Eletromagnetismo II - Propagacao de Ondas Eletromagneticas e Dipolo Oscilante

1 Eletromagnetismo II Prof Alexandre Bergantini de Souza CEFETRJ Capítulo 3 Propagação de Ondas Eletromagnéticas 31 Dipolo oscilante 32 Ondas planas num dielétrico em meios condutores e semicondutores 33 Reflexão e refração de ondas planas 34 Transmissão por linha 35 Aplicações 36 Singularidade nas linhas de transmissão introdução impedância característica impedância de carga impedância de entrada e outras Referências Hayt Eletromagnetismo 8ª Edição Griffhts Eletrodinâmica 3ª Edição Clayton R Paul Eletromagnetismo para Engenheiros 2006 Introdução Neste capítulo examinaremos entre outros assuntos as propriedades gerais aplicadas em antenas com foco em emissão reflexão e refração da onda eletromagnética 31 Dipolo oscilante Considere um dipolo oscilando em um campo elétrico Figura 1 Quando ele está em um ângulo θ em relação ao campo a magnitude do torque restaurador sobre ele é 𝑝𝑬 sin 𝜃 e portanto sua equação de movimento é 𝐼𝜃 𝑝𝑬 sin 𝜃 31 Onde I é a sua inércia rotacional e p é o momento de dipolo elétrico o significado físico de momento de dipolo é o torque máximo que o dipolo experimenta quando colocado em um campo elétrico externo é seu momento de dipolo O módulo do momento de dipolo elétrico designado pela letra p é dado pelo produto da carga pela distância entre os polos 𝑝 𝑞𝑑 módulo do momento de dipolo elétrico 311 e as unidades de p são carga vezes distância C m Figura 1 dipolo oscilando em um campo elétrico 2 Para pequenos ângulos a equação 31 pode ser aproximada por 𝐼𝜃 𝑝𝑬𝜽 32 E portanto o período para pequenas oscilações é dado por 𝑇 2𝜋 𝐼 𝑝𝑬 33 Exercício 31a Um momento de dipolo p é mantido em um campo elétrico E uniforme e então liberado em um pequeno ângulo 𝜃 Encontre o período da oscilação angular em função do tempo Considere como sendo I o momento de inércia em relação a um eixo passando através do centro e perpendicular ao campo elétrico E 311 Energia Potencial de um Dipolo em um Campo Elétrico Consulte novamente a Figura 1 Existe um torque no dipolo de magnitude 𝑝𝑬 sin 𝜃 Para aumentar o ângulo de θ para δθ teríamos que fazer uma quantidade de trabalho 𝑝𝑬 sin 𝜃 𝛿𝜃 A quantidade de trabalho necessária para aumentar o ângulo entre p e E de 0 a θ seria a integral disso de 0 a θ que é 𝑝𝑬 1 cos 𝜃 e essa é a energia potencial do dipolo desde que se tome a energia potencial como zero quando p e E são paralelos Em muitas aplicações os autores acham conveniente tomar a energia potencial EP como zero quando p e E são perpendiculares Nesse caso a energia potencial EP é 𝐸𝑃 𝑝𝐸 cos 𝜃 𝒑 𝑬 34 Sendo negativo quando θ é agudo e positivo quando θ é obtuso Você deve verificar se o produto de p e E tem as dimensões de energia Considere um dipolo simples consistindo em duas cargas q e q separadas por uma distância r de modo que seu momento dipolar seja 𝑝 𝑞 𝑟 Imagine que ele está situado em um campo elétrico nãohomogêneo conforme mostrado na Figura 2 Figura 2 dipolo em um campo elétrico nãohomogêneo 3 Sabemos que um dipolo em um campo homogêneo não