y³) + i (\frac{3}{2} x² y² - \frac{y^4}{4} - \frac{x^4}{4} + c), com z = x + iy \in \mathbb{C}. (04) Temos que i^{-ai} = e^{-ai \log i} = e^{-ai \log (e^{\frac{\pi}{2}i})} = e^{-ai (\ln 1 + i(\frac{\pi}{2} + 2n \pi))} = e^{-2i^2 \pi (\frac{1}{2} + n)} = e^{\pi (1+4n)} , com n \in \mathbb{Z}. Logo, para z = x + iy temos que à equação e^{z²} = i^{-2i} \Leftrightarrow e^{ix} e^{-y} = e^{\pi (1+4n)} \Leftrightarrow e^{x} e^{iy} = e^{\pi (1+4n)} \, e^{i0} \Leftrightarrow \left\{ x = \pi (1+4n) , n \in \mathbb{Z} y = 0 + 2k \pi , k \in \mathbb{Z} \right. \Leftrightarrow \left\{ x = \pi (1+4n) , n \in \mathbb{Z} y = 2k \pi , k \in \mathbb{Z} \right. Portanto, os números procurados são da forma z = \pi (1+4n) + i 2k \pi , com n,k \in \mathbb{Z}. (05) Da regra da cadeia temos que \frac{d}{dz} \text{tagh}^{-1}z = \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{a} \log \left( \frac{1+z}{1-z} \right) \right) = \frac{1}{a^2} \frac{1-z}{1+z} \frac{d}{dz} \left( \frac{1+z}{1-z} \right) = \frac{1}{a^2} \left( \frac{1-z}{1+z} \right) \frac{(1-z) - (1+z)(-1)}{(1-z)^2} = \frac{1}{a^2} \frac{1}{1+z} \frac{1-z + 1+z}{1-z} = \frac{1}{a^2} \frac{1}{1+z} \frac{2}{1-z} = \frac{1}{1-z^2} para todo z \in \mathbb{D}.