Campo Elétrico de Anel e Fio Carregado - Lista de Exercícios Resolvidos

Atividade 4 Anel de Carga 10pts 1 3pt Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas 𝑃00 𝑧 devido a um anel de cargas de raio 𝑏 localizado no plano 𝑥𝑦 e centrado na origem e distribuição linear de carga uniforme igual a 𝜌 a Faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b Defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas c Mostre que a equação tem unidade de campo elétrico Se distribuição de cargas 𝜌 é dada por 𝜌 𝜌 0 𝜙 𝜋 𝜌 𝜋 𝜙 2𝜋 1 onde 𝜌é uma constante 2 1 pt Faça o esboço do gráfico da distribuição linear de cargas dada pela equação 1 observação indicar as unidades das grandezas e valores nos eixos do gráfico 3 4 pts Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃00 𝑧 devido a distribuição de carga dada pela equação 1 4 1 pt Faça o esboço do gráfico do campo elétrico no ponto 𝑃00 𝑧 para valores de 𝑧 no intervalo 𝑧 observação indicar as unidades das grandezas e valores nos eixos do gráfico 5 1 pt Mostre como o gráfico esboçado no item 4 se altera com o aumento do raio do anel observação indicar as unidades das grandezas e valores nos eixos do gráfico ATIVIDADE 3 FIO CARREGADO 5 pts 1 2 pts Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas 𝑃0 𝑦 0 devido a um fio carregado de comprimento L localizado o longo do eixo z entre 00 𝐿2 e 00 𝐿2 e distribuição linear de carga uniforme igual a 𝜌 a Faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b Defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas c Mostre que a equação tem unidade de campo elétrico 2 2 pts Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃0 𝑦 0 3 1 pt Faça o esboço do gráfico do campo elétrico no ponto 𝑃0 𝑦 0 para valores de 𝑦 no intervalo 𝑦 observação indicar as unidades das grandezas e valores nos eixos do gráfico ANEL DE CARGAS 1 Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas P00 z devido a um anel de cargas de raio 𝑏 localizado no plano 𝑥𝑦 e centrado na origem e distribuição linear de carga uniforme igual a ρl Se a distribuição de cargas é dada por ρl ρ00ϕπ ρ0 π ϕ2π Onde ρ0 é uma constante Elemento de campo elétrico relacionado ao elemento de carga dq d Ezd Ez z d Ezk dq r 2 cos θ zk dq z 2b 2 cos θ z cos θ catetoadjacente hipotenusa z z 2b 2 z z 2b 2 12 observea figura d Ezk dq z 2b 2 z z 2b 2 12 zk z dq z 2b 2 32 z Relação entre carga e densidade dqρl2π ds Nesse caso e é o raio porque tratase de uma densidade linear Então Para0ϕ π dEz2 π k ρ0 zds z 2b 2 32 z Paraπ ϕ2π d Ez2π k zρ0ds z 2b 2 3 2 z2π k z ρ0ds z 2b 2 32 z a faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas Raio sbm Distância na direção z zm Densidade ρl Cm Constante dielétrica k14 π ε 089910 9 N m 2C 2 d Ez2π k z ρlds z 2b 2 32 z c mostre que a equação tem unidade de campo elétrico Vamos usar como exemplo a região 0ϕ π d EzN m 2 C 2 m C mm m 2m 2 3 2 N m 2 C 2 mC m 2 3 2 N m 3 C 2m 3 CN C A unidade de campo elétrico é o newton por coulomb 2 Gráfico distribuição linear de cargas 3 Calcule o campo elétrico no pontoP00 z Para0ϕ π dEz2 π k z ρ0ds z 2b 2 32 z Paraπ ϕ2π d Ez2π k zρ0ds z 2b 2 3 2 z2π k z ρ0ds z 2b 2 32 z Região 0ϕ π integrando em relação ao raio Ez Região I2π k z ρ0 z 2b 2 3 2 0 b ds z2π k zb ρ0 z 2b 2 32 