experimenta força resultante mas podemos ver que ele experimenta uma força resultante em um campo nãohomogêneo Seja E o campo em q e seja E δE o campo em q A força em q é qE para a esquerda e a força em q é qEδE para a direita Assim há uma força resultante à esquerda de qE ou 𝐹 𝑝 𝑑𝐸 𝑑𝑥 35 A Equação 35 descreve a situação em que o dipolo o campo elétrico e o gradiente são todos paralelos ao eixo x Em uma situação mais geral todos os três estão em direções diferentes Lembrese de que o campo elétrico é menos gradiente de potencial O potencial é uma função escalar enquanto o campo elétrico é uma função vetorial com três componentes das quais a componente x é por exemplo 𝐸𝑥 𝑉 𝑥 O gradiente do campo é um tensor simétrico com nove componentes dos quais no entanto apenas seis são distintos como 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦𝑥 etc Assim a Equação geral 35 teria que ser escrita como 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧 𝑉𝑥𝑥 𝑉𝑥𝑦 𝑉𝑥𝑧 𝑉𝑥𝑦 𝑉𝑦𝑦 𝑉𝑦𝑧 𝑉𝑥𝑧 𝑉𝑦𝑧 𝑉𝑧𝑧 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 36 em que os índices duplos no tensor de gradiente de potencial denotam as segundas derivadas parciais 312 Dipolos Induzidos e Polarizabilidade Observamos que uma haste carregada atrairá uma esfera descarregada feita de certos materiais O que acontece é que a haste induz um momento dipolar na esfera descarregada e a esfera central que agora tem um momento dipolar é atraída no campo não homogêneo ao redor da haste carregada Como um momento de dipolo pode ser induzido em um corpo sem carga Em um metal existem muitos elétrons livres não ligados a nenhum átomo em particular e eles estão livres para vagar dentro do metal Se um metal é colocado em um campo elétrico os elétrons livres são atraídos para uma extremidade do metal deixando um excesso de carga positiva na outra extremidade Assim um momento de dipolo é induzido E quanto a um nãometal que não possui elétrons livres não ligados aos átomos Pode ser que as moléculas individuais no material tenham momentos de dipolo permanentes Nesse caso a imposição de um campo elétrico externo exercerá um torque nas moléculas e fará com que todos os seus momentos de dipolo se alinhem na mesma direção e assim o material adquirirá um momento de dipolo A molécula de água por exemplo tem um momento de dipolo permanente e esses dipolos se alinharão em um campo externo É por isso que a água pura tem uma constante dielétrica tão grande 4 Mas e se as moléculas não tiverem um momento de dipolo permanente ou se tiverem mas não puderem girar facilmente como pode muito bem ser o caso de um material sólido O material ainda pode se tornar polarizado porque um momento de dipolo é induzido nas moléculas individuais os elétrons dentro da molécula tendem a ser empurrados para uma extremidade da molécula Ou uma molécula como CH4 que é simétrica na ausência de um campo elétrico externo pode ficar distorcida de sua forma simétrica quando colocada em um campo elétrico e assim adquirir um momento de dipolo Assim de uma forma ou de outra a imposição de um campo elétrico pode induzir um momento de dipolo na maioria dos materiais sejam eles condutores de eletricidade ou não ou tenham ou não suas moléculas momentos de dipolo permanentes Se duas moléculas se aproximam em um gás os elétrons de uma molécula repelem os elétrons da outra de modo que cada molécula induz um momento de dipolo na outra As duas moléculas então se atraem porque cada molécula dipolar se encontra no campo elétrico não homogêneo da outra Esta é a origem das forças de van der Waals Alguns corpos por exemplo moléculas individuais em particular são mais facilmente polarizados que outros pela imposição de um campo externo A razão entre o momento de dipolo induzido e o campo aplicado é chamada de polarizabilidade α da molécula ou de qualquer outro corpo ou objeto Desta forma 𝒑 𝛼𝑬 36 As unidades SI de α são C m Note que p e E estão na mesma direção apenas se as propriedades elétricas da molécula forem isotrópicas Talvez a maioria das moléculas e especialmente moléculas orgânicas longas tenham polarizabilidade anisotrópica Assim uma molécula pode ser facilmente polarizada com um campo na direção x e muito menos fácil nas direções y ou z 313 Um Dipolo Simples Nosso objetivo aqui é calcular o campo e o potencial em torno de um dipolo simples Em princípio esse propósito poderia ser atingido pela Lei de Coulomb na seguinte forma 𝑬𝒓 1 4𝜋𝜖0 𝒓 𝓇𝟐 𝜌𝒓𝑑𝜏 37 Contudo integrais desse tipo são extremamente difíceis de calcular Ocasionalmente podemos contornar essa dificuldade explorando simetria e a lei de Gauss mas geralmente a melhor estratégia é calcular primeiro o potencial V dado pela equação 38 a qual é um pouco mais fácil de manejar 𝑉𝒓 1 4𝜋𝜖0 1 𝓇 𝜌𝒓𝑑𝜏 38 No entanto até mesmo essa integral é frequentemente difícil demais para resolver analiticamente Portanto geralmente é melhor remodelar o problema na forma diferencial usando a Equação de Poisson 2𝑉 1 𝜖0 𝜌 39 5 Como chegamos à Equação de Poisson Veja O campo elétrico E pode ser definido como menos o gradiente do potencial 𝑬 𝑉 Nesse caso o divergente de E ficaria 𝑬 𝑉 𝑬 𝑉 2𝑉 Obs A equação acima representa o divergente do gradiente de V Contudo a forma diferencial da Lei de Gauss nos diz que 𝑬 𝜌 𝜀0 Portanto 2𝑉 𝜌 𝜀0 Ou como ela geralmente é apresentada 2𝑉 𝜌 𝜀0 Equação de Poisson Que juntamente com a condição de contorno adequada é equivalente à equação 38 Além disso em geral estamos interessados em encontrar o potencial onde 𝜌 0 e portanto 𝑉 0 Nesse caso a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace 2𝑉 0 310 Equação de Laplace Que escrita em coordenadas cartesianas se torna 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 0 311 Essa fórmula é tão fundamental para o assunto que se pode até dizer que a eletrostática é o estudo da equação de Laplace Suponha então que V depende somente de uma variável x Então a equação de Laplace tornase 𝑑2𝑉 𝑑𝑥2 0 Exercício 31b Descubra que a solução geral da Eq de Laplace acima é 𝑉𝑥 𝑚𝑥 𝑏 312 para o caso da região entre as placas planas e paralelas de um capacitor Demostre também que E é uniforme Claro que a equação é uma reta que contêm duas constantes indeterminadas m e b como é adequado a uma equação diferencial ordinária de segunda ordem Elas são fixadas pelas condições de contorno do problema Por exemplo se 𝑉 4 em 𝑥 1 e 𝑉 0 em 𝑥 5 qual é a equação de V Qual é a equação de Laplace Note que quando medimos 𝑉𝑥 esta é a média de 𝑉𝑥 𝑎 e 𝑉𝑥 𝑎 para qualquer a Portanto 6 𝑉𝑥 1 2 𝑉𝑥 𝑎 𝑉𝑥 𝑎 314 O Campo elétrico de um Dipolo Além do potencial podemos estar interessados em calcular o campo elétrico de um dipolo Com um pouco muito de cálculo vetorial podemos deduzir uma fórmula para o campo elétrico de um dipolo em coordenadas esféricas 𝑬𝑑𝑖𝑝𝑟 𝜃 𝑝 4𝜋𝜖0𝑟3 2 cos 𝜃 𝒓 sin 𝜃 𝜽 313 Essa fórmula considera a orientação de p ao longo de z lembrando que 𝑝 𝑄𝑑 Note que o campo do dipolo reduz com o cubo de r As figuras a seguir mostram as linhas de campo de um dipolo puro e de um dipolo físico onde as linhas representam equipotenciais Outros exemplos de imagens e animações de dipolos oscilando no tempo podem ser vistos em httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsaa6Dipolexmtingantennaanimation4408x318x150msgif httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsdddDipolereceivingantennaanimation6800x394x150msgif httpsuploadwikimediaorgwikipediacommons33dDipolegif httpsuploadwikimediaorgwikipediacommonsddaFelderumDipoljpg 7 Figura direita campos eletrostáticos de um dipolo pontual com seu momento na direção 𝒛 As superfícies equipotenciais são identificadas com valores relativos de V 315 Dipolo Oscilante Um dipolo oscilante ou hertziano constituise de um fio de comprimento l muito fino com uma corrente elétrica senoidal i de amplitude uniforme e de um par de cargas iguais e de sinais contrários q e q em ambos os extremos do fio Essa é a configuração da antena mais simples chamada de dipolo hertziano DH Ela consiste em uma corrente senoidal i dirigida ao longo do eixo z do sistema de coordenadas esféricas Este sistema de coordenadas é o preferido pois as ondas irradiadas são esféricas 8 Na figura abaixo vemos o diagrama de uma antena dipolo de meia onda recebendo uma onda de rádio A antena consiste em duas hastes de metal conectadas a um receptor R O campo elétrico E setas verdes da onda incidente empurra os elétrons nas hastes para frente e para trás carregando as extremidades alternadamente positivo e negativo Como o comprimento da antena é metade do comprimento de onda da onda o campo oscilante induz ondas estacionárias de tensão V representada pela faixa vermelha e corrente nas hastes As correntes oscilantes setas pretas fluem pela linha de transmissão e pelo receptor representado pela resistência R Considerações importantes sobre o dipolo hertziano DH são i o comprimento dl da antena deve ser muito pequeno em comparação com o comprimento de onda emitidarecebida ii a corrente 𝒊 ao longo da antena é constante apesar de aparentemente a lei de Kirchhof dizer que a corrente ao longo do DH deva ser zero uma vez que as suas extremidades são circuitos abertos Contudo a corrente não é zero pois existe capacitância entre os fios superior e inferior e essa capacitância completa o circuito através da corrente de deslocamento contribuição de Maxwell à lei de Ampère permitindo assim a continuidade da corrente nos fios Para uma excitação senoidal de frequência única os campos elétrico e magnético fasorais resultantes dessa antena a uma distância r e um ângulo θ a partir do DH se tornam 𝐸𝑟 2𝜋𝑓2𝜇0 𝑣0 𝑖 𝑑𝑙 cos 𝜃 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 2 𝑗 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 3 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 314 𝐸𝜃 𝜋𝑓2𝜇0 𝑣0 𝑖 𝑑𝑙 sin 𝜃 𝑗 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 2 𝑗 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 3 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 315 𝐸𝜙 0 316 E 𝐻𝑟 0 317 𝐻𝜃 0 318 𝐻𝜙 𝜋𝑓2𝜇0 𝜂0𝑣0 𝑖 𝑑𝑙 sin 𝜃 𝑗 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 1 2𝜋 𝑟 𝜆0 2 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 319 9 Onde f é a frequência de excitação 𝜂0 𝜇0 𝜀0 120𝜋 é a impedância intrínseca do vácuo 𝑣0 1 𝜇0 𝜀0 299792458 𝑚𝑠 é a velocidade da luz no vácuo 𝑗 1 O sistema apresenta simetria rotacional em torno do eixo do dipolo ie não dependem da variável de coordenada esférica 𝜙 Observe que a distância radial r a partir do centro do dipolo é escrita em termos da distância elétrica isto é 𝑟 𝜆0 onde 𝜆0 𝑣0 𝑓 é o comprimento da onda no vácuo O campo elétrico tem apenas componentes r e θ e o campo magnético tem apenas componente 𝜙 O termo 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 representa um deslocamento de fase da onda à medida que ela se propaga radialmente No domínio do tempo isso representa um atraso de tempo ou deslocamento de fase o que significa que qualquer carga na corrente da antena é observada a uma distância r depois de um atraso de tempo 𝑟 𝑣0 Nas aplicações em telecomunicações estamos apenas interessados em grandes distâncias a partir da antena Nesse caso os termos quadráticos e cúbicos das equações acima tendem à um valor muito pequeno e podem ser ignorados Assim sendo para 𝑟 𝜆0 os campos acima podem ser reduzidos a 𝐸𝜃 𝑗 𝑓𝜇0 2 𝒊 𝑑𝑙 sin 𝜃 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 𝑟 320 E 𝐻𝜙 𝐸𝜃 𝜂0 𝑗 𝑓𝜇0 2𝜂0 𝒊 𝑑𝑙 sin 𝜃 𝑒 𝑗2𝜋 𝑟 𝜆0 𝑟 321 Exercícios 31 Um DH tem comprimento de 1 cm e conduz corrente de 1A a 100 MHz Determine o módulo e a fase dos campos elétrico e magnético a uma distância 1000 m longe e ao longo do plano mediador da antena 𝜃 900 pg30 10 32 O módulo do campo elétrico distante de um dipolo hertziano é medido à uma distância de 100 m como 1 mVm Determine o módulo do campo elétrico em 1000 m pg32 32 Ondas Planas A onda plana uniforme é a onda que tem os vetores intensidade de campo elétrico e intensidade de campo magnético situados em um plano e esses planos são paralelos por exemplo plano xy O termo uniforme significa que esses vetores são constantes em magnitude e fase sobre os planos Isso significa que os vetores intensidade de campo elétrico e intensidade de campo magnético podem ser funções apenas de z e do tempo t Portanto 𝐸𝑥𝑧 𝑡 e 𝐻𝑦𝑧 𝑡 onde z é a direção de propagação Para uma onda de frequência única as formas fasorais são 𝐸𝑥𝑧 e 𝐻𝑦𝑧 Tais ondas são geralmente referidas como ondas transversais eletromagnéticas TEM Para determinar as relações entre esses campos vetoriais escrevemos a Lei de Faraday na forma fasorial 𝑬 𝑗𝜔𝑩 322 Substituímos 𝑩 𝜇𝑯 𝑬 𝑗𝜔𝜇𝑯 323 E expandimos o rotacional em coordenadas retangulares 𝑬 𝑬𝑧 𝑦 𝑬𝑦 𝑧 𝒙 𝑬𝑥 𝑧 𝑬𝑧 𝑥 𝒚 𝑬𝑦 𝑥 𝑬𝑥 𝑦 𝒛 324 Os termos nos planos z e y vão para zero o que resulta em 𝑬 𝑬𝑥 𝑧 𝒚 325 Assim combinando 323 e 325 temos 𝑬𝑥 𝑧 𝑗𝜔𝜇𝑯𝑦 326 11 Como temos duas incógnitas E e H em 326 precisamos estabelecer uma relação entre elas A Lei de Ampère na forma fasorial é 𝑯 𝑱 𝑗𝜔𝑫 onde a relação constitutiva de D é 𝑫 𝜀𝑬 meios materiais lineares isotrópicos e homogêneos Podemos então concluir que 𝑯 𝑱 𝑗𝜔𝑫 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑜𝑟𝑎𝑙 Portanto 𝑯 𝑱 𝑗𝜔𝜀𝑬 327 Conforme estabelecemos anteriormente 𝑱 𝜎𝑬 então 𝑯 𝜎𝑬 𝑗𝜔𝜀𝑬 328 Onde 𝜎 é a condutividade elétrica do meio material Expandindo o rotacional de 327 obtemos 𝑯 𝑯𝑧 𝑦 𝑯𝑦 𝑧 𝒙 𝑯𝑥 𝑧 𝑯𝑧 𝑥 𝒚 𝑯𝑦 𝑥 𝑯𝑥 𝑦 𝒛 329 Onde os termos dependentes de z e de x vão para zero o que resulta em 𝑯 𝑯𝑦 𝑧 𝒙 330 Combinando 328 com 330 encontramos para o espaço livre 𝑯𝑦 𝑧 𝑗𝜔𝜀𝑬𝑥 331 As equações 326 e 331 são equações diferenciais de primeira ordem em 𝑬𝑥 e 𝑯𝑦 Na versão geral do domínio do tempo da equação de Faraday devemos obter derivadas espaciais do campo elétrico e derivadas temporais do campo magnético Já na versão fasorial o operador de derivação de tempo foi substituído pela multiplicação por jω Esta é uma tremenda simplificação já que as equações agora envolvem apenas diferenciação sobre posição Além disso nenhuma informação é perdida nessa simplificação o que é explicado pela análisetransformada de Fourier Sem esse tipo de simplificação muito do que agora é considerado eletromagnetismo de engenharia básico seria intratável Podemos obter equações separadas para 𝑬𝑥 ou 𝑯𝑦 se diferenciarmos uma em relação a z e substituirmos na outra e as derivadas se tornam ordinárias ao invés de parciais resultando em 2𝑬 𝑑2𝑬𝒙 𝑑2𝑧 𝜔2𝜇𝜀𝑬𝒙 𝛽2𝑬𝒙 0 332 Podemos fazer algo similar para a equação 331 o que nos levaria a conclusão de que 2𝑯 𝑑2𝑯𝒚 𝑑2𝑧 𝜔2𝜇𝜀𝑯𝒚 𝛽2𝑯𝒙 0 333 Sendo 𝛽 a constante de fase tal que 𝛽 𝜔𝜇𝜀 𝑟𝑎𝑑 𝑚1 334 12 As equações 332 e 333 são as equações de onda para E e H respectivamente para uma região composta de material isotrópico homogêneo sem perdas e sem fonte Uma solução para eq 332 é 𝑬𝒙 𝑬𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑬𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 335 E uma solução para eq 333 é 𝑯 𝑯𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑯𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 336 Onde 𝑯𝑚 𝑬𝑚 𝜇 𝜀 337 E 𝑯𝑚 𝑬𝑚 𝜇 𝜀 338 O termo 𝜇 𝜀 também é chamado de impedância intrínseca do meio η Portanto 𝜂 𝜇 𝜀 339 No vácuo 𝜂0 120𝜋 Ω 377 Ω Assim sendo a solução final da equação 336 é 𝑯𝒚 𝑬𝑚 𝜂 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑬𝑚 𝜂 𝑒𝑗𝛽𝑧 340 E como já vimos 𝑬𝒙 𝑬𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 𝑬𝑚 𝑒𝑗𝛽𝑧 335 Estas equações são fasoriais ou seja no domínio da frequência dos campos com variação senoidal e frequência fixa O significado das incógnitas 𝑬𝑚 e 𝑬𝑚 depende das condições de fronteira de cada problema em particular No domínio do tempo o campo elétrico é dado por 𝑬𝑥𝑧 𝑡 𝑬𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝑬𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 341 Sendo a primeira parte correspondente a onda progressiva e a segunda parte a onda regressiva em z No domínio do tempo o campo magnético é dado por 13 𝑯𝑦𝑧 𝑡 𝑅𝑒 𝑬𝑚 𝜂 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 𝑬𝑚 𝜂 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 342 Note que 𝛽 𝜔𝜇𝜀 e o termo cos𝜔𝑡 𝛽𝑧 se torna cos 𝜔 𝑡 𝑧 𝑣 o que nos leva a concluir que a velocidade da fase da frente da onda é 𝑣 1 𝜇𝜀 𝑚𝑠1 343 No vácuo 𝜇0 4𝜋 107 𝑒 𝜀0 88541878128 1012 de forma que a velocidade de propagação da onda EM no vácuo é 299792458 ms Em meios que não sejam o vácuo temos 𝑣 𝑣0 𝜇𝑟𝜀𝑟 344 Combinando as eq 343 e 344 concluímos que 𝜇𝜀 1 𝑣 mas 𝑣 𝑣0 𝜇𝑟𝜀𝑟 então 𝜇𝜀 1 𝑣0 𝜇𝑟𝜀𝑟 portanto 𝜇𝜀 𝜇𝑟𝜀𝑟 𝑣0 Lembrando que para uma onda EM 𝑘 2𝜋𝜆 𝜔 2𝜋𝑇 Exercício 33 Determine a impedância intrínseca a constante de fase a velocidade de propagação e o comprimento de onda de uma onda plana uniforme a 1 GHz a no vidro epóxi placa de circuito impresso e b no silício circuitos integrados dados 𝜂0 120𝜋 Epóxi 𝜀𝑟 47 𝑒 𝜇𝑟 1 Silício 𝜀𝑟 12 𝑒 𝜇𝑟 1 pg 33 14 34 Escreva as formas fasoral e no domínio do tempo de uma onda plana uniforme de frequência 1 GHz que se propaga no sentido z em um bloco de silício pg 34 35 Determine a impedância intrínseca constante de fase velocidade de propagação e comprimento de onda de uma onda plana uniforme a 500 kHz no Teflon 𝜀𝑟 21 𝜇𝑟 1 Escreva as expressões no domínio do tempo para os vetores intensidades de campos elétrico e magnético A onda se propaga no sentido z 33 Onda Plana Uniforme em Meio com Perdas Consideramos agora as ondas planas uniformes se propagando em um meio com perdas ou seja um meio no qual a condutividade não é zero 𝜎 0 A adição do termo da corrente de condução a Lei de Ampère resulta na modificação 𝑯𝑦 𝑧 𝜎 𝑗𝜔𝜀𝑬𝑥 523 Já a lei de Faraday permanece inalterada pois ela não contém a condutividade 𝑬𝑦 𝑧 𝑗𝜔𝜇𝑯𝑥 524 Essas equações combinadas nos fornecem a constante de propagação 𝜸 𝜸 𝑗𝜔𝜇𝜎 𝑗𝜔𝜀 𝛼 𝑗𝛽 526 A constante de propagação é um número complexo cuja parte real é 𝛼 constante de atenuação e a parte imaginária é 𝛽 chamada de constante de fase mas diferente da constante de fase para um meio sem perdas 𝛽 𝜔𝜇𝜀 Nas eqs 524 e 526 𝜔 é a freq angular 𝜔 2𝜋𝑓 A forma retangular da raiz quadrada de um número complexo necessária na Eq 526 pode ser obtida pela fórmula 𝑎 𝑗𝑏 𝑧𝑎 2 𝑗 𝑏 𝑏 𝑧𝑎 2 onde 𝑧 𝑎 𝑗𝑏 e 𝑏 0 A fórmula que nos ajuda a calcular a raiz quadrada de um número complexo na forma polar é 𝑧 𝑟 cos 𝜃2𝑘𝜋 2 𝑗 sin 𝜃2𝑘𝜋 2 onde 𝑘 0 1 36 Calcule a raiz de z sendo 𝑧 2 3𝑗 pg 59 37 Determine a constante de atenuação e a constante de fase no cobre 𝜎 58 107𝑆𝑚 𝜀𝑟 1 𝜇𝑟 1 em 1 MHz 38 Determine a constante de atenuação e a constante de fase na água do mar 𝜎 4 𝑆𝑚 𝜀𝑟 81 𝜇𝑟 1 em 1 MHz Material auxiliar httpswwwyoutubecomwatchva3QnebGwDk 15