Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo - Gradiente Divergente Rotacional e Indução

Ex 21 Encontre f onde fxy 2x² 3xy z pg 52 Ex 22 Calcule o divergente da função dada F x²yî z³ 3xĵ 4y²k pg 52 Exercício 23 Suponha que a função mostrada na Figura 2a seja a v v î x ĵ e que a da Figura 2b seja b r x ĵ e que da Figura 1a seja c t x î y ĵ z k Calcule o rotacional dos vetores em cada caso Exercício 24 Determine as tensões V₁ e V₂ induzidas no circuito mostrado abaixo sabendo que ele é atravessado por um campo B 10t Wbm² entrando na página pg 17 25 pg 15 53 Determine o campo magnético quando o campo elétrico induzido é dado por E Em cosωt βz x Ex 26 Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E kr³r em coordenadas esféricas a Encontre a densidade de carga ρ b encontre a carga total contida em uma esfera de raio R centrada na origem pg 19 Ex 27 Um plano infinito tem uma densidade superficial de carga uniforme σ Encontre seu campo elétrico pg 20 Ex 28 Encontre o campo magnético a uma distância R de um longo infinito fio reto pelo qual passa uma corrente estacionária I Figura 4 lado esquerdo pg 22 Ex 29 Uma corrente estacionária I flui por um longo fio cilíndrico de raio a Encontre o campo magnético tanto dentro quanto fora do fio para uma corrente uniformemente distribuída sobre a superfície externa do fio Ex 210 Verifique se a eq εxt ε₀ cos2πxλ 2πvt garante que a velocidade de propagação da onda seja exatamente a velocidade da luz pg 26 Ex 211 Calcule a energia por unidade de tempo fornecida a um fio condutor quando este conduz corrente Use o vetor de Poynting pg 28 212 Se a radiação eletromagnética solar viaja na direção da Terra com intensidade 1500 Wm² encontre o máximo dos seus campos elétrico e magnético para uma única onda 21 Sabemos que f fx î fy ĵ fz k Logo se fxyz 2x² 3xy z então f 4x 3yî 3x ĵ k 22 Temos F Fxx Fyy Fzz D F Fx î Fy ĵ Fz k x²y î z³ 3x ĵ 4y² k então F 2xy 0 0 F 2xy 24 A tensão induzida é ε dΦdt dBAdt d 20tdt 20 V A corrente induzida é i 20150 215 A Logo V₁ R₁ i 403 V V₂ R₂ i 203 V Note que v₁ v₂ 20 V como esperado 25 Pela Lei de Faraday x B Et Como E Em cosωt βz x Et ω Em sen ωt βz x Logo x B ω Em senωt βz x Como E só depende de z e aponta em x logo Byz ω Em sen ωt βz By ω Em cosωt βzβ Portanto B w εm β coscut β z ŷ 26 a Sabemos que E ρ ε₀ Logo ρ ε₀ E e como E 1 r² r r² k r³ ρ ε₀ k r² r r⁵ ρ 5 ε₀ k r² b A carga total é q ρ dV 4π 5ε₀ k r⁴ dr q 4 π ε₀ k R⁵ 29 Temos pela Lei de Ampère B dl μ₀ i₁ Para explorar a simetria cilíndrica o laço amperiano é uma circunferência coaxial ao cilindro de raio r Para r a a corrente compreendida pelo laço é 0 e logo B 0 Para r a temos B dl μ₀ I O campo magnético é constante ao longo do caminho l temos B 2π r μ₀ I B μ₀ I 2 π r Em forma vetorial B μ₀ I 2 π r ɵˆ 210 A equação de onda é ² E 1 v² ² E t² 1 Mas ² E ² x² ε₀ cos 2 π x λ 2 π f t ² E ε₀ 4 π² λ² cos 2 π x λ 2 π f t Além disso ² E t² 4 π² f² ε₀ cos 2 π x λ 2 π f t Substituindo na equação 1 temos 1 λ² f² v² v λ f O enunciado nos deu uma função de onda geral e pediu para mostrar se essa estrutura garante que v c Não garante depende de como é a relação entre λ e f 211 Suponha um fio condutor com condutividade σ e raio b O campo elétrico é dado por assumindo uma corrente na direção z E i σπb² z O campo magnético é B μ₀i 2πb θ Logo a energia por tempo e por área é S 1 μ₀ E x B i² 2π²b³σ n Logo multiplicando pela área temos a energia por unidade de tempo S i² 2πb²σ n o sinal negativo mostra que energia flui para dentro do fio 217 Sabemos que I cε₀E₀² 2 Logo E₀ 2I cε₀ 2 1500 885 3 10⁴ E₀ 1063 Vm Como B₀ E₀ c B₀ 354 10⁶ T