z Região π ϕ2π integrando em relação ao raio Ez Região II2 π k z ρ0 z 2b 2 3 2 0 b ds z2π k zb ρ0 z 2b 2 32 z Daqui já podemos ver que pelo fato das densidades nas duas regiões serem iguais em módulo mas terem sinais opostos o campo total em 0 0 z será nulo EzEz Região IEz Região II2 π k zb ρ0 z 2b 2 3 2 z2π k zb ρ0 z 2b 2 3 2 z0 4 Faça o esboço do gráfico do campo elétrico no ponto 𝑃00 𝑧 para valores de 𝑧 no intervalo z Usando o exemplo para a região I Ez Região I2π k zb ρ0 z 2b 2 3 2 Como z vai tender a um número bem grande podemos desprezar b quando comparado a z no denominador Ez Região I2π k zb ρ0 z 2 3 2 2 π k zb ρ0 z 3 2 π k b ρ0 z 2 Ez Região II2 π k b ρ0 z 2 Então o campo é nulo em z0 centro do anel então ele cresce até atingir um máximo e cai novamente até ir a zero quando z tende ao infinito tanto para o lado negativo quando positivo de z No denominado z está ao quadrado então o que muda o sinal na região 2 é a densidade 5 Usando novamente a região I como exemplo Ez Região I2π k zb ρ0 z 2b 2 3 2 z Se b aumenta o módulo do campo diminui porque a exponencial do b denominador é maior que no numerador Podemos ver isso claramente em z0 Ez Região I2π k zb ρ0 0b 2 3 2 z2π k z ρ0 b 2 z O campo elétrico da região 2 diminui em módulo na mesma proporção O forma do gráfico não se altera Ez NC versus z m graph showing two sets of curves labeled b menor and b maior with regions labeled EzRegião I and EzRegião II symmetrical along z0 with asymptotes at and FIO CARREGADO 1 Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas 𝑃0 𝑦 0 devido a um fio carregado de comprimento L localizado o longo do eixo z entre 00𝐿2 e 00 𝐿2 e distribuição linear de carga uniforme igual a ρl d Eyd E y y d Eyk dq r 2 cos θ yk dq z 2 y0 2 cos θ y cos θ catetoadjacente hipotenusa y0 z 2 y0 2 y0 z 2 y0 2 12observeafigura d Eyk dq z 2 y0 2 y0 z 2 y0 2 12 yk y0dq z 2 y0 2 32 y a Faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b Defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas d Eyk y0dq z 2 y0 2 32 yk y0 ρldz z 2 y0 2 32 ydqρldz Distâncias z y0m Densidade ρl Cm Constante dielétrica k14 π ε 089910 9 N m 2C 2 c Mostre que a equação tem unidade de campo elétrico d Ey N m 2 C 2 m C mm m 2m 2 32N m 2 C 2 mC m 3 N C 2 Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃0 𝑦 0 d Eyk y0 ρldz z 2 y0 2 32 y Integrando E yk ρl y0 L2 L 2 dz z 2 y0 2 3 2 y Vamos fazer a integral usando substituição Vamos fazer zy0tgu uarctan z y0 Derivando d zy0sec 2 udu Assim E yk ρl y0 u1 u2 y0sec 2 udu y0 2tg u y0 2 3 2 yk ρl y0 u1 u2 y0sec 2 udu y0 2tg 2u y0 2 3 2 y sec 2u1tg 2u E yk ρl y0 u1 u2 y0sec 2 udu y0 2sec 2u 3 2 yk ρl y0 u1 u2 y0sec 2 udu y0 3sec 3 u yk ρl y0 2 y0 3 u1 u2 1du secu y O inverso da secante é p cosseno E yk ρl y0 u1 u2 cos udu yk ρl y0 sin uu1 u2 yk ρl y0 sinu2sin u1y Agora sin u2sinarctan z2 y0sinarctan L 2 y 0 L2 L 2 2 y0 2 12 sin u1sinarctan z1 y0sinarctan L 2 y0 L2 L 2 2 y0 2 12 E yk ρl y0 L2 L 2 2 y0 2 12 L2 L 2 2 y0 2 12 yk ρl y0 2 L2 L 2 2 y0 2 12 y E yk ρl y0 L L 2 2 y0 2 12 y 3 Gráfico Quando y0 se aproxima de zero o campo elétrico tem seu valor máximo próximo a linha de cargas Quando essa distância aumenta na direção positiva ou negativa de z o campo tende a um valor mais baixo aproximandose de zero no infinxito ANEL DE CARGAS 1 Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas 𝑃00 𝑧 devido a um anel de cargas de raio 𝑏 localizado no plano 𝑥𝑦 e centrado na origem e distribuição linear de carga uniforme igual a 𝜌𝑙 Se a distribuição de cargas é dada por 𝜌𝑙 𝜌0 0 𝜙 𝜋 𝜌0 𝜋 𝜙 2𝜋 Onde 𝜌0 é uma constante Elemento de campo elétrico relacionado ao elemento de carga 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝑧 𝑑𝐸𝑧𝑧 𝑑𝐸 𝑧 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 cos𝜃 𝑧 𝑘 𝑑𝑞 𝑧2 𝑏2 cos𝜃 𝑧 cos𝜃 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑧 𝑧2 𝑏2 𝑧 𝑧2 𝑏212 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝐸 𝑧 𝑘 𝑑𝑞 𝑧2 𝑏2 𝑧 𝑧2 𝑏212 𝑧 𝑘 𝑧𝑑𝑞 𝑧2 𝑏232 𝑧 Relação entre carga e densidade 𝑑𝑞 𝜌𝑙2𝜋𝑑𝑠 Nesse caso e é o raio porque tratase de uma densidade linear Então 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝜙 𝜋 𝑑𝐸 𝑧 2𝜋𝑘 𝜌0𝑧𝑑𝑠 𝑧2 𝑏232 𝑧 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜋 𝜙 2𝜋 𝑑𝐸 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0𝑑𝑠 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0𝑑𝑠 𝑧2 𝑏232 𝑧 a faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas Raio 𝑠 𝑏 𝑚 Distância na direção z 𝑧 𝑚 Densidade 𝜌𝑙 𝐶𝑚 Constante dielétrica 𝑘 14𝜋𝜀0 899 109 𝑁 𝑚2𝐶2 𝑑𝐸 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌𝑙𝑑𝑠 𝑧2 𝑏232 𝑧 c mostre que a equação tem unidade de campo elétrico Vamos usar como exemplo a região 0 𝜙 𝜋 𝑑𝐸 𝑧 𝑁 𝑚2 𝐶2 𝑚 𝐶 𝑚 𝑚 𝑚2 𝑚2 3 2 𝑁 𝑚2 𝐶2 𝑚𝐶 𝑚2 3 2 𝑁 𝑚3 𝐶2𝑚3 𝐶 𝑁 𝐶 A unidade de campo elétrico é o newton por coulomb 2 Gráfico distribuição linear de cargas 3 Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃0 0 𝑧 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝜙 𝜋 𝑑𝐸 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0𝑑𝑠 𝑧2 𝑏232 𝑧 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝜋 𝜙 2𝜋 𝑑𝐸 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0𝑑𝑠 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0𝑑𝑠 𝑧2 𝑏232 𝑧 Região 0 𝜙 𝜋 integrando em relação ao raio 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑑𝑠 𝑏 0 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏232 𝑧 Região 𝜋 𝜙 2𝜋 integrando em relação ao raio 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑑𝑠 𝑏 0 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏232 𝑧 Daqui já podemos ver que pelo fato das densidades nas duas regiões serem iguais em módulo mas terem sinais opostos o campo total em 0 0 z será nulo 𝐸𝑧 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑧 0 4 Faça o esboço do gráfico do campo elétrico no ponto 𝑃00 𝑧 para valores de 𝑧 no intervalo 𝑧 Usando o exemplo para a região I 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 Como z vai tender a um número bem grande podemos desprezar b quando comparado a z no denominador 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 3 2 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧3 2𝜋𝑘 𝑏𝜌0 𝑧2 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼𝐼 2𝜋𝑘 𝑏𝜌0 𝑧2 Então o campo é nulo em z0 centro do anel então ele cresce até atingir um máximo e cai novamente até ir a zero quando z tende ao infinito tanto para o lado negativo quando positivo de z No denominado z está ao quadrado então o que muda o sinal na região 2 é a densidade 5 Usando novamente a região I como exemplo 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 𝑧2 𝑏2 3 2 𝑧 Se b aumenta o módulo do campo diminui porque a exponencial do 𝑏 denominador é maior que no numerador Podemos ver isso claramente em 𝑧 0 𝐸𝑧 𝑅𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝐼 2𝜋𝑘 𝑧𝑏𝜌0 0 𝑏2 3 2 𝑧 2𝜋𝑘 𝑧𝜌0 𝑏2 𝑧 O campo elétrico da região 2 diminui em módulo na mesma proporção O forma do gráfico não se altera FIO CARREGADO 1 Escreva a equação diferencial vetorial para a determinação do campo elétrico no ponto de coordenadas 𝑃0 𝑦 0 devido a um fio carregado de comprimento L localizado o longo do eixo z entre 00𝐿2 e 00 𝐿2 e distribuição linear de carga uniforme igual a 𝜌𝑙 𝑑𝐸 𝑦 𝑑𝐸𝑦𝑦 𝑑𝐸 𝑦 𝑘 𝑑𝑞 𝑟2 cos𝜃 𝑦 𝑘 𝑑𝑞 𝑧2 𝑦0 2 cos𝜃 𝑦 cos𝜃 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑦0 𝑧2 𝑦0 2 𝑦0 𝑧2 𝑦0 212 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝐸 𝑦 𝑘 𝑑𝑞 𝑧2 𝑦0 2 𝑦0 𝑧2 𝑦0 212 𝑦 𝑘 𝑦0𝑑𝑞 𝑧2 𝑦0 232 𝑦 a Faça um desenho indicando todos os elementos integrantes da equação b Defina todos os elementos integrantes da equação e respectiva unidade das grandezas físicas 𝑑𝐸 𝑦 𝑘 𝑦0𝑑𝑞 𝑧2 𝑦0 232 𝑦 𝑘 𝑦0𝜌𝑙𝑑𝑧 𝑧2 𝑦0 232 𝑦 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑑𝑧 Distâncias 𝑧 𝑦0𝑚 Densidade 𝜌𝑙 𝐶𝑚 Constante dielétrica 𝑘 14𝜋𝜀0 899 109 𝑁 𝑚2𝐶2 c Mostre que a equação tem unidade de campo elétrico 𝑑𝐸 𝑦 𝑁 𝑚2 𝐶2 𝑚 𝐶 𝑚 𝑚 𝑚2 𝑚232 𝑁 𝑚2 𝐶2 𝑚𝐶 𝑚3 𝑁 𝐶 2 Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃0 𝑦 0 𝑑𝐸 𝑦 𝑘 𝑦0𝜌𝑙𝑑𝑧 𝑧2 𝑦0 232 𝑦 Integrando 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 𝑑𝑧 𝑧2 𝑦0 2 3 2 𝐿2 𝐿2 𝑦 Vamos fazer a integral usando substituição Vamos fazer 𝑧 𝑦0 tg𝑢 𝑢 arctan 𝑧 𝑦0 Derivando 𝑑𝑧 𝑦0 sec2𝑢 𝑑𝑢 Assim 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 𝑦0 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑦0 2 tg𝑢 𝑦0 2 3 2 𝑢2 𝑢1 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 𝑦0 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑦0 2 tg2𝑢 𝑦0 2 3 2 𝑢2 𝑢1 𝑦 sec2𝑢 1 tg2𝑢 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 𝑦0 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑦0 2 sec2𝑢 3 2 𝑢2 𝑢1 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 𝑦0 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑦0 3 sec3𝑢 𝑢2 𝑢1 𝑦 𝑘𝜌𝑙𝑦0 2 𝑦0 3 1 𝑑𝑢 sec 𝑢 𝑢2 𝑢1 𝑦 O inverso da secante é p cosseno 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 cos𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 𝑢1 𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 sin𝑢𝑢1 𝑢2𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 sin𝑢2 sin𝑢1𝑦 Agora sin𝑢2 sin arctan 𝑧2 𝑦0 sin arctan 𝐿 2𝑦0 𝐿2 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 sin𝑢1 sin arctan 𝑧1 𝑦0 sin arctan 𝐿 2𝑦0 𝐿2 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 𝐿2 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 𝐿2 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 2 𝐿2 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 𝑦 𝐸 𝑦 𝑘𝜌𝑙 𝑦0 𝐿 𝐿 2 2 𝑦0 2 12 𝑦 3 Gráfico Quando 𝑦0 se aproxima de zero o campo elétrico tem seu valor máximo próximo a linha de cargas Quando essa distância aumenta na direção positiva ou negativa de z o campo tende a um valor mais baixo aproximandose de zero no infinxito Ey NC versus y m graph showing a symmetrical peak centered at y0 with asymptotes